Matematikada aksiomatik usullar. Natural sonlar sistemasining aksiomatik qurilishi Natural sonning ta'rifi
Sayt materiallaridan foydalanish bo'yicha shartnoma
Iltimos, saytda chop etilgan asarlardan faqat shaxsiy maqsadlarda foydalaning. Materiallarni boshqa saytlarda chop etish taqiqlanadi.
Ushbu asar (va boshqa barcha) bepul yuklab olish mumkin. Siz uning muallifiga va sayt xodimlariga ruhan minnatdorchilik bildirishingiz mumkin.
Yaxshi ishingizni bilimlar bazasiga yuborish oddiy. Quyidagi shakldan foydalaning
Talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘z o‘qishlarida va ishlarida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdor bo‘lishadi.
Shunga o'xshash hujjatlar
Ketma-ketliklarni termin bo'yicha qo'shish va ko'paytirish sifatida aniqlangan p-adik butun sonlarni qo'shish va ko'paytirish. Butun p-adik sonlar halqasi, ularning bo'linish xossalarini o'rganish. Yangi matematik ob'ektlarni kiritish orqali bu raqamlarni tushuntirish.
muddatli ish, 22.06.2015 qo'shilgan
Odamlar hisoblashni qanday o'rganganligi, sonlarning paydo bo'lishi, sonlar va sanoq sistemalari. "Barmoqlar" bo'yicha ko'paytirish jadvali: 9 va 8 raqamlarini ko'paytirish texnikasi. Tez hisoblash misollari. Ikki xonali sonni 11, 111, 1111 va boshqalarga ko'paytirish usullari. va uch xonali raqam 999.
muddatli ish, 22.10.2011 qo'shilgan
Raqamlarni ko'paytirishning yangi usuli. Hisoblash paytida hosil bo'lgan raqamlar matritsasining uchburchak bilan o'xshashligi nisbiy, ammo baribir mavjud, ayniqsa uch xonali va undan yuqori raqamlarni ko'paytirishda. uchburchak matritsa.
maqola, 02/06/2005 qo'shilgan
referat, 2011-yil 13-01-da qo'shilgan
Matematikada tub sonlar ma’nosini o‘rganish tarixini ularning topilishini tavsiflash orqali tavsiflash. Pietro Kataldining tub sonlar nazariyasining rivojlanishiga qo'shgan hissasi. Eratosfenning tub sonlar jadvallarini tuzish usuli. Natural sonlarning qulayligi.
test, 24.12.2010 qo'shilgan
R ning izohlangan kichik to'plami sifatida manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar to'plami. Ko'paytiruvchi yarimguruhlarda bo'linish. Yarimguruhlarning sonli GCD va LCM tuzilishi. 0 va 1 bilan manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlarning multiplikativ yarimguruhlarini o'rganish.
dissertatsiya, 2008-05-27 qo'shilgan
Haqiqiy sonlarning xossalari, ularning matematika fanining rivojlanishidagi ahamiyati. Haqiqiy sonlar to'plamining qurilishini tarixiy jihatdan tahlil qilish. Kantor, Weiershtrass, Dedekind bo'yicha haqiqiy sonlar nazariyasini qurishga yondashuvlar. Ularning maktab kursida o'qishi.
taqdimot, 2011-09-10 qo'shilgan
Matematikaning asosiy elementlari. Natural sonlarning xossalari. Sonlar nazariyasi tushunchasi. Taqqoslash va algebraik tenglamalarning umumiy xossalari. Taqqoslash bilan arifmetik amallar. Arifmetikaning asosiy qonunlari. Arifmetik amallar natijalarini tekshirish.
kurs qog'ozi, 2015 yil 15 iyunda qo'shilgan
Ko'p ma'nolilik
Koʻp maʼnolilik yoki soʻzlarning noaniqligi tilning cheksiz xilma-xil voqelik bilan solishtirganda chegaralangan tizim ekanligidan kelib chiqadi, shuning uchun akademik Vinogradov taʼbiri bilan aytganda, “Til son-sanoqsiz soʻz turkumini tarqatishga majbur. asosiy tushunchalarning u yoki bu sarlavhasi ostidagi ma’nolar”. (Vinogradov "Rus tili" 1947). Bir leksik-semantik variantda so‘zlarning turlicha qo‘llanilishi bilan so‘zning haqiqiy farqini farqlash zarur. Shunday qilib, masalan, (das)Ol so'zi sigirdan tashqari bir qancha turli yog'larni anglatishi mumkin (bular uchun Sariyog' so'zi mavjud). Biroq, bundan kelib chiqadiki, har xil moylarni bildirgan holda, Ol so'zi har safar turli xil ma'noga ega bo'ladi: barcha holatlarda uning ma'nosi bir xil bo'ladi, ya'ni moy (sigirdan tashqari har qanday narsa). Shuningdek, masalan, Tisch jadvali so'zining ma'nosi, bu alohida holatda bu so'z qanday jadvalni bildirishidan qat'i nazar. Ol so'zi moy ma'nosini bildirsa, vaziyat boshqacha. Bu erda endi moyning moylash chizig'i bo'ylab turli xil moylar bilan o'xshashligi emas, balki moyning alohida sifati - yonuvchanligi birinchi o'ringa chiqadi. Shu bilan birga, yoqilg'ining har xil turlarini bildiruvchi so'zlar allaqachon Ol so'zi bilan bog'liq bo'ladi: Kohl, Holz va boshqalar. Bu bizga Ol so‘zidan ikki ma’noni (yoki boshqacha aytganda, ikkita leksik-semantik variantni) farqlash imkoniyatini beradi: 1) moy (hayvon emas) 2) moy.
Odatda yangi ma'nolar mavjud so'zlardan birini yangi narsa yoki hodisaga o'tkazish orqali paydo bo'ladi. Transfer qiymatlari shunday shakllanadi. Ular yoki ob'ektlarning o'xshashligiga yoki bir ob'ektning boshqasi bilan bog'lanishiga asoslanadi. Nom o'tkazishning bir necha turlari ma'lum. Ulardan eng muhimi metafora yoki metonimiyadir.
Metaforada ko'chirish narsalarning rangi, shakli, harakati va boshqalarning o'xshashligiga asoslanadi. Barcha metaforik o'zgarishlar bilan asl kontseptsiyaning ba'zi belgilari saqlanib qoladi
omonimiya
So'zning ko'p ma'noliligi shunchalik katta va ko'p qirrali muammoki, leksikologiyaning eng xilma-xil muammolari qandaydir tarzda u bilan bog'liq. Xususan, omonimiya muammosi ham o‘zining ayrim jihatlarida bu muammo bilan to‘qnash keladi.
Omonimlar bir xil, ammo ma'nosi har xil bo'lgan so'zlardir. Omonimlar ba'zi hollarda ularning yo'q qilish jarayonini boshdan kechirgan polisemiyasidan kelib chiqadi. Ammo omonimlar tasodifiy tovush tasodiflari natijasida ham paydo bo'lishi mumkin. Eshikni ochadigan kalit va kalit - buloq yoki o'roq - soch turmagi va o'roq - qishloq xo'jaligi asbobi - bu so'zlar turli xil ma'nolarga va turli xil kelib chiqishiga ega, lekin ularning ovozida tasodifan mos keladi.
Omonimlar leksik (nutqning bir qismiga ishora qiladi, masalan, kalit - qulfni ochish va kalit - buloq. manba) morfologik (nutqning turli qismlariga murojaat qiling, masalan, uch - son, uch - fe'l) ni ajratadi. buyruq maylida), leksik-grammatik, berilgan so‘zning boshqa gap bo‘lagiga o‘tishi natijasida konversiya natijasida hosil bo‘ladi. masalan ingliz tilida. ko'rinish va ko'rinish. Ayniqsa, ingliz tilida leksik va grammatik omonimlar juda ko'p.
Omofon va omograflarni omonimlardan farqlash kerak. Turli xil so'zlar omofonlar deb ataladi, ular yozilishida farqlanib, talaffuzida bir-biriga mos keladi, masalan: kamon - o'tloq, Seite - sahifa va Saite - tor.
Gomograflar shunday turli xil so'zlarki, imloda bir-biriga mos keladi, garchi ular har xil talaffuz qilinsa ham (tovush tarkibi va so'zdagi urg'u o'rni jihatidan), masalan, Qal'a - qal'a.
Sinonimiya
Sinonimlar ma'no jihatdan o'xshash, ammo bir xil tushunchaning soyalarini ifodalovchi turli xil tovushli so'zlar.
Sinonimlarning uch turi mavjud:
1. Kontseptual, yoki ideografik. Ular bir-biridan leksik ma'no jihatidan farq qiladi. Bu farq belgilangan belgining turli darajalarida (ayoz - sovuq, kuchli, kuchli, qudratli), uning belgilanish xususiyatida (ko'rpali ko'ylagi - kviling ko'ylagi - kviling ko'ylagi), ifodalangan tushuncha hajmida (banner -) namoyon bo'ladi. bayroq, shafqatsiz - qalin), leksik qiymatlarning bog'lanish darajasida (jigarrang - jigarrang, qora - qora).
2. Sinonimlar uslubiy yoki funksionaldir. Ular bir-biridan foydalanish sohasiga ko'ra farqlanadi, masalan, ko'zlar - ko'zlar, yuz - yuz, peshona - peshona. Sinonimlar hissiy - baholovchi. Bu sinonimlar so'zlovchining belgilangan shaxsga, narsaga yoki hodisaga munosabatini ochiq ifodalaydi. Masalan, bolani tantanali ravishda bola deb atash mumkin, mehr bilan o'g'il va kichkina bola, mensimasdan o'g'il va so'rg'ich, shuningdek, qat'iy ravishda - mensimay kuchukcha, so'rg'ich, jirkanch.
3. Antonim so`zlarning lug`aviy ma`nosiga ko`ra qarama-qarshi bo`lgan birikmalari, masalan: tepa - past, oq - qora, gapir - jim bo`l, baland ovozda - jim.
Antonimiya
Antonimlarning uch turi mavjud:
1. Asta-sekin va kelishilgan qarama-qarshiliklarning antonimlari, masalan, oq - qora, sokin - baland, yaqin - uzoq, mehribon - yovuz va hokazo. Ushbu antonimlar umumiy ma'noga ega, bu ularning qarama-qarshiligiga imkon beradi. Demak, qora va oq tushunchalari qarama-qarshi rang tushunchalarini bildiradi.
2. To‘ldiruvchi va konvertatsiya qiluvchi qarama-qarshiliklarning antonimlari: urush - tinchlik, er - xotin, turmush qurgan - bo'ydoq, mumkin - mumkin emas, yaqin - ochiq.
3. Tushunchalarning ikkiga bo‘linishining antonimlari. Ular ko'pincha bir xil o'zak so'zlardir: xalq - xalqqa qarshi, qonuniy - noqonuniy, insoniy - g'ayriinsoniy.
Foiz ham shunday deb ataladi. so'z ichidagi antonimiya, bir xil moddiy qobiqqa ega bo'lgan so'zlarning ma'nolari qarama-qarshi qo'yilganda. Masalan, rus tilida kimgadir qarzga pul berish fe’li “qarz bermoq” ma’nosini bildiradi, birovdan qarzga olish esa allaqachon birovdan qarz olmoq ma’nosini bildiradi. Maʼnolarning soʻz ichidagi qarama-qarshiligi enantiosemiya deyiladi.
6. Natural sonlar sistemasining aksiomatik qurilishi. Matematik nazariyani qurishning aksiomatik usuli. Aksiomalar tizimiga qo'yiladigan talablar: izchillik, mustaqillik, to'liqlik. Peano aksiomatikasi. Aksiomatik pozitsiyalardan natural son tushunchasi. Peano aksiomalari tizimining modellari. Natural sonlarni aksiomatik o'rinlardan qo'shish va ko'paytirish. Natural sonlar to'plamini tartiblash. Natural sonlar to'plamining xossalari. Natural sonlar to‘plamini aksiomatik pozitsiyalardan ayirish va bo‘lish. Matematik induksiya usuli. Nolni kiritish va manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini qurish. Qoldiq bilan bo'lish teoremasi.
Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Raqam - bu aniq miqdorning ifodasidir.
Natural son cheksiz davomli ketma-ketlikning elementi.
Natural sonlar (natural sonlar) - hisoblashda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan sonlar (ham sanab, ham hisob ma'nosida).
Natural sonlarni aniqlashning ikkita yondashuvi mavjud - bu raqamlar:
ob'ektlarni ro'yxatga olish (raqamlash) (birinchi, ikkinchi, uchinchi, ...);
ob'ektlar sonini belgilash (buyum yo'q, bitta buyum, ikkita narsa, ...).
Aksioma - bular ma'lum bir nazariyaning asosiy boshlang'ich nuqtalari (o'z-o'zidan ravshan tamoyillar) bo'lib, undan deduksiya yo'li bilan, ya'ni sof mantiqiy vositalar bilan ushbu nazariyaning qolgan barcha mazmuni chiqariladi.
Faqat ikkita bo'luvchiga (sonning o'zi va bitta) ega bo'lgan raqam deyiladi - oddiy raqam.
Kompozit raqam ikkidan ortiq boʻluvchiga ega boʻlgan son.
§2. Natural sonning aksiomatikasi
Natural sonlar jismlarni sanash va miqdorlarni oʻlchash yoʻli bilan olinadi. Ammo agar o'lchash paytida tabiiy raqamlardan boshqa raqamlar paydo bo'lsa, unda hisoblash faqat natural sonlarga olib keladi. Hisobni davom ettirish uchun sizga bittadan boshlanadigan va bir raqamdan ikkinchisiga va kerak bo'lganda ko'p marta o'tish imkonini beruvchi raqamlar ketma-ketligi kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga tabiiy seriyaning bir qismi kerak. Shuning uchun natural sonlar sistemasini asoslash masalasini hal qilishda birinchi navbatda natural qator elementi sifatida son nima degan savolga javob berish kerak edi. Bunga javob ikki matematikning asarlarida berilgan - Nemis Grassmann va italyan Peano. Ular aksiomatikani taklif qilishdi natural son cheksiz davom etuvchi ketma-ketlikning elementi sifatida oqlandi.
Natural sonlar tizimining aksiomatik qurilishi tuzilgan qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
Beshta aksiomani asosiy tushunchalarning aksiomatik ta'rifi sifatida ko'rish mumkin:
1 - natural son;
Keyingi natural son natural sondir;
1 hech qanday natural songa ergashmaydi;
Agar natural son bo'lsa a natural sondan keyin b va natural son uchun Bilan, keyin b va Bilan bir xil;
Agar biron bir taklif 1 uchun isbotlansa va natural son uchun to'g'ri degan farazdan kelib chiqsa n, shundan kelib chiqadiki, bu quyidagi uchun to'g'ri n natural son bo'lsa, bu taklif barcha natural sonlar uchun to'g'ri.
Birlik tabiiy qatorning birinchi raqamidir , shuningdek, o'nlik sanoq sistemasidagi raqamlardan biri.
Xuddi shu belgiga ega bo'lgan har qanday toifadagi birlikning belgilanishi (zamonaviyga juda yaqin) birinchi marta Qadimgi Bobilda miloddan avvalgi 2 ming yil ichida paydo bo'lgan deb ishoniladi. e.
Faqat natural sonlarni sonlar deb hisoblagan qadimgi yunonlar ularning har birini birliklar yig`indisi deb hisoblashgan. Birlikning o'ziga alohida o'rin beriladi: u raqam hisoblanmadi.
I. Nyuton shunday deb yozgan edi: “... son deganda biz birliklar yig‘indisini emas, balki biz shartli ravishda birlik sifatida qabul qilgan bir miqdorning boshqa miqdorga mavhum nisbatini tushunamiz”. Shunday qilib, birlik allaqachon boshqa raqamlar orasida o'zining munosib o'rnini egalladi.
Raqamlar ustidagi arifmetik amallar turli xossalarga ega. Ularni so'z bilan ta'riflash mumkin, masalan: "Atamalar o'rnini o'zgartirishdan yig'indi o'zgarmaydi". Harflar bilan yozilishi mumkin: a+b = b+a. Muayyan shartlarda ifodalanishi mumkin.
Biz arifmetikaning asosiy qonunlarini ko'pincha o'zimiz sezmagan holda qo'llaymiz:
1) kommutativ qonun (kommutativlik), - sonlarni qo'shish va ko'paytirish xossasi, aniqliklar bilan ifodalanadi:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) assotsiativ qonun (assotsiativlik), - sonlarni qo'shish va ko'paytirish xossasi, aniqliklar bilan ifodalanadi:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) taqsimot qonuni (taqsimlanish), - sonlarni qo'shish va ko'paytirishni bog'laydigan va o'ziga xosliklar bilan ifodalanadigan xususiyat:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Ko'paytirish ta'sirining kommutativ, assotsiativ va distributiv (qo'shishga nisbatan) qonunlarini isbotlagandan so'ng, natural sonlar ustida arifmetik amallar nazariyasini yanada qurish hech qanday fundamental qiyinchilik tug'dirmaydi.
Hozirgi vaqtda ongda yoki qog'ozda biz faqat eng oddiy hisob-kitoblarni bajaramiz, ko'pincha murakkabroq hisoblash ishlarini kalkulyatorlarga, kompyuterlarga ishonib topshiramiz. Biroq, barcha kompyuterlarning ishlashi - oddiy va murakkab - eng oddiy operatsiya - natural sonlarni qo'shishga asoslangan. Ma'lum bo'lishicha, eng murakkab hisob-kitoblarni qo'shishga qisqartirish mumkin, faqat bu operatsiyani millionlab marta bajarish kerak.
Matematikada aksiomatik usullar
Matematik mantiqning rivojlanishining asosiy sabablaridan biri keng tarqalgan aksiomatik usul turli matematik nazariyalarni qurishda, birinchi navbatda, geometriya, keyin esa arifmetika, guruhlar nazariyasi va boshqalar. Aksiomatik usul aniqlanmagan tushunchalar va ular orasidagi munosabatlarning oldindan tanlangan tizimi asosida qurilgan nazariya sifatida belgilanishi mumkin.
Matematik nazariyani aksiomatik qurishda oldindan aniqlanmagan tushunchalar va ular o'rtasidagi munosabatlarning ma'lum bir tizimi tanlanadi. Bu tushunchalar va munosabatlar asosiy deb ataladi. Keyingilari tanishtiriladi aksiomalar bular. ko'rib chiqilayotgan nazariyaning asosiy qoidalari, isbotsiz qabul qilingan. Nazariyaning barcha keyingi mazmuni mantiqiy ravishda aksiomalardan kelib chiqadi. Matematik nazariyani aksiomatik qurish birinchi marta geometriyani qurishda Evklid tomonidan amalga oshirildi.
Har qanday matematik nazariyaning aksiomatik qurilishida aniq qoidalar:
nazariyaning ba'zi tushunchalari asosiylari sifatida tanlanadi va ta'rifsiz qabul qilinadi;
nazariyaning asosiylari ro'yxatida bo'lmagan har bir tushunchasiga ta'rif beriladi;
aksiomalar tuzilgan - bu nazariyada isbotsiz qabul qilingan jumlalar; ular asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradi;
· nazariyaning aksiomalar ro'yxatida mavjud bo'lmagan har bir jumlasi isbotlanishi kerak; bunday mulohazalar teorema deb ataladi va aksioma va atamalar asosida isbotlanadi.
Nazariyaning aksiomatik qurilishida barcha gaplar aksiomalardan isbotlash yo‘li bilan olinadi.
Shuning uchun aksiomalar tizimi maxsus bo'ysunadi talablar:
Mustahkamlik (aksiomalar tizimi, agar undan mantiqiy jihatdan bir-birini istisno qiluvchi ikkita gapni chiqarib bo'lmasa, izchil deb ataladi);
mustaqillik (agar bu sistemaning aksiomalaridan hech biri boshqa aksiomalarning natijasi bo'lmasa, aksiomalar tizimi mustaqil deyiladi).
Unda berilgan munosabatga ega bo'lgan to'plam, agar bu sistemaning barcha aksiomalari qanoatlansa, berilgan aksiomalar tizimining modeli deyiladi.
Natural sonlar to'plami uchun aksiomalar tizimini qurishning ko'plab usullari mavjud. Asosiy tushuncha uchun, masalan, raqamlar yig'indisi yoki tartib munosabatini olish mumkin. Har holda, asosiy tushunchalarning xususiyatlarini tavsiflovchi aksiomalar tizimini ko'rsatish kerak.
Qo'shish amalining asosiy tushunchasini qabul qilib, aksiomalar tizimini beraylik.
Bo'sh bo'lmagan to'plam N amal bo'lsa natural sonlar to'plami deyiladi (a; b) → a + b, qo'shish deb ataladi va xususiyatlarga ega:
1. qo‘shilish almashtiruvchi, ya’ni. a + b = b + a.
2. qo‘shimcha assotsiativ, ya’ni. (a + b) + c = a + (b + c).
4. har qanday to'plamda LEKIN, bu toʻplamning kichik toʻplamidir N, qayerda LEKIN shunday bir raqam borki, hammasi Ha, teng a+b, qayerda bN.
Natural sonlarning butun arifmetikasini qurish uchun 1-4 aksiomalar yetarli. Ammo bunday konstruksiya bilan endi bu aksiomalarda aks ettirilmagan chekli to‘plamlarning xossalariga tayanib bo‘lmaydi.
Keling, asosiy tushuncha sifatida bo'sh bo'lmagan to'plamda aniqlangan "to'g'ridan-to'g'ri ergash ..." munosabatini olaylik N. Shunda sonlarning natural qatori N to'plami bo'ladi, unda "to'g'ridan-to'g'ri ergash" munosabati aniqlanadi va N ning barcha elementlari natural sonlar deb ataladi va quyidagi amallarni bajaradi: Peano aksiomalari:
AKSIOM 1.
ko'plikdaNbu to'plamning biron bir elementiga darhol ergashmaydigan element mavjud. Biz uni birlik deb ataymiz va uni 1 belgisi bilan belgilaymiz.
AKSIOM 2.
Har bir element uchun aNadan keyin darhol bitta element mavjud.
AXIOM 3.
Har bir element uchun aNdarhol keyin eng ko'p bitta element mavjud.
AXOIM 4.
To‘plamning istalgan M kichik to‘plamiNbilan mos keladiN, xossalarga ega bo'lsa: 1) 1 M tarkibida bo'lsa; 2) a ning M tarkibida mavjudligidan a ning M tarkibida ham mavjudligi kelib chiqadi.
Kopgina N, 1 - 4 aksiomalarni qoniqtiruvchi "darhol ergash..." munosabati o'rnatilgan elementlar deyiladi. natural sonlar to'plami , va uning elementlari natural sonlar.
Agar to'plam sifatida N 1 - 4 aksiomalarni qondiradigan "to'g'ridan-to'g'ri ..." ma'lum bir munosabat berilgan ba'zi bir aniq to'plamni tanlang, keyin biz boshqacha bo'lamiz. talqinlar (modellar) berilgan aksioma tizimlari.
Peano aksiomalari tizimining standart modeli jamiyatning tarixiy rivojlanishi jarayonida paydo bo'lgan raqamlar qatoridir: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Har qanday hisoblanuvchi to'plam Peano aksiomalarining modeli bo'lishi mumkin.
Masalan, I, II, III, III, ...
oh oh oh oh oh ...
Bir, ikki, uch, to'rt, …
To'plamlar ketma-ketligini ko'rib chiqaylik, unda (oo) to'plam boshlang'ich element bo'lib, har bir keyingi to'plam oldingisidan yana bitta doira belgilash orqali olinadi (15-rasm).
Keyin N tasvirlangan shakldagi to'plamlardan tashkil topgan to'plam bo'lib, u Peano aksiomalari tizimining modelidir.
Darhaqiqat, ko'pchilikda N berilgan to'plamning biron bir elementiga darhol ergashmaydigan element (oo) mavjud, ya'ni. aksioma 1 amal qiladi. Har bir to'plam uchun LEKIN ko'rib chiqilayotgan to'plamdan olingan noyob to'plam mavjud LEKIN bir doira qo'shib, ya'ni. Aksioma 2 amal qiladi. Har bir to'plam uchun LEKIN to‘plam hosil bo‘ladigan ko‘pi bilan bitta to‘plam mavjud LEKIN bir doira qo'shib, ya'ni. Aksioma 3 amal qiladi MN va ma'lumki, to'plam LEKIN tarkibida mavjud M, shundan kelib chiqadiki, to'plamdagidan bir doira ko'p bo'lgan to'plam LEKIN, tarkibida ham mavjud M, keyin M =N, bu aksioma 4 qanoatlantirilganligini bildiradi.
Natural sonning ta'rifida aksiomalarning hech birini tashlab bo'lmaydi.
Keling, rasmda ko'rsatilgan to'plamlardan qaysi birini aniqlaymiz. 16 - Peano aksiomalarining modeli.
|
Yechim. 16 a)-rasmda 2 va 3 aksiomalar qanoatlantirilgan to'plam ko'rsatilgan.Haqiqatan ham har bir element uchun darhol unga ergashadigan o'ziga xos element va unga ergashadigan yagona element mavjud. Ammo 1-aksioma bu to‘plamga to‘g‘ri kelmaydi (4-aksioma mantiqqa to‘g‘ri kelmaydi, chunki to‘plamda boshqa birortasiga darhol ergashmaydigan element yo‘q). Shuning uchun bu to'plam Peano aksiomalarining modeli emas.
16-rasm b) 1, 3 va 4 aksiomalar qanoatlantirilgan, lekin element orqasida joylashgan to'plamni ko'rsatadi. a 2-aksiomada talab qilinganidek, bitta emas, ikkita element darhol ergashadi. Shuning uchun bu to'plam Peano aksiomalarining modeli emas.
Shaklda. 16 c) 1, 2, 4 aksiomalar qanoatlantirilgan to'plamni ko'rsatadi, lekin element Bilan darhol ikkita elementni kuzatib boradi. Shuning uchun bu to'plam Peano aksiomalarining modeli emas.
Shaklda. 16 d) 2, 3 aksiomalarni qanoatlantiradigan to'plamni ko'rsatadi va agar boshlang'ich element sifatida 5 raqamini olsak, u holda bu to'plam 1 va 4 aksiomalarni qanoatlantiradi. Ya'ni, bu to'plamda har bir element uchun darhol bittasi mavjud. unga ergashadi va unga ergashadigan yagona element mavjud. Ushbu to'plamning biron bir elementiga darhol ergashmaydigan element ham bor, bu 5 , bular. 1-aksioma mos keladi.Mos ravishda 4-aksioma ham mos keladi.Shuning uchun bu to'plam Peano aksiomalarining modelidir.
Peano aksiomalaridan foydalanib, bir qancha mulohazalarni isbotlashimiz mumkin.Masalan, barcha natural sonlar uchun tengsizlik ekanligini isbotlaymiz. x x.
Isbot. tomonidan belgilang LEKIN uchun natural sonlar to'plami a a. Raqam 1 ga tegishli LEKIN, chunki u hech qanday raqamga ergashmaydi N, va shuning uchun o'z-o'zidan ergashmaydi: 1 1. Mayli aa, keyin a a. Belgilamoq a orqali b. 3-aksiomaga ko'ra, ab, bular. bb va bA.
Har qanday nazariyaning aksiomatik qurilishida ma'lum qoidalar kuzatiladi:
sifatida nazariyaning ayrim tushunchalari tanlangan Asosiy, va ta'rifsiz qabul qilinadi va aniqlanmagan deb ataladi.
aksiomalar tuzilgan - bu nazariyada isbotsiz qabul qilingan jumlalar; ular asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradi;
nazariyaning asosiylari ro'yxatida mavjud bo'lmagan har bir tushunchasi berilgan ta'rifi, uning mazmunini asosiy va oldingi tushunchalar yordamida tushuntiradi;
aksiomalar ro'yxatida mavjud bo'lmagan nazariyaning har bir jumlasi isbotlanishi kerak; bunday mulohazalar teorema deb ataladi va ularni ko'rib chiqilayotgandan oldingi aksiomalar va teoremalar asosida isbotlang.
Nazariyaning aksiomatik qurilishida, asosan, barcha bayonotlar aksiomalardan isbotlangan holda chiqariladi. Shuning uchun aksiomalar tizimiga alohida talablar qo'yiladi. Avvalo, u izchil va mustaqil bo'lishi kerak.
Aksiomalar tizimi deyiladi izchil agar undan mantiqiy jihatdan bir-birini istisno qiluvchi ikkita gapni chiqarib bo'lmasa.
Aksiomalarning izchil tizimi deyiladi mustaqil agar ushbu tizimning aksiomalaridan hech biri ushbu tizimning boshqa aksiomalarining natijasi bo'lmasa.
Aksiomalar, qoida tariqasida, odamlarning ko'p asrlik amaliy faoliyatining aksidir va bu ularning haqiqiyligini belgilaydi.
Natural sonlar arifmetikasining aksiomatik qurilishida asosiy tushuncha sifatida bo'sh bo'lmagan to'plamda berilgan "to'g'ridan-to'g'ri ergashish" munosabati olinadi. N. To‘plam, to‘plam elementi va boshqa to‘plam nazariy tushunchalari, mantiq qoidalari ham ma’lum.
Elementdan darhol keyingi element a, tayinlash a".“Bevosita ergashish” munosabatining mohiyati italyan matematigi J. Peano tomonidan 1891 yilda taklif qilingan quyidagi aksiomalarda ochib berilgan.
Aksioma 1. ko'plikda N bu to'plamning biron bir elementiga darhol ergashmaydigan element mavjud. U birlik deb ataladi va 1 belgisi bilan belgilanadi.
Aksioma 2. Har bir element uchun a dan N faqat bitta element mavjud a", darhol ergashadi a.
Aksioma 3. Har bir element uchun a N darhol keyin eng ko'p bitta element mavjud a.
Aksioma 4. (induksiya aksiomasi). Har qanday kichik to'plam M to'plamlar N N bilan mos keladi, agar u quyidagi xususiyatlarga ega bo'lsa: 1) 1 tarkibida mavjud M; 2) har qanday element mavjudligidan a tarkibida mavjud M, shundan kelib chiqadi va a" tarkibida mavjud M.
Tuzilgan aksiomalar ko'pincha Peano aksiomalari, to'rtinchi aksioma esa induksiya aksiomasi deb ataladi.
Keling, bu aksiomalarni ramziy shaklda yozamiz.
LEKIN 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
LEKIN 2 )( a N)( !b N)a"=b
LEKIN 3 ) ( a,b, Bilan N)s = a" s = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M=N
"Darhol ergashish" munosabati va Peanoning 1-4 aksiomalaridan foydalanib, natural sonning quyidagi ta'rifini berish mumkin.
Ta'rif 1. Elementlari uchun "darhol ergashuvchi" munosabat oʻrnatilgan, 1-4-aksiomalarni qanoatlantiradigan N. toʻplam natural sonlar toʻplami va uning elementlari deyiladi. natural sonlar.
___________________________________________________________________
Ta'rif 2 . Agar natural son bo'lsabdarhol a sonidan keyin keladi, keyin a soni darhol sondan oldin (oldingi) chaqiriladib.
______________________________________________________________________________________________
Teorema 1. Birlikning oldingi natural soni yo'q (teoremaning haqiqati aksiomadan darhol kelib chiqadi). LEKIN 1 ).
Teorema 2. Har bir natural son a, bittadan boshqasi oldingi b raqamiga ega , shunday b " = a.
Natural sonning ta'rifi to'plam elementlarining tabiati haqida hech narsa aytmaydi N. Shunday qilib, u hamma narsa bo'lishi mumkin. Peano aksiomalari tizimining standart modeli jamiyatning tarixiy rivojlanishi jarayonida paydo bo'lgan bir qator raqamlardir:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Ushbu seriyaning har bir raqami o'z nomi va nomiga ega, biz ularni ma'lum deb hisoblaymiz.
Shuni ta'kidlash kerakki, natural sonning ta'rifida aksiomalarning birortasini ham e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.
1 a b c d
…
b
Guruch. 16 Guruch. 17
Vazifa 1.
Rasmlarda har bir element o'zidan keyingi elementga o'q bilan bog'langan.
15 va 16-rasmlarda ko'rsatilgan to'plamlarning qaysi biri Peano aksiomalari tizimining modeli ekanligini aniqlang.
1. rasmda. 16-rasmda 2 va 3-aksiomalar bajariladigan, lekin 1-aksioma bajarilmaydigan to'plam ko'rsatilgan.
Aksioma 4 mantiqiy bo'lmaydi, chunki to'plamda darhol boshqasiga ergashmaydigan element yo'q.
2. Shaklda. 17 1, 2, 3 aksiomalar bajarilgan, ammo 4 aksioma qoniqtirilmagan to'plamni ko'rsatadi - nurda yotgan nuqtalar to'plami 1 ni o'z ichiga oladi va har bir raqam bilan birga darhol undan keyingi raqamni o'z ichiga oladi, lekin u bajarilmaydi. rasmda ko'rsatilgan barcha o'rnatilgan nuqtalarga to'g'ri keladi. Xulosa: rasmda tasvirlangan to'plamlarning hech biri. 16 va 17 ni Peano aksiomalari tizimining modellari deb hisoblash mumkin emas.
Vazifa 2.
Keling, har qanday natural sonning darhol keyingi natural sondan farq qilishini isbotlaylik, ya'ni. ( X )X X"
Isbot
Biz induksiya aksiomasidan foydalanamiz - LEKIN 4 .
Mayli M=(x/x , X X"}, chunki . X M N.
Isbot ikki qismdan iborat.
Keling, buni isbotlaylik 1 M, bular. 1 1" . Bu dan kelib chiqadi LEKIN 1 .
Keling, buni isbotlaylik X M=> X" M. Mayli X M bular. X X". Keling, buni isbotlaylik X" M, ya'ni. X" (X")". Va aksiomalar LEKIN 3 kerak X" (X")". Haqiqatan ham, tomonidan LEKIN 3 , agar x" = (x")" keyin x = x", va beri induksiya taklifi bo'yicha x M, keyin x X", shuning uchun biz qarama-qarshilikka erishamiz. Ma'nosi, X" (X")" , X" M.
Bu erda "ziddiyat bilan" dalillarda keng qo'llaniladigan qarama-qarshilik qoidasi (PC) qo'llaniladi.
Shunday qilib, biz oldik:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, ya'ni. da'vo x x" har qanday natural son uchun to'g'ri.
Test savollari
Nazariyaning aksiomatik qurilishining mohiyati nimada?
Maktab planimetriyasi kursining asosiy tushunchalari nimalardan iborat. Ushbu kursning aksiomalar tizimini eslang. Ularda tushunchalarning qanday xossalari tasvirlangan?
Peano aksiomalarini ramziy shaklda tuzing va yozing. "
Natural sonning aksiomatik ta'rifini tuzing.
Natural sonning taʼrifini davom ettiring: “Natural son toʻplamning elementidir N,... » .
Boshlang'ich maktab matematika darsliklaridan misollar keltiring, unda:
a) yangi (talabalar uchun) raqam tabiiy qatorning olingan segmentining davomi sifatida ishlaydi;
b) har bir natural sondan darhol bitta boshqa natural son kelishi aniqlangan.
Mashqlar
285. To‘plam elementlari tire guruhlari (I, II, III, IIII,...). Bu to'plam Peano aksiomalarini qondiradimi? Bu erda ta'riflanganidek, "darhol ergash" munosabati. To'plam uchun bir xil savollarni ko'rib chiqing (0, 00, 000, 0000,...).
Guruch. 17
286. 17-rasmda a) har bir element o‘zidan keyingi elementga o‘q orqali ulangan. To'plamni Peano aksiomalari tizimining modeli deb hisoblash mumkinmi? 17 b), c), d) rasmlardagi to'plamlar uchun bir xil savollar.
287. Raqamlar to‘plami (1, 2, 3 P, ...), agar unda quyidagi munosabat quyidagicha belgilansa:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Boshlang‘ich sinflar uchun matematika darsliklaridan berilgan topshiriqlarning to‘g‘riligi Peano aksiomalari bilan tushuntirilgan topshiriqlarga misollar keltiring.
Matematikada aksiomatik usul.
Tabiiy qatorlarning aksiomatik nazariyasining asosiy tushunchalari va munosabatlari. Natural sonning ta'rifi.
Natural sonlarni qo'shish.
Natural sonlarni ko'paytirish.
Natural sonlar to'plamining xossalari
Natural sonlarni ayirish va bo'lish.
Matematikada aksiomatik usul
Har qanday matematik nazariyaning aksiomatik qurilishida, the muayyan qoidalar:
1. Nazariyaning ba'zi tushunchalari sifatida tanlangan mayor va ta'rifsiz qabul qilingan.
2. Formalangan aksiomalar, bu nazariyada isbotsiz qabul qilingan, ular asosiy tushunchalarning xususiyatlarini ochib beradi.
3. Nazariyaning asosiylari ro'yxatida mavjud bo'lmagan har bir tushunchasi berilgan ta'rifi, bu asosiy va oldingi tushuncha yordamida uning ma'nosini tushuntiradi.
4. Nazariyaning aksiomalar ro'yxatida mavjud bo'lmagan har bir jumlasi isbotlanishi kerak. Bunday takliflar deyiladi teoremalar va ularni ko'rib chiqilayotgan aksioma va teoremalar asosida isbotlang.
Aksiomalar tizimi quyidagicha bo'lishi kerak:
a) izchil: biz amin bo'lishimiz kerakki, berilgan aksiomalar tizimidan har xil xulosalar chiqarib, biz hech qachon ziddiyatga erisha olmaymiz;
b) mustaqil: hech qanday aksioma ushbu tizimning boshqa aksiomalarining natijasi bo'lmasligi kerak.
ichida) to'liq, agar uning doirasida har doim ham berilgan bayonotni yoki uning inkorini isbotlash mumkin bo'lsa.
Evklidning «Elementlar» asarida (miloddan avvalgi 3-asr) geometriyaning taqdimotini nazariyani aksiomatik qurishning birinchi tajribasi deb hisoblash mumkin. Geometriya va algebrani qurishning aksiomatik usulini rivojlantirishga katta hissa qo'shgan N.I. Lobachevskiy va E. Galois. 19-asr oxirida Italiyalik matematik Peano arifmetika uchun aksiomalar tizimini ishlab chiqdi.
Natural sonlarning aksiomatik nazariyasining asosiy tushunchalari va munosabatlari. Natural sonning ta'rifi.
Muayyan to'plamdagi asosiy (aniqlanmagan) tushuncha sifatida N tanlanadi munosabat , shuningdek, to'plam-nazariy tushunchalar, shuningdek, mantiq qoidalari.
Elementdan darhol keyingi element a, tayinlash a".
"Darhol ergashish" munosabati quyidagi aksiomalarni qondiradi:
Peano aksiomalari:
Aksioma 1. ko'plikda N to'g'ridan-to'g'ri element mavjud keyingi emas ushbu to'plamning har qanday elementi uchun. Keling, unga qo'ng'iroq qilaylik birlik va ramziy qiladi 1 .
Aksioma 2. Har bir element uchun a dan N faqat bitta element mavjud a" darhol ergashadi a .
Aksioma 3. Har bir element uchun a dan N darhol keyin eng ko'p bitta element mavjud a .
Aksioma 4. Har qanday kichik to'plam M to'plamlar N bilan mos keladi N , agar u quyidagi xususiyatlarga ega bo'lsa: 1) 1 tarkibida mavjud M ; 2) nimadan a tarkibida mavjud M , shundan kelib chiqadi va a" tarkibida mavjud M.
Ta'rif 1. Kopgina N , ularning elementlari uchun munosabatlar o'rnatiladi "to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring» 1-4 aksiomalarni qanoatlantiradigan » deyiladi natural sonlar to'plami, va uning elementlari natural sonlar.
Bu ta'rif to'plam elementlarining tabiati haqida hech narsa aytmaydi N . Shunday qilib, u hamma narsa bo'lishi mumkin. To'plam sifatida tanlash N 1-4 aksiomalarni qanoatlantiradigan ma'lum bir "to'g'ridan-to'g'ri ergashuvchi" munosabat berilgan qandaydir muayyan to'plam, biz olamiz ushbu tizimning modeli aksiomalar.
Peano aksiomalari tizimining standart modeli jamiyatning tarixiy taraqqiyoti jarayonida vujudga kelgan sonlar qatoridir: 1,2,3,4, ... Natural qator 1 raqamidan boshlanadi (aksioma 1); har bir natural sondan keyin darhol bitta natural son keladi (aksioma 2); har bir natural son darhol ko‘pi bilan bitta natural sondan keyin keladi (3-aksioma); 1 raqamidan boshlab va bir-biridan keyingi natural sonlarga o'tish uchun biz ushbu sonlarning butun to'plamini olamiz (aksioma 4).
Shunday qilib, biz asosiyni tanlash bilan natural sonlar tizimini aksiomatik qurishni boshladik "to'g'ridan-to'g'ri ergashish" munosabati va uning xossalarini tavsiflovchi aksiomalar. Nazariyaning keyingi qurilishi natural sonlarning ma'lum xossalarini va ular ustida amallarni ko'rib chiqishni o'z ichiga oladi. Ular ta'riflar va teoremalarda ochib berilishi kerak, ya'ni. "darhol ergash" munosabatidan sof mantiqiy tarzda olingan va 1-4 aksiomalar.
Natural sonning ta'rifidan keyin biz kiritadigan birinchi tushuncha munosabat "darhol oldinroq" , tabiiy qatorning xususiyatlarini ko'rib chiqishda ko'pincha ishlatiladi.
Ta'rif 2. Agar natural son bo'lsa b bevosita kuzatib boradi natural son a, bu raqam a chaqirdi darhol oldingi(yoki oldingi) soni b .
"Avval" munosabati mavjud yaqin ob'ektlar.
Teorema 1. Birining oldingi natural soni yo'q.
Teorema 2. Har bir natural son a, 1 dan boshqa, bitta oldingi raqamga ega b, shu kabi b"= a.
Natural sonlar nazariyasining aksiomatik qurilishi boshlang'ich maktabda ham, o'rta maktabda ham ko'rib chiqilmaydi. Biroq, Peano aksiomalarida aks ettirilgan "to'g'ridan-to'g'ri ergash" munosabatining o'sha xossalari matematikaning boshlang'ich kursida o'rganish predmeti hisoblanadi. Birinchi sinfda allaqachon birinchi o'nlik raqamlarini ko'rib chiqayotganda, har bir raqamni qanday olish mumkinligi ma'lum bo'ladi. "Keyin" va "oldin" atamalari qo'llaniladi. Har bir yangi raqam sonlarning tabiiy qatorining o'rganilgan segmentining davomi sifatida ishlaydi. Talabalar har bir sondan keyin keyingisi, bundan tashqari, faqat bittasi, sonlarning natural qatori cheksiz ekanligiga ishonch hosil qiladi.
Natural sonlarni qo'shish
Aksiomatik nazariyani qurish qoidalariga ko'ra, natural sonlarni qo'shish ta'rifi faqat munosabatlardan foydalangan holda kiritilishi kerak. "to'g'ridan-to'g'ri kuzatib borish", va tushunchalar "tabiiy son" va "oldingi raqam".
Keling, qo'shish ta'rifini quyidagi fikrlar bilan muqaddima qilaylik. Har qanday natural son uchun a 1 qo'shing, biz raqamni olamiz a", darhol ergashadi a, ya'ni. a+ 1= a" va shuning uchun biz har qanday natural songa 1 ni qo'shish qoidasini olamiz. Lekin raqamga qanday qo'shish kerak a natural son b, 1 dan farq qiladimi? Keling, quyidagi faktdan foydalanamiz: agar 2 + 3 = 5 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda darhol 5 raqamidan keyin keladigan 2 + 4 = 6 yig'indisi. Bu sodir bo'ladi, chunki 2 + 4 yig'indisida ikkinchi a'zo darhol raqamdir. 3 raqamidan keyin. Demak, 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Umuman olganda, bizda bor , .
Bu faktlar aksiomatik nazariyada natural sonlarni qo'shish ta'rifiga asoslanadi.
Ta'rif 3. Natural sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega algebraik amaldir:
Raqam a + b chaqirdi raqamlar yig'indisi a va b , va raqamlarning o'zi a va b - shartlari.