Aksiomatiniai metodai matematikoje. Aksiominė natūraliųjų skaičių sistemos konstrukcija Natūralaus skaičiaus apibrėžimas
Susitarimas dėl svetainės medžiagų naudojimo
Svetainėje paskelbtus kūrinius prašome naudoti tik asmeniniais tikslais. Draudžiama skelbti medžiagą kitose svetainėse.
Šį darbą (ir visus kitus) galima atsisiųsti nemokamai. Psichiškai galite padėkoti jos autoriui ir svetainės darbuotojams.
Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą
Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.
Panašūs dokumentai
P-adic sveikųjų skaičių sudėjimas ir daugyba, apibrėžiama kaip terminų sekų sudėjimas ir daugyba. Sveikųjų skaičių p-adinių skaičių žiedas, jų padalijimo savybių tyrimas. Šių skaičių paaiškinimas pristatant naujus matematinius objektus.
Kursinis darbas, pridėtas 2015-06-22
Kaip žmonės išmoko skaičiuoti, skaičių, skaičių ir skaičių sistemų atsiradimas. Daugybos lentelė ant „pirštų“: skaičių 9 ir 8 daugybos technika. Greito skaičiavimo pavyzdžiai. Būdai, kaip padauginti dviženklį skaičių iš 11, 111, 1111 ir kt. ir triženklį skaičių 999.
Kursinis darbas, pridėtas 2011-10-22
Naujas būdas dauginti skaičius. Skaičiavimo metu suformuotos skaičių matricos panašumas su trikampiu yra santykinis, bet vis tiek yra, ypač dauginant triženklius ir didesnius skaičius. trikampė matrica.
straipsnis, pridėtas 2005-02-06
santrauka, pridėta 2011-01-13
Pirminių skaičių reikšmės matematikoje tyrimo istorijos apibūdinimas, aprašant, kaip jie randami. Pietro Cataldi indėlis į pirminių skaičių teorijos raidą. Eratosteno pirminių skaičių lentelių sudarymo metodas. Natūraliųjų skaičių draugiškumas.
testas, pridėtas 2010-12-24
Neneigiamų realiųjų skaičių aibė kaip interpretuotas R poaibis. Dalijamumas dauginamosiose pusgrupėse. Pusgrupių skaitmeninių GCD ir LCM struktūra. Neneigiamų realiųjų skaičių su 0 ir 1 dauginamųjų pusgrupių tyrimas.
baigiamasis darbas, pridėtas 2008-05-27
Realiųjų skaičių savybės, jų vaidmuo matematikos raidoje. Realiųjų skaičių aibės konstravimo istoriniu aspektu analizė. Realiųjų skaičių teorijos konstravimo požiūriai pagal Kantor, Weierstrass, Dedekind. Jų mokymasis mokyklos kurse.
pristatymas, pridėtas 2011-10-09
Pirminiai matematikos elementai. Natūraliųjų skaičių savybės. Skaičių teorijos samprata. Bendrosios palyginimų ir algebrinių lygčių savybės. Aritmetiniai veiksmai su palyginimais. Pagrindiniai aritmetikos dėsniai. Aritmetinių operacijų rezultatų tikrinimas.
Kursinis darbas, pridėtas 2015-05-15
Polisemija
Polisemija arba žodžių dviprasmiškumas kyla dėl to, kad kalba yra sistema, kuri yra ribota, palyginti su begaline tikrovės įvairove, todėl, akademiko Vinogradovo žodžiais, „Kalba yra priversta paskirstyti nesuskaičiuojamą skaičių. reikšmes vienoje ar kitoje pagrindinių sąvokų antraštėje. (Vinogradovas „Rusų kalba“ 1947). Būtina atskirti skirtingą žodžių vartojimą viename leksikos-semantiniame variante ir tikrąjį žodžio skirtumą. Taigi, pavyzdžiui, žodis (das)Ol gali reikšti daugybę skirtingų aliejų, išskyrus karvių aliejų (kuriam yra žodis sviestas). Tačiau iš to neišplaukia, kad, žymint skirtingus aliejus, žodis Ol kiekvieną kartą turės skirtingą reikšmę: visais atvejais jo reikšmė bus ta pati, būtent aliejus (viskas, išskyrus karvę). Taip pat, pavyzdžiui, žodžio Tisch lentelė reikšmė, nepriklausomai nuo to, kokią lentelę šiuo konkrečiu atveju žymi šis žodis. Kitokia situacija, kai žodis Ol reiškia aliejų. Čia jau išryškėja ne alyvos panašumas pagal tepimo liniją su įvairių rūšių alyva, o ypatinga alyvos kokybė – degumas. Ir tuo pačiu metu žodžiai, žymintys įvairias kuro rūšis, jau koreliuos su žodžiu Ol: Kohl, Holz ir kt. Tai suteikia galimybę atskirti dvi reikšmes iš žodžio Ol (arba, kitaip tariant, du leksinius-semantinius variantus): 1) aliejus (ne gyvūnas) 2) aliejus.
Paprastai naujos reikšmės atsiranda perkeliant vieną iš esamų žodžių į naują objektą ar reiškinį. Taip formuojamos perdavimo vertės. Jie grindžiami arba objektų panašumu, arba vieno objekto ryšiu su kitu. Žinomi keli vardo perkėlimo tipai. Svarbiausia iš jų – metafora arba metonimija.
Metaforoje perkėlimas grindžiamas daiktų spalvos, formos, judėjimo ir pan. panašumu. Su visais metaforiniais pokyčiais išlieka tam tikras pirminės koncepcijos ženklas
homonimija
Žodžio polisemija yra tokia didelė ir daugialypė problema, kad su ja kažkaip susietos pačios įvairiausios leksikologijos problemos. Visų pirma, homonimijos problema taip pat liečiasi su šia problema kai kuriais jos aspektais.
Homonimai yra žodžiai, kurie skamba vienodai, bet turi skirtingas reikšmes. Homonimai kai kuriais atvejais atsiranda dėl jų polisemijos, kuri buvo sunaikinta. Tačiau homonimai gali atsirasti ir dėl atsitiktinių garsų sutapimų. Raktas, kuris atidaro duris, ir raktas - spyruoklė ar dalgis - šukuosena ir dalgis - žemės ūkio įrankis - šie žodžiai turi skirtingą reikšmę ir skirtingą kilmę, tačiau netyčia sutampa savo skambesiu.
Homonimai skiria leksinę (nurodo vieną kalbos dalį, pavyzdžiui, raktas – atidaryti spyną ir raktas – spyruoklę. šaltinis) morfologinę (nurodo skirtingas kalbos dalis, pvz., trys – skaitinė, trys – veiksmažodis. liepiamosios nuotaikos), leksiko-gramatinės, kurios susidaro konvertuojant, duotam žodžiui pereinant į kitą kalbos dalį. pavyzdžiui angl. žiūrėk ir žiūrėk. Anglų kalboje yra ypač daug leksinių ir gramatinių homonimų.
Homofonai ir homografai turi būti atskirti nuo homonimų. Homofonais vadinami skirtingi žodžiai, kurie, skirtingai rašydami, tarimu sutampa, pvz.: lankas – pieva, Seite – puslapis ir Saite – styga.
Homografai yra tokie skirtingi žodžiai, kurie sutampa rašyba, nors tariami nevienodai (tiek garso kompozicijos, tiek kirčio vietos žodyje prasme), pavyzdžiui Pilis - pilis.
Sinonimas
Sinonimai yra panašios reikšmės, bet skirtingai skambantys žodžiai, išreiškiantys tos pačios sąvokos atspalvius.
Yra trys sinonimų tipai:
1. Konceptualus arba ideografinis. Jie skiriasi vienas nuo kito leksine prasme. Šis skirtumas pasireiškia įvairiais skiriamojo ženklo laipsniais (šaltas - šaltas, stiprus, galingas, galingas), jo žymėjimo pobūdžiu (dygsniuota striukė - dygsniuota striukė - dygsniuota striukė), išreikštos koncepcijos apimtimi (baneris - vėliava, įžūlus - paryškintas), pagal leksinių vertybių ryšio laipsnį (ruda - ruda, juoda - juoda).
2. Sinonimai yra stilistiniai arba funkciniai. Jie skiriasi vienas nuo kito naudojimo sfera, pavyzdžiui, akys - akys, veidas - veidas, kakta - kakta. Sinonimai emocinis – vertinamasis. Šie sinonimai atvirai išreiškia kalbėtojo požiūrį į nurodytą asmenį, objektą ar reiškinį. Pavyzdžiui, vaikas gali būti iškilmingai vadinamas vaiku, meiliai berniuku ir mažu berniuku, niekinamai berniuku ir čiulptuku, o taip pat pabrėžtinai - niekinamai šuniuku, čiulptuku, durniu.
3. Antonimai - žodžių junginiai, kurie yra priešingi savo leksine reikšme, pvz.: viršuje - apačioje, balta - juoda, kalbėkite - tylėkite, garsiai - tyliai.
Antonimija
Yra trys antonimų tipai:
1. Laipsniškų ir suderintų priešybių antonimai, pavyzdžiui, balta – juoda, tyli – garsiai, artima – tolimas, malonus – blogis ir pan. Šie antonimai turi bendrą reikšmę, o tai leidžia jiems prieštarauti. Taigi juodos ir baltos spalvos sąvokos reiškia priešingas spalvų sąvokas.
2. Papildomų ir konvertuojančių priešybių Antonimai: karas – taika, vyras – žmona, vedęs – vienišas, gali – negali, uždaryti – atviras.
3. Dichotominio sąvokų skirstymo antonimai. Dažnai tai yra tie patys šakniniai žodžiai: liaudiškas – prieš tautą, legalus – nelegalus, humaniškas – nežmoniškas.
Palūkanos taip pat yra vadinamasis. vidinėje žodžio antonimijoje, kai supriešinamos žodžių, turinčių tą patį materialųjį apvalkalą, reikšmės. Pavyzdžiui, rusų kalboje veiksmažodis kam nors skolinti reiškia „paskolinti“, o iš ko nors skolintis jau reiškia iš ko nors skolintis. Tarpžodinė reikšmių priešprieša vadinama enantiosemija.
6. Natūraliųjų skaičių sistemos aksiomatinė konstravimas. Aksiominis matematinės teorijos konstravimo metodas. Reikalavimai aksiomų sistemai: nuoseklumas, savarankiškumas, išsamumas. Peano aksiomatika. Natūralaus skaičiaus samprata iš aksiominių pozicijų. Peano aksiomų sistemos modeliai. Natūraliųjų skaičių sudėjimas ir daugyba iš aksiomatinių padėčių. Natūraliųjų skaičių aibės tvarka. Natūraliųjų skaičių aibės savybės. Natūraliųjų skaičių aibės atėmimas ir padalijimas iš aksiominių padėčių. Matematinės indukcijos metodas. Nulio įvedimas ir neneigiamų sveikųjų skaičių aibės sudarymas. Dalybos teorema su liekana.
Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
Skaičius – tai apibrėžto kiekio išraiška.
Natūralusis skaičius neribotai besitęsiančios sekos elementas.
Natūralūs skaičiai (natūralūs skaičiai) – skaičiai, kurie natūraliai atsiranda skaičiuojant (tiek surašymo, tiek skaičiavimo prasme).
Yra du natūraliųjų skaičių apibrėžimo būdai – skaičiai, naudojami:
daiktų surašymas (numeravimas) (pirmas, antras, trečias, ...);
prekių skaičiaus žymėjimas (be prekių, viena prekė, dvi prekės, ...).
Aksioma - tai yra pagrindiniai konkrečios teorijos išeities taškai (savaime aiškūs principai), iš kurių dedukcija, tai yra grynai loginėmis priemonėmis, išgaunamas visas likęs šios teorijos turinys.
Skaičius, turintis tik du daliklius (pats skaičius ir vienas), vadinamas - paprastas skaičius.
Sudėtinis skaičius yra skaičius, turintis daugiau nei du daliklius.
§2. Natūralaus skaičiaus aksiomatika
Natūralūs skaičiai gaunami skaičiuojant objektus ir matuojant dydžius. Bet jei matavimo metu atsiranda kitų nei natūraliųjų skaičių, tada skaičiavimas veda tik į natūraliuosius skaičius. Norint skaičiuoti, reikia skaičių sekos, kuri prasideda vienu ir leidžia pereiti nuo vieno skaičiaus prie kito ir tiek kartų, kiek reikia. Kitaip tariant, mums reikia natūralios serijos segmento. Todėl sprendžiant natūraliųjų skaičių sistemos pagrindimo problemą, pirmiausia reikėjo atsakyti į klausimą, kas yra skaičius kaip natūraliosios eilutės elementas. Atsakymas į tai buvo pateiktas dviejų matematikų darbuose - Vokietis Grassmannas ir italas Peano. Jie pasiūlė aksiomatiką, kurioje natūralusis skaičius buvo pateisinamas kaip neribotai besitęsiančios sekos elementas.
Natūraliųjų skaičių sistemos aksiomatinė konstrukcija atliekama pagal suformuluotas taisykles.
Penkios aksiomos gali būti vertinamos kaip aksiominis pagrindinių sąvokų apibrėžimas:
1 yra natūralusis skaičius;
Kitas natūralusis skaičius yra natūralusis skaičius;
1 nėra po jokiu natūraliu skaičiumi;
Jei natūralusis skaičius a seka natūralusis skaičius b o natūraliajam skaičiui Su, tada b ir Su identiškas;
Jei kuris nors teiginys įrodytas 1 ir jei iš prielaidos, kad jis teisingas natūraliajam skaičiui n, iš to išplaukia, kad tai galioja toliau nurodytiems dalykams n natūralusis skaičius, tada šis teiginys galioja visiems natūraliems skaičiams.
Vienetas yra pirmasis natūralios serijos numeris , taip pat vienas iš skaitmenų dešimtainėje skaičių sistemoje.
Manoma, kad bet kurios kategorijos vienetas su tuo pačiu ženklu (gana arti šiuolaikinio) pirmą kartą pasirodė Senovės Babilone maždaug 2 tūkstančius metų prieš Kristų. e.
Senovės graikai, kurie skaičiais laikė tik natūraliuosius skaičius, kiekvieną iš jų laikė vienetų rinkiniu. Pačiam vienetui skirta ypatinga vieta: jis nebuvo laikomas skaičiumi.
I. Niutonas rašė: „...skaičiumi mes turime omenyje ne tiek vienetų rinkinį, kiek abstraktų vieno kiekio santykį su kitu kiekiu, kurį sutartinai priimame kaip vienetą“. Taigi vienetas jau užėmė deramą vietą tarp kitų skaičių.
Aritmetinės operacijos su skaičiais turi įvairių savybių. Juos galima apibūdinti žodžiais, pavyzdžiui: „Suma nekinta pasikeitus terminų vietoms“. Galima rašyti raidėmis: a+b = b+a. Galima išreikšti konkrečiais terminais.
Mes dažnai taikome pagrindinius aritmetikos dėsnius iš įpročio, to nesuvokdami:
1) komutacinis dėsnis (komutatyvumas), - skaičių sudėties ir daugybos savybė, išreikšta tapatybėmis:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) asociatyvinis dėsnis (asociatyvumas), - skaičių sudėties ir daugybos savybė, išreikšta tapatybėmis:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) paskirstymo dėsnis (distributyvumas), - savybė, jungianti skaičių sudėjimą ir daugybą ir išreiškiama tapatybėmis:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Įrodžius komutacinius, asociatyvinius ir skirstomuosius (sudėties atžvilgiu) daugybos veiksmo dėsnius, tolesnis aritmetinių operacijų su natūraliaisiais skaičiais teorijos konstravimas nesukelia esminių sunkumų.
Šiuo metu mintyse ar ant lapo atliekame tik paprasčiausius skaičiavimus, vis dažniau sudėtingesnius skaičiavimo darbus patikėdami skaičiuotuvams, kompiuteriams. Tačiau visų kompiuterių – paprastų ir sudėtingų – veikimas pagrįstas paprasčiausiu veiksmu – natūraliųjų skaičių pridėjimu. Pasirodo, sudėtingiausius skaičiavimus galima sumažinti iki pridėjimo, tik šią operaciją reikia atlikti daugybę milijonų kartų.
Aksiomatiniai metodai matematikoje
Viena iš pagrindinių matematinės logikos raidos priežasčių yra plačiai paplitusi aksiominis metodas kuriant įvairias matematines teorijas, pirmiausia geometriją, o paskui aritmetiką, grupių teoriją ir kt. Aksiomatinis metodas gali būti apibrėžiama kaip teorija, kuri remiasi iš anksto parinkta neapibrėžtų sąvokų ir santykių tarp jų sistema.
Kuriant aksiomatinę matematikos teoriją, preliminariai pasirenkama tam tikra neapibrėžtų sąvokų ir santykių tarp jų sistema. Šios sąvokos ir santykiai vadinami pagrindiniais. Toliau pristatomi aksiomos tie. pagrindinės nagrinėjamos teorijos nuostatos, priimtos be įrodymų. Visas tolimesnis teorijos turinys logiškai išvedamas iš aksiomų. Pirmą kartą aksiomatinės matematinės teorijos konstravimo ėmėsi Euklidas, kurdamas geometriją.
Kuriant aksiomatinę bet kurią matematinę teoriją, tam tikra reglamentas:
kai kurios teorijos sąvokos pasirenkamos kaip pagrindinės ir priimamos be apibrėžimo;
kiekvienai teorijos sąvokai, kurios nėra pagrindinių sąraše, suteikiamas apibrėžimas;
formuluojamos aksiomos – sakiniai, kurie šioje teorijoje priimami be įrodymų; jie atskleidžia pagrindinių sąvokų savybes;
· turi būti įrodytas kiekvienas teorijos sakinys, kurio nėra aksiomų sąraše; tokie teiginiai vadinami teoremomis ir įrodomi remiantis aksiomomis ir teremomis.
Kuriant aksiomatinę teoriją, visi teiginiai įrodymo būdu išvedami iš aksiomų.
Todėl aksiomų sistemai taikomos specialios reikalavimai:
Nuoseklumas (aksiomų sistema vadinama nuoseklia, jei iš jos neįmanoma logiškai išvesti dviejų vienas kitą paneigiančių sakinių);
nepriklausomumas (aksiomų sistema vadinama nepriklausoma, jei nė viena šios sistemos aksioma nėra kitų aksiomų pasekmė).
Aibė su joje pateiktu ryšiu vadinama duotosios aksiomų sistemos modeliu, jeigu joje tenkinamos visos šios sistemos aksiomos.
Yra daug būdų, kaip sukurti natūraliųjų skaičių aibės aksiomų sistemą. Pagrindinei sąvokai galima paimti, pavyzdžiui, skaičių sumą arba eilės santykį. Bet kuriuo atveju būtina nurodyti aksiomų, apibūdinančių pagrindinių sąvokų savybes, sistemą.
Pateiksime aksiomų sistemą, perimdami pagrindinę sudėjimo operacijos sampratą.
Netuščias komplektas N vadinama natūraliųjų skaičių aibe, jei operacija (a; b) → a + b, vadinamas papildymu ir turintis šias savybes:
1. sudėjimas yra komutacinis, t.y. a + b = b + a.
2. papildymas yra asociatyvus, t.y. (a + b) + c = a + (b + c).
4. bet kuriame rinkinyje BET, kuris yra rinkinio poaibis N, kur BET yra toks skaičius, kad visi Ha, yra lygūs a+b, kur bN.
Visai natūraliųjų skaičių aritmetikai sukurti pakanka 1–4 aksiomų. Bet naudojant tokią konstrukciją, nebegalima pasikliauti baigtinių aibių savybėmis, kurios neatsispindi šiose aksiomose.
Paimkime pagrindine sąvoka santykį „tiesiogiai sekti...“, apibrėžtą netuščioje aibėje N. Tada natūralioji skaičių serija bus aibė N, kurioje yra apibrėžtas santykis „tiesiogiai sekti“, o visi N elementai bus vadinami natūraliaisiais skaičiais ir galioja šie: Peano aksiomos:
AXIOMA 1.
gausybėjeNyra elementas, kuris ne iš karto eina po bet kurio šio rinkinio elemento. Pavadinsime jį vienetu ir pažymime simboliu 1.
AXIOMA 2.
Kiekvienam elementui a išNyra vienas elementas a iškart po a.
AXIOMA 3.
Kiekvienam elementui a išNyra daugiausia vienas elementas, iškart po jo a.
AXOIM 4.
Bet kuris aibės poaibis MNsutampa suN, jei jis turi savybių: 1) 1 yra M; 2) iš to, kad a yra M, išplaukia, kad a yra ir M.
Daug N, elementams, kuriems nustatytas ryšys „iš karto sekti...“, tenkinantis 1–4 aksiomas, vadinamas natūraliųjų skaičių aibė , o jo elementai yra natūraliuosius skaičius.
Jei kaip rinkinys N pasirinkti tam tikrą aibę, kurioje pateikiamas konkretus santykis „tiesiogiai sekti...“, tenkinant 1–4 aksiomas, tada gauname skirtingą interpretacijos (modeliai) duota aksiomų sistemos.
Standartinis Peano aksiomų sistemos modelis yra skaičių serija, atsiradusi visuomenės istorinės raidos procese: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Bet kuri skaičiuojama rinkinys gali būti Peano aksiomų modelis.
Pavyzdžiui, I, II, III, III, ...
oi oi oi oi...
vienas du trys keturi, …
Panagrinėkime aibių seką, kurioje aibė (oo) yra pradinis elementas, o kiekviena paskesnė aibė gaunama iš ankstesnės, priskiriant dar vieną apskritimą (15 pav.).
Tada N yra aibė, susidedanti iš aprašytos formos aibių, ir tai yra Peano aksiomų sistemos modelis.
Tiesa, daugelyje N yra elementas (oo), kuris ne iš karto seka po bet kurio duotosios aibės elemento, t.y. galioja aksioma 1. Kiekvienam rinkiniui BET nagrinėjamo rinkinio yra unikalus rinkinys, kuris gaunamas iš BET pridedant vieną ratą, t.y. Aksioma galioja 2. Kiekvienam rinkiniui BET yra daugiausia vienas rinkinys, iš kurio susidaro aibė BET pridedant vieną ratą, t.y. Aksioma galioja 3. Jei MN ir žinoma, kad rinkinys BET esantis M, iš to seka, kad aibė, kurioje yra vienu apskritimu daugiau nei aibėje BET, taip pat yra M, tada M =N, o tai reiškia, kad 4 aksioma yra patenkinta.
Natūralaus skaičiaus apibrėžime negalima praleisti nė vienos aksiomos.
Nustatykime, kuris iš rinkinių, parodytų Fig. 16 yra Peano aksiomų modelis.
|
Sprendimas. 16 paveiksle a) parodyta aibė, kurioje tenkinamos aksiomos 2 ir 3. Iš tikrųjų kiekvienam elementui yra unikalus elementas, kuris iškart po jo seka, ir yra unikalus elementas, po kurio jis seka. Tačiau 1 aksioma šioje aibėje negalioja (4 aksioma neturi prasmės, nes aibėje nėra elemento, kuris iškart nesektų kito). Todėl šis rinkinys nėra Peano aksiomų modelis.
16 paveiksle b) parodyta aibė, kurioje tenkinamos 1, 3 ir 4 aksiomos, bet už elemento a iš karto seka du elementai, o ne vienas, kaip reikalaujama 2 aksiomoje. Todėl ši aibė nėra Peano aksiomų modelis.
Ant pav. 16 c) parodyta aibė, kurioje tenkinamos 1, 2, 4 aksiomos, bet elementas Su iš karto seka du elementai. Todėl šis rinkinys nėra Peano aksiomų modelis.
Ant pav. 16 d) rodo aibę, kuri tenkina 2, 3 aksiomas, o jei pradinį elementą imsime skaičių 5, tai ši aibė tenkins 1 ir 4 aksiomas. Tai reiškia, kad šioje aibėje kiekvienam elementui iš karto yra vienas. po jo, ir yra vienas elementas, kuriuo jis seka. Taip pat yra elementas, kuris ne iš karto eina po bet kurio šio rinkinio elemento, tai yra 5 , tie. Galioja aksioma 1. Atitinkamai galioja ir aksioma 4. Todėl ši aibė yra Peano aksiomų modelis.
Naudodami Peano aksiomas galime įrodyti daugybę teiginių, pavyzdžiui, įrodome, kad visų natūraliųjų skaičių nelygybė x x.
Įrodymas. Pažymėti BET natūraliųjų skaičių rinkinys, kuriam a a. Skaičius 1 priklauso BET, nes jis neseka jokiu skaičiumi iš N, todėl savaime nesilaikoma: 1 1. Leisti aa, tada a a. Pažymėti a per b. Remiantis 3 aksioma, ab, tie. bb ir bA.
Kuriant aksiomatinę bet kurią teoriją, laikomasi tam tikrų taisyklių:
kai kurios teorijos sąvokos pasirenkamos kaip pagrindinis, ir yra priimami be apibrėžimo ir vadinami neapibrėžtais.
formuluojamos aksiomos – sakiniai, kurie šioje teorijoje priimami be įrodymų; jie atskleidžia pagrindinių sąvokų savybes;
pateikiama kiekviena teorijos samprata, kurios nėra pagrindinių sąraše apibrėžimas, jis paaiškina jo prasmę naudodamas pagrindines ir ankstesnes sąvokas;
turi būti įrodytas kiekvienas teorijos sakinys, kurio nėra aksiomų sąraše; tokie teiginiai vadinami teoremomis ir įrodo juos remiantis aksiomomis ir teoremomis, esančiomis prieš nagrinėjamą.
Kuriant aksiomatinę teoriją, iš esmės visi teiginiai išvedami įrodymais iš aksiomų. Todėl aksiomų sistemai keliami specialūs reikalavimai. Visų pirma, jis turi būti nuoseklus ir nepriklausomas.
Aksiomų sistema vadinama nuoseklus jei iš jo logiškai negalima išvesti dviejų vienas kitą paneigiančių sakinių.
Nuosekli aksiomų sistema vadinama nepriklausomas jei nė viena šios sistemos aksioma nėra kitų šios sistemos aksiomų pasekmė.
Aksiomos, kaip taisyklė, yra šimtmečių senumo praktinės žmonių veiklos atspindys, ir tai lemia jų pagrįstumą.
Kaip pagrindinė aksiomatinės natūraliųjų skaičių aritmetikos konstravimo sąvoka, imamas santykis „tiesiogiai sekti“, pateiktas netuščioje aibėje. N. Taip pat žinomos aibės, aibės elemento ir kitos aibės teorinės sąvokos, taip pat logikos taisyklės.
Elementas iškart po elemento a, paskirti a". Santykio „tiesiogiai sekti“ esmė atskleidžiama šiose aksiomose, kurias pasiūlė italų matematikas J. Peano 1891 m.
1 aksioma. gausybėje N yra elementas, kuris ne iš karto eina po bet kurio šio rinkinio elemento. Jis vadinamas vienetu ir žymimas simboliu 1.
2 aksioma. Kiekvienam elementui a iš N yra tik vienas elementas a“, iškart po to a.
3 aksioma. Kiekvienam elementui a iš N iš karto eina daugiausia vienas elementas a.
Aksioma 4. (Indukcijos aksioma). Bet koks poaibis M rinkiniai N sutampa su N, jei turi šias savybes: 1) 1 yra M; 2) nuo to, kad bet kuris elementas a esantis M, iš to seka, kad ir a" esantis M.
Suformuluotos aksiomos dažnai vadinamos Peano aksiomomis, o ketvirtoji aksioma – indukcijos aksioma.
Parašykime šias aksiomas simboline forma.
BET 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
BET 2 )( a N)( !b N)a"=b
BET 3 ) ( a,b,Su N)с = a" с = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M=N
Naudojant „iškart sekti“ ryšį ir Peano aksiomas 1-4, galima pateikti tokį natūraliojo skaičiaus apibrėžimą.
1 apibrėžimas. Aibė N., kurios elementams nustatomas santykis „tuoj seka“, kuri tenkina 1-4 aksiomas, vadinama natūraliųjų skaičių aibe, o jos elementai. natūraliuosius skaičius.
___________________________________________________________________
2 apibrėžimas . Jei natūralusis skaičiusbiš karto po skaičiaus a, tada skaičius a vadinamas prieš pat skaičių (prieš jį).b.
______________________________________________________________________________________________
1 teorema. Vienetas neturi ankstesnio natūraliojo skaičiaus (teoremos tiesa iš karto išplaukia iš aksiomos BET 1 ).
2 teorema. Kiekvienas natūralusis skaičius a, kitoks nei vienas turi ankstesnį skaičių b , toks, kad b " = a.
Natūralaus skaičiaus apibrėžimas nieko nepasako apie aibės elementų prigimtį N. Taigi ji gali būti bet kas. Standartinis Peano aksiomų sistemos modelis yra skaičių serija, atsiradusi visuomenės istorinės raidos procese:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Kiekvienas šios serijos numeris turi savo pavadinimą ir pavadinimą, kurį laikysime žinomu.
Svarbu pažymėti, kad natūraliojo skaičiaus apibrėžime negalima praleisti nė vienos aksiomos.
1 a b c d
…
b
Ryžiai. 16 Ryžiai. 17
1 užduotis.
Paveiksluose kiekvienas elementas yra sujungtas rodykle su po jo esančiu elementu.
Nustatykite, kurios iš 15 ir 16 paveiksluose parodytų aibių yra Peano aksiomų sistemos modeliai.
1. Pav. 16 parodyta aibė, kurioje 2 ir 3 aksiomos galioja, bet 1 aksioma negalioja.
4 aksioma nebus prasminga, nes rinkinyje nėra elemento, kuris iškart nesektų kito.
2. Ant pav. 17 parodyta aibė, kurioje įvykdytos aksiomos 1, 2, 3, bet netenkinama 4 aksioma - taškų, esančių ant spindulio, aibėje yra 1, o kartu su kiekvienu skaičiumi yra iškart po jo esantis skaičius, bet jo nėra sutampa su visais nustatytais taškais, parodytais paveikslėlyje. Išvada: nė vienas iš rinkinių, pavaizduotų Fig. 16 ir 17 negali būti laikomi Peano aksiomų sistemos modeliais.
2 užduotis.
Įrodykime, kad bet kuris natūralusis skaičius skiriasi nuo iškart po jo einančio natūraliojo skaičiaus, t.y. ( X )X X"
Įrodymas
Mes naudojame indukcijos aksiomą - BET 4 .
Leisti M=(x/x , X X"}, nes . X M N.
Įrodymas susideda iš dviejų dalių.
Įrodykime tai 1 M, tie. 1 1" . Tai išplaukia iš BET 1 .
Įrodykime tai X M=> X" M. Leisti X M tie. X X".Įrodykime tai X" M, t.y. X" (X")". Ir aksiomos BET 3 turėtų X" (X")". Tikrai, pagal BET 3 , jei x" = (x")" tada x = x", ir kadangi pagal indukcijos teiginį x M, tada x X", todėl prieiname prie prieštaravimo. Reiškia, X" (X")" , X" M.
Čia taikoma prieštaravimo taisyklė (PC), kuri plačiai naudojama įrodymuose „prieštaravimu“.
Taigi mes gavome:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, t.y. tvirtinimas x x“ yra teisingas bet kuriam natūraliajam skaičiui.
Testo klausimai
Kokia yra aksiomatinės teorijos konstrukcijos esmė?
Kokios yra pagrindinės mokyklinio planimetrijos kurso sąvokos. Prisiminkite šio kurso aksiomų sistemą. Kokios sąvokų savybės juose aprašomos?
Suformuluokite ir simboline forma užrašykite Peano aksiomas. "
Suformuluokite aksiomatinį natūraliojo skaičiaus apibrėžimą.
Tęskite natūraliojo skaičiaus apibrėžimą: „Natūralusis skaičius yra aibės elementas N,... » .
Pateikite pavyzdžių iš pradinių klasių matematikos vadovėlių, kuriuose:
a) naujas (mokiniams) skaičius veikia kaip gautos natūraliosios serijos segmento tęsinys;
b) nustatoma, kad po kiekvieno natūraliojo skaičiaus iškart eina tik vienas kitas natūralusis skaičius.
Pratimai
285. Aibės elementai yra brūkšnelių grupės (I, II, III, IIII,...). Ar šis rinkinys atitinka Peano aksiomas? Kaip apibrėžta čia, santykis „nedelsiant sekti“. Apsvarstykite tuos pačius aibės klausimus (0, 00, 000, 0000,...).
Ryžiai. 17
286. 17 pav. a) kiekvienas elementas yra sujungtas rodykle su po jo esančiu elementu. Ar aibę galima laikyti Peano aksiomų sistemos modeliu? Tie patys klausimai aibėms 17 pav. b), c), d).
287. Ar skaičių aibė (1, 2, 3 P,...), jei toks santykis jame apibrėžtas taip:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Pateikite pradinių klasių matematikos vadovėlių užduočių pavyzdžių, kuriuose užduočių teisingumas paaiškinamas Peano aksiomomis.
Aksiominis metodas matematikoje.
Natūralių eilučių aksiomatinės teorijos pagrindinės sąvokos ir ryšiai. Natūralaus skaičiaus apibrėžimas.
Natūralių skaičių sudėjimas.
Natūraliųjų skaičių daugyba.
Natūraliųjų skaičių aibės savybės
Natūraliųjų skaičių atėmimas ir dalyba.
Aksiominis metodas matematikoje
Kuriant aksiomatinę bet kurią matematinę teoriją, tam tikros taisyklės:
1. Kai kurios teorijos sąvokos pasirenkamos kaip majoras ir priimtas be apibrėžimo.
2. Suformuluota aksiomos, kurios šioje teorijoje priimamos be įrodymų, jos atskleidžia pagrindinių sąvokų savybes.
3. Pateikiama kiekviena teorijos samprata, kurios nėra pagrindinių sąvokų sąraše apibrėžimas, jis paaiškina jo prasmę naudodamas pagrindinę ir ankstesnę šią sąvoką.
4. Kiekvienas teorijos sakinys, kurio nėra aksiomų sąraše, turi būti įrodytas. Tokie pasiūlymai vadinami teoremos ir įrodykite juos remdamiesi aksiomomis ir teoremomis, esančiomis prieš nagrinėjamą.
Aksiomų sistema turėtų būti tokia:
a) nuoseklus: turime būti tikri, kad, darydami įvairiausias išvadas iš pateiktos aksiomų sistemos, niekada nepasieksime prieštaravimo;
b) nepriklausomas: jokia aksioma neturėtų būti kitų šios sistemos aksiomų pasekmė.
in) užbaigti, jei jo rėmuose visada įmanoma įrodyti arba pateiktą teiginį, arba jo neigimą.
Euklido geometrijos pristatymas jo „Elementuose“ (III a. pr. Kr.) gali būti laikomas pirmąja aksiomatinės teorijos konstravimo patirtimi. Reikšmingą indėlį kuriant aksiomatinį geometrijos ir algebros konstravimo metodą padarė N.I. Lobačevskis ir E. Galois. pabaigoje – XIX a Italų matematikas Peano sukūrė aritmetikos aksiomų sistemą.
Natūraliųjų skaičių aksiomatinės teorijos pagrindinės sąvokos ir ryšiai. Natūralaus skaičiaus apibrėžimas.
Kaip pagrindinė (neapibrėžta) sąvoka tam tikrame rinkinyje N yra pasirinktas požiūris , taip pat aibių teorines sąvokas, taip pat logikos taisykles.
Elementas iškart po elemento a, paskirti a".
Santykis „iš karto seka“ atitinka šias aksiomas:
Peano aksiomos:
1 aksioma. gausybėje N yra elementas, tiesiogiai ne šalia bet kuriam šio rinkinio elementui. Paskambinkime jam vienetas ir simbolizuoja 1 .
2 aksioma. Kiekvienam elementui a iš N yra tik vienas elementas a" iškart po to a .
3 aksioma. Kiekvienam elementui a iš N iš karto eina daugiausia vienas elementas a .
4 aksioma. Bet koks poaibis M rinkiniai N sutampa su N , jei jis turi savybių: 1) 1 esantis M ; 2) nuo ko a esantis M , iš to seka, kad ir a" esantis M.
1 apibrėžimas. Daug N , kurio elementams nustatomi santykiai "tiesiogiai sekite», kuri tenkina 1-4 aksiomas, vadinama natūraliųjų skaičių aibė, o jo elementai yra natūraliuosius skaičius.
Šis apibrėžimas nieko nesako apie rinkinio elementų prigimtį N . Taigi ji gali būti bet kas. Renkantis kaip rinkinį N tam tikras rinkinys, kuriame pateikiamas tam tikras „tiesiogiai sekantis“ santykis, atitinkantis 1-4 aksiomas, gauname šios sistemos modelis aksiomos.
Standartinis Peano aksiomų sistemos modelis – tai visuomenės istorinės raidos procese atsiradusių skaičių eilė: 1,2,3,4, ... Natūralioji eilutė prasideda skaičiumi 1 (aksioma 1); po kiekvieno natūraliojo skaičiaus iškart seka vienas natūralusis skaičius (2 aksioma); kiekvienas natūralusis skaičius iš karto seka daugiausia po vieną natūraliąjį skaičių (3 aksioma); pradedant nuo skaičiaus 1 ir pereinant prie natūraliųjų skaičių, einančių iškart vienas po kito, gauname visą šių skaičių aibę (4 aksioma).
Taigi, mes pradėjome aksiomatinę natūraliųjų skaičių sistemos konstravimą pasirinkdami pagrindinį „tiesiogiai sekti“ santykiai ir jo savybes apibūdinančios aksiomos. Tolesnis teorijos kūrimas apima žinomų natūraliųjų skaičių savybių ir operacijų su jais svarstymą. Jie turėtų būti atskleisti apibrėžimuose ir teoremose, t.y. grynai loginiu būdu išvestas iš santykio „tuoj pat sekti“ ir 1-4 aksiomos.
Pirmoji sąvoka, kurią pristatome po natūraliojo skaičiaus apibrėžimo, yra požiūris "iš karto prieš" , kuri dažnai naudojama svarstant natūralių serijų savybes.
2 apibrėžimas. Jei natūralusis skaičius b tiesiogiai seka natūralusis skaičius a, tą skaičių a paskambino iš karto prieš(arba ankstesnis) numeris b .
Santykis „prieš“ buvo šalia esančios nuosavybės.
1 teorema. Vienas neturi ankstesnio natūraliojo skaičiaus.
2 teorema. Kiekvienas natūralusis skaičius a, išskyrus 1, prieš tai yra vienas skaičius b, toks kad b"= a.
Aksiomatinė natūraliųjų skaičių teorijos konstrukcija nenagrinėjama nei pradinėje, nei vidurinėje mokykloje. Tačiau tos santykio „tiesiogiai seka“ savybės, kurios atsispindi Peano aksiomose, yra pradinio matematikos kurso tyrimo objektas. Jau pirmoje klasėje, svarstant pirmojo dešimtuko skaičius, paaiškėja, kaip galima gauti kiekvieną skaičių. Naudojami terminai „sekti“ ir „prieš“. Kiekvienas naujas skaičius veikia kaip tiriamos natūralios skaičių serijos segmento tęsinys. Mokiniai įsitikinę, kad po kiekvieno skaičiaus seka kitas, o be to, tik vienas, kad natūralioji skaičių serija yra begalinė.
Natūralių skaičių sudėjimas
Pagal aksiomatinės teorijos konstravimo taisykles natūraliųjų skaičių sudėjimo apibrėžimas turi būti įvestas naudojant tik santykį "tiesiogiai sekti", ir sąvokas "natūralus skaičius" ir "ankstesnis numeris".
Pradėkime prie papildymo apibrėžimo su šiais svarstymais. Jei kuriam nors natūraliam skaičiui a pridėkite 1, gausime skaičių a“, iškart po to a, t.y. a+ 1= a" ir todėl gauname taisyklę pridėti 1 prie bet kurio natūraliojo skaičiaus. Bet kaip pridėti prie skaičiaus a natūralusis skaičius b, skiriasi nuo 1? Panaudokime tokį faktą: jei žinoma, kad 2 + 3 = 5, tai suma 2 + 4 = 6, kuri iškart seka skaičių 5. Taip atsitinka todėl, kad sumoje 2 + 4 antrasis narys yra skaičius iš karto einantis po skaičiumi 3. Taigi 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Apskritai, mes turime , .
Šiais faktais grindžiamas natūraliųjų skaičių sudėjimo apibrėžimas aksiomatinėje teorijoje.
3 apibrėžimas. Natūralių skaičių sudėjimas yra algebrinė operacija, turinti šias savybes:
Skaičius a + b paskambino skaičių suma a ir b , ir patys skaičiai a ir b - terminai.