Sumažėjusių likučių suma modulo n. Išėmimo sistemos. Pratimai savarankiškam darbui
![Sumažėjusių likučių suma modulo n. Išėmimo sistemos. Pratimai savarankiškam darbui](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
arba bet kuris iš eilės p numeriai.
Ši sistema vadinama pilna skaičių, kurių modulis nėra palyginamas, sistema p arba pilna likučių sistema modulo p. Akivaizdu, kad bet kuri p iš eilės einantys skaičiai sudaro tokią sistemą.
Visi tai pačiai klasei priklausantys skaičiai turi daug bendrų savybių, todėl modulio atžvilgiu juos galima laikyti vienu skaičiumi. Kiekvienas skaičius, įtrauktas į palyginimą kaip suma arba veiksnys, nepažeidžiant palyginimo gali būti pakeistas su juo palyginamu skaičiumi, t.y. su numeriu, priklausančiu tai pačiai klasei.
Kitas elementas, bendras visiems tam tikros klasės skaičiams, yra didžiausias bendras kiekvieno šios klasės ir modulio elemento daliklis p.
Leisti a ir b panašus modulis p, tada
Teorema 1. Jei į kirvis+b vietoj x sutvarkykim viska p visos skaičių sistemos nariai
Todėl visi skaičiai kirvis+b, kur x=1,2,...p-1 nėra lyginami modulio p(kitaip skaičiai 1,2,... p-1 būtų palyginamas modulis p.
Pastabos
1) Šiame straipsnyje žodis skaičius reiškia sveikąjį skaičių.
Literatūra
- 1. K. Ireland, M. Rosen. Klasikinis įvadas į šiuolaikinę skaičių teoriją. - M: Mir, 1987 m.
- 2. G. Davenportas. Aukštoji aritmetika.- M: Nauka, 1965 m.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Paskaitos apie skaičių teoriją. − Maskva, 1936 m.
Modulo likučių žiedas nžymi arba . Žymima jo dauginamoji grupė, kaip ir bendruoju žiedų apverčiamųjų elementų grupių atveju ∗ × × .
Paprasčiausias atvejis
Norėdami suprasti grupės struktūrą, galime apsvarstyti specialų atvejį, kai yra pirminis skaičius, ir jį apibendrinti. Apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai , tai yra .
Teorema: - ciklinė grupė.
Pavyzdys : Apsvarstykite grupę
= (1,2,4,5,7,8) Grupės generatorius yra skaičius 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Kaip matote, bet kuris grupės elementas gali būti pavaizduotas kaip , kur ≤ℓφ . Tai yra, grupė yra cikliška.Bendras atvejis
Norint nagrinėti bendrą atvejį, būtina apibrėžti primityviąją šaknį. Primityvi šaknis modulo a pirminis yra skaičius, kuris kartu su likučių klase sukuria grupę.
Pavyzdžiai: 2 11 ; 8 - primityvi šaknis modulo 11 ; 3 nėra primityvi modulio šaknis 11 .Viso modulio apibrėžimas yra tas pats.
Grupės struktūra nustatoma pagal tokią teoremą: Jei p yra nelyginis pirminis skaičius, o l yra teigiamas sveikas skaičius, tai yra primityviosios šaknys modulo , tai yra ciklinė grupė.
Pavyzdys
Sumažinta likučių sistema modulo susideda iš likučių klasių: . Kalbant apie likučių klasėms apibrėžtą dauginimą, jie sudaro grupę, be to, ir yra atvirkštiniai (ty ⋅ ) ir yra atvirkštiniai sau.
Grupės struktūra
Įrašas reiškia „n eilės ciklinę grupę“.
× | φ | λ | Grupės generatorius | × | φ | λ | Grupės generatorius | × | φ | λ | Grupės generatorius | × | φ | λ | Grupės generatorius | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4 × C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 × C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4 × C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 × C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6 × C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6 × C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 × C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Taikymas
Dėl sunkumų, Farm, Hooley, . Waringas suformulavo Wilsono teoremą, o Lagranžas ją įrodė. Euleris pasiūlė primityviųjų šaknų egzistavimą pirminio skaičiaus modulio. Gaussas tai įrodė. Artinas iškėlė savo hipotezę apie pirminių skaičių, kurių duotas sveikasis skaičius yra primityvioji šaknis, egzistavimą ir kiekybinį įvertinimą. Brouwer prisidėjo nagrinėjant iš eilės einančių sveikųjų skaičių aibių, kurių kiekvienas yra k-oji galios modulio p, egzistavimo problemą. Bielhartzas įrodė Artino spėjimo analogą. Hooley įrodė Artino spėjimą darydamas prielaidą, kad išplėstinė Riemano hipotezė galioja algebrinių skaičių laukuose.
Pastabos
Literatūra
- Airija K., Rosen M. Klasikinis įvadas į šiuolaikinę skaičių teoriją. - M.: Mir, 1987 m.
- Alferovas A.P., Zubovas A.Yu., Kuzminas A.S. Čeremuškinas A.V. Kriptografijos pagrindai. - Maskva: „Helios ARV“, 2002 m.
- Rostovtsevas A.G., Makhovenko E.B. Teorinė kriptografija. – Sankt Peterburgas: NPO „Profesionalus“, 2004 m.
PAGRINDINĖ INFORMACIJA IŠ TEORIJOS
6. 1. 1 apibrėžimas.
Skaičių klasė modulo m yra aibė visų tų ir tik tų sveikųjų skaičių, kuriuos padalijus iš m, lieka ta pati r, ty palyginama modulio m (t Î N, t> 1).
Skaičių klasės su liekana žymėjimas r: .
Kiekvienas numeris iš klasės vadinama liekana modulo m, o pati klasė vadinama likučių klase modulo m.
6. 2. Modulinių likučių klasių rinkinio savybės t:
1) bendras modulis t bus t Likučių klasės: Z t = { , , , … , };
2) kiekvienoje klasėje yra begalinis sveikųjų skaičių (likučių) rinkinys, kurio forma: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), tai yra, paimti bet kokie du likučiai iš vieno klasė, palyginamas modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), tai yra, nėra dviejų likučių; paimtas iš skirtingų klases nepalyginamas modulo t.
6. 3. 3 apibrėžimas.
Visa modulo m likučių sistema yra bet koks m skaičių rinkinys, paimtas vienas ir tik vienas iš kiekvienos likučių klasės modulo m.
Pavyzdys: jeigu m= 5, tada (10, 6, - 3, 28, 44) yra visa modulo 5 likučių sistema (ir ne vienintelė!)
Visų pirma,
rinkinys (0, 1, 2, 3, … , m–1) yra sistema mažiausias neneigiamas atskaitymai;
rinkinys (1, 2, 3, … , m –1, t) yra sistema mažiausiai teigiamas atskaitymai.
6. 4. Prisimink tai:
jei ( X 1 , X 2 , … , x t) yra visa modulo likučių sistema t, tada
.
6. 5. 1 teorema.
Jeigu {X 1 , X 2 , … , x t} – pilna likučių sistema modulo m, "a, bÎ Z ir(a, t) = 1, – tada skaičių sistema {Oi 1 +b, Oi 2 + b, … , ai t+b} taip pat sudaro pilną likučių sistemą modulo m .
6. 6. 2 teorema.
Visos tos pačios klasės likučių modulio m liekanos turi tą patį didžiausią bendrą daliklį su m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. 4 apibrėžimas.
Likučių klasė modulo m vadinamas koprime su modulo m,jei bent viena šios klasės liekana yra koprime su t.y.
Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju pagal 2 teoremą visišios klasės skaičiai bus koprime su moduliu t.
6. 8. 5 apibrėžimas.
Sumažinta likučių sistema modulo m – tai likučių sistema, paimta po vieną iš kiekvienos klasės koprime į m.
6. 9. Prisimink tai:
1) sumažinta likučių sistema modulo t yra j( t) skaičiai ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Pavyzdys : Tegul modulo t= 10 yra 10 likučių klasių:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) yra 10 modulio likučių klasių rinkinys. Pilna atskaitymų sistema mod 10 būtų, pavyzdžiui, šis: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Daug likučių klasių, koprime su moduliu m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Sumažinta atskaitymų sistema modulo 10 būtų, pavyzdžiui,
(1, 3, 7, 9) arba (11, 43, – 5, 17), arba ( – 9, 13, – 5, 77) ir kt. (visur j(10) = 4 skaičiai).
6.10. Praktiškai: suformuoti vieną iš galimų sumažintų likučių sistemų mod m, iš visos likučių sistemos mod m reikia pasirinkti tas liekanas, kurios yra kopirminės su m. Tokie skaičiai bus j( t).
6.11. 3 teorema.
Jeigu{X 1 , X 2 ,…, } – sumažinta likučių sistema modulo m ir
(a, m) = 1, – tada skaičių sistema {Oi 1 , Oi 2 , … , kirvis j (t)} taip pat formuojasi
sumažinta likučių sistema modulo m .
6.12. 6 apibrėžimas.
suma( Å ) atskaitymo klases ir +b lygi bet kurių dviejų išskaičiavimų, paimtų iš kiekvienos nurodytos klasės, sumai ir : Å = , kur"aÎ , "bÎ .
6.13. 7 apibrėžimas.
dirbti( Ä ) atskaitymo klases ir modulo m vadinamas likučių klase , tai yra likučių klasė, susidedanti iš skaičių a ´ b lygus bet kurių dviejų likučių, paimtų po vieną iš kiekvienos nurodytos klasės, sandaugai ir : Ä = , kur"aÎ , "bÎ .
Taigi likučių klasių rinkinyje modulo t: Z t= ( , , ,…, ) apibrėžiamos dvi algebrinės operacijos – "sudėtis" ir "daugyba".
6.14. 4 teorema.
Likučių klasių rinkinys Z t modulo t yra asociatyvinis-komutacinis žiedas su vienetu:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – žiedas.
TIPINĖS UŽDUOTYS
1. Modulo t= 9:
1) pilna mažiausiai teigiamų likučių sistema;
2) pilna mažiausiai neneigiamų likučių sistema;
3) savavališka visa atskaitų sistema;
4) pilna mažiausių absoliučių atskaitymų sistema.
Atsakymas:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Sudarykite redukuotą likučių sistemą modulo t= 12.
Sprendimas.
1) Sudarykite visą mažiausiai teigiamų likučių modulio sistemą t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (iš viso t= 12 skaičių).
2) Ištriname iš šios sistemos skaičius, kurie nėra pirminiai su skaičiumi 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Likę skaičiai, kartu su skaičiumi 12, sudaro norimą sumažintų likučių sistemą modulo t= 12 (iš viso j( t) = j(12) = 4 skaičiai).
Atsakymas:(1, 5, 7, 11) - redukuota likučių sistema modulo t= 12.
130. Sudarykite 1) pilną mažiausiai teigiamų likučių sistemą; 2) pilna mažiausiai neneigiamų likučių sistema; 3) savavališka atskaitymų sistema; 4) pilna mažiausių absoliučių atskaitymų sistema; 5) redukuota likučių sistema: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Ar rinkinys (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) yra visa modulio 8 likučių sistema?
132 Kokiu moduliu aibė (20, - 4, 22, 18, - 1) yra visa likučių sistema?
133. Padaryti redukuotą likučių sistemą moduline m jeigu) m= 9; b) m= 24; in) m= 7. Kiek skaičių turėtų būti tokioje sistemoje?
134. Suformuluokite pagrindines visos likučių sistemos ir redukuotos likučių sistemos savybes modulo m .
135. Kokie elementai išskiria redukuotas ir užbaigtas mažiausiai neneigiamų likučių modulo pirmumo sistemas?
136. Kokiomis sąlygomis yra skaičiai a ir - a priklauso tai pačiai modulio liekanų klasei m?
137. Kokioms modulio 8 likučių klasėms priklauso visi pirminiai skaičiai? R³ 3?
138. Ar skaičių aibė (0, 2 0, 2 1, 2 2, ... , 2 9 ) sudaro pilną likučių modulo 11 sistemą?
139. Kiek likučių modulio 21 klasių priklauso visoms likučiams iš vienos 7 modulio likučių klasės?
140. Sveikųjų skaičių aibė Z paskirstyti pagal likučių klases modulo 5. Gautame likučių klasių rinkinyje sudaryti sudėjimo ir daugybos lenteles Z 5 . Ar rinkinys Z 5: a) grupė su klasės pridėjimo operacija? b) grupė su klasės daugybos operacija?
§ 7. Eilerio teorema. FERMAT MAŽOJI TEOREMA
PAGRINDINĖ INFORMACIJA IŠ TEORIJOS
7. 1. 1 teorema.
JeiguÎ Z,tÎ N, t>1 ir(a;t) = 1, – tada begalinėje galių sekoje a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t,… yra bent du laipsniai su laipsniais s ir t(s<t) toks kad . (*)
7. 2. komentuoti. Žymintys t– s = k> 0, iš (*) gauname: . Abiejų šio palyginimo pusių pakėlimas į galią nÎ N, mes gauname:
(**). Tai reiškia, kad galių yra be galo daug a, tenkinantis palyginimą (**). Bet kaip rasti šiuos rodiklius? Ką mažiausiai rodiklis, kuris tenkina palyginimą (**) ? Atsako į pirmą klausimą Eulerio teorema(1707 – 1783).
7. 3. Eulerio teorema.
JeiguÎ Z,tÎ N, t>1 ir(a;t) = 1, - tada . (13)
Pavyzdys.
Leisti a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Tada . Kadangi j (21) = 12, tada 2 12 º 1 (mod. 21). Išties: 2 12 = 4096 ir (4096 - 1) 21. Tada akivaizdu, kad 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) ir pan. Bet ar 12 rodiklis mažiausiai patenkinamas palyginimas 2 nº 1 (mod. 21) ? Pasirodo, kad ne. Žemiausias rodiklis bus P= 6: 2 6 º 1 (mod. 21), nes 2 6 – 1 = 63 ir 63 21. Atkreipkite dėmesį, kad mažiausiai indeksas, kurio reikia ieškoti tik tarp skaičiaus daliklių j( t) (šiame pavyzdyje tarp skaičiaus j(21) = 12 daliklių).
7. 4. Mažoji Ferma teorema (1601 - 1665).
Bet kuriam pirminiam skaičiui p ir bet kuriam skaičiui aÎ Z, nedalomas iš p, yra palyginimas . (14)
Pavyzdys.
Leisti a = 3,R= 5, kur 3 nėra 5. Tada arba
.
7. 5. Ferma teoremos apibendrinimas.
Bet kuriam pirminiam skaičiui p ir savavališkam skaičiui aÎ Z lyginamas (15)
TIPINĖS UŽDUOTYS
1. Įrodykite, kad 38 73 º 3 (mod. 35).
Sprendimas.
1) Kadangi (38; 35) = 1, tada pagal Eilerio teoremą ; j(35) = 24, taigi
(1).
2) Iš palyginimo (1) pagal 2 išvadą, skaitinių palyginimų savybes 5 0, turime:
3) Iš palyginimo (2), pagal 5 savybės 1 išvadą 0 palyginimų: 38 72 × 38 º 1 × 38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod. 35), kas turėjo būti įrodyta.
2. Duota: a = 4, t= 15. Raskite mažiausią rodiklį k, tenkinantis palyginimą (*)
Sprendimas.
1) nuo ( a; m) = (4; 25) = 1, tada pagal Eilerio teoremą , j(25) = 20, taigi
.
2) Ar rastas eksponentas - skaičius 20 - mažiausiai natūralusis skaičius, kuris tenkina palyginimą (*)? Jei rodiklis yra mažesnis nei 20, tai jis turi būti 20 daliklis. Vadinasi, reikalingas mažiausias rodiklis k reikia ieškoti tarp daugybės skaičių n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – 20 dalikliai.
3) Kada P = 1: ;
adresu P = 2: ;
adresu P= 3: (nereikia svarstyti);
adresu P = 4: ;
adresu P = 5: ;
adresu P= 6, 7, 8, 9: (nereikia svarstyti);
adresu P = 10: .
Taigi, mažiausiai eksponentas k, tenkinantis palyginimas(*), yra k= 10.
Atsakymas: .
PRATIMAS SAVARANKIŠKAMS DARBUI
141. Pagal Eilerio teoremą . At a = 3, t= 6 turime:
.
Kadangi j(6) = 2, tada 3 2 º1 (mod 6) arba 9º1 (mod 6), tada pagal lemą (9 – 1) 6 arba 8 6 (visiškai!?). kur klaida?
142. Įrodykite, kad: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º 2 (73 mod.).
143. Įrodykite, kad a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod. 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 dalijasi iš 12 be liekanos.
144. Įrodykite Eulerio teoremai atvirkštinę teoremą: jei a j ( m) º 1 (mod m), tada ( esu) =1.
145. Raskite mažiausią laipsnį kÎ N, patenkina šį palyginimą: a) ; b)
; in)
; G)
;
e) ; e)
; ir)
; h)
.
ir) ; į)
; l)
; m)
.
146. Raskite dalybos likutį:
a) 7100 už 11; b) 9 900 už 5; c) 5 176 x 7; d) 2 1999 po 5; e) 8 377 už 5;
f) 26 57 x 35; g) 35 359 už 22; h) 5 718 už 103; i) nuo 27 260 iki 40; j) 1998 m. 25 d., 62.
147*. Įrodyk tai a 561 º a(11 mod.).
148*. Jei natūraliojo skaičiaus kanoninis skaidymas P nėra koeficientų 2 ir 5, tada šio skaičiaus 12 laipsnis baigiasi 1. Įrodykite.
149*. Įrodykite, kad 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Įrodykite: jei ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, tada a 12 –b 12 dalijasi tolygiai iš 65.
3 skyrius. ARITMETINIAI TAIKYMAI
SKAIČIŲ PALYGINIMŲ TEORIJAS
§ 8. SISTEMINIAI SKAIČIAI
PAGRINDINĖ INFORMACIJA IŠ TEORIJOS
1. SVEIKI SKAIČIAI SISTEMINIAI SKAIČIAI
8. 1. 1 apibrėžimas.
Skaičių sistema yra bet koks skaičių rašymo būdas. Ženklai, kuriais rašomi šie skaičiai, vadinami skaičiais.
8. 2. 2 apibrėžimas.
Sveikasis skaičius neneigiamas sisteminis skaičius, parašytas t-arinėje pozicinių skaičių sistemoje, yra n formos skaičius
,kur i(i = 0,1, 2,…, k) – sveikieji neneigiami skaičiai – skaitmenys, ir 0 £ a i £ t– 1, t yra skaičių sistemos pagrindas, tÎ N, t > 1.
Pavyzdžiui, skaičiaus žymėjimas 7 eilių sistemoje yra toks: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Čia a i- tai 5, 6, 0, 3 - skaičiai; jie visi atitinka sąlygą: 0 £ a i£6. Kada t=10 sako: skaičius nįrašyta į dešimtainių skaičių sistema, ir indeksas t= 10 nerašo.
8. 3. 1 teorema.
Bet kuris neneigiamas sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas ir unikaliu būdu, kaip sisteminis skaičius bet kurioje bazėje t, kur tÎ N, t > 1.
Pavyzdys:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Prisimink tai:
1) priskyrimas sisteminiam nulių skaičiui kairėje nesikeičiašis numeris:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) priskyrimas sisteminiam skaičiui s nuliai dešinėje yra lygiaverčiai daugybašis numeris skirtas t s: (3 4) 5 = 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Įrašyto skaičiaus konvertavimo algoritmast -arinė sistema, dešimtainė:
Pavyzdys: (287) 12 = 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 = 2 × 144 + 8 × 12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritmas, skirtas konvertuoti skaičių, užrašytą dešimtainiu tikslumu sistema, int -Asmeninis:
Pavyzdys: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Rasti X.
8. 7. Veiksmai su sisteminiais skaičiais
2. SISTEMINĖS TRUMPOS
8. 8. 3 apibrėžimas.
Baigtinė t sisteminė trupmena skaičių sistemoje su baze t yra formos skaičius
kur c 0 Î Z, su i - skaičiais– sveikieji neneigiami skaičiai, ir 0 £ su i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Žymėjimas: a = ( c 0 , Su 1 Su 2 …su k)t. At t= 10 vadinama trupmena dešimtainis.
8. 9. 1 pasekmė.
Kiekviena baigtinė sisteminė trupmena yra racionalus skaičius, kurį galima pavaizduoti kaip , kurÎ Z,bÎ N.
Pavyzdys.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + yra racionalus skaičius. Priešingas teiginys apskritai nėra teisingas. Pavyzdžiui, trupmenos negalima konvertuoti į baigtinę sisteminę (dešimtainę) trupmeną.
8.10. 4 apibrėžimas.
Begalinė t-arė teigiama sisteminė trupmena skaičių sistemoje su baze t yra formos skaičius
, iš kur 0Î N, su i(i =1, 2, …, į, …) - skaičiai– sveikieji neneigiami skaičiai, ir 0 £ su i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Žymėjimas: a = ( Su 0 , Su 1 Su 2 … su k…) t. At t=10 vadinama trupmena dešimtainis.
8.11. 5 apibrėžimas.
Yra trijų tipų begalinės sisteminės trupmenos:
aš = ( Su 0 , )t= =
t, kur =
= = … Šiuo atveju skaičius a vadinama begaline grynai periodine trupmena,(Su 1 Su 2 … su k) – laikotarpį, k - laikotarpio skaitmenų skaičius - laikotarpio trukmė.
II a = .
Šiuo atveju skaičius a vadinama begaline mišria periodine trupmena, – išankstinis laikotarpis, () – laikotarpį, k - skaitmenų skaičius periode - laikotarpio trukmė, l - skaitmenų skaičius tarp sveikosios dalies ir pirmojo taško - išankstinio laikotarpio trukmė.
III a = ( Su 0 , Su 1 Su 2 … su k …)t . Šiuo atveju skaičius a vadinama begaline neperiodine trupmena.
TIPINĖS UŽDUOTYS
1. Skaičius ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , pateikta 5 eilių sistemoje, išversti į 7 eilių sistemą, tai yra, rasti X, jei (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Sprendimas.
1) Paverskite duotą skaičių (2 1 4 3) 5 į skaičių ( adresu) 10 parašyta dešimtaine sistema:
2. Atlikite šiuos veiksmus:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Sprendimas.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1 × 8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Pastaba: | 4+5 = 9 = 1×6+3, rašomas 3, 1 pereina į kitą skaitmenį, 6+3+1=10 =1×6+4, rašomas 4, 1 eina į kitą skaitmenį, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, rašomas 2, 1 pereina prie kito skaitmens. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Pastaba: | „užimti“ aukščiausio rango vienetą, t. y. „1“ = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5, |
5) (4 2 3) 5 “ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Pastaba: | Dauginant iš 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, rašome 1, 1 eina į kitą skaitmenį, 2 × 2 +1 = 5 = 1 × 5 +0, rašome 0, 1 eina į kitas skaitmuo, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, rašomas 4, 1 pereina prie kito skaitmens, Padauginus iš 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, rašomas 4, 1 eina prie kito skaitmens, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, rašomas 2, 1 eina prie kito skaitmens, 3×4 +1=13=2×5 +3, rašomas 3, 2 pereina prie kito skaitmens. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Atsakymas: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
PRATIMAS SAVARANKIŠKAMS DARBUI
151. Skaičiai pateikti t-arinė sistema, konvertuoti į dešimtainę sistemą:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Skaičiai. pateikta dešimtaine sistema, konvertuoti į t-ic sistema. Padaryti čekį.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5; c) (3 7) 10 = ( X) 2; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) aštuoni ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) dvidešimt; j) (9 2 5) 10 = ( X) aštuoni ; k) (6 3 3) 10 = ( X) penkiolika; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Skaičiai pateikti t-ary sistema, išversti į q-ic sistema (einant per dešimtainę sistemą).
a) (3 7) 8 = ( X) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Kaip pasikeis skaičius (1 2 3) 5, jei prie jo dešinėje bus pridėtas nulis?
b) Kaip pasikeis skaičius (5 7 6) 8, jei prie jo dešinėje bus pridėti du nuliai?
155. Atlikite šiuos veiksmus:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Tada:
I Jei vardiklis b = b"(yra tik "2" ir (arba) "5") – tada trupmena konvertuojama į galutinis dešimtainė trupmena. Po kablelio skaičius yra lygus mažiausiam natūraliajam skaičiui l lº 0( mod b").
II Jei vardiklis b = b 1(nėra "2" ir "5"), tada trupmena konvertuojama į begalinis grynai periodiškas yra lygus mažiausiam natūraliajam skaičiui k, tenkinantis 10 palyginimas kº 1 ( mod b 1).
III Jei vardiklis b = b"× b 1 (yra "2" ir (arba) "5", taip pat kiti pagrindiniai veiksniai), tada trupmena konvertuojama į begalinis mišrus periodinis dešimt-
tiksinti trupmena.
Laikotarpio ilgis yra lygus mažiausiam natūraliajam skaičiui k, tenkinantis 10 palyginimas kº 1 ( mod b 1).
Išankstinio laikotarpio ilgis yra lygus mažiausiam natūraliajam skaičiui l, tenkinantis 10 palyginimas lº 0( mod b").
9. 2. Išvados.
9. 3. Prisimink tai:
racionalusis skaičius yra bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena;
Iracionalusis skaičius yra bet kokia begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena.
TIPINĖS UŽDUOTYS
1. Šios bendrosios trupmenos, parašytos dešimtaine sistema, konvertuojamos į
dešimtainis, anksčiau nustatęs norimos trupmenos tipą (baigtinę ar begalinę; periodinę ar neperiodinę; jei - periodinę, tai grynai periodinę arba mišrią periodinę); pastaraisiais atvejais iš anksto rasti numerį k– laikotarpio trukmė ir skaičius l yra išankstinio laikotarpio trukmė. vienas); 2) ; 3).
Sprendimas.
1) Trupmena = vardiklis – skaičius b= 80 = 2 4 × 5 yra tik "2" ir "5". Todėl ši trupmena konvertuojama į galutinis dešimtainė trupmena. Skaičius po kablelio l vardas nustatyta iš sąlygos: 10 lº0 (mod80):
2) Trupmena = vardiklis – skaičius b= 27 = 3 3 nėra "2" ir "5". Todėl ši trupmena paverčiama begaline grynai periodiškai dešimtainė trupmena. Laikotarpio trukmė k vardas nustatyta iš sąlygos: 10 kº1 (mod27):
3) Trupmena = vardiklis – skaičius b= 24 = 2 3 × 3, tai yra, atrodo: b = b"× b 1 (išskyrus „2“ arba „5“ yra kiti veiksniai, šiuo atveju skaičius 3). Todėl ši trupmena paverčiama begaline mišrus periodinis dešimtainė trupmena. Laikotarpio trukmė k vardas nustatyta iš sąlygos: 10 kº1 (mod3), iš kur k vardas= 1, tai yra laikotarpio trukmė k= 1. Ilgis prieš periodą l vardas nustatyta iš sąlygos: 10 lº0 (mod8), iš kur l vardas= 3, tai yra išankstinio laikotarpio trukmė l = 3.
Patikrinkite: padalinkite „kampą“ 5 iš 24 ir gaukite: = 0, 208 (3).
Atsakymas: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
PRATIMAS SAVARANKIŠKAMS DARBUI
156. Šios paprastosios trupmenos, parašytos dešimtaine sistema, konvertuojamos į dešimtaines trupmenas. Jei dešimtainis skaičius yra periodinis, tada anksčiau rasti numerį k- laikotarpio trukmė ir skaičius l- išankstinio laikotarpio trukmė.
157. Šios paprastosios trupmenos, parašytos dešimtaine sistema, konvertuojamos į t-arinės sisteminės trupmenos. Raskite skaičius k- laikotarpio trukmė ir l- išankstinio laikotarpio trukmė.
158*. Kokioje skaičių sistemoje skaičius (4 6) 10 parašytas tais pačiais skaičiais, bet į
Atvirkštinė tvarka?
159*. Kas yra didesnis: 8-ojo skaitmens vienetas dvejetainėje sistemoje ar 4-ojo skaitmens vienetas aštuntainėje sistemoje?
§ 10. PASKALO TEOREMA. DALOMUMO ŽENKLAI
PAGRINDINĖ INFORMACIJA IŠ TEORIJOS
10. 1. Paskalio teorema (1623 – 1662).
Pateikiami natūralieji skaičiai: t > 1ir n, parašyti t-arine sistema:
,kur a i yra skaičiai: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Leisti n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 ir m = 9.
1) Rasti b i: modulom = 3 modulism = 9
10 0 º1(mod3), t.y. b 0 =1, 10 0 º1 (mod9), t.y. b 0 =1,
10 1 º1 (mod3), t.y. b 1 =1, 10 1 º1 (mod9), t.y. b 1 =1,
10 2 º1 (mod3), t.y. b 2 =1, 10 2 º1 (mod9), t.y. b
Pilna atsiskaitymo sistema. Pateikta atskaitymų sistema. Labiausiai paplitusios išskaičiavimo sistemos yra šios: mažiausiai teigiamos, mažiausiai neneigiamos, absoliučiai mažiausiai ir kt.
1 teorema. Pilnos ir sumažintos likučių sistemos savybės.
1°.Visos atskaitymų sistemos kriterijai. Bet koks derinys m sveikieji skaičiai, kurie poromis yra nepalyginami modulio m, sudaro pilną likučių sistemą modulo m.
2°. Jei skaičiai x 1 , x 2 , ..., x m– visa modulio likučių sistema m, (a, m) = 1, b yra savavališkas sveikasis skaičius, tada skaičiai kirvis 1 +b, kirvis 2 +b, ..., kirvis m+b taip pat sudaro visą modulo likučių sistemą m.
3°. Sumažinto mažinimo sistemos kriterijus. Bet kuri kolekcija susidedanti iš j( m) sveikieji skaičiai, kurie yra nepalyginami poromis modulio m ir kartu su moduliu sudaro redukuotą modulio likučių sistemą m.
4°. Jei skaičiai x 1 , x 2 , ..., x j ( m) yra sumažinta likučių sistema modulo m, (a, m) = 1, tada skaičiai kirvis 1 , kirvis 2 , ..., a x j ( m) taip pat sudaro sumažintą likučių modulo sistemą m.
2 teorema. Eilerio teorema.
Jei skaičiai a ir m tada koprime a j ( m) º 1 (mod m).
Pasekmė.
1°. Fermato teorema. Jeigu p yra pirminis skaičius ir a nedalomas iš p, tada a p–1 º 1 (mod p).
2°. Apibendrinta Ferma teorema. Jeigu p tada yra pirminis skaičius a p º a(mod p) bet kuriam aÎ Z .
§ ketvirta. Palyginimų su kintamuoju sprendimas
Palyginimo sprendimas. Lygiavertiškumas. Palyginimo laipsnis.
Teorema. Kongruencijų sprendinių savybės.
1° Kongruencijų tirpalai yra ištisos likučių klasės.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= z palyginimo º 0 (mod m) ir º 0 (mod m) yra lygiaverčiai.
3°. Jei abi palyginimo dalys padauginamos iš skaičiaus koprime su moduliu, tada gaunamas palyginimas, kuris yra lygiavertis pradiniam.
4°. Bet koks palyginimas modulo a prime p yra lygiavertis palyginimui, kurio laipsnis neviršija p–1.
5°. Palyginimas º 0 (mod p), kur p yra pirminis skaičius, turi daugiausiai nįvairių sprendimų.
6°. Wilsono teorema. ( n- vienas)! º –1 (mod n) Û n Pirminis skaičius.
§ 5. Pirmojo laipsnio palyginimų sprendimas
kirvis º b(mod m).
Teorema. 1°. Jeigu ( a, m) = 1, tada palyginimas turi sprendimą ir jis yra unikalus.
2°. Jeigu ( a, m) = d ir b nedalomas iš d, tada palyginimas neturi sprendimų.
3°. Jeigu ( a, m) = d ir b padalytą d, tada palyginimas turi d skirtingi tirpalai, sudarantys vieną modulio likučių klasę.
Palyginimų sprendimo būdai kirvis º b(mod m) kada ( a, m) = 1:
1) atranka (visos atskaitymų sistemos elementų išvardijimas);
2) Eilerio teoremos panaudojimas;
3) Euklido algoritmo naudojimas;
4) koeficientų kitimas (naudojant visos likučių sistemos savybę 2° iš 2.2 teoremos);
§6. Pirmojo laipsnio neapibrėžtosios lygtys
kirvis+pateikė = c.
Teorema. Lygtis kirvis+pateikė = c galima išspręsti tada ir tik tada c (a, b).
Kada ( a, b) = 1 visi lygties sprendiniai pateikti formulėmis
tÎ Z , kur x 0 yra lyginamasis sprendimas
kirvis º c(mod b), y 0 = .
Diofantinės lygtys.
10 SKYRIUS. Sudėtiniai skaičiai
Kompleksinių skaičių sistemos apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sistemos egzistavimas
Kompleksinių skaičių sistemos apibrėžimas.
Teorema. Egzistuoja kompleksinių skaičių sistema.
Modelis: R 2 su operacijomis
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+Reklama),
i= (0, 1) ir identifikavimas a = (a, 0).
Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma
Kompleksinio skaičiaus vaizdavimas formoje z = a+bi, kur a, bÎ R , i 2 = -1. Tokio vaizdavimo išskirtinumas. Re z, Aš z.
Aritmetinių operacijų su kompleksiniais skaičiais atlikimo algebrine forma taisyklės.
Aritmetika n-dimensinė vektorinė erdvė C n. Tiesinių lygčių, matricų ir determinantų sistemos C .
Kvadratinių šaknų išskyrimas iš kompleksinių skaičių algebrine forma.
visos likučių sistemos dalis (žr. Pilna likučių sistema), susidedanti iš skaičių koprime su moduliu m. P. s. in. yra φ( m) skaičiai [φ( m) yra skaičių koprime skaičius m ir mažesnis m]. Bet koks φ( m) skaičiai, kurių modulo negalima palyginti m ir koprime su juo, forma P. s. in. šiam moduliui.
- - žr. Sumažinta masė...
Fizinė enciklopedija
- - sąlyginė masių pasiskirstymo judančiame mechanizme charakteristika. arba mišria sistema, priklausomai nuo fizinės. sistemos parametrai ir jos judėjimo dėsnis...
Fizinė enciklopedija
- - modulo m - bet koks sveikųjų skaičių rinkinys, kuris yra neprilygstamas modulo one. Paprastai kaip P. su. in. modulo mažiausios neneigiamos liekanos 0, 1, . . ...
Matematinė enciklopedija
- - daugiabučio namo naudingojo ploto suma, taip pat lodžijų, verandų, balkonų plotai su atitinkamais sumažinimo koeficientais - pateikiamas bendras plotas - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Statybos žodynas
- - Žiūrėkite uolienų poringumo koeficientą ...
- - uolienų porų tūrio ir uolienų skeleto tūrio santykis, paprastai išreiškiamas vieneto dalimis ...
Hidrogeologijos ir inžinerinės geologijos žodynas
- - žiūrėti poringumo koeficientą...
Aiškinamasis Dirvotyros žodynas
- - tokia pati kaip pagrindinė dalis...
- - sąlyginis masių pasiskirstymo judančių kūnų sistemoje pobūdis, įvestas mechanikoje, siekiant supaprastinti sistemos judėjimo lygtis ...
Didelis enciklopedinis politechnikos žodynas
- - Mokestis, apmokestinamas prie šaltinio nuo dividendų ar kitų pajamų, kurias gauna ne šalies rezidentas...
Finansų žodynas
- - Mokestis, apmokestinamas prie šaltinio nuo dividendų ar kitų pajamų, kurias gauna ne šalies rezidentas...
Verslo terminų žodynėlis
- - modulo m, bet koks sveikųjų skaičių rinkinys, kuriame yra vienas skaičius iš kiekvienos skaičių klasės modulo m. Kaip P. su. in. dažniausiai naudojama mažiausiai teigiamų likučių sistema 0, 1, 2,.....
- - sąlyginė masių pasiskirstymo judančioje mechaninėje ar mišrioje sistemoje charakteristika, atsižvelgiant į fizinius sistemos parametrus ir jos judėjimo dėsnį ...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- - SUMAŽINTA masė - sąlyginė masių pasiskirstymo judančioje mechaninėje ar mišrioje sistemoje charakteristika, priklausomai nuo fizinių sistemos parametrų ir jos judėjimo dėsnio ...
Didelis enciklopedinis žodynas
- - bendras, visas, kaupiamasis, ...
Sinonimų žodynas
- - adj., sinonimų skaičius: 1 grynas ...
Sinonimų žodynas
„Sumažinta atskaitymų sistema“ knygose
Kokia dabartinė pagrindinių kompetencijų vertė?
Iš knygos „Besvoris turtas“. Nustatykite savo įmonės vertę nematerialiojo turto ekonomikoje autorius Thyssen ReneKokia dabartinė pagrindinių kompetencijų vertė? Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, galime teigti, kad dabartinė pagrindinės kompetencijos vertė apskaičiuojama padauginus visus rodiklius tam tikram laikui, atsižvelgiant į pritraukimo išlaidas.
Grynoji dabartinė vertė (GDV)
Iš MBA knygos per 10 dienų. Svarbiausia pasaulyje pirmaujančių verslo mokyklų programa autorius Silbigeris SteponasGrynosios dabartinės vertės (GDV) Dabartinės vertės (GDV) analizė padeda apskaičiuoti, kiek darbuotojui reikia investuoti, kad jis gautų padorią pensiją po 30 metų, tačiau ši analizė nėra naudinga vertinant dabartines investicijas ir projektus. Investicijos turi būti įvertintos
DUOMENŲ APSKAITA IR ATLYGINIMAS IŠ ATLYGOS
Iš knygos Apskaita autorius Melnikovas IljaDUOMENŲ PRIPAŽINIMAS IR IŠSKAIČIAVIMAS IŠ DARBO DARBO Pagal teisės aktus iš darbuotojų darbo užmokesčio daromi šie atskaitymai: - pajamų mokestis (valstybės mokestis, apmokestinimo objektas - darbo užmokestis);
10.6. Išskaitymų ir išskaitymų iš darbo užmokesčio apskaita
Iš knygos Apskaita žemės ūkyje autorius Bychkova Svetlana Michailovna10.6. Išskaitų ir atskaitymų iš darbo užmokesčio apskaita Iš įmonės darbuotojų darbo užmokesčio daromi tam tikri atskaitymai, kurie skirstomi taip: privalomieji atskaitymai (gyventojų pajamų mokestis, vykdomųjų raštų atskaitymai);
Iš knygos Nematerialusis turtas: apskaita ir mokesčių apskaita autorius Zakharyin V R<...>
4.1. Bendrieji socialinio mokesčio lengvatų skyrimo klausimai
autorius Makurova Tatjana4.1. Bendrieji socialinio mokesčio lengvatų teikimo klausimai Socialinio mokesčio atskaitos (DK 219 str.), taip pat turto atskaita būstui įsigyti reiškia apmokestinamosios bazės sumažinimą patirtų socialinių išlaidų dydžiu, atsižvelgiant į 2015 m. teisės aktų
4.3. Išmokų iš švietimo sistemos teikimo ypatumai
Iš knygos Savarankiškas mokymas apie gyventojų pajamų mokesčius autorius Makurova Tatjana4.3. Išmokų už mokslą skyrimo ypatumai 142) Kokios išlaidos gali būti pripažįstamos atskaitymu už mokslą? Kokios yra atskaitymų už mokslą ribos Socialinio mokesčio už mokslą atskaitai priimamos: mokesčių mokėtojo sumokėtos išlaidos m.
3.4. Mokesčių atskaitymų kiekybinis ir dažnumas bei taikymas
Iš knygos Įmonės mokesčių našta: analizė, skaičiavimas, valdymas autorius Čipurenko Elena Viktorovna3.4. Mokesčių atskaitymų kiekybinis ir dažnumas bei taikymas 3.4.1. PVM kaip galima mokesčių atskaita Apskaičiuojant PVM, mokesčių atskaitų sumos nustatomos tik pagal mokesčių apskaitos registrų – pirkimo knygų – duomenis. At
Pilna atskaitymų sistema
Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (PO). TSBSumažinta masė
TSBSumažinta atskaitymų sistema
Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (PR). TSB88. Vienalaikių lygčių sistemos struktūrinės ir redukuotos formos. Modelio identifikavimas
Iš knygos Atsakymai į ekonometrijos egzaminų bilietus autorius Jakovleva Angelina Vitalievna88. Vienalaikių lygčių sistemos struktūrinės ir redukuotos formos. Modelio identifikavimas Struktūrinės lygtys yra lygtys, sudarančios pirminę vienalaikių lygčių sistemą. Šiuo atveju sistema turi struktūrinę formą.Struktūrinė forma
Iš knygos Mokesčių kodekso naujiena: 2008 metais įsigaliojusių pakeitimų komentaras autorius Zrelovas Aleksandras Pavlovičius172 straipsnis. Mokesčių atskaitymų taikymo tvarka
autorius autorius nežinomas172 straipsnis
Iš knygos Rusijos Federacijos mokesčių kodeksas. Pirma ir antra dalys. Tekstas su pakeitimais ir papildymais nuo 2009 m. spalio 1 d autorius autorius nežinomas201 straipsnis. Mokesčių atskaitų taikymo tvarka