ფუნქციის ლიმიტისა და უწყვეტობის კონცეფცია. ლიმიტი და უწყვეტობა. ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში და ინტერვალზე
![ფუნქციის ლიმიტისა და უწყვეტობის კონცეფცია. ლიმიტი და უწყვეტობა. ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში და ინტერვალზე](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
ფუნქციის უწყვეტობა. შესვენების წერტილები.
ხარი მიდის, ქანაობს, კვნესის:
-აუ, დაფა მთავრდება, ახლა ჩავვარდები!
ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ფუნქციის უწყვეტობის კონცეფციას, შეწყვეტის წერტილების კლასიფიკაციას და საერთო პრაქტიკულ პრობლემას. ფუნქციის გამოკვლევა უწყვეტობისთვის. თემის სათაურიდან ბევრი ინტუიციურად გამოიცნობს რაზე იქნება საუბარი და ფიქრობს, რომ მასალა საკმაოდ მარტივია. Ეს მართალია. მაგრამ ეს არის მარტივი ამოცანები, რომლებიც ყველაზე ხშირად ისჯება უგულებელყოფისა და მათი გადაჭრის ზედაპირული მიდგომისთვის. ამიტომ, გირჩევთ, ყურადღებით შეისწავლოთ სტატია და დაიჭიროთ ყველა დახვეწილობა და ტექნიკა.
რა უნდა იცოდე და შეგეძლოს?Არც ისე ბევრი. კარგი სასწავლო გამოცდილებისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ რა ფუნქციის ლიმიტი. მომზადების დაბალი დონის მკითხველისთვის საკმარისია სტატიის გააზრება ფუნქციების საზღვრები. გადაწყვეტის მაგალითებიდა იხილეთ ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა სახელმძღვანელოში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. ასევე სასურველია გაეცნოთ გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნები, ვინაიდან პრაქტიკა უმეტეს შემთხვევაში გულისხმობს ნახატის აგებას. პერსპექტივები ყველასთვის ოპტიმისტურია და სავსე ქვაბიც კი შეძლებს დამოუკიდებლად გაუმკლავდეს დავალებას მომდევნო საათში ან ორ საათში!
ფუნქციის უწყვეტობა. წყვეტების წერტილები და მათი კლასიფიკაცია
ფუნქციის უწყვეტობის კონცეფცია
განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქცია უწყვეტი მთელ რეალურ ხაზზე:
ან, უფრო მოკლედ, ჩვენი ფუნქცია უწყვეტია (ნამდვილი რიცხვების სიმრავლე).
რა არის უწყვეტობის „ფილისტური“ კრიტერიუმი? აშკარაა, რომ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკის დახატვა შესაძლებელია ფურცლიდან ფანქრის აწევის გარეშე.
ამ შემთხვევაში ნათლად უნდა გამოიყოს ორი მარტივი ცნება: ფუნქციის ფარგლებიდა ფუნქციის უწყვეტობა. Ზოგადად არ არის ერთი და იგივე. Მაგალითად:
ეს ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე, ანუ for ყველას"x"-ის მნიშვნელობას აქვს "y"-ის საკუთარი მნიშვნელობა. კერძოდ, თუ, მაშინ. გაითვალისწინეთ, რომ მეორე წერტილი ამოღებულია, რადგან ფუნქციის განმარტებით, არგუმენტის მნიშვნელობა უნდა ემთხვეოდეს ერთადერთი რამფუნქციის მნიშვნელობა. Ამგვარად, დომენიჩვენი მახასიათებლები: .
თუმცა ეს ფუნქცია არ არის უწყვეტი ჩართული!აშკარაა, რომ იმ მომენტში ის უძლებს უფსკრული. ტერმინი ასევე საკმაოდ გასაგები და გასაგებია, მართლაც, აქ ფანქარი მაინც მოგიწევს ქაღალდიდან ამოღება. ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ წყვეტის წერტილების კლასიფიკაციას.
ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში და ინტერვალზე
კონკრეტულ მათემატიკურ ამოცანაში შეიძლება ვისაუბროთ ფუნქციის უწყვეტობაზე წერტილში, ფუნქციის უწყვეტობაზე ინტერვალზე, ნახევარინტერვალზე ან ფუნქციის უწყვეტობაზე სეგმენტზე. ანუ არ არსებობს "უბრალო უწყვეტობა"– ფუნქცია შეიძლება იყოს უწყვეტი სადღაც. და ყველაფრის ფუნდამენტური "აგური" არის ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში .
მათემატიკური ანალიზის თეორია განსაზღვრავს ფუნქციის უწყვეტობას წერტილში „დელტას“ და „ეპსილონის“ უბნების დახმარებით, მაგრამ პრაქტიკაში სხვა განმარტება გამოიყენება, რომელსაც ჩვენ დიდ ყურადღებას მივაქცევთ.
ჯერ გავიხსენოთ ცალმხრივი საზღვრებივინც პირველ გაკვეთილზე შემოიჭრა ჩვენს ცხოვრებაში ფუნქციის გრაფიკების შესახებ. განვიხილოთ ყოველდღიური სიტუაცია:
თუ ღერძის გასწვრივ მივუახლოვდებით წერტილს დატოვა(წითელი ისარი), შემდეგ "თამაშების" შესაბამისი მნიშვნელობები წავა ღერძის გასწვრივ წერტილამდე (ჟოლოს ისარი). მათემატიკურად, ეს ფაქტი ფიქსირდება გამოყენებით მარცხენა ლიმიტი:
ყურადღება მიაქციეთ ჩანაწერს (იკითხება "x tends to ka მარცხნიდან"). "დანამატი" "მინუს ნული" სიმბოლოა , რაც არსებითად ნიშნავს, რომ ჩვენ ვუახლოვდებით რიცხვს მარცხენა მხრიდან.
ანალოგიურად, თუ მიუახლოვდებით წერტილს "ka" მარჯვნივ(ლურჯი ისარი), შემდეგ "თამაშები" მიიღება იგივე მნიშვნელობამდე, მაგრამ მწვანე ისრის გასწვრივ და მარჯვენა ლიმიტიფორმატირებული იქნება შემდეგნაირად:
„დამატება“ სიმბოლოა , და ჩანაწერი ასე იკითხება: "x tens to ka მარჯვნიდან."
თუ ცალმხრივი ზღვრები სასრული და ტოლია(როგორც ჩვენს შემთხვევაში): , მაშინ ვიტყვით , რომ არსებობს ზოგადი ლიმიტი . ეს მარტივია, ჯამური ლიმიტი არის ჩვენი "ჩვეულებრივი" ფუნქციის ლიმიტისაბოლოო რიცხვის ტოლი.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული (გამოიღეთ შავი წერტილი გრაფიკის ტოტზე), მაშინ ჩამოთვლილი გამოთვლები ძალაში რჩება. როგორც არაერთხელ აღინიშნა, კერძოდ სტატიაში უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შესახებ, გამონათქვამები ნიშნავს, რომ "x" უსასრულოდ ახლოსუახლოვდება წერტილს, ხოლო შეუსაბამოგანსაზღვრულია თუ არა თავად ფუნქცია მოცემულ წერტილში. კარგი მაგალითი ნახავთ შემდეგ განყოფილებაში, როდესაც მოხდება ფუნქციის ანალიზი.
განმარტება: ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი მოცემულ წერტილში უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში: .
განმარტება დეტალურად არის აღწერილი შემდეგ ტერმინებში:
1) ფუნქცია უნდა განისაზღვროს წერტილში, ანუ მნიშვნელობა უნდა არსებობდეს.
2) უნდა არსებობდეს ფუნქციის საერთო ლიმიტი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს გულისხმობს ცალმხრივი საზღვრების არსებობას და თანასწორობას: .
3) მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზღვარი უნდა იყოს ამ წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი: .
თუ დაირღვა ერთი მაინცსამი პირობიდან, მაშინ ფუნქცია კარგავს უწყვეტობის თვისებას წერტილში.
ფუნქციის უწყვეტობა ინტერვალზეჩამოყალიბებული მახვილგონივრული და ძალიან მარტივად: ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე, თუ ის უწყვეტია მოცემული ინტერვალის ყველა წერტილში.
კერძოდ, ბევრი ფუნქცია უწყვეტია უსასრულო ინტერვალზე, ანუ რეალურ რიცხვთა სიმრავლეზე. ეს არის წრფივი ფუნქცია, პოლინომები, მაჩვენებლები, სინუსი, კოსინუსი და ა.შ. და ზოგადად, ნებისმიერი ელემენტარული ფუნქციაუწყვეტი მასზე დომენები, ასე რომ, მაგალითად, ლოგარითმული ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე. იმედი მაქვს, ამ დროისთვის თქვენ გაქვთ კარგი წარმოდგენა, თუ როგორ გამოიყურება ძირითადი ფუნქციების გრაფიკები. უფრო დეტალური ინფორმაცია მათი უწყვეტობის შესახებ შეგიძლიათ მიიღოთ კეთილი კაცისგან, სახელად ფიხტენჰოლცისგან.
სეგმენტზე და ნახევრად ინტერვალებზე ფუნქციის უწყვეტობით, ყველაფერი ასევე მარტივია, მაგრამ ამაზე საუბარი უფრო მიზანშეწონილია გაკვეთილზე სეგმენტზე ფუნქციის მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობების პოვნაზემანამდე თავი დავანებოთ.
შესვენების წერტილების კლასიფიკაცია
ფუნქციების მომხიბლავი ცხოვრება მდიდარია ყველა სახის განსაკუთრებული პუნქტით, ხოლო დარღვევის წერტილები მათი ბიოგრაფიის მხოლოდ ერთ-ერთი გვერდია.
შენიშვნა : ყოველი შემთხვევისთვის, ელემენტარულ მომენტზე შევჩერდები: წყვეტის წერტილი ყოველთვის არის ერთი წერტილი- არ არსებობს "რამდენიმე შესვენების წერტილი ზედიზედ", ანუ არ არსებობს "შესვენების ინტერვალი".
ეს პუნქტები, თავის მხრივ, იყოფა ორ დიდ ჯგუფად: პირველი სახის შესვენებებიდა მეორე სახის შესვენებები. უფსკრულის თითოეულ ტიპს აქვს თავისი დამახასიათებელი ნიშნები, რომლებსაც ახლავე განვიხილავთ:
პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი
თუ უწყვეტობის პირობა ირღვევა წერტილში და ცალმხრივი ლიმიტები სასრული , მაშინ ე.წ პირველი ტიპის დარღვევის წერტილი.
დავიწყოთ ყველაზე ოპტიმისტური შემთხვევით. გაკვეთილის თავდაპირველი იდეის მიხედვით, მინდოდა მეთქვა თეორია „ზოგადად“, მაგრამ მასალის რეალობის დემონსტრირების მიზნით, დავამყარე ვარიანტი კონკრეტულ მსახიობებთან.
სამწუხაროდ, მოსწონს ახალდაქორწინებულთა ფოტო მარადიული ცეცხლის ფონზე, მაგრამ შემდეგი ჩარჩო ზოგადად მიღებულია. მოდით დავხატოთ ნახაზის ფუნქციის გრაფიკი:
ეს ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვით წრფეზე, წერტილის გარდა. მართლაც, მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. თუმცა ლიმიტის მნიშვნელობის შესაბამისად – შეგვიძლია უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით "ნულს" როგორც მარცხნიდან, ასევე მარჯვნიდან, ანუ ცალმხრივი საზღვრები არსებობს და, ცხადია, ემთხვევა: (შესრულებულია უწყვეტობის პირობა No2).
მაგრამ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში, შესაბამისად, დარღვეულია უწყვეტობის No1 პირობა და ფუნქცია განიცდის შესვენებას ამ ეტაპზე.
ამგვარი შესვენება (არსებულთან ზოგადი ლიმიტი) უწოდებენ შესაკეთებელი უფსკრული. რატომ მოსახსნელი? რადგან ფუნქციას შეუძლია ხელახლა განსაზღვრაგატეხვის წერტილში:
უცნაურად გამოიყურება? Შესაძლოა. მაგრამ ასეთი ფუნქციის ჩანაწერი არაფერს ეწინააღმდეგება! ახლა ხარვეზი გამოსწორებულია და ყველა ბედნიერია:
მოდით გავაკეთოთ ოფიციალური შემოწმება:
2) - არსებობს საერთო ზღვარი;
3)
ამრიგად, სამივე პირობა დაკმაყოფილებულია და ფუნქცია არის უწყვეტი წერტილში ფუნქციის უწყვეტობის განსაზღვრით.
თუმცა, მატანის მოძულეებს შეუძლიათ, მაგალითად, ფუნქციის გადახედვა ცუდი გზით :
საინტერესოა, რომ პირველი ორი უწყვეტობის პირობა დაკმაყოფილებულია აქ:
1) - ფუნქცია განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში;
2) - არსებობს საერთო ზღვარი.
მაგრამ მესამე საზღვარი არ არის გავლილი: , ანუ ფუნქციის ზღვარი წერტილში არ უდრისმოცემული ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში.
ამრიგად, გარკვეულ მომენტში ფუნქცია განიცდის შეწყვეტას.
მეორე, უფრო სევდიანი შემთხვევა ჰქვია პირველი სახის შესვენება ნახტომით. და სევდა გამოწვეულია ცალმხრივი საზღვრებით სასრული და განსხვავებული. მაგალითი ნაჩვენებია გაკვეთილის მეორე ნახატში. ეს უფსკრული ჩვეულებრივ ჩნდება ცალმხრივი ფუნქციებიუკვე ნახსენები სტატიაში. დიაგრამის გარდაქმნების შესახებ.
განვიხილოთ ცალმხრივი ფუნქცია და შეასრულეთ მისი ნახატი. როგორ ავაშენოთ გრაფიკი? Ძალიან მარტივი. ნახევარ ინტერვალზე ვხატავთ პარაბოლას ფრაგმენტს (მწვანე), ინტერვალზე - სწორხაზოვან სეგმენტს (წითელი), ხოლო ნახევარინტერვალზე - სწორ ხაზს (ლურჯი).
ამავდროულად, უტოლობის გამო, მნიშვნელობა განისაზღვრება კვადრატული ფუნქციისთვის (მწვანე წერტილი), ხოლო უტოლობის გამო, მნიშვნელობა განისაზღვრება წრფივი ფუნქციისთვის (ლურჯი წერტილი):
ყველაზე რთულ შემთხვევაში, უნდა მივმართოთ გრაფიკის თითოეული ნაწილის წერტილოვან აგებას (იხ. პირველი გაკვეთილი ფუნქციების გრაფიკების შესახებ).
ჯერჯერობით ჩვენ მხოლოდ საკითხი გვაინტერესებს. მოდით შევამოწმოთ იგი უწყვეტობისთვის:
2) გამოთვალეთ ცალმხრივი ლიმიტები.
მარცხნივ გვაქვს წითელი ხაზის სეგმენტი, ამიტომ მარცხენა ლიმიტი არის:
მარჯვნივ არის ლურჯი სწორი ხაზი და მარჯვენა ზღვარი:
Როგორც შედეგი, სასრული რიცხვები, და ისინი არ უდრის. რადგან ცალმხრივი საზღვრები სასრული და განსხვავებული: , მაშინ ჩვენი ფუნქცია ზარალდება პირველი სახის შეწყვეტა ნახტომით.
ლოგიკურია, რომ უფსკრული ვერ აღმოიფხვრება - ფუნქციის შემდგომი განსაზღვრა და „არ დაწებება“ შეუძლებელია, როგორც წინა მაგალითში.
მეორე სახის შეწყვეტის წერტილები
ჩვეულებრივ, რღვევის ყველა სხვა შემთხვევა ეშმაკურად მიეკუთვნება ამ კატეგორიას. ყველაფერს არ ჩამოვთვლი, რადგან პრაქტიკაში დავალებების 99%-ში შეგხვდებათ გაუთავებელი უფსკრული- როდესაც მემარცხენეა ან მემარჯვენე და უფრო ხშირად, ორივე ზღვარი უსასრულოა.
და, რა თქმა უნდა, ყველაზე აშკარა სურათი არის ჰიპერბოლა ნულზე. აქ ორივე ცალმხრივი ზღვარი უსასრულოა: მაშასადამე, ფუნქცია განიცდის მეორე სახის შეწყვეტას წერტილში.
ვცდილობ ჩემი სტატიები შევავსო ყველაზე მრავალფეროვანი შინაარსით, ამიტომ გადავხედოთ ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც ჯერ არ ჩანს:
სტანდარტული სქემის მიხედვით:
1) ფუნქცია არ არის განსაზღვრული ამ ეტაპზე, რადგან მნიშვნელი მიდის ნულზე.
რა თქმა უნდა, დაუყოვნებლივ შეიძლება დავასკვნათ, რომ ფუნქცია განიცდის შეფერხებას წერტილში, მაგრამ კარგი იქნება, რომ კლასიფიცირდეს შესვენების ბუნება, რომელიც ხშირად მოითხოვს პირობებს. Ამისთვის:
შეგახსენებთ, რომ ჩანაწერი ნიშნავს უსასრულო უარყოფითი რიცხვიდა ჩანაწერის ქვეშ - უსასრულოდ მცირე დადებითი რიცხვი.
ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია განიცდის მე-2 სახის შეწყვეტას წერტილში. y-ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტისქემისთვის.
არც ისე იშვიათია, რომ ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს, მაგრამ მხოლოდ ერთი მათგანია უსასრულო, მაგალითად:
ეს არის ფუნქციის გრაფიკი.
ჩვენ განვიხილავთ პუნქტს უწყვეტობისთვის:
1) ფუნქცია ამ ეტაპზე არ არის განსაზღვრული.
2) გამოთვალეთ ცალმხრივი ლიმიტები:
ასეთი ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლის მეთოდოლოგიაზე ვისაუბრებთ ლექციის ბოლო ორ მაგალითში, თუმცა ბევრმა მკითხველმა უკვე ყველაფერი ნახა და გამოიცნო.
მარცხენა ლიმიტი არის სასრული და უდრის ნულს (ჩვენ „თვითონ წერტილამდე არ მივდივართ“), მაგრამ მარჯვენა ზღვარი უსასრულოა და გრაფიკის ნარინჯისფერი ტოტი უსასრულოდ ახლოსაა თავისთან. ვერტიკალური ასიმპტოტიმოცემული განტოლებით (დატეხილი შავი ხაზი).
ამრიგად, ფუნქცია ზარალდება მეორე სახის შესვენებაწერტილში.
რაც შეეხება 1-ლი სახის შეწყვეტას, ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს თავად შეწყვეტის წერტილში. მაგალითად, ცალი ფუნქციისთვის თამამად დააყენეთ შავი სქელი წერტილი სათავეში. მარჯვნივ არის ჰიპერბოლის ტოტი, ხოლო მარჯვენა ზღვარი უსასრულოა. ვფიქრობ, თითქმის ყველამ წარმოიდგინა, როგორ გამოიყურება ეს გრაფიკი.
რასაც ყველა მოუთმენლად ელოდა:
როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის?
უწყვეტობის ფუნქციის შესწავლა წერტილში ტარდება უკვე შემობრუნებული რუტინული სქემის მიხედვით, რომელიც შედგება სამი უწყვეტობის მდგომარეობის შემოწმებაში:
მაგალითი 1
შეისწავლეთ ფუნქცია
გამოსავალი:
1) ერთადერთი წერტილი ხვდება მხედველობის ქვეშ, სადაც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული.
2) გამოთვალეთ ცალმხრივი ლიმიტები:
ცალმხრივი საზღვრები სასრული და ტოლია.
ამრიგად, გარკვეულ მომენტში ფუნქცია განიცდის შეუწყვეტელ შეწყვეტას.
როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი?
გამარტივება მინდა , და როგორც ჩანს ჩვეულებრივი პარაბოლაა. მაგრამთავდაპირველი ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში, ამიტომ საჭიროა შემდეგი გაფრთხილება:
მოდით შევასრულოთ ნახაზი:
უპასუხე: ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე, გარდა იმ წერტილისა, სადაც ის განიცდის წყვეტას.
ფუნქციის ხელახალი განსაზღვრა შესაძლებელია კარგი ან არც ისე კარგი გზით, მაგრამ ეს არ არის საჭირო პირობით.
თქვენ ამბობთ, რომ მაგალითი შორს არის? Სულაც არა. პრაქტიკაში ათჯერ მოხდა. საიტის თითქმის ყველა ამოცანა მოდის რეალური დამოუკიდებელი და საკონტროლო სამუშაოდან.
მოდით დავყოთ ჩვენი საყვარელი მოდულები:
მაგალითი 2
შეისწავლეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის. განსაზღვრეთ ფუნქციის შესვენების ხასიათი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. შეასრულეთ ნახაზი.
გამოსავალი: რატომღაც სტუდენტებს ეშინიათ და არ უყვართ მოდულის ფუნქციები, თუმცა მათში არაფერია რთული. ასეთ რამეებს გაკვეთილზე უკვე ცოტა შევეხეთ. გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნები. ვინაიდან მოდული არაუარყოფითია, ის აფართოებს შემდეგნაირად: , სადაც "ალფა" არის რაღაც გამოთქმა. ამ შემთხვევაში, და ჩვენი ფუნქცია ნაწილ-ნაწილ უნდა მოაწეროს ხელი:
მაგრამ ორივე ნაწილის წილადები უნდა შემცირდეს . შემცირება, როგორც წინა მაგალითში, არ იქნება უშედეგოდ. თავდაპირველი ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში, რადგან მნიშვნელი ქრება. ამიტომ სისტემამ დამატებით უნდა მიუთითოს პირობა და პირველი უტოლობა მკაცრი გახადოს:
ახლა ძალიან სასარგებლო ხრიკისთვის: პროექტზე დავალების დასრულებამდე მომგებიანია ნახატის გაკეთება (მიუხედავად იმისა, ამას მოითხოვს ეს პირობა თუ არა). ეს დაგეხმარებათ, პირველ რიგში, დაუყოვნებლივ დაინახოთ უწყვეტობის და შესვენების წერტილები და, მეორეც, 100% დაიცავთ შეცდომებისგან ცალმხრივი ლიმიტების პოვნისას.
მოდით გავაკეთოთ ხრიკი. ჩვენი გამოთვლების შესაბამისად, წერტილიდან მარცხნივ აუცილებელია პარაბოლის ფრაგმენტის დახატვა (ლურჯი), ხოლო მარჯვნივ - პარაბოლის ცალი (წითელი), ხოლო ფუნქცია არ არის განსაზღვრული თავად წერტილში. :
როდესაც ეჭვი გეპარებათ, აიღეთ რამდენიმე "x" მნიშვნელობა, ჩაანაცვლეთ ისინი ფუნქციაში (გახსოვდეთ, რომ მოდული ანადგურებს შესაძლო მინუს ნიშანს) და შეამოწმეთ გრაფიკი.
ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას უწყვეტობისთვის ანალიტიკურად:
1) ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში, ასე რომ, დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის არ არის უწყვეტი მასში.
2) მოდით დავადგინოთ შეწყვეტის ბუნება, ამისთვის გამოვთვალოთ ცალმხრივი ლიმიტები:
ცალმხრივი საზღვრები სასრული და განსხვავებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია განიცდის 1-ლი სახის შეწყვეტას წერტილში ნახტომით. კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ ლიმიტების პოვნისას არ აქვს მნიშვნელობა განსაზღვრულია თუ არა ფუნქცია შესვენების წერტილში.
ახლა რჩება ნახატის გადატანა მონახაზიდან (ის გაკეთდა, როგორც იქნა, კვლევის დახმარებით ;-)) და დაასრულეთ დავალება:
უპასუხე: ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე, გარდა იმ წერტილისა, სადაც ის განიცდის პირველი სახის წყვეტას ნახტომით.
ზოგჯერ საჭიროა დამატებით მიუთითოთ წყვეტის ნახტომი. იგი გამოითვლება ელემენტარულად - მარცხენა ზღვარი უნდა გამოვაკლოთ მარჯვენა ზღვარს: , ანუ შესვენების დროს ჩვენი ფუნქცია 2 ერთეულით ქვემოთ გადახტა (რაზეც მინუს ნიშანი გვეუბნება).
მაგალითი 3
შეისწავლეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის. განსაზღვრეთ ფუნქციის შესვენების ხასიათი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. გააკეთე ნახატი.
ეს არის მაგალითი თვითმმართველობის გადასაჭრელად, ამოხსნის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.
მოდით გადავიდეთ ამოცანის ყველაზე პოპულარულ და გავრცელებულ ვერსიაზე, როდესაც ფუნქცია შედგება სამი ნაწილისგან:
მაგალითი 4
გამოიკვლიეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის და დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი .
გამოსავალი: აშკარაა, რომ ფუნქციის სამივე ნაწილი უწყვეტია შესაბამის ინტერვალებზე, ამიტომ რჩება მხოლოდ ორი „შეერთების“ წერტილის შემოწმება ნაწილებს შორის. პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახაზი პროექტზე, სტატიის პირველ ნაწილში საკმარისად დეტალურად გავაკეთე კომენტარი მშენებლობის ტექნიკაზე. ერთადერთი ის არის, რომ ყურადღებით მივყვეთ ჩვენს სინგულარულ წერტილებს: უტოლობის გამო, მნიშვნელობა მიეკუთვნება სწორ ხაზს (მწვანე წერტილი), ხოლო უტოლობის გამო, მნიშვნელობა ეკუთვნის პარაბოლას (წითელი წერტილი):
ისე, პრინციპში, ყველაფერი ნათელია =) რჩება გადაწყვეტილების შედგენა. თითოეული ორი "კონდახის" წერტილისთვის, ჩვენ ვამოწმებთ 3 უწყვეტობის პირობას, როგორც სტანდარტს:
ᲛᲔ)ჩვენ განვიხილავთ წერტილს უწყვეტობისთვის
1)
ცალმხრივი საზღვრები სასრული და განსხვავებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია განიცდის 1-ლი სახის შეწყვეტას წერტილში ნახტომით.
მოდით გამოვთვალოთ უწყვეტობის ნახტომი, როგორც განსხვავება მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს შორის:
, ანუ სქემა ერთი ერთეულით მაღლა გადახტა.
II)ჩვენ განვიხილავთ წერტილს უწყვეტობისთვის
1) – ფუნქცია განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში.
2) იპოვეთ ცალმხრივი საზღვრები:
- ცალმხრივი ზღვრები სასრული და ტოლია, ამიტომ არსებობს საერთო ზღვარი.
3) – ფუნქციის ზღვარი წერტილში უდრის ამ ფუნქციის მნიშვნელობას მოცემულ წერტილში.
ფინალურ ეტაპზე ჩვენ ნახატს გადავიტანთ სუფთა ასლზე, რის შემდეგაც ვათავსებთ საბოლოო აკორდს:
უპასუხე: ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვით წრფეზე, გარდა იმ წერტილისა, სადაც ის განიცდის პირველი სახის წყვეტას ნახტომით.
მაგალითი 5
გამოიკვლიეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის და შექმენით მისი გრაფიკი .
ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, მოკლე ამოხსნისთვის და პრობლემის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.
შეიძლება შეიქმნას შთაბეჭდილება, რომ ერთ მომენტში ფუნქცია აუცილებლად უნდა იყოს უწყვეტი, ხოლო მეორე მომენტში აუცილებლად უნდა იყოს წყვეტა. პრაქტიკაში, ეს ყოველთვის ასე არ არის. შეეცადეთ არ უგულებელყოთ დარჩენილი მაგალითები - იქნება რამდენიმე საინტერესო და მნიშვნელოვანი თვისება:
მაგალითი 6
მოცემული ფუნქცია . გამოიკვლიეთ ფუნქცია წერტილებში უწყვეტობისთვის. შექმენით გრაფიკი.
გამოსავალი: და ისევ დაუყოვნებლივ შეასრულეთ ნახატი ნახატზე:
ამ გრაფის თავისებურება ის არის, რომ ცალმხრივი ფუნქცია მოცემულია აბსცისის ღერძის განტოლებით. აქ ეს მონაკვეთი მწვანეშია დახატული, რვეულში კი, ჩვეულებრივ, თამამად ხაზს უსვამენ უბრალო ფანქრით. და, რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოთ ჩვენი ცხვარი: მნიშვნელობა ეხება ტანგენტის ტოტს (წითელი წერტილი), ხოლო მნიშვნელობა ეკუთვნის სწორ ხაზს.
ნახაზიდან ყველაფერი ნათელია - ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა ხაზზე, რჩება გამოსავლის შედგენა, რომელიც სიტყვასიტყვით 3-4 მსგავსი მაგალითის შემდეგ სრულ ავტომატიზმამდე მიდის:
ᲛᲔ)ჩვენ განვიხილავთ წერტილს უწყვეტობისთვის
1) - ფუნქცია განისაზღვრება მოცემულ წერტილში.
2) გამოთვალეთ ცალმხრივი ლიმიტები:
ასე რომ, არსებობს საერთო ლიმიტი.
მხოლოდ ყველა მეხანძრეზე, ნება მომეცით შეგახსენოთ ტრივიალური ფაქტი: მუდმივის ზღვარი უდრის თავად მუდმივას. ამ შემთხვევაში ნულის ზღვარი უდრის თავად ნულს (მარცხენა ლიმიტი).
3) – ფუნქციის ზღვარი წერტილში უდრის ამ ფუნქციის მნიშვნელობას მოცემულ წერტილში.
ამრიგად, ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, ფუნქციის უწყვეტი განსაზღვრებით.
II)ჩვენ განვიხილავთ წერტილს უწყვეტობისთვის
1) - ფუნქცია განისაზღვრება მოცემულ წერტილში.
2) იპოვეთ ცალმხრივი საზღვრები:
და აქ - ერთეულის ზღვარი უდრის თავად ერთეულს.
- არსებობს საერთო ზღვარი.
3) – ფუნქციის ზღვარი წერტილში უდრის ამ ფუნქციის მნიშვნელობას მოცემულ წერტილში.
ამრიგად, ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, ფუნქციის უწყვეტი განსაზღვრებით.
ჩვეულებისამებრ, შესწავლის შემდეგ ჩვენს ნახატს სუფთა ასლზე გადავიტანთ.
უპასუხე: ფუნქცია უწყვეტია წერტილებში.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ იმ პირობით, რომ ჩვენ არ გვკითხეს არაფერი უწყვეტობისთვის მთელი ფუნქციის შესწავლის შესახებ და ითვლება კარგ მათემატიკური ფორმად ჩამოსაყალიბებლად ზუსტი და ნათელიპასუხი დასმულ კითხვაზე. სხვათა შორის, თუ პირობის მიხედვით არ არის საჭირო გრაფის აგება, მაშინ თქვენ გაქვთ სრული უფლება არ ააწყოთ იგი (თუმცა მოგვიანებით მასწავლებელს შეუძლია ეს გაიძულებთ).
მცირე მათემატიკური "ნიმუში" დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის:
მაგალითი 7
მოცემული ფუნქცია . გამოიკვლიეთ ფუნქცია წერტილებში უწყვეტობისთვის. წყვეტის წერტილების კლასიფიკაცია, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. შეასრულეთ ნახაზი.
შეეცადეთ სწორად "წარმოთქვათ" ყველა "სიტყვა" =) და დახაზეთ გრაფიკი უფრო ზუსტად, სიზუსტით, ეს არ იქნება ყველგან ზედმეტი ;-)
როგორც გახსოვთ, მე გირჩევდი, რომ დაუყონებლივ დახატო მონახაზი, მაგრამ დროდადრო არის ისეთი მაგალითები, სადაც მაშინვე ვერ გაარკვიე, როგორ გამოიყურება გრაფიკი. ამიტომ, რიგ შემთხვევებში, ხელსაყრელია ჯერ ცალმხრივი საზღვრების პოვნა და მხოლოდ ამის შემდეგ, კვლევის საფუძველზე, ტოტების გამოსახვა. ბოლო ორ მაგალითში ჩვენ ასევე ვისწავლით ზოგიერთი ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლის ტექნიკას:
მაგალითი 8
გამოიკვლიეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის და შექმენით მისი სქემატური გრაფიკი.
გამოსავალი: აშკარაა ცუდი წერტილები: (აქცევს მაჩვენებლის მნიშვნელს ნულზე) და (ნულზე აქცევს მთელი წილადის მნიშვნელს). გაუგებარია, როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჯობია ჯერ კვლევა გავაკეთოთ.
თუ ნაკრები არ შეიცავს ელემენტებს, მაშინ მას უწოდებენ ცარიელი ნაკრებიდა ჩაიწერა Ø .
არსებობის რაოდენობრივი მაჩვენებელი
∃- ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი, გამოიყენება სიტყვების ნაცვლად "არსებობს",
"ხელმისაწვდომია". ასევე გამოიყენება სიმბოლოების კომბინაცია ∃!, რომელიც იკითხება როგორც მხოლოდ ერთი.
აბსოლუტური ღირებულება
განმარტება. რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული) არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:
Მაგალითად,
მოდულის თვისებები
თუ და არის რეალური რიცხვები, მაშინ მოქმედებს შემდეგი ტოლობები:
ფუნქცია
ურთიერთობა ორ ან მეტ რაოდენობას შორის, რომელშიც ერთი სიდიდის თითოეული მნიშვნელობა, რომელსაც ფუნქციის არგუმენტები ეწოდება, ასოცირდება სხვა რაოდენობების მნიშვნელობებთან, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობები.
ფუნქციის ფარგლები
ფუნქციის დომენი არის x დამოუკიდებელი ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ფუნქციაში შემავალი ყველა ოპერაცია იქნება შესრულებადი.
უწყვეტი ფუნქცია
ფუნქციას f (x), რომელიც განსაზღვრულია a წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, ამ წერტილში უწყვეტი ეწოდება if
![]() |
რიცხვების მიმდევრობები
ნახვის ფუნქცია წ= ვ(x), xო ნ, სად ნარის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნატურალური არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება წ=ვ(ნ) ან წ 1 ,წ 2 ,…, y n,…. ღირებულებები წ 1 ,წ 2 ,წ 3 , ... ეძახიან შესაბამისად მიმდევრობის პირველ, მეორე, მესამე, ... წევრებს.
უწყვეტი არგუმენტის ფუნქციის ლიმიტი
რიცხვს A ეწოდება y=f(x) ფუნქციის ზღვარი x->x0-სთვის, თუ x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც საკმარისად ცოტა განსხვავდება x0 რიცხვისგან, არის f(x ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები. ) თვითნებურად ცოტათი განსხვავდება A რიცხვისგან
უსასრულოდ მცირე ფუნქცია
ფუნქცია y=f(x)დაურეკა უსასრულოდ მცირეზე x→aან როდის x→∞ თუ ან , ე.ი. უსასრულოდ მცირე ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის ზღვარი მოცემულ წერტილში არის ნული.
![]() |
რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის კონცეფცია
ჯერ გავიხსენოთ რიცხვითი მიმდევრობის განმარტება.
განმარტება 1
ნატურალური რიცხვების სიმრავლის რეალური რიცხვების სიმრავლეზე გამოსახვა ეწოდება რიცხვითი თანმიმდევრობა.
რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის კონცეფციას აქვს რამდენიმე ძირითადი განმარტება:
- რეალურ რიცხვს $a$ ეწოდება $(x_n)$ რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტი, თუ რომელიმე $\varepsilon >0$-სთვის არსებობს $N$ ინდექსი $\varepsilon$-ზე დამოკიდებულების შემთხვევაში, ნებისმიერი $n> N ინდექსისთვის. $ უტოლობა $\left|x_n-a\right|
- რეალურ რიცხვს $a$ ეწოდება $(x_n)$ რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, თუ $a$ წერტილის რომელიმე სამეზობლო შეიცავს $(x_n)$ მიმდევრობის ყველა წევრს, სასრული რაოდენობის გამონაკლისის გარდა. წევრები.
განვიხილოთ რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის მნიშვნელობის გამოთვლის მაგალითი:
მაგალითი 1
იპოვეთ ლიმიტი $(\mathop(lim)_(n\ to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
გამოსავალი:
ამ ამოცანის ამოსახსნელად, ჯერ უნდა ამოვიღოთ გამოხატულებაში შემავალი უმაღლესი ხარისხის ფრჩხილები:
$(\mathop(lim)_(n\ to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\ to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
თუ მნიშვნელი არის უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა, მაშინ მთელი ლიმიტი მიისწრაფვის ნულისკენ, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, ამის გამოყენებით მივიღებთ:
$(\mathop(lim)_(n\ to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
პასუხი:$\frac(1)(2)$.
ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია წერტილში
ფუნქციის ლიმიტის კონცეფციას აქვს ორი კლასიკური განმარტება:
ტერმინი „ლიმიტის“ განმარტება კოშის მიხედვით
რეალურ რიცხვს $A$ ეწოდება $f\left(x\right)$ ფუნქციის ლიმიტი, როგორც $x\ to a$, თუ ნებისმიერი $\varepsilon > 0$ არის $\delta >0$ დამოკიდებულია $-ზე. \varepsilon $, ისეთი, რომ ნებისმიერი $x\in X^(\backslash a)$-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას $\left|x-a\right|
ჰეინის განმარტება
რეალურ რიცხვს $A$ ეწოდება $f\left(x\right)$ ფუნქციის ლიმიტი $x\ to a$-ისთვის, თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის $(x_n)\ X$-ში $a$ თანმიმდევრობისთვის. $f (x_n)$ მნიშვნელობები გადადის $A$-მდე.
ეს ორი განმარტება დაკავშირებულია.
შენიშვნა 1
ფუნქციის ლიმიტის კოშისა და ჰაინის განმარტებები ექვივალენტურია.
ფუნქციის საზღვრების გამოთვლის კლასიკური მიდგომების გარდა, გავიხსენოთ ფორმულები, რომლებიც ასევე დაგეხმარებათ ამაში.
ეკვივალენტური ფუნქციების ცხრილი, როდესაც $x$ არის უსასრულოდ მცირე (გადის ნულზე)
ლიმიტების გადაჭრის ერთ-ერთი მიდგომაა ეკვივალენტური ფუნქციით ჩანაცვლების პრინციპი. ეკვივალენტური ფუნქციების ცხრილი წარმოდგენილია ქვემოთ, მის გამოსაყენებლად მარჯვნივ ფუნქციების ნაცვლად ჩაანაცვლეთ შესაბამისი ელემენტარული ფუნქცია მარცხნივ გამოსახულებაში.
სურათი 1. ფუნქციის ეკვივალენტობის ცხრილი. ავტორი24 - სტუდენტური ნაშრომების ონლაინ გაცვლა
ასევე, ლიმიტების გადასაჭრელად, რომელთა მნიშვნელობები დაყვანილია გაურკვევლობამდე, შესაძლებელია L'Hospital წესის გამოყენება. ზოგად შემთხვევაში, $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობა შეიძლება გამოვლინდეს მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგით და შემდეგ შემცირებით. $\frac(\infty )(\infty)$ ფორმის განუსაზღვრელობა შეიძლება აღმოიფხვრას მრიცხველისა და მნიშვნელის გამონათქვამების გაყოფის შემდეგ იმ ცვლადზე, რომელშიც ყველაზე მაღალი სიმძლავრეა ნაპოვნი.
ღირსშესანიშნავი საზღვრები
- პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი:
$(\mathop(lim)_(x\ to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი:
$\mathop(lim)_(x\ to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
სპეციალური ლიმიტები
- პირველი სპეციალური ლიმიტი:
$\mathop(lim)_(x\ to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- მეორე სპეციალური ლიმიტი:
$\mathop(lim)_(x\ to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- მესამე სპეციალური ლიმიტი:
$\mathop(lim)_(x\ to 0)\frac(((1+x))^(\mu)-1)(x)=\mu $
ფუნქციის უწყვეტობა
განმარტება 2
$f(x)$ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი $x=x_0$ წერტილში, თუ $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ ისეთი, რომ $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
ფუნქცია $f(x)$ უწყვეტია $x=x_0$ წერტილში, თუ $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\ to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
წერტილს $x_0\X$-ში ეწოდება პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი, თუ მას აქვს სასრული საზღვრები $(\mathop(lim)_(x\ to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\ to x_0+0) f(x_0)\ )$, მაგრამ $(\mathop(lim)_(x\ to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\ to x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
უფრო მეტიც, თუ $(\mathop(lim)_(x\ to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\ to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, მაშინ ეს არის შესვენების წერტილი, და თუ $(\mathop(lim)_(x\ to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\ to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, შემდეგ ფუნქციის გადახტომის წერტილი.
წერტილი $x_0\X$-ში ეწოდება მეორე სახის შეწყვეტის წერტილს, თუ ის შეიცავს მინიმუმ ერთ-ერთ ლიმიტს $(\mathop(lim)_(x\ to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\ to x_0+0) f(x_0)\ )$ წარმოადგენს უსასრულობას ან არ არსებობს.
მაგალითი 2
გამოიკვლიეთ უწყვეტობა $y=\frac(2)(x)$
გამოსავალი:
$(\mathop(lim)_(x\ to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\ to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - ფუნქციას აქვს მეორე ტიპის შესვენების წერტილი.
ტოპოლოგიაარის მათემატიკის დარგი, რომელიც სწავლობს საზღვრებს და ფუნქციათა უწყვეტობას. ალგებრასთან ერთად ტოპოლოგია წარმოადგენს მათემატიკის ზოგად საფუძველს.
ტოპოლოგიური სივრცე ან ფიგურა -ჩვენი ერთგვაროვანი ევკლიდური სივრცის ქვესიმრავლე, რომლის წერტილებს შორის მოცემულია გარკვეული სიახლოვის მიმართება. აქ ფიგურები განიხილება არა როგორც ხისტი სხეულები, არამედ როგორც ძალიან ელასტიური რეზინისგან დამზადებული საგნები, რომლებიც უწყვეტი დეფორმაციის საშუალებას იძლევა, ინარჩუნებენ მათ ხარისხობრივ თვისებებს.
ფიგურების ერთი-ერთზე უწყვეტი გამოსახვა ეწოდება ჰომეომორფიზმი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფიგურები ჰომეომორფულითუ ერთი შეიძლება გარდაიქმნას მეორეში უწყვეტი დეფორმაციით.
მაგალითები. შემდეგი ფიგურები ჰომეომორფულია (სხვადასხვა ჯგუფის ფიგურები ჰომეომორფული არ არის), ნაჩვენებია ნახ. 2.
1. სეგმენტი და მრუდი თვითგადაკვეთის გარეშე.
2. წრე, კვადრატი შიგნით, ლენტი.
3. სფერო, კუბი და ტეტრაედრული ზედაპირი.
4. წრე, ელიფსი და კვანძოვანი წრე.
5. რგოლი სიბრტყეზე (წრე ნახვრეტით), რგოლი სივრცეში, ორჯერ დაგრეხილი რგოლი, ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი.
6. მობიუსის ზოლი, ე.ი. ერთხელ გრეხილი ბეჭედი და სამჯერ დაგრეხილი ბეჭედი.
7. ტორუსის (დონატის) ზედაპირი, სახელურიანი სფერო და კვანძოვანი ტორსი.
8. სფერო ორი სახელურით და პრეცელი ორი ნახვრეტით.
მათემატიკური ანალიზისას ფუნქციები შესწავლილია ლიმიტების მეთოდით. ცვლადი და ლიმიტი ძირითადი ცნებებია.
სხვადასხვა ფენომენში, ზოგიერთი სიდიდე ინარჩუნებს რიცხობრივ მნიშვნელობას, ზოგი იცვლება. ცვლადის ყველა რიცხვითი მნიშვნელობის სიმრავლე ეწოდება ამ ცვლადის ფარგლები.
ცვლადის ქცევის სხვადასხვა გზებიდან ყველაზე მნიშვნელოვანია ის, რომლითაც ცვლადი მიდრეკილია გარკვეულ ზღვარზე.
მუდმივი რიცხვი ადაურეკა ცვლადი xთუ შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა xდა ა() ხდება ცვლადის შეცვლის პროცესში xთვითნებურად მცირე:
რას ნიშნავს "თვითნებურად პატარა"? ცვლადი Xმიდრეკილია ზღვრამდე ა, თუ რაიმე თვითნებურად მცირე (თვითნებურად მცირე) რიცხვისთვის არის ასეთი მომენტი ცვლადის ცვლილებაში X, საიდანაც იწყება უთანასწორობა .
ლიმიტის განმარტებას აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა: უტოლობა ნიშნავს რომ Xარის წერტილის მიმდებარედ ა,
იმათ. ინტერვალში
.
ამრიგად, ლიმიტის განმარტება შეიძლება გეომეტრიული ფორმით იყოს მოცემული:
ნომერი აარის ცვლადის ზღვარი X, თუ რომელიმე თვითნებურად მცირე (თვითნებურად მცირე) - რიცხვის სამეზობლო ათქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ ასეთი მომენტი ცვლადის შეცვლაში X, საიდანაც მისი ყველა მნიშვნელობა ხვდება წერტილის მითითებულ სამეზობლოში ა.
კომენტარი. ცვლადი Xშეუძლია მიუახლოვდეს მის ზღვარს სხვადასხვა გზით: დარჩეს ამ ზღვარზე ნაკლები (მარცხნივ), მეტი (მარჯვნივ), მერყეობდეს ლიმიტის მნიშვნელობის გარშემო.
თანმიმდევრობის ლიმიტი
ფუნქციაკანონს (წესს) უწოდებენ, რომლის მიხედვითაც ყოველი ელემენტი xგარკვეული ნაკრები Xშეესაბამება ერთ ელემენტს წკომპლექტი ი.
ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლეზე: . ასეთ ფუნქციას ე.წ ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაან რიცხვითი თანმიმდევრობა.
ვინაიდან თანმიმდევრობა, ისევე როგორც ნებისმიერი უსასრულო სიმრავლე, არ შეიძლება დაზუსტდეს ჩამოთვლით, იგი მითითებულია საერთო წევრის მიერ: , სადაც არის მიმდევრობის საერთო ტერმინი.
დისკრეტული ცვლადი არის მიმდევრობის საერთო წევრი.
თანმიმდევრობით, სიტყვები "დაწყებული რაღაც მომენტში" ნიშნავს სიტყვებს "დაწყებული რაღაც რიცხვიდან".
ნომერი ამიმდევრობის ზღვარი ეწოდება , თუ რაიმე თვითნებურად მცირე (თვითნებურად მცირე) რიცხვისთვის არსებობს ასეთი რიცხვი ნ, რომელიც რიცხვით მიმდევრობის ყველა წევრისთვის ნ>ნუთანასწორობა
.
ან
ზე
.
გეომეტრიულად, მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრა ნიშნავს შემდეგს: ნებისმიერი თვითნებურად მცირე (თვითნებურად მცირე) - რიცხვის სამეზობლოსთვის. აარის ისეთი რიცხვი, რომ მიმდევრობის ყველა ტერმინი მეტია ნ, ნომრები, მოხვდება ამ სამეზობლოში. სამეზობლოს გარეთ არის მხოლოდ მიმდევრობის საწყისი ტერმინების სასრული რაოდენობა. ბუნებრივი რიცხვი ნდამოკიდებულია : .