Funkcijos ribos ir tęstinumo samprata. Riba ir tęstinumas. Funkcijos tęstinumas taške ir intervale
![Funkcijos ribos ir tęstinumo samprata. Riba ir tęstinumas. Funkcijos tęstinumas taške ir intervale](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Funkcijos tęstinumas. Lūžio taškai.
Jautis vaikšto, siūbuoja, dūsauja eidamas:
- O, lenta baigiasi, dabar aš krisiu!
Šioje pamokoje išanalizuosime funkcijos tęstinumo sampratą, nenutrūkstamų taškų klasifikaciją ir dažną praktinę problemą. tęstinumo funkcijos tyrimas. Iš paties temos pavadinimo daugelis intuityviai atspėja, apie ką bus kalbama, ir mano, kad medžiaga gana paprasta. Tai yra tiesa. Tačiau už aplaidumą ir paviršutinišką požiūrį į jas dažniausiai baudžiama būtent paprastos užduotys. Todėl rekomenduoju atidžiai išstudijuoti straipsnį ir įsigilinti į visas subtilybes bei metodus.
Ką reikia žinoti ir mokėti? Nelabai daug. Norėdami gauti gerą mokymosi patirtį, turite suprasti, ką funkcijos riba. Skaitytojams, kurių pasiruošimo lygis yra žemas, pakanka suprasti straipsnį Funkcijų ribos. Sprendimo pavyzdžiai ir žr. geometrinę ribos reikšmę vadove Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Taip pat patartina susipažinti su grafikų geometrinės transformacijos, nes praktika daugeliu atvejų apima brėžinio konstravimą. Perspektyvos yra optimistiškos visiems, ir net pilnas virdulys per artimiausią valandą ar dvi susidoros su užduotimi pats!
Funkcijos tęstinumas. Lūžio taškai ir jų klasifikacija
Funkcijos tęstinumo samprata
Apsvarstykite tam tikrą funkciją, tęstinę visoje realioje eilutėje:
Arba, glaustai, mūsų funkcija yra nuolatinė (tikrųjų skaičių rinkinys).
Koks yra „filistinis“ tęstinumo kriterijus? Akivaizdu, kad ištisinės funkcijos grafiką galima nubraižyti nepakeliant pieštuko nuo popieriaus.
Šiuo atveju reikėtų aiškiai atskirti dvi paprastas sąvokas: funkcijos apimtis ir funkcijos tęstinumas. Apskritai tai ne tas pats. Pavyzdžiui:
Ši funkcija apibrėžiama visoje skaičių eilutėje, tai yra, už Visi„x“ reikšmė turi savo „y“ reikšmę. Visų pirma, jei , tada . Atkreipkite dėmesį, kad kitas taškas yra išmuštas, nes pagal funkcijos apibrėžimą argumento reikšmė turi sutapti vienintelis dalykas funkcijos reikšmė. Šiuo būdu, domenas mūsų savybės: .
Tačiau ši funkcija neveikia nuolat! Visiškai akivaizdu, kad tuo metu ji ištveria tarpas. Terminas taip pat gana suprantamas ir aiškus, išties, čia pieštuką vis tiek teks nuplėšti nuo popieriaus. Šiek tiek vėliau apsvarstysime lūžio taškų klasifikaciją.
Funkcijos tęstinumas taške ir intervale
Konkrečiame matematiniame uždavinyje galime kalbėti apie funkcijos tęstinumą taške, funkcijos tęstinumą intervale, pusės intervalą arba funkcijos tęstinumą atkarpoje. Tai yra, nėra "tiesiog tęstinumo"– funkcija gali būti tęstinė KAŽkur. O pagrindinė viso kito „plyta“ yra funkcijos tęstinumas taške .
Matematinės analizės teorija funkcijos tęstinumą taške apibrėžia „delta“ ir „epsilon“ apylinkių pagalba, tačiau praktikoje naudojamas kitas apibrėžimas, į kurį skirsime daug dėmesio.
Pirmiausia prisiminkime vienašalės ribos kurie įsiveržė į mūsų gyvenimą per pirmąją pamoką apie funkcijų grafikus. Apsvarstykite kasdienę situaciją:
Jei išilgai ašies priartėsime prie taško paliko(raudona rodyklė), tada atitinkamos „žaidimų“ reikšmės eis išilgai ašies iki taško (avietės rodyklė). Matematiškai šis faktas fiksuojamas naudojant kairioji riba:
Atkreipkite dėmesį į įrašą (jis parašyta „x linkęs į ka iš kairės“). „Priedas“ „minusas nulis“ simbolizuoja , o tai iš esmės reiškia, kad artėjame prie skaičiaus iš kairės.
Panašiai, jei priartėsite prie taško „ka“ Dešinėje(mėlyna rodyklė), tada „žaidimų“ reikšmė bus tokia pati , bet palei žalią rodyklę ir dešinės rankos riba bus suformatuotas taip:
„Papildymas“ simbolizuoja , o įrašas skamba taip: „x linkęs į ka iš dešinės“.
Jei vienpusės ribos yra baigtinės ir lygios(kaip mūsų atveju): , tada sakysime, kad yra BENDRA riba. Tai paprasta, bendra riba yra mūsų „įprasta“ funkcijos riba lygus galutiniam skaičiui.
Atminkite, kad jei funkcija neapibrėžta (ištraukite juodą tašką grafiko šakoje), išvardyti skaičiavimai lieka galioti. Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, ypač straipsnyje apie be galo mažas funkcijas, išraiškos reiškia, kad „x“ be galo arti artėja prie taško , o NESVARBU ar pati funkcija apibrėžta duotame taške, ar ne. Gerą pavyzdį rasite kitame skyriuje, kai bus analizuojama funkcija.
Apibrėžimas: funkcija yra ištisinė taške, jei funkcijos riba tam tikrame taške yra lygi funkcijos reikšmei tame taške: .
Apibrėžimas detalizuojamas šiais terminais:
1) Funkcija turi būti apibrėžta taške , tai yra, reikšmė turi egzistuoti.
2) Turi būti bendra funkcijos riba. Kaip minėta pirmiau, tai reiškia vienpusių ribų egzistavimą ir lygybę: .
3) Funkcijos riba tam tikrame taške turi būti lygi funkcijos reikšmei šiame taške: .
Jei pažeidžiama mažiausiai vienas iš trijų sąlygų, tada funkcija praranda tęstinumo savybę taške .
Funkcijos tęstinumas intervale suformuluota šmaikščiai ir labai paprastai: funkcija yra tolydi intervale, jei ji yra tolydi kiekviename duoto intervalo taške.
Visų pirma, daugelis funkcijų yra ištisinės begaliniame intervale, ty realiųjų skaičių aibėje. Tai tiesinė funkcija, daugianariai, eksponentas, sinusas, kosinusas ir tt Ir apskritai bet koks elementari funkcija nuolatinis ant jo domenai, taigi, pavyzdžiui, logaritminė funkcija yra ištisinė intervale . Tikiuosi, kad jau gerai supratote, kaip atrodo pagrindinių funkcijų grafikai. Išsamesnės informacijos apie jų tęstinumą galima gauti iš malonaus vyro, vardu Fichtenholtz.
Su segmento funkcijos tęstinumu ir pusės intervalais viskas taip pat paprasta, tačiau tikslingiau apie tai kalbėti pamokoje ieškant atkarpos funkcijos minimalių ir didžiausių verčių iki tol nuleiskime galvas.
Lūžio taškų klasifikacija
Įspūdingame funkcijų gyvenime gausu įvairiausių ypatingų dalykų, o lūžio taškai – tik vienas iš jų biografijos puslapių.
Pastaba : tik tuo atveju, aš apsistosiu prie elementaraus momento: lūžio taškas visada yra vienas taškas- nėra „kelių pertraukos taškų iš eilės“, tai yra, nėra tokio dalyko kaip „pertraukos intervalas“.
Šie taškai savo ruožtu yra suskirstyti į dvi dideles grupes: pirmos rūšies pertraukos ir antrojo tipo pertraukos. Kiekvienas spragų tipas turi savo būdingų bruožų, kuriuos mes apžvelgsime dabar:
Pirmojo tipo nutrūkimo taškas
Jeigu taške pažeidžiama tęstinumo sąlyga ir vienašalės ribos baigtinis , tada jis vadinamas pirmos rūšies lūžio taškas.
Pradėkime nuo optimistiškiausio atvejo. Pagal pradinę pamokos idėją teoriją norėjau papasakoti „bendrai“, tačiau norėdamas parodyti medžiagos tikrovę, apsisprendžiau variantu su konkrečiais veikėjais.
Deja, kaip jaunavedžių nuotrauka Amžinosios Liepsnos fone, bet toks kadras yra visuotinai priimtas. Nubraižykime funkcijos grafiką brėžinyje:
Ši funkcija tęsiasi visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką. Iš tiesų vardiklis negali būti lygus nuliui. Tačiau pagal ribos reikšmę – galime be galo arti priartėkite prie „nulio“ tiek iš kairės, tiek iš dešinės, tai yra, vienpusės ribos egzistuoja ir, aišku, sutampa: (Tęstinumo sąlyga Nr. 2 tenkinama).
Tačiau taške funkcija neapibrėžta, todėl pažeidžiama tęstinumo sąlyga Nr. 1, o funkcija šiame taške nutrūksta.
Tokio pobūdžio pertrauka (su esama bendroji riba) yra vadinami pataisomas tarpas. Kodėl nuimamas? Kadangi funkcija gali iš naujo apibrėžti lūžio taške:
Ar tai atrodo keistai? Gal būt. Bet toks funkcijos įrašas niekam neprieštarauja! Dabar tarpas ištaisytas ir visi patenkinti:
Atlikime oficialų patikrinimą:
2) – yra bendra riba;
3)
Taigi, tenkinamos visos trys sąlygos, o funkcija yra tolydi taške pagal funkcijos tęstinumo taške apibrėžimą.
Tačiau, pavyzdžiui, nekentėjai gali iš naujo apibrėžti funkciją blogai :
Įdomu tai, kad čia tenkinamos pirmosios dvi tęstinumo sąlygos:
1) - funkcija apibrėžta duotame taške;
2) – yra bendra riba.
Tačiau trečioji riba neperžengta: , tai yra funkcijos riba taške nėra lygus duotosios funkcijos reikšmė duotame taške.
Taigi tam tikru momentu funkcija nutrūksta.
Antrasis, liūdnesnis atvejis vadinamas pirmos rūšies pertrauka su šuoliu. O liūdesį sukelia vienpusės ribos, kad baigtinis ir skirtingas. Pavyzdys parodytas antrame pamokos brėžinyje. Šis tarpas paprastai atsiranda dalimis funkcijos jau minėta straipsnyje. apie diagramos transformacijas.
Apsvarstykite atskirą funkciją ir atlikite jos piešinį. Kaip sukurti grafiką? Labai paprasta. Ant pusės intervalo nubrėžiame parabolės fragmentą (žalia), ant intervalo - tiesios linijos atkarpą (raudona), o ant pusės intervalo - tiesią (mėlyna).
Tuo pačiu metu dėl nelygybės reikšmė apibrėžiama kvadratinei funkcijai (žalias taškas), o dėl nelygybės – tiesinės funkcijos reikšmė (mėlynas taškas):
Sunkiausiu atveju reikėtų pasitelkti taškinę kiekvienos grafiko dalies konstravimą (žr. pirmąjį Pamoka apie funkcijų grafikus).
Kol kas mus domina tik esmė. Panagrinėkime tęstinumą:
2) Apskaičiuokite vienpuses ribas.
Kairėje pusėje yra raudonos linijos segmentas, todėl kairioji riba yra:
Dešinėje yra mėlyna tiesi linija ir dešinės pusės riba:
Kaip rezultatas, baigtiniai skaičiai, Ir jie nėra lygus. Nes vienpusės ribos baigtinis ir skirtingas: , tada mūsų funkcija nukenčia pirmos rūšies nenuoseklumas su šuoliu.
Logiška, kad tarpo negalima pašalinti – funkcijos tikrai negalima toliau apibrėžti ir „nesuklijuoti“, kaip ankstesniame pavyzdyje.
Antrosios rūšies nutrūkimo taškai
Paprastai šiai kategorijai gudriai priskiriami visi kiti plyšimo atvejai. Neišvardinsiu visko, nes praktiškai 99% užduočių susidursite begalinis tarpas- kai kairiarankis arba dešiniarankis, ir dažniau, abi ribos yra begalinės.
Ir, žinoma, ryškiausias vaizdas yra nulio hiperbolė. Čia abi vienpusės ribos yra begalinės: , todėl funkcija taške patiria antrojo tipo nenuoseklumą.
Stengiuosi savo straipsnius užpildyti kuo įvairesniu turiniu, tad pažiūrėkime į dar nematytą funkcijos grafiką:
pagal standartinę schemą:
1) Funkcija šiuo metu neapibrėžta, nes vardiklis eina į nulį.
Žinoma, iš karto galima daryti išvadą, kad funkcija nutrūksta taške , tačiau būtų malonu klasifikuoti pertraukos pobūdį, kurio dažnai reikalauja sąlyga. Už tai:
Primenu, kad rekordas reiškia be galo mažas neigiamas skaičius, o po įrašu - be galo mažas teigiamas skaičius.
Vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad funkcija taške patiria 2-osios rūšies nenuoseklumą. Y ašis yra vertikali asimptota diagramai.
Neretai egzistuoja abi vienpusės ribos, tačiau tik viena iš jų yra begalinė, pavyzdžiui:
Tai yra funkcijos grafikas.
Mes nagrinėjame tęstinumo tašką:
1) Funkcija šiuo metu neapibrėžta.
2) Apskaičiuokite vienpuses ribas:
Apie tokių vienpusių ribų skaičiavimo metodiką kalbėsime paskutiniuose dviejuose paskaitos pavyzdžiuose, nors daugelis skaitytojų jau viską matė ir atspėjo.
Kairioji riba yra baigtinė ir lygi nuliui (į patį tašką mes „neeiname“), o dešinioji riba yra begalinė, o oranžinė grafo šaka yra be galo artima savai vertikali asimptota pateikta lygtimi (juoda brūkšninė linija).
Taigi nukenčia funkcija antrojo tipo pertrauka taške.
Kalbant apie 1-osios rūšies nenutrūkstamumą, funkcija gali būti apibrėžta pačiame nenutrūkstamo taške. Pavyzdžiui, gabalų funkcijai Drąsiai uždėkite juodą paryškintą tašką ties kilme. Dešinėje yra hiperbolės šaka, o dešinės rankos riba yra begalinė. Manau, kad beveik visi įsivaizdavo, kaip atrodo šis grafikas.
Ko visi laukė:
Kaip ištirti tęstinumo funkciją?
Tęstinumo taške funkcijos tyrimas atliekamas pagal jau susuktą įprastą schemą, kurią sudaro trijų tęstinumo sąlygų patikrinimas:
1 pavyzdys
Naršyti funkciją
Sprendimas:
1) Vienintelis taškas patenka į taikiklį, kur funkcija neapibrėžta.
2) Apskaičiuokite vienpuses ribas:
Vienpusės ribos yra baigtinės ir lygios.
Taigi tam tikru momentu funkcija patiria nenutrūkstamą tęstinumą.
Kaip atrodo šios funkcijos grafikas?
Noriu supaprastinti , ir atrodo, kad tai eilinė parabolė. BET pradinė funkcija taške neapibrėžta, todėl būtinas toks įspėjimas:
Atlikime piešinį:
Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji nutrūksta.
Funkciją galima iš naujo apibrėžti gerai arba ne taip gerai, tačiau to nereikalauja sąlyga.
Sakote, kad pavyzdys toli gražus? Visai ne. Praktikoje tai nutiko dešimtis kartų. Beveik visos svetainės užduotys kyla iš tikro nepriklausomo ir kontrolinio darbo.
Išskaidykime mėgstamiausius modulius:
2 pavyzdys
Naršyti funkciją tęstinumui. Nustatykite funkcijų pertraukų pobūdį, jei tokių yra. Vykdykite piešinį.
Sprendimas: kažkodėl studentai bijo ir nemėgsta funkcijų su moduliu, nors jose nėra nieko sudėtingo. Tokius dalykus jau šiek tiek palietėme pamokoje. Geometrinių brėžinių transformacijos. Kadangi modulis yra neneigiamas, jis išplečiamas taip: , kur „alfa“ yra tam tikra išraiška. Šiuo atveju , ir mūsų funkcija turėtų pasirašyti dalimis:
Tačiau abiejų dalių trupmenos turi būti sumažintos . Sumažinimas, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, neapsieis be pasekmių. Pradinė funkcija taške neapibrėžta, nes vardiklis išnyksta. Todėl sistema turėtų papildomai nurodyti sąlygą ir sugriežtinti pirmąją nelygybę:
Dabar LABAI NAUDINGAS triukas: prieš užbaigiant užduotį juodraštyje, pravartu padaryti brėžinį (nepriklausomai nuo to, ar to reikalauja sąlyga, ar ne). Tai padės, pirma, iš karto pamatyti tęstinumo ir lūžio taškus, ir, antra, 100% išgelbės jus nuo klaidų ieškant vienpusių ribų.
Padarykime triuką. Pagal mūsų skaičiavimus, kairėje nuo taško reikia nubrėžti parabolės fragmentą (mėlyna), o dešinėje - parabolės gabalėlį (raudoną), o funkcija neapibrėžta pačiame taške. :
Jei abejojate, paimkite kelias „x“ reikšmes ir pakeiskite jas į funkciją (atsimindami, kad modulis sunaikina galimą minuso ženklą) ir patikrinkite grafiką.
Analitiškai tiriame tęstinumo funkciją:
1) Funkcija taške neapibrėžta, todėl galime iš karto pasakyti, kad ji jame nėra tolydi.
2) Nustatykime nenutrūkstamo pobūdį, tam apskaičiuojame vienpuses ribas:
Vienpusės ribos yra baigtinės ir skirtingos, o tai reiškia, kad funkcija patiria 1-osios rūšies nenuoseklumą su šuoliu taške. Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad ieškant ribų nėra svarbu, ar funkcija lūžio taške yra apibrėžta, ar ne.
Dabar belieka perkelti brėžinį iš juodraščio (jis buvo padarytas, kaip sakant, tyrimo pagalba ;-)) ir atlikti užduotį:
Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji patiria pirmos rūšies pertrūkį su šuoliu.
Kartais reikia papildomai nurodyti nenutrūkstamą šuolį. Jis apskaičiuojamas elementariai – iš dešinės ribos reikia atimti kairiąją ribą: , tai yra, lūžio taške mūsų funkcija šoktelėjo 2 vienetais žemyn (apie tai mums byloja minuso ženklas).
3 pavyzdys
Naršyti funkciją tęstinumui. Nustatykite funkcijų pertraukų pobūdį, jei tokių yra. Padarykite piešinį.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, sprendimo pavyzdys pamokos pabaigoje.
Pereikime prie populiariausios ir dažniausiai pasitaikančios užduoties versijos, kai funkcija susideda iš trijų dalių:
4 pavyzdys
Ištirkite funkciją tęstinumui ir nubraižykite funkcijos grafiką .
Sprendimas: akivaizdu, kad visos trys funkcijos dalys yra ištisinės atitinkamais intervalais, todėl belieka patikrinti tik du „sankryžos“ taškus tarp gabalų. Pirma, padarykime brėžinį ant juodraščio, aš pakankamai išsamiai pakomentavau statybos techniką pirmoje straipsnio dalyje. Vienintelis dalykas yra atidžiai sekti mūsų vienaskaitos taškus: dėl nelygybės reikšmė priklauso tiesei (žalias taškas), o dėl nelygybės reikšmė priklauso parabolei (raudonas taškas):
Na, iš esmės viskas aišku =) Belieka parengti sprendimą. Kiekvienam iš dviejų „užpakalio“ taškų standartiškai patikriname 3 tęstinumo sąlygas:
aš) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką
1)
Vienpusės ribos yra baigtinės ir skirtingos, o tai reiškia, kad funkcija patiria 1-osios rūšies nenuoseklumą su šuoliu taške.
Apskaičiuokime nepertraukiamumo šuolį kaip skirtumą tarp dešinės ir kairės ribų:
, tai yra, diagrama šoktelėjo vienu vienetu aukštyn.
II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką
1) – funkcija apibrėžta duotame taške.
2) Raskite vienpuses ribas:
– vienpusės ribos yra baigtinės ir lygios, todėl yra bendra riba.
3) – funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.
Paskutiniame etape piešinį perkeliame į švarią kopiją, po kurios įdedame galutinį akordą:
Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji patiria pirmos rūšies nenuoseklumą su šuoliu.
5 pavyzdys
Ištirkite tęstinumo funkciją ir sukurkite jos grafiką .
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, trumpas sprendimas ir apytikslis problemos pavyzdys pamokos pabaigoje.
Gali susidaryti įspūdis, kad vienu metu funkcija būtinai turi būti tęstinė, o kitur būtinai turi būti nenuoseklumas. Praktikoje taip būna ne visada. Stenkitės nepamiršti likusių pavyzdžių - bus keletas įdomių ir svarbių funkcijų:
6 pavyzdys
Suteikta funkcija . Ištirkite tęstinumo funkciją taškuose. Sukurkite grafiką.
Sprendimas: ir vėl nedelsdami vykdykite piešinį ant juodraščio:
Šio grafiko ypatumas yra tas, kad gabalų funkcijai suteikiama abscisių ašies lygtis. Čia šis skyrius nupieštas žaliai, o sąsiuvinyje dažniausiai drąsiai paryškinamas paprastu pieštuku. Ir, žinoma, nepamirškite apie mūsų avis: reikšmė nurodo liestinės šaką (raudoną tašką), o vertė priklauso tiesei.
Iš brėžinio viskas aišku - funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, belieka parengti sprendimą, kuris visiškai automatizuotas pažodžiui po 3–4 panašių pavyzdžių:
aš) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką
1) - funkcija apibrėžta duotame taške.
2) Apskaičiuokite vienpuses ribas:
, todėl yra bendra riba.
Tik kiekvienam ugniagesiui leiskite priminti nereikšmingą faktą: konstantos riba lygi pačiai konstantai. Šiuo atveju nulio riba yra lygi pačiam nuliui (kairioji riba).
3) – funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.
Taigi funkcija yra ištisinė taške pagal funkcijos apibrėžimą, kuri yra tolydi taške.
II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką
1) - funkcija apibrėžta duotame taške.
2) Raskite vienpuses ribas:
O čia – vieneto riba lygi pačiam vienetui.
– yra bendra riba.
3) – funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.
Taigi funkcija yra ištisinė taške pagal funkcijos apibrėžimą, kuri yra tolydi taške.
Kaip įprasta, po tyrimo savo piešinį perkeliame į švarią kopiją.
Atsakymas: funkcija yra nuolatinė taškuose.
Atkreipkite dėmesį, kad esant tokiai sąlygai, mūsų nieko neklausė apie visos tęstinumo funkcijos tyrimą, ir manoma, kad tai tinkama matematinė forma suformuluoti tiksliai ir aiškiai atsakymas į užduotą klausimą. Beje, jei pagal sąlygą nereikalaujama sudaryti grafiko, tada jūs turite teisę jo nedaryti (nors vėliau mokytojas gali priversti jus tai padaryti).
Mažas matematinis „raštas“ savarankiškam sprendimui:
7 pavyzdys
Suteikta funkcija . Ištirkite tęstinumo funkciją taškuose. Klasifikuokite lūžio taškus, jei tokių yra. Vykdykite piešinį.
Pabandykite taisyklingai "ištarti" visus "žodžius" =) Ir nubraižykite grafiką tiksliau, tikslumas, jis nebus visur nereikalingas ;-)
Kaip pamenate, aš rekomendavau iš karto piešti ant juodraščio, tačiau karts nuo karto pasitaiko tokių pavyzdžių, kai negali iš karto suprasti, kaip atrodo grafikas. Todėl daugeliu atvejų pravartu iš pradžių rasti vienpuses ribas ir tik tada, remiantis tyrimu, pavaizduoti šakas. Paskutiniuose dviejuose pavyzdžiuose taip pat išmoksime kai kurių vienpusių ribų skaičiavimo techniką:
8 pavyzdys
Ištirkite tęstinumo funkciją ir sukurkite jos schemą.
Sprendimas: blogieji taškai yra akivaizdūs: (rodiklio vardiklį paverčia nuliu) ir (visos trupmenos vardiklį paverčia nuliu). Neaišku, kaip atrodo šios funkcijos grafikas, vadinasi, geriau pirmiausia atlikti tyrimą.
Jei aibėje nėra elementų, ji vadinama tuščias rinkinys ir įrašytas Ø .
Egzistencijos kvantorius
∃- egzistencinis kvantorius, naudojamas vietoj žodžių „egzistuoja“,
"prieinamas". Taip pat naudojamas simbolių derinys ∃!, kuris skaitomas, nes yra tik vienas.
Absoliučioji vertė
Apibrėžimas. Realiojo skaičiaus absoliuti vertė (modulis) yra neneigiamas skaičius, kuris nustatomas pagal formulę:
Pavyzdžiui,
Modulio savybės
Jei ir yra tikrieji skaičiai, galioja šios lygybės:
Funkcija
ryšys tarp dviejų ar daugiau dydžių, kuriame kiekviena vieno dydžio reikšmė, vadinama funkcijos argumentais, yra susieta su kitų dydžių, vadinamų funkcijos reikšmėmis, reikšmėmis.
Funkcijos apimtis
Funkcijos domenas yra tos nepriklausomo kintamojo x reikšmės, kurioms bus vykdomos visos į funkciją įtrauktos operacijos.
nuolatinė funkcija
Funkcija f (x), apibrėžta kurioje nors taško a kaimynystėje, šiame taške vadinama tęstine if
![]() |
Skaičių sekos
peržiūros funkcija y= f(x), x O N, kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), pažymėta y=f(n) arba y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vertybės y 1 ,y 2 ,y 3 , ... vadinami atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiuoju, ... sekos nariais.
Tęsinio argumento funkcijos riba
Skaičius A vadinamas funkcijos y=f(x) riba x->x0, jei visoms x reikšmėms, kurios pakankamai mažai skiriasi nuo skaičiaus x0, atitinkamos funkcijos f(x) reikšmės ) savavališkai mažai skiriasi nuo skaičiaus A
be galo maža funkcija
Funkcija y=f(x) paskambino be galo mažas adresu x→a arba kada x→∞ jei arba , t.y. Be galo maža funkcija yra funkcija, kurios riba tam tikrame taške yra nulis.
![]() |
Skaičių sekos ribos samprata
Pirmiausia prisiminkime skaitinės sekos apibrėžimą.
1 apibrėžimas
Vadinamas natūraliųjų skaičių aibės susiejimas su realiųjų skaičių aibe skaitinė seka.
Skaičių sekos ribos sąvoka turi keletą pagrindinių apibrėžimų:
- Realusis skaičius $a$ vadinamas skaitinės sekos $(x_n)$ riba, jei bet kuriam $\varepsilon >0$ yra indeksas $N$, priklausantis nuo $\varepsilon$, kad bet kokiam indeksui $n> N $ nelygybė $\left|x_n-a\right|
- Realusis skaičius $a$ vadinamas skaitinės sekos $(x_n)$ riba, jei bet kurioje taško $a$ kaimynystėje yra visi sekos $(x_n)$ nariai, išskyrus baigtinį skaičių. nariai.
Apsvarstykite skaitinės sekos ribos vertės apskaičiavimo pavyzdį:
1 pavyzdys
Raskite ribą $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Sprendimas:
Norėdami išspręsti šią užduotį, pirmiausia turime išimti į išraišką įtrauktus aukščiausio laipsnio skliaustus:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Jei vardiklis yra be galo didelė reikšmė, tada visa riba linkusi į nulį, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, naudojant tai, gauname:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n) )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Atsakymas:$\frac(1)(2)$.
Funkcijos ribos taške samprata
Funkcijos ribos taške sąvoka turi du klasikinius apibrėžimus:
Sąvokos „riba“ apibrėžimas pagal Koši
Realusis skaičius $A$ vadinamas funkcijos $f\left(x\right)$ riba kaip $x\to a$, jei bet kuriam $\varepsilon > 0$ yra $\delta >0$, priklausomai nuo $ \varepsilon $, kad bet kuriai $x\in X^(\backslash a)$ tenkintų nelygybę $\left|x-a\right|
Heine apibrėžimas
Realusis skaičius $A$ vadinamas funkcijos $f\left(x\right)$ riba $x\to a$, jei bet kuriai sekai $(x_n)\in X$, konverguojančiai į $a$ seka vertės $f (x_n)$ susilieja su $A$.
Šie du apibrėžimai yra susiję.
1 pastaba
Funkcijos ribos Cauchy ir Heine apibrėžimai yra lygiaverčiai.
Be klasikinių funkcijos ribų skaičiavimo metodų, prisiminkime formules, kurios taip pat gali padėti.
Lygiaverčių funkcijų lentelė, kai $x$ yra be galo maža (eina iki nulio)
Vienas iš būdų spręsti ribas yra pakeitimo lygiaverte funkcija principas. Žemiau pateikiama lygiaverčių funkcijų lentelė, kurios naudojimui vietoj funkcijų dešinėje į reiškinį pakeiskite atitinkamą elementariąją funkciją kairėje.
1 pav. Funkcijų atitikmenų lentelė. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Taip pat norint išspręsti ribas, kurių reikšmės sumažintos iki neapibrėžtumo, galima taikyti L'Hospital taisyklę. Bendruoju atveju formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtis gali būti atskleista faktorinuojant skaitiklį ir vardiklį, o tada sumažinant. Formos $\frac(\infty )(\infty)$ neapibrėžtumą galima išspręsti skaitiklyje ir vardiklyje esančias išraiškas padalijus iš kintamojo, kuriame randama didžiausia galia.
Įspūdingos ribos
- Pirma pastebima riba:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Antra pastebima riba:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Specialūs limitai
- Pirmasis specialus limitas:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Antrasis specialus limitas:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Trečia speciali riba:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Funkcijos tęstinumas
2 apibrėžimas
Funkcija $f(x)$ vadinama tęstine taške $x=x_0$, jei $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ taip, kad $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Funkcija $f(x)$ yra ištisinė taške $x=x_0$, jei $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Taškas $x_0\in X$ vadinamas pirmos rūšies nenutrūkstamumo tašku, jei jis turi baigtines ribas $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\iki x_0+0) f(x_0)\ )$, bet $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\iki x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Be to, jei $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, tai yra lūžio taškas, o jei $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, tada funkcijos šuolio taškas.
Taškas $x_0\in X$ vadinamas antrojo tipo nutrūkimo tašku, jei jame yra bent viena iš $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$ ribų, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ reiškia begalybę arba neegzistuoja.
2 pavyzdys
Ištirkite tęstinumą $y=\frac(2)(x)$
Sprendimas:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ – funkcija turi antrojo tipo lūžio tašką.
Topologija yra matematikos šaka, nagrinėjanti ribas ir funkcijų tęstinumą. Kartu su algebra topologija sudaro bendrą matematikos pagrindą.
Topologinė erdvė arba figūra - mūsų vienalytės euklido erdvės poaibis, tarp kurio taškų pateiktas tam tikras artumo ryšys. Čia figūros laikomos ne standžiais kūnais, o objektais, tarytum iš labai elastingos gumos, leidžiančios nuolat deformuotis, išsaugant jų kokybines savybes.
Vadinamas nuolatinis figūrų atvaizdavimas vienas su vienu homeomorfizmas. Kitaip tariant, skaičiai homeomorfinis, jei vienas gali būti paverstas kitu nuolatinės deformacijos būdu.
Pavyzdžiai. Šios figūros yra homeomorfinės (skirtingų grupių figūros nėra homeomorfinės), parodytos Fig. 2.
1. Segmentas ir kreivė be savaiminių susikirtimų.
2. Apskritimas, kvadratas viduje, juosta.
3. Rutulio, kubo ir tetraedro paviršius.
4. Apskritimas, elipsė ir mazgas apskritimas.
5. Žiedas plokštumoje (apskritimas su skylute), žiedas erdvėje, žiedas susuktas du kartus, šoninis cilindro paviršius.
6. Mobius juostelė, t.y. vieną kartą susuktas žiedas ir tris kartus susuktas žiedas.
7. Toro (spurga), rutulio su rankena ir mazginio toro paviršius.
8. Sfera su dviem rankenomis ir kliņģeris su dviem skylutėmis.
Matematinės analizės metu funkcijos tiriamos ribų metodu. Kintamasis ir riba yra pagrindinės sąvokos.
Įvairiuose reiškiniuose vieni dydžiai išlaiko savo skaitinę reikšmę, kiti kinta. Vadinamas visų skaitinių kintamojo reikšmių rinkinys šio kintamojo apimtis.
Iš įvairių kintamojo elgesio būdų svarbiausias yra tas, kuriuo kintamasis siekia tam tikrą ribą.
pastovus skaičius a paskambino kintamasis x jei absoliuti skirtumo reikšmė tarp x ir a() tampa keičiant kintamąjį x savavališkai mažas:
Ką reiškia "savavališkai mažas"? kintamasis X linkęs į ribą a, jei bet kuriam savavališkai mažam (savavališkai mažam) skaičiui yra toks kintamojo pasikeitimo momentas X, pradedant nuo kurios nelygybė .
Ribos apibrėžimas turi paprastą geometrinę reikšmę: nelygybę reiškia kad X yra taško kaimynystėje a,
tie. intervale
.
Taigi ribos apibrėžimas gali būti pateiktas geometrine forma:
Skaičius a yra kintamojo riba X, jei kokiam savavališkai mažam (savavališkai mažam) -skaičiaus kaimynystė a galite nurodyti tokį kintamojo keitimo momentą X, nuo kurios visos jo reikšmės patenka į nurodytą taško kaimynystę a.
komentuoti. kintamasis X gali priartėti prie savo ribos įvairiais būdais: likdamas mažesnis už šią ribą (kairėje), daugiau (dešinėje), svyruodamas apie ribos reikšmę.
Sekos riba
Funkcija vadinamas dėsniu (taisykle), pagal kurį kiekvienas elementas x kažkoks rinkinys X atitinka vieną elementą y rinkiniai Y.
Funkciją galima apibrėžti visų natūraliųjų skaičių aibėje: . Tokia funkcija vadinama natūralaus argumento funkcija arba skaitinė seka.
Kadangi sekos, kaip ir bet kurios begalinės aibės, negalima nurodyti išvardijant, ji nurodoma bendru nariu: , kur yra bendras sekos terminas.
Diskretusis kintamasis yra bendras sekos narys.
Sekos atveju žodžiai „pradedant tam tikru momentu“ reiškia „pradedant nuo tam tikro skaičiaus“.
Skaičius a vadinama sekos riba , jei bet kuriam savavališkai mažam (savavališkai mažam) skaičiui toks skaičius egzistuoja N, kuri visiems sekos nariams su numeriu n>N nelygybę
.
arba
adresu
.
Geometriškai sekos ribos apibrėžimas reiškia: bet kokiai savavališkai mažai (savavališkai mažai) skaičiaus kaimynystėje a yra toks skaičius, kad visi sekos terminai yra didesni nei N, skaičiai, patenka į šią apylinkę. Už kaimynystės ribų yra tik baigtinis sekos pradinių terminų skaičius. Natūralusis skaičius N priklauso nuo : .