Figūros taško greičio nustatymas plokštumos judėjime. Bet kurio plokštumos figūros taško greičio nustatymas. Sudėtingas taško judėjimas
![Figūros taško greičio nustatymas plokštumos judėjime. Bet kurio plokštumos figūros taško greičio nustatymas. Sudėtingas taško judėjimas](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Savavališkas taško greitis M skaičiai apibrėžiami kaip greičių, kuriuos taškas gauna slenkančio judėjimo metu kartu su ašigaliu ir sukimosi aplink ašigalį, suma.
Įsivaizduokite taško padėtį M kaip (1.6 pav.).
Atskirdami šią išraišką laiko atžvilgiu, gauname:
, nes
.
Tuo pačiu ir greitis prieš MA. kuris taškas M gautas sukant figūrą aplink stulpą BET, bus nustatyta iš išraiškos
prieš MA=ω · MA,
kur ω yra plokščios figūros kampinis greitis.
Bet koks taško greitis M plokščia figūra geometriškai sudaryta iš taško greičio BET, paimtas kaip stulpas, ir greitis, taškai M kai figūra sukasi aplink stulpą. Šio greičio greičio modulis ir kryptis randami sudarant greičių lygiagretainį.
1 užduotis
Nustatyti taško greitį BET, jei volo centro greitis yra 5m/s, volo kampinis greitis . Volelio spindulys r = 0,2 m, kampas . Čiuožykla rieda neslysdama.
Kadangi kūnas atlieka lygiagretų plokštumos judėjimą, taško greitis BET sudarys iš ašigalio greičio (taškas NUO) ir taško gautą greitį BET kai sukasi aplink stulpą NUO.
,
Atsakymas:
Plokštumai lygiagrečiai judančio kūno dviejų taškų greičių projekcijų teorema
Apsvarstykite keletą dviejų punktų BET ir AT plokščia figūra. Taško paėmimas BET vienam poliui (1.7 pav.), gauname
Taigi, projektuojant abi lygybės dalis į ašį, nukreiptą išilgai AB, ir atsižvelgiant į tai, kad vektorius yra statmenas AB, mes randame
prieš B· cosβ=prieš A· cosα+ v A· cos90°.
nes v A· cos90°=0 gauname: dviejų standaus kūno taškų greičių projekcijos per šiuos taškus ašyje yra lygios.
1 užduotis
Branduolys AB slysta lygia siena ir lygiomis grindimis, taško greitis A V A \u003d 5m/s, kampas tarp grindų ir strypo AB lygus 30 0 . Nustatyti taško greitį AT.
Plokštumos figūros taškų greičių nustatymas naudojant momentinį greičių centrą
Nustatant plokščios figūros taškų greitį per ašigalio greitį, ašigalio greitis ir sukimosi aplink ašigalį greitis gali būti vienodi dydžiu ir priešinga kryptimi, ir yra toks taškas P, kurio greitis tam tikru laiko momentu lygus nuliui , vadink jį momentiniu greičių centru.
Momentinis greičio centras Vadinamas taškas, susietas su plokščia figūra, kurio greitis tam tikru laiko momentu lygus nuliui.
Plokščios figūros taškų greičiai nustatomi tam tikru laiko momentu taip, lyg figūros judėjimas akimirksniu suktųsi aplink ašį, einantį per momentinį greičių centrą (1.8 pav.).
prieš A=ω · PA; ().
Nes prieš B=ω · PB; (), tada w = v B/PB=prieš A/PA
Plokščios figūros taškų greičiai yra proporcingi trumpiausiems atstumams nuo šių taškų iki momentinio greičių centro.
Gauti rezultatai leidžia daryti šias išvadas:
1) norint nustatyti momentinio greičių centro padėtį, reikia žinoti greičio dydį ir kryptį bei bet kurių dviejų taškų greičio kryptį BET ir AT plokščia figūra; momentinis greičio centras P yra statmenų, sudarytų iš taškų, susikirtimo taške BET ir ATį šių taškų greitį;
2) kampinis greitis ω plokštumos figūra tam tikru metu yra lygi greičio ir atstumo nuo jos iki momentinio centro santykiui R greičiai: ω =prieš A/PA;
3) Taško greitis momentinio greičių centro P atžvilgiu parodys kampinio greičio w kryptį.
4) Taško greitis yra tiesiogiai proporcingas trumpiausiam atstumui nuo taško AT iki momentinio greičio centro R v A \u003d ω BP
1 užduotis
švaistiklis OA ilgai 0,2 m sukasi tolygiai kampiniu greičiu ω=8 rad/s. Prie švaistiklio AB taške NUOšarnyrinis švaistiklis CD. Tam tikroje mechanizmo padėtyje nustatykite taško greitį D slankiklį, jei kampas .
Taško judėjimas AT ribojamas horizontalių kreiptuvų, slankiklis gali judėti į priekį tik išilgai horizontalių kreiptuvų. Taško greitis AT nukreipta ta pačia kryptimi kaip ir . Kadangi du švaistiklio taškai turi vienodą greičių kryptį, kūnas atlieka momentinį transliacinį judesį, o visų švaistiklio taškų greičiai yra vienodos krypties ir reikšmės.
STANDYTO KŪNO PLOKŠTUMAS JUDĖJIMAS
Studijų klausimai:
1. Standžiojo kūno plokštuminio judėjimo lygtys.
2. Plokščios figūros taškų greitis
3. Momentinis greičių centras
4. Plokštumos figūros taškų pagreičiai
1. Standžiojo kūno plokštuminio judėjimo lygtys
Plokščias standaus kūno judėjimasVadink taijudėjimas, kurio metu visi kūno pjūvio taškai juda savo plokštumoje.
Tegul kietas 1 daro plokščią judesį.
Sekantas lėktuvas
kūne 1
sudaro atkarpą П, kuri juda pjovimo plokštumoje
.
Jei lygiagrečiai plokštumai atlikti kitas kūno dalis, pavyzdžiui, per taškus
ir pan., gulint ant to paties statmenai atkarpoms, tada visi šie taškai ir visos kūno dalys judės vienodai.
Vadinasi, kūno judėjimą šiuo atveju visiškai nulemia vienos iš jo atkarpų judėjimas bet kurioje iš lygiagrečių plokštumų, o pjūvio padėtį lemia dviejų šios pjūvio taškų padėtis, pvz. BET ir AT.
Skyriaus padėtis P lėktuve Oho nustatyti segmento padėtį AB, atliekami šiame skyriuje. Dviejų taškų padėtis plokštumoje BET()
ir AT(
)
apibūdinami keturiais parametrais (koordinatėmis), kuriems taikomas vienas apribojimas - ryšio lygtis segmento ilgio forma AB:
Todėl galima nustatyti atkarpos P padėtį plokštumoje trys nepriklausomi parametrai – koordinatės
taškųBET
ir kampas
,
kuris sudaro segmentą AB su ašimi Oi. tašką BET, pasirinktas atkarpos P padėčiai nustatyti, vadinamas POLAS.
Kai kūno dalis juda, jos kinematiniai parametrai yra laiko funkcijos
Lygtys yra standaus kūno plokštuminio (plokštumos lygiagretaus) judėjimo kinematinės lygtys. Dabar parodysime, kad pagal gautas lygtis plokštumoje judantis kūnas atlieka transliacinius ir sukamuosius judesius. Įtraukite pav. atkarpa duota kūno dalis
koordinačių sistemoje Oho pajudėjo iš pradinės padėties 1
į galutinę 2 padėtį.
Parodykime du galimo kūno išstūmimo iš padėties būdus 1 į 2 poziciją.
Pirmas būdas. Paimkime tašką kaip ašigalį .Perkeliant segmentą
lygiagretus sau, t.y. palaipsniui, išilgai trajektorijos
,
prieš atitikimo taškus
ir
. Segmento padėties gavimas
.
ant kampo
ir gauname galutinę plokščios figūros padėtį, nurodytą segmentu
.
Antras būdas. Paimkime tašką kaip ašigalį . Segmento perkėlimas
lygiagretus sau, t.y. palaipsniui išilgai trajektorijos
prieš atitikimo taškus
ir
.Gaujame atkarpos padėtį
.
Tada pasukite šį segmentą aplink stulpą
ant
kampas
ir gauname galutinę plokščios figūros padėtį, nurodytą segmentu
.
Padarykime tokias išvadas.
1. Plokštuminis judėjimas, visiškai laikantis lygčių, yra transliacinių ir sukamųjų judesių derinys, o kūno plokštuminio judėjimo modelis gali būti laikomas visų kūno taškų transliaciniu judėjimu kartu su ašigaliu ir sukimosi. kūnas poliaus atžvilgiu.
2. Kūno transliacinio judėjimo trajektorijos priklauso nuo poliaus pasirinkimo
.
Ant pav. 13.3 nagrinėjamu atveju matome, kad pirmuoju judėjimo būdu, kai taškas buvo paimtas kaip ašigalis , vertimo trajektorija
žymiai skiriasi nuo trajektorijos
kitam poliui AT.
3. Korpuso sukimasis nepriklauso nuo stulpo pasirinkimo. Kampas
kūno sukimosi modulis ir sukimosi kryptis išlieka pastovūs
. Abiem atvejais, kaip parodyta Fig. 13.3, sukimas buvo prieš laikrodžio rodyklę.
Pagrindinės kūno charakteristikos judant plokštumoje yra: ašigalio trajektorija, kūno sukimosi aplink ašigalį kampas, ašigalio greitis ir pagreitis, kūno kampinis greitis ir kampinis pagreitis. Papildomos ašys
transliaciniu judesiu jie juda kartu su poliu BET lygiagrečiai pagrindinėms ašims Oho palei stulpo kelią.
Plokščios figūros ašigalio greitį galima nustatyti naudojant lygčių laiko išvestines:
Panašiai nustatomos ir kūno kampinės charakteristikos: kampinis greitis ;
kampinis pagreitis
.
Ant pav. prie stulpo BET parodytos greičio vektoriaus projekcijos ant ašies Oi, oi Kūno sukimosi kampas
, kampinis greitis
ir kampinis pagreitis
parodyta lanko rodyklėmis aplink tašką BET. Dėl judėjimo sukimosi charakteristikų nepriklausomybės nuo stulpo pasirinkimo, kampinės charakteristikos
,
,
gali būti rodomas bet kuriame plokščios figūros taške su lanko rodyklėmis, pavyzdžiui, taške B.
Paskaita 3. Plokštumai lygiagretus standaus kūno judėjimas. Greičių ir pagreičių nustatymas.
Ši paskaita apima šiuos klausimus:
1. Plokštumai lygiagretus standaus kūno judėjimas.
2. Plokštumos lygiagretaus judėjimo lygtys.
3. Judesio skaidymas į transliacinį ir sukamąjį.
4. Plokštumos figūros taškų greičių nustatymas.
5. Dviejų kūno taškų greičių projekcijų teorema.
6. Plokštumos figūros taškų greičių nustatymas naudojant momentinį greičių centrą.
7. Greitio nustatymo uždavinių sprendimas.
8. Greičio planas.
9. Plokštumos figūros taškų pagreičių nustatymas.
10. Pagreičio uždavinių sprendimas.
11. Momentinis pagreičio centras.
Šių klausimų studija ateityje reikalinga standaus kūno plokštuminio judėjimo dinamikai, materialaus taško santykinio judėjimo dinamikai, disciplinų „Mašinų ir mechanizmų teorija“ ir „Mašinų dalys“ uždaviniams spręsti. “.
Plokštuminis lygiagretus standaus kūno judėjimas. Plokštumos lygiagretaus judėjimo lygtys.
Judesio skaidymas į transliacinį ir sukamąjį
Plokštuma lygiagreti (arba plokščia) yra toks standaus kūno judėjimas, kai visi jo taškai juda lygiagrečiai tam tikrai fiksuotai plokštumai P(28 pav.). Plokštuminį judėjimą atlieka daugelis mechanizmų ir mašinų dalių, pavyzdžiui, riedantis ratas tiesioje bėgių kelio atkarpoje, švaistiklis švaistiklio-slankiklio mechanizme ir kt. Ypatingas plokštumos lygiagretaus judėjimo atvejis yra sukamasis judėjimas. standaus kūno aplink fiksuotą ašį.
28 pav.29 pav
Apsvarstykite skyrių S kažkokios plokštumos kūnai Oxy, lygiagrečiai plokštumai P(29 pav.). Lygiagrečiai judant, visi kūno taškai yra tiesioje linijoje MM“ statmenai srautui S t.y. lėktuvai P, judėkite identiškai.
Taigi darome išvadą, kad norint ištirti viso kūno judėjimą, pakanka ištirti, kaip jis juda plokštumoje Oho skyrius Sšis kūnas ar kokia nors plokštumos figūra S. Todėl ateityje vietoj plokštuminio kūno judėjimo svarstysime plokštumos figūros judėjimą S jos plokštumoje, t.y. lėktuve Oho.
Figūros padėtis S lėktuve Oho nustatoma pagal kai kurių atkarpų, nubrėžtų šiame paveiksle, padėtis AB(28 pav.). Savo ruožtu segmento padėtis AB galima nustatyti žinant koordinates x A ir y A taškai BET ir kampas, kuris yra segmentas AB formos su ašimi X. tašką BET pasirinktas figūros padėčiai nustatyti S, nuo šiol bus vadinamas stulpu.
Perkeliant dydžio figūrą x A ir y A ir pasikeis. Žinoti judėjimo dėsnį, tai yra figūros padėtį plokštumoje Oho bet kuriuo metu turite žinoti priklausomybes
Lygtys, nustatančios vykstančio judėjimo dėsnį, vadinamos plokščios figūros judėjimo jos plokštumoje lygtimis. Jie taip pat yra standaus kūno plokštumos lygiagretaus judėjimo lygtys.
Pirmosios dvi iš judesio lygčių apibrėžia judėjimą, kurį figūra atliktų, jei =const; akivaizdu, kad tai bus transliacinis judėjimas, kurio metu visi figūros taškai juda taip pat, kaip ir ašigalis BET. Trečioji lygtis nustato judėjimą, kurį figūra atliktų ties ir , t.y. kai stulpas BET nejudantis; tai bus figūros sukimasis aplink ašigalį BET. Iš to galime daryti išvadą, kad bendru atveju plokščios figūros judėjimas jos plokštumoje gali būti laikomas transliacinio judesio suma, kurioje visi figūros taškai juda taip pat, kaip ir ašigalis. BET, ir nuo sukamojo judesio aplink tą polių.
Pagrindinės nagrinėjamo judėjimo kinematinės charakteristikos yra transliacinio judėjimo greitis ir pagreitis, lygus ašigalio greičiui ir pagreičiui, taip pat sukimosi aplink ašigalį kampinis greitis ir kampinis pagreitis.
Plokštumos figūros taškų greičių nustatymas
Pastebėta, kad plokščios figūros judėjimas gali būti laikomas transliacinio judesio suma, kai visi figūros taškai juda ašigalio greičiu BET, ir nuo sukamojo judesio aplink tą polių. Parodykime, kad bet kurio taško greitis M figūros formuojamos geometriškai iš greičių, kuriuos taškas gauna kiekviename iš šių judesių.
Iš tiesų, bet kurio taško padėtis M skaičiai apibrėžti ašių atžvilgiu Oho spindulio vektorius (30 pav.), kur yra poliaus spindulio vektorius BET, - vektorius, apibrėžiantis taško padėtį M apie ašis, judančias su stulpu BET transliaciniu požiūriu (figūros judėjimas šių ašių atžvilgiu yra sukimasis aplink ašigalį BET). Tada
Prisiminkite, kad plokščios figūros judėjimas gali būti laikomas transliacinio judesio, kartu su ašigaliu ir sukimosi aplink ašigalį, suma.
Pagal šitą plokštumos figūros savavališko taško M greitis geometriškai yra kurio nors taško A, paimto kaip ašigalis, greičio ir greičio, kurį taškas M gauna, kai figūra sukasi aplink šį polių, suma, t.y.
Tuo pačiu ir greitis VMA apibrėžiamas kaip taško greitis M kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, einančią per tašką BET statmenai judėjimo plokštumai (žr. § 7.2), t.y.
Taigi, jei žinomas stulpo greitis VA o kūno kampinis greitis w, tada
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
bet kurio taško greitis M kūno dalis nustatoma pagal lygybę (8.2), vektoriais pastatytos lygiagretės įstrižainė VA ir VMA, kaip ir šonuose (8.3 pav.), ir greičio modulį V M apskaičiuojamas pagal formulę
kur y yra kampas tarp vektorių VA ir VMA
8.1 problema. Ratas rieda fiksuotu paviršiumi neslysdamas (8.4 pav., a). Raskite greičio taškus Į ir D ratai, jei greitis žinomas Vc centrinis C ratas, spindulys R ratai, atstumas COP = b ir kampas a.
Sprendimas. 1. Nagrinėjamas rato judėjimas yra plokštuminis lygiagretus. Pagal bendrąją lygybę (8.2) imant tašką C ašigaliu (kadangi jo greitis žinomas) Į galime parašyti
Tačiau nėra jokio būdo nustatyti vertę V KC , kadangi kampinis greitis nežinomas.
Norėdami nustatyti w, apsvarstykite kito taško, būtent taško, greitį R liečiant ratą ant fiksuoto paviršiaus (8.4 pav., b). Šiam taškui galime parašyti lygybę
taško savybė R yra faktas, kad šiuo metu Vp - 0, nes ratas rieda neslysdamas. Tada lygybė (b) įgauna formą
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
iš kur gauname
Iš čia išplaukia: 1) greičio vektoriai V PC ir Vc turi būti nukreiptas priešingomis kryptimis; 2) nuo modulių lygybės V PC - V a mes gauname uPC = V c , iš čia randame w = Vc /PC = Vc /R. Pagal vektoriaus kryptį V PC nustatykite lanko rodyklės w kryptį ir parodykite ją brėžinyje (8.4 pav., b).
Dabar grįžkime prie apibrėžimo V K lygybe (a). Mes randame
Vks \u003d apie KS - V ^ b / R.Žinodami kampinio greičio ω kryptį, pavaizduojame vektorių V KC statmenai atkarpai KS ir atlikti vektorių lygiagretainio konstravimą Vc ir V KC(8.4 pav., in). Kadangi šiuo atveju Vc ir V KC viena kitai statmenos, pagaliau randame
2. Taško greitis D ant rato ratlankio, nustatome iš lygybės V D = V C + V DC . Kadangi skaičiais VDC - co R - V c , tada ant vektorių pastatytas lygiagretainis Vc ir VDC, bus rombas. Kampas tarp Vc ir VDC lygus 2a. Apibrėžęs V D kaip atitinkamos rombo įstrižainės ilgį gauname
Dviejų standaus kūno taškų greičių projekcijų teorema
Pagal lygybę (8.2) dviem_ savavališkais taškais BET ir AT standus kūnas lygybė V B \u003d V A + V B A, pagal kurią atliekame konstrukciją, parodytą pav. 8.5. Šios lygybės projektavimas į ašį Az, siekiama A B mes gauname Protas + VBAz. Atsižvelgiant į tai, kad vektorius VBA statmenai linijai
A B rasti
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Šis rezultatas išreiškia teoremą: dviejų standaus kūno taškų greičių projekcijos ašyje, einančioje per šiuos taškus, yra lygios viena kitai.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Pastebime, kad lygybė (8.5) matematiškai atspindi tai, kad kūnas laikomas absoliučiai standžiu, ir atstumą tarp taškų BET ir AT nesikeičia. Štai kodėl lygybė (8.5) tenkinama ne tik plokštumai-lygiagrečiai, bet ir bet kokiam standaus kūno judesiui.
8.2 problema. Vijokliai BET ir AT, sujungti strypu su vyriais galuose, jie brėžinio plokštumoje perkeliami išilgai vienas kitam statmenų kreiptuvų (8.6 pav., a). Nustatykite taško greitį tam tikru kampu AT, jei greitis žinomas V A .
Sprendimas. Nubrėžkime x ašį per taškus BET ir AT.Žinant kryptį VA ,
Raskite šio vektoriaus projekciją tiesėje AB: V Ax – V A cos a (8.6 pav., b tai bus pjūvis Ah). Toliau piešinys iš taško AT atidėti Bb - Aa(nes segmentas Ak esantis x ašyje į dešinę nuo taško BET, tada segmentas Bb atidėtas nuo taško AT x ašyje į dešinę). Prisikėlimas taške b statmenai tiesei AB, Raskite vektoriaus galinį tašką V B.
Pagal projekcijos teoremą VA cos a = K^cosp. Iš čia (atsižvelgiant į tai, kad Р = 90 ° - a) galiausiai gauname V B = VA cos a/cos(90° - a) arba V B = = VA ctg a.
Taškinių greičių nustatymas naudojant momentinį greičių centrą
Norėdami nustatyti plokštumos figūros taškų greitį, polių pasirenkame bet kurį tašką R. Tada pagal formulę
(8.2), savavališko taško greitis M apibrėžiamas kaip dviejų vektorių suma:
Jei stulpo greitis R tam tikru metu buvo lygus nuliui, tada dešinioji šios lygybės pusė būtų vaizduojama vienu nariu Pas MR o bet kurio taško greitis būtų apibrėžtas kaip taško greitis M kūną, kai jis sukasi aplink fiksuotą stulpą R.
Todėl, jei tašką pasirinksime ašigaliu R, kurio greitis tam tikru metu lygus nuliui, tada visų paveikslo taškų greičių moduliai bus proporcingi jų atstumams iki poliaus P, o visų taškų greičių vektorių kryptys – statmenos tiesėms, jungiančioms nagrinėjamą tašką ir polių P. Natūralu, kad skaičiavimas pagal formules (8.6) yra daug paprastesnis nei skaičiavimas pagal bendrą formulę (8.2).
Plokščios figūros, kurios greitis tam tikru laiko momentu lygus nuliui, taškas vadinamas momentiniu greičių centru (MCS). Nesunku įsitikinti, kad jei figūra juda neverčiamai, tai toks taškas egzistuoja kiekvienu laiko momentu ir, be to, yra unikalus. Atkreipkite dėmesį, kad momentinis greičių centras gali būti tiek pačioje figūroje, tiek jos protiniame tęsinyje.
Apsvarstykite būdus, kaip nustatyti momentinio greičių centro padėtį.
1. Tegul laiko momentu tplokštumos figūros jum, jos kampinis greitis ω ir greitis VA bet kurį jo tašką BET(8.7 pav., a). Tada pasirenkamas taškas BET kaip polius,_greitis_taško, kurio ieškome R galima nustatyti pagal formulę Vp = VA + VpA –
Problema yra rasti tokį tašką R, kuriame V P=0, taigi jai V A + U RL=0 ir vadinasi Y RA \u003d -Y A. Todėl dėl reikalo R greitis At RA kuris taškas R gautas sukant figūrą aplink stulpą BET, ir greitis A polių BET lygus moduliu (Y RA = Y A) arba apie ZAR = U A ir priešinga kryptimi. Be to, taškas R turi gulėti statmenai vektoriui At A. Taško padėties nustatymas R atliekama taip: nuo taško BET(8.7 pav., b) pastatykite statmeną vektoriui A ir nustatykite atstumą AR = Y A/co kitoje taško pusėje BET, kur vektorius „rodys“ At Ir jei jis pasuktas 90 ° lanko rodyklės kryptimi co.
Momentinis greičių centras yra vienintelis plokštumos taškas, kurio greitis tam tikru metu yra lygus nuliui.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Kitu laiko momentu momentinis greičių centras jau gali būti kitas plokštumos figūros taškas.
2. Tegul žinomos greičių kryptys VA ir in(8.8 pav., a) du taškai BET ir AT plokštumos figūra (be to, šių taškų greičio vektoriai nėra lygiagretūs), arba žinomi elementarieji šių taškų poslinkiai. Momentinis greičių centras bus statmenų, iškeltų iš taškų A ir B, susikirtimo taške su šių taškų greičiais (arba į elementarius taškų poslinkius). Tokia konstrukcija parodyta fig. 8.8, b. Jis pagrįstas tuo, kad už bet kokius taškus A ir B taikomų nuostatų skaičiai (8.6):
Iš šių lygybių išplaukia, kad
Žinant MCC padėtį ir kūno kampinį greitį, taikant (8.6) formules, nesunku nustatyti bet kurio šio kūno taško greitį. Pavyzdžiui, dėl taško Į(žr. 8.8 pav., b) modulio greitis V K = coKP, vektorius U iki nukreiptas statmenai tiesei KR pagal
lanko rodyklės kryptis y.
Vadinasi, plokščios figūros taškų greičiai nustatomi tam tikru laiko momentu taip, lyg ši figūra suktųsi aplink momentinį greičių centrą.
3. Jei greitis taškai BET ir AT plokštumos figūros yra lygiagrečios viena kitai, tada galimi trys variantai, kurie parodyti pav. 8.9. Tais atvejais, kai tiesioginis AB statmenai vektoriams VA ir V B(8.9 pav., a, b) konstrukcijos pagrįstos proporcija (8,7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Jei taškų greitis Lee V lygiagretus ir tiesus AB_nt statmenai VBET(8.9 pav., į), tada statmenai pas U A ir V B yra lygiagrečios, o momentinis greičių centras yra begalybėje (AP = oo); figūros sukimosi kampinis greitis w = VJAP=VA/cc= 0. Šiuo atveju visų figūros taškų greičiai tam tikru laiko momentu yra lygūs vienas kitam, t.y., figūra turi greičių pasiskirstymą kaip ir transliacinio judėjimo metu. Ši judėjimo būsena vadinama akimirksniu progresuoja. Atkreipkite dėmesį, kad šioje būsenoje visų kūno taškų pagreičiai nebus vienodi.
4. Jei plokštuminis kūno judėjimas atliekamas riedant neslystant fiksuotu paviršiumi (8.10 pav.), tai sąlyčio taškas. R bus momentinis greičių centras (žr. 8.1 uždavinį).
8.3 problema. Plokščias mechanizmas susideda iš 7 strypų, 2, 3, 4 ir vikšrinis AT(8.11 pav.), sujungti vienas su kitu ir su fiksuotomis atramomis 0 { ir 0 2 vyriai; taškas D yra strypo viduryje AB. Strypų ilgiai: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m ir nukreipti prieš laikrodžio rodyklę. Apibrėžkite V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , iki 4 ir taško greitis Į strypo viduryje DE (DK = KE).
Sprendimas. Nagrinėjamame mechanizme strypai 7, 4 atlikti sukamąjį judesį AT- progresyvus, ir strypai 2, 3 -
plokštumos lygiagretus judėjimas.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Taško greitis BET mes apibrėžiame kaip priklausantį strypui 7, kuris atlieka sukamąjį judesį:
Apsvarstykite strypo judėjimą 2. Taško greitis BET yra apibrėžta, ir taško greičio kryptis AT dėl to, kad jis vienu metu priklauso strypui 2 ir lytis-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zunas juda išilgai kreiptuvų. Dabar atkūrimas iš taškų BET ir AT statmenai A ir slankiklio judėjimo kryptį AT, raskite taško C 2 padėtį - strypo MCS 2.
Vektoriaus kryptimi U A atsižvelgiant į tai, kad nagrinėjamoje mechanizmo padėtyje strypas 2 sukasi aplink tašką C 2, kampinio greičio kryptį nustatome iš 2 strypų 2 ir raskite jo skaitinę reikšmę (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, kur AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (gausime svarstydami A AC ~, B).
Dabar mes nustatome skaitines reikšmes ir taškų greičių kryptis AT ir D strypas 2 (nes ABDC 2 tada lygiakraštis BC 2 – DC 2 – 0,6 m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Apsvarstykite strypo judėjimą 3. Taško greitis Džinomas. Nuo taško E kartu priklauso ir meškerei 4, sukasi aplink ašį 0 4 , tada Y e 10 4 E. Tada, eidami per taškus D ir E tiesios linijos, statmenos greičiui V D w V E , Raskite taško C 3 padėtį - strypo MCS
3. Vektoriaus kryptimi V D ,žvelgiant iš fiksuoto taško С 3 nustatome kampinio greičio с 3 kryptį ir randame jo skaitinę reikšmę (anksčiau nustačius iš AZ) C 3 ? segmentas Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Norėdami nustatyti taško greitį Į nubrėžkime tiesią liniją COP 3 ir atsižvelgiant į tai AR K Nuo 3 lygiakraštis ( COP 3 = 0,35 m), apskaičiuokite Y k \u003d \u003d 0,462 m/s, U į AKS 3.
Apsvarstykite strypo_4 judesį, besisukantį aplink ašį 0 4 . Krypties ir skaitinės reikšmės žinojimas V E , kampinio greičio kryptį ir reikšmę randame iš 4: nuo 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Atsakymas: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 = 1,32 s -1, (o 4 = 2,67 s -1, šių dydžių kryptys parodytos 8.11 pav.).
Pastaba.Mechanizme, susidedančiame iš kelių kūnų, kiekvienas tam tikru laiko momentu nejudantis kūnas turi savo momentinį greičių centrą ir savo kampinį greitį.
8.4 problema. Plokščiasis mechanizmas susideda iš strypų 1, 2, 3 ir volelis, kuris rieda neslysdamas fiksuota plokštuma (8.12 pav., a). Strypų jungtys tarp jų ir strypo 3 į čiuožyklą taške D-šarnyriniai. Strypų ilgiai: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Pateiktiems kampams a = 60°, B = 30° kampo reikšmės ir kryptys O ledo čiuožykla V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Nustatykite taško greitį AT o kampinis greitis nuo 2 .
Sprendimas. Mechanizmas turi du laisvės laipsnius (jo padėtį lemia du kampai a ir p, nepriklausomi vienas nuo kito) ir taško greitį AT(bendras strypų taškas 2 ir 3) priklauso nuo taškų greičių BET ir D.
Atsižvelgiant į strypo judėjimą /, n randame taško kryptį ir greičio reikšmę A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Apsvarstykite ritinėlio judėjimą. Jo momentinis greičių centras yra taške R; tada V D rasti iš proporcijos
Kadangi A DOP lygiašoniai ir smailieji kampai jame yra lygūs 30 °, tada DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Iš lygybės (a) randame VD- 0,6 m/s. Vektorius V D nukreiptas statmenai D.P.
Nuo taško AT kartu priklauso ir strypams AB ir BD, tada pagal greičio projekcijos teoremą turėtų būti: 1) vektoriaus projekcija in tiesiogiai A B A(linijos segmentas Ak pav. 8.12, a), t.y. A cos a = 0,4 m/s; 2) vektorinė projekcija in tiesiogiai D.B. yra lygi projekcijai į šią vektoriaus tiesę 0(linijos segmentas Dd pav. 8.12, a), t.y. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Išspręskime grafiškai. Atidėkite nuo taško AT pjūviai atitinkamomis kryptimis Bb (= Aa ir Bb 2 = Dd. Taško greitis AT lygi vektorių sumai V B = Bb + Bbj. Atkūrimas iš taško b ( statmenai Bb x, ir iš
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
taškų b 2 - statmenai Bb 2. Šių statmenų susikirtimo taškas nustato norimo vektoriaus pabaigą V B.
Kadangi segmentų kryptys Bb ir Bb 2 tada viena kitai statmenai
Mes nustatome iš 2 . Ant pav. 8.12, b parodytas vadinamasis greičio planas, kuriame grafiškai pavaizduota vektorių lygybė
kur vektoriai VA ir V B apibrėžta (žr. 8.12 pav., a), ir kryptis VBA statmenai strypui AB. Iš brėžinio (8.12 pav., b) rasti
Dabar apibrėžiame 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (kryptis nuo 2 - prieš laikrodžio rodyklę).
Atsakymas: VB- 0,5 m / s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Plokščios figūros judėjimas susideda iš transliacinio judesio, kai visi figūros taškai juda ašigalio greičiu BET, o nuo sukimosi judėjimo aplink šį polių (3.4 pav.). Bet koks taško greitis M figūros formuojamos geometriškai iš greičių, kuriuos taškas gauna kiekviename iš šių judesių.
3.4 pav
Tikrai taško padėtis M ašių atžvilgiu Oiy nustatomas spinduliu – vektoriumi , kur
- poliaus spindulio vektorius BET,
=
- spindulio vektorius, apibrėžiantis taško padėtį M santykinai
juda su stulpu BET palaipsniui. Tada
.
yra stulpo greitis BET,
lygus greičiui
, kuris taškas M gauna val
, t.y. apie kirvius
, arba, kitaip tariant, kai figūra sukasi aplink stulpą BET. Taigi iš to seka
kur ω yra figūros kampinis greitis.
3.5 pav
Šiuo būdu, bet kurio plokštumos figūros taško M greitis geometriškai yra kokio nors kito taško A, paimto kaip ašigalis, greičio ir greičio, kurį gauna taškas M, kai figūra sukasi aplink šį polių, suma. Modulis ir greičio kryptis randami sukonstruojant atitinkamą lygiagretainį (3.5 pav.).
10.3. Dviejų kūno taškų greičių projekcijų teorema
Vienas iš paprastų būdų plokštumos figūros (arba plokštumai lygiagrečiai judančio kūno) taškų greičiams nustatyti yra teorema: dviejų standaus kūno taškų greičių projekcijos ašyje, einančioje per šiuos taškus, yra lygios viena kitai.
3.6 pav
Apsvarstykite keletą dviejų punktų BET ir AT plokščia figūra (arba kūnas) (3.6 pav.). Taško paėmimas BET vienam poliui tai gauname . Taigi, projektuojant abi lygybės dalis į ašį, nukreiptą išilgai AB, ir atsižvelgiant į tai, kad vektorius
statmenai AB, mes randame
|
o teorema įrodyta. Atkreipkite dėmesį, kad šis rezultatas aiškus ir iš grynai fizinių sumetimų: jei lygybė nebus atliktas, tada perkeliant atstumą tarp taškų BET ir AT turi pasikeisti, o tai neįmanoma – kūnas absoliučiai tvirtas. Todėl ši lygybė tenkinama ne tik plokštumai lygiagrečiai, bet ir bet kokiam standaus kūno judesiui.
10.4. Plokštumos figūros taškų greičių nustatymas naudojant momentinį greičių centrą
Kitas paprastas ir iliustratyvus plokštumos figūros (arba kūno plokštumoje judančio kūno) taškų greičių nustatymo metodas yra pagrįstas momentinio greičių centro samprata.
Momentinis greičių centras (ICV) yra plokščios figūros, kurios greitis tam tikru laiko momentu lygus nuliui, taškas.
Jei figūra juda neverčiamai, tai toks taškas kiekvienu laiko momentu t egzistuoja ir yra unikalus. Leiskite šiuo metu t taškų BET ir AT figūros plokštumos turi greičius ir
, nelygiagreti vienas kitam (3.7 pav.). Tada esmė R gulinčios statmenų sankirtoje Akį vektorių
ir ATbį vektorių
, ir bus momentinis greičių centras, nes
.
3.7 pav
Tikrai, jei , tada pagal greičio projekcijos teoremą vektorius
turi būti ir statmenos, ir AR(nes
), ir VR(nes
), o tai neįmanoma. Iš tos pačios teoremos aišku, kad joks kitas figūros taškas šiuo laiko momentu negali turėti greitį, lygų nuliui.
Jei dabar tuo metu t imk tašką R už stulpą. Tai yra taško greitis BET bus
,
nes =0. Tas pats rezultatas gaunamas bet kuriame kitame figūros taške. Tada plokščios figūros taškų greičiai nustatomi tam tikru laiko momentu taip, tarsi figūros judėjimas būtų sukimasis aplink momentinį greičių centrą. Kuriame
|
ir taip toliau bet kuriame figūros taške.
Iš to taip pat išplaukia, kad ir
, tada
|
tie. ką plokštumos figūros taškų greičiai proporcingi jų atstumui nuo momentinio greičių centro.
Gauti rezultatai leidžia daryti šias išvadas:
1. Norint nustatyti momentinį greičių centrą, reikia žinoti tik greičių kryptis, pvz.ir
bet kurie du plokštumos figūros taškai A ir B.
2. Norėdami nustatyti bet kurio plokštumos figūros taško greitį, turite žinoti bet kurio figūros taško A greičio modulį ir kryptį bei kito jo taško B greičio kryptį.
3. Kampinis greitisplokščios figūros dydis kiekvienu laiko momentu yra lygus kurio nors figūros taško greičio ir atstumo nuo momentinio greičių centro P santykiui:
|
Raskime kitą išraišką ω
nuo lygybių ir
seka tuo
ir
, kur
|
Panagrinėkime keletą specialių MCC apibrėžimo atvejų, kurie padės išspręsti teorinę mechaniką.
1. Jei plokštumai lygiagretus judėjimas atliekamas riedant neslystant vienam cilindriniam korpusui kito nejudančio kūno paviršiumi, tai taškas R riedančio kūno, besiliečiančio su fiksuotu paviršiumi (3.8 pav.), tam tikru laiko momentu, nes neslysta, greitis lygus nuliui ( ), taigi yra momentinis greičių centras.
3.8 pav
2. Jei greitis taškai BET ir AT plokščia figūra yra lygiagrečios viena kitai, o linija AB ne statmenai (3.9 pav., a), tada momentinis greičių centras yra begalybėje ir visų taškų greitis //
. Šiuo atveju iš greičio projekcijos teoremos išplaukia, kad
, t.y.
, šiuo atveju figūra turi momentinį transliacinį judesį.
3. Jei greitis taškai BET ir AT plokščia figūra // vienas kitam ir tuo pačiu linija AB statmenai , tada momentinis greičių centras R lemia konstrukcija (3.9 pav., b).
3.9 pav
Konstrukcijų galiojimas išplaukia iš . Šiuo atveju, skirtingai nuo ankstesnių, rasti centrą R be nuorodų, reikia žinoti ir greičių modulius
ir
.
4. Jei greičio vektorius žinomas tam tikras taškas AT figūra ir jos kampinis greitis ω
, tada momentinio greičių centro padėtis R gulinčios statmenai
(žr. pav.?), galima rasti iš lygybės
, kuris suteikia
.