Kurios iš tiesių porų plokštumoje yra lygiagrečios. Lygiagrečios tiesės plokštumoje ir erdvėje. Asmeninės informacijos apsauga
![Kurios iš tiesių porų plokštumoje yra lygiagrečios. Lygiagrečios tiesės plokštumoje ir erdvėje. Asmeninės informacijos apsauga](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Plokštumoje tiesės vadinamos lygiagrečios, jei jos neturi bendrų taškų, tai yra, nesikerta. Norėdami nurodyti lygiagretumą, naudokite specialią piktogramą || (lygiagrečios tiesės a || b).
Tiesėms, gulinčioms erdvėje, neužtenka reikalavimo, kad nebūtų bendrų taškų – kad jos būtų lygiagrečios erdvėje, jos turi priklausyti tai pačiai plokštumai (kitaip bus iškreiptos).
Nereikia eiti toli ieškant lygiagrečių linijų pavyzdžių, jos mus lydi visur, kambaryje – sienos susikirtimo su lubomis ir grindimis linijos, užrašų knygelės lape yra priešingi kraštai ir pan.
Visiškai akivaizdu, kad turėdama dvi lygiagrečias linijas ir trečią lygiagrečią vienai iš pirmųjų dviejų, ji bus lygiagreti antrajai.
Lygiagrečios tiesės plokštumoje yra sujungtos teiginiu, kurio neįmanoma įrodyti naudojant planimetrijos aksiomas. Tai priimama kaip faktas, kaip aksioma: bet kuriam plokštumos taškui, kuris nėra tiesioje linijoje, yra viena tiesė, kuri eina per ją lygiagrečiai duotajai. Kiekvienas šeštokas žino šią aksiomą.
Jo erdvinis apibendrinimas, ty teiginys, kad bet kuriame erdvės taške, kuris nėra tiesėje, yra unikali tiesė, einanti per jį lygiagrečiai duotajai, lengvai įrodoma naudojant jau žinomą paralelizmo aksiomą. lėktuvas.
Lygiagrečių tiesių savybės
- Jei kuri nors iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai, tada jos yra lygiagrečios viena kitai.
Lygiagrečios linijos turi šią savybę tiek plokštumoje, tiek erdvėje.
Kaip pavyzdį apsvarstykite jo pagrindimą stereometrijoje.
Tegul tiesės b yra lygiagrečios tiesei a.
Atvejis, kai visos linijos yra toje pačioje plokštumoje, bus paliktas planimetrijai.
Tarkime, kad a ir b priklauso betta plokštumai, o gama yra plokštuma, kuriai priklauso a ir c (pagal lygiagretumo erdvėje apibrėžimą, tiesės turi priklausyti tai pačiai plokštumai).
Jei darysime prielaidą, kad beta ir gama plokštumos yra skirtingos ir pažymime tam tikrą tašką B tiesėje b nuo beta plokštumos, tai plokštuma, nubrėžta per tašką B ir tiesė c, turi kirsti beta plokštumą tiesia linija (žymime tai b1).
Jei gauta tiesė b1 kerta gama plokštumą, tada, viena vertus, susikirtimo taškas turėtų būti ant a, nes b1 priklauso betta plokštumai, o kita vertus, ji taip pat turi priklausyti c, nes b1 priklauso trečiajai plokštumai.
Tačiau lygiagrečios tiesės a ir c neturi susikirsti.
Taigi tiesė b1 turi priklausyti betta plokštumai ir tuo pačiu neturėti bendrų taškų su a, todėl pagal paralelizmo aksiomą sutampa su b.
Gavome tiesę b1, sutampančią su tiese b, kuri priklauso tai pačiai plokštumai su tiese c ir jos nesikerta, tai yra, b ir c yra lygiagrečios
- Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, lygiagrečiai nurodytai tiesei, gali praeiti tik viena linija.
- Dvi tiesės, esančios plokštumoje, statmenoje trečiajai, yra lygiagrečios.
- Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta plokštumą, antroji tiesė kerta tą pačią plokštumą.
- Atitinkami ir kryžminiai vidiniai kampai, suformuoti susikirtus lygiagrečioms dviem trečiosios tiesėms, yra lygūs, šiuo atveju susidariusių vidinių vienpusių suma yra 180 °.
Taip pat teisingi ir atvirkštiniai teiginiai, kurie gali būti laikomi dviejų tiesių lygiagretumo ženklais.
Lygiagrečių linijų būklė
Aukščiau suformuluotos savybės ir ženklai yra tiesių lygiagretumo sąlygos, kurias galima įrodyti geometrijos metodais. Kitaip tariant, norint įrodyti dviejų turimų tiesių lygiagretumą, pakanka įrodyti jų lygiagretumą trečiajai tiesei arba kampų lygybę, nesvarbu, ar jos atitinka, ar yra skersai ir pan.
Įrodymui jie daugiausia naudoja metodą „prieštaraujant“, tai yra, darydami prielaidą, kad linijos nėra lygiagrečios. Remiantis šia prielaida, galima nesunkiai parodyti, kad šiuo atveju pažeidžiamos pateiktos sąlygos, pavyzdžiui, kryžminiai vidiniai kampai pasirodo nelygūs, o tai įrodo padarytos prielaidos neteisingumą.
Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
1 teorema. Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje:
įstrižai gulėti kampai yra lygūs, arba
atitinkami kampai yra lygūs arba
vienpusių kampų suma yra 180°, tada
linijos lygiagrečios(1 pav.).
Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB skersai gulėti kampai yra lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.
Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir dėl to vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumo dėlei ∠ 4 yra išorinis trikampio ABM kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš trikampio išorinio kampo teoremos išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, ir tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.
1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).
komentuoti. Tai, kaip ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes samprotavimo pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikalaujama įrodyti. Redukcija iki absurdo ji vadinama dėl to, kad, argumentuodami remiantis padaryta prielaida, prieiname prie absurdiškos išvados (absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.
1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.
Sprendimas. Per tašką M brėžiame tiesę p, statmeną tiesei a (3 pav.).
Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.
Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią nurodytai tiesei..
Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.
Lygiagrečių tiesių aksioma. Per tam tikrą tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, yra tik viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei.
Apsvarstykite kai kurias lygiagrečių linijų savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.
1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą (4 pav.).
2) Jei dvi skirtingos tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).
Ši teorema taip pat teisinga.
2 teorema. Jei dvi lygiagrečias tieses kerta sekantas, tai:
gulėjimo kampai yra lygūs;
atitinkami kampai yra lygūs;
vienpusių kampų suma yra 180°.
2 pasekmė. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.(žr. 2 pav.).
komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, t. y. jei duota teorema yra teisinga, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.
Paaiškinkime tai vertikalių kampų teoremos pavyzdžiu. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai visai nebūtinai turi būti vertikalūs.
1 pavyzdys Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite tuos kampus.
Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.
Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie lygiagrečias linijas, pateiksime apibrėžimus, nurodysime lygiagretumo ženklus ir sąlygas. Teorinės medžiagos aiškumo dėlei naudosime iliustracijas ir tipinių pavyzdžių sprendimą.
1 apibrėžimasLygiagrečios linijos plokštumoje yra dvi tiesės plokštumoje, kurios neturi bendrų taškų.
2 apibrėžimas
Lygiagrečios linijos 3D erdvėje- dvi tiesios linijos trimatėje erdvėje, kurios yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.
Pažymėtina, kad norint nustatyti lygiagrečias tieses erdvėje, labai svarbus patikslinimas „guli vienoje plokštumoje“: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir nėra toje pačioje plokštumoje, nėra lygiagrečiai, bet susikerta.
Lygiagrečioms linijoms žymėti įprasta naudoti simbolį ∥ . Tai yra, jei duotosios tiesės a ir b yra lygiagrečios, šią sąlygą reikia trumpai parašyti taip: a ‖ b . Žodžiu tiesių lygiagretumas nurodomas taip: tiesės a ir b yra lygiagrečios arba tiesė a lygiagreti tiesei b, arba tiesė b lygiagreti tiesei a.
Suformuluokime teiginį, kuris atlieka svarbų vaidmenį nagrinėjamoje temoje.
Aksioma
Per tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, yra tik viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei. Šio teiginio negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis.
Tuo atveju, kai kalbama apie erdvę, teorema yra teisinga:
1 teorema
Per bet kurį erdvės tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, bus tik viena linija, lygiagreti nurodytai.
Šią teoremą nesunku įrodyti remiantis aukščiau pateikta aksioma (geometrijos programa 10-11 klasei).
Lygiagretumo ženklas yra pakankama sąlyga, kuriai esant garantuotos lygiagrečios tiesės. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka paralelizmo faktui patvirtinti.
Visų pirma, yra būtinos ir pakankamos sąlygos linijų lygiagretumui plokštumoje ir erdvėje. Paaiškinkime: būtina reiškia sąlygą, kurios įvykdymas būtinas lygiagrečioms tiesėms; jei jis nepatenkintas, linijos nėra lygiagrečios.
Apibendrinant, būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo sąlyga yra tokia sąlyga, kurios laikymasis yra būtinas ir pakankamas, kad tiesės būtų lygiagrečios viena kitai. Viena vertus, tai yra lygiagretumo ženklas, kita vertus, lygiagrečioms linijoms būdinga savybė.
Prieš tiksliai suformuluodami būtinas ir pakankamas sąlygas, primename dar keletą papildomų sąvokų.
3 apibrėžimas
sekanti linija yra tiesė, kertanti kiekvieną iš dviejų nesutampančių tiesių.
Susikertanti su dviem tiesiomis linijomis, sekantas sudaro aštuonis neišplėstus kampus. Norint suformuluoti reikiamą ir pakankamą sąlygą, naudosime tokius kampų tipus kaip kryžminiai, atitinkami ir vienpusiai. Parodykime juos iliustracijoje:
2 teorema
Jei dvi tiesės plokštumoje kerta sekantą, tai tam, kad nurodytos tiesės būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad skersiniai gulėjimo kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma būtų lygi 180 laipsnių.
Grafiškai pavaizduokime būtiną ir pakankamą lygiagrečių linijų sąlygą plokštumoje:
Šių sąlygų įrodymas yra 7-9 klasių geometrijos programoje.
Paprastai šios sąlygos taip pat taikomos trimatei erdvei, jei dvi linijos ir sekantas priklauso tai pačiai plokštumai.
Nurodykime dar keletą teoremų, kurios dažnai naudojamos įrodant tiesių lygiagrečią faktą.
3 teorema
Plokštumoje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai. Ši savybė įrodyta remiantis aukščiau minėta paralelizmo aksioma.
4 teorema
Trimatėje erdvėje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.
Atributo įrodymas mokomasi 10 klasės geometrijos programoje.
Pateikiame šių teoremų iliustraciją:
Nurodykime dar vieną porą teoremų, įrodančių tiesių lygiagretumą.
5 teorema
Plokštumoje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.
Suformuluokime panašų trimatei erdvei.
6 teorema
Trimatėje erdvėje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.
Iliustruojame:
Visos aukščiau pateiktos teoremos, ženklai ir sąlygos leidžia patogiai įrodyti tiesių lygiagretumą geometrijos metodais. Tai yra, norint įrodyti tiesių lygiagretumą, galima parodyti, kad atitinkami kampai yra lygūs, arba parodyti faktą, kad dvi nurodytos tiesės yra statmenos trečiajai ir pan. Tačiau pastebime, kad dažnai patogiau naudoti koordinačių metodą, norint įrodyti linijų lygiagretumą plokštumoje arba trimatėje erdvėje.
Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje
Tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje tiesė nustatoma pagal vieno iš galimų tipų plokštumos tiesės lygtį. Panašiai tiesė, pateikta stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje, atitinka kai kurias tiesės erdvėje lygtis.
Parašykime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių lygiagretumui stačiakampėje koordinačių sistemoje, priklausomai nuo duotas tieses apibūdinančios lygties tipo.
Pradėkime nuo lygiagrečių tiesių plokštumoje sąlygos. Jis pagrįstas tiesės krypties vektoriaus ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimais.
7 teorema
Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad duotų tiesių krypties vektoriai būtų kolineriški, arba duotų tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinijinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas kitos tiesės normalusis vektorius.
Tampa akivaizdu, kad lygiagrečių tiesių sąlyga plokštumoje yra pagrįsta kolinearinių vektorių sąlyga arba dviejų vektorių statmenumo sąlyga. Tai yra, jei a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra tiesių a ir b krypties vektoriai;
ir n b → = (n b x , n b y) yra tiesių a ir b normalieji vektoriai, tada aukščiau nurodytą būtiną ir pakankamą sąlygą užrašome taip: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y arba n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y arba a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kur t yra tikrasis skaičius. Nukreipiamųjų arba tiesioginių vektorių koordinates nustatomos pateiktos tiesių lygtys. Panagrinėkime pagrindinius pavyzdžius.
- Tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatoma pagal bendrąją tiesės lygtį: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; eilutė b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Tada duotų linijų normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (A 1 , B 1) ir (A 2 , B 2). Paralelizmo sąlygą rašome taip:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Tiesė a apibūdinama tiesės, kurios nuolydis yra y = k 1 x + b 1, lygtimi. Tiesi linija b - y \u003d k 2 x + b 2. Tada duotųjų tiesių normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (k 1 , - 1) ir (k 2 , - 1), o lygiagretumo sąlygą užrašome taip:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Taigi, jei lygiagrečios tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiamos lygtimis su nuolydžio koeficientais, tai duotųjų tiesių nuolydžio koeficientai bus lygūs. Ir atvirkštinis teiginys yra teisingas: jei nesutampančios tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatomos tiesės, turinčios vienodus nuolydžio koeficientus, lygtis, tai šios pateiktos tiesės yra lygiagrečios.
- Tiesės a ir b stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiamos kanoninėmis tiesės lygtimis plokštumoje: x - x 1 a x = y - y 1 a y ir x - x 2 b x = y - y 2 b y arba parametrinėmis lygtimis. tiesės plokštumoje: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ir x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Tada duotųjų tiesių krypties vektoriai bus atitinkamai: a x , a y ir b x , b y, o lygiagretumo sąlygą užrašome taip:
a x = t b x a y = t b y
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
1 pavyzdys
Duotos dvi eilutės: 2 x - 3 y + 1 = 0 ir x 1 2 + y 5 = 1 . Turite nustatyti, ar jie yra lygiagretūs.
Sprendimas
Tiesios linijos lygtį įrašome segmentais bendrosios lygties forma:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Matome, kad n a → = (2 , - 3) yra tiesės 2 x - 3 y + 1 = 0 normalusis vektorius, o n b → = 2, 1 5 yra tiesės x 1 2 + y 5 normalusis vektorius = 1.
Gauti vektoriai nėra kolineariniai, nes nėra tokios t reikšmės, kuriai būtų teisinga lygybė:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Taigi netenkinama būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga, o tai reiškia, kad pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.
Atsakymas: pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.
2 pavyzdys
Duotos tiesės y = 2 x + 1 ir x 1 = y - 4 2 . Ar jie lygiagrečiai?
Sprendimas
Paverskime kanoninę tiesės x 1 \u003d y - 4 2 lygtį į tiesės su nuolydžiu lygtį:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Matome, kad tiesių y = 2 x + 1 ir y = 2 x + 4 lygtys nėra vienodos (jei būtų kitaip, tiesės būtų vienodos) ir tiesių nuolydžiai yra vienodi, o tai reiškia, kad pateiktos tiesės yra lygiagrečios.
Pabandykime problemą išspręsti kitaip. Pirmiausia patikriname, ar nurodytos eilutės sutampa. Mes naudojame bet kurį linijos y \u003d 2 x + 1 tašką, pavyzdžiui, (0, 1) , šio taško koordinatės neatitinka tiesės x 1 \u003d y - 4 2 lygties, o tai reiškia, kad linijos nesutampa.
Kitas žingsnis – nustatyti lygiagretumo sąlygos įvykdymą nurodytoms tiesėms.
Tiesės y = 2 x + 1 normalusis vektorius yra vektorius n a → = (2 , - 1) , o antrosios duotosios tiesės krypties vektorius b → = (1 , 2) . Šių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Taigi vektoriai yra statmeni: tai mums parodo būtinos ir pakankamos sąlygos įvykdymą, kad pradinės tiesės būtų lygiagrečios. Tie. pateiktos tiesės yra lygiagrečios.
Atsakymas:šios linijos yra lygiagrečios.
Tiesių lygiagretumui trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje įrodyti naudojama tokia būtina ir pakankama sąlyga.
8 teorema
Kad dvi nesutampančios tiesės trimatėje erdvėje būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai.
Tie. pateiktoms tiesių lygtims trimatėje erdvėje atsakymas į klausimą: lygiagrečios ar ne, randamas nustačius duotųjų tiesių krypties vektorių koordinates, taip pat patikrinus jų kolineariškumo sąlygą. Kitaip tariant, jei a → = (a x, a y, a z) ir b → = (b x, b y, b z) yra atitinkamai tiesių a ir b krypties vektoriai, tai, kad jos būtų lygiagrečios, egzistavimas tokio realaus skaičiaus t būtinas, kad galiotų lygybė:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
3 pavyzdys
Duotos tiesės x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ir x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Būtina įrodyti šių tiesių lygiagretumą.
Sprendimas
Uždavinio sąlygos yra vienos tiesės erdvėje kanoninės lygtys ir kitos tiesės erdvėje parametrinės lygtys. Krypties vektoriai a → ir b → duotosios linijos turi koordinates: (1 , 0 , - 3) ir (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , tada a → = 1 2 b → .
Todėl būtina ir pakankama sąlyga lygiagrečioms tiesėms erdvėje yra įvykdyta.
Atsakymas:įrodytas duotųjų tiesių lygiagretumas.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Jie nesikerta, nesvarbu, kiek laiko tęsiasi. Eilučių lygiagretumas raštu nurodomas taip: AB|| NUOE
Tokių eilučių egzistavimo galimybė įrodoma teorema.
Teorema.
Per bet kurį tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti lygiagretę šiai linijai..
Leisti ABši linija ir NUO tam tikras taškas, paimtas už jo ribų. Tai būtina įrodyti NUO galite nubrėžti tiesią liniją lygiagrečiaiAB. Užsukite AB iš taško NUO statmenaiNUOD ir tada padarysime NUOE^ NUOD, kas įmanoma. Tiesiai CE lygiagrečiai AB.
Įrodymui darome prielaidą priešingai, t.y CE susikerta AB tam tikru momentu M. Tada iš taško Mį tiesią liniją NUOD turėtume du skirtingus statmenus MD ir MS, kas neįmanoma. Reiškia, CE negali susikirsti su AB, t.y. NUOE lygiagrečiai AB.
Pasekmė.
Du statmenai (CEirD.B.) iki vienos tiesios linijos (СD) yra lygiagrečios.
Lygiagrečių tiesių aksioma.
Per tą patį tašką neįmanoma nubrėžti dviejų skirtingų tiesių, lygiagrečių tai pačiai linijai.
Taigi, jei tiesi linija NUOD, nubrėžtas per tašką NUO lygiagreti tiesia linija AB, tada bet kurią kitą eilutę NUOE per tą patį tašką NUO, negali būti lygiagreti AB, t.y. ji tęsia susikerta Su AB.
Šios ne visai akivaizdžios tiesos įrodymas pasirodo neįmanomas. Jis priimamas be įrodymų kaip būtina prielaida (postulatum).
Pasekmės.
1. Jeigu tiesiai(NUOE) susikerta su vienu iš lygiagrečiai(SW), tada jis susikerta su kitu ( AB), nes kitaip per tą patį tašką NUO dvi skirtingos lygiagrečios tiesės AB, kas neįmanoma.
2. Jei kiekvienas iš dviejų tiesioginis (AirB) yra lygiagrečios tai pačiai trečiajai linijai ( NUO) , tada jie yra lygiagrečios tarp savęs.
Iš tiesų, jei manytume, kad A ir B susikerta tam tikru momentu M, tada per šį tašką eitų dvi skirtingos viena kitai lygiagrečios tiesės. NUO, kas neįmanoma.
Teorema.
Jeigu tiesi linija yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tada ji yra statmena kitai lygiagrečiai.
Leisti AB || NUOD ir EF ^ AB.Reikalaujama tai įrodyti EF ^ NUOD.
StatmenasEF, susikerta su AB, tikrai susikirs ir NUOD. Tegul susikirtimo taškas yra H.
Tarkime, kad dabar NUOD ne statmenai EH. Tada, pavyzdžiui, kitą eilutę HK, bus statmena EH taigi per tą patį tašką H du tiesi lygiagreti AB: vienas NUOD, pagal sąlygą ir kita HK kaip įrodyta anksčiau. Kadangi tai neįmanoma, negalima taip manyti SW nebuvo statmena EH.