Tekislikdagi juft chiziqlardan qaysi biri parallel. Tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlar. Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
![Tekislikdagi juft chiziqlardan qaysi biri parallel. Tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlar. Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni to'playmiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Zarur bo'lganda - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, agar biz bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak, siz haqingizdagi maʼlumotlarni oshkor qilishimiz mumkin.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs vorisiga topshirishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash
Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.
Tekislikda umumiy nuqtalari bo'lmasa, ya'ni kesishmasa, to'g'ri chiziqlar parallel deyiladi. Parallellikni ko'rsatish uchun maxsus || belgisidan foydalaning (parallel chiziqlar a || b).
Kosmosda yotgan chiziqlar uchun umumiy nuqtalarning yo'qligi talabi etarli emas - ular fazoda parallel bo'lishi uchun ular bir xil tekislikka tegishli bo'lishi kerak (aks holda ular qiyshiq bo'ladi).
Parallel chiziqlar misollari uchun uzoqqa borish shart emas, ular hamma joyda bizga hamroh bo'ladi, xonada ular devorning shift va pol bilan kesishgan chiziqlari, daftar varag'ida qarama-qarshi qirralar mavjud va hokazo.
Ko'rinib turibdiki, ikkita chiziq parallel va uchinchi chiziq birinchi ikkitadan biriga parallel bo'lsa, u ikkinchisiga parallel bo'ladi.
Tekislikdagi parallel chiziqlarni planimetriya aksiomalari yordamida isbotlab bo'lmaydigan gap bilan bog'lanadi. U fakt sifatida, aksioma sifatida qabul qilinadi: tekislikning to'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday nuqtasi uchun u orqali berilganga parallel ravishda o'tadigan bitta to'g'ri chiziq mavjud. Har bir oltinchi sinf o'quvchisi bu aksiomani biladi.
Uning fazoviy umumlashtirilishi, ya'ni fazoning chiziqda yotmaydigan har qanday nuqtasi uchun u orqali berilganga parallel ravishda o'tadigan yagona chiziq borligi haqidagi tasdig'i, avvaldan ma'lum bo'lgan parallellik aksiomasi yordamida osongina isbotlanadi. samolyot.
Parallel chiziqlarning xossalari
- Agar ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biri uchinchisiga parallel bo'lsa, ular o'zaro parallel bo'ladi.
Parallel chiziqlar tekislikda ham, fazoda ham shunday xususiyatga ega.
Misol tariqasida stereometriyada uning asoslanishini ko'rib chiqing.
b chiziqlar a to'g'riga parallel bo'lsin.
Barcha chiziqlar bir tekislikda yotsa, planimetriyaga qoldiriladi.
Faraz qilaylik, a va b betta tekisligiga tegishli, gamma esa a va c tegishli tekislikdir (fazoda parallellik ta'rifiga ko'ra, chiziqlar bir tekislikka tegishli bo'lishi kerak).
Agar betta va gamma tekisliklarni har xil deb hisoblasak va betta tekislikdan b to‘g‘rida ma’lum B nuqtani belgilasak, u holda B nuqtadan o‘tkazilgan tekislik va c chiziq betta tekislikni to‘g‘ri chiziqda kesishishi kerak (belgilaymiz bu b1).
Agar hosil bo'lgan b1 chizig'i gamma tekislikni kesib o'tgan bo'lsa, u holda, bir tomondan, kesishish nuqtasi a ustida yotishi kerak edi, chunki b1 betta tekisligiga tegishli, ikkinchi tomondan, u ham c ga tegishli bo'lishi kerak, chunki b1 uchinchi tekislikka tegishli.
Ammo a va c parallel chiziqlar kesishmasligi kerak.
Shunday qilib, b1 chizig'i betta tekisligiga tegishli bo'lishi kerak va shu bilan birga a bilan umumiy nuqtalarga ega bo'lmasligi kerak, shuning uchun parallellik aksiomasiga ko'ra u b bilan mos keladi.
c to‘g‘risi bilan bir tekislikka tegishli bo‘lgan va uni kesib o‘tmaydigan b chiziqqa to‘g‘ri keladigan b1 to‘g‘rini oldik, ya’ni b va c parallel.
- Berilgan toʻgʻri chiziqqa parallel boʻlmagan nuqta orqali faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtishi mumkin.
- Uchinchisiga perpendikulyar tekislikda yotgan ikkita to'g'ri chiziq parallel.
- Agar ikkita parallel chiziqlardan biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchi chiziq xuddi shu tekislikni kesib o'tadi.
- Uchinchisining parallel ikkita chizig'ining kesishishi natijasida hosil bo'lgan mos keladigan va o'zaro faoliyat ichki burchaklar tengdir, bu holda hosil bo'lgan ichki bir tomonlama bo'lganlarning yig'indisi 180 ° ni tashkil qiladi.
Qarama-qarshi gaplar ham to'g'ri bo'lib, ularni ikkita to'g'ri chiziqning parallellik belgilari sifatida qabul qilish mumkin.
Parallel chiziqlarning holati
Yuqorida ifodalangan xossa va belgilar chiziqlar parallelligi uchun shart bo‘lib, ularni geometriya usullari bilan isbotlash mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ikkita mavjud to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallelligini yoki burchaklarning tengligini, mos keladigan yoki bo'ylab yotganligini va hokazolarni isbotlash kifoya.
Isbot uchun ular asosan "ziddiyat bilan" usulidan, ya'ni chiziqlar parallel emas degan faraz bilan foydalanadilar. Bu taxminga asoslanib, osonlik bilan ko'rsatish mumkinki, bu holda berilgan shartlar buzilgan, masalan, o'zaro faoliyat ichki burchaklar teng bo'lmagan bo'lib chiqadi, bu esa qilingan farazning noto'g'riligini isbotlaydi.
Ikki chiziqning parallellik belgilari
Teorema 1. Agar sekantning ikkita chizig'i kesishmasida bo'lsa:
diagonal yotgan burchaklar teng yoki
mos burchaklar teng yoki
bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 °, keyin
chiziqlar parallel(1-rasm).
Isbot. Biz o'zimizni 1-holning isboti bilan cheklaymiz.
Faraz qilaylik, a va b to'g'rilar kesishmasida AB kesma bilan yotgan burchaklar teng bo'lsin. Masalan, ∠ 4 = ∠ 6. a || ekanligini isbotlaylik b.
Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. Keyin ular M nuqtada kesishadi va shuning uchun 4 yoki 6 burchaklardan biri ABM uchburchakning tashqi burchagi bo'ladi. Aniqlik uchun ∠ 4 ABM uchburchakning tashqi burchagi, ∠ 6 esa ichki bo'lsin. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan kelib chiqadiki, ∠ 4 ∠ 6 dan katta va bu shartga ziddir, ya'ni a va 6 chiziqlar kesishishi mumkin emas, shuning uchun ular parallel.
Xulosa 1. Xuddi shu chiziqqa perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi ikkita aniq chiziq parallel(2-rasm).
Izoh. Biz hozirgina 1-teoremaning 1-holatini isbotlagan usulimiz qarama-qarshilik yoki absurdlikka qisqartirish orqali isbotlash usuli deb ataladi. Bu usul o'zining birinchi nomini oldi, chunki mulohazaning boshida isbotlanishi kerak bo'lgan narsaga qarama-qarshi (teskari) taxmin qilinadi. Bu absurdga qisqarish deb ataladi, chunki biz qilingan faraz asosida bahslashib, bema'ni xulosaga (absurd) kelamiz. Bunday xulosani olish bizni boshida qilingan taxminni rad etishga va isbotlanishi kerak bo'lgan taxminni qabul qilishga majbur qiladi.
Vazifa 1. Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi va berilgan a to‘g‘riga parallel, M nuqtadan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqni quring.
Yechim. M nuqta orqali a chiziqqa perpendikulyar p chiziq o'tkazamiz (3-rasm).
Keyin M nuqta orqali p chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. 1-teoremaning xulosasiga ko'ra b chiziq a to'g'riga parallel.
Ko'rib chiqilgan muammodan muhim xulosa kelib chiqadi:
Berilgan to‘g‘rida bo‘lmagan nuqta orqali har doim berilgan chiziqqa parallel chiziq o‘tkazish mumkin..
Parallel chiziqlarning asosiy xossasi quyidagicha.
Parallel chiziqlar aksiomasi. Berilgan toʻgʻrida boʻlmagan nuqta orqali berilgan toʻgʻrilikka parallel boʻlgan faqat bitta chiziq bor.
Ushbu aksiomadan kelib chiqadigan parallel chiziqlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.
1) Agar chiziq ikkita parallel chiziqdan birini kesib o'tsa, u ikkinchisini kesib o'tadi (4-rasm).
2) Agar ikki xil chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi (5-rasm).
Quyidagi teorema ham to'g'ri.
Teorema 2. Agar ikkita parallel chiziq sekant bilan kesishsa, u holda:
yotgan burchaklar teng;
mos burchaklar teng;
bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180° ga teng.
Natija 2. Agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.(2-rasmga qarang).
Izoh. 2-teorema 1-teoremaning teskarisi deyiladi. 1-teoremaning xulosasi 2-teoremaning sharti. 1-teoremaning sharti esa 2-teoremaning xulosasidir. Har bir teorema teskari emas, yaʼni berilgan teorema toʻgʻri boʻlsa, u holda teskari teorema noto'g'ri bo'lishi mumkin.
Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolida tushuntiramiz. Bu teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir. Teskari teorema quyidagicha bo'ladi: agar ikkita burchak teng bo'lsa, ular vertikaldir. Va bu, albatta, to'g'ri emas. Ikki teng burchak umuman vertikal bo'lishi shart emas.
1-misol Ikki parallel chiziq uchdan biri bilan kesishadi. Ma'lumki, ikkita ichki bir tomonlama burchaklar orasidagi farq 30 ° ga teng. Bu burchaklarni toping.
Yechim. 6-rasm shartga javob bersin.
Ushbu maqolada biz parallel chiziqlar haqida gapiramiz, ta'riflar beramiz, parallellik belgilari va shartlarini belgilaymiz. Nazariy materialning ravshanligi uchun biz illyustratsiyalar va tipik misollar yechimidan foydalanamiz.
Ta'rif 1Tekislikdagi parallel chiziqlar tekislikdagi umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.
Ta'rif 2
3D fazoda parallel chiziqlar- uch o'lchovli fazoda bir tekislikda yotgan va umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.
Shuni ta'kidlash kerakki, kosmosdagi parallel chiziqlarni aniqlash uchun "bir tekislikda yotadigan" aniqlik juda muhim: uch o'lchovli fazoda umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq mavjud emas. parallel, lekin kesishgan.
Parallel chiziqlarni belgilash uchun ∥ belgisidan foydalanish odatiy holdir. Ya'ni, agar berilgan a va b chiziqlar parallel bo'lsa, bu shartni qisqacha quyidagicha yozish kerak: a ‖ b . Og'zaki ravishda chiziqlarning parallelligi quyidagicha ko'rsatiladi: a va b chiziqlar parallel yoki a chiziq b chiziqqa parallel yoki b chiziq a chiziqqa parallel.
Keling, o'rganilayotgan mavzuda muhim rol o'ynaydigan bayonotni tuzamiz.
Aksioma
Berilgan to‘g‘riga tegishli bo‘lmagan nuqta orqali berilgan to‘g‘riga parallel faqat bitta chiziq o‘tadi. Bu fikrni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi.
Kosmosga kelganda, teorema to'g'ri bo'ladi:
Teorema 1
Fazoning ma'lum bir chiziqqa tegishli bo'lmagan har qanday nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq bo'ladi.
Bu teoremani yuqoridagi aksioma (10-11-sinflar uchun geometriya dasturi) asosida isbotlash oson.
Parallellik belgisi - bu parallel chiziqlar kafolatlangan etarli shart. Boshqacha qilib aytganda, bu shartning bajarilishi parallellik faktini tasdiqlash uchun etarli.
Xususan, tekislik va fazoda chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart-sharoitlar mavjud. Tushuntiraylik: zarur shartni bildiradi, bajarilishi parallel chiziqlar uchun zarur; agar qoniqtirmasa, chiziqlar parallel emas.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, chiziqlar parallelligining zaruriy va etarli sharti shunday shart bo'lib, unga rioya qilish chiziqlar bir-biriga parallel bo'lishi uchun zarur va etarli. Bir tomondan, bu parallellik belgisi, boshqa tomondan, parallel chiziqlarga xos xususiyatdir.
Kerakli va etarli shartlarning aniq formulasini berishdan oldin, biz yana bir nechta qo'shimcha tushunchalarni eslaymiz.
Ta'rif 3
ajratuvchi chiziq berilgan ikkita mos kelmaydigan chiziqning har birini kesib o'tuvchi chiziq.
Ikki to'g'ri chiziqni kesib, sekant sakkizta kengaytirilmagan burchak hosil qiladi. Kerakli va etarli shartni shakllantirish uchun biz o'zaro faoliyat, mos keladigan va bir tomonlama kabi burchak turlaridan foydalanamiz. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz:
Teorema 2
Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq kesmani kesib oʻtsa, berilgan toʻgʻri toʻgʻrilar parallel boʻlishi uchun koʻndalang yotgan burchaklar teng boʻlishi yoki mos burchaklar teng boʻlishi yoki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180 ga teng boʻlishi zarur va yetarli. daraja.
Keling, tekislikdagi parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartni grafik tarzda ko'rsatamiz:
Bu shartlarning isboti 7-9-sinflar uchun geometriya dasturida mavjud.
Umuman olganda, bu shartlar ikki chiziq va sekant bir tekislikka tegishli bo'lishi sharti bilan uch o'lchovli fazo uchun ham amal qiladi.
Chiziqlar parallel ekanligini isbotlashda tez-tez ishlatiladigan yana bir nechta teoremalarni ko'rsatamiz.
Teorema 3
Tekislikda uchdan biriga parallel bo'lgan ikkita chiziq bir-biriga parallel. Bu xususiyat yuqorida qayd etilgan parallelizm aksiomasi asosida isbotlangan.
Teorema 4
Uch o'lchovli fazoda uchdan biriga parallel bo'lgan ikkita chiziq bir-biriga parallel.
Atributning isboti 10-sinf geometriya dasturida o‘rganiladi.
Biz ushbu teoremalarning rasmini beramiz:
Chiziqlar parallelligini isbotlovchi yana bir juft teoremani keltiramiz.
Teorema 5
Tekislikda uchdan biriga perpendikulyar ikkita chiziq bir-biriga parallel.
Keling, uch o'lchamli makon uchun shunga o'xshashni tuzamiz.
Teorema 6
Uch o'lchovli fazoda uchdan biriga perpendikulyar ikkita chiziq bir-biriga parallel.
Keling, misol qilib keltiramiz:
Yuqoridagi barcha teoremalar, belgilar va shartlar chiziqlarning parallelligini geometriya usullari bilan qulay tarzda isbotlash imkonini beradi. Ya'ni, chiziqlar parallelligini isbotlash uchun mos burchaklar teng ekanligini ko'rsatish yoki berilgan ikkita to'g'ri chiziq uchinchisiga perpendikulyar ekanligini ko'rsatish va hokazo. Ammo shuni ta'kidlaymizki, tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun ko'pincha koordinata usulidan foydalanish qulayroqdir.
To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi
Berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida to'g'ri chiziq mumkin bo'lgan tiplardan birining tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan aniqlanadi. Xuddi shunday, uch o'lchamli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan to'g'ri chiziq fazodagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalariga mos keladi.
Berilgan chiziqlarni tavsiflovchi tenglama turiga qarab to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shartlarni yozamiz.
Tekislikdagi parallel chiziqlar holatidan boshlaylik. U chiziqning yo'nalish vektori va tekislikdagi chiziqning normal vektorining ta'riflariga asoslanadi.
Teorema 7
Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq parallel boʻlishi uchun berilgan toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki berilgan toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori unga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. boshqa chiziqning normal vektori.
Ko'rinib turibdiki, tekislikdagi parallel chiziqlar holati kollinear vektorlar shartiga yoki ikkita vektorning perpendikulyarlik shartiga asoslanadi. Ya'ni, agar a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa;
va n b → = (n b x, n b y) a va b chiziqlarning normal vektorlari bo‘lsa, yuqoridagi zarur va yetarli shartni quyidagicha yozamiz: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y yoki n a → = t n b → ⇔ n a x. = t n b x n a y = t n b y yoki a →, n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, bu erda t qandaydir haqiqiy son. Yo'naltiruvchi yoki to'g'ridan-to'g'ri vektorlarning koordinatalari chiziqlarning berilgan tenglamalari bilan aniqlanadi. Keling, asosiy misollarni ko'rib chiqaylik.
- To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi a chiziq chiziqning umumiy tenglamasi bilan aniqlanadi: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; chiziq b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (A 1, B 1) va (A 2, B 2) koordinatalariga ega bo‘ladi. Parallellik shartini quyidagicha yozamiz:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- a to'g'ri chiziq qiyaligi y = k 1 x + b 1 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan tavsiflanadi. To'g'ri chiziq b - y \u003d k 2 x + b 2. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (k 1 , - 1) va (k 2, - 1) koordinatalariga ega bo'ladi va parallellik shartini quyidagicha yozamiz:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Shunday qilib, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi parallel chiziqlar qiyalik koeffitsientlari bilan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda berilgan chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari teng bo'ladi. Va teskari fikr to'g'ri: agar to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan chiziqlar bir xil qiyalik koeffitsientlariga ega bo'lgan chiziq tenglamalari bilan aniqlansa, bu berilgan chiziqlar paralleldir.
- To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi a va b chiziqlar tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamalari bilan berilgan: x - x 1 a x = y - y 1 a y va x - x 2 b x = y - y 2 b y yoki parametrik tenglamalar. tekislikdagi chiziqning: x = x 1 + l a x y = y 1 + l a y va x = x 2 + l b x y = y 2 + l b y .
U holda berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari mos ravishda: a x, a y va b x, b y bo'ladi va parallellik shartini quyidagicha yozamiz:
a x = t b x a y = t b y
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Ikki qator berilgan: 2 x - 3 y + 1 = 0 va x 1 2 + y 5 = 1 . Ular parallel yoki yo'qligini aniqlashingiz kerak.
Yechim
To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarga umumiy tenglama shaklida yozamiz:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
n a → = (2 , - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 chiziqning normal vektori, n b → = 2 , 1 5 esa x 1 2 + y 5 chiziqning normal vektori ekanligini ko'ramiz. = 1.
Olingan vektorlar kollinear emas, chunki tenglik to'g'ri bo'ladigan t ning bunday qiymati yo'q:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Demak, tekislikdagi chiziqlar parallelligining zaruriy va yetarli sharti qondirilmaydi, demak, berilgan chiziqlar parallel emas.
Javob: berilgan chiziqlar parallel emas.
2-misol
Berilgan y = 2 x + 1 va x 1 = y - 4 2 chiziqlar. Ular parallelmi?
Yechim
X 1 \u003d y - 4 2 to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga aylantiramiz:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
y = 2 x + 1 va y = 2 x + 4 chiziqlar tenglamalari bir xil emasligini (agar boshqacha bo'lsa, chiziqlar bir xil bo'lar edi) va chiziqlarning qiyaliklari teng ekanligini ko'ramiz. berilgan chiziqlar parallel.
Keling, muammoni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik. Birinchidan, berilgan chiziqlar mos kelishini tekshiramiz. Biz y \u003d 2 x + 1 chizig'ining istalgan nuqtasidan foydalanamiz, masalan, (0, 1) , bu nuqtaning koordinatalari x 1 \u003d y - 4 2 chiziq tenglamasiga mos kelmaydi, ya'ni chiziqlar bir-biriga mos kelmaydi.
Keyingi qadam berilgan chiziqlar uchun parallellik shartining bajarilishini aniqlashdan iborat.
y = 2 x + 1 chiziqning normal vektori n a → = (2 , - 1) vektor, ikkinchi berilgan chiziqning yo'nalish vektori esa b → = (1 , 2) dir. Ushbu vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Shunday qilib, vektorlar perpendikulyar: bu bizga dastlabki chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartning bajarilishini ko'rsatadi. Bular. berilgan chiziqlar parallel.
Javob: bu chiziqlar parallel.
Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimidagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun quyidagi zarur va etarli shart qo'llaniladi.
Teorema 8
Uch o'lchovli fazoda bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari kollinear bo'lishi zarur va etarli.
Bular. uch o'lchovli fazodagi chiziqlarning berilgan tenglamalari uchun: ular parallelmi yoki yo'qmi, degan savolga javob berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlash, shuningdek, ularning kollinearlik holatini tekshirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, a va b chiziqlarning mos ravishda a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) yo‘nalish vektorlari bo‘lsa, u holda ular parallel bo‘lishi uchun mavjudlik. Bunday haqiqiy sondan t zarur, shuning uchun tenglik amal qiladi:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
3-misol
Berilgan chiziqlar x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 va x = 2 + 2 l y = 1 z = - 3 - 6 l. Bu chiziqlarning parallelligini isbotlash kerak.
Yechim
Masalaning shartlari fazodagi bir to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari va fazodagi boshqa to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalaridir. Yo'nalish vektorlari a → va b → berilgan chiziqlar koordinatalariga ega: (1 , 0 , - 3) va (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, keyin a → = 1 2 b →.
Shuning uchun fazoda parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart qondiriladi.
Javob: berilgan chiziqlarning parallelligi isbotlangan.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Qancha davom etishmasin, ular kesishmaydi. Yozuvdagi chiziqlar parallelligi quyidagicha ko'rsatilgan: AB|| FROME
Bunday chiziqlarning mavjudligi teorema bilan isbotlangan.
Teorema.
Berilgan chiziqdan tashqarida olingan har qanday nuqta orqali bu chiziqqa parallel chizish mumkin..
Mayli AB bu qator va FROM ba'zi nuqta undan tashqarida olingan. Buni isbotlash talab qilinadi FROM to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin parallelAB. Keling, davom etaylik AB bir nuqtadan FROM perpendikulyarFROMD va keyin biz qilamiz FROME^ FROMD, nima mumkin. To'g'riga Idoralar parallel AB.
Dalil uchun biz buning aksini, ya'ni, deb faraz qilamiz Idoralar kesishadi AB bir nuqtada M. Keyin nuqtadan M to'g'ri chiziqqa FROMD bizda ikki xil perpendikulyar bo'lar edi MD va XONIM, bu mumkin emas. Ma'nosi, Idoralar bilan kesisha olmaydi AB, ya'ni. FROME parallel AB.
Natija.
Ikki perpendikulyar (CEvaD.B.) bitta to'g'ri chiziqqa (CD) parallel.
Parallel chiziqlar aksiomasi.
Xuddi shu nuqta orqali bir xil chiziqqa parallel ikki xil chiziq chizish mumkin emas.
Shunday qilib, agar to'g'ri chiziq bo'lsa FROMD, nuqta orqali chizilgan FROM to'g'ri chiziqqa parallel AB, keyin boshqa har qanday qator FROME xuddi shu nuqta orqali FROM, parallel bo'lishi mumkin emas AB, ya'ni. u davom etadi kesishadi Bilan AB.
Bu unchalik ravshan bo'lmagan haqiqatning isboti imkonsiz bo'lib chiqadi. U zaruriy faraz (postulatum) sifatida isbotsiz qabul qilinadi.
Oqibatlari.
1. Agar To'g'riga(FROME) biri bilan kesishadi parallel(SW), keyin u boshqasi bilan kesishadi ( AB), chunki aks holda bir xil nuqta orqali FROM ikki xil to'g'ri chiziq, parallel AB, bu mumkin emas.
2. Agar ikkalasining har biri bevosita (AvaB) bir xil uchinchi chiziqqa parallel ( FROM) , keyin ular paralleldir o'zaro.
Haqiqatan ham, agar biz buni taxmin qilsak A va B bir nuqtada kesishadi M, u holda bu nuqtadan bir-biriga parallel bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq o'tadi. FROM, bu mumkin emas.
Teorema.
Agar a to'g'ri chiziq perpendikulyar parallel chiziqlardan biriga, keyin ikkinchisiga perpendikulyar bo'ladi parallel.
Mayli AB || FROMD va EF ^ AB.Buni isbotlash talab etiladi EF ^ FROMD.
PerpendikulyarEF, bilan kesishadi AB, albatta kesishadi va FROMD. Kesishish nuqtasi bo'lsin H.
Aytaylik, endi FROMD perpendikulyar emas EH. Keyin, masalan, boshqa qator HK, ga perpendikulyar bo'ladi EH va shuning uchun bir xil nuqta orqali H ikki to'g'ri parallel AB: bitta FROMD, sharti bo'yicha va boshqa HK ilgari isbotlanganidek. Bu mumkin emasligi sababli, buni taxmin qilish mumkin emas SW ga perpendikulyar emas edi EH.