აქსიომატური მეთოდები მათემატიკაში. ნატურალური რიცხვების სისტემის აქსიომატური აგება ნატურალური რიცხვის განმარტება
![აქსიომატური მეთოდები მათემატიკაში. ნატურალური რიცხვების სისტემის აქსიომატური აგება ნატურალური რიცხვის განმარტება](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
შეთანხმება საიტის მასალების გამოყენების შესახებ
გთხოვთ გამოიყენოთ საიტზე გამოქვეყნებული ნამუშევრები მხოლოდ პირადი მიზნებისთვის. სხვა საიტებზე მასალების გამოქვეყნება აკრძალულია.
ეს ნამუშევარი (და ყველა სხვა) ხელმისაწვდომია უფასოდ ჩამოსატვირთად. გონებრივად შეგიძლიათ მადლობა გადაუხადოთ მის ავტორს და საიტის თანამშრომლებს.
თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა
სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობლები იქნებიან თქვენი.
მსგავსი დოკუმენტები
p-adic მთელი რიცხვების შეკრება და გამრავლება, განსაზღვრული როგორც მიმდევრობების ტერმინული შეკრება და გამრავლება. მთელი რიცხვების რგოლი p-adic რიცხვები, მათი გაყოფის თვისებების შესწავლა. ამ რიცხვების ახსნა ახალი მათემატიკური ობიექტების შემოტანით.
საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 22/06/2015
როგორ ისწავლეს ადამიანებმა დათვლა, რიცხვების, რიცხვების და რიცხვების სისტემების გაჩენა. გამრავლების ცხრილი „თითებზე“: გამრავლების ტექნიკა 9 და 8 რიცხვებისთვის. სწრაფი დათვლის მაგალითები. ორნიშნა რიცხვის გამრავლების გზები 11-ზე, 111-ზე, 1111-ზე და ა.შ. და სამნიშნა რიცხვი 999-ით.
საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 22/10/2011
რიცხვების გამრავლების ახალი გზა. სამკუთხედთან გამოთვლის დროს წარმოქმნილი რიცხვების მატრიცის მსგავსება ფარდობითია, მაგრამ მაინც არსებობს, განსაკუთრებით სამნიშნა და მეტი რიცხვების გამრავლებისას. სამკუთხა მატრიცა.
სტატია, დამატებულია 02/06/2005
რეზიუმე, დამატებულია 01/13/2011
მარტივი რიცხვების მნიშვნელობის შესწავლის ისტორიის დახასიათება მათემატიკაში მათი აღმოჩენის აღწერით. პიეტრო კატალდის წვლილი მარტივი რიცხვების თეორიის შემუშავებაში. მარტივი რიცხვების ცხრილების შედგენის ერატოსთენეს მეთოდი. ნატურალური რიცხვების კეთილგანწყობა.
ტესტი, დამატებულია 12/24/2010
არაუარყოფითი რეალური რიცხვების სიმრავლე, როგორც R-ის ინტერპრეტირებული ქვესიმრავლე. გაყოფა მრავლობით ნახევარჯგუფებში. ნახევარჯგუფების რიცხვითი GCD და LCM სტრუქტურა. არაუარყოფითი რეალური რიცხვების მრავლობითი ნახევრადჯგუფების შესწავლა 0-ით და 1-ით.
დისერტაცია, დამატებულია 27/05/2008
ნამდვილ რიცხვთა თვისებები, მათი როლი მათემატიკის განვითარებაში. რეალური რიცხვების სიმრავლის აგების ანალიზი ისტორიულ ასპექტში. ნამდვილ რიცხვთა თეორიის აგების მიდგომები კანტორის, ვეიერშტრასის, დედეკინდის მიხედვით. მათი სწავლა სასკოლო კურსზე.
პრეზენტაცია, დამატებულია 10/09/2011
მათემატიკის ძირითადი ელემენტები. ნატურალური რიცხვების თვისებები. რიცხვების თეორიის კონცეფცია. შედარებისა და ალგებრული განტოლებების ზოგადი თვისებები. არითმეტიკული მოქმედებები შედარებებით. არითმეტიკის ძირითადი კანონები. არითმეტიკული მოქმედებების შედეგების შემოწმება.
საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 15/05/2015
პოლისემია
პოლისემია, ანუ სიტყვების ორაზროვნება, გამომდინარეობს იქიდან, რომ ენა არის სისტემა, რომელიც შეზღუდულია რეალობის უსასრულო მრავალფეროვნებასთან შედარებით, ასე რომ, აკადემიკოს ვინოგრადოვის სიტყვებით, „ენა იძულებულია გაანაწილოს უთვალავი სიმრავლე. მნიშვნელობები ძირითადი ცნებების ამა თუ იმ სათაურის ქვეშ“. (ვინოგრადოვი "რუსული ენა" 1947). აუცილებელია განასხვავოთ სიტყვების განსხვავებული გამოყენება ერთ ლექსიკურ-სემანტიკურ ვარიანტში და სიტყვის ფაქტობრივი განსხვავება. ასე, მაგალითად, სიტყვა (das)Ol შეიძლება მიუთითებდეს რამდენიმე სხვადასხვა ზეთს, გარდა ძროხისა (რომელზეც არის სიტყვა კარაქი). თუმცა, აქედან არ გამომდინარეობს, რომ სხვადასხვა ზეთების აღსანიშნავად სიტყვა ოლს ყოველ ჯერზე განსხვავებული მნიშვნელობა ექნება: ყველა შემთხვევაში მისი მნიშვნელობა იგივე იქნება, კერძოდ ზეთი (არაფერი, გარდა ძროხისა). ისევე, როგორც, მაგალითად, სიტყვა Tisch table-ის მნიშვნელობა, მიუხედავად იმისა, თუ რა სახის ცხრილს აღნიშნავს სიტყვა ამ კონკრეტულ შემთხვევაში. სხვა სიტუაციაა, როცა სიტყვა ოლ ზეთს ნიშნავს. აქ უკვე წინა პლანზე გამოდის არა ზეთის მსგავსება საპოხი ხაზის გასწვრივ სხვადასხვა კლასის ზეთებთან, არამედ ზეთის განსაკუთრებული ხარისხი - აალებადი. და ამავდროულად, სხვადასხვა ტიპის საწვავის აღმნიშვნელი სიტყვები უკვე კორელაციაში იქნება სიტყვა ოლთან: Kohl, Holz და ა.შ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვყოთ ორი მნიშვნელობა სიტყვისგან ოლ (ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი ლექსიკურ-სემანტიკური ვარიანტი): 1) ზეთი (არა ცხოველი) 2) ზეთი.
როგორც წესი, ახალი მნიშვნელობები წარმოიქმნება ერთ-ერთი არსებული სიტყვის ახალ ობიექტზე ან ფენომენზე გადაცემით. ასე ყალიბდება გადაცემის მნიშვნელობები. ისინი დაფუძნებულია ან ობიექტების მსგავსებაზე, ან ერთი ობიექტის მეორესთან კავშირზე. ცნობილია სახელების გადაცემის რამდენიმე ტიპი. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანია მეტაფორა ანუ მეტონიმია.
მეტაფორაში გადაცემა ემყარება ნივთების მსგავსებას ფერში, ფორმაში, მოძრაობაში და ა.შ. ყველა მეტაფორული ცვლილებით, თავდაპირველი კონცეფციის გარკვეული ნიშანი რჩება
ჰომონიმია
სიტყვის მრავალმნიშვნელოვნება იმდენად დიდი და მრავალმხრივი პრობლემაა, რომ ლექსიკოლოგიის ყველაზე მრავალფეროვანი პრობლემები რატომღაც უკავშირდება მას. კერძოდ, ომონიმიის პრობლემაც ამ პრობლემასთან კავშირშია მისი ზოგიერთი ასპექტით.
ჰომონიმები არის სიტყვები, რომლებიც ერთნაირად ჟღერს, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელობა აქვთ. ჰომონიმები ზოგიერთ შემთხვევაში წარმოიქმნება მათი პოლისემიიდან, რომელმაც განიცადა განადგურების პროცესი. მაგრამ ჰომონიმები ასევე შეიძლება წარმოიშვას ხმოვანი შემთხვევითი დამთხვევების შედეგად. გასაღები, რომელიც კარს ხსნის, გასაღები კი - ზამბარა ან ღვეზელი - თმის ვარცხნილობა და თხრილი - სასოფლო-სამეურნეო იარაღი - ამ სიტყვებს განსხვავებული მნიშვნელობა და სხვადასხვა წარმომავლობა აქვთ, მაგრამ შემთხვევით ემთხვევა ჟღერადობას.
ჰომონიმები განასხვავებენ ლექსიკურს (იხ. მეტყველების ერთი ნაწილი, მაგალითად, გასაღები - საკეტის გასახსნელად და გასაღები - ზამბარა. წყარო) მორფოლოგიურ (მინიშნება მეტყველების სხვადასხვა ნაწილზე, მაგალითად, სამი - რიცხვითი, სამი - ზმნა. იმპერატიულ განწყობილებაში), ლექსიკურ-გრამატიკული, რომლებიც იქმნება გარდაქმნის შედეგად, როდესაც მოცემული სიტყვა გადადის მეტყველების სხვა ნაწილში. მაგალითად ინგლ. შეხედე-შეხედე და შეხედე-შეხედე. ინგლისურ ენაში განსაკუთრებით ბევრია ლექსიკური და გრამატიკული ჰომონიმები.
ჰომოფონები და ჰომოგრაფიები უნდა განვასხვავოთ ჰომონიმებისგან. სხვადასხვა სიტყვებს ჰომოფონები ჰქვია, რომლებიც მართლწერით განსხვავებულად ემთხვევა გამოთქმაში, მაგალითად: მშვილდი - მდელო, სეიტე - გვერდი და საიტე - სტრიქონი.
ჰომოგრაფები ისეთი განსხვავებული სიტყვებია, რომლებიც მართლწერაში ერთმანეთს ემთხვევა, თუმცა განსხვავებულად წარმოითქმის (როგორც ბგერის შემადგენლობის, ისე სიტყვაში ხაზგასმის ადგილის მიხედვით), მაგალითად Castle - ციხე.
სინონიმი
სინონიმები მნიშვნელობით მსგავსია, მაგრამ განსხვავებული ჟღერადობის სიტყვები, რომლებიც გამოხატავენ ერთი და იგივე კონცეფციის ჩრდილებს.
არსებობს სამი სახის სინონიმები:
1. კონცეპტუალური, ანუ იდეოგრაფიული. ისინი ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ლექსიკური მნიშვნელობით. ეს განსხვავება გამოიხატება მითითებული ნიშნის სხვადასხვა ხარისხით (ყინვა - ცივი, ძლიერი, ძლიერი, ძლიერი), მისი აღნიშვნის ხასიათში (დახურული ქურთუკი - ქურთუკი - ქურთუკი), გამოხატული კონცეფციის მოცულობაში (ბანერი - დროშა, თავხედი - თამამი), ლექსიკური მნიშვნელობების დაკავშირების ხარისხით (ყავისფერი - ყავისფერი, შავი - შავი).
2. სინონიმები არის სტილისტური ან ფუნქციონალური. ისინი ერთმანეთისგან განსხვავდებიან გამოყენების სფეროთი, მაგალითად, თვალები - თვალები, სახე - სახე, შუბლი - შუბლი. სინონიმები ემოციური - შეფასებითი. ეს სინონიმები ღიად გამოხატავს მოსაუბრეს დამოკიდებულებას დანიშნული პირის, ობიექტის ან ფენომენის მიმართ. მაგალითად, ბავშვს შეიძლება საზეიმოდ ეწოდოს ბავშვი, მოსიყვარულე ბიჭი და პატარა ბიჭი, ზიზღით ბიჭი და მწოვარი, ასევე ხაზგასმით - ზიზღით ლეკვი, მწოვარი, ჯიგარი.
3. ანტონიმები – სიტყვების ერთობლიობა, რომლებიც თავიანთი ლექსიკური მნიშვნელობით საპირისპიროა, მაგალითად: ზემოდან – ქვედა, თეთრი – შავი, ლაპარაკი – ჩუმად, ხმამაღლა – ჩუმად.
ანტონიმია
არსებობს სამი სახის ანტონიმები:
1. თანდათანობითი და კოორდინირებული საპირისპირო ანტონიმები, მაგალითად, თეთრი - შავი, მშვიდი - ხმამაღალი, ახლო - შორეული, კეთილი - ბოროტი და ა.შ. ამ ანტონიმებს აქვთ საერთო მნიშვნელობა, რაც მათ წინააღმდეგობის საშუალებას იძლევა. ასე რომ, შავი და თეთრი ცნებები აღნიშნავს საპირისპირო ფერის ცნებებს.
2. შემავსებელი და გარდამქმნელი საპირისპირო ანტონიმები: ომი - მშვიდობა, ქმარი - ცოლი, დაქორწინებული - მარტოხელა, შეუძლია - არ შეუძლია, დახურვა - გახსნა.
3. ცნებების დიქოტომიური დაყოფის ანტონიმები. ისინი ხშირად ერთი და იგივე ძირეული სიტყვებია: ხალხური - ანტიხალხური, ლეგალური - უკანონო, ჰუმანური - არაადამიანური.
ინტერესიც არის ე.წ. სიტყვის შიდა ანტონიმია, როდესაც ერთმანეთს უპირისპირდება სიტყვების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ იგივე მატერიალური გარსი. მაგალითად, რუსულად, ზმნა ვინმეს სესხება ნიშნავს „სესხებს“, ხოლო ვიღაცისგან ფულის სესხება უკვე ნიშნავს ვიღაცისგან ფულის სესხებას. მნიშვნელობების სიტყვის შიდა დაპირისპირებას ენანტიოსემია ეწოდება.
6. ნატურალურ რიცხვთა სისტემის აქსიომატური აგება. მათემატიკური თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდი. აქსიომების სისტემის მოთხოვნები: თანმიმდევრულობა, დამოუკიდებლობა, სისრულე. პეანოს აქსიომატიკა. ნატურალური რიცხვის ცნება აქსიომური პოზიციებიდან. პეანოს აქსიომების სისტემის მოდელები. ნატურალური რიცხვების შეკრება და გამრავლება აქსიომური პოზიციებიდან. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის თვისებები. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის გამოკლება და გაყოფა აქსიომური პოზიციებიდან. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი. ნულის შემოღება და არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლის აგება. გაყოფის თეორემა ნაშთით.
ძირითადი ცნებები და განმარტებები
ნომერი -ეს არის განსაზღვრული რაოდენობის გამოხატულება.
ბუნებრივი რიცხვიგანუსაზღვრელი მიმდევრობის ელემენტი.
ნატურალური რიცხვები (ბუნებრივი რიცხვები) -რიცხვები, რომლებიც ბუნებრივად წარმოიქმნება თვლაში (როგორც ჩამოთვლის, ისე გამოთვლების მნიშვნელობით).
ნატურალური რიცხვების განსაზღვრის ორი მიდგომა არსებობს - რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება:
ნივთების (პირველი, მეორე, მესამე, ...) ჩამოთვლა (დანომრვა);
ნივთების რაოდენობის აღნიშვნა (ერთეულის გარეშე, ერთი ელემენტი, ორი ელემენტი, ...).
აქსიომა -ეს არის კონკრეტული თეორიის ძირითადი ამოსავალი წერტილები (თვითცხადი პრინციპები), საიდანაც დედუქციის გზით, ანუ წმინდა ლოგიკური საშუალებებით, ამოღებულია ამ თეორიის მთელი დანარჩენი შინაარსი.
რიცხვს, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი გამყოფი (თვით რიცხვი და ერთი), ეწოდება - მარტივი რიცხვი.
კომპოზიტური ნომერიარის რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი.
§2. ნატურალური რიცხვის აქსიომატიკა
ნატურალური რიცხვები მიიღება საგნების დათვლით და სიდიდეების გაზომვით. მაგრამ თუ გაზომვის დროს ჩნდება სხვა რიცხვები, გარდა ბუნებრივი რიცხვებისა, მაშინ გამოთვლა მივყავართ მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებამდე. დათვლის შესანარჩუნებლად გჭირდებათ რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც იწყება ერთით და რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ერთი რიცხვიდან მეორეზე და რამდენჯერაც საჭიროა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვჭირდება ბუნებრივი სერიის სეგმენტი. ამიტომ, ნატურალური რიცხვების სისტემის დასაბუთების პრობლემის გადაჭრისას, უპირველეს ყოვლისა, საჭირო იყო პასუხის გაცემა კითხვაზე, თუ რა არის რიცხვი, როგორც ბუნებრივი რიგის ელემენტი. ამაზე პასუხი მოცემულია ორი მათემატიკოსის ნაშრომებში - გერმანელი გრასმანი და იტალიელი პეანო.მათ შესთავაზეს აქსიომატიკა, რომელშიც ნატურალური რიცხვი გამართლდა, როგორც განუსაზღვრელი მიმდევრობის ელემენტი.
ნატურალური რიცხვების სისტემის აქსიომატური აგება ხორციელდება ჩამოყალიბებული წესების მიხედვით.
ხუთი აქსიომა შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ძირითადი ცნებების აქსიომატური განმარტება:
1 ნატურალური რიცხვია;
შემდეგი ნატურალური რიცხვი ნატურალური რიცხვია;
1 არცერთ ნატურალურ რიცხვს არ მოსდევს;
თუ ნატურალური რიცხვია ამიჰყვება ბუნებრივ რიცხვს ბდა ნატურალური რიცხვისთვის თან, მაშინ ბდა თანიდენტური;
თუ რომელიმე წინადადება დამტკიცდება 1-ისთვის და თუ იმ ვარაუდიდან, რომ ის ჭეშმარიტია ნატურალური რიცხვისთვის ნ, აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს მართალია შემდეგში ნბუნებრივი რიცხვი, მაშინ ეს წინადადება მართალია ყველა ნატურალური რიცხვისთვის.
ერთეულიარის ბუნებრივი სერიის პირველი ნომერი , ასევე ათობითი რიცხვების სისტემის ერთ-ერთი ციფრი.
ითვლება, რომ ნებისმიერი კატეგორიის ერთეულის აღნიშვნა იგივე ნიშნით (საკმაოდ ახლოს არის თანამედროვესთან) პირველად ძველ ბაბილონში, დაახლოებით 2 ათასი წლის წინ, ჩვენს წელთაღრიცხვამდე. ე.
ძველი ბერძნები, რომლებიც რიცხვებად მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს თვლიდნენ, თითოეულ მათგანს ერთეულების კრებულად თვლიდნენ. თავად ერთეულს განსაკუთრებული ადგილი ეთმობა: ის არ ითვლებოდა რიცხვად.
ი. ნიუტონი წერდა: „... რიცხვში ჩვენ ვგულისხმობთ არა იმდენად ერთეულების კრებულს, არამედ ერთი სიდიდის აბსტრაქტულ თანაფარდობას მეორე სიდიდესთან, რომელიც ჩვენ მიერ პირობითად მიღებულია, როგორც ერთეული“. ამრიგად, ერთეულმა უკვე დაიკავა თავისი კანონიერი ადგილი სხვა რიცხვებს შორის.
რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებები მრავალფეროვანი თვისებაა. მათი აღწერა შეიძლება სიტყვებით, მაგალითად: „ჯამობა არ იცვლება ტერმინების ადგილების ცვლილებით“. შეიძლება დაიწეროს ასოებით: a+b = b+a. შეიძლება გამოხატული იყოს კონკრეტული ტერმინებით.
ჩვენ ვიყენებთ არითმეტიკის ძირითად კანონებს ხშირად ჩვევის გარეშე, ამის გაცნობიერების გარეშე:
1) შემცვლელი კანონი (commutativity), - რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისება, რომელიც გამოხატულია იდენტობებით:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) ასოციაციური კანონი (ასოციაციურობა), - რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისება, გამოხატული იდენტობებით:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) განაწილების კანონი (განაწილება), - თვისება, რომელიც აკავშირებს რიცხვების შეკრებას და გამრავლებას და გამოიხატება იდენტობებით:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
გამრავლების მოქმედების კომუტაციური, ასოციაციური და გამანაწილებელი (შეკრების მიმართ) კანონების დადასტურების შემდეგ, არითმეტიკული მოქმედებების თეორიის შემდგომი აგება ნატურალურ რიცხვებზე არ წარმოადგენს ფუნდამენტურ სირთულეებს.
ამჟამად, გონებაში ან ფურცელზე, ჩვენ ვაკეთებთ მხოლოდ უმარტივეს გამოთვლებს, უფრო და უფრო ხშირად ვანდობთ უფრო რთულ გამოთვლით სამუშაოს კალკულატორებს, კომპიუტერებს. თუმცა, ყველა კომპიუტერის მუშაობა - მარტივი და რთული - ეფუძნება უმარტივეს ოპერაციას - ნატურალური რიცხვების დამატებას. გამოდის, რომ ყველაზე რთული გამოთვლები შეიძლება შემცირდეს დამატებით, მხოლოდ ეს ოპერაცია უნდა გაკეთდეს მრავალ მილიონჯერ.
აქსიომატური მეთოდები მათემატიკაში
მათემატიკური ლოგიკის განვითარების ერთ-ერთი მთავარი მიზეზი ფართოდ გავრცელებულია აქსიომური მეთოდისხვადასხვა მათემატიკური თეორიების, პირველ რიგში, გეომეტრიის, შემდეგ კი არითმეტიკის, ჯგუფის თეორიის და ა.შ. აქსიომური მეთოდიშეიძლება განისაზღვროს, როგორც თეორია, რომელიც აგებულია წინასწარ შერჩეულ სისტემაზე გაურკვეველი ცნებებისა და მათ შორის ურთიერთობის შესახებ.
მათემატიკური თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში წინასწარ არის არჩეული განუსაზღვრელი ცნებებისა და მათ შორის ურთიერთობის გარკვეული სისტემა. ამ ცნებებსა და კავშირებს ძირითადი ეწოდება. შემდეგი წარმოდგენილია აქსიომებიიმათ. განსახილველი თეორიის ძირითადი დებულებები, მიღებული მტკიცებულების გარეშე. თეორიის მთელი შემდგომი შინაარსი ლოგიკურად გამომდინარეობს აქსიომებიდან. პირველად მათემატიკური თეორიის აქსიომატური აგება ევკლიდემ გეომეტრიის აგებაში ჩაატარა.
ნებისმიერი მათემატიკური თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში გარკვეული რეგულაციები:
თეორიის ზოგიერთი ცნება არჩეულია მთავარად და მიღებულია განმარტების გარეშე;
თეორიის თითოეულ ცნებას, რომელიც არ არის საბაზისო ჩამონათვალში, მოცემულია განმარტება;
ჩამოყალიბებულია აქსიომები - წინადადებები, რომლებიც მიღებულია ამ თეორიაში მტკიცების გარეშე; ისინი ავლენენ ძირითადი ცნებების თვისებებს;
· თეორიის თითოეული წინადადება, რომელიც არ არის აქსიომების ჩამონათვალში, უნდა დადასტურდეს; ასეთ დებულებებს თეორემებს უწოდებენ და დასტურდება აქსიომებისა და ტერემების საფუძველზე.
თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში ყველა დებულება აქსიომებიდან გამომდინარეობს მტკიცების გზით.
ამიტომ აქსიომების სისტემა განსაკუთრებულს ექვემდებარება მოთხოვნები:
თანმიმდევრულობა (აქსიომების სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ შეუძლებელია მისგან ორი ურთიერთგამომრიცხავი წინადადების ლოგიკურად გამოყვანა);
დამოუკიდებლობა (აქსიომების სისტემას ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ ამ სისტემის არც ერთი აქსიომა არ არის სხვა აქსიომების შედეგი).
მასში მოცემული მიმართებით სიმრავლეს ეწოდება აქსიომების მოცემული სისტემის მოდელი, თუ მასში ამ სისტემის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია.
ნატურალური რიცხვების სიმრავლისთვის აქსიომების სისტემის აგების მრავალი გზა არსებობს. ძირითადი კონცეფციისთვის შეიძლება ავიღოთ, მაგალითად, რიცხვების ჯამი ან რიგის მიმართება. ნებისმიერ შემთხვევაში, აუცილებელია აქსიომების სისტემის დაზუსტება, რომელიც აღწერს ძირითადი ცნებების თვისებებს.
მოდით მივცეთ აქსიომების სისტემა, რომელიც მიიღება მიმატების მოქმედების ძირითადი კონცეფცია.
არა ცარიელი ნაკრები ნეწოდება ნატურალური რიცხვების სიმრავლე თუ ოპერაცია (ა; ბ) → a + b, რომელსაც ეწოდება დამატება და აქვს თვისებები:
1. მიმატება არის შემცვლელი, ე.ი. a + b = b + a.
2. მიმატება ასოციაციურია, ე.ი. (a + b) + c = a + (b + c).
4. ნებისმიერ კომპლექტში მაგრამ, რომელიც კომპლექტის ქვეჯგუფია ნ, სადაც მაგრამარის რიცხვი ისეთი, რომ ყველა ჰა, თანაბარია ა+ბ, სადაც bN.
აქსიომები 1 - 4 საკმარისია ნატურალური რიცხვების მთელი არითმეტიკის ასაგებად. მაგრამ ასეთი კონსტრუქციით უკვე შეუძლებელია დაეყრდნო სასრულ სიმრავლეთა თვისებებს, რომლებიც არ არის ასახული ამ აქსიომებში.
მოდით ავიღოთ როგორც ძირითადი კონცეფცია არაცარიელ კომპლექტზე განსაზღვრული მიმართება „პირდაპირ მიყვება...“. ნ. მაშინ რიცხვების ნატურალური რიგი იქნება N სიმრავლე, რომელშიც განსაზღვრულია მიმართება „პირდაპირ მიმდევარი“ და N-ის ყველა ელემენტს დაერქმევა ნატურალური რიცხვები, ხოლო შემდეგი შეჩერება: პეანოს აქსიომები:
აქსიომა 1.
სიმრავლეშინარის ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება ამ ნაკრების რომელიმე ელემენტს. ჩვენ მას ვუწოდებთ ერთეულს და აღვნიშნავთ 1-ით.
AXIOM 2.
თითოეული ელემენტისთვის a ofნარის ერთი ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ მოჰყვება a.
აქსიომა 3.
თითოეული ელემენტისთვის a ofნარის მაქსიმუმ ერთი ელემენტი, რასაც მოჰყვება a.
AXOIM 4.
სიმრავლის ნებისმიერი M ქვესიმრავლენემთხვევან, თუ მას აქვს თვისებები: 1) 1 შეიცავს M-ში; 2) იქიდან, რომ a შეიცავს M-ში, გამოდის, რომ a ასევე შეიცავს M-ს.
Ბევრი N,იმ ელემენტებისთვის, რომელთა მიმართებაც „უყოვნებლივ მიჰყევი...“ დადგენილია, რომელიც აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს, ე.წ. ნატურალური რიცხვების ნაკრები და მისი ელემენტებია ნატურალური რიცხვები.
თუ კომპლექტად ნაირჩიეთ კონკრეტული კომპლექტი, რომელზედაც მოცემულია კონკრეტული მიმართება „პირდაპირ მიჰყვება...“ და აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს, შემდეგ მივიღებთ განსხვავებულს. ინტერპრეტაციები (მოდელები) მოცემული აქსიომური სისტემები.
პეანოს აქსიომების სისტემის სტანდარტული მოდელი არის რიცხვების სერია, რომელიც წარმოიშვა საზოგადოების ისტორიული განვითარების პროცესში: 1, 2, 3, 4, 5, ...
ნებისმიერი თვლადი ნაკრები შეიძლება იყოს პენოს აქსიომების მოდელი.
მაგალითად, I, II, III, III, ...
ოჰ ოჰ ოჰ ოჰ...
ერთი ორი სამი ოთხი, …
განვიხილოთ სიმრავლეთა თანმიმდევრობა, რომელშიც სიმრავლე (oo) არის საწყისი ელემენტი, ხოლო ყოველი მომდევნო სიმრავლე მიიღება წინადან კიდევ ერთი წრის მინიჭებით (ნახ. 15).
მერე ნარის აღწერილი ფორმის სიმრავლეებისგან შემდგარი კომპლექტი და პეანოს აქსიომების სისტემის მოდელი.
მართლაც, ბევრში ნარის ელემენტი (oo), რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოსდევს მოცემული სიმრავლის რომელიმე ელემენტს, ე.ი. მოქმედებს აქსიომა 1. თითოეული ნაკრებისთვის მაგრამგანსახილველი ნაკრებიდან არის უნიკალური ნაკრები, რომელიც მიღებულია მაგრამერთი წრის მიმატებით, ე.ი. მოქმედებს აქსიომა 2. თითოეული ნაკრებისთვის მაგრამარის მაქსიმუმ ერთი ნაკრები, საიდანაც კომპლექტი იქმნება მაგრამერთი წრის მიმატებით, ე.ი. მოქმედებს აქსიომა 3. თუ მნდა ცნობილია, რომ კომპლექტი მაგრამშეიცავს მ,აქედან გამომდინარეობს, რომ სიმრავლე, რომელშიც ერთი წრე მეტია, ვიდრე ნაკრებში მაგრამ, ასევე შეიცავს მ, მაშინ M =ნ, რაც ნიშნავს რომ აქსიომა 4 დაკმაყოფილებულია.
ნატურალური რიცხვის განსაზღვრისას არცერთი აქსიომა არ შეიძლება გამოტოვდეს.
მოდით დავადგინოთ, რომელი ნაკრებია ნაჩვენები ნახ. 16 არის პეანოს აქსიომების მოდელი.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
გამოსავალი.ნახაზი 16 ა) გვიჩვენებს კომპლექტს, რომელშიც დაკმაყოფილებულია აქსიომები 2 და 3. მართლაც, თითოეული ელემენტისთვის არის უნიკალური ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ მიჰყვება მას და არის უნიკალური ელემენტი, რომელსაც ის მიჰყვება. მაგრამ აქსიომა 1 არ მოქმედებს ამ კომპლექტში (აქსიომა 4 არ აქვს აზრი, რადგან არ არსებობს ელემენტი სიმრავლეში, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება სხვას). მაშასადამე, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.
ნახაზი 16 ბ) გვიჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც 1, 3 და 4 აქსიომები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ელემენტის უკან ამაშინვე მოჰყვება ორი ელემენტი და არა ერთი, როგორც ამას მოითხოვს მე-2 აქსიომაში. მაშასადამე, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.
ნახ. 16 გ) აჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც 1, 2, 4 აქსიომები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ელემენტი თანდაუყოვნებლივ მიჰყვება ორ ელემენტს. მაშასადამე, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.
ნახ. 16 დ) გვიჩვენებს სიმრავლეს, რომელიც აკმაყოფილებს 2, 3 აქსიომებს და თუ ავიღებთ რიცხვს 5, როგორც საწყის ელემენტს, მაშინ ეს სიმრავლე დააკმაყოფილებს აქსიომებს 1 და 4. ანუ, ამ სიმრავლეში თითოეული ელემენტისთვის დაუყოვნებლივ არის ერთი. მიჰყვება მას და არის ერთი ელემენტი, რომელსაც ის მიჰყვება. ასევე არის ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება ამ ნაკრების რომელიმე ელემენტს, ეს არის 5 , იმათ. მოქმედებს აქსიომა 1. შესაბამისად მოქმედებს აქსიომა 4. ამიტომ ეს ნაკრები პეანოს აქსიომების მოდელია.
პეანოს აქსიომების გამოყენებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ რამდენიმე დებულება, მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არის უტოლობა. x x.
მტკიცებულება.აღნიშნეთ მაგრამნატურალური რიცხვების ნაკრები, რომლისთვისაც აა.ნომერი 1 ეკუთვნის მაგრამ, რადგან ის არ მოსდევს არცერთ რიცხვს ნდა ამიტომ თავისთავად არ მოჰყვება: 1 1. დაე აა,მაშინ აა.აღნიშნეთ ამეშვეობით ბ. მე-3 აქსიომიდან გამომდინარე, აბ,იმათ. ბბდა bA.
ნებისმიერი თეორიის აქსიომატური აგებისას დაცულია გარკვეული წესები:
არჩეულია თეორიის ზოგიერთი ცნება ძირითადი,და მიიღება განმარტების გარეშე და ეწოდება განუსაზღვრელი.
ჩამოყალიბებულია აქსიომები - წინადადებები, რომლებიც მიღებულია ამ თეორიაში მტკიცების გარეშე; ისინი ავლენენ ძირითადი ცნებების თვისებებს;
მოცემულია თეორიის თითოეული კონცეფცია, რომელიც არ არის ჩამოთვლილი ძირითადთა ჩამონათვალში განმარტება, თავის მნიშვნელობას ხსნის ძირითადი და წინამორბედი ცნებების დახმარებით;
უნდა დადასტურდეს თეორიის ყოველი წინადადება, რომელიც არ არის აქსიომების ჩამონათვალში; ასეთ დებულებებს თეორემებს უწოდებენ და ამტკიცებენ მათ განხილულს წინა აქსიომებისა და თეორემების საფუძველზე.
თეორიის აქსიომატური კონსტრუქციისას, არსებითად, ყველა დებულება გამოტანილია აქსიომების მტკიცებით. ამიტომ აქსიომების სისტემას განსაკუთრებული მოთხოვნები ეკისრება. უპირველეს ყოვლისა, ის უნდა იყოს თანმიმდევრული და დამოუკიდებელი.
აქსიომების სისტემა ეწოდება თანმიმდევრულითუ მისგან ლოგიკურად ორი ურთიერთგამომრიცხავი წინადადების გამოტანა შეუძლებელია.
აქსიომების თანმიმდევრული სისტემა ეწოდება დამოუკიდებელითუ ამ სისტემის არც ერთი აქსიომა არ არის ამ სისტემის სხვა აქსიომების შედეგი.
აქსიომები, როგორც წესი, ადამიანთა მრავალსაუკუნოვანი პრაქტიკული საქმიანობის ანარეკლია და ეს განსაზღვრავს მათ მართებულობას.
როგორც ძირითადი კონცეფცია ნატურალური რიცხვების არითმეტიკის აქსიომატურ კონსტრუქციაში, აღებულია მიმართება „პირდაპირ მიმდევარი“, რომელიც მოცემულია არა ცარიელ სიმრავლეზე. ნ.ასევე ცნობილია სიმრავლის, სიმრავლის ელემენტის და სხვა სიმრავლე-თეორიული ცნებები, აგრეთვე ლოგიკის წესები.
ელემენტი უშუალოდ ელემენტის შემდეგ ა,დანიშნოს ა".„პირდაპირ მიყოლის“ ურთიერთობის არსი ვლინდება იტალიელი მათემატიკოსის ჯ.პეანოს მიერ 1891 წელს შემოთავაზებულ შემდეგ აქსიომებში.
აქსიომა 1.სიმრავლეში ნარის ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება ამ ნაკრების რომელიმე ელემენტს. მას ეწოდება ერთეული და აღინიშნება სიმბოლო 1-ით.
აქსიომა 2.თითოეული ელემენტისთვის ასაწყისი ნარის მხოლოდ ერთი ელემენტი ა",დაუყოვნებლივ შემდეგ ა.
აქსიომა 3.თითოეული ელემენტისთვის a of ნარის მაქსიმუმ ერთი ელემენტი, რასაც მოჰყვება ა.
აქსიომა 4. (ინდუქციის აქსიომა).ნებისმიერი ქვეჯგუფი მკომპლექტი ნემთხვევა N-ს, თუ მას აქვს შემდეგი თვისებები: 1) 1 შეიცავს მ; 2) იქიდან, რომ ნებისმიერი ელემენტი აშეიცავს მ,ამას მოჰყვება და ა"შეიცავს მ.
ჩამოყალიბებულ აქსიომებს ხშირად პეანოს აქსიომებს უწოდებენ, ხოლო მეოთხე აქსიომებს ინდუქციის აქსიომებს.
მოდით დავწეროთ ეს აქსიომები სიმბოლური ფორმით.
მაგრამ 1 )( 1 ნ)( ა ნ)ა" 1;
მაგრამ 2 )( ა ნ)( !ბ ნ)ა"=ბ
მაგრამ 3 ) ( ა,ბ, თან ნ)с = a" с = b" ა= b;
A4) მ ნ 1 მ (ა მ ა" მ) M=N
„მყისიერად მიჰყევი“ მიმართებისა და პეანოს 1-4 აქსიომების გამოყენებით, შეიძლება მივცეთ ნატურალური რიცხვის შემდეგი განმარტება.
განმარტება 1. N. სიმრავლეს, რომლის ელემენტებსაც ადგენს მიმართება „მაშინვე მოჰყვება“, რომელიც აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს, ეწოდება ნატურალური რიცხვების სიმრავლე და მისი ელემენტები. ნატურალური რიცხვები.
___________________________________________________________________
განმარტება 2 . თუ ნატურალური რიცხვიაბმაშინვე მოჰყვება a რიცხვს, შემდეგ რიცხვს a ეწოდება რიცხვის უშუალო წინა (წინასწარი).ბ.
______________________________________________________________________________________________
თეორემა 1. ერთეულს არ აქვს წინა ნატურალური რიცხვი (თეორემის ჭეშმარიტება პირდაპირ გამომდინარეობს აქსიომიდან მაგრამ 1 ).
თეორემა 2.ყოველი ბუნებრივი რიცხვი ა,ერთის გარდა აქვს წინა რიცხვი b , ისეთი, რომ ბ " = ა.
ნატურალური რიცხვის განმარტება არაფერს ამბობს სიმრავლის ელემენტების ბუნებაზე ნ.ასე რომ, ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი. პეანოს აქსიომების სისტემის სტანდარტული მოდელი არის რიცხვების სერია, რომელიც წარმოიშვა საზოგადოების ისტორიული განვითარების პროცესში:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
ამ სერიის თითოეულ ნომერს აქვს თავისი აღნიშვნა და სახელი, რომელსაც ჩვენ ცნობად მივიჩნევთ.
მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ნატურალური რიცხვის განსაზღვრისას არცერთი აქსიომა არ შეიძლება გამოტოვდეს.
1 ა ბ გ დ
…
ბ
ბრინჯი. 16 ბრინჯი. 17
დავალება 1.
ფიგურებში, თითოეული ელემენტი დაკავშირებულია ისრით მის შემდეგ ელემენტთან.
დაადგინეთ 15 და 16 სურათებზე ნაჩვენები სიმრავლეებიდან რომელია პეანოს აქსიომების სისტემის მოდელები.
1. ნახ. 16 გვიჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც მოქმედებს 2 და 3 აქსიომები, მაგრამ აქსიომა 1 არ მოქმედებს.
აქსიომა 4 აზრი არ აქვს, რადგან ნაკრებში არ არსებობს ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება სხვას.
2. ნახ. 17 გვიჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც შესრულებულია აქსიომები 1, 2, 3, მაგრამ აქსიომა 4 არ არის დაკმაყოფილებული - სხივზე მოთავსებული წერტილების სიმრავლე შეიცავს 1-ს და თითოეულ რიცხვთან ერთად შეიცავს მის შემდეგ რიცხვს, მაგრამ არა. ემთხვევა ნახატზე ნაჩვენები მთელი ნაკრების წერტილებს. დასკვნა: ნახ. 16 და 17 არ შეიძლება ჩაითვალოს პეანოს აქსიომების სისტემის მოდელებად.
დავალება 2.
დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი განსხვავდება უშუალოდ შემდეგი ნატურალური რიცხვისგან, ე.ი. ( X ) X X"
მტკიცებულება
ჩვენ ვიყენებთ ინდუქციის აქსიომას - მაგრამ 4 .
დაე M=(x/x , X X"}, რადგან . X მ ნ.
მტკიცებულება ორი ნაწილისგან შედგება.
ეს დავამტკიცოთ 1 მ,იმათ. 1 1" . ეს გამომდინარეობს მაგრამ 1 .
ეს დავამტკიცოთ X მ=> X" მ.დაე X მიმათ. X X".ეს დავამტკიცოთ X" მ, ე.ი. X" (X")". დააქსიომები მაგრამ 3 უნდა X" (X")". მართლაც, მიერ მაგრამ 3 , თუ x" = (x")" მაშინ x = x", და მას შემდეგ ინდუქციური წინადადებით x მ,შემდეგ x X",მაშასადამე, ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივდივართ. ნიშნავს, X" (X")" , X" მ.
აქ გამოიყენება კონტრაპოზიციის წესი (PC), რომელიც ფართოდ გამოიყენება მტკიცებულებებში "წინააღმდეგობით".
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ:
მ ნ (1 მ (x M => x " M)) მ = N, ე.ი. მტკიცება x x" მართალია ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის.
ტესტის კითხვები
რა არის თეორიის აქსიომატური კონსტრუქციის არსი?
რა არის სასკოლო პლანიმეტრიის კურსის ძირითადი ცნებები. გახსოვდეთ ამ კურსის აქსიომების სისტემა. ცნებების რა თვისებებია აღწერილი მათში?
ჩამოაყალიბეთ და სიმბოლური ფორმით ჩამოწერეთ პეანოს აქსიომები. "
ჩამოაყალიბეთ ნატურალური რიცხვის აქსიომატური განსაზღვრება.
განაგრძეთ ნატურალური რიცხვის განმარტება: „ნატურალური რიცხვი სიმრავლის ელემენტია ნ,... » .
მიეცით მაგალითები დაწყებითი სკოლის მათემატიკის სახელმძღვანელოებიდან, რომელშიც:
ა) ახალი (მოსწავლეებისთვის) რიცხვი მოქმედებს როგორც ნატურალური რიგის მიღებული სეგმენტის გაგრძელება;
ბ) დადგენილია, რომ თითოეულ ნატურალურ რიცხვს დაუყოვნებლივ მოსდევს მხოლოდ ერთი ნატურალური რიცხვი.
Სავარჯიშოები
285. სიმრავლის ელემენტებია ტირეების ჯგუფები (I, II, III, IIII,...). აკმაყოფილებს თუ არა ეს ნაკრები პეანოს აქსიომებს? როგორც აქ არის განსაზღვრული, მიმართება „დაუყოვნებლივ მიჰყევი“. განიხილეთ იგივე კითხვები ნაკრებისთვის (0, 00, 000, 0000,...).
ბრინჯი. 17
286. სურათზე 17 ა) ყოველი ელემენტი ისრით არის დაკავშირებული მის შემდეგ ელემენტთან. შეიძლება თუ არა კომპლექტი ჩაითვალოს პეანოს აქსიომების სისტემის მოდელად? იგივე კითხვები ნაკრებებზე 17 ბ), გ), დ).
287. ახდენს თუ არა რიცხვთა სიმრავლეს (1, 2, 3 P, ...),თუ მასში შემდეგი მიმართება ასეა განსაზღვრული:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. მოიყვანეთ დაწყებითი კლასების მათემატიკის სახელმძღვანელოებიდან დავალებების მაგალითები, რომლებშიც დავალებების სისწორე აიხსნება პეანოს აქსიომებით.
აქსიომატური მეთოდი მათემატიკაში.
ბუნებრივი რიგის აქსიომატური თეორიის ძირითადი ცნებები და მიმართებები. ნატურალური რიცხვის განმარტება.
ნატურალური რიცხვების შეკრება.
ნატურალური რიცხვების გამრავლება.
ნატურალური რიცხვების სიმრავლის თვისებები
ნატურალური რიცხვების გამოკლება და გაყოფა.
აქსიომატური მეთოდი მათემატიკაში
ნებისმიერი მათემატიკური თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში ა გარკვეული წესები:
1. თეორიის ზოგიერთი კონცეფცია არჩეულია როგორც მაიორიდა მიღებულია განმარტების გარეშე.
2. ჩამოყალიბებული აქსიომები, რომლებიც ამ თეორიაში მიღებულია მტკიცებულების გარეშე, ისინი ავლენენ ძირითადი ცნებების თვისებებს.
3. მოცემულია თეორიის თითოეული კონცეფცია, რომელიც არ არის ჩამოთვლილი ძირითადთა ჩამონათვალში განმარტება, ის თავის მნიშვნელობას ხსნის ამ ცნების მთავარი და წინამორბედის დახმარებით.
4. თეორიის ყოველი წინადადება, რომელიც არ არის აქსიომების ჩამონათვალში, უნდა დადასტურდეს. ასეთ წინადადებებს ე.წ თეორემებიდა დაამტკიცონ ისინი განხილულის წინა აქსიომებისა და თეორემების საფუძველზე.
აქსიომების სისტემა უნდა იყოს:
ა) თანმიმდევრული:დარწმუნებულები უნდა ვიყოთ, რომ აქსიომების მოცემული სისტემიდან ყველანაირი დასკვნის გამოტანით, ვერასოდეს მივალთ წინააღმდეგობამდე;
ბ) დამოუკიდებელი: არცერთი აქსიომა არ უნდა იყოს ამ სისტემის სხვა აქსიომების შედეგი.
in) სრული, თუ მის ფარგლებში ყოველთვის არის შესაძლებელი მოცემული ცნობის ან მისი უარყოფის დამტკიცება.
ევკლიდეს მიერ გეომეტრიის პრეზენტაცია თავის „ელემენტებში“ (ძვ. წ. III ს.) შეიძლება ჩაითვალოს თეორიის აქსიომატური აგების პირველ გამოცდილებად. გეომეტრიისა და ალგებრის აგების აქსიომური მეთოდის შემუშავებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა ნ.ი. ლობაჩევსკი და ე.გალუა. მე-19 საუკუნის ბოლოს იტალიელმა მათემატიკოსმა პეანომ შეიმუშავა არითმეტიკის აქსიომების სისტემა.
ნატურალური რიცხვების აქსიომატური თეორიის ძირითადი ცნებები და მიმართებები. ნატურალური რიცხვის განმარტება.
როგორც ძირითადი (გაურკვეველი) ცნება გარკვეულ კომპლექტში ნ არჩეულია დამოკიდებულება , ასევე სიმრავლე-თეორიული ცნებები, ასევე ლოგიკის წესები.
ელემენტი უშუალოდ ელემენტის შემდეგ ა,დანიშნოს ა".
ურთიერთობა „მყისიერად მიყევით“ აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:
პეანოს აქსიომები:
აქსიომა 1. სიმრავლეში ნ არის ელემენტი, პირდაპირ არა შემდეგიამ ნაკრების ნებისმიერი ელემენტისთვის. მოდით დავურეკოთ მას ერთეულიდა სიმბოლოა 1 .
აქსიომა 2. თითოეული ელემენტისთვის ა საწყისი ნ არის მხოლოდ ერთი ელემენტი ა" დაუყოვნებლივ შემდეგ ა .
აქსიომა 3. თითოეული ელემენტისთვის ა საწყისი ნარის მაქსიმუმ ერთი ელემენტი, რასაც მოჰყვება ა .
აქსიომა 4.ნებისმიერი ქვეჯგუფი მ კომპლექტი ნ ემთხვევა ნ თუ მას აქვს თვისებები: 1) 1 შეიცავს მ ; 2) რისგან ა შეიცავს მ , ამას მოჰყვება და ა" შეიცავს მ.
განმარტება 1. Ბევრი ნ , რომლის ელემენტების მიმართაც დამყარებულია ურთიერთობა "პირდაპირ მიჰყევით» რომელიც აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს ეწოდება ნატურალური რიცხვების ნაკრებიდა მისი ელემენტებია ნატურალური რიცხვები.
ეს განმარტება არაფერს ამბობს ნაკრების ელემენტების ბუნებაზე ნ . ასე რომ, ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი. შერჩევა როგორც ნაკრები ნ ზოგიერთი კონკრეტული კომპლექტი, რომელზედაც მოცემულია კონკრეტული „პირდაპირ მიმდევარი“ მიმართება, რომელიც აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს, მივიღებთ ამ სისტემის მოდელი აქსიომები.
პეანოს აქსიომების სისტემის სტანდარტული მოდელი არის საზოგადოების ისტორიული განვითარების პროცესში წარმოშობილი რიცხვების სერია: 1,2,3,4, ... ნატურალური რიგი იწყება რიცხვით 1 (აქსიომა 1); ყველა ნატურალურ რიცხვს დაუყოვნებლივ მოსდევს ერთი ნატურალური რიცხვი (აქსიომა 2); თითოეულ ნატურალურ რიცხვს დაუყოვნებლივ მოჰყვება მაქსიმუმ ერთი ნატურალური რიცხვი (აქსიომა 3); 1 რიცხვიდან დაწყებული და ერთმანეთის მიყოლებით ნატურალური რიცხვებისკენ გადაადგილებით, ვიღებთ ამ რიცხვების მთელ სიმრავლეს (აქსიომა 4).
ასე რომ, ჩვენ დავიწყეთ ნატურალური რიცხვების სისტემის აქსიომატური აგება ძირითადის არჩევით "პირდაპირ მიჰყვება" ურთიერთობასდა აქსიომები, რომლებიც აღწერენ მის თვისებებს. თეორიის შემდგომი აგება გულისხმობს ნატურალური რიცხვების ცნობილი თვისებების და მათზე მოქმედებების განხილვას. ისინი უნდა იყოს გამჟღავნებული განმარტებებში და თეორემებში, ე.ი. წმინდა ლოგიკურად გამომდინარეობს დამოკიდებულებიდან „მაშინვე მიჰყევი“ და აქსიომები 1-4.
პირველი ცნება, რომელსაც ჩვენ შემოგთავაზებთ ნატურალური რიცხვის განსაზღვრის შემდეგ არის დამოკიდებულება "მაშინვე წინ უსწრებს" , რომელიც ხშირად გამოიყენება ბუნებრივი სერიის თვისებების განხილვისას.
განმარტება 2.თუ ნატურალური რიცხვია ბ პირდაპირ მიჰყვებაბუნებრივი რიცხვი ა, რომ ნომერი ა დაურეკა დაუყოვნებლივ წინამორბედი(ან წინა) ნომერი ბ .
ურთიერთობა „ადრე“ აქვს საკუთრების მახლობლად.
თეორემა 1. ერთს არ აქვს წინა ნატურალური რიცხვი.
თეორემა 2. ყოველი ნატურალური რიცხვი ა 1-ის გარდა, აქვს ერთი წინა რიცხვი ბ,ისეთივე როგორც ბ"= ა.
ნატურალური რიცხვების თეორიის აქსიომატური კონსტრუქცია არ განიხილება არც დაწყებით და არც საშუალო სკოლაში. თუმცა, მათემატიკის საწყის კურსში შესწავლის საგანია „პირდაპირ მიმდევარი“ მიმართების ის თვისებები, რომლებიც ასახულია პეანოს აქსიომებში. უკვე პირველ კლასში, პირველი ათეულის რიცხვების განხილვისას ირკვევა, თუ როგორ შეიძლება თითოეული რიცხვის მიღება. გამოიყენება ტერმინები „შემდეგ“ და „ადრე“. ყოველი ახალი რიცხვი მოქმედებს როგორც რიცხვების ბუნებრივი რიგის შესწავლილი სეგმენტის გაგრძელება. მოსწავლეები დარწმუნებულნი არიან, რომ თითოეულ რიცხვს მოჰყვება შემდეგი და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი, რომ რიცხვების ბუნებრივი რიგი უსასრულოა.
ნატურალური რიცხვების შეკრება
აქსიომური თეორიის აგების წესების მიხედვით, ნატურალური რიცხვების შეკრების განმარტება უნდა შემოვიდეს მხოლოდ მიმართების გამოყენებით. "პირდაპირ მიჰყევი"და ცნებები "ბუნებრივი ნომერი"და "წინა ნომერი".
მოდით, შევუწყოთ მიმატების განმარტებას შემდეგი მოსაზრებებით. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ადაამატეთ 1, მივიღებთ რიცხვს ა",დაუყოვნებლივ შემდეგ ა, ე.ი. ა+ 1= ა"და აქედან გამომდინარე მივიღებთ 1-ის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს მიმატების წესს. მაგრამ როგორ დავამატო რიცხვი აბუნებრივი რიცხვი ბ,განსხვავდება 1-ისგან? გამოვიყენოთ შემდეგი ფაქტი: თუ ცნობილია, რომ 2 + 3 = 5, მაშინ ჯამი 2 + 4 = 6, რომელიც მაშინვე მიჰყვება რიცხვს 5. ეს იმიტომ ხდება, რომ ჯამში 2 + 4 მეორე წევრი არის რიცხვი დაუყოვნებლივ. 3 რიცხვის შემდეგ. ასე რომ, 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". ზოგადად, გვაქვს , .
ეს ფაქტები საფუძვლად უდევს აქსიომატიურ თეორიაში ნატურალური რიცხვების შეკრების განმარტებას.
განმარტება 3. ნატურალური რიცხვების შეკრებაარის ალგებრული ოპერაცია, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:
ნომერი a + b დაურეკა რიცხვების ჯამი ადა ბ , და თავად ნომრები ადა ბ - ვადები.