რთული რიცხვები და სერიები რთული ტერმინებით. კომპლექსური რიცხვების კონვერგენტული რიგი კომპლექსური რიცხვების აბსოლუტურად კონვერგენტული რიგი
![რთული რიცხვები და სერიები რთული ტერმინებით. კომპლექსური რიცხვების კონვერგენტული რიგი კომპლექსური რიცხვების აბსოლუტურად კონვერგენტული რიგი](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
სტანდარტული მეთოდები, მაგრამ ჩიხში მივიდა სხვა მაგალითით.
რა არის სირთულე და სად შეიძლება იყოს ნაკლი? გადავდოთ საპნიანი თოკი, მშვიდად გავაანალიზოთ მიზეზები და გავეცნოთ გამოსავლის პრაქტიკულ მეთოდებს.
პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანიაბსოლუტური უმრავლესობა, სერიის კონვერგენციის შესასწავლად, საჭიროა გამოიყენოს რაიმე ნაცნობი მეთოდი, მაგრამ სერიის ჩვეულებრივი ტერმინი სავსეა ისეთი სახიფათო შიგთავსით, რომ სულაც არ არის ნათელი, რა უნდა გააკეთოს მასთან. . და ტრიალებთ წრეებში: პირველი ნიშანი არ მუშაობს, მეორე არ მუშაობს, მესამე, მეოთხე, მეხუთე მეთოდი არ მუშაობს, შემდეგ ნახაზები განზე იყრება და ყველაფერი თავიდან იწყება. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია გამოცდილების ნაკლებობით ან გამოთვლების სხვა მონაკვეთებში არსებული ხარვეზებით. კერძოდ, თუ გაშვებული თანმიმდევრობის საზღვრებიდა ზედაპირულად დაიშალა ფუნქციის ლიმიტები, მაშინ რთული იქნება.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ადამიანი უბრალოდ ვერ ხედავს აუცილებელ გამოსავალს ცოდნის ან გამოცდილების ნაკლებობის გამო.
ხანდახან „დაბნელებაც“ არის დამნაშავე, როცა, მაგალითად, სერიალის დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი უბრალოდ არ სრულდება, მაგრამ უცოდინრობის, უყურადღებობის ან დაუდევრობის გამო ეს მხედველობიდან ცდება. და გამოდის, როგორც იმ ველოსიპედში, სადაც მათემატიკის პროფესორმა გადაჭრა ბავშვების პრობლემა ველური განმეორებადი მიმდევრობების და რიცხვების სერიების დახმარებით =)
საუკეთესო ტრადიციებში, დაუყოვნებლივ ცოცხალი მაგალითები: რიგები და მათი ნათესავები - განსხვავდებიან, რადგან თეორიულად ეს დადასტურებულია თანმიმდევრობის საზღვრები. დიდი ალბათობით, პირველ სემესტრში 1-2-3 გვერდიანი მტკიცებულებისთვის სულს გაგიტყდებათ, მაგრამ ახლა სავსებით საკმარისია იმის ჩვენება, რომ სერიის დაახლოების აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული. ცნობილ ფაქტებზე. Ცნობილი? თუ სტუდენტმა არ იცის, რომ n-ე ხარისხის ფესვი არის ძალიან ძლიერი რამ, მაშინ, ვთქვათ, სერია
ჩააყენე იგი ჩიხში. მიუხედავად იმისა, რომ გამოსავალი არის ორი და ორი: , ე.ი. გასაგები მიზეზების გამო, ორივე სერია განსხვავდება. მოკრძალებული კომენტარი "ეს საზღვრები დადასტურდა თეორიულად" (ან თუნდაც მისი არარსებობა) საკმაოდ საკმარისია კომპენსაციისთვის, ბოლოს და ბოლოს, გამოთვლები საკმაოდ მძიმეა და ისინი ნამდვილად არ განეკუთვნება რიცხვითი სერიების განყოფილებას.
და შემდეგი მაგალითების შესწავლის შემდეგ, თქვენ მხოლოდ გაგიკვირდებათ მრავალი გადაწყვეტის სიზუსტითა და გამჭვირვალობით:
მაგალითი 1
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, შეამოწმეთ შესრულება კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი. ეს არ არის ფორმალობა, მაგრამ დიდი შანსია „პატარა სისხლისღვრის“ მაგალითთან გამკლავება.
„სცენის დათვალიერება“ გვთავაზობს განსხვავებულ სერიას (განზოგადებული ჰარმონიული სერიის შემთხვევა), მაგრამ ისევ ჩნდება კითხვა, როგორ უნდა გავითვალისწინოთ მრიცხველში ლოგარითმი?
დავალებების სავარაუდო მაგალითები გაკვეთილის ბოლოს.
არც ისე იშვიათია, როდესაც გიწევთ ორმხრივი (ან თუნდაც სამმხრივი) მსჯელობის განხორციელება:
მაგალითი 6
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: პირველ რიგში, ყურადღებით გაუმკლავდეთ მრიცხველის უაზრობას. თანმიმდევრობა შეზღუდულია: . შემდეგ:
მოდით შევადაროთ ჩვენი სერია სერიას. ახლახან მიღებული ორმაგი უტოლობის წყალობით, ყველა "en"-ისთვის მართალი იქნება:
ახლა მოდით შევადაროთ სერია განსხვავებული ჰარმონიული სერიებით.
წილადის მნიშვნელი ნაკლებიწილადის მნიშვნელი, ასე თავად ფრაქცია – მეტიწილადები (ჩაწერეთ პირველი რამდენიმე ტერმინი, თუ არ არის ნათელი). ამრიგად, ნებისმიერი "en"-ისთვის:
ასე რომ, შედარებისთვის, სერია განსხვავდებაჰარმონიულ სერიასთან ერთად.
თუ ოდნავ შევცვლით მნიშვნელს: , მაშინ მსჯელობის პირველი ნაწილი მსგავსი იქნება:
. მაგრამ სერიის განსხვავების დასამტკიცებლად, მხოლოდ შედარების ზღვრული ტესტი უკვე გამოიყენება, რადგან უთანასწორობა მცდარია.
კონვერტაციული სერიების სიტუაცია არის "სარკე", ანუ, მაგალითად, სერიისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორივე შედარების კრიტერიუმი (უტოლობა მართალია), ხოლო სერიისთვის მხოლოდ შემზღუდველი კრიტერიუმი (უტოლობა მცდარია).
ჩვენ ვაგრძელებთ საფარს ველურ ბუნებაში, სადაც მოხდენილი და წვნიანი ანტილოპების ნახირი გამოჩნდა ჰორიზონტზე:
მაგალითი 7
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: დაკმაყოფილებულია აუცილებელი კონვერგენციის კრიტერიუმი და ჩვენ კვლავ ვსვამთ კლასიკურ კითხვას: რა ვქნათ? ჩვენს წინაშე არის რაღაც კონვერგენტული სერიების მსგავსი, თუმცა, აქ არ არსებობს მკაფიო წესი - ასეთი ასოციაციები ხშირად მატყუარაა.
ხშირად, მაგრამ არა ამჯერად. Გამოყენებით ლიმიტის შედარების კრიტერიუმიმოდით შევადაროთ ჩვენი სერია კონვერგენტულ სერიას. ლიმიტის გაანგარიშებისას ვიყენებთ მშვენიერი ლიმიტი , ხოლო უსასრულოდ მცირედგას:
იყრის თავსგვერდით ერთად.
"სამზე" გამრავლებისა და გაყოფის სტანდარტული ხელოვნური ტექნიკის გამოყენების ნაცვლად შესაძლებელი იყო თავდაპირველად შედარება კონვერგენტულ სერიასთან.
მაგრამ აქ სასურველია გაფრთხილება, რომ ზოგადი ტერმინის მუდმივი გამრავლება არ იმოქმედებს სერიის კონვერგენციაზე. და მხოლოდ ამ სტილში შექმნილია შემდეგი მაგალითის გადაწყვეტა:
მაგალითი 8
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.
მაგალითი 9
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: წინა მაგალითებში ჩვენ გამოვიყენეთ სინუსის შეზღუდვა, მაგრამ ახლა ეს თვისება გამორიცხულია. უფრო მაღალის წილადის მნიშვნელი ზრდის ბრძანებავიდრე მრიცხველი, ასე რომ, როდესაც სინუს არგუმენტი და მთელი საერთო ტერმინი უსასრულოდ პატარა. დაახლოების აუცილებელი პირობა, როგორც გესმით, დაკმაყოფილებულია, რაც არ გვაძლევს საშუალებას თავი დავანებოთ სამუშაოს.
ჩვენ ჩავატარებთ დაზვერვას: შესაბამისად გასაოცარი ეკვივალენტობა , გონებრივად გადააგდეთ სინუსი და მიიღეთ სერია. ხო, რაღაც მაგდაგვარი....
გადაწყვეტილების მიღება:
მოდით შევადაროთ შესასწავლი სერიები განსხვავებულ სერიას. ჩვენ ვიყენებთ ლიმიტის შედარების კრიტერიუმს:
მოდით შევცვალოთ უსასრულო მცირე ეკვივალენტით: for .
მიიღება ნულის გარდა სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია განსხვავდებაჰარმონიულ სერიასთან ერთად.
მაგალითი 10
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.
ასეთ მაგალითებში შემდგომი მოქმედებების დაგეგმვაში ძალიან გვეხმარება სინუსის, რკალის, ტანგენტის, არქტანგენტის გონებრივი უარყოფა. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ეს შესაძლებლობა მხოლოდ მაშინ არსებობს უსასრულოდ მცირეარგუმენტი, არც ისე დიდი ხნის წინ წავაწყდი პროვოკაციულ სერიას:
მაგალითი 11
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია .
გამოსავალი: აქ რკალის ტანგენტის შეზღუდულობის გამოყენება აზრი არ აქვს და თანასწორობაც არ მუშაობს. გამომავალი საოცრად მარტივია:
სასწავლო სერია განსხვავდება, ვინაიდან სერიების დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი არ არის დაკმაყოფილებული.
მეორე მიზეზი"Gag on the job" შედგება საერთო წევრის ღირსეულ დახვეწილობაში, რაც იწვევს ტექნიკური ხასიათის სირთულეებს. უხეშად რომ ვთქვათ, თუ ზემოთ განხილული სერიები მიეკუთვნება "ფიგურების თქვენ წარმოიდგინეთ" კატეგორიას, მაშინ ესენი მიეკუთვნებიან "თქვენ გადაწყვიტეთ" კატეგორიას. სინამდვილეში, ამას ჰქვია სირთულე "ჩვეულებრივი" გაგებით. ყველა სწორად არ გადაწყვეტს სავანის რამდენიმე ფაქტორს, ხარისხს, ფესვს და სხვა მკვიდრს. რა თქმა უნდა, ფაქტორები იწვევს ყველაზე დიდ პრობლემებს:
მაგალითი 12
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
როგორ გავზარდოთ ფაქტორიალი სიმძლავრემდე? ადვილად. ძალაუფლების მქონე ოპერაციების წესის თანახმად, აუცილებელია პროდუქტის თითოეული ფაქტორის სიმძლავრეზე აყვანა:
და, რა თქმა უნდა, ყურადღება და კიდევ ერთხელ ყურადღება, თავად დ'ალმბერის ნიშანი მუშაობს ტრადიციულად:
ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.
შეგახსენებთ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად რაციონალურ ტექნიკას: როცა ეს ნათელია ზრდის ბრძანებამრიცხველი და მნიშვნელი - სულაც არ არის საჭირო ტანჯვა და ფრჩხილების გახსნა.
მაგალითი 13
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
მხეცი ძალიან იშვიათია, მაგრამ ის ნაპოვნია და უსამართლო იქნება მისი გვერდის ავლით კამერის ობიექტივი.
რა არის ორმაგი ძახილის წერტილი ფაქტორიალი? ფაქტორული „ქარები“ დადებითი ლუწი რიცხვების ნამრავლია:
ანალოგიურად, ფაქტორული „ატრიალებს“ დადებითი კენტი რიცხვების ნამრავლს:
გაანალიზეთ რა განსხვავებაა
მაგალითი 14
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
და ამ ამოცანაში შეეცადეთ არ აგერიოთ ხარისხებში, მშვენიერი ეკვივალენტებიდა საოცარი საზღვრები.
ამოხსნის და პასუხების ნიმუშები გაკვეთილის ბოლოს.
მაგრამ სტუდენტი იღებს არა მხოლოდ ვეფხვების კვებას - ეშმაკური ლეოპარდები ასევე აკონტროლებენ მათ მსხვერპლს:
მაგალითი 15
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი, შემზღუდველი კრიტერიუმი, დ'ალბერტისა და კოშის კრიტერიუმები თითქმის მყისიერად ქრება. მაგრამ ყველაზე ცუდი ისაა, რომ უთანასწორობის თვისება, რომელმაც არაერთხელ გადაგვარჩინა, უძლურია. მართლაც, განსხვავებულ სერიასთან შედარება შეუძლებელია, რადგან უთანასწორობაა არასწორი - მულტიპლიკატორი-ლოგარითმი მხოლოდ ზრდის მნიშვნელს, ამცირებს თავად წილადს
წილადთან მიმართებაში. და კიდევ ერთი გლობალური კითხვა: რატომ ვართ თავდაპირველად დარწმუნებული, რომ ჩვენი სერია
არის ვალდებული განსხვავდებოდეს და უნდა შევადაროთ ზოგიერთ განსხვავებულ სერიას? ჯდება ის საერთოდ?
ინტეგრალური ფუნქცია? არასწორი ინტეგრალი სევდიან განწყობას იწვევს. ახლა თუ გვქონდა რიგი
... მაშინ დიახ. გაჩერდი! ასე იბადება იდეები. ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებას ორ ეტაპად:
1) პირველ რიგში, ჩვენ ვსწავლობთ სერიის კონვერგენციას . Ჩვენ ვიყენებთ განუყოფელი თვისება:
ინტეგრანდ უწყვეტიზე
ამრიგად, რიცხვი განსხვავდება შესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.
2) შეადარეთ ჩვენი სერია განსხვავებული სერიებს . ჩვენ ვიყენებთ ლიმიტის შედარების კრიტერიუმს:
მიიღება ნულის გარდა სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია განსხვავდებაერთად გვერდიგვერდ .
და არაფერია უჩვეულო და კრეატიული ასეთ გადაწყვეტილებაში – ასე უნდა გადაწყდეს!
მე გთავაზობთ დამოუკიდებლად შეადგინოთ შემდეგი ორი ნაბიჯი:
მაგალითი 16
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გარკვეული გამოცდილების მქონე სტუდენტი უმეტეს შემთხვევაში მაშინვე ხედავს, სერიები ერთმანეთს ემთხვევა თუ განსხვავებულად, მაგრამ ხდება ისე, რომ მტაცებელი ჭკვიანურად იფარება ბუჩქებში:
მაგალითი 17
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: ერთი შეხედვით, სრულიად გაუგებარია, როგორ იქცევა ეს სერიალი. და თუ ჩვენ წინ გვაქვს ნისლი, მაშინ ლოგიკურია დავიწყოთ სერიის დაახლოების აუცილებელი პირობის უხეში შემოწმებით. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიყენებთ ჩაძირვის საშუალებას გამრავლებისა და გაყოფის მეთოდი მიმდებარე გამოსახულებით:
დაახლოების აუცილებელმა ნიშანმა არ გაამართლა, მაგრამ გამოავლინა ჩვენი ტამბოვი ამხანაგი. შესრულებული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა ეკვივალენტური სერია , რომელიც თავის მხრივ ძლიერ წააგავს კონვერგენტულ სერიას .
ჩვენ ვწერთ სუფთა ხსნარს:
შეადარეთ ეს სერია კონვერგენტულ სერიას. ჩვენ ვიყენებთ ლიმიტის შედარების კრიტერიუმს:
გავამრავლოთ და გავყოთ გვერდით გამოსახულებით:
მიიღება ნულის გარდა სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია იყრის თავსგვერდით ერთად.
ალბათ ზოგს აქვს შეკითხვა, საიდან გაჩნდნენ მგლები ჩვენს აფრიკულ საფარზე? არ ვიცი. მოიტანეს ალბათ. თქვენ მიიღებთ შემდეგ ტროფეის კანს:
მაგალითი 18
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავლის მაგალითი გაკვეთილის ბოლოს
და ბოლოს, კიდევ ერთი აზრი, რომელიც ბევრ სტუდენტს სასოწარკვეთილი სტუმრობს: ნაცვლად იმისა, გამოვიყენოთ თუ არა სერიის დაახლოების უფრო იშვიათი კრიტერიუმი? რააბეს ნიშანი, აბელის ნიშანი, გაუსის ნიშანი, დირიხლეს ნიშანი და სხვა უცნობი ცხოველები. იდეა მუშაობს, მაგრამ რეალურ მაგალითებში ის ძალიან იშვიათად ხორციელდება. პირადად მე, პრაქტიკის ყველა წლის განმავლობაში, მხოლოდ 2-3-ჯერ მივმართე რააბეს ნიშანიროდესაც სტანდარტული არსენალიდან ნამდვილად არაფერი ეშველა. მე სრულად ვიმეორებ ჩემი ექსტრემალური ძიების კურსს:
მაგალითი 19
გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
გამოსავალი: ყოველგვარი ეჭვის გარეშე დ'ალმბერის ნიშანია. გამოთვლების დროს აქტიურად ვიყენებ ხარისხების თვისებებს, ასევე მეორე მშვენიერი ლიმიტი:
აქ არის ერთი თქვენთვის. დ'ალმბერის ნიშანმა პასუხი არ გასცა, თუმცა ასეთ შედეგს არაფერი უწინასწარმეტყველა.
სახელმძღვანელოს გავლის შემდეგ, ვიპოვე თეორიულად დადასტურებული ნაკლებად ცნობილი ლიმიტი და გამოვიყენე უფრო ძლიერი რადიკალური კოშის კრიტერიუმი:
აქ არის ორი თქვენთვის. და, რაც მთავარია, სრულიად გაუგებარია სერია ერთმანეთს ემთხვევა თუ განსხვავებულად (ჩემთვის უკიდურესად იშვიათი სიტუაციაა). შედარების აუცილებელი ნიშანი? დიდი იმედის გარეშე - თუნდაც წარმოუდგენლად გამოვიკვლიო მრიცხველისა და მნიშვნელის ზრდის თანმიმდევრობა, ეს მაინც არ იძლევა ჯილდოს გარანტიას.
სრული d'Alembert, მაგრამ ყველაზე ცუდი ის არის, რომ სერია უნდა გადაწყდეს. საჭიროება. ბოლოს და ბოლოს, ეს იქნება პირველი შემთხვევა, როცა უარს ვიტყვი. შემდეგ კი გამახსენდა, რომ თითქოს უფრო ძლიერი ნიშნები იყო. ჩემამდე აღარ იყო მგელი, არც ლეოპარდი და არც ვეფხვი. ეს იყო უზარმაზარი სპილო, რომელიც ფრიალებდა დიდ ღეროს. ყუმბარმტყორცნი უნდა აეღო:
რააბეს ნიშანი
განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია.
თუ არის ზღვარი , შემდეგ:
ა) ზედიზედ განსხვავდება. უფრო მეტიც, მიღებული მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნული ან უარყოფითი.
ბ) ზედიზედ იყრის თავს. კერძოდ, სერია იყრის თავს.
გ) როდის რააბეს ნიშანი პასუხს არ იძლევა.
ჩვენ ვადგენთ ზღვარს და ყურადღებით ვამარტივებთ წილადს:
კი, სურათი, რბილად რომ ვთქვათ, უსიამოვნოა, მაგრამ აღარ გამკვირვებია. ლოპიტალის წესებიდა პირველი აზრი, როგორც მოგვიანებით გაირკვა, სწორი აღმოჩნდა. მაგრამ პირველ რიგში, დაახლოებით ერთი საათის განმავლობაში, მე გადავუხვიე და გადავუხვიე ლიმიტი "ჩვეულებრივი" მეთოდების გამოყენებით, მაგრამ გაურკვევლობა არ მინდოდა აღმოფხვრა. წრეებში სიარული კი, როგორც გამოცდილება გვთავაზობს, ტიპიური ნიშანია იმისა, რომ გადაჭრის არასწორი გზა არჩეულია.
რუსულ ხალხურ სიბრძნეს უნდა მივმართო: „თუ არაფერი გეშველება, წაიკითხე ინსტრუქციები“. და როცა გავხსენი ფიხტენჰოლცის მე-2 ტომი, ჩემი დიდი სიხარულით აღმოვაჩინე იდენტური სერიის კვლევა. შემდეგ კი გამოსავალი მოდელის მიხედვით წავიდა.
1. რთული რიცხვები. რთული რიცხვებიფორმის ნომრები x+iy,სადაც Xდა y -რეალური რიცხვები, მე-წარმოსახვითი ერთეული,თანასწორობით განსაზღვრული მე 2 =-1.რეალური რიცხვები Xდა ზეეძახიან შესაბამისად მოქმედებსდა წარმოსახვითი ნაწილებირთული რიცხვი ზ.მათთვის შემოღებულია აღნიშვნა: x=რეზი; y=imz.
გეომეტრიულად, ყველა რთული რიცხვი z=x+iyწარმოდგენილია წერტილით M (x; y)საკოორდინაციო თვითმფრინავი xOy(სურ. 26). ამ შემთხვევაში თვითმფრინავი ჰოიეწოდება კომპლექსური რიცხვების სიბრტყე, ან z რთული ცვლადის სიბრტყე.
პოლარული კოორდინატები რდა φ ქულები მ,რომელიც არის z რთული რიცხვის გამოსახულება, ეძახიან მოდულიდა არგუმენტირთული რიცხვი z; მათთვის შემოტანილია აღნიშვნა: r=|z|, φ=არგზ.
ვინაიდან სიბრტყის თითოეული წერტილი შეესაბამება პოლარული კუთხის მნიშვნელობების უსასრულო რაოდენობას, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება 2kπ-ით (k არის დადებითი ან უარყოფითი მთელი რიცხვი), Arg არის z-ის უსასრულო მნიშვნელობის ფუნქცია.
ეს არის პოლარული კუთხის მნიშვნელობები φ , რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას –π< φ ≤ π ეძახიან მთავარი მნიშვნელობაარგუმენტი z და აღვნიშნო arg z.
შემდეგში აღნიშვნა φ შეინახეთ მხოლოდ z არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობისთვის , იმათ. დავაყენოთ φ =არგზ,რითაც არგუმენტის ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის ზვიღებთ თანასწორობას
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
კომპლექსური რიცხვის z მოდულსა და არგუმენტსა და მის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს შორის ურთიერთობები დადგენილია ფორმულებით.
x = r cos φ; y = r sin φ.
არგუმენტი ზასევე შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით
arg z = arctg (y / x) + C,
სადაც FROM= 0 at x > 0, FROM= +π x-ისთვის<0, ზე> 0; C \u003d - π at x < 0, ზე< 0.
ჩანაცვლება xდა ზერთული რიცხვების აღნიშვნით z = x+iyმათი გამონათქვამების მეშვეობით რდა φ , ვიღებთ ე.წ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა:
რთული რიცხვები z 1 \u003d x 1 + iy 1და z 2 \u003d x 2 + iy 2განიხილება თანაბარითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ცალ-ცალკე თანაბარია:
z1 = z2, თუ x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
ტრიგონომეტრიული ფორმით მოცემული რიცხვებისთვის, ტოლობა ხდება, თუ ამ რიცხვების მოდულები ტოლია და არგუმენტები განსხვავდება 2π-ის მთელი რიცხვით:
z 1 = z 2,თუ |z 1 | = |z 2 |და Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
ორი რთული რიცხვი z = x+iyდა ზ = x -iyთანაბარი რეალური და საპირისპირო წარმოსახვითი ნაწილები ეწოდება კონიუგირებული.კომპლექსური რიცხვებისთვის, მიმართებები
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(ბოლო ტოლობას შეიძლება მიეცეს ფორმა Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებები განისაზღვრება შემდეგი წესებით.
დამატება. Თუ z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, მაშინ
რთული რიცხვების დამატება ემორჩილება კომუტატიურ და ასოციაციურ კანონებს:
გამოკლება. Თუ , მაშინ
კომპლექსური რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების გეომეტრიული ახსნისთვის სასარგებლოა მათი წარმოდგენა და არა სიბრტყის წერტილებად. z,და ვექტორები: რიცხვი z = x + iyწარმოდგენილია ვექტორით დასაწყისი O წერტილიდან (სიბრტყის „ნულოვანი“ წერტილი - კოორდინატების საწყისი) და დასასრული წერტილში M(x; y).შემდეგ კომპლექსური რიცხვების შეკრება და გამოკლება ხდება ვექტორების შეკრებისა და გამოკლების წესის მიხედვით (სურ. 27).
ვექტორების შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების ასეთი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია აადვილებს თეორემების დადგენას ორის ჯამისა და სხვაობის მოდულზე და რამდენიმე რთული რიცხვის ჯამზე, რომელიც გამოხატულია უტოლობებით:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
გარდა ამისა, სასარგებლოა ამის გახსენება ორი რთული რიცხვის სხვაობის მოდული z1 და z2 უდრის მანძილს წერტილებს შორის, რომლებიც მათი გამოსახულებაა z სიბრტყეზე:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
გამრავლება. Თუ z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. მაშინ
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
ამრიგად, კომპლექსური რიცხვები მრავლდება ორობითად, i 2-ით იცვლება -1-ით.
თუ, მაშინ
Ამგვარად, პროდუქტის მოდული უდრის somnoektels-ის მოდულების ნამრავლს და პროდუქტის არგუმენტს-ფაქტორების არგუმენტების ჯამი.რთული რიცხვების გამრავლება ემორჩილება კომუტატიურ, ასოციაციურ და გამანაწილებელ (შეკრების მიმართ) კანონებს:
განყოფილება.ალგებრული სახით მოცემული ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტის საპოვნელად, დივიდენდი და გამყოფი უნდა გავამრავლოთ გამყოფთან შეერთებულ რიცხვზე:
" Თუ მოცემული ტრიგონომეტრიული სახით, მაშინ
Ამგვარად, კოეფიციენტის მოდული უდრის დივიდენდის და გამყოფის მოდულის კოეფიციენტს,ა არგუმენტიკერძო დივიდენდისა და გამყოფის არგუმენტებს შორის სხვაობის ტოლია.
ექსპონენტაცია. თუ z= , მაშინ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულით გვაქვს
(პარის დადებითი მთელი რიცხვი); შედეგად გამოსახულებაში აუცილებელია გრადუსების შეცვლა მემათი მნიშვნელობა:
i 2 \u003d -1; i 3 =i; მე 4 =1; მე 5 = 1,…
და ზოგადად,
მე 4კ = 1; i 4k+1 =i; მე 4k+2 = -1; მე 4k+3 = -i .
თუ, მაშინ
(აქ პშეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი მთელი რიცხვი).
Კერძოდ,
(დე მოივრის ფორმულა).
ფესვის მოპოვება. Თუ პარის დადებითი მთელი რიცხვი, შემდეგ კომპლექსური რიცხვის n-ე ფესვი ზაქვს n განსხვავებული მნიშვნელობები, რომლებიც გვხვდება ფორმულით
სადაც k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
იპოვეთ (z 1 z 2)/z 3 თუ z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
ნომერი ზ= 2 + 5ი.
∆ იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული: . იპოვეთ არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა: . ამიტომ, ▲
439.
წარმოადგინეთ კომპლექსი ტრიგონომეტრიული ფორმით
ნომერი
∆ მოძებნა , ; , , ე.ი.
440.
წარმოადგენს ტრიგონომეტრიული ფორმით კომპლექსს
რიცხვები 1, i, -1, -i.
441.
ნომრების წარმოდგენა ,
,
ტრიგონომეტრიული ფორმით და შემდეგ იპოვეთ რთული რიცხვი
z 1 /(z 2 z 3).
∆ მოძებნა
შესაბამისად,
442. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა.
∆ კომპლექსურ რიცხვს ვწერთ ტრიგონომეტრიული ფორმით. Ჩვენ გვაქვს , , . შესაბამისად,
შესაბამისად, , ,
443. ამოხსენით ორობითი განტოლება ω 5 + 32i = 0.
∆ გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში ω 5 + 32i = 0. ნომერი -32იწარმოადგენენ ტრიგონომეტრიულ ფორმას:
Თუ k = 0შემდეგ (A).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(დ).
k=4,(E).
ორმხრივი განტოლების ფესვები შეესაბამება რადიუსის წრეში ჩაწერილი რეგულარული ხუთკუთხედის წვეროებს. R=2ორიენტირებული საწყისზე (სურ. 28).
ზოგადად, ორმხრივი განტოლების ფესვები ω n \u003d a,სადაც ა-კომპლექსური რიცხვი, შეესაბამება რეგულარულის წვეროებს ნ-გონი ჩაწერილი წრეში, რომლის ცენტრი საწყისზე და რადიუსი უდრის ▲-ს
444. დე მოივრის ფორმულის გამოყენებით გამოხატეთ cos5φდა sin5 φმეშვეობით cosφდა sinφ.
∆ ჩვენ გარდაქმნით ტოლობის მარცხენა მხარეს ნიუტონის ორობითი ფორმულის მიხედვით:
რჩება თანასწორობის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრება:
445. მოცემულია რთული რიცხვი z=2-2i. იპოვე რეზ, იმზ, |ზ|, არგზ.
446. z = -12 + 5i.
447 . გამოთვალეთ გამოხატულება Moivre ფორმულის გამოყენებით (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. გამოთვალეთ დე მოივრის ფორმულით.
449. გამოთქვით რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. გამოხატვის შეფასება (2 + 3i) 3 .
451.
გამოხატვის შეფასება
452. გამოხატვის შეფასება
453. გამოთქვით რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით 5-3ი.
454. გამოთქვით რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით -1 + ი.
455.
გამოხატვის შეფასება
456.
გამოხატვის შეფასება რომელმაც ადრე წარმოადგინა ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში ტრიგონომეტრიული ფორმით.
457. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
458.
ამოხსენით ორობითი განტოლება
459. გამოხატოს cos4φდა sin4φმეშვეობით cosφდა sinφ.
460. აჩვენეთ მანძილი წერტილებს შორის z1და z2უდრის | z2-z1|.
∆ გვაქვს z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1),სადაც
იმათ. | z2-z1| უდრის მანძილს მოცემულ წერტილებს შორის. ▲
461. რომელი ხაზია აღწერილი წერტილით ზ, აკმაყოფილებს განტოლებას სადაც თან-მუდმივი რთული რიცხვი და R>0?
462.
რა არის უტოლობების გეომეტრიული მნიშვნელობა: 1) | z-c|
463. რა არის უტოლობების გეომეტრიული მნიშვნელობა: 1) რეზი > 0; 2) მე ზ< 0 ?
2. სერია რთული ტერმინებით. განვიხილოთ რთული რიცხვების თანმიმდევრობა z 1, z 2 , ზ 3, ..., სადაც z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...).მუდმივი რიცხვი c = a + biდაურეკა ზღვარითანმიმდევრობები z 1, z 2 , ზ 3, ..., თუ რაიმე თვითნებურად მცირე რიცხვისთვის δ>0 არის ნომერი N,რა მნიშვნელობა აქვს ზ პნომრებით n > Nდააკმაყოფილეთ უთანასწორობა \z n-ერთად\< δ . ამ შემთხვევაში დაწერეთ .
რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვრის არსებობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა: რიცხვი c=a+biარის კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ...თუ და მხოლოდ თუ , .
(1)
რომლის წევრებიც რთული რიცხვებია ეწოდება თანხვედრა,თუ nth S n სერიის ნაწილობრივი ჯამი n → ∞მიდრეკილია გარკვეული საბოლოო ლიმიტისკენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სერია (1) ეწოდება განსხვავებული.
სერია (1) იყრის თავს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ რეალური ტერმინების სერიები ერთმანეთს ემთხვევა
(2) გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია. მაშასადამე, რთული ტერმინებით მოცემული სერია აბსოლუტურად იყრის თავს. ^
474. იპოვეთ სერიის კონვერგენციის არე
მიმდევრობის ზღვრის ცნების არსებობა (1.5) საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ სერიები კომპლექსურ დომენში (როგორც რიცხვითი, ისე ფუნქციური). რიცხვითი სერიების ნაწილობრივი ჯამები, აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია სტანდარტულად არის განსაზღვრული. სადაც სერიის დაახლოება გულისხმობს ორი სერიის კონვერგენციას, რომელთაგან ერთი შედგება სერიის ტერმინების რეალური, ხოლო მეორე წარმოსახვითი ნაწილებისგან: მაგალითად, სერია აბსოლუტურად იყრის თავს და სერია − განსხვავდება (წარმოსახვითი ნაწილის გამო).
თუ სერიის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები აბსოლუტურად ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ
რიგი, რადგან . პირიქითაც მართალია: რთული სერიის აბსოლუტური კონვერგენციიდან
რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების აბსოლუტური კონვერგენცია შემდეგია:
რეალურ დომენში ფუნქციური სერიების მსგავსად, რთული
ფუნქციური სერიები, მათი წერტილოვანი და ერთგვაროვანი კონვერგენციის ფართობი. ცვლილების გარეშე
ჩამოყალიბებული და დადასტურებული ვეიერშტრასის ნიშანიერთიანი კონვერგენცია. შენახულები არიან
თანაბრად კონვერგენტული სერიის ყველა თვისება.
ფუნქციონალური სერიების შესწავლისას განსაკუთრებული ინტერესია ძალა
წოდებები: , ან ჩანაცვლების შემდეგ : . როგორც რეალურის შემთხვევაში
ცვლადი, ჭეშმარიტი აბელის თეორემა : თუ (ბოლო) სიმძლავრის სერია გადაიყრება ζ 0 ≠ 0 წერტილში, მაშინ ის იყრის თავს და აბსოლუტურად, ნებისმიერი ζ უტოლობის დასაკმაყოფილებლად
Ამგვარად, კონვერგენციის რეგიონი Dეს სიმძლავრის სერია არის R რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე, სად რ − კონვერგენციის რადიუსი − მნიშვნელობების ზუსტი ზედა ზღვარი (საიდან გაჩნდა ეს ტერმინი). ორიგინალური სიმძლავრის სერია, თავის მხრივ, გადაიყრება რადიუსის წრეში რცენტრით ზ 0 . უფრო მეტიც, ნებისმიერ დახურულ წრეში, სიმძლავრის სერია აბსოლიტურად და ერთგვაროვნად იყრის თავს (ბოლო განცხადება დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ვეიერშტრასის ტესტიდან (იხილეთ კურსი "სერიები")).
მაგალითი .
იპოვეთ კონვერგენციის წრე და შეამოწმეთ კონვერგენცია tt-ში. ზ 1 და ზ 2 სიმძლავრის სერია გამოსავალი.
კონვერგენციის რეგიონი − რადიუსის წრე რ= 2 ცენტრით ტ. ზ 0 = 1 − 2მე
. z 1 დევს კონვერგენციის წრის გარეთ და სერია განსხვავდება. Ჰალსტუხი. წერტილი დევს კონვერგენციის წრის საზღვარზე. მისი ორიგინალურ სერიაში ჩანაცვლებით, ჩვენ დავასკვნით:
− რიგი პირობითად იყრის თავს ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით.
თუ ყველა სასაზღვრო წერტილში სერია აბსოლიტურად გადაიყრება ან განსხვავდება აუცილებელი კრიტერიუმის მიხედვით, მაშინ ეს შეიძლება დაუყოვნებლივ დადგინდეს მთელი საზღვრისთვის. ამისათვის ჩაანაცვლეთ ზედიზედ
ტერმინების ღირებულების მოდულებიდან რგამოხატვის ნაცვლად და გამოიკვლიეთ მიღებული სერიები.
მაგალითი. განვიხილოთ სერია ბოლო მაგალითიდან, შეცვალეთ ერთი ფაქტორი:
სერიის კონვერგენციის რეგიონი იგივე რჩება: ჩანაცვლება მოდულების სერიაში
შედეგად მიღებული კონვერგენციის რადიუსი:
თუ რიგის ჯამს აღვნიშნავთ ვ(ზ), ე.ი. ვ(ზ) = (ბუნებრივია, ში
კონვერგენციის რეგიონი), მაშინ ეს სერია ე.წ ტეილორთან ახლოს ფუნქციები ვ(ზ) ან ფუნქციის გაფართოება ვ(ზ) ტეილორის სერიალში. კონკრეტულ შემთხვევაში, z 0 = 0-ისთვის სერია ეწოდება მაკლარინთან ახლოს ფუნქციები ვ(ზ) .
1.7 ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების განმარტება. ეილერის ფორმულა.
განვიხილოთ სიმძლავრის სერია თუ ზარის რეალური ცვლადი, მაშინ ის წარმოადგენს
არის მაკლარინის სერიის ფუნქციის გაფართოება და, შესაბამისად, აკმაყოფილებს
ექსპონენციალური ფუნქციის დამახასიათებელი თვისება: , ე.ი. . ეს არის დადგენის საფუძველი ექსპონენციალური ფუნქციაკომპლექსის ტერიტორიაზე:
განმარტება 1. .
ფუნქციები ანალოგიურად არის განსაზღვრული
განმარტება 2.
სამივე სერიები აბსოლიტურად და ერთნაირად იყრის თავს რთული სიბრტყის ნებისმიერ შემოსაზღვრულ დახურულ რეგიონში.
მიღებული სამი ფორმულიდან გამოდის მარტივი ჩანაცვლება ეილერის ფორმულა:
აქედან ის მაშინვე მოჰყვება დემონსტრაცია რთული რიცხვების აღნიშვნა:
ეილერის ფორმულა ადგენს კავშირს ჩვეულებრივ და ჰიპერბოლურ ტრიგონომეტრიას შორის.
განვიხილოთ, მაგალითად, ფუნქცია: დანარჩენი ურთიერთობები ანალოგიურად არის მიღებული. Ისე:
მაგალითები. წარმოადგინეთ ეს გამონათქვამები ფორმით
2. (ფრჩხილებში გამოთქმა არის რიცხვი მე
, დაწერილი ექსპონენციალური ფორმით)
4. იპოვეთ მე-2 რიგის წრფივი DE წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები:
დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია:
ვინაიდან ჩვენ ვეძებთ განტოლების რეალურ ამონახსნებს, შეგვიძლია ფუნქციების აღება
მოდით განვსაზღვროთ, დასკვნის სახით, რთული ცვლადის ლოგარითმული ფუნქცია. როგორც რეალურ დომენში, ჩვენ განვიხილავთ მას ექსპონენციალურის ინვერსიას. სიმარტივისთვის განვიხილავთ მხოლოდ ექსპონენციალურ ფუნქციას, ე.ი. ამოხსნას განტოლება ვ, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ ლოგარითმულ ფუნქციას. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ განტოლების ლოგარითმს, წარმოგიდგენთ ზექსპონენციალური ფორმით:
თუ ნაცვლად არგ ზდაწერე არგ ზ(1.2), შემდეგ მივიღებთ უსასრულო მნიშვნელობის ფუნქციას
1.8 FKP-ის წარმოებული. ანალიტიკური ფუნქციები. კოში-რიმანის პირობები.
დაე ვ = ვ(ზ) არის დომენში განსაზღვრული ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.
განმარტება 1. წარმოებული ფუნქციიდან ვ (ზ) წერტილს ეწოდება ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის:
ფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული წერტილი ზ, ეწოდება დიფერენცირებადი ამ ეტაპზე.
ცხადია, წარმოებულების ყველა არითმეტიკული თვისება დაკმაყოფილებულია.
მაგალითი .
ნიუტონის ბინომიალური ფორმულის გამოყენებით, ანალოგიურად გამოდის, რომ
მაჩვენებლის, სინუსის და კოსინუსის სერია აკმაყოფილებს ტერმინების მიხედვით დიფერენციაციის ყველა პირობას. პირდაპირი გადამოწმებით ადვილია ამის მიღება:
კომენტარი. მიუხედავად იმისა, რომ FKP წარმოებულის განმარტება ფორმალურად სრულად ემთხვევა FDP-ის განმარტებას, ის არსებითად უფრო რთულია (იხ. შენიშვნა ნაწილში 1.5).
განმარტება 2.ფუნქცია ვ(ზ), მუდმივად დიფერენცირებადი დომენის ყველა წერტილში გ, ეწოდება ანალიტიკური ან რეგულარული ამ რეგიონში.
თეორემა 1 . თუ ფუნქცია f (ზ) დიფერენცირებადი G დომენის ყველა წერტილში, მაშინ ეს არის ანალიტიკური ამ სფეროში. (ბ/დ)
კომენტარი. ფაქტობრივად, ეს თეორემა ადგენს დომენებზე FKP-ის კანონზომიერებისა და დიფერენციალურობის ეკვივალენტობას.
თეორემა 2. ფუნქცია, რომელიც დიფერენცირებადია ზოგიერთ დომენში, აქვს უსასრულოდ ბევრი წარმოებული ამ დომენში. (ბ/დ. ქვემოთ (თავში 2.4) ეს მტკიცება დამტკიცდება გარკვეული დამატებითი დაშვებებით)
ჩვენ წარმოვადგენთ ფუნქციას, როგორც რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების ჯამს: თეორემა 3. ( კოში − რიმანის პირობები). დაუშვით ფუნქცია ვ (ზ) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია. შემდეგ ფუნქციები u(x,წ) და ვ(x,წ) აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები ამ ეტაპზე და
და დაურეკა კოში-რიმანის პირობები .
მტკიცებულება . ვინაიდან წარმოებულის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული რაოდენობის მიდრეკილებაზე
ნულამდე ვირჩევთ შემდეგ გზას: ვიღებთ:
ანალოგიურად, როდესაც ჩვენ გვაქვს:
, რომელიც ადასტურებს თეორემას.
პირიქითაც მართალია:
თეორემა 4.თუ ფუნქციები u (x,წ) და ვ(x,წ) აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები რაღაც მომენტში, რომლებიც აკმაყოფილებს კოში-რიმანის პირობებს, შემდეგ კი თავად ფუნქციას ვ(ზ) ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. (ბ/დ)
თეორემები 1-4 გვიჩვენებს ფუნდამენტურ განსხვავებას FKP-სა და FDP-ს შორის.
თეორემა 3 საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული რომელიმე შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
ამავე დროს, შეიძლება განიხილოს Xდა ზეთვითნებური რთული რიცხვები და გამოთვალეთ წარმოებული ფორმულების გამოყენებით:
მაგალითები. შეამოწმეთ ფუნქცია რეგულარობისთვის. თუ ფუნქცია რეგულარულია, გამოთვალეთ მისი წარმოებული.
განმარტება:კომპლექსური რიცხვების რიცხვითი სერია z 1, z 2, …, z n,…ფორმის გამოხატულება ეწოდება
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
სადაც z n ეწოდება სერიის საერთო ტერმინს.
განმარტება:ნომერი S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z nეწოდება სერიის ნაწილობრივი ჯამი.
განმარტება:სერია (1) ეწოდება კონვერგენტს, თუ მისი ნაწილობრივი ჯამების (S n) თანმიმდევრობა იყრის თავს. თუ ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა განსხვავდება, მაშინ სერიას დივერგენტი ეწოდება.
თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ რიცხვს S = ეწოდება სერიების ჯამს (3.1).
z n = x n + iy n,
შემდეგ სერია (1) იწერება როგორც
= + .
თეორემა:სერია (1) იყრის თავს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სერია და , რომელიც შედგება (3.1) სერიების ტერმინების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებისგან, ერთმანეთს ემთხვევა.
ეს თეორემა საშუალებას გვაძლევს რეალური ტერმინების გვერდით გადავიტანოთ კონვერგენციის კრიტერიუმები კომპლექსური ტერმინებით სერიებში (აუცილებელი კრიტერიუმი, შედარების კრიტერიუმი, დ'ალმბერი, კოშის კრიტერიუმი და ა.შ.).
განმარტება.სერია (1) ეწოდება აბსოლუტურად კონვერგენტს, თუ სერია, რომელიც შედგება მისი წევრების მოდულებისგან, იყრის თავს.
თეორემა.სერიების აბსოლუტური კონვერგენციისთვის (3.1) აუცილებელია და საკმარისია, რომ სერიები და აბსოლუტური თანხვედრა.
მაგალითი 3.1.გაარკვიეთ სერიის კონვერგენციის ბუნება
გამოსავალი.
განვიხილოთ სერია
მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს სერიები აბსოლუტურად ერთმანეთს ემთხვევა. ამისათვის ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ სერია
თანხვედრა.
ვინაიდან, რიგის ნაცვლად, ვიღებთ მწკრივს. თუ ბოლო სერიები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ სერიებიც იყრის თავს შედარებით.
სერიის დაახლოება და დასტურდება ინტეგრალური კრიტერიუმის დახმარებით.
ეს ნიშნავს, რომ სერიები და აბსოლიტურად იყრიან თავს და, ბოლო თეორემის მიხედვით, თავდაპირველი სერია აბსოლუტურად იყრის თავს.
4. სიმძლავრის სერია რთული ტერმინებით. აბელის სიმძლავრის სერიის თეორემა. წრე და კონვერგენციის რადიუსი.
განმარტება.სიმძლავრის სერია არის ფორმის სერია
სადაც … არის კომპლექსური რიცხვები, რომელსაც უწოდებენ სერიის კოეფიციენტებს.
რიგის (4.I) კონვერგენციის რეგიონი არის წრე.
ყველა სიმძლავრის შემცველი მოცემული სერიის R კონვერგენციის რადიუსის საპოვნელად გამოიყენება ერთ-ერთი ფორმულა:
თუ სერია (4.1) არ შეიცავს ყველა უფლებამოსილებას, მაშინ მის საპოვნელად პირდაპირ უნდა გამოვიყენოთ დ'ალბერტის ან კოშის ტესტი.
მაგალითი 4.1.იპოვეთ სერიის კონვერგენციის წრე:
გამოსავალი:
ა) ამ რიგის კონვერგენციის რადიუსის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას
ჩვენს შემთხვევაში
ამრიგად, რიგის დაახლოების წრე მოცემულია უტოლობით
ბ) რიგის კონვერგენციის რადიუსის საპოვნელად ვიყენებთ დ'ალმბერის კრიტერიუმს.
ლიმიტის გამოსათვლელად L'Hopital-ის წესი ორჯერ იქნა გამოყენებული.
d'Alembert ტესტის მიხედვით, სერია გადაიყრება, თუ . აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს სერიის კონვერგენციის წრე.
5. რთული ცვლადის ექსპონენციალური და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
6. ეილერის თეორემა. ეილერის ფორმულები. რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა.
7. მიმატების თეორემა. ექსპონენციალური ფუნქციის პერიოდულობა.
ექსპონენციალური ფუნქცია და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განისაზღვრება, როგორც შესაბამისი სიმძლავრის რიგის ჯამები, კერძოდ:
ეს ფუნქციები დაკავშირებულია ეილერის ფორმულებით:
შესაბამისად, ჰიპერბოლურ კოსინუსს და სინუსს უწოდებენ, ფორმულებით დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიულ კოსინუსთან და სინუსთან
ფუნქციები , , , განსაზღვრულია როგორც რეალურ ანალიზში.
ნებისმიერი რთული რიცხვისთვის და შეკრების თეორემა მოქმედებს:
ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ექსპონენციალური ფორმით:
მისი არგუმენტია.
მაგალითი 5.1.იპოვე
გამოსავალი.
მაგალითი 5.2.გამოთქვით რიცხვი ექსპონენციალური ფორმით.
გამოსავალი.
იპოვეთ ამ რიცხვის მოდული და არგუმენტი:
შემდეგ მივიღებთ
8. რთული ცვლადის ფუნქციების ლიმიტი, უწყვეტობა და ერთგვაროვანი უწყვეტობა.
დაე ეარის კომპლექსური სიბრტყის წერტილების გარკვეული ნაკრები.
განმარტება.ამას გადასაღებ მოედანზე ამბობენ ეფუნქცია მოცემულია ვრთული ცვლადი z,თუ ყოველი წერტილი ზ E წესით ვენიჭება ერთი ან მეტი რთული რიცხვი ვ(პირველ შემთხვევაში ფუნქციას ეწოდება ერთმნიშვნელოვანი, მეორეში - მრავალმნიშვნელოვანი). აღნიშნეთ w = f(z). ეარის ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.
ნებისმიერი ფუნქცია w = f(z) (z = x + iy)შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z)ეწოდება ფუნქციის რეალური ნაწილი და V(x, y) = Imf(z)არის f(z) ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.
განმარტება.დაუშვით ფუნქცია w = f(z)განსაზღვრული და უნიკალურია წერტილის ზოგიერთ უბანში z 0,გამოვრიცხავ, ალბათ, ძალიან აზრს z0. A რიცხვს ფუნქციის ზღვარი ეწოდება f(z)წერტილში z0, თუ რომელიმესთვის ε > 0, შეიძლება მიუთითოთ რიცხვი δ > 0 ისე, რომ ყველასთვის z = z0და უთანასწორობის დაკმაყოფილება |z – z 0 |< δ , უთანასწორობა | ვ(ზ) – A|< ε.
ჩაწერა
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ z→z0თვითნებურად.
თეორემა.ფუნქციის ლიმიტის არსებობისთვის w = f(z)წერტილში z 0 = x 0 + iy 0აუცილებელია და საკმარისია ფუნქციის საზღვრები U(x, y)და V(x, y)წერტილში (x0, y0).
განმარტება.დაუშვით ფუნქცია w = f(z)არის განსაზღვრული და უნიკალური z 0 წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში, თავად ამ წერტილის ჩათვლით. ფუნქცია f(z)ეწოდება უწყვეტი z 0 წერტილში თუ
თეორემა.ფუნქციის უწყვეტობისთვის წერტილში z 0 = x 0 + iy 0აუცილებელია და საკმარისია, რომ ფუნქციები U(x, y)და V(x, y)წერტილში (x0, y0).
თეორემებიდან გამომდინარეობს, რომ უმარტივესი თვისებები, რომლებიც დაკავშირებულია რეალური ცვლადების ფუნქციების ლიმიტთან და უწყვეტობასთან, გადადის რთული ცვლადის ფუნქციებზე.
მაგალითი 7.1.გამოყავით ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.
გამოსავალი.
ფორმულაში, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას, ჩვენ ვცვლით
ნულამდე ორი სხვადასხვა მიმართულებით, ფუნქცია U(x, y)აქვს სხვადასხვა საზღვრები. ეს ნიშნავს, რომ იმ წერტილში z = 0ფუნქცია f(z)არ აქვს ლიმიტი. შემდეგი, ფუნქცია f(z)განისაზღვრება იმ წერტილებში, სადაც .
დაე z 0 = x 0 + iy 0, ერთ-ერთი ამ პუნქტიდან.
ეს ნიშნავს, რომ წერტილებში z = x + iyზე y 0 ფუნქცია უწყვეტია.
9. კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თანმიმდევრობა და რიგი. ერთიანი კონვერგენცია. დენის სერიის უწყვეტობა.
ერთგვაროვანი კონვერგენციის რთული ცვლადის კონვერგენტული მიმდევრობისა და ფუნქციების კონვერგენტული სერიის განსაზღვრა, რომელიც შეესაბამება თანაბარი კონვერგენციის თეორიას, მიმდევრობის ზღვრის უწყვეტობას, სერიების ჯამს, იქმნება და მტკიცდება ზუსტად იმავე გზით. რაც შეეხება უძრავი ცვლადის ფუნქციების მიმდევრობასა და სერიას.
მოდით წარმოვადგინოთ ფაქტები, რომლებიც აუცილებელია შემდეგი ფუნქციონალური სერიების შესახებ.
შემოუშვით ტერიტორიაზე დგანსაზღვრულია რთული ცვლადის (fn (z)) ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციების თანმიმდევრობა. შემდეგ სიმბოლო:
დაურეკა ფუნქციური დიაპაზონი.
Თუ z0ეკუთვნის დდაფიქსირდა, შემდეგ სერია (1) იქნება რიცხვითი.
განმარტება.ფუნქციური დიაპაზონი (1) რეგიონში კონვერგენტს უწოდებენ დ, თუ რომელიმესთვის ზფლობდა დ, მის შესაბამისი რიცხვითი სერიები იყრის თავს.
თუ რიგი (1) აერთიანებს რეგიონში დ, მაშინ ამ რეგიონში შეიძლება განისაზღვროს ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია f(z), რომლის ღირებულება თითოეულ წერტილში ზფლობდა დუდრის შესაბამისი რიცხვითი სერიის ჯამს. ეს ფუნქცია ე.წ სერიის ჯამი (1) ტერიტორიაზე დ .
განმარტება.Თუ
ვინმესთვის ზფლობდა D,მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
შემდეგ რიგი (1) რეგიონში ერთნაირად კონვერგენტს უწოდებენ დ.
სერია რთული ტერმინებით.
19.3.1. რიცხვითი სერიები რთული ტერმინებით.კონვერგენციის ყველა ძირითადი განმარტება, კონვერგენციული სერიების თვისებები, რთული სერიების კონვერგენციის კრიტერიუმები არანაირად არ განსხვავდება რეალური შემთხვევისგან.
19.3.1.1. ძირითადი განმარტებები. მიეცით რთული რიცხვების უსასრულო მიმდევრობა. რიცხვის რეალური ნაწილი აღინიშნა , წარმოსახვითი - (ე.ი.
ნომრების სერია- ნახეთ ჩანაწერი .
სერიის ნაწილობრივი ჯამები:
განმარტება.თუ არის ზღვარი ს სერიების ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა , რომელიც არის სათანადო რთული რიცხვი, მაშინ ამბობენ, რომ სერია გადადის; ნომერი ს მოუწოდა სერიების ჯამს და ჩაწერეთ ან .
იპოვეთ ნაწილობრივი ჯამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები: , სადაც სიმბოლოები და აღნიშნეთ ნაწილობრივი ჯამის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. რიცხვითი მიმდევრობა იყრის თავს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებისგან შემდგარი მიმდევრობები ერთმანეთს ემთხვევა. ამრიგად, რთული ტერმინების მქონე სერიები იყრის თავს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებით შექმნილი სერიები ერთმანეთს ემთხვევა.
მაგალითი.
19.3.1.2. აბსოლუტური კონვერგენცია.
განმარტება.რიგს ეძახიან აბსოლუტურად კონვერგენტულითუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა , რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებით.
ისევე, როგორც თვითნებური ტერმინებით რიცხვითი რეალური სერიებისთვის, შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ სერიები აუცილებლად იყრის თავს. თუ სერიები იყრის თავს და სერიები განსხვავდებიან, მაშინ სერია პირობითად კონვერგენტულია.
სერია არის რიგი არაუარყოფითი წევრებით, ამიტომ მისი კონვერგენციის შესასწავლად შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველა ცნობილი მახასიათებელი (შედარების თეორემებიდან კოშის ინტეგრალურ ტესტებამდე).
მაგალითი.გამოიკვლიეთ სერია კონვერგენციისთვის.
მოდით გავაკეთოთ მოდულების სერია (): . ეს სერია ერთდება (კოშის ტესტი ), ასე რომ, ორიგინალური სერია აბსოლუტურად იყრის თავს.
19.1.3.4. კონვერგენტული სერიების თვისებები.რთული ტერმინების მქონე კონვერგენტული სერიებისთვის, რეალური წევრების სერიების ყველა თვისება მართალია:
სერიის კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი. კონვერგენტული სერიის საერთო წევრი ნულისკენ მიისწრაფვის როგორც.
თუ სერიები იყრის თავს, მაშინ მისი რომელიმე ნარჩენი იყრის თავს, პირიქით, თუ სერიების რომელიმე ნარჩენი იყრის თავს, მაშინ სერია თავად იყრის თავს.
თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ნარჩენების ჯამი შემდეგნ -ე ტერმინი მიდრეკილია ნულისკენ.
თუ კონვერგენციული სერიის ყველა წევრი გამრავლებულია იმავე რიცხვზე თან, მაშინ სერიების კონვერგენცია შენარჩუნებულია და ჯამი მრავლდება თან.
კონვერგენტული რიგები ( მაგრამ) და ( AT) შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს ტერმინი ტერმინით; შედეგად მიღებული სერიაც გადაიყრება და მისი ჯამი უდრის.
თუ კონვერგენტული სერიის წევრები დაჯგუფებულია თვითნებურად და ახალი სერია შედგება ფრჩხილების თითოეულ წყვილში მოცემული ტერმინების ჯამებისგან, მაშინ ეს ახალი სერიაც გადაირევა და მისი ჯამი ტოლი იქნება თავდაპირველი სერიის ჯამისა. .
თუ სერია აბსოლიტურად იყრის თავს, მაშინ მისი ტერმინების ნებისმიერი პერმუტაციისთვის, კონვერგენცია შენარჩუნებულია და ჯამი არ იცვლება.
თუ რიგები ( მაგრამ) და ( AT) აბსოლუტურად ემთხვევა მათ ჯამსდა, მაშინ მათი ნამრავლი ტერმინების თვითნებური თანმიმდევრობისთვის ასევე აბსოლუტურად იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის.
19.3.2. დენის კომპლექსური სერია.
განმარტება.სიმძლავრის სერია რთული ტერმინებით არის ფორმის სერია
სადაც არის მუდმივი რთული რიცხვები (სერიების კოეფიციენტები), არის ფიქსირებული რთული რიცხვი (კონვერგენციის წრის ცენტრი). ნებისმიერი რიცხვითი მნიშვნელობისთვის ზ სერია იქცევა რიცხვითი სერიით რთული ტერმინებით, კონვერტაციული ან განსხვავებული. თუ სერია ერთ წერტილში იყრის თავს ზ , მაშინ ამ წერტილს სერიის კონვერგენციის წერტილი ეწოდება. სიმძლავრის სერიას აქვს მინიმუმ ერთი კონვერგენციის წერტილი - წერტილი. დაახლოების წერტილების ერთობლიობას სერიის კონვერგენციის რეგიონი ეწოდება.
რაც შეეხება სიმძლავრის სერიას რეალური ტერმინებით, ყველა მნიშვნელოვანი ინფორმაცია სიმძლავრის სერიის შესახებ შეიცავს აბელის თეორემას.
აბელის თეორემა.თუ სიმძლავრის სერია ერთდება წერტილში, მაშინ
1. ის აბსოლუტურად იყრის თავს წრის ნებისმიერ წერტილში ;
2. თუ ეს სერია განსხვავდება ზე , მაშინ ის განსხვავდება ნებისმიერ წერტილში ზ
, უთანასწორობის დაკმაყოფილება (ანუ, მდებარეობს წერტილიდან უფრო შორს, ვიდრე ).
მტკიცებულება სიტყვასიტყვით იმეორებს მონაკვეთის მტკიცებულებას 18.2.4.2. აბელის თეორემანამდვილი წევრების მქონე სერიისთვის.
აბელის თეორემა გულისხმობს ასეთი არაუარყოფითი რეალური რიცხვის არსებობას რ , რომ სერია გადაიყრება რადიუსის წრის აბსოლუტურად ნებისმიერ შიდა წერტილში რ ორიენტირებულია და განსხვავდება ამ წრის გარეთ ნებისმიერ წერტილში. ნომერი რ დაურეკა კონვერგენციის რადიუსი, წრე - კონვერგენციის წრე. ამ წრის საზღვრის წერტილებში - რადიუსის წრეები რ ორიენტირებული წერტილზე - სერიები შეიძლება გადაიზარდოს და განსხვავდებოდეს. ამ წერტილებში მოდულების სერიას აქვს ფორმა. შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:
1. სერია იყრის თავს. ამ შემთხვევაში, სერიები იყრის თავს წრის აბსოლუტურად ნებისმიერ წერტილში.
2. სერია განსხვავდება, მაგრამ მისი საერთო ტერმინი . ამ შემთხვევაში, სერიები შეიძლება პირობითად გადავიდეს წრის ზოგიერთ წერტილში, ხოლო სხვაგან განსხვავდებოდეს, ე.ი. თითოეული წერტილი მოითხოვს ინდივიდუალურ შესწავლას.
3. სერია განსხვავდება და მისი საერთო ტერმინი არ არის ნულისკენ მიდრეკილი. ამ შემთხვევაში, სერია განსხვავდება სასაზღვრო წრის ნებისმიერ წერტილში.