შემცირებული ნარჩენების ჯამი modulo n. გატანის სისტემები. სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
ან ნებისმიერი თანმიმდევრული გვნომრები.
ამ სისტემას ე.წ რიცხვების სრული სისტემა, რომელიც არ არის შედარებადი მოდულით გვან ნარჩენების მოდულის სრული სისტემა გვ. აშკარაა, რომ ნებისმიერი გვთანმიმდევრული რიცხვები ქმნიან ასეთ სისტემას.
ყველა რიცხვს, რომელიც მიეკუთვნება იმავე კლასს, აქვს მრავალი საერთო თვისება, ამიტომ, მოდულთან მიმართებაში, ისინი შეიძლება ჩაითვალოს ერთ რიცხვად. შედარებაში შემავალი თითოეული რიცხვი, როგორც ჯამი ან ფაქტორი, შეიძლება შეიცვალოს, შედარების დარღვევის გარეშე, მასთან შესადარებელი რიცხვით, ე.ი. იმავე კლასს მიკუთვნებული ნომრით.
სხვა ელემენტი, რომელიც საერთოა მოცემული კლასის ყველა რიცხვისთვის, არის ამ კლასისა და მოდულის თითოეული ელემენტის უდიდესი საერთო გამყოფი. გვ.
დაე ადა ბშესადარებელი მოდული გვ, მაშინ
თეორემა 1. თუ შიგნით ნაჯახი+ბმაგივრად xმოდი ყველაფერი წესრიგში მოვიყვანოთ გვრიცხვთა სრული სისტემის წევრები
ამიტომ ყველა რიცხვი ნაჯახი+ბ, სად x=1,2,...გვ-1 არ არის შესადარებელი მოდულები გვ(წინააღმდეგ შემთხვევაში, ნომრები 1,2,... გვ-1 იქნება შესადარებელი მოდული გვ.
შენიშვნები
1) ამ სტატიაში სიტყვა რიცხვი ნიშნავს მთელ რიცხვს.
ლიტერატურა
- 1. კ ირლანდია, მ.როზენი. კლასიკური შესავალი რიცხვების თეორიაში.- M: Mir, 1987 წ.
- 2. გ.დევენპორტი. უმაღლესი არითმეტიკა.- M: Nauka, 1965 წ.
- 3. პ.გ. ლეჟენ დირიხლე. ლექციები რიცხვების თეორიაზე. − მოსკოვი, 1936 წ.
მოდულის ნარჩენი რგოლი ნაღვნიშნო ან . მისი მრავლობითი ჯგუფი, როგორც რგოლების შექცევადი ელემენტების ჯგუფების ზოგადი შემთხვევაში, აღინიშნება ∗ × × .
უმარტივესი შემთხვევა
ჯგუფის სტრუქტურის გასაგებად, შეგვიძლია განვიხილოთ სპეციალური შემთხვევა, სადაც არის მარტივი რიცხვი და განვაზოგადოთ იგი. განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც, ანუ.
თეორემა: - ციკლური ჯგუფი.
მაგალითი : განვიხილოთ ჯგუფი
= (1,2,4,5,7,8) ჯგუფის გენერატორი არის ნომერი 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ როგორც ხედავთ, ჯგუფის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც , Where ≤ℓφ . ანუ ჯგუფი ციკლურია.ზოგადი შემთხვევა
ზოგადი შემთხვევის განსახილველად აუცილებელია პრიმიტიული ფესვის განსაზღვრა. პრიმიტიული ფესვის მოდული a მარტივი არის რიცხვი, რომელიც ნარჩენების კლასთან ერთად ქმნის ჯგუფს.
მაგალითები: 2 11 ; 8 - პრიმიტიული ფესვის მოდული 11 ; 3 არ არის პრიმიტიული მოდულის ფესვი 11 .მთელი მოდულის შემთხვევაში, განმარტება იგივეა.
ჯგუფის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით: თუ p არის კენტი მარტივი რიცხვი და l არის დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ არსებობს პრიმიტიული ფესვები modulo , ანუ ციკლური ჯგუფი.
მაგალითი
ნარჩენების შემცირებული სისტემა შედგება ნარჩენების კლასებისგან: . ნარჩენების კლასებისთვის განსაზღვრულ გამრავლებასთან დაკავშირებით, ისინი ქმნიან ჯგუფს, უფრო მეტიც, და არიან ურთიერთშებრუნებული (ანუ, ⋅ ) და შებრუნებულები არიან საკუთარი თავის მიმართ.
ჯგუფის სტრუქტურა
ჩანაწერი ნიშნავს „n რიგის ციკლურ ჯგუფს“.
× | φ | λ | ჯგუფის გენერატორი | × | φ | λ | ჯგუფის გენერატორი | × | φ | λ | ჯგუფის გენერატორი | × | φ | λ | ჯგუფის გენერატორი | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
განაცხადი
სირთულეზე, ფერმა, ჰული, . უორინგიმ ჩამოაყალიბა ვილსონის თეორემა და ლაგრანჟმა დაამტკიცა. ეილერმა შესთავაზა პრიმიტიული ფესვების არსებობა, რომლებიც მარტივი რიცხვია. გაუსმა დაამტკიცა. არტინმა წამოაყენა თავისი ჰიპოთეზა მარტივი რიცხვების მოდულის არსებობისა და რაოდენობრივი განსაზღვრის შესახებ, რომელიც მოცემული მთელი რიცხვი არის პრიმიტიული ფესვი. ბროუერმა თავისი წვლილი შეიტანა თანმიმდევრული მთელი რიცხვების სიმრავლეების არსებობის პრობლემის შესწავლაში, რომელთაგან თითოეული არის kth სიმძლავრის მოდული p. ბიელჰარცმა დაამტკიცა არტინის ვარაუდის ანალოგი. ჰულიმ დაამტკიცა არტინის ვარაუდი იმ ვარაუდით, რომ გაფართოებული რიმანის ჰიპოთეზა მართებულია ალგებრული რიცხვების ველებში.
შენიშვნები
ლიტერატურა
- ირლანდია კ., როზენ მ.კლასიკური შესავალი რიცხვების თეორიაში. - მ.: მირი, 1987 წ.
- ალფეროვი A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. ჩერემუშკინი A.V.კრიპტოგრაფიის საფუძვლები. - მოსკოვი: "Helios ARV", 2002 წ.
- როსტოვცევი ა.გ., მახოვენკო ე.ბ.თეორიული კრიპტოგრაფია. - სანკტ-პეტერბურგი: NPO "პროფესიონალი", 2004 წ.
ძირითადი ინფორმაცია თეორიიდან
6. 1. განმარტება 1.
რიცხვების კლასი მოდულო m არის ყველა იმ და მხოლოდ იმ მთელი რიცხვების სიმრავლე, რომლებსაც m-ზე გაყოფისას აქვთ იგივე ნაშთი r, ანუ შესადარებელი მოდული m (t Î ნ, ტ> 1).
რიცხვების კლასის აღნიშვნა ნაშთით რ: .
თითოეული ნომერი კლასიდან ეწოდება ნარჩენი მოდულო m და თავად კლასი ეწოდება ნარჩენების კლასს modulo m.
6. 2. მოდულის ნარჩენების კლასების ნაკრების თვისებები ტ:
1) ტოტალური მოდული ტიქნება ტნარჩენების კლასები: ზ ტ = { , , , … , };
2) თითოეული კლასი შეიცავს მთელი რიცხვების (ნარჩენების) უსასრულო სიმრავლეს: = ( ა= მკვ+ რ/ქÎ Z, 0£ რ< მ}
3) "აÎ : აº რ(mod m);
4) "ა, ბÎ : აº ბ(mod m), ანუ ნებისმიერი ორი ნარჩენი აღებულია ერთიდანკლასი, შესადარებელიმოდული ტ;
5) "აÎ , " ბÎ : ა ბ(mod m), ანუ არ არის ორი ნარჩენი; აღებული განსხვავებულისგანკლასები შეუდარებელიმოდული ტ.
6. 3. განმარტება 3.
ნარჩენების სრული სისტემა modulo m არის m რიცხვების ნებისმიერი ნაკრები, რომელიც აღებულია ერთი და მხოლოდ ერთი ნარჩენების თითოეული კლასიდან modulo m.
მაგალითი: თუ მ= 5, მაშინ (10, 6, - 3, 28, 44) არის ნარჩენების სრული სისტემა მოდულო 5 (და არა ერთადერთი!)
Კერძოდ,
კომპლექტი (0, 1, 2, 3, ... , მ–1) არის სისტემა ყველაზე პატარა არაუარყოფითიგამოქვითვები;
კომპლექტი (1, 2, 3, ..., მ –1, ტ) არის სისტემა ყველაზე ნაკლებად დადებითიგამოქვითვები.
6. 4. Ჩაინიშნე:
თუ ( X 1 , X 2 , … , x ტ) არის ნარჩენების მოდულების სრული სისტემა ტ, მაშინ
.
6. 5. თეორემა 1.
Თუ {X 1 , X 2 , … , x ტ} – ნარჩენების სრული სისტემა modulo m, "ა, ბÎ ზ და(ა, ტ) = 1, – შემდეგ რიცხვების სისტემა {ოჰ 1 +ბ, ოჰ 2 + ბ, … , აჰ ტ+ბ} ასევე ქმნის ნარჩენების სრულ სისტემას modulo m .
6. 6. თეორემა 2.
ნარჩენების ერთი და იგივე კლასის ყველა ნარჩენს აქვს იგივე უდიდესი საერთო გამყოფი m-თან: "ა, ბÎ Þ ( ა; ტ) = (ბ; ტ).
6. 7. განმარტება 4.
ნარჩენების კლასი მოდულო m ეწოდება coprime მოდულო m-თან ერთად,თუ ამ კლასის ერთი ნარჩენი მაინც არის coprime ე.ი.
გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში, თეორემა 2 ყველაამ კლასის რიცხვები მოდულის თანაპრომიტი იქნება ტ.
6. 8. განმარტება 5.
ნარჩენების შემცირებული სისტემა modulo m არის ნარჩენების სისტემა, რომელიც აღებულია ერთი და მხოლოდ ერთი კლასიდან coprime-მდე m-მდე.
6. 9. Ჩაინიშნე:
1) ნარჩენების მოდულის შემცირებული სისტემა ტშეიცავს j( ტ) ნომრები ( X 1 , X 2 ,…, };
2) : .
3) "x i : (x i, მ) = 1;
მაგალითი : მოდით მოდულო ტ= 10 არის ნარჩენების 10 კლასი:
ზ 10 = ( , , , , , , , , , ) არის ნარჩენების კლასების მოდულო 10 სიმრავლე. გამოქვითვების სრული სისტემა mod 10 იქნება, მაგალითად, ეს: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
ნარჩენების მრავალი კლასი, კოპრაიმმოდულით m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
გამოქვითვების შემცირებული სისტემამოდული 10 იქნება, მაგალითად,
(1, 3, 7, 9), ან (11, 43, – 5, 17), ან ( – 9, 13, – 5, 77) და ა.შ. (ყოველგან j(10) = 4 რიცხვი).
6.10. პრაქტიკულად: ჩამოყალიბდეს ერთ-ერთი შესაძლო შემცირებული ნარჩენი სისტემის მოდ მ, ნარჩენების სრული სისტემიდან უნდა შევარჩიოთ ის ნარჩენები, რომლებიც არის m-თან თანაპრიმი. ასეთი რიცხვები იქნება j( ტ).
6.11. თეორემა 3.
Თუ{X 1 , X 2 ,…, } – ნარჩენების შემცირებული სისტემა modulo mდა
(ა, მ) = 1, – შემდეგ რიცხვების სისტემა {ოჰ 1 , ოჰ 2 , … , ნაჯახი j (t)} ასევე ფორმები
ნარჩენების შემცირებული სისტემა modulo m .
6.12. განმარტება 6.
ჯამი( Å ) გამოქვითვის კლასები და +b უდრის ნებისმიერი ორი გამოკლების ჯამს, რომელიც აღებულია თითოეული მოცემული კლასიდან და : Å = , სადაც"აÎ , "ბÎ .
6.13. განმარტება 7.
მუშაობა( Ä ) გამოქვითვის კლასები და მოდულო m ეწოდება ნარჩენების კლასს , ანუ ნარჩენების კლასი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან a ´ b ტოლია თითოეული მოცემული კლასიდან სათითაოდ აღებული ნებისმიერი ორი ნარჩენის ნამრავლისა და : Ä = , სადაც"აÎ , "ბÎ .
ამრიგად, ნარჩენების კლასების მოდულში ტ: ზ ტ= ( , , ,…, ) განსაზღვრულია ორი ალგებრული ოპერაცია – „მიმატება“ და „გამრავლება“.
6.14. თეორემა 4.
ნარჩენების კლასების ნაკრები Z t modulo t არის ასოციაციურ-კომუტაციური რგოლი ერთეულით:
< ზ ტ , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – ბეჭედი.
ტიპიური ამოცანები
1. მოდული ტ= 9:
1) ყველაზე ნაკლებად დადებითი ნარჩენების სრული სისტემა;
2) ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი ნარჩენების სრული სისტემა;
3) გამოქვითვების თვითნებური სრული სისტემა;
4) უმცირესი აბსოლუტური გამოკლების სრული სისტემა.
უპასუხე:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. ნარჩენების შემცირებული სისტემის მოდულის შედგენა ტ= 12.
გამოსავალი.
1) შეადგინეთ ყველაზე ნაკლებად დადებითი ნარჩენების მოდულის სრული სისტემა ტ= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (სულ ტ= 12 ნომერი).
2) ჩვენ ამ სისტემიდან ვშლით ციფრებს, რომლებიც არ არის 12 რიცხვთან თანაპირი:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) დარჩენილი რიცხვები, 12 რიცხვთან ერთად, ქმნიან ნარჩენების მოდულის სასურველ შემცირებულ სისტემას ტ= 12 (სულ j( ტ) = j(12) = 4 რიცხვი).
პასუხი:(1, 5, 7, 11) - ნარჩენების მოდულის შემცირებული სისტემა ტ= 12.
130. გააკეთეთ 1) ყველაზე ნაკლებად დადებითი ნარჩენების სრული სისტემა; 2) ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი ნარჩენების სრული სისტემა; 3) გამოქვითვების თვითნებური სისტემა; 4) უმცირესი აბსოლუტური გამოკლების სრული სისტემა; 5) ნარჩენების შემცირებული სისტემა: ა) მოდულო მ= 6; ბ) მოდული მ = 8.
131. არის თუ არა ნაკრები (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) ნარჩენების სრული სისტემა მოდულო 8?
132 რა მოდულით არის ნაკრები (20, - 4, 22, 18, - 1) ნარჩენების სრული სისტემა?
133. შექმენით ნარჩენების შემცირებული სისტემა მოდული მთუ) მ= 9; ბ) მ= 24; in) მ= 7. რამდენ რიცხვს უნდა შეიცავდეს ასეთი სისტემა?
134. ჩამოაყალიბეთ ნარჩენების სრული სისტემის ძირითადი თვისებები და ნარჩენების შემცირებული სისტემის მოდულები მ .
135. რა ელემენტები განასხვავებენ ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი ნარჩენების შემცირებულ და სრულ სისტემებს მოდულო პრიმის?
136. რა პირობით არის რიცხვები ადა - ამიეკუთვნება მოდულის ნარჩენების იმავე კლასს მ?
137. ნარჩენების რომელ კლასებს მიეკუთვნება ყველა მარტივი რიცხვი? რ³ 3?
138. რიცხვთა სიმრავლე (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) ქმნის ნარჩენების მოდულო 11 სრულ სისტემას?
139. ნარჩენების რამდენი კლასის მოდულო 21 ეკუთვნის ყველა ნარჩენს ნარჩენების ერთი კლასის მოდულო 7?
140. მთელი რიცხვების სიმრავლე ზგანაწილება ნარჩენების კლასების მიხედვით მოდული 5. შეადგინეთ შეკრება და გამრავლების ცხრილები ნარჩენების კლასების ნაკრებში ზ 5 . არის კომპლექტი ზ 5: ა) ჯგუფი კლასის დამატების ოპერაციით? ბ) ჯგუფი კლასის გამრავლების მოქმედებით?
§ 7. ეილერის თეორემა. ფერმატის პატარა თეორემა
ძირითადი ინფორმაცია თეორიიდან
7. 1. თეორემა 1.
ᲗუÎ ზ,ტÎ ნ, ტ>1 და(ა;ტ) = 1, – შემდეგ ძალათა უსასრულო თანმიმდევრობით ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... , ას,…, ატ,… არის მინიმუმ ორი ძალა s და t მაჩვენებლებით(ს<ტ) ისეთივე როგორც . (*)
7. 2. კომენტარი. აღმნიშვნელი ტ– ს = კ> 0, (*)-დან ვიღებთ: . ამ შედარების ორივე მხარის ძალაუფლებაზე აყვანა ნÎ ნ, ვიღებთ: (**). ეს ნიშნავს, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობის ძალა ა, დამაკმაყოფილებელი შედარება (**). მაგრამ როგორიპოვე ეს მაჩვენებლები? Რა სულ მცირემაჩვენებელი, რომელიც აკმაყოფილებს შედარებას (**) ? პირველ კითხვაზე პასუხობს ეილერის თეორემა(1707 – 1783).
7. 3. ეილერის თეორემა.
ᲗუÎ ზ,ტÎ ნ, ტ>1 და(ა;ტ) = 1, - მაშინ . (13)
მაგალითი. დაე ა = 2,ტ = 21, (ა; ტ) = (2; 21) = 1. შემდეგ . ვინაიდან j (21) = 12, მაშინ 2 12 º 1 (mod 21). მართლაც: 2 12 = 4096 და (4096 - 1) 21. მაშინ აშკარაა, რომ 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) და ა.შ. მაგრამ არის 12-ის მაჩვენებელი - სულ მცირედამაკმაყოფილებელი შედარება 2 ნº 1 (მოდიფიკაცია 21) ? თურმე არა. ყველაზე დაბალი მაჩვენებელიიქნება პ= 6: 2 6 º 1 (mod 21), რადგან 2 6 – 1 = 63 და 63 21. გაითვალისწინეთ, რომ სულ მცირესაძიებელი ინდექსი მხოლოდ რიცხვის გამყოფებს შორის j( ტ) (ამ მაგალითში j(21) = 12 რიცხვის გამყოფებს შორის).
7. 4. ფერმას პატარა თეორემა (1601 - 1665 წწ).
ნებისმიერი მარტივი რიცხვისთვის p და ნებისმიერი რიცხვისთვისÎ ზ, არ იყოფა პ-ზე, არის შედარება . (14)
მაგალითი. დაე ა = 3,რ= 5, სადაც 3 არ არის 5. მაშინ ან .
7. 5. ფერმას თეორემის განზოგადება.
ნებისმიერი მარტივი რიცხვისთვის p და თვითნებური რიცხვისთვის aÎ Z შედარებულია (15)
ტიპიური ამოცანები
1. დაამტკიცეთ, რომ 38 73 º 3 (mod 35).
გამოსავალი.
1) ვინაიდან (38; 35) = 1, მაშინ ეილერის თეორემით ; j(35) = 24, ასე
(1).
2) შედარებიდან (1), დასკვნა 2-ით, რიცხვითი შედარებების თვისებები 5 0, გვაქვს:
3) შედარებიდან (2), თვისების 1 დასკვნის მიხედვით 5 0 შედარება: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (დღე 35), რაც დასამტკიცებელი იყო.
2. მოცემული: ა = 4, ტ= 15. იპოვეთ უმცირესი მაჩვენებელი კ, დამაკმაყოფილებელი შედარება (*)
გამოსავალი.
1) მას შემდეგ, რაც ( ა; მ) = (4; 25) = 1, შემდეგ ეილერის თეორემით , j(25) = 20, ასე .
2) არის თუ არა ნაპოვნი მაჩვენებელი - რიცხვი 20 - სულ მცირენატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს შედარებას (*)? თუ არის 20-ზე ნაკლები მაჩვენებელი, მაშინ ის უნდა იყოს 20-ის გამყოფი. აქედან გამომდინარე, საჭირო მინიმალური მაჩვენებელი კთქვენ უნდა მოძებნოთ უამრავ რიცხვს შორის ნ= (1, 2, 4, 5, 10, 20) - 20-ის გამყოფები.
3) როდის პ = 1: ;
ზე პ = 2: ;
ზე პ= 3: (არ არის საჭირო განხილვა);
ზე პ = 4: ;
ზე პ = 5: ;
ზე პ= 6, 7, 8, 9: (არ არის საჭირო განხილვა);
ზე პ = 10: .
Ისე, სულ მცირეექსპონენტი კ, დამაკმაყოფილებელი შედარება(*), არის კ= 10.
პასუხი: .
სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
141. ეილერის თეორემით . ზე ა = 3, ტ= 6 გვაქვს: .
ვინაიდან j(6) = 2, მაშინ 3 2 º1 (mod 6), ან 9º1 (mod 6), მაშინ, ლემის მიხედვით, (9 – 1) 6 ან 8 6 (სრულიად!?). სად არის შეცდომა?
142. დაამტკიცეთ, რომ: ა) 23 100 º1 (მოდ 101); ბ) 81 40 º 1 (mod100); გ) 2 73 º 2 (მოდ 73).
143. დაამტკიცეთ, რომ ა) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (მოდ 10);
ბ) 5 4 პ + 1 + 7 4პ+ 1 იყოფა 12-ზე ნაშთის გარეშე.
144. დაამტკიცეთ ეილერის თეორემის საპირისპირო თეორემა: თუ ა j ( მ) º 1 (მოდ მ), შემდეგ ( ვარ) =1.
145. იპოვე უმცირესი მაჩვენებელი კÎ N,დამაკმაყოფილებელია ეს შედარება: ა) ; ბ) ; in) ; გ) ;
ე) ; ე) ; და) ; თ) .
და) ; მდე) ; მ) ; მ) .
146. იპოვე გაყოფის ნაშთი:
ა) 11 7100; ბ) 5 9 900; გ) 5176 7-ით; დ) 2 1999 5-ით; ე) 8 377 5-ზე;
ვ) 26 57 35-ზე; ზ) 35 359 22-ზე; თ) 5718 103-ზე; ი) 27 260 40; კ) 25 1998 წელი 62.
147*. დაამტკიცე რომ ა 561 º ა(მოდიფიკაცია 11).
148*. თუ ნატურალური რიცხვის კანონიკური დაშლა პარ შეიცავს 2 და 5 ფაქტორებს, მაშინ ამ რიცხვის მე-12 ხარისხი მთავრდება 1-ით. დაამტკიცეთ.
149*. დაამტკიცეთ, რომ 2 64 º 16 (mod 360).
150*. დაამტკიცე: თუ ( ა, 65) =1 , (ბ, 65) =1, მაშინ ა 12 –ბ 12 თანაბრად იყოფა 65-ზე.
თავი 3. არითმეტიკული აპლიკაციები
რიცხვითი შედარებების თეორიები
§ 8. სისტემური რიცხვები
ძირითადი ინფორმაცია თეორიიდან
1. მთელი სისტემური რიცხვები
8. 1. განმარტება 1.
რიცხვითი სისტემა არის რიცხვების ჩაწერის ნებისმიერი გზა. ნიშნებს, რომლებითაც ეს რიცხვები იწერება, რიცხვები ეწოდება.
8. 2. განმარტება 2.
მთელი რიცხვი არაუარყოფითი სისტემური რიცხვი, რომელიც ჩაწერილია t-ary პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში არის ფორმის n რიცხვი.
,სადაც ი(მე = 0,1, 2,…, კ) – მთელი არაუარყოფითი რიცხვები - ციფრები, და 0 £ ა ი £ ტ– 1, t არის რიცხვითი სისტემის საფუძველი, tÎ N, t > 1.
მაგალითად, რიცხვის აღნიშვნა 7-იან სისტემაში არის: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. აქ ა ი- ეს არის 5, 6, 0, 3 - რიცხვები; ისინი ყველა აკმაყოფილებენ პირობას: 0 £ ა ი£ 6. როცა ტ=10 თქვი: ნომერი ნჩაწერილია ათობითი რიცხვების სისტემა,და ინდექსი t= 10 არ დაწერო.
8. 3. თეორემა 1.
ნებისმიერი არაუარყოფითი მთელი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი და უნიკალური გზით, როგორც სისტემატური რიცხვი ნებისმიერ t ბაზაში, სადაც tÎ N, t > 1.
მაგალითი:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Ჩაინიშნე:
1) მინიჭება მარცხნივ ნულების სისტემურ რაოდენობაზე არ იცვლებაეს ნომერი:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) სისტემური რიცხვის მიკუთვნება სნულები მარჯვნივ არის ექვივალენტი გამრავლებაამ ნომრისთვის თ ს: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. ჩაწერილი რიცხვის გარდაქმნის ალგორითმიტ -ary სისტემა, ათწილადამდე:
მაგალითი: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. ათწილადში ჩაწერილი რიცხვის გარდაქმნის ალგორითმი სისტემაში,ტ - პირადი:
მაგალითი: (3 9 1) 10 = (X) 12 . იპოვე X.
8. 7. მოქმედებები სისტემატურ რიცხვებზე
2. სისტემური წილადები
8. 8. განმარტება 3.
სასრულ t-ary სისტემატური წილადი რიცხვთა სისტემაში t ფუძით არის ფორმის რიცხვი
სადაც გ 0 Î ზ, i - ნომრებით– მთელი არაუარყოფითი რიცხვები, და 0 £ მე-სთან ერთად£ ტ– 1, ტÎ N, t > 1, კÎ ნ .
აღნიშვნა: a = ( გ 0 , თან 1 თან 2 …კ-თან ერთად)ტ. ზე ტ= 10 წილადს უწოდებენ ათობითი.
8. 9. შედეგი 1.
ყოველი სასრული სისტემატური წილადი არის რაციონალური რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც , სადაც აÎ ზ,ბÎ ნ.
მაგალითი. a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + რაციონალური რიცხვია. საპირისპირო განცხადება ზოგადად არ შეესაბამება სიმართლეს. მაგალითად, წილადი არ შეიძლება გარდაიქმნას სასრულ სისტემატურ (ათწილად) წილადად.
8.10. განმარტება 4.
უსასრულო t-არი დადებითი სისტემატური წილადი რიცხვთა სისტემაში t ფუძით არის ფორმის რიცხვი
, საიდან 0-დანÎ ნ, მე-სთან ერთად(მე =1, 2, …, რომ, …) - ნომრები– მთელი არაუარყოფითი რიცხვები, და 0 £ მე-სთან ერთად£ ტ–1, ტÎ N, t > 1, კÎ ნ.
აღნიშვნა: a = ( თან 0 , თან 1 თან 2 … კ-თან ერთად…) ტ. ზე ტ=10 წილადს უწოდებენ ათობითი.
8.11. განმარტება 5.
არსებობს უსასრულო სისტემატური წილადების სამი ტიპი:
მე = ( თან 0 , )ტ= = ტ, სადაც = = = … ამ შემთხვევაში, ნომერია ეწოდება უსასრულო წმინდა პერიოდული წილადი,(თან 1 თან 2 … კ-თან ერთად) – პერიოდი, k - რიცხვების რიცხვი პერიოდში - პერიოდის ხანგრძლივობა.
II a = .
ამ შემთხვევაში, ნომერი ა ეწოდება უსასრულო შერეული პერიოდული წილადი, – წინა პერიოდი, () – პერიოდი, k - რიცხვების რიცხვი პერიოდში - პერიოდის ხანგრძლივობა, l - რიცხვების რაოდენობა მთელ რიცხვსა და პირველ წერტილს შორის - წინა პერიოდის სიგრძე.
III a = ( თან 0 , თან 1 თან 2 … კ-თან ერთად …)ტ . ამ შემთხვევაში, ნომერია უსასრულო არაპერიოდული წილადი ეწოდება.
ტიპიური ამოცანები
1. ნომერი ( ა) 5 = (2 1 4 3) 5, მოცემული 5-წლიან სისტემაში, ითარგმნება 7-იან სისტემაში, ანუ იპოვე X, თუ (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
გამოსავალი.
1) გადააქციეთ მოცემული რიცხვი (2 1 4 3) 5 რიცხვად ( ზე) 10 დაწერილი ათობითი სისტემაში:
2. მიჰყევით ნაბიჯებს:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
გამოსავალი.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Შენიშვნა: | 4+5 = 9 = 1×6+3, იწერება 3, 1 გადადის შემდეგ ციფრზე, 6+3+1=10 =1×6+4, იწერება 4, 1 მიდის შემდეგ ციფრზე, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, იწერება 2, 1 გადადის შემდეგ ციფრზე. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Შენიშვნა: | "დაიკავა" უმაღლესი რანგის ერთეული, ანუ "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5, |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Შენიშვნა: | 2-ზე გამრავლებისას: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, ვწერთ 1, 1 გადადის შემდეგ ციფრზე, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, ვწერთ 0, 1 მიდის შემდეგი ციფრი, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, იწერება 4, 1 გადადის შემდეგ ციფრზე, 3-ზე გამრავლებისას: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, იწერება 4, 1. გადადის შემდეგ ციფრზე, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, იწერება 2, შემდეგ ციფრზე 1, 3×4 +1=13=2×5 +3, იწერება 3, 2 გადადის შემდეგ ციფრზე. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 პასუხი: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
151. მოცემული რიცხვები ტ-ary სისტემა, გადაიყვანეთ ათობითი სისტემაში:
ა) (2 3 5) 7; ბ) (2 4 3 1) 5 ; გ) (1 0 0 1 0 1) 2; დ) (1 3) 15;
ე) (2 7) 11; ვ) (3 2 5 4) 6 ; ზ) (1 5 0 1 3) 8; თ) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
ი) (7 6 2) 8; კ) (1 1 1 1) 20 .
152. რიცხვები. მოცემულია ათობითი სისტემაში, გადაიყვანეთ ტ-ic სისტემა. გააკეთეთ შემოწმება.
ა) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; ბ) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; გ) (3 7) 10 = ( X) 2 ; დ) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
ე) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; ვ) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; ზ) (5 0 0) 10 = ( X) რვა ; თ) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
ი)(1 0 0 1 5) 10 =( X) ოცი ; j) (9 2 5) 10 = ( X) რვა ; ლ) (6 3 3) 10 = ( X) თხუთმეტი; მ) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. მოცემული რიცხვები ტ-ary სისტემა, თარგმნა შევიდა ქ-ic სისტემა (ათწილადის სისტემის გავლით).
ა) (3 7) 8 = ( X) 3 ; ბ) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; გ) (6 2) 11 = ( X) 4 ;
დ) (4 ) 12 = ( X) 9 . ე) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. ა) როგორ შეიცვლება რიცხვი (1 2 3) 5, თუ მას მარჯვნივ ნული დაემატება?
ბ) როგორ შეიცვლება რიცხვი (5 7 6) 8, თუ მას მარჯვნივ ორი ნული დაემატება?
155. მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:
ა) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; ბ) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; გ) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2;
დ) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; ე) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; ვ) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7;
ზ) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; თ) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; ი) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7;
კ) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; ლ) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; მ) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
მ) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; პ) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; ო) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; გ) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; ვ) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; თ) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × ბ 1 შემდეგ:
მე თუ მნიშვნელი ბ = ბ"(შეიცავს მხოლოდ "2" და/ან "5") - შემდეგ წილადი გარდაიქმნება საბოლოოათობითი წილადი. ათობითი ადგილების რაოდენობა უდრის უმცირეს ნატურალურ რიცხვს ლ ლº 0( mod b").
II თუ მნიშვნელი ბ = ბ 1(არ შეიცავს "2" და "5"), მაშინ წილადი გარდაიქმნება უსასრულო წმინდა პერიოდულიუდრის უმცირეს ნატურალურ რიცხვს კდამაკმაყოფილებელი შედარება 10 კº 1 ( mod b 1).
III თუ მნიშვნელი ბ = ბ"× ბ 1 (შეიცავს "2" და/ან "5", ისევე როგორც სხვა პირველ ფაქტორებს), შემდეგ წილადი გარდაიქმნება უსასრულო შერეული პერიოდულიათი -
მონიშნული წილადი.
პერიოდის ხანგრძლივობა უდრის უმცირეს ნატურალურ რიცხვს კდამაკმაყოფილებელი შედარება 10 კº 1 ( mod b 1).
წინა პერიოდის სიგრძე უდრის უმცირეს ნატურალურ რიცხვს ლდამაკმაყოფილებელი შედარება 10 ლº 0( mod b").
9. 2. დასკვნები.
9. 3. Ჩაინიშნე:
რაციონალური რიცხვი არის ნებისმიერი სასრული ათობითი წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი;
ირაციონალური რიცხვი არის ნებისმიერი უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი.
ტიპიური ამოცანები
1. ეს საერთო წილადები, რომლებიც იწერება ათობითი სისტემაში, გარდაიქმნება
ათობითი, ადრედაადგინა სასურველი წილადის ტიპი (სასრული ან უსასრულო; პერიოდული ან არაპერიოდული; თუ - პერიოდული, მაშინ წმინდა პერიოდული ან შერეული პერიოდული); ამ უკანასკნელ შემთხვევებში წინასწარ მოძებნანომერი კ- პერიოდის ხანგრძლივობა და რიცხვი ლარის წინა პერიოდის ხანგრძლივობა. ერთი); 2) ; 3).
გამოსავალი.
1) წილადი = მნიშვნელი - რიცხვი ბ= 80 = 2 4 × 5 შეიცავს მხოლოდ "2" და "5". ამიტომ, ეს წილადი გარდაიქმნება საბოლოოათობითი წილადი. ათობითი ადგილების რაოდენობა მე სახელიგანისაზღვრება მდგომარეობიდან: 10 ლº0 (mod80):
2) წილადი = მნიშვნელი - რიცხვი ბ= 27 = 3 3 არ შეიცავს "2" და "5". ამიტომ, ეს წილადი გარდაიქმნება უსასრულოდ წმინდა პერიოდულიათობითი წილადი. პერიოდის ხანგრძლივობა კ სახელიგანისაზღვრება მდგომარეობიდან: 10 კº1 (mod27):
3) წილადი = მნიშვნელი - რიცხვი ბ= 24 = 2 3 × 3, ანუ ასე გამოიყურება: ბ = ბ"× ბ 1 (გარდა "2" ან "5" შეიცავს სხვა ფაქტორებს, ამ შემთხვევაში რიცხვს 3). ამიტომ, ეს წილადი გარდაიქმნება უსასრულოდ შერეული პერიოდულიათობითი წილადი. პერიოდის ხანგრძლივობა კ სახელიგანისაზღვრება მდგომარეობიდან: 10 კº1 (mod3), საიდანაც კ სახელი= 1, ანუ პერიოდის ხანგრძლივობა კ= 1. წინა პერიოდის ხანგრძლივობა მე სახელიგანისაზღვრება მდგომარეობიდან: 10 ლº0 (mod8), საიდანაც მე სახელი= 3, ანუ წინა პერიოდის ხანგრძლივობა ლ = 3.
შეამოწმეთ: გაყავით "კუთხე" 5 24-ზე და მიიღეთ: = 0, 208 (3).
პასუხი: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
156. ეს ჩვეულებრივი წილადები, რომლებიც იწერება ათობითი სისტემაში, გარდაიქმნება ათობითი წილადებად. თუ ათობითი რიცხვი პერიოდულია, მაშინ ადრეიპოვე ნომერი კ- პერიოდის ხანგრძლივობა და რიცხვი ლ- წინა პერიოდის ხანგრძლივობა.
157. ათობითი სისტემაში ჩაწერილი ეს ჩვეულებრივი წილადები გარდაიქმნება ტ-არი სისტემატური წილადები. იპოვეთ ნომრები კ- პერიოდის ხანგრძლივობა და ლ- წინა პერიოდის ხანგრძლივობა.
158*. რომელ რიცხვთა სისტემაში იწერება რიცხვი (4 6) 10 იმავე რიცხვებში, მაგრამ ში
საპირისპირო თანმიმდევრობა?
159*. რომელია უფრო დიდი: მე-8 ციფრის ერთეული ორობით სისტემაში თუ მე-4 ციფრის ერთეული რვავიან სისტემაში?
§ 10. პასკალის თეორემა. გაყოფის ნიშნები
ძირითადი ინფორმაცია თეორიიდან
10. 1. პასკალის თეორემა (1623 – 1662).
ნატურალური რიცხვები მოცემულია: t > 1და n, დაწერილი t-ary სისტემაში:
,სადაც a i არის რიცხვები: a iÎ N, 0 £ ა ი £ ტ–1 (მე = 0,1, 2,…, კ), ტÎ N, t > 1.
დაე ნ= (a k a k - 1 … ა 1 ა 0) 10 = კ× 10 კ +კ - 1×10 კ- 1 +…+ა 1×10+ ა 0 , მ=3 და მ = 9.
1) იპოვნეთ ბ ი: მოდულიმ = 3 მოდულიმ = 9
10 0 º1 (mod3), ე.ი. ბ 0 =1, 10 0 º1 (mod9), ე.ი. ბ 0 =1,
10 1 º1 (mod3), ე.ი. ბ 1 =1, 10 1 º1 (mod9), ე.ი. ბ 1 =1,
10 2 º1 (mod3), ე.ი. ბ 2 =1, 10 2 º1 (mod9), ე.ი. ბ
სრული ბილინგის სისტემა. გამოქვითვების მოცემული სისტემა. ყველაზე გავრცელებული დედუქციის სისტემებია: ყველაზე ნაკლებად დადებითი, ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი, აბსოლუტურად ყველაზე ნაკლები და ა.შ.
თეორემა 1. ნარჩენების სრული და შემცირებული სისტემის თვისებები.
1° გამოქვითვების სრული სისტემის კრიტერიუმები. ნებისმიერი კომბინაცია მმთელი რიცხვები, რომლებიც წყვილში შეუდარებელი მოდულებია მ, აყალიბებს ნარჩენების მოდულების სრულ სისტემას მ.
2°. თუ ნომრები x 1 , x 2 , ..., x მ- ნარჩენების მოდულის სრული სისტემა მ, (ა, მ) = 1, ბარის თვითნებური მთელი რიცხვი, შემდეგ რიცხვები ნაჯახი 1 +ბ, ნაჯახი 2 +ბ, ..., ნაჯახი მ+ბასევე წარმოადგენს ნარჩენების მოდულების სრულ სისტემას მ.
3°. შემცირებული შემცირების სისტემის კრიტერიუმი. ნებისმიერი კოლექცია, რომელიც შედგება j( მ) მთელი რიცხვები, რომლებიც წყვილში შეუდარებელი მოდულებია მდა კოპრაიმი მოდულთან ერთად, ქმნის ნარჩენების მოდულის შემცირებულ სისტემას მ.
4°. თუ ნომრები x 1 , x 2 , ..., x j ( მ) არის ნარჩენების მოდულის შემცირებული სისტემა მ, (ა, მ) = 1, შემდეგ რიცხვები ნაჯახი 1 , ნაჯახი 2 , ..., ნაჯახი j ( მ) ასევე წარმოადგენს ნარჩენების მოდულის შემცირებულ სისტემას მ.
თეორემა 2.ეილერის თეორემა.
თუ ნომრები ადა მ coprime, მაშინ ა j ( მ) º 1 (მოდ მ).
შედეგი.
1°. ფერმას თეორემა. Თუ გვარის მარტივი რიცხვი და აარ იყოფა გვ, მაშინ პ-1 º 1 (მოდ გვ).
2°. განზოგადებული ფერმას თეორემა. Თუ გვარის მარტივი რიცხვი, მაშინ პ º ა(მოდ გვ) ნებისმიერისთვის აÎ ზ .
§ ოთხი. ცვლადით შედარების ამოხსნა
შედარების გადაწყვეტილება. ეკვივალენტობა. შედარების ხარისხი.
თეორემა. კონგრუენციების ამონახსნების თვისებები.
1° კონგრუენციების ამონახსნები ნარჩენების მთელი კლასებია.
2°. (" კ)(კ º ბ კ(მოდ მ))Ù კშედარების = z º 0 (მოდ მ) და º 0 (მოდ მ) ექვივალენტები არიან.
3°. თუ შედარების ორივე ნაწილი გამრავლებულია მოდულთან თანაპირის რიცხვით, მაშინ მიიღება შედარება, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველის.
4°. ნებისმიერი შედარების მოდული პრიმი გვარის შედარების ტოლფასი, რომლის ხარისხი არ აღემატება გვ–1.
5°. შედარება º 0 (მოდ გვ), სადაც გვარის მარტივი რიცხვი, აქვს მაქსიმუმ ნსხვადასხვა გადაწყვეტილებები.
6°. ვილსონის თეორემა. ( ნ-ერთი)! º -1 (მოდ ნ) Û ნᲛარტივი რიცხვი.
§ 5. პირველი ხარისხის შედარებების ამოხსნა
ნაჯახი º ბ(მოდ მ).
თეორემა. 1°. Თუ ( ა, მ) = 1, მაშინ შედარებას აქვს გამოსავალი და ის უნიკალურია.
2°. Თუ ( ა, მ) = დდა ბარ იყოფა დ, მაშინ შედარებას არ აქვს გამოსავალი.
3°. Თუ ( ა, მ) = დდა ბიყოფა დ, მაშინ შედარება აქვს დსხვადასხვა ხსნარები, რომლებიც ქმნიან მოდულის ნარჩენების ერთ კლასს.
შედარებების ამოხსნის გზები ნაჯახი º ბ(მოდ მ) როდესაც ( ა, მ) = 1:
1) შერჩევა (გამოქვითვების სრული სისტემის ელემენტების ჩამოთვლა);
2) ეილერის თეორემის გამოყენება;
3) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენება;
4) კოეფიციენტების ცვალებადობა (თეორემა 2.2-დან ნარჩენების სრული სისტემის თვისების 2° გამოყენებით);
§6. პირველი ხარისხის განუსაზღვრელი განტოლებები
ნაჯახი+მიერ = გ.
თეორემა. განტოლება ნაჯახი+მიერ = გამოსახსნელია თუ და მხოლოდ თუ გ (ა, ბ).
Როდესაც ( ა, ბ) = 1 განტოლების ყველა ამონახსნი მოცემულია ფორმულებით
ტÎ ზ , სად x 0 არის შედარების გადაწყვეტა
ნაჯახი º გ(მოდ ბ), წ 0 = .
დიოფანტინის განტოლებები.
თავი 10. რთული რიცხვები
რთული რიცხვების სისტემის განმარტება. რთული რიცხვების სისტემის არსებობა
რთული რიცხვების სისტემის განმარტება.
თეორემა. რთული რიცხვების სისტემა არსებობს.
მოდელი: რ 2 ოპერაციებით
(ა, ბ)+(გ, დ) = (ა+გ, ბ+დ), (ა, ბ)×( გ, დ) = (აწ–ბდ, ძვ.წ+რეკლამა),
მე= (0, 1) და იდენტიფიკაცია ა = (ა, 0).
რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა
რთული რიცხვის წარმოდგენა ფორმაში ზ = ა+ბი, სად ა, ბÎ რ , მე 2 = -1. ასეთი წარმოდგენის უნიკალურობა. რე ზ, მე ზ.
კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების წესები.
არითმეტიკა ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე C ნ. წრფივი განტოლებათა სისტემები, მატრიცები და დეტერმინანტები C .
კვადრატული ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან ალგებრული ფორმით.
ნარჩენების სრული სისტემის ნაწილი (იხ. ნარჩენების სრული სისტემა), რომელიც შედგება მოდულის თანაპრომიული რიცხვებისგან. მ.პ.ს. in. შეიცავს φ( მ) რიცხვები [φ( მ) არის იმ რიცხვების რიცხვი, რომელთა თანაპირობაც არის მდა უფრო პატარა მ]. ნებისმიერი φ( მ) რიცხვები, რომლებიც არ არის შედარებადი მოდულით მდა შეასრულეთ მასთან ერთად, ჩამოაყალიბეთ P. s. in. ამ მოდულისთვის.
- - იხილეთ შემცირებული მასა...
ფიზიკური ენციკლოპედია
- - მოძრავ მექანიკაში მასების განაწილების პირობითი მახასიათებელი. ან შერეული სისტემა, დამოკიდებულია ფიზიკურზე. სისტემის პარამეტრები და მისი მოძრაობის კანონიდან...
ფიზიკური ენციკლოპედია
- - modulo m - მთელი რიცხვების ნებისმიერი ნაკრები, რომლებიც შეუდარებელია მოდულო ერთი. ჩვეულებრივ, როგორც პ. in. მოდული უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენები 0, 1, . . ...
მათემატიკური ენციკლოპედია
- - საცხოვრებელი კორპუსის გამოსაყენებელი ფართის ჯამი, ასევე ლოჯიების, ვერანდების, აივნების ფართობები შესაბამისი შემცირების ფაქტორებით - მოცემულია მთლიანი ფართობი - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen...
სამშენებლო ლექსიკონი
- - იხილეთ ქანების ფორიანობის კოეფიციენტი ...
- - კლდის ფორების მოცულობის თანაფარდობა კლდის ჩონჩხის მოცულობასთან, ჩვეულებრივ გამოხატული ერთეულის ფრაქციებში ...
ჰიდროგეოლოგიისა და საინჟინრო გეოლოგიის ლექსიკონი
- - იხილეთ ფორიანობის კოეფიციენტი...
ნიადაგმცოდნეობის განმარტებითი ლექსიკონი
- - იგივეა, რაც ბაზის ნაწილი...
- - მოძრავი სხეულების სისტემაში მასების განაწილების პირობითი ხასიათი, შემოღებული მექანიკაში სისტემის მოძრაობის განტოლებების გასამარტივებლად ...
დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი
- - ქვეყნის არარეზიდენტის მიერ მიღებულ დივიდენდებზე ან სხვა შემოსავალზე წყაროზე დაწესებული გადასახადი...
ფინანსური ლექსიკა
- - ქვეყნის არარეზიდენტის მიერ მიღებულ დივიდენდებზე ან სხვა შემოსავალზე წყაროზე დაწესებული გადასახადი...
ბიზნეს ტერმინების ლექსიკონი
- - modulo m, მთელი რიცხვების ნებისმიერი კოლექცია, რომელიც შეიცავს თითო რიცხვს რიცხვების თითოეული კლასიდან modulo m. როგორც პ.-სთან ერთად. in. ყველაზე ხშირად გამოყენებული სისტემა ყველაზე ნაკლებად დადებითი ნარჩენების 0, 1, 2,.....
- - მოძრავ მექანიკურ ან შერეულ სისტემაში მასების განაწილების პირობითი მახასიათებელი, რაც დამოკიდებულია სისტემის ფიზიკურ პარამეტრებზე და მისი მოძრაობის კანონზე ...
დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
- - შემცირებული მასა - მასების განაწილების პირობითი მახასიათებელი მოძრავ მექანიკურ ან შერეულ სისტემაში, რაც დამოკიდებულია სისტემის ფიზიკურ პარამეტრებზე და მისი მოძრაობის კანონზე ...
დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი
- - ზოგადი, ყველა, კუმულატიური, ...
სინონიმური ლექსიკონი
- - ადგ., სინონიმების რაოდენობა: 1 სუფთა ...
სინონიმური ლექსიკონი
„გამოქვითვების შემცირებული სისტემა“ წიგნებში
რა არის ძირითადი კომპეტენციების ამჟამინდელი ღირებულება?
წიგნიდან უწონო სიმდიდრე. განსაზღვრეთ თქვენი კომპანიის ღირებულება არამატერიალური აქტივების ეკონომიკაში ავტორი ტისენ რენერა არის ძირითადი კომპეტენციების ამჟამინდელი ღირებულება? ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ძირითადი კომპეტენციის ამჟამინდელი ღირებულება გამოითვლება ყველა ინდიკატორის გარკვეული დროით გამრავლებით, მოზიდვის ღირებულების გათვალისწინებით.
წმინდა ამჟამინდელი ღირებულება (NPV)
MBA წიგნიდან 10 დღეში. მსოფლიოს წამყვანი ბიზნეს სკოლების ყველაზე მნიშვნელოვანი პროგრამა ავტორი სილბიგერი სტეფანეწმინდა ამჟამინდელი ღირებულება (NPV) ამჟამინდელი ღირებულების (NPV) ანალიზი გვეხმარება გამოვთვალოთ რამდენი ინვესტიცია სჭირდება თანამშრომელს 30 წლის განმავლობაში ღირსეული პენსიის მისაღებად, მაგრამ ეს ანალიზი არ არის გამოსადეგი მიმდინარე ინვესტიციებისა და პროექტების შესაფასებლად. ინვესტიციები უნდა შეფასდეს
დეტალების აღრიცხვა და ხელფასიდან გამოქვითვა
წიგნიდან ბუღალტერია ავტორი მელნიკოვი ილიადეტალების აღიარება და გამოქვითვები ხელფასებიდან კანონმდებლობის შესაბამისად, დასაქმებულთა ხელფასიდან გამოქვითვები ხდება: - საშემოსავლო გადასახადი (სახელმწიფო გადასახადი, დაბეგვრის ობიექტი - ხელფასი);
10.6. გამოქვითვების აღრიცხვა და ხელფასიდან გამოქვითვები
წიგნიდან ბუღალტერია სოფლის მეურნეობაში ავტორი ბიჩკოვა სვეტლანა მიხაილოვნა10.6. გამოქვითვებისა და ხელფასიდან გამოქვითვის აღრიცხვა საწარმოს თანამშრომელთა ხელფასიდან კეთდება გარკვეული გამოქვითვები, რომლებიც იყოფა შემდეგნაირად: სავალდებულო გამოქვითვები (გადასახადი პირად შემოსავალზე, გამოქვითვები სააღსრულებო ორდერებზე);
წიგნიდან არამატერიალური აქტივები: ბუღალტრული აღრიცხვა და საგადასახადო აღრიცხვა ავტორი ზახარინი V რ<...>
4.1. სოციალური გადასახადის გამოქვითვის ზოგადი საკითხები
ავტორი მაკუროვა ტატიანა4.1. სოციალური გადასახადის გამოქვითვების უზრუნველყოფის ზოგადი საკითხები სოციალური გადასახადის გამოქვითვა (საგადასახადო კოდექსის 219-ე მუხლი), ისევე როგორც საცხოვრებლის შესაძენად ქონებრივი გამოქვითვა, ნიშნავს დასაბეგრი ბაზის შემცირებას გაწეული სოციალური ხარჯების ოდენობით. კანონმდებლობა
4.3. საგანმანათლებლო გამოქვითვების უზრუნველყოფის თავისებურებები
წიგნიდან თვითმმართველობის გაკვეთილი პირადი საშემოსავლო გადასახადების შესახებ ავტორი მაკუროვა ტატიანა4.3. საგანმანათლებლო გამოქვითვის მინიჭების თავისებურებები 142) რა ხარჯები შეიძლება მიღებულ იქნეს გამოქვითვად განათლებაზე? რა არის საგანმანათლებლო გამოქვითვის ლიმიტები განათლების სოციალური გადასახადის გამოქვითვაზე მიღებულია: ხარჯები გადასახადის გადამხდელის მიერ ქ.
3.4. საგადასახადო გამოქვითვების დადგომისა და გამოყენების სიხშირე და რაოდენობა
წიგნიდან საწარმოს საგადასახადო ტვირთი: ანალიზი, გაანგარიშება, მართვა ავტორი ჩიპურენკო ელენა ვიქტოროვნა3.4. საგადასახადო გამოქვითვების წარმოშობისა და გამოყენების სიხშირე და რაოდენობა 3.4.1. დღგ, როგორც პოტენციური საგადასახადო გამოქვითვა დღგ-ს გამოთვლისას საგადასახადო გამოქვითვის თანხები დგინდება მხოლოდ საგადასახადო აღრიცხვის რეესტრების - შესყიდვების წიგნების მონაცემების მიხედვით. ზე
გამოქვითვების სრული სისტემა
ავტორის წიგნიდან დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია (PO). TSBშემცირებული მასა
TSBგამოქვითვების შემცირებული სისტემა
ავტორის წიგნიდან დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია (PR). TSB88. ერთდროულ განტოლებათა სისტემის სტრუქტურული და შემცირებული ფორმები. მოდელის იდენტიფიკაცია
წიგნიდან პასუხები საგამოცდო ბილეთებზე ეკონომიკაში ავტორი იაკოვლევა ანჯელინა ვიტალიევნა88. ერთდროულ განტოლებათა სისტემის სტრუქტურული და შემცირებული ფორმები. მოდელის იდენტიფიკაცია სტრუქტურული განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც ქმნიან ერთდროული განტოლებების თავდაპირველ სისტემას. ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს სტრუქტურული ფორმა.სტრუქტურული ფორმა
წიგნიდან ახალი საგადასახადო კოდექსში: კომენტარი 2008 წელს ძალაში შესული ცვლილებების შესახებ ავტორი ზრელოვი ალექსანდრე პავლოვიჩიმუხლი 172. საგადასახადო გამოქვითვის გამოყენების წესი
ავტორი ავტორი უცნობიამუხლი 172
წიგნიდან რუსეთის ფედერაციის საგადასახადო კოდექსი. ნაწილები პირველი და მეორე. ტექსტი ცვლილებებითა და დამატებებით 2009 წლის 1 ოქტომბრის მდგომარეობით ავტორი ავტორი უცნობიამუხლი 201. საგადასახადო გამოქვითვის გამოყენების წესი