Kamaytirilgan qoldiqlar yig'indisi moduli n. Pul olish tizimlari. Mustaqil ishlash uchun mashqlar
![Kamaytirilgan qoldiqlar yig'indisi moduli n. Pul olish tizimlari. Mustaqil ishlash uchun mashqlar](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
yoki har qanday ketma-ket p raqamlar.
Ushbu tizim deyiladi modul bo'yicha taqqoslanmaydigan to'liq sonlar tizimi p yoki qoldiq modullarining to'liq tizimi p. Har qanday bo'lishi aniq p ketma-ket raqamlar shunday sistemani tashkil qiladi.
Bitta sinfga mansub barcha raqamlar juda ko'p umumiy xususiyatlarga ega, shuning uchun modulga nisbatan ularni bitta raqam deb hisoblash mumkin. Taqqoslashda yig'indi yoki koeffitsient sifatida kiritilgan har bir raqam, taqqoslashni buzmasdan, unga o'xshash raqam bilan almashtirilishi mumkin, ya'ni. bir xil sinfga tegishli raqam bilan.
Berilgan sinfning barcha raqamlari uchun umumiy bo'lgan boshqa element ushbu sinf va modulning har bir elementining eng katta umumiy bo'luvchisidir. p.
Mayli a va b taqqoslanadigan modul p, keyin
Teorema 1. Agarda ax+b o'rniga x keling, hamma narsani tartibga solaylik p to'liq sonlar tizimining a'zolari
Shuning uchun barcha raqamlar ax+b, qayerda x=1,2,...p-1 modul bilan taqqoslanmaydi p(aks holda, raqamlar 1,2,... p-1 taqqoslanadigan modul bo'ladi p.
Eslatmalar
1) Ushbu maqolada raqam so'zi butun sonni anglatadi.
Adabiyot
- 1. K. Irlandiya, M. Rozen. Zamonaviy sonlar nazariyasiga klassik kirish.- M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Oliy arifmetika.- M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejen Dirixlet. Raqamlar nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar. - Moskva, 1936 yil.
Modulli qoldiq halqasi n yoki belgilang. Uning multiplikativ guruhi, halqalarning teskari elementlar guruhlari umumiy holatida bo'lgani kabi, belgilanadi. ∗ × × .
Eng oddiy holat
Guruhning tuzilishini tushunish uchun tub son bo'lgan maxsus holatni ko'rib chiqish va uni umumlashtirish mumkin. Qachonki eng oddiy holatni ko'rib chiqing, ya'ni.
Teorema: - siklik guruh.
Misol : Guruhni ko'rib chiqing
= (1,2,4,5,7,8) Guruh generatori 2 raqamidir. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Ko'rib turganingizdek, guruhning istalgan elementi , bu erda ifodalanishi mumkin ≤ℓφ . Ya'ni, guruh siklikdir.Umumiy holat
Umumiy holatni ko'rib chiqish uchun ibtidoiy ildizni aniqlash kerak. Ibtidoiy ildiz moduli tub son bu qoldiq sinfi bilan birga guruhni keltirib chiqaradigan sondir.
Misollar: 2 11 ; 8 - ibtidoiy ildiz moduli 11 ; 3 ibtidoiy modul ildizi emas 11 .Butun modulda ta'rif bir xil bo'ladi.
Guruhning tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi: Agar p toq tub son va l musbat butun son bo'lsa, u holda ibtidoiy ildizlar mavjud modulo , ya'ni tsiklik guruh.
Misol
Modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi qoldiq sinflaridan iborat: . Qoldiq sinflari uchun aniqlangan ko'paytirishga kelsak, ular bir guruhni tashkil qiladi, bundan tashqari, o'zaro teskari (ya'ni, ⋅ ) va o'zlariga teskari.
Guruh tuzilishi
Kirish "n-tartibning tsiklik guruhi" degan ma'noni anglatadi.
× | φ | λ | Guruh generatori | × | φ | λ | Guruh generatori | × | φ | λ | Guruh generatori | × | φ | λ | Guruh generatori | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2 × C2 × C2 × C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Ilova
Qiyinchilikda, Farm, Hooley, . Uoring Vilson teoremasini shakllantirdi va Lagranj buni isbotladi. Eyler tub son moduli boʻyicha ibtidoiy ildizlarning mavjudligini taklif qildi. Gauss buni isbotladi. Artin o'zining gipotezasini, berilgan butun son tub ildiz bo'lgan modulli tub sonlarning mavjudligi va miqdorini aniqlash haqidagi gipotezasini ilgari surdi. Brouver ketma-ket butun sonlar to'plamining mavjudligi muammosini o'rganishga hissa qo'shdi, ularning har biri k-quvvat moduli p. Bielhartz Artin taxminining o'xshashligini isbotladi. Xuli kengaytirilgan Rieman gipotezasi algebraik sonlar sohalarida o‘rinli degan faraz bilan Artinning taxminini isbotladi.
Eslatmalar
Adabiyot
- Irlandiya K., Rozen M. Zamonaviy raqamlar nazariyasiga klassik kirish. - M.: Mir, 1987 yil.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Kriptografiya asoslari. - Moskva: "Helios ARV", 2002 yil.
- Rostovtsev A.G., Maxovenko E.B. Nazariy kriptografiya. - Sankt-Peterburg: NPO "Professional", 2004 yil.
NAZARIYADAN ASOSIY MA'LUMOTLAR
6. 1. Ta'rif 1.
m moduli sonlar sinfi - m ga bo'linganda bir xil qoldiq r, ya'ni solishtirish mumkin bo'lgan m (t) moduliga ega bo'lgan barcha va faqat butun sonlar to'plami. Î N, t> 1).
Qoldiqli raqamlar sinfi uchun belgi r: .
Sinfdagi har bir raqam qoldiq moduli m deb ataladi va sinfning o'zi m moduli qoldiqlar sinfi deyiladi.
6. 2. Modul qoldiqlari sinflari to'plamining xususiyatlari t:
1) umumiy modul t bo'ladi t Qoldiq sinflari: Z t = { , , , … , };
2) har bir sinf quyidagi shakldagi cheksiz butun sonlar (qoldiqlar) to'plamini o'z ichiga oladi: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), ya'ni olingan har qanday ikkita qoldiq biridan sinf, solishtirish mumkin modul t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), ya'ni ikkita qoldiq yo'q; olingan har xildan sinflar tengsiz modul t.
6. 3. Ta'rif 3.
Qoldiqlarning to'liq tizimi moduli m - bu qoldiqlarning har bir sinfidan modulli m bir va faqat bittadan olingan har qanday m sonlar to'plami.
Misol: agar m= 5, u holda (10, 6, - 3, 28, 44) 5-modul qoldiqlarining to'liq tizimi (va yagona emas!)
Ayniqsa,
oʻrnatish (0, 1, 2, 3, … , m–1) tizimdir eng kichik salbiy bo'lmagan chegirmalar;
to‘plam (1, 2, 3, … , m –1, t) tizimdir kamida ijobiy chegirmalar.
6. 4. Yozib oling:
agar ( X 1 , X 2 , … , x t) qoldiq modullarining to'liq tizimi t, keyin
.
6. 5. Teorema 1.
Agar a {X 1 , X 2 , … , x t} – qoldiqlarning to'liq tizimi modul m, "a, bÎ Z va(da) = 1, – keyin sanoq tizimi {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} m modulli qoldiqlarning to'liq tizimini ham hosil qiladi .
6. 6. Teorema 2.
m moduli bir xil qoldiq sinfidagi barcha qoldiqlar m bilan bir xil eng katta umumiy bo'luvchiga ega: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. Ta'rif 4.
Qoldiq klassi moduli m moduli m bilan koprim deb ataladi,agar bu sinfning hech bo'lmaganda bitta qoldig'i ko'p bo'lsa, ya'ni.
E'tibor bering, bu holda 2-teorema bo'yicha hammasi bu sinfning raqamlari modul bilan mos bo'ladi t.
6. 8. Ta'rif 5.
Modulli m qoldiqlarning kichraytirilgan sistemasi har bir sinfdan m ga bir va faqat bittadan olingan qoldiqlar tizimidir.
6. 9. Yozib oling:
1) modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi t j( t) raqamlar ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Misol : Modulga ruxsat bering t= 10 qoldiqlarning 10 ta sinfi mavjud:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) - modul 10 qoldiq sinflari to‘plami. Chegirmalarning to'liq tizimi mod 10, masalan, bu bo'ladi: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Ko'p toifadagi qoldiqlar, ko'paytma modul bilan m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Chegirmalarning qisqartirilgan tizimi modul 10, masalan,
(1, 3, 7, 9), yoki (11, 43, – 5, 17), yoki (– 9, 13, – 5, 77) va boshqalar. (hamma joyda j(10) = 4 ta raqam).
6.10. Amalda: mumkin bo'lgan kamaytirilgan qoldiq tizimlaridan birini shakllantirish uchun mod m, qoldiqlarning to'liq tizimidan mod m m bilan mos keladigan qoldiqlarni tanlash kerak.Bunday raqamlar bo'ladi. j( t).
6.11. Teorema 3.
Agar a{X 1 , X 2 ,…, } – kamaytirilgan qoldiqlar tizimi moduli m va
(a, m) = 1, – keyin sanoq tizimi {Oh 1 , Oh 2 , … , ax j (t)} ham shakllantiradi
kamaytirilgan qoldiqlar tizimi moduli m .
6.12. Ta'rif 6.
so'm( Å ) chegirma sinflari va +b har bir berilgan sinfdan bittadan olingan har qanday ikkita ajratmalar yig'indisiga teng va : Å = , qayerda"aÎ , "bÎ .
6.13. Ta'rif 7.
ish( Ä ) chegirma sinflari va moduli m qoldiq sinfi deyiladi , ya'ni a sonlaridan tashkil topgan qoldiqlar sinfi ´ b har bir berilgan sinfdan birma-bir olingan har qanday ikkita qoldiqning mahsulotiga teng va : Ä = , qayerda"aÎ , "bÎ .
Shunday qilib, modulli qoldiq sinflari to'plamida t: Z t= ( , , ,…, ) ikkita algebraik amal aniqlangan - "qo'shish" va "ko'paytirish".
6.14. Teorema 4.
Z t moduli t qoldiq sinflari to'plami birlik bilan assotsiativ-kommutativ halqadir:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – uzuk.
TIPIAL VAZIFALAR
1. Modul t= 9:
1) eng kam ijobiy qoldiqlarning to'liq tizimi;
2) eng kam salbiy bo'lmagan qoldiqlarning to'liq tizimi;
3) chegirmalarning o'zboshimchalik bilan to'liq tizimi;
4) eng kam mutlaq ajratmalarning to'liq tizimi.
Javob:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimini tuzing t= 12.
Yechim.
1) Eng kam musbat qoldiqlar modulining toʻliq tizimini tuzing t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (jami t= 12 raqam).
2) Ushbu tizimdan 12 raqamiga mos kelmaydigan raqamlarni o'chirib tashlaymiz:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) 12 raqami bilan mos keladigan qolgan raqamlar qoldiq modullarining kerakli qisqartirilgan tizimini hosil qiladi. t= 12 (jami j( t) = j(12) = 4 ta raqam).
Javob:(1, 5, 7, 11) - modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi t= 12.
130. 1) eng kam ijobiy qoldiqlarning to‘liq tizimini tuzing; 2) eng kam salbiy bo'lmagan qoldiqlarning to'liq tizimi; 3) chegirmalarning ixtiyoriy tizimi; 4) eng kichik mutlaq ajratmalarning to'liq tizimi; 5) qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi: a) modul m= 6; b) modul m = 8.
131. (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) to'plam 8 modulli qoldiqlarning to'liq tizimimi?
132 To‘plam (20, - 4, 22, 18, - 1) qanday modul bo‘yicha qoldiqlarning to‘liq sistemasi hisoblanadi?
133. Qisqartirilgan qoldiqlar tizimini modulga aylantiring m agar a) m= 9; b) m= 24; ichida) m= 7. Bunday sistemada nechta raqam bo'lishi kerak?
134. To'liq qoldiqlar sistemasi va qoldiqlar moduli kichraytirilgan tizimining asosiy xossalarini tuzing. m .
135. Eng kam manfiy bo'lmagan qoldiqlarning kichraytirilgan va to'liq sistemalarini moduli tubdan qanday elementlar ajratib turadi?
136. Raqamlar qanday sharoitda a va - a modul qoldiqlarining bir xil sinfiga tegishli m?
137. Barcha tub sonlar moduli 8 qoldiqlarning qaysi sinflariga kiradi? R³ 3?
138. Raqamlar to'plami (0, 2 0, 2 1, 2 2, ... , 2 9 ) 11-modul qoldiqlarning to'liq tizimini tashkil qiladimi?
139. Modul 21 qoldiqlarning nechta sinfi moduli 7 qoldiqlarning bir sinfidagi barcha qoldiqlarga tegishli?
140. Butun sonlar to‘plami Z qoldiq sinflari boʻyicha taqsimlash moduli 5. Olingan qoldiq sinflari toʻplamida qoʻshish va koʻpaytirish jadvallarini tuzing. Z 5 . To'plam Z 5: a) sinf qo‘shish amali bo‘lgan guruh? b) sinfni ko'paytirish amali bilan guruh?
§ 7. Eyler teoremasi. FERMATNING KICHIK TEOREMASI
NAZARIYADAN ASOSIY MA'LUMOTLAR
7. 1. Teorema 1.
Agar aÎ Z,tÎ N, t>1 va(a;t) = 1, – keyin kuchlarning cheksiz ketma-ketligida a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t, … ko'rsatkichlari s va t bo'lgan kamida ikkita daraja mavjud(s<t) shu kabi . (*)
7. 2. Izoh. Belgilovchi t– s = k> 0, (*) dan biz quyidagilarni olamiz: . Bu taqqoslashning ikkala tomonini kuchga ko'tarish nÎ N, biz olamiz:
(**). Bu cheksiz ko'p kuchlar mavjudligini anglatadi a, taqqoslashni qanoatlantiradi (**). Lekin Qanday bu ko'rsatkichlarni toping? Nima kamida solishtirishni qanoatlantiradigan ko'rsatkich (**) ? Birinchi savolga javob beradi Eyler teoremasi(1707 – 1783).
7. 3. Eyler teoremasi.
Agar aÎ Z,tÎ N, t>1 va(a;t) = 1, - keyin . (13)
Misol.
Mayli a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Keyin . j (21) = 12 bo'lgani uchun, keyin 2 12 º 1 (mod 21). Haqiqatan ham: 2 12 = 4096 va (4096 - 1) 21. Shunda 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) va boshqalar aniq bo'ladi. Ammo 12 ning ko'rsatkichi - kamida qoniqarli taqqoslash 2 nº 1 (mod 21) ? Yo'q ekan. Eng past ko'rsatkich bo'ladi P= 6: 2 6 º 1(mod 21), chunki 2 6 – 1 = 63 va 63 21. Shuni yodda tuting kamida izlash kerak bo'lgan indeks faqat sonning bo'luvchilari orasida j( t) (bu misolda j(21) = 12 sonining bo‘luvchilari orasida).
7. 4. Fermaning kichik teoremasi (1601 - 1665).
Har qanday tub son p va istalgan a soni uchunÎ Z, p ga bo'linmaydi, taqqoslash mavjud . (14)
Misol.
Mayli a = 3,R= 5, bu erda 3 5 emas. Keyin yoki
.
7. 5. Ferma teoremasini umumlashtirish.
Har qanday tub son p va ixtiyoriy a soni uchunÎ Z solishtiriladi (15)
TIPIAL VAZIFALAR
1. 38 73 º 3 (mod 35) ekanligini isbotlang.
Yechim.
1) (38; 35) = 1 boʻlgani uchun Eyler teoremasi boʻyicha ; j(35) = 24, shuning uchun
(1).
2) Taqqoslashdan (1), 2-sonli xulosaga ko'ra, sonli taqqoslashlarning 5 0 xossalari bizda:
3) Taqqoslashdan (2), 1-xususiyatdan 5 0 ta taqqoslashlar: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 35) isbotlanishi kerak edi.
2. Berilgan: a = 4, t= 15. Eng kichik darajani toping k, taqqoslashni qondirish (*)
Yechim.
1) beri ( a; m) = (4; 25) = 1, u holda Eyler teoremasi bo'yicha , j(25) = 20, shuning uchun
.
2) Topilgan ko'rsatkich - 20 soni - kamida(*) solishtirishni qanoatlantiradigan natural son? Agar ko'rsatkich 20 dan kichik bo'lsa, u 20 ning bo'luvchisi bo'lishi kerak. Demak, kerakli minimal ko'rsatkich. k ko'p sonlar orasidan qidirishingiz kerak n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) - 20 ning bo'luvchilari.
3) Qachon P = 1: ;
da P = 2: ;
da P= 3: (ko'rib chiqishga hojat yo'q);
da P = 4: ;
da P = 5: ;
da P= 6, 7, 8, 9: (ko'rib chiqishga hojat yo'q);
da P = 10: .
Shunday qilib, kamida ko'rsatkich k, qoniqarli taqqoslash(*), hisoblanadi k= 10.
Javob: .
MUSTAQIL ISH UCHUN MASHQLAR
141. Eyler teoremasi bo’yicha . Da a = 3, t= 6 bizda:
.
j(6) = 2 bo'lgani uchun, keyin 3 2 º1 (mod 6) yoki 9º1 (mod 6), lemma bo'yicha (9 – 1) 6 yoki 8 6 (to'liq!?). Xato qayerda?
142. Quyidagilarni isbotlang: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. A) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10) ekanligini isbotlang;
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 12 ga qoldiqsiz bo'linadi.
144. Eyler teoremasiga teskari teoremani isbotlang: agar a j ( m) º 1 (mod m), keyin ( a, m) =1.
145. Eng kichik darajani toping kÎ N, bu taqqoslashni qondirish: a) ; b)
; ichida)
; G)
;
e) ; e)
; va)
; h)
.
va) ; uchun)
; l)
; m)
.
146. Bo‘limning qolgan qismini toping:
a) 11 uchun 7100; b) 5 uchun 9900; c) 5176 ga 7; d) 2 1999 yil 5 ga; e) 5 uchun 8 377;
f) 26 57 ga 35; g) 22 uchun 35 359; h) 103 kishiga 5718; i) 27260 dan 40 gacha; j) 25 1998 yil 62 da.
147*. Buni isbotlang a 561 º a(mod 11).
148*. Agar natural sonning kanonik parchalanishi P 2 va 5 omillarni o'z ichiga olmaydi, u holda bu sonning 12-darajali 1 bilan tugaydi. Isbotlang.
149*. 2 64 º 16 (mod 360) ekanligini isbotlang.
150*. isbotlang: agar ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, keyin a 12 –b 12 65 ga teng bo'linadi.
3-bob. ARIFMETIK ILOVALAR
SONIY TAQSISHLAR NAZARIYALARI
§ 8. TIZIMLI RAQAMLAR
NAZARIYADAN ASOSIY MA'LUMOTLAR
1. BUTUN TIZIMLI SONLAR
8. 1. Ta'rif 1.
Sanoq tizimi - bu raqamlarni yozishning har qanday usuli. Bu raqamlar yoziladigan belgilar raqamlar deyiladi.
8. 2. Ta'rif 2.
t-ariy pozitsion sanoq sistemasida yozilgan butun son manfiy bo‘lmagan sistematik son ko‘rinishdagi n sondir.
,qayerda a i(i = 0,1, 2,…, k) – butun manfiy bo'lmagan sonlar - raqamlar, va 0 £ a i £ t– 1, t - sanoq tizimining asosi, tÎ N, t > 1.
Masalan, 7-ar sistemada sonning belgilanishi: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Bu erda a i- bular 5, 6, 0, 3 - raqamlar; ularning barchasi shartni qondiradi: 0 £ a i£ 6. Qachon t=10 ayting: raqam n da qayd etilgan o'nlik sanoq tizimi, va indeks t= 10 yozmang.
8. 3. Teorema 1.
Har qanday manfiy bo'lmagan butun sonni har qanday t bazasida sistematik son sifatida va o'ziga xos tarzda ifodalash mumkin, bu erda tÎ N, t > 1.
Misol:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Yozib oling:
1) chapdagi nollarning tizimli sonini belgilash o'zgarmaydi bu raqam:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) tizimli raqamga nisbat berish s o'ngdagi nollar ekvivalent ko'paytirish uchun bu raqam t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Yozilgan raqamni aylantirish algoritmit -ariy sistema, kasrga:
Misol: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10.
8. 6. O'nli kasrda yozilgan sonni aylantirish algoritmi tizimi, ichidat -shaxsiy:
Misol: (3 9 1) 10 = (X) 12. Toping X.
8. 7. Tizimli raqamlar bo'yicha harakatlar
2. SISTEMATIK FRAKSIYALAR
8. 8. Ta'rif 3.
Bazasi t bo‘lgan sanoq sistemasidagi chekli t-dar sistematik kasr shaklning sonidir
qaerda c 0 Î Z, i - raqamlar bilan– manfiy bo'lmagan butun sonlar, va 0 £ i bilan£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Belgi: a = ( c 0 , Bilan 1 Bilan 2 …k bilan)t. Da t= 10 kasr deyiladi kasr.
8. 9. Natija 1.
Har bir chekli sistematik kasr ratsional son bo'lib, uni quyidagicha ifodalash mumkin , qayerda aÎ Z,bÎ N.
Misol.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + ratsional sondir. Qarama-qarshi bayonot umuman to'g'ri emas. Masalan, kasrni chekli sistematik (o'nlik) kasrga aylantirib bo'lmaydi.
8.10. Ta'rif 4.
Bazasi t bo‘lgan sanoq sistemasidagi cheksiz t-ariy musbat sistematik kasr ko‘rinishdagi sondir.
, qayerdan 0Î N, i bilan(i =1, 2, …, uchun, …) - raqamlar– manfiy bo'lmagan butun sonlar, va 0 £ i bilan£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Belgi: a = ( Bilan 0 , Bilan 1 Bilan 2 … k bilan…) t. Da t=10 kasr deyiladi kasr.
8.11. Ta'rif 5.
Cheksiz sistematik kasrlarning uch turi mavjud:
men a = ( Bilan 0 , )t= =
t, bu erda =
= = … Bunday holda, raqam a cheksiz sof davriy kasr deyiladi,(Bilan 1 Bilan 2 … k bilan) – davr, k - davrdagi raqamlar soni - davr uzunligi.
II a = .
Bunday holda, a raqami cheksiz aralash davriy kasr deyiladi, – oldingi davr, () – davr, k - davrdagi raqamlar soni - davr uzunligi, l - butun qism va birinchi davr orasidagi raqamlar soni - oldingi davr uzunligi.
III a = ( Bilan 0 , Bilan 1 Bilan 2 … k bilan …)t . Bunday holda, raqam a cheksiz davriy bo'lmagan kasr deyiladi.
TIPIAL VAZIFALAR
1. Raqam ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , 5-ar sistemada berilgan, 7-ar sistemaga aylantiring, yaʼni toping. X, agar (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Yechim.
1) Berilgan (2 1 4 3) 5 sonini ( raqamiga aylantiring. da) 10 o'nlik sistemada yozilgan:
2. Qadamlarni bajaring:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Yechim.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Eslatma: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 yoziladi, 1 keyingi raqamga o'tadi, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 yoziladi, 1 keyingi raqamga o'tadi, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 yoziladi, 1 keyingi raqamga o'tadi. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Eslatma: | eng yuqori darajali birlikni "egallash", ya'ni "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Eslatma: | 2 ga ko'paytirganda: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, biz 1 yozamiz, 1 keyingi raqamga o'tadi, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, biz 0 yozamiz, 1 ga o'tadi. keyingi raqam, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 yoziladi, 1 keyingi raqamga o'tadi, 3 ga ko'paytirilganda: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 yoziladi, 1 keyingi raqamga o‘tadi, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, 2 yoziladi, 1 keyingi raqamga o‘tadi, 3×4 +1=13=2×5 +3, 3 yoziladi, 2 keyingi raqamga o'tadi. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Javob: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
MUSTAQIL ISH UCHUN MASHQLAR
151. Berilgan raqamlar t-ariy sistema, o'nli tizimga o'tkazish:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Raqamlar. kasr sistemasida berilgan, ga aylantiring t-ic tizimi. Chek qiling.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5; c) (3 7) 10 = ( X) 2; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12; g) (5 0 0) 10 = ( X) sakkiz; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) yigirma; j) (9 2 5) 10 = ( X) sakkiz; k) (6 3 3) 10 = ( X) o'n besh ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Berilgan raqamlar t-ariy sistema, tarjima qiling q-ic sistemasi (o'nlik sistemadan o'tish orqali).
a) (3 7) 8 = ( X) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9. e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) (1 2 3) 5 soniga o‘ng tomonda nol qo‘shilsa, qanday o‘zgaradi?
b) (5 7 6) 8 soniga o'ng tomonda ikkita nol qo'shilsa, qanday o'zgaradi?
155. Quyidagi amallarni bajaring:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Keyin:
I Agar maxraj bo'lsa b = b"(faqat "2" va/yoki "5" ni o'z ichiga oladi) - keyin kasr ga aylantiriladi final o'nlik kasr. O'nli kasrlar soni eng kichik natural songa teng l lº 0( mod b").
II Agar maxraj bo'lsa b = b 1("2" va "5" ni o'z ichiga olmaydi), keyin kasr ga aylantiriladi cheksiz sof davriy eng kichik natural songa teng k, qoniqarli taqqoslash 10 kº 1( mod b 1).
III Agar maxraj bo‘lsa b = b"× b 1 ("2" va/yoki "5" va boshqa tub omillarni o'z ichiga oladi), keyin kasr ga aylantiriladi cheksiz aralash davriy o'n-
tiqish fraktsiyasi.
Davr uzunligi eng kichik natural songa teng k, qoniqarli taqqoslash 10 kº 1( mod b 1).
Oldindan davr uzunligi eng kichik natural songa teng l, qoniqarli taqqoslash 10 lº 0( mod b").
9. 2. Xulosa.
9. 3. Yozib oling:
ratsional son - har qanday chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr;
Irratsional son har qanday cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrdir.
TIPIAL VAZIFALAR
1. O'nli kasr tizimida yozilgan bu oddiy kasrlar ga aylantiriladi
kasr, avval kerakli kasr turini aniqlagan holda (cheklangan yoki cheksiz; davriy yoki davriy bo'lmagan; agar - davriy bo'lsa, sof davriy yoki aralash davriy); oxirgi hollarda oldindan toping raqam k- davr uzunligi va soni l oldingi davrning uzunligi. bir); 2) ; 3).
Yechim.
1) Kasr = maxraj - son b= 80 = 2 4 × 5 faqat "2" va "5" ni o'z ichiga oladi. Shuning uchun bu kasr ga aylantiriladi final o'nlik kasr. Kasrlar soni ism shartdan aniqlanadi: 10 lº0 (mod80):
2) Kasr = maxraj - son b= 27 = 3 3 "2" va "5" ni o'z ichiga olmaydi. Shuning uchun bu kasr cheksizga aylanadi sof davriy o'nlik kasr. Davr uzunligi k nomi shartdan aniqlanadi: 10 kº1 (mod27):
3) Kasr = maxraj - son b= 24 = 2 3 × 3, ya'ni quyidagicha ko'rinadi: b = b"× b 1 ("2" yoki "5" dan tashqari, boshqa omillarni o'z ichiga oladi, bu holda 3 raqami). Shuning uchun bu kasr cheksizga aylanadi aralash davriy o'nlik kasr. Davr uzunligi k nomi shartdan aniqlanadi: 10 kº1 (mod3), qaerdan k nomi= 1, ya'ni davr uzunligi k= 1. Davrdan oldingi davr uzunligi ism shartdan aniqlanadi: 10 lº0 (mod8), qaerdan ism= 3, ya'ni oldingi davrning uzunligi l = 3.
Tekshiring: "burchak" ni 5 ga 24 ga bo'ling va oling: = 0, 208 (3).
Javob: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
MUSTAQIL ISH UCHUN MASHQLAR
156. O'nli kasr tizimida yozilgan bu oddiy kasrlar o'nli kasrlarga aylanadi. Agar o'nlik davriy bo'lsa, u holda avval raqamni toping k- davr uzunligi va soni l- oldingi davrning uzunligi.
157. O'nlik sanoq sistemasida yozilgan bu oddiy kasrlar ga aylantiriladi t-ar sistematik kasrlar. Raqamlarni toping k- davr uzunligi va l- oldingi davrning uzunligi.
158*. Qaysi sanoq sistemasida (4 6) 10 soni bir xil raqamlarda, lekin ichida yozilgan
teskari tartib?
159*. Qaysi biri katta: ikkilik sistemada 8-raqam birligi yoki sakkizlik sistemada 4-raqamning birligi?
§ 10. PASKAL TEOREMASI. BO'LISHLIK BELGILARI
NAZARIYADAN ASOSIY MA'LUMOTLAR
10. 1. Paskal teoremasi (1623 – 1662).
Natural sonlar berilgan: t > 1va n, t-ary tizimida yozilgan:
,bu yerda a i sonlar: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Mayli n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 va m = 9.
1) toping b i: modulm = 3 modulm = 9
10 0 º1(mod3), ya'ni. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), ya'ni. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), ya'ni. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), ya'ni. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), ya'ni. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), ya'ni. b
To'liq hisob-kitob tizimi. Berilgan chegirmalar tizimi. Eng keng tarqalgan chegirma tizimlari: eng kam ijobiy, eng kam salbiy, mutlaqo eng kam va boshqalar.
Teorema 1. To'liq va qisqartirilgan qoldiqlar tizimining xususiyatlari.
1°.Chigirmalarning to'liq tizimi mezonlari. Har qanday kombinatsiya m juftlik bilan taqqoslanmaydigan modul bo'lgan butun sonlar m, qoldiqlar modulining to'liq tizimini tashkil qiladi m.
2°. Agar raqamlar x 1 , x 2 , ..., x m- modulli qoldiqlarning to'liq tizimi m, (a, m) = 1, b ixtiyoriy butun son, keyin raqamlar bolta 1 +b, bolta 2 +b, ..., bolta m+b shuningdek, qoldiq modullarining to'liq tizimini tashkil qiladi m.
3°. Qisqartirilgan qisqartirish tizimining mezoni. j( dan tashkil topgan har qanday to'plam m) juftlik bilan taqqoslanmaydigan modul bo'lgan butun sonlar m va modul bilan moslashtirib, modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimini hosil qiladi m.
4°. Agar raqamlar x 1 , x 2 , ..., x j ( m) - modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi m, (a, m) = 1, keyin raqamlar bolta 1 , bolta 2 , ..., a x j ( m) shuningdek, modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimini tashkil qiladi m.
Teorema 2. Eyler teoremasi.
Agar raqamlar a va m keyin ko'paytiring a j ( m) º 1 (mod m).
Natija.
1°. Ferma teoremasi. Agar a p tub son va a ga bo'linmaydi p, keyin a p–1 º 1 (mod p).
2°. Umumlashtirilgan Ferma teoremasi. Agar a p u tub sondir a p º a(mod p) har qanday uchun aÎ Z .
§ to'rtinchi. O'zgaruvchi bilan taqqoslashlarni yechish
Taqqoslash qarori. Ekvivalentlik. Taqqoslash darajasi.
Teorema. Kongruenslar yechimlarining xossalari.
1°.Kongruentlarning yechimlari qoldiqlarning butun sinflaridir.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= z taqqoslash º 0 (mod m) va º 0 (mod m) ekvivalentdir.
3°. Agar taqqoslashning ikkala qismi modul bilan ko'paytirilgan songa ko'paytirilsa, u holda asl nusxaga ekvivalent bo'lgan taqqoslash olinadi.
4°. Har qanday taqqoslash moduli asosiy p darajasi oshmaydigan taqqoslashga tengdir p–1.
5°. Taqqoslash º 0 (mod p), qayerda p tub son bo‘lib, ko‘pi bilan ega n turli yechimlar.
6°. Vilson teoremasi. ( n-bir)! º –1 (mod n) Û n Bosh raqam.
§ 5. Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish
bolta º b(mod m).
Teorema. 1°. Agar a ( a, m) = 1, u holda taqqoslash yechimga ega va u yagonadir.
2°. Agar a ( a, m) = d va b ga bo'linmaydi d, keyin taqqoslash hech qanday yechimga ega emas.
3°. Agar a ( a, m) = d va b tomonidan bo'linadi d, keyin taqqoslash mavjud d modul qoldiqlarining bir sinfini tashkil etuvchi turli yechimlar.
Taqqoslashlarni yechish usullari bolta º b(mod m) qachon ( a, m) = 1:
1) tanlash (chegirmalarning to'liq tizimining elementlarini sanab o'tish);
2) Eyler teoremasidan foydalanish;
3) Evklid algoritmidan foydalanish;
4) koeffitsientlarni o'zgartirish (2.2-teoremadagi qoldiqlarning to'liq tizimining 2 ° xususiyatidan foydalangan holda);
§6. Birinchi darajali noaniq tenglamalar
bolta+tomonidan = c.
Teorema. Tenglama bolta+tomonidan = c echilishi mumkin bo'lgan taqdirda c (a, b).
Qachon ( a, b) = 1 tenglamaning barcha yechimlari formulalar bilan berilgan
tÎ Z , qayerda x 0 ba'zi taqqoslash yechimidir
bolta º c(mod b), y 0 = .
Diofant tenglamalari.
10-BOB. Murakkab sonlar
Kompleks sonlar sistemasiga ta'rif. Kompleks sonlar sistemasining mavjudligi
Kompleks sonlar sistemasiga ta'rif.
Teorema. Kompleks sonlar tizimi mavjud.
Model: R 2 operatsiyalar bilan
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, miloddan avvalgi+reklama),
i= (0, 1) va identifikatsiya a = (a, 0).
Kompleks sonning algebraik shakli
Kompleks sonning shaklda ifodalanishi z = a+bi, qayerda a, bÎ R , i 2 = -1. Bunday vakillikning o'ziga xosligi. Re z, Im z.
Kompleks sonlar ustida arifmetik amallarni algebraik shaklda bajarish qoidalari.
Arifmetika n-o'lchovli vektor fazosi C n. Chiziqli tenglamalar, matritsalar va determinantlar tizimlari C .
Kompleks sonlardan kvadrat ildizlarni algebraik shaklda ajratib olish.
qoldiqlarning to'liq tizimining bir qismi (Qarang. Qoldiqlarning to'liq tizimi), modul bilan mos keladigan raqamlardan iborat m. P. s. ichida. ph ni o'z ichiga oladi ( m) raqamlar [ph( m) bilan mos keladigan sonlar soni m va kichikroq m]. Har qanday ph( m) modul bo'yicha taqqoslanmaydigan raqamlar m va u bilan moslashtiring, P. s hosil qiling. ichida. ushbu modul uchun.
- - Kichkina massaga qarang ...
Jismoniy entsiklopediya
- - harakatlanuvchi mexanikada massalar taqsimotining shartli xarakteristikasi. yoki aralash tizim, jismoniy qarab. sistemaning parametrlari va uning harakat qonunidan...
Jismoniy entsiklopediya
- - modul m - bir modul bilan taqqoslanmaydigan har qanday butun sonlar to'plami. Odatda P. bilan. ichida. modulli eng kichik manfiy bo'lmagan qoldiqlar 0, 1, . . ...
Matematik entsiklopediya
- - ko'p qavatli uyning foydalanishga yaroqli maydonining yig'indisi, shuningdek, lodjiyalar, verandalar, balkonlar maydonlarining tegishli kamaytirish koeffitsientlari bilan - umumiy maydoni berilgan - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen...
Qurilish lug'ati
- - Tog' jinslarining g'ovaklik koeffitsientiga qarang ...
- - jinsning g'ovak hajmining tosh skeletining hajmiga nisbati, odatda birlikning fraktsiyalarida ifodalanadi ...
Gidrogeologiya va muhandislik geologiyasi lug'ati
- - g'ovaklik koeffitsientiga qarang ...
Tuproqshunoslikning izohli lug'ati
- - asosiy qism bilan bir xil ...
- - tizimning harakat tenglamalarini soddalashtirish uchun mexanikada kiritilgan harakatlanuvchi jismlar tizimidagi massalar taqsimotining shartli xarakteri ...
Katta ensiklopedik politexnika lug'ati
- - mamlakat norezidenti tomonidan olingan dividendlar yoki boshqa daromadlardan manbadan undiriladigan soliq...
Moliyaviy lug'at
- - mamlakat norezidenti tomonidan olingan dividendlar yoki boshqa daromadlardan manbadan undiriladigan soliq...
Biznes atamalarining lug'ati
- - modul m, har bir m son sinfidan bitta raqamni o'z ichiga olgan har qanday butun sonlar to'plami. P. bilan birga. ichida. eng ko'p ishlatiladigan eng kam ijobiy qoldiqlar tizimi 0, 1, 2,.....
- - harakatlanuvchi mexanik yoki aralash tizimdagi massalar taqsimotining shartli xarakteristikasi, tizimning fizik parametrlariga va uning harakat qonuniga bog'liq ...
Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
- - KAYTARILANGAN massa - tizimning fizik parametrlariga va uning harakat qonuniga qarab harakatlanuvchi mexanik yoki aralash tizimda massalar taqsimotining shartli xarakteristikasi ...
Katta ensiklopedik lug'at
- - umumiy, hammasi, yig'indisi, ...
Sinonim lug'at
- - adj., sinonimlar soni: 1 sof ...
Sinonim lug'at
Kitoblarda "chegirmalarning qisqartirilgan tizimi"
Asosiy vakolatlarning hozirgi qiymati qanday?
Vaznsiz boylik kitobidan. Nomoddiy aktivlar iqtisodiyotida kompaniyangiz qiymatini aniqlang muallif Thyssen ReneAsosiy vakolatlarning hozirgi qiymati qanday? Yuqoridagilardan kelib chiqib aytishimiz mumkinki, asosiy kompetensiyaning joriy qiymati barcha ko'rsatkichlarni ma'lum vaqt uchun jalb qilish xarajatlarini hisobga olgan holda ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi.
Hozirgi sof qiymat (NPV)
10 kun ichida MBA kitobidan. Dunyoning yetakchi biznes maktablarining eng muhim dasturi muallif Silbiger StivenSof joriy qiymat (NPV) Hozirgi qiymat (NPV) tahlili xodimning 30 yil ichida munosib pensiya olishi uchun qancha sarmoya kiritishi kerakligini hisoblashga yordam beradi, ammo bu tahlil joriy investitsiyalar va loyihalarni baholashda foydali emas. Investitsiyalar baholanishi kerak
METALATLAR VA ISHLAB CHIQARIShDAN ushlashlar HISOBI
Buxgalteriya kitobidan muallif Melnikov IlyaMETALATLAR VA ISH HAQIDA KECHIRILMALARNI E’tirof etish Xodimlarning ish haqidan qonun hujjatlariga muvofiq quyidagi ushlab qolishlar amalga oshiriladi: - daromad solig‘i (davlat solig‘i, soliq solish ob’ekti – ish haqi);
10.6. Ish haqini ushlab qolish va ushlab qolishlar hisobi
Qishloq xo'jaligida buxgalteriya hisobi kitobidan muallif Bychkova Svetlana Mixaylovna10.6. Ish haqidan ushlab qolingan va ushlab qolingan mablag'larni hisobga olish Korxona xodimlarining ish haqidan ma'lum ajratmalar amalga oshiriladi, ular quyidagilarga bo'linadi: majburiy ajratmalar (shaxsiy daromad solig'i, ijro hujjatlari bo'yicha ajratmalar);
"Nomoddiy aktivlar: buxgalteriya hisobi va soliq hisobi" kitobidan muallif Zaxaryin V R<...>
4.1. Ijtimoiy soliq imtiyozlarini berishning umumiy masalalari
muallif Makurova Tatyana4.1. Ijtimoiy soliq chegirmalarini ta'minlashning umumiy masalalari Ijtimoiy soliq imtiyozlari (Soliq kodeksining 219-moddasi), shuningdek uy-joy sotib olish uchun mol-mulk chegirmasi soliq solinadigan bazani ijtimoiy xarajatlarni hisobga olgan holda amalga oshirilgan ijtimoiy xarajatlar miqdoriga kamaytirishni anglatadi. qonunchilik
4.3. Ta'lim ajratmalarini ta'minlashning xususiyatlari
Shaxsiy daromad solig'i bo'yicha o'z-o'zidan darslik kitobidan muallif Makurova Tatyana4.3. Ta'lim chegirmalarini berishning o'ziga xos xususiyatlari 142) Ta'lim uchun chegirma sifatida qanday xarajatlar qabul qilinishi mumkin? Ta'lim chegirmalarining chegaralari qanday?Ta'lim uchun ijtimoiy soliq chegirmasi uchun quyidagilar qabul qilinadi: soliq to'lovchi tomonidan to'langan summadagi xarajatlar
3.4. Soliq chegirmalarining paydo bo'lishi va qo'llanilishining miqdori va chastotasi
"Korxonaning soliq yuki" kitobidan: tahlil, hisoblash, boshqarish muallif Chipurenko Elena Viktorovna3.4. Soliq chegirmalarining paydo bo'lishi va qo'llanilishi miqdori va chastotasi 3.4.1. Potentsial soliq chegirmasi sifatida QQS QQSni hisoblashda soliq chegirmalari summalari faqat soliq hisobi registrlari - sotib olish kitoblari ma'lumotlariga muvofiq belgilanadi. Da
Chegirmalarning to'liq tizimi
Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (PO) kitobidan TSBKamaytirilgan massa
TSBChegirmalarning qisqartirilgan tizimi
Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (PR) kitobidan TSB88. Sinxron tenglamalar sistemasining strukturaviy va kichraytirilgan shakllari. Modelni aniqlash
Ekonometrikadan imtihon chiptalariga javoblar kitobidan muallif Yakovleva Anjelina Vitalievna88. Sinxron tenglamalar sistemasining strukturaviy va kichraytirilgan shakllari. Modelni aniqlash Strukturaviy tenglamalar bir vaqtda tenglamalarning dastlabki tizimini tashkil etuvchi tenglamalardir. Bunda tizim tuzilmaviy shaklga ega bo'ladi.Tuzilish shakli
"Soliq kodeksidagi yangilik" kitobidan: 2008 yilda kuchga kirgan o'zgarishlarga sharh muallif Zrelov Aleksandr PavlovichSoliq chegirmalarini qo'llash tartibi 172-modda
muallif muallif noma'lum172-modda
Rossiya Federatsiyasining Soliq kodeksi kitobidan. Birinchi va ikkinchi qismlar. 2009 yil 1 oktyabr holatiga o'zgartirish va qo'shimchalar kiritilgan matn muallif muallif noma'lumSoliq chegirmalarini qo'llash tartibi 201-modda