Sudėtingų skaičių ir operacijų su jais pristatymas. Sudėtingi skaičiai. Kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas
![Sudėtingų skaičių ir operacijų su jais pristatymas. Sudėtingi skaičiai. Kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_1.jpg)
Loktionova G.N.
matematikos mokytojas
GAPOU „Automobilių transporto koledžas“
„Sudėtingi skaičiai ir veiksmai
virš jų"
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_1.jpg)
- Išstudijavę temą, studentai turėtų: Žinoti: kompleksinių skaičių algebrinės, geometrinės ir trigonometrinės formos. Galėti: atlikti kompleksinių skaičių sudėties, daugybos, atimties, dalybos, eksponencijos ir šaknies ištraukimo operacijas su kompleksiniais skaičiais; konvertuoti kompleksinius skaičius iš algebrinių į geometrines ir trigonometrines formas; naudoti kompleksinių skaičių geometrinę interpretaciją; paprasčiausiais atvejais suraskite sudėtingas lygčių šaknis su realiaisiais koeficientais.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_2.jpg)
- Istorinė nuoroda
- Pagrindinės sąvokos
- Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas
- Kompleksinių skaičių rašymo formos
- Operacijos su kompleksiniais skaičiais
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_3.jpg)
- Gusakas, A.A. Aukštoji matematika: vadovėlis universiteto studentams: 2 tomai. T.1. /A.A. Gander. – 5-asis leidimas. – Minskas: TetraSystems, 2004. – 544 p.
- Kanatnikovas, A.N. Tiesinė algebra. / A.N. Kanatnikovas, A.P. Kriščenko. - M.: MSTU leidykla im. N.E. Bauman, 2001 – 336 p.
- Kurošas, A.G. Aukštosios algebros kursas. / A.G. Kurošas. - M.: Mokslas, 1971-432.
- Parašė D.T. Aukštosios matematikos paskaitų konspektas. 1 dalis. – 2 leidimas, red. – M.: Iris-press, 2003. - 288 p.
- Sikorskaya, G.A. Algebros ir geometrijos paskaitų kursas: vadovėlis transporto fakulteto studentams / G.A. Sikorskaja. - Orenburgas: IPK GOU OSU, 2007. – 374 p.
1 punktas Istorinis pagrindas
Kompleksinio skaičiaus samprata kilo iš algebrinių lygčių sprendimo praktikos ir teorijos.
Matematikai pirmą kartą susidūrė su kompleksiniais skaičiais spręsdami kvadratines lygtis. Iki XVI amžiaus viso pasaulio matematikai, neradę priimtino aiškinimo sudėtingoms šaknims, kurios atsirado sprendžiant kvadratines lygtis, paskelbė jas klaidingomis ir į jas neatsižvelgė.
Cardano, kuris dirbo spręsdamas 3 ir 4 laipsnių lygtis, buvo vienas pirmųjų matematikų, formaliai operavusių su kompleksiniais skaičiais, nors jų reikšmė jam iš esmės liko neaiški.
Kompleksinių skaičių reikšmę paaiškino kitas italų matematikas R. Bombelli. Savo knygoje „Algebra“ (1572 m.) jis pirmiausia išdėstė šiuolaikinės formos kompleksinių skaičių valdymo taisykles.
Tačiau iki XVIII amžiaus kompleksiniai skaičiai buvo laikomi „įsivaizduojamais“ ir nenaudingais. Įdomu pastebėti, kad net toks puikus matematikas kaip Dekartas, identifikavęs realius skaičius su skaičių linijos atkarpomis, tikėjo, kad kompleksiniams skaičiams negali būti tikros interpretacijos ir jie amžinai liks įsivaizduojami, įsivaizduojami. Didieji matematikai Niutonas ir Leibnicas laikėsi panašių požiūrių.
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_5.jpg)
Tik XVIII amžiuje daugeliui matematinės analizės, geometrijos ir mechanikos problemų reikėjo plačiai taikyti operacijas su kompleksiniais skaičiais, o tai sudarė sąlygas plėtoti jų geometrinę interpretaciją.
XVIII amžiaus viduryje d'Alemberto ir Eulerio taikomuosiuose darbuose autoriai vaizduoja savavališkus įsivaizduojamus dydžius formoje. z=a+ib, kuri leidžia tokius dydžius pavaizduoti koordinačių plokštumos taškais. Būtent šį aiškinimą naudojo Gaussas savo darbe, skirtame algebrinių lygčių sprendimų tyrimui.
Ir tik XIX amžiaus pradžioje, kai jau buvo išaiškintas kompleksinių skaičių vaidmuo įvairiose matematikos srityse, buvo sukurta labai paprasta ir natūrali geometrinė jų interpretacija, leidžianti suprasti geometrinę kompleksinių operacijų reikšmę. numeriai.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_6.jpg)
P. 2 Pagrindinės sąvokos
Sudėtingas skaičius z vadinama formos išraiška z=a+ib, Kur a Ir b– realūs skaičiai, i – įsivaizduojamas vienetas, kurį lemia santykis:
Šiuo atveju skaičius a paskambino tikroji dalis numeriai z
(a = Re z), A b - įsivaizduojama dalis (b = aš z).
Jeigu a = Rez =0 , tą skaičių z valios grynai įsivaizduojamas, Jei b = aš z =0 , tada skaičius z valios galioja .
Skaičiai z=a+ib ir yra vadinami kompleksas – konjugatas .
Du kompleksiniai skaičiai z 1 =a 1 +ib 1 Ir z 2 =a 2 +ib 2 yra vadinami lygus, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra atitinkamai lygios:
a 1 =a 2 ; b 1 =b 2
Kompleksinis skaičius yra lygus nuliui, jei tikroji ir menamoji dalys yra atitinkamai lygios nuliui.
Sudėtinius skaičius taip pat galima užrašyti, pavyzdžiui, formoje z=x+iy , z=u+iv .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_7.jpg)
P. 3 Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas
Bet koks kompleksinis skaičius z=x+iy gali būti pavaizduotas tašku M(x;y) lėktuvas xOy toks kad X = Rez , y = aš z. Ir, atvirkščiai, kiekvienas taškas M(x;y) koordinačių plokštuma gali būti laikoma kompleksinio skaičiaus atvaizdu z=x+iy(1 paveikslas).
1 paveikslas
Plokštuma, kurioje pavaizduoti kompleksiniai skaičiai, vadinama sudėtinga plokštuma .
Abscisių ašis vadinama tikroji ašis, nes jame yra tikrieji skaičiai z=x+0i=x .
Ordinačių ašis vadinama įsivaizduojama ašis, jame yra įsivaizduojamų kompleksinių skaičių z=0+yi=yi .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_8.jpg)
Dažnai vietoj taškų lėktuve jie paimami spindulio vektoriai
tie. vektoriai, prasidedantys tašku O(0;0), galas M(x;y) .
Kompleksinį skaičių vaizduojančio vektoriaus ilgis z , paskambino modulisšis numeris yra nurodytas | z| arba r .
Vadinamas kampo tarp teigiamos tikrosios ašies krypties ir kompleksinį skaičių vaizduojančio vektoriaus dydis argumentasšio kompleksinio skaičiaus žymimas Arg z arba φ .
Sudėtingų skaičių argumentas z=0 neapibrėžtas.
Sudėtingų skaičių argumentas z ≠ 0 - kiekis yra daugiareikšmis ir nustatomas tiksliai pagal suminę sumą 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :
Arg z=arg z+2 π k,
Kur arg z - pagrindinė argumento prasmė , padarė išvadą tarpiniu laikotarpiu (- π , π ] .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_9.jpg)
p.4 Kompleksinių skaičių rašymo formos
Skaičiaus rašymas formoje z=x+iy paskambino algebrinė forma kompleksinis skaičius.
Iš 1 paveikslo aišku, kad x=rcos φ , y = rsin φ , todėl kompleksiškai z=x+iy skaičius gali būti parašytas taip:
Ši įrašymo forma vadinama trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius.
Modulis r=|z| yra vienareikšmiškai nustatoma pagal formulę
Argumentas φ nustatoma pagal formules
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_10.jpg)
Pereinant nuo kompleksinio skaičiaus algebrinės formos prie trigonometrinės, pakanka nustatyti tik pagrindinę kompleksinio skaičiaus argumento reikšmę, t.y. skaičiuoti φ =arg z .
Kadangi iš formulės gauname tai
Vidiniams taškams aš , IV ketvirčiai;
Vidiniams taškams II ketvirčiai;
Vidiniams taškams III ketvirčiai.
1 pavyzdys. Kompleksinius skaičius pavaizduokite trigonometrine forma.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_11.jpg)
Sprendimas. Sudėtingas skaičius z=x+iy trigonometrinėje formoje turi formą z=r(cos φ +isin φ ) , Kur
1) z 1 = 1 +i(numeris z 1 priklauso aš ketvirčiai), x = 1, y = 1.
Taigi,
2) (skaičius z 2 priklauso II ketvirčiai)
Nuo tada
Vadinasi,
Atsakymas:
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_12.jpg)
Apsvarstykite eksponentinę funkciją w=e z, Kur z=x+iy- kompleksinis skaičius.
Galima parodyti, kad funkcija w gali būti parašytas taip:
Ši lygybė vadinama Eilerio lygtis.
Kompleksiniams skaičiams bus teisingos šios savybės:
Kur m– sveikasis skaičius.
Jei Eulerio lygtyje eksponentas laikomas tik įsivaizduojamu skaičiumi ( x=0), tada gauname:
Dėl sudėtingo konjuguoto skaičiaus gauname:
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_13.jpg)
Iš šių dviejų lygčių gauname:
Šios formulės naudojamos norint rasti trigonometrinių funkcijų galių reikšmes per kelių kampų funkcijas.
Jei kompleksinį skaičių atstovaujate trigonometrine forma
z=r(cos φ +isin φ )
ir naudokite Eilerio formulę e i φ = cos φ +isin φ , tada kompleksinis skaičius gali būti parašytas kaip
z=r e i φ
Gauta lygybė vadinama eksponentinė forma kompleksinis skaičius.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_14.jpg)
P. 5 Operacijos su kompleksiniais skaičiais
1) Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, pateiktais algebrine forma
a) Kompleksinių skaičių sudėjimas
Suma du kompleksiniai skaičiai z 1 =x 1 +y 1 i Ir z 2 =x 2 +y 2 i
z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).
Papildymo operacijos ypatybės:
1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,
2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,
3. z+0=z .
b) Kompleksinių skaičių atėmimas
Atimtis apibrėžiama kaip atvirkštinė sudėjimo vertė.
Pagal skirtumą du kompleksiniai skaičiai z 1 =x 1 +y 1 i Ir z 2 =x 2 +y 2 i toks kompleksinis skaičius vadinamas z, kurį pridėjus z 2 , pateikia numerį z 1 ir yra apibrėžiamas lygybės
z=z 1 – z 2 =(x 1 – x 2 )+i(y 1 -y 2 ).
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_15.jpg)
c) Kompleksinių skaičių daugyba
Darbas kompleksiniai skaičiai z 1 =x 1 +y 1 i Ir z 2 =x 2 +y 2 i, apibrėžta lygybe
z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).
Iš čia ypač seka svarbiausias santykis
i 2 = – 1.
Daugybos operacijos ypatybės:
1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,
2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,
3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,
4 . z ∙ 1 =z .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_16.jpg)
d) Kompleksinių skaičių dalyba
Dalyba apibrėžiama kaip atvirkštinė daugybos vertė.
Dviejų kompleksinių skaičių koeficientas z 1 Ir z 2 ≠ 0 vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurį padauginus iš z 2 , pateikia numerį z 1 , t.y. Jeigu z 2 z = z 1 .
Jei įdėsite z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , tada iš lygybės (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 aš, turėtų
Išspręsdami sistemą, randame reikšmes x Ir y :
Taigi,
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_17.jpg)
Praktikoje vietoj gautos formulės naudojama tokia technika: trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaugina iš skaičiaus, susieto su vardikliu („atsikratykite įsivaizduojamo vardiklyje“).
2 pavyzdys. Duoti kompleksiniai skaičiai 10+8i , 1+i. Raskime jų sumą, skirtumą, sandaugą ir koeficientą.
Sprendimas.
A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;
b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;
V) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_18.jpg)
e) Kompleksinio skaičiaus sudarymas algebrine forma in n laipsnis
Užrašykime įsivaizduojamo vieneto sveikuosius laipsnius:
Apskritai rezultatas gali būti parašytas taip:
3 pavyzdys. Apskaičiuoti i 2 092 .
Sprendimas.
- Pavaizduokime eksponentą formoje n = 4k+l ir naudokite laipsnio savybę su racionaliuoju rodikliu z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .
Mes turime: 2092=4 ∙ 523 .
Taigi, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , bet nuo to laiko i 4 = 1 , tada pagaliau gauname i 2 092 = 1 .
Atsakymas: i 2 092 = 1 .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_19.jpg)
Sudarant kompleksinį skaičių a+biį antrąjį ir trečiąjį laipsnius naudokite dviejų skaičių sumos kvadrato ir kubo formulę, o keldami į laipsnį n (n- natūralusis skaičius, n ≥ 4 ) – Niutono dvinario formulė:
Norint rasti šios formulės koeficientus, patogu naudoti Paskalio trikampį.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_20.jpg)
e) Kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas
Kvadratinė šaknis Iš kompleksinio skaičiaus vadinamas kompleksinis skaičius, kurio kvadratas lygus duotajam.
Pažymime kompleksinio skaičiaus kvadratinę šaknį x+yi per u+vi, tada pagal apibrėžimą
Formulės ieškant u Ir v atrodyti kaip
Ženklai u Ir v parenkami taip, kad gautas u Ir v patenkinta lygybė 2uv=y .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_21.jpg)
4 pavyzdys. Kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies radimas z=5+12i .
Sprendimas.
Pažymime skaičiaus kvadratinę šaknį z per u+vi, Tada (u+vi) 2 =5+12i .
Kadangi šiuo atveju x=5 , y = 12, tada naudodami formules (1) gauname:
u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.
Taigi randamos dvi kvadratinės šaknies reikšmės: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Ženklai buvo parinkti pagal lygybę 2uv=y, t.y. nes y = 120, Tai u Ir v vienas kompleksinis vienodų ženklų skaičius.)
Atsakymas:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_22.jpg)
2) Operacijos su kompleksiniais skaičiais, pateiktais trigonometrine forma
Apsvarstykite du kompleksinius skaičius z 1 Ir z 2 , pateikta trigonometrine forma
a) Kompleksinių skaičių sandauga
Atlieka skaičių dauginimą z 1 Ir z 2 , mes gauname
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_23.jpg)
b) Dviejų kompleksinių skaičių koeficientas
Tegu pateikiami kompleksiniai skaičiai z 1 Ir z 2 ≠ 0 .
Apsvarstykime, kokį koeficientą turime
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_24.jpg)
5 pavyzdys. Duoti du kompleksiniai skaičiai
Sprendimas.
1) Naudojant formulę. mes gauname
Vadinasi,
2) Naudojant formulę. mes gauname
Vadinasi,
Atsakymas:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_25.jpg)
V) Sudėtinio skaičiaus sudarymas trigonometrine forma n laipsnis
Iš kompleksinių skaičių dauginimo operacijos išplaukia, kad
Bendru atveju gauname:
Kur n – teigiamas sveikasis skaičius.
Vadinasi , kai kompleksinis skaičius didinamas iki laipsnio, modulis pakeliamas iki tos pačios laipsnio, o argumentas padauginamas iš laipsnio .
Išraiška (2) vadinama Moivre'o formulė .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_26.jpg)
Abraomas de Moivras (1667 – 1754) – prancūzų kilmės anglų matematikas.
Moivre nuopelnai:
- atrado (1707) Moivre'o formulę, skirtą kompleksinių skaičių, pateiktų trigonometrine forma, eksponencijai (ir šaknų ištraukimui);
- pirmasis pradėjo naudoti begalinių eilučių eksponenciją;
- įnešė didelį indėlį į tikimybių teoriją: įrodė ypatingą Laplaso teoremos atvejį, atliko azartinių lošimų tikimybinį tyrimą ir daugybę statistinių duomenų apie populiaciją.
Moivre formulė gali būti naudojama ieškant trigonometrinių dvigubų, trigubų ir kt. kampus
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_27.jpg)
6 pavyzdys. Raskite formules nuodėmė 2 Ir cos 2 .
Sprendimas.
Apsvarstykite sudėtingą skaičių
Tada iš vienos pusės
Pagal Moivre formulę:
Sulyginus, gauname
Nes du kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jei jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, tada
Gavome gerai žinomas dvigubo kampo formules.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_28.jpg)
d) Šaknų ištraukimas P
Šaknis P - kompleksinio skaičiaus laipsnis z vadinamas kompleksiniu skaičiumi w, tenkinantis lygybę w n =z, t.y. Jeigu w n =z .
Jei įdėtume ir tada pagal šaknies apibrėžimą ir Moivre formulę gautume
Iš čia mes turime
Todėl lygybė įgauna formą
kur (t. y. nuo 0 iki n-1).
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_29.jpg)
Taigi, šaknų ištraukimas n - kompleksinio skaičiaus laipsnis z visada įmanoma ir duoda n skirtingos reikšmės. Visos šaknies reikšmės n laipsnis, esantis spindulio apskritime kurio centras yra nulis ir padalykite šį apskritimą iš n lygiomis dalimis.
7 pavyzdys. Raskite visas vertes
Sprendimas.
Pirmiausia pavaizduokime skaičių trigonometrine forma.
Tokiu atveju x=1 , , Taigi,
Vadinasi,
Naudojant formulę
Kur k=0,1,2,…,(n-1), mes turime:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_30.jpg)
Užrašykime visas reikšmes:
Atsakymas:
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_31.jpg)
Klausimai savikontrolei
1 . Suformuluokite kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.
2. Koks kompleksinis skaičius vadinamas grynai įsivaizduojamuoju?
3. Kokie du kompleksiniai skaičiai vadinami konjuguotais?
4. Paaiškinkite, ką reiškia sudėti kompleksinius skaičius, pateiktus algebrine forma; padauginkite kompleksinį skaičių iš tikrojo skaičiaus.
5. Paaiškinkite kompleksinių skaičių, pateiktų algebrine forma, padalijimo principą.
6. Bendromis sąvokomis parašykite įsivaizduojamo vieneto sveikuosius laipsnius.
7. Ką reiškia algebrine forma pateiktą kompleksinį skaičių pakelti laipsniu (n yra natūralusis skaičius)?
8. Papasakokite, kaip kompleksiniai skaičiai vaizduojami plokštumoje.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_32.jpg)
9 . Kokia žymėjimo forma vadinama kompleksinių skaičių trigonometrine forma?
10. Suformuluokite kompleksinio skaičiaus modulio ir argumento apibrėžimą.
11. Suformuluokite kompleksinių skaičių, užrašytų trigonometrine forma, dauginimo taisyklę.
12. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti dviejų kompleksinių skaičių, pateiktų trigonometrine forma, koeficientą.
13. Suformuluokite kompleksinių skaičių, pateiktų trigonometrine forma, pakėlimo į laipsnius taisyklę.
14. Suformuluokite kompleksinio skaičiaus, pateikto trigonometrine forma, n-osios šaknies ištraukimo taisyklę.
15. Papasakokite apie n-osios vienybės šaknies reikšmę ir jos taikymo sritį.
2 skaidrė
1. Skaičiaus sampratos raida
Senovės graikų matematikai „tikrais“ laikė tik natūraliuosius skaičius. Kartu su natūraliaisiais skaičiais buvo naudojamos trupmenos – skaičiai, sudaryti iš sveiko vieneto trupmenų skaičiaus.
3 skaidrė
Neigiamų skaičių įvedimas – tai padarė kinų matematikai du šimtmečius prieš Kristų. e. Jau VIII amžiuje buvo nustatyta, kad teigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis turi dvi reikšmes – teigiamą ir neigiamą, o kvadratinė šaknis negali būti paimta iš neigiamų skaičių.
4 skaidrė
2. Pakeliui į kompleksinius skaičius
XVI amžiuje, tiriant kubines lygtis, iškilo būtinybė iš neigiamų skaičių išskirti kvadratines šaknis.
5 skaidrė
Formulės kubinių lygčių sprendimo formulėje:
6 skaidrė
kubinės ir kvadratinės šaknys:
7 skaidrė
Ši formulė veikia nepriekaištingai tuo atveju, kai lygtis turi vieną realiąją šaknį, o jei turi tris realiąsias šaknis, tai po kvadratinės šaknies ženklu atsiranda neigiamas skaičius. Paaiškėjo, kad kelias į šias šaknis veda per neįmanomą neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją.
8 skaidrė
9 skaidrė
Be x=1, yra dar dvi šaknys
10 skaidrė
Italų algebristas G. Cardano 1545 metais pasiūlė įvesti naujos prigimties skaičius. Jis parodė, kad lygčių sistema
11 skaidrė
kuri neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje, turi formos sprendinius
12 skaidrė
tereikia sutikti tokias išraiškas veikti pagal įprastos algebros taisykles ir tai daryti
13 skaidrė
3. Kompleksinių skaičių teiginys matematikoje
Cardano tokius kiekius vadino „grynai neigiamais“ ir netgi „sofistiškai neigiamais“, laikė juos nenaudingais ir stengėsi jų nenaudoti. Bet jau 1572 metais buvo išleista italų algebristo R. Bombelli knyga, kurioje buvo nustatytos pirmosios aritmetinių veiksmų su tokiais skaičiais taisyklės iki kubinių šaknų ištraukimo iš jų.
14 skaidrė
Pavadinimą „įsivaizduojami skaičiai“ 1637 metais įvedė prancūzų matematikas ir filosofas R. Dekartas. 1777 m. vienas didžiausių XVIII amžiaus matematikų L. Euleris pasiūlė skaičiui (įsivaizduojamam vienetui) žymėti pirmąja prancūziško žodžio imaginaire (įsivaizduojamas) raide. Šis simbolis plačiai naudojamas K. Gauso dėka. Terminą „sudėtiniai skaičiai“ taip pat įvedė Gaussas 1831 m.
15 skaidrė
Žodis kompleksas (iš lot. complexus) reiškia jungtį, derinį, sąvokų, objektų, reiškinių ir kt., sudarančių vientisą visumą, rinkinį.
16 skaidrė
L. Euleris išvedė nepaprastą formulę 1748 m
17 skaidrė
kuri susiejo eksponentinę funkciją su trigonometrine. Naudojant L. Eulerio formulę, skaičių e buvo galima pakelti iki bet kokios kompleksinės laipsnio.
18 skaidrė
XVIII amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas J. Lagrange'as sugebėjo pasakyti, kad matematinės analizės nebeapsunkina įsivaizduojami dydžiai.
19 skaidrė
Sukūrus kompleksinių skaičių teoriją, iškilo klausimas dėl „hiperkompleksinių“ skaičių - skaičių su keliais „įsivaizduojamais“ vienetais. Tokią sistemą 1843 m. sukūrė airių matematikas W. Hamiltonas, pavadinęs jas „kvaternionais“.
20 skaidrė
21 skaidrė
4. Geometrinis kompleksinio skaičiaus vaizdavimas
22 skaidrė
Tokia plokštuma vadinama kompleksine. Tikrieji skaičiai ant jo užima horizontalią ašį, įsivaizduojamas vienetas vaizduojamas kaip vienas vertikalioje ašyje; dėl šios priežasties horizontalioji ir vertikalioji ašys atitinkamai vadinamos realiąja ir įsivaizduojama ašimis.
23 skaidrė
5. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma.
Kompleksinio skaičiaus a + bi abscisė a ir ordinatė b išreiškiamos moduliu r ir argumentu q. Formulės a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r yra vektoriaus ilgis (a+bi), q yra kampas, kurį jis sudaro su teigiama abscisių ašies kryptimi
24 skaidrė
Sudėtiniai skaičiai, nepaisant jų „klaidingumo“ ir negaliojimo, turi labai platų pritaikymą. Jie vaidina reikšmingą vaidmenį ne tik matematikoje, bet ir tokiuose moksluose kaip fizika ir chemija. Šiuo metu kompleksiniai skaičiai aktyviai naudojami elektromechanikos, kompiuterių ir kosmoso pramonėje
25 skaidrė
Todėl bet kurį kompleksinį skaičių galima pavaizduoti forma r(cos q + i sin q), kur r > 0 t.y. z=a+bi arba z=r*cos q + r*sin q Ši išraiška vadinama normaliąja trigonometrine forma arba, trumpai tariant, kompleksinio skaičiaus trigonometrine forma.
26 skaidrė
Ačiū už dėmesį!
Peržiūrėkite visas skaidres
1 skaidrė
2 skaidrė
N C Z C Q C R C C N- "natūralus" R- "tikrasis" C - "sudėtinis" Z - išskirtinis nulio vaidmuo "nulis" Q - "dalinys" ryšys (nes racionalūs skaičiai yra m/n) C R Q Z N
3 skaidrė
Minimalios sąlygos kompleksiniam skaičiui 1) Yra skaičius, kurio kvadratas = -1. 2) Kompleksinių skaičių aibėje yra visi realieji skaičiai. 3) Kompleksinių skaičių sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijas tenkina įprastas aritmetinių operacijų dėsnis.
4 skaidrė
Elementas, kurio kvadratas yra -1, vadinamas įsivaizduojamu vienetu. Žymima i (išvertus „įsivaizduojamas“, „įsivaizduojamas“) „Matematikai savo tyrimuose naudojo kompleksinius skaičius ir kompleksinio kintamojo funkcijas jau XVIII amžiuje. Didžiausio XVIII amžiaus matematiko Leonhardo Eulerio (1707 m.) nuopelnai. 1783), kuris pagrįstai laikomas vienu iš kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos kūrėjų. Žymiuose Eulerio darbuose buvo detaliai ištirtos kompleksinio kintamojo elementarios funkcijos. Po Eulerio buvo sukurti jo atrasti rezultatai ir metodai. , patobulinta ir susisteminta, o XIX amžiaus pirmoje pusėje sudėtingo kintamojo funkcijų teorija susiformavo kaip svarbiausia matematinės analizės šaka. skaičiai“ siekia XVI a. (J. Cardano, 1545). Iki XVIII amžiaus vidurio. atskirų matematikų (I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut) darbuose kompleksiniai skaičiai pasirodo tik retkarčiais. Pirmasis kompleksinių skaičių teorijos pristatymas rusų kalba priklauso L. Euleriui (Algebra, Sankt Peterburgas, 1763 m.; vėliau knyga buvo išversta į užsienio kalbas ir daug kartų perspausdinta): simbolį „i“ įvedė ir L. Euleris. Geometrinė kompleksinių skaičių interpretacija atsirado XVIII amžiaus pabaigoje. (danų Casparas Wesselis, 1799).
5 skaidrė
Kompleksinių skaičių operacijų sąlygos leidžia padauginti kompleksinius skaičius iš įsivaizduojamo vieneto (i). Toks produktas vadinamas grynai įsivaizduojamais skaičiais. Pavyzdžiui: i, 2i, -0,3i yra tik įsivaizduojami skaičiai. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 ARITMETINIŲ OPERACIJŲ TAISYKLĖS 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi ) =(ab)i 30 (ai)(bi)=abi2= -ab 40 0i =0
6 skaidrė
Suma a+bi (a ir b yra realieji skaičiai) a = 0, tada a+bi =0+bi=bi (įsivaizduojamasis) b = 0, tada a+bi =a+0=a (tikrieji) a nėra lygus nuliui, tada a+bi nėra nei realus, nei įsivaizduojamas. Tai sudėtingesnis sudėtinis skaičius. KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI YRA TIKRŲJŲ SKAIČIŲ IR GRYNŲ ĮVAIZDAMŲ SKAIČIŲ SUMMA Z=a + bi
Išstudijavus temą „Sudėtingi skaičiai
studentai privalo:
Žinoti:
algebrinės, geometrinės ir trigonometrinės formos
kompleksinis skaičius.
Galėti:
atlikti sudėtinių skaičių sudėties operacijas,
daugyba, atimta, dalyba, eksponencija, išskyrimas
kompleksinio skaičiaus šaknis;
konvertuoti kompleksinius skaičius iš algebrinės formos į
geometrinis ir trigonometrinis;
naudoti kompleksinių skaičių geometrinę interpretaciją;
paprasčiausiais atvejais suraskite sudėtingas lygčių šaknis su
realieji koeficientai.
Su kokiais skaičių rinkiniais esate susipažinę?
I. Pasiruošimas studijuoti naują medžiagąSu kokiais skaičių rinkiniais esate susipažinę?
N
Z
K
N Z Q R
R Skaitmeninė sistema
Natūralus
skaičiai, N
Sveikieji skaičiai, Z
Racionalieji skaičiai, Q
Tikrieji skaičiai,
R
Sudėtingas
skaičiai, C
Priimtina
algebrinė
operacijos
papildymas,
daugyba
Sudėjimas, atėmimas,
daugyba
Sudėjimas, atėmimas,
daugyba, dalyba
Sudėjimas, atėmimas,
daugyba, dalyba,
įsišaknijimas
neneigiami skaičiai
Visos operacijos
Iš dalies
priimtina
algebrinė
operacijos
Atimtis, dalyba,
šaknų ištraukimas
skyrius,
šaknų ištraukimas
Šaknų ištraukimas iš
neneigiamas
numeriai
Šaknų ištraukimas
iš savavališko
numeriai Minimalios sąlygos, kurių reikia laikytis
kompleksiniai skaičiai:
C1) Yra kvadratinė šaknis, t.y. egzistuoja
kompleksinis skaičius, kurio kvadratas lygus.
C2) Kompleksinių skaičių aibėje yra visi realieji
numeriai.
C3) Sudėjimo, atimties, daugybos ir dalybos operacijos
kompleksiniai skaičiai atitinka įprastus dėsnius
aritmetinės operacijos (kombinacinės, komutacinės,
paskirstymas).
Šių minimalių sąlygų įvykdymas leidžia mums nustatyti
visa kompleksinių skaičių aibė C.
Įsivaizduojami skaičiai
i = -1, i – menamasis vienetasi, 2i, -0,3i - grynai įsivaizduojami skaičiai
Aritmetinės operacijos su grynai įsivaizduojamais skaičiais
yra įvykdytos pagal C3 sąlygą.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
aš 7 i 2 i i
3
Apskritai, aritmetinių operacijų su grynai įsivaizduojamomis taisyklėmis
skaičiai yra:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
kur a ir b yra tikrieji skaičiai.
2
Sudėtingi skaičiai
Apibrėžimas 1. Kompleksinis skaičius yra sumatikrasis skaičius ir grynai įsivaizduojamas skaičius.
z a bi C a R, b R,
aš yra įsivaizduojamas vienetas.
a Re z , b Im z
Apibrėžimas 2. Vadinami du kompleksiniai skaičiai
lygios, jei jų tikrosios dalys yra lygios ir lygios
jų įsivaizduojamos dalys:
a bi c di a c, b d .
Kompleksinių skaičių klasifikacija
Sudėtingi skaičiaia+bi
Realūs skaičiai
b=o
Racionalus
numeriai
Neracionalus
numeriai
Įsivaizduojami skaičiai
b≠o
Įsivaizduojami skaičiai su
ne nulis
galioja
dalis
a ≠ 0, b ≠ 0.
Grynai
įsivaizduojamas
numeriai
a = 0, b ≠ 0.
Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi) (c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di) (c di) c d
c d
Konjuguoti kompleksinius skaičius
Apibrėžimas: jei išlaikomas kompleksinis skaičiustikroji dalis ir pakeiskite įsivaizduojamos dalies ženklą, tada
rezultatas yra kompleksinis skaičius, susietas su duotuoju.
Jei duotas kompleksinis skaičius žymimas raide z, tai
konjuguotas skaičius žymimas z:
z x yi z x yi
Iš visų kompleksinių skaičių tikrieji skaičiai (ir tik jie)
yra lygūs jų konjuguotiems skaičiams.
Skaičiai a + bi ir a - bi vadinami tarpusavyje konjuguotais
kompleksiniai skaičiai.
Konjuguotų skaičių savybės
1. Dviejų konjuguotų skaičių suma ir sandauga yra skaičiustikras.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi) (a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Dviejų kompleksinių skaičių sumos konjuguotas skaičius lygus
konjuguotų skaičių suma.
z1 z2 z1 z2
3. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumo konjuguotas skaičius lygus
skirtumas tarp duotųjų skaičių konjugatų.
z1 z2 z1 z2
4. Dviejų kompleksinių skaičių sandaugos konjuguotas skaičius lygus
duotųjų skaičių konjugatų sandauga.
z1z2 z1 z2
Konjuguotų skaičių savybės
5. Skaičius, susietas su kompleksinio skaičiaus z laipsniu,lygus skaičiaus konjuguoto su skaičiumi n laipsniui, t.y.
z n (z) n , n N
6. Dviejų kompleksinių skaičių konjuguotas skaičius iš
kurio daliklis lygus nuliui lygus daliniui
konjuguoti skaičiai, t.y.
a bi a bi
c di c di
Menamo vieneto galios
Pagal apibrėžimą pirmoji i galia yra1
pats
skaičius i, o antrasis laipsnis yra skaičius -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Didesnės i galios randamos taip
1
būdas:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 ir kt.
Akivaizdu, kad bet kuriam natūraliajam skaičiui n
i4n = 1;
i4n +2 = -1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.
Kompleksinių skaičių kvadratinių šaknų išskyrimas algebrine forma.
Apibrėžimas. Skaičius w vadinamas kvadratine šaknimi2
kompleksinis skaičius z, jei jo kvadratas lygus z: w z
Teorema. Tegul z=a+bi yra nenulinis kompleksinis skaičius.
Tada yra du tarpusavyje priešingi kompleksai
skaičiai, kurių kvadratai lygūs z. Jei b≠0, tai šie du skaičiai
išreikšta formule:
w
a2 b2 a
pasirašau b
2
a 2 b 2 a
, Kur
2
1 jei b 0
1 ženklas, jei b 0
0 jei b 0
Jei b 0, a 0 turime: w a , b 0, a 0 turime: w i a .
Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.
Sudėtinis skaičius z koordinačių plokštumojeatitinka tašką M(a, b).
Dažnai vietoj taškų lėktuve jie paimami
spindulio vektoriai
OM
Apibrėžimas: kompleksinio skaičiaus z = a + bi modulis
skambinkite neneigiamu numeriu a 2 b2
,
lygus atstumui nuo taško M iki pradžios
z a 2 b2
koordinates
cos
y
M (a, b)
b
φ
O
a
x
a
ir nuodėmė
b
a2 b2
a2 b2
kompleksinio skaičiaus argumentas
;
Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma
z r cos i nuodėmėkur φ yra kompleksinio skaičiaus argumentas,
r=
a 2 b2 - kompleksinio skaičiaus modulis,
cos
a
a2 b2
ir nuodėmė
b
a2 b2
Trigonometrine forma pateiktų kompleksinių skaičių dauginimas ir dalijimas
TeoremaJeigu
1.
z1 0, z2 0
Ir
z1 r1 cos 1 i sin 1, z2 r2 cos 2 i sin 2, tada:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
b)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
2 teorema (Moivre formulė).
Tegul z yra bet koks nulis
kompleksinis skaičius, n – bet koks sveikasis skaičius.
Tada
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n
Kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas.
Teorema. Bet kuriam natūraliajam skaičiui n iregzistuoja nenulinis kompleksinis skaičius z
n skirtingos n šaknies reikšmės.
Jeigu
z r cos i nuodėmė,
tada šios reikšmės išreiškiamos formule
2k
2k
wk r cos
yra
,
n
n
kur k 0,1,..., (n 1)