სიბრტყეში წრფეების რომელი წყვილია პარალელური. პარალელური ხაზები სიბრტყეში და სივრცეში. პირადი ინფორმაციის დაცვა
თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.
პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.
თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.
ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.
რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:
- საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.
როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:
- ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
- დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
- ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
- თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.
გამჟღავნება მესამე პირებისთვის
ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.
გამონაკლისები:
- იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
- რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.
პირადი ინფორმაციის დაცვა
ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.
თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე
იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.
სიბრტყეში წრფეებს უწოდებენ პარალელურს, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები, ანუ ისინი არ იკვეთებიან. პარალელურობის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სპეციალური ხატი || (პარალელური ხაზები a || b).
სივრცეში მყოფი ხაზებისთვის საკმარისი არ არის მოთხოვნა, რომ არ იყოს საერთო წერტილები - იმისათვის, რომ ისინი პარალელურად იყვნენ სივრცეში, ისინი უნდა ეკუთვნოდნენ იმავე სიბრტყეს (თორემ ისინი დახრილები იქნებიან).
თქვენ არ გჭირდებათ შორს წასვლა პარალელური ხაზების მაგალითებისთვის, ისინი ყველგან თან ახლავს ჩვენთან ერთად, ოთახში ეს არის კედლის გადაკვეთის ხაზები ჭერთან და იატაკთან, ნოუთბუქის ფურცელზე არის საპირისპირო კიდეები და ა.შ.
აშკარაა, რომ ორი წრფის პარალელურად და მესამე წრფის პარალელურად პირველი ორიდან ერთ-ერთის პარალელურად, ის მეორეს პარალელურად იქნება.
სიბრტყეში პარალელური ხაზები დაკავშირებულია დებულებით, რომლის დამტკიცება შეუძლებელია პლანიმეტრიის აქსიომების გამოყენებით. იგი მიღებულია როგორც ფაქტი, როგორც აქსიომა: სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს სწორ ხაზზე, არის ერთი სწორი ხაზი, რომელიც გადის მასში მოცემულის პარალელურად. ყველა მეექვსე კლასელმა იცის ეს აქსიომა.
მისი სივრცითი განზოგადება, ანუ მტკიცება, რომ სივრცის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს წრფეზე, არის უნიკალური ხაზი, რომელიც გადის მასში მოცემულის პარალელურად, ადვილად დამტკიცდება პარალელიზმის უკვე ცნობილი აქსიომის გამოყენებით. თვითმფრინავი.
პარალელური წრფეების თვისებები
- თუ ორი პარალელური წრფედან რომელიმე პარალელურია მესამესთან, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.
პარალელურ ხაზებს აქვთ ეს თვისება როგორც სიბრტყეში, ასევე სივრცეში.
მაგალითად, განვიხილოთ მისი დასაბუთება სტერეომეტრიაში.
დაე, b წრფეები იყოს a წრფის პარალელურად.
შემთხვევა, როდესაც ყველა წრფე ერთ სიბრტყეშია, დარჩება პლანიმეტრიას.
დავუშვათ, a და b მიეკუთვნება ბეტა სიბრტყეს, ხოლო გამა არის სიბრტყე, რომელსაც მიეკუთვნება a და c (სივრცეში პარალელიზმის განმარტებით, წრფეები უნდა ეკუთვნოდეს იმავე სიბრტყეს).
თუ დავუშვებთ, რომ ბეტა და გამა სიბრტყეები განსხვავდებიან და აღვნიშნავთ B წრფეზე გარკვეულ B წერტილს ბეტა სიბრტყიდან, მაშინ B წერტილიდან გავლებული სიბრტყე და წრფე c უნდა კვეთდეს ბეტა სიბრტყეს სწორ ხაზში (აღვნიშნავთ ის b1).
თუ მიღებული ხაზი b1 კვეთს გამა სიბრტყეს, მაშინ, ერთის მხრივ, გადაკვეთის წერტილი უნდა იყოს a-ზე, რადგან b1 ეკუთვნის ბეტა სიბრტყეს და მეორეს მხრივ, ის ასევე უნდა ეკუთვნოდეს c-ს, რადგან b1. ეკუთვნის მესამე თვითმფრინავს.
მაგრამ პარალელური წრფეები a და c არ უნდა იკვეთებოდეს.
ამრიგად, b1 წრფე უნდა ეკუთვნოდეს ბეტა სიბრტყეს და, ამავდროულად, არ ჰქონდეს საერთო წერტილები a-სთან, შესაბამისად, პარალელიზმის აქსიომის მიხედვით ემთხვევა b-ს.
მივიღეთ b1 წრფე, რომელიც ემთხვევა b წრფეს, რომელიც ეკუთვნის იმავე სიბრტყეს c წრფესთან და არ კვეთს მას, ანუ b და c პარალელურია.
- წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე მოცემული წრფის პარალელურად, მხოლოდ ერთი ხაზის გავლა შეიძლება.
- მესამეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე ორი სწორი ხაზი პარალელურია.
- თუ ორი პარალელური წრფედან ერთი კვეთს სიბრტყეს, მეორე წრფე კვეთს იმავე სიბრტყეს.
- მესამეს პარალელური ორი წრფის გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი შესაბამისი და ჯვარედინ დაწოლილი შიდა კუთხეები ტოლია, ამ შემთხვევაში წარმოქმნილი შიდა ცალმხრივთა ჯამი არის 180 °.
მართალია საპირისპირო დებულებებიც, რომლებიც შეიძლება მივიღოთ ორი სწორი ხაზის პარალელურობის ნიშნად.
პარალელური ხაზების მდგომარეობა
ზემოთ ჩამოყალიბებული თვისებები და ნიშნები ხაზების პარალელურობის პირობაა და მათი დამტკიცება შესაძლებელია გეომეტრიის მეთოდებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი ხელმისაწვდომი წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად საკმარისია დაამტკიცოთ მათი პარალელურობა მესამე წრფესთან ან კუთხეების ტოლობა, შესაბამისია თუ განლაგებული და ა.შ.
დასამტკიცებლად ძირითადად იყენებენ მეთოდს „კონტრადიციით“, ანუ იმ ვარაუდით, რომ ხაზები არ არის პარალელური. ამ ვარაუდიდან გამომდინარე, ადვილად ჩანს, რომ ამ შემთხვევაში ირღვევა მოცემული პირობები, მაგალითად, ჯვარედინ დაწოლილი შიდა კუთხეები არათანაბარი აღმოჩნდება, რაც დასტურდება დაშვების არასწორად.
ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები
თეორემა 1. თუ სეკანტის ორი წრფის გადაკვეთაზე:
დიაგონალურად დაწოლილი კუთხეები ტოლია, ან
შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ
ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).
მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის მტკიცებით.
დავუშვათ, რომ a და b წრფეების გადაკვეთაზე AB სეკანტით, დაწოლილი კუთხეები ტოლია. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.
დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. ∠ 4 იყოს ABM სამკუთხედის გარე კუთხე, ხოლო ∠ 6 შიდა კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.
დასკვნა 1. ერთი და იგივე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული ხაზი პარალელურია(ნახ. 2).
კომენტარი. გზა, რომელსაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდამდე დაყვანით. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან მსჯელობის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც საპირისპიროა (საპირისპირო) იმისა, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდობამდე დაყვანა იმიტომ ჰქვია, რომ გამოთქმული ვარაუდის საფუძველზე კამათით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდობა). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.
დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილზე და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.
გამოსავალი. ვხაზავთ p წრფეს A წრფის პერპენდიკულარულ M წერტილში (ნახ. 3).
შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის პერპენდიკულარულ p წრფეზე. ბ წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.
განხილული პრობლემისგან გამომდინარეობს მნიშვნელოვანი დასკვნა:
წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შეიძლება მოცემული წრფის პარალელურად წრფის დახატვა..
პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.
პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად.
განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც მოჰყვება ამ აქსიომას.
1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის კვეთს მეორეს (სურ. 4).
2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის პარალელურად, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).
შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.
თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე გადაკვეთილია სეკანტით, მაშინ:
დაწოლის კუთხეები ტოლია;
შესაბამისი კუთხეები ტოლია;
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
შედეგი 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.(იხ. სურ.2).
კომენტარი. თეორემა 2-ს ეწოდება თეორემა 1-ის ინვერსია. 1-ლი თეორემის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო 1-ლი თეორემა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ თუ მოცემული თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი.
ეს ავხსნათ ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. შებრუნებული თეორემა ასეთი იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე საერთოდ არ უნდა იყოს ვერტიკალური.
მაგალითი 1ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვე ეს კუთხეები.
გამოსავალი. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.
ამ სტატიაში ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე, მივცემთ განმარტებებს, აღვნიშნავთ პარალელიზმის ნიშნებსა და პირობებს. თეორიული მასალის სიცხადისთვის გამოვიყენებთ ილუსტრაციებს და ტიპიური მაგალითების ამოხსნას.
განმარტება 1პარალელური ხაზები სიბრტყეშიარის ორი სწორი ხაზი სიბრტყეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.
განმარტება 2
პარალელური ხაზები 3D სივრცეში- ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.
უნდა აღინიშნოს, რომ სივრცეში პარალელური ხაზების დასადგენად ძალიან მნიშვნელოვანია განმარტება „იგივე სიბრტყეში წევა“: ორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის. პარალელური, მაგრამ გადამკვეთი.
პარალელური ხაზების აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლო ∥ . ანუ, თუ მოცემული წრფეები a და b პარალელურია, ეს პირობა მოკლედ უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: a ‖ b . სიტყვიერად, წრფეების პარალელურობა მითითებულია შემდეგნაირად: a და b წრფეები პარალელურია, ან წრფე a პარალელურია b წრფესთან, ან b წრფე პარალელურია a წრფესთან.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შესასწავლ თემაში.
აქსიომა
წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად. ეს განცხადება არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე.
იმ შემთხვევაში, როდესაც საქმე ეხება სივრცეს, თეორემა მართალია:
თეორემა 1
სივრცის ნებისმიერი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი იქნება.
ეს თეორემა ადვილი დასამტკიცებელია ზემოაღნიშნული აქსიომის საფუძველზე (გეომეტრიის პროგრამა 10-11 კლასებისთვის).
პარალელურობის ნიშანი არის საკმარისი პირობა, რომლითაც პარალელური ხაზები გარანტირებულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია პარალელურობის ფაქტის დასადასტურებლად.
კერძოდ, სიბრტყეში და სივრცეში წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობებია. განვმარტოთ: აუცილებელი ნიშნავს პირობას, რომლის შესრულებაც აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის; თუ ის არ არის დაკმაყოფილებული, ხაზები არ არის პარალელური.
შეჯამებით, წრფეთა პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ისეთი პირობა, რომლის დაცვაც აუცილებელია და საკმარისია წრფეები ერთმანეთის პარალელურად იყოს. ერთის მხრივ, ეს არის პარალელიზმის ნიშანი, მეორეს მხრივ, პარალელური ხაზების თანდაყოლილი თვისება.
სანამ საჭირო და საკმარისი პირობების ზუსტ ფორმულირებას მოვახდენთ, კიდევ რამდენიმე დამატებით კონცეფციას გავიხსენებთ.
განმარტება 3
სკანტური ხაზიარის ხაზი, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა.
ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას სეკანტი ქმნის რვა გაშლილ კუთხეს. აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოსაყალიბებლად გამოვიყენებთ ისეთ ტიპის კუთხეებს, როგორიცაა ჯვარედინი, შესაბამისი და ცალმხრივი. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ილუსტრაციაში:
თეორემა 2
თუ სიბრტყეზე ორი წრფე კვეთს სეკანტს, მაშინ მოცემული წრფეები რომ იყოს პარალელურად აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს 180-ის ტოლი. გრადუსი.
მოდით გრაფიკულად წარმოვადგინოთ სიბრტყეზე პარალელური ხაზების აუცილებელი და საკმარისი პირობა:
ამ პირობების დადასტურება მოცემულია გეომეტრიის პროგრამაში 7-9 კლასებისთვის.
ზოგადად, ეს პირობები ასევე გამოიყენება სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, იმ პირობით, რომ ორი ხაზი და სეკანტი მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.
მოდით აღვნიშნოთ კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.
თეორემა 3
სიბრტყეში მესამის პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. ეს თვისება დასტურდება ზემოაღნიშნული პარალელიზმის აქსიომის საფუძველზე.
თეორემა 4
სამგანზომილებიან სივრცეში მესამეს პარალელურად ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.
ატრიბუტის დადასტურება შესწავლილია მე-10 კლასის გეომეტრიის პროგრამაში.
ჩვენ ვაძლევთ ამ თეორემების ილუსტრაციას:
მივუთითოთ კიდევ ერთი წყვილი თეორემები, რომლებიც ადასტურებენ წრფეების პარალელურობას.
თეორემა 5
სიბრტყეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.
თეორემა 6
სამგანზომილებიან სივრცეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.
მოდით ილუსტრაციით:
ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა, ნიშანი და პირობა შესაძლებელს ხდის გეომეტრიის მეთოდებით მოხერხებულად დავამტკიცოთ ხაზების პარალელურობა. ანუ წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ვაჩვენოთ ის ფაქტი, რომ ორი მოცემული წრფე პერპენდიკულარულია მესამეზე და ა.შ. მაგრამ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ხშირად უფრო მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად.
მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი
მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი განისაზღვრება ერთ-ერთი შესაძლო ტიპის სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებით. ანალოგიურად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემული სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში შეესაბამება სწორი ხაზის ზოგიერთ განტოლებას სივრცეში.
მოდით დავწეროთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმისთვის საჭირო და საკმარისი პირობები მოცემული წრფეების აღწერის განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე.
დავიწყოთ სიბრტყეში პარალელური წრფეების მდგომარეობით. იგი ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის და სიბრტყეში წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებებს.
თეორემა 7
იმისთვის, რომ სიბრტყეზე ორი არადამთხვევა წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან მოცემული წრფეების ნორმალური ვექტორები, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული. მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი.
აშკარა ხდება, რომ სიბრტყეზე პარალელური წრფეების მდგომარეობა ეფუძნება კოლინარული ვექტორების მდგომარეობას ან ორი ვექტორის პერპენდიკულარობის პირობას. ანუ, თუ a → = (a x , a y) და b → = (b x, b y) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები;
და n b → = (n b x, n b y) არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შემდეგ ზემოაღნიშნულ აუცილებელ და საკმარის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ან n a → = t n b → ⇔ n a x. = t n b x n a y = t n b y ან a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, სადაც t არის რეალური რიცხვი. მიმართულების ან პირდაპირი ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფეების მოცემული განტოლებებით. განვიხილოთ ძირითადი მაგალითები.
- მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a წრფე განისაზღვრება წრფის ზოგადი განტოლებით: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; ხაზი b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (A 1 , B 1) და (A 2 , B 2) შესაბამისად. პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- სწორი ხაზი a აღწერილია სწორი ხაზის განტოლებით y = k 1 x + b 1 ფორმის დახრილობით. სწორი ხაზი b - y \u003d k 2 x + b 2. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (k 1 , - 1) და (k 2 , - 1) შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
ამრიგად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე პარალელური ხაზები მოცემულია დახრილობის კოეფიციენტებით განტოლებით, მაშინ მოცემული წრფეების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და საპირისპირო დებულება მართალია: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები განისაზღვრება იმავე დახრილობის კოეფიციენტების მქონე წრფის განტოლებით, მაშინ ეს მოცემული ხაზები პარალელურია.
- მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a და b წრფეები მოცემულია სიბრტყეზე წრფის კანონიკური განტოლებებით: x - x 1 a x = y - y 1 a y და x - x 2 b x = y - y 2 b y ან პარამეტრული განტოლებებით. სიბრტყეზე წრფის: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y და x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
მაშინ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იქნება: a x , a y და b x , b y შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:
a x = t b x a y = t b y
მოდით შევხედოთ მაგალითებს.
მაგალითი 1
მოცემულია ორი ხაზი: 2 x - 3 y + 1 = 0 და x 1 2 + y 5 = 1. თქვენ უნდა დაადგინოთ არის თუ არა ისინი პარალელური.
გამოსავალი
ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში ზოგადი განტოლების სახით:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
ჩვენ ვხედავთ, რომ n a → = (2, - 3) არის წრფის ნორმალური ვექტორი 2 x - 3 y + 1 = 0 , და n b → = 2 , 1 5 არის x 1 2 + y 5 წრფის ნორმალური ვექტორი. = 1.
შედეგად მიღებული ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს t-ის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
ამრიგად, სიბრტყეზე ხაზების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.
პასუხი:მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.
მაგალითი 2
მოცემული ხაზები y = 2 x + 1 და x 1 = y - 4 2 . ისინი პარალელურები არიან?
გამოსავალი
მოდით გადავიტანოთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x 1 \u003d y - 4 2 სწორი ხაზის განტოლებამდე დახრილობით:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
ჩვენ ვხედავთ, რომ y = 2 x + 1 და y = 2 x + 4 წრფეების განტოლებები არ არის იგივე (სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, წრფეები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები პარალელურია.
შევეცადოთ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად. პირველ რიგში, ვამოწმებთ, ემთხვევა თუ არა მოცემული ხაზები. ჩვენ ვიყენებთ y \u003d 2 x + 1 წრფის ნებისმიერ წერტილს, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება x 1 \u003d y - 4 2 წრფის განტოლებას, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები არ ემთხვევა.
შემდეგი ნაბიჯი არის მოცემული წრფეებისთვის პარალელურობის პირობის შესრულების დადგენა.
y = 2 x + 1 წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n a → = (2 , - 1) , ხოლო მეორე მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორი არის b → = (1 , 2) . ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
ამრიგად, ვექტორები პერპენდიკულარულია: ეს გვიჩვენებს იმ აუცილებელი და საკმარისი პირობის შესრულებას, რომ ორიგინალური ხაზები იყოს პარალელური. იმათ. მოცემული ხაზები პარალელურია.
პასუხი:ეს ხაზები პარალელურია.
სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.
თეორემა 8
სამგანზომილებიან სივრცეში ორი შეუსაბამო ხაზი რომ იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ხაზების მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინური.
იმათ. სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეთა მოცემული განტოლებისთვის პასუხი კითხვაზე: პარალელურები არიან თუ არა, გვხვდება მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრით, აგრეთვე მათი კოლინარობის მდგომარეობის შემოწმებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a → = (a x, a y, a z) და b → = (b x, b y, b z) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები, მაშინ იმისათვის, რომ ისინი იყოს პარალელური, არსებობა ასეთი რეალური რიცხვი t აუცილებელია, რათა ტოლობა იყოს:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
მაგალითი 3
მოცემული ხაზები x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 და x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. აუცილებელია ამ წრფეების პარალელურობის დამტკიცება.
გამოსავალი
ამოცანის პირობებია ერთი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეში და მეორე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში. მიმართულების ვექტორები a → და b → მოცემულ ხაზებს აქვთ კოორდინატები: (1 , 0 , - 3) და (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, შემდეგ a → = 1 2 b →.
ამიტომ, სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა დაკმაყოფილებულია.
პასუხი:დადასტურებულია მოცემული წრფეების პარალელურობა.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ისინი არ იკვეთებიან, რამდენ ხანსაც არ უნდა გააგრძელონ. სტრიქონების პარალელურობა წერილობით მითითებულია შემდეგნაირად: AB|| FROMე
ასეთი წრფეების არსებობის შესაძლებლობა დასტურდება თეორემით.
თეორემა.
მოცემული წრფის მიღმა აღებული ნებისმიერი წერტილის საშუალებით შეიძლება ამ წრფის პარალელის გავლება..
დაე ABეს ხაზი და FROMმის გარეთ აღებული რაღაც წერტილი. ამის დამტკიცებაა საჭირო FROMშეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი პარალელურადAB. მოდით ჩავაგდოთ ABწერტილიდან FROM პერპენდიკულარულიFROMდდა შემდეგ ჩვენ FROMე^ FROMდ, რა არის შესაძლებელი. პირდაპირ CEპარალელურად AB.
დასამტკიცებლად ჩვენ საპირისპიროს ვვარაუდობთ, ე.ი CEიკვეთება ABრაღაც მომენტში მ. მერე წერტილიდან მსწორ ხაზზე FROMდგვექნებოდა ორი განსხვავებული პერპენდიკულარი მდდა ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ, რაც შეუძლებელია. ნიშნავს, CEვერ გადაიკვეთება AB, ე.ი. FROMეპარალელურად AB.
შედეგი.
ორი პერპენდიკულარი (Cედად.ბ.) ერთ სწორ ხაზამდე (Сდ) პარალელურია.
პარალელური წრფეების აქსიომა.
ერთი და იმავე წერტილის გავლით შეუძლებელია ერთი და იმავე წრფის პარალელურად ორი განსხვავებული ხაზის დახატვა.
ასე რომ, თუ სწორი ხაზი FROMდ, შედგენილი მეშვეობით წერტილი FROMსწორი ხაზის პარალელურად AB, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ხაზი FROMეიმავე წერტილის გავლით FROM, არ შეიძლება იყოს პარალელური AB, ე.ი. ის აგრძელებს იკვეთებათან AB.
ამ არც თუ ისე აშკარა სიმართლის დადასტურება შეუძლებელი აღმოჩნდება. იგი მიღებულია მტკიცებულების გარეშე, როგორც აუცილებელი ვარაუდი (postulatum).
შედეგები.
1. თუ სწორი(FROMე) კვეთს ერთ-ერთს პარალელურად(სვ), შემდეგ ის იკვეთება მეორესთან ( AB), რადგან სხვაგვარად იმავე წერტილიდან FROMორი განსხვავებული სწორი ხაზი, პარალელურად AB, რაც შეუძლებელია.
2. თუ ყოველი ორი პირდაპირი (ადაბ) პარალელურია იმავე მესამე ხაზის ( FROM) , მაშინ ისინი პარალელურები არიანმათ შორის.
მართლაც, თუ ვივარაუდებთ, რომ ადა ბიკვეთება რაღაც მომენტში მ, მაშინ ორი განსხვავებული სწორი ხაზი, ერთმანეთის პარალელურად, გაივლიდა ამ წერტილს. FROM, რაც შეუძლებელია.
თეორემა.
Თუ სწორი ხაზი პერპენდიკულარულიაერთ-ერთ პარალელურ წრფესთან, მაშინ ის მეორეზე პერპენდიკულარულია პარალელურად.
დაე AB || FROMდდა EF ^ AB.ამის მტკიცება საჭიროა EF ^ FROMდ.
Პერპენდიკულარულიეფ, იკვეთება AB, აუცილებლად გადაიკვეთება და FROMდ. გადაკვეთის წერტილი იყოს ჰ.
დავუშვათ ახლა ეს FROMდარა პერპენდიკულარული ეჰ. შემდეგ სხვა ხაზი, მაგალითად HK, იქნება პერპენდიკულარული ეჰდა შესაბამისად იმავე წერტილის გავლით ჰორი სწორი პარალელურად AB: ერთი FROMდ, პირობით და სხვა HKროგორც ადრე დადასტურდა. ვინაიდან ეს შეუძლებელია, არ შეიძლება ვივარაუდოთ სვარ იყო პერპენდიკულარული ეჰ.