Funksiyaning limiti va uzluksizligi tushunchasi. Limit va davomiylik. Funksiyaning nuqta va intervaldagi uzluksizligi
![Funksiyaning limiti va uzluksizligi tushunchasi. Limit va davomiylik. Funksiyaning nuqta va intervaldagi uzluksizligi](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Funktsiyaning uzluksizligi. Tanaffus nuqtalari.
Buqa yurib, tebranib, xo'rsinib yo'lda:
- Oh, doska tugayapti, endi men yiqilaman!
Ushbu darsda biz funksiyaning uzluksizligi tushunchasini, uzilish nuqtalarining tasnifini va umumiy amaliy masalani tahlil qilamiz. uzluksizlik funksiyasini tekshirish. Mavzuning nomidan ko'pchilik intuitiv ravishda nima muhokama qilinishini taxmin qiladi va material juda oddiy deb o'ylaydi. Bu to'g'ri. Ammo bu oddiy vazifalar, ko'pincha e'tiborsizlik va ularni hal qilishda yuzaki yondashuv uchun jazolanadi. Shuning uchun, men sizga maqolani diqqat bilan o'rganishingizni va barcha nozikliklar va texnikani qo'lga kiritishingizni maslahat beraman.
Nimani bilishingiz va nimaga qodir bo'lishingiz kerak? Juda ham emas. Yaxshi o'rganish tajribasi uchun siz nimani tushunishingiz kerak funktsiya chegarasi. Tayyorgarlik darajasi past bo'lgan o'quvchilar uchun maqolani tushunish kifoya Funksiyalarning chegaralari. Yechim misollari va qo'llanmadagi chegaraning geometrik ma'nosini ko'ring Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Bundan tashqari, o'zingiz bilan tanishish tavsiya etiladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar, chunki amaliyot ko'p hollarda chizilgan qurilishni o'z ichiga oladi. Istiqbollar hamma uchun optimistikdir, hatto to'liq choynak ham keyingi yoki ikki soat ichida o'z-o'zidan vazifani uddalay oladi!
Funktsiyaning uzluksizligi. To'xtash nuqtalari va ularning tasnifi
Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi
Butun haqiqiy chiziqda uzluksiz ba'zi funksiyalarni ko'rib chiqing:
Yoki qisqacha aytganda, bizning funktsiyamiz uzluksiz (haqiqiy sonlar to'plami).
Davomiylikning "filist" mezoni nima? Ko'rinib turibdiki, uzluksiz funksiya grafigini qalamni qog'ozdan ko'tarmasdan chizish mumkin.
Bunday holda, ikkita oddiy tushunchani aniq ajratib ko'rsatish kerak: funksiya doirasi va funksiyaning uzluksizligi. Umuman bir xil emas. Masalan:
Bu funktsiya butun son satrida aniqlanadi, ya'ni uchun hamma"x" ning qiymati "y" ning o'ziga xos qiymatiga ega. Xususan, agar , keyin . E'tibor bering, boshqa nuqta teshilgan, chunki funktsiya ta'rifiga ko'ra, argumentning qiymati mos kelishi kerak. yagona narsa funktsiya qiymati. Shunday qilib, domen Bizning xususiyatlarimiz: .
Biroq bu funksiya uzluksiz ishlamaydi! Shu nuqtada u chidashi aniq bo'shliq. Bu atama ham juda tushunarli va tushunarli, haqiqatan ham bu erda qalamni qog'ozdan yirtib tashlash kerak bo'ladi. Birozdan keyin biz to'xtash nuqtalarining tasnifini ko'rib chiqamiz.
Funksiyaning nuqta va intervaldagi uzluksizligi
Muayyan matematik masalada funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi, oraliqdagi funksiyaning uzluksizligi, yarim interval yoki segmentdagi funksiyaning uzluksizligi haqida gapirish mumkin. Ya'ni, "shunchaki davomiylik" yo'q– funktsiya QAYoRDA uzluksiz bo‘lishi mumkin. Va hamma narsaning asosiy "g'ishtlari" funksiyaning uzluksizligi nuqtada .
Matematik analiz nazariyasi funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligini "delta" va "epsilon" qo'shnilari yordamida belgilaydi, ammo amalda boshqa ta'rif qo'llaniladi, biz unga jiddiy e'tibor qaratamiz.
Avval eslaylik bir tomonlama chegaralar birinchi darsda hayotimizga kirib kelgan Funktsiya grafiklari haqida. Kundalik vaziyatni ko'rib chiqing:
Agar biz o'q bo'ylab nuqtaga yaqinlashsak chap(qizil o'q), keyin "o'yinlar" ning tegishli qiymatlari o'q bo'ylab nuqtaga o'tadi (malinali o'q). Matematik jihatdan bu fakt yordamida aniqlanadi chap qo'l chegarasi:
Kirishga e'tibor bering (u "x chapdan ka ga moyil" deb o'qiydi). "Qo'shimcha" "minus nol" ramziy ma'noni anglatadi , bu aslida biz chap tomondan raqamga yaqinlashayotganimizni anglatadi.
Xuddi shunday, agar siz "ka" nuqtasiga yaqinlashsangiz o'ngda(ko'k o'q), keyin "o'yinlar" bir xil qiymatga keladi, lekin yashil o'q bo'ylab, va o'ng qo'l chegarasi quyidagicha formatlanadi:
"Qo'shimcha" ramziy ma'noni anglatadi , va yozuv shunday o'qiydi: "x o'ngdan ka ga intiladi."
Agar bir tomonlama chegaralar chekli va teng bo'lsa(bizning holatimizda bo'lgani kabi): , keyin UMUMIY chegara borligini aytamiz. Hammasi oddiy, umumiy chegara bizning "odatiy" funktsiya chegarasi yakuniy raqamga teng.
E'tibor bering, agar funktsiya belgilanmagan bo'lsa (grafik novdasidagi qora nuqtani olib tashlang), unda sanab o'tilgan hisob-kitoblar o'z kuchida qoladi. Bir necha bor ta'kidlanganidek, xususan, maqolada cheksiz kichik funksiyalar haqida, iboralar "x" degan ma'noni anglatadi cheksiz yaqin nuqtaga yaqinlashadi, esa AHAMIYATI YO'Q funktsiyaning o'zi berilgan nuqtada aniqlanganmi yoki yo'qmi. Yaxshi misol keyingi bo'limda funksiya tahlil qilinganda topiladi.
Ta'rif: funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi, agar funksiyaning berilgan nuqtadagi chegarasi shu nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo‘lsa: .
Ta'rif quyidagi atamalarda batafsil bayon etilgan:
1) Funktsiya nuqtada aniqlanishi kerak, ya'ni qiymat mavjud bo'lishi kerak.
2) Funktsiyaning umumiy chegarasi bo'lishi kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu bir tomonlama chegaralarning mavjudligi va tengligini anglatadi: .
3) Funksiyaning berilgan nuqtadagi chegarasi funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo lishi kerak: .
Agar buzilgan bo'lsa kamida bitta uchta shartdan, keyin funksiya nuqtada uzluksizlik xususiyatini yo'qotadi.
Funksiyaning intervaldagi uzluksizligi aqlli va juda sodda tarzda tuzilgan: funktsiya berilgan intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, intervalda uzluksizdir.
Xususan, cheksiz oraliqda, ya'ni haqiqiy sonlar to'plamida ko'p funktsiyalar uzluksizdir. Bu chiziqli funktsiya, polinomlar, ko'rsatkichlar, sinuslar, kosinuslar va boshqalar. Va umuman olganda, har qanday elementar funktsiya uning ustida doimiy domenlar, shuning uchun, masalan, logarifmik funktsiya oraliqda uzluksizdir. Umid qilamanki, hozir siz asosiy funktsiyalarning grafiklari qanday ko'rinishi haqida yaxshi tasavvurga egasiz. Ularning uzluksizligi haqida batafsil ma'lumotni Fichtenholtz ismli mehribon odamdan olish mumkin.
Segment va yarim intervallardagi funktsiyaning uzluksizligi bilan hamma narsa oddiy, ammo bu haqda darsda gapirish o'rinliroq. segmentdagi funksiyaning minimal va maksimal qiymatlarini topish bo'yicha shu paytgacha boshimizni egib turaylik.
Tanaffus nuqtalarining tasnifi
Funksiyalarning qiziqarli hayoti har xil maxsus nuqtalarga boy va buzilish nuqtalari ularning tarjimai holining sahifalaridan faqat bittasi.
Eslatma : har holda, men bir elementar momentga to'xtalib o'taman: uzilish nuqtasi har doim yagona nuqta- "ketma-ket bir nechta tanaffus nuqtasi" yo'q, ya'ni "uzilish oralig'i" degan tushuncha yo'q.
Bu nuqtalar, o'z navbatida, ikkita katta guruhga bo'lingan: birinchi turdagi tanaffuslar va ikkinchi turdagi tanaffuslar. Bo'shliqning har bir turi o'ziga xos xususiyatlarga ega, biz ularni hozir ko'rib chiqamiz:
Birinchi turdagi uzilish nuqtasi
Agar bir nuqtada uzluksizlik sharti buzilgan bo'lsa va bir tomonlama chegaralar cheklangan , keyin chaqiriladi birinchi turdagi sinish nuqtasi.
Keling, eng optimistik holatdan boshlaylik. Darsning dastlabki g'oyasiga ko'ra, men nazariyani "umumiy ma'noda" aytmoqchi edim, ammo materialning haqiqatini ko'rsatish uchun men aniq aktyorlar bilan variantga qaror qildim.
Afsuski, abadiy olov fonida yangi turmush qurganlarning fotosurati kabi, lekin quyidagi ramka odatda qabul qilinadi. Chizmadagi funksiya grafigini chizamiz:
Bu funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida uzluksizdir. Haqiqatan ham, maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas. Biroq, chegaraning ma'nosiga muvofiq - biz qila olamiz cheksiz yaqin"nol" ga chapdan ham, o'ngdan ham yaqinlashing, ya'ni bir tomonlama chegaralar mavjud va aniqki, mos keladi: (2-sonli uzluksizlik sharti bajariladi).
Lekin funksiya nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun uzluksizlikning №1 sharti buziladi va bu nuqtada funktsiya tanaffusga uchraydi.
Ushbu turdagi tanaffus (mavjud umumiy chegara) deyiladi ta'mirlanadigan bo'shliq. Nima uchun olinadigan? Chunki funktsiya mumkin qayta belgilang buzilish nuqtasida:
Bu g'alati ko'rinadimi? Balki. Ammo bunday funktsiya yozuvi hech narsaga zid kelmaydi! Endi bo'shliq tuzatildi va hamma xursand:
Keling, rasmiy tekshiruvni o'tkazamiz:
2) - umumiy chegara mavjud;
3)
Shunday qilib, har uch shart ham qondiriladi va funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta'rifi bilan nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Biroq, matan nafratlanuvchilari, masalan, funktsiyani yomon tarzda qayta belgilashlari mumkin :
Qizig'i shundaki, birinchi ikkita uzluksizlik sharti bu erda qondiriladi:
1) - funksiya berilgan nuqtada aniqlangan;
2) - umumiy chegara mavjud.
Lekin uchinchi chegaradan o'tmagan: , ya'ni nuqtadagi funksiya chegarasi teng emas berilgan funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymati.
Shunday qilib, bir nuqtada, funktsiya uzilishga duchor bo'ladi.
Ikkinchi, qayg'uli holat deyiladi birinchi turdagi tanaffus sakrash bilan. Va qayg'u bir tomonlama chegaralardan kelib chiqadi cheklangan va har xil. Misol darsning ikkinchi chizmasida ko'rsatilgan. Bu bo'shliq odatda paydo bo'ladi qismlarga bo'lingan funktsiyalar allaqachon maqolada aytib o'tilgan. diagramma transformatsiyasi haqida.
Bo'laklarga bo'lingan funktsiyani ko'rib chiqing va uning chizilgan rasmini bajaring. Grafikni qanday qurish mumkin? Juda onson. Yarim oraliqda biz parabola parchasini (yashil), oraliqda - to'g'ri chiziq segmentini (qizil) va yarim intervalda - to'g'ri chiziqni (ko'k) chizamiz.
Shu bilan birga, tengsizlik tufayli kvadratik funktsiya uchun qiymat (yashil nuqta) va tengsizlik tufayli chiziqli funktsiya (ko'k nuqta) uchun qiymat aniqlanadi:
Eng qiyin holatda, grafikning har bir qismini nuqtali qurishga murojaat qilish kerak (birinchi qismga qarang). funksiyalar grafiklari haqida dars).
Hozircha bizni faqat mavzu qiziqtiradi. Keling, buni davomiylik uchun tekshiramiz:
2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblang.
Chap tomonda bizda qizil chiziq segmenti bor, shuning uchun chap chegara:
O'ng tomonda ko'k to'g'ri chiziq va o'ng tomonda chegara mavjud:
Natijada, chekli sonlar, va ular teng emas. Chunki bir tomonlama chegaralar cheklangan va har xil: , keyin bizning funktsiyamiz yomonlashadi sakrash bilan birinchi turdagi uzilish.
Bo'shliqni bartaraf etib bo'lmasligi mantiqan to'g'ri - funktsiyani haqiqatan ham aniqlab bo'lmaydi va oldingi misolda bo'lgani kabi "bir-biriga yopishmaydi".
Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari
Odatda, boshqa barcha buzilish holatlari ayyorlik bilan ushbu toifaga tegishli. Men hamma narsani sanab o'tmayman, chunki amalda siz 99% vazifalarga duch kelasiz cheksiz bo'shliq- chap yoki o'ng qo'lda va ko'pincha ikkala chegara cheksizdir.
Va, albatta, eng aniq rasm - bu nolga teng bo'lgan giperbola. Bu erda ikkala bir tomonlama chegaralar cheksizdir: , shuning uchun funksiya nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga duchor bo'ladi.
Men o'z maqolalarimni eng xilma-xil tarkib bilan to'ldirishga harakat qilaman, shuning uchun funksiyaning hali ko'rilmagan grafigini ko'rib chiqaylik:
standart sxema bo'yicha:
1) Funktsiya bu nuqtada aniqlanmagan, chunki maxraj nolga tushadi.
Albatta, funktsiya nuqtada tanaffusga duchor bo'lganligi haqida darhol xulosa qilish mumkin, lekin ko'pincha shart bilan talab qilinadigan tanaffusning tabiatini tasniflash yaxshi bo'lar edi. Buning uchun:
Sizga eslatib o'taman, rekord degani cheksiz kichik manfiy son, va yozuv ostida - cheksiz kichik musbat son.
Bir tomonlama chegaralar cheksizdir, ya'ni funktsiya nuqtada 2-turdagi uzilishga duchor bo'ladi. Y o'qi vertikal asimptota diagramma uchun.
Ikkala bir tomonlama chegaralarning mavjudligi kamdan-kam emas, lekin ulardan faqat bittasi cheksizdir, masalan:
Bu funksiyaning grafigi.
Biz uzluksizlik nuqtasini ko'rib chiqamiz:
1) Funktsiya bu nuqtada aniqlanmagan.
2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblang:
Bunday bir tomonlama chegaralarni hisoblash metodologiyasi haqida ma'ruzaning so'nggi ikki misolida gaplashamiz, garchi ko'plab o'quvchilar allaqachon hamma narsani ko'rgan va taxmin qilgan.
Chap chegara cheklangan va nolga teng (biz "nuqtaning o'ziga bormaymiz"), lekin o'ng chegara cheksiz va grafikning to'q sariq novdasi o'ziga cheksiz yaqin. vertikal asimptota tenglama bilan berilgan (chiziqli qora chiziq).
Shunday qilib, funktsiya zarar ko'radi ikkinchi turdagi tanaffus nuqtada.
1-turdagi uzilishga kelsak, funktsiya uzilish nuqtasining o'zida aniqlanishi mumkin. Masalan, qismli funksiya uchun dadillik bilan kelib chiqishiga qora qalin nuqta qo'ying. O'ng tomonda giperbolaning shoxchasi joylashgan va o'ng chegara cheksizdir. O'ylaymanki, deyarli hamma bu grafik qanday ko'rinishini tasavvur qildi.
Hamma intiqlik bilan kutgan narsa:
Davomiylik uchun funktsiyani qanday tekshirish mumkin?
Bir nuqtada uzluksizlik funktsiyasini o'rganish uchta uzluksizlik shartini tekshirishdan iborat bo'lgan allaqachon ishlab chiqarilgan muntazam sxema bo'yicha amalga oshiriladi:
1-misol
Funktsiyani o'rganish
Yechim:
1) Funktsiya aniqlanmagan yagona nuqta ko'rish ostiga tushadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblang:
Bir tomonlama chegaralar chekli va tengdir.
Shunday qilib, bir nuqtada funktsiya to'xtab bo'lmaydigan uzilishga duchor bo'ladi.
Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega?
Men soddalashtirmoqchiman , va u oddiy parabola kabi ko'rinadi. LEKIN asl funktsiya nuqtasida aniqlanmagan, shuning uchun quyidagi ogohlantirish talab qilinadi:
Keling, chizmani bajaramiz:
Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, uning uzilish nuqtasidan tashqari.
Funktsiya yaxshi yoki unchalik yaxshi bo'lmagan tarzda qayta belgilanishi mumkin, ammo bu shart tomonidan talab qilinmaydi.
Siz misolni uzoq deb aytasizmi? Arzimaydi. Amalda o'nlab marta sodir bo'ldi. Saytning deyarli barcha vazifalari haqiqiy mustaqil va nazorat ishlaridan kelib chiqadi.
Keling, sevimli modullarimizni ajratamiz:
2-misol
Funktsiyani o'rganish davomiylik uchun. Agar mavjud bo'lsa, funktsiya uzilishlarining xarakterini aniqlang. Chizmani bajaring.
Yechim: negadir talabalar qo'rqishadi va modulli funktsiyalarni yoqtirmaydilar, garchi ularda hech qanday murakkab narsa yo'q. Biz allaqachon darsda bunday narsalarga biroz to'xtalib o'tdik. Geometrik chizma o'zgarishlari. Modul manfiy bo'lmagani uchun u quyidagicha kengayadi: , bu erda "alfa" qandaydir ifodadir. Bu holda, , va bizning funktsiyamiz qisman imzolanishi kerak:
Lekin har ikkala bo'lakning kasrlarini ga kamaytirish kerak. Qisqartirish, avvalgi misolda bo'lgani kabi, oqibatlarsiz o'tmaydi. Asl funktsiya nuqtada aniqlanmagan, chunki maxraj yo'qoladi. Shuning uchun tizim qo'shimcha shartni ko'rsatishi va birinchi tengsizlikni qat'iy qilishi kerak:
Endi JUDA FOYDALI trik uchun: qoralama bo'yicha topshiriqni yakunlashdan oldin, rasm chizish foydali bo'ladi (shart talab qiladimi yoki yo'qligidan qat'iy nazar). Bu, birinchidan, uzluksizlik va uzilish nuqtalarini darhol ko'rishga yordam beradi, ikkinchidan, bir tomonlama chegaralarni topishda sizni xatolardan 100% qutqaradi.
Keling, hiyla qilaylik. Bizning hisob-kitoblarimizga ko'ra, nuqtaning chap tomoniga parabolaning (ko'k) bo'lagini va o'ngga - parabolaning bo'lagini (qizil) chizish kerak, bunda funktsiya nuqtaning o'zida aniqlanmagan. :
Agar shubhangiz bo'lsa, bir nechta "x" qiymatlarini oling, ularni funktsiyaga almashtiring (modul mumkin bo'lgan minus belgisini yo'q qilishini eslab) va grafikni tekshiring.
Biz uzluksizlik funksiyasini analitik tarzda tekshiramiz:
1) Funktsiya nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun biz darhol uning uzluksiz emasligini aytishimiz mumkin.
2) Uzluksizlik xarakterini aniqlaymiz, buning uchun biz bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:
Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi. Yana bir bor e'tibor bering, chegaralarni topishda, tanaffus nuqtasidagi funktsiya aniqlangan yoki aniqlanmaganligi muhim emas.
Endi chizmani qoralamadan o'tkazish kerak (u xuddi tadqiqot yordamida qilingan ;-)) va vazifani bajarish:
Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, u sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.
Ba'zan uzluksiz sakrashni qo'shimcha ravishda ko'rsatish talab qilinadi. U elementar tarzda hisoblanadi - chap chegarani o'ng chegaradan olib tashlash kerak: , ya'ni tanaffus nuqtasida bizning funktsiyamiz 2 birlik pastga sakrab chiqdi (bu haqda minus belgisi aytiladi).
3-misol
Funktsiyani o'rganish davomiylik uchun. Agar mavjud bo'lsa, funktsiya uzilishlarining xarakterini aniqlang. Chizma qiling.
Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun namuna, dars oxirida namunali yechim.
Funktsiya uchta bo'lakdan iborat bo'lganda, vazifaning eng mashhur va keng tarqalgan versiyasiga o'tamiz:
4-misol
Uzluksizlik funksiyasini o‘rganing va funksiya grafigini tuzing .
Yechim: funktsiyaning barcha uch qismi mos keladigan intervallarda uzluksiz ekanligi aniq, shuning uchun bo'laklar orasidagi faqat ikkita "birikma" nuqtasini tekshirish qoladi. Birinchidan, keling, qoralama chizamiz, men maqolaning birinchi qismida qurilish texnikasini etarlicha batafsil izohladim. Bitta narsa - bizning yagona nuqtalarimizni diqqat bilan kuzatib boring: tengsizlik tufayli qiymat to'g'ri chiziqqa (yashil nuqta) tegishli va tengsizlik tufayli qiymat parabolaga (qizil nuqta) tegishli:
Xo'sh, printsipial jihatdan, hamma narsa aniq =) Qaror qabul qilish qoladi. Ikkita "ko't" nuqtasining har biri uchun biz standart sifatida 3 ta uzluksizlik shartini tekshiramiz:
men) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz
1)
Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi.
Uzluksiz sakrashni o'ng va chap chegaralar orasidagi farq sifatida hisoblaylik:
, ya'ni diagramma bir birlik yuqoriga ko'tarildi.
II) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz
1) – funksiya berilgan nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni toping:
- bir tomonlama chegaralar chekli va teng, shuning uchun umumiy chegara mavjud.
3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Yakuniy bosqichda biz chizmani toza nusxaga o'tkazamiz, shundan so'ng biz oxirgi akkordni qo'yamiz:
Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.
5-misol
Uzluksizlik funksiyasini o‘rganing va uning grafigini tuzing .
Bu mustaqil yechimga misol, qisqacha yechim va dars oxiridagi masalaning taxminiy namunasidir.
Bir nuqtada funktsiya uzluksiz bo'lishi kerak, boshqa nuqtada esa uzilish bo'lishi kerak degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Amalda, bu har doim ham shunday emas. Qolgan misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling - bir nechta qiziqarli va muhim xususiyatlar bo'ladi:
6-misol
Funktsiya berilgan . Nuqtalardagi uzluksizlik funksiyasini o'rganing. Grafik tuzing.
Yechim: va yana darhol qoralama ustidagi rasmni bajaring:
Ushbu grafikning o'ziga xosligi shundaki, bo'laklarga bo'lingan funktsiya uchun abscissa o'qi tenglamasi berilgan. Bu erda bu qism yashil rangda chizilgan va daftarda u odatda oddiy qalam bilan jasorat bilan ta'kidlangan. Va, albatta, bizning qo'ylarimiz haqida unutmang: qiymat tangens filialiga (qizil nuqta) tegishli va qiymat to'g'ri chiziqqa tegishli.
Chizmadan hamma narsa aniq - funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz, 3-4 ta shunga o'xshash misoldan so'ng to'liq avtomatizmga olib keladigan yechimni tuzish qoladi:
men) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz
1) - funksiya berilgan nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblang:
, shuning uchun umumiy chegara mavjud.
Har bir o't o'chiruvchi uchun arzimas bir haqiqatni eslatib o'taman: doimiyning chegarasi doimiyning o'ziga teng. Bunday holda, nol chegarasi nolga teng bo'ladi (chap chegara).
3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Shunday qilib, funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lgan funktsiyaning ta'rifi bilan bir nuqtada uzluksizdir.
II) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz
1) - funksiya berilgan nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni toping:
Va bu erda - birlikning chegarasi birlikning o'ziga teng.
- umumiy chegara mavjud.
3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Shunday qilib, funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lgan funktsiyaning ta'rifi bilan bir nuqtada uzluksizdir.
Odatdagidek, o'rganishdan so'ng biz chizilgan rasmimizni toza nusxaga o'tkazamiz.
Javob: funksiya nuqtalarda uzluksiz.
Shuni esda tutingki, bu holatda bizdan uzluksizlik uchun butun funktsiyani o'rganish haqida hech narsa so'ralmagan va uni shakllantirish uchun yaxshi matematik shakl hisoblanadi. aniq va aniq berilgan savolga javob. Aytgancha, agar shartga ko'ra, grafik yaratish talab etilmasa, unda siz uni qurmaslikka to'liq huquqingiz bor (garchi keyinchalik o'qituvchi sizni buni qilishga majbur qilishi mumkin).
Mustaqil yechim uchun kichik matematik "patter":
7-misol
Funktsiya berilgan . Nuqtalardagi uzluksizlik funksiyasini o'rganing. Agar mavjud bo'lsa, to'xtash nuqtalarini tasniflang. Chizmani bajaring.
Barcha "so'zlarni" to'g'ri "talaffuz qilishga" harakat qiling =) Va grafikni aniqroq chizing, aniqlik, hamma joyda ortiqcha bo'lmaydi ;-)
Esingizda bo'lsa, men darhol qoralama chizishingizni tavsiya qildim, lekin vaqti-vaqti bilan grafikning qanday ko'rinishini darhol aniqlay olmaydigan misollar mavjud. Shuning uchun, bir qator hollarda, birinchi navbatda, bir tomonlama chegaralarni topish va shundan keyingina tadqiqot asosida shoxlarni tasvirlash foydalidir. Oxirgi ikkita misolda biz bir tomonlama chegaralarni hisoblash texnikasini ham o'rganamiz:
8-misol
Uzluksizlik funksiyasini o‘rganing va uning sxematik grafigini tuzing.
Yechim: yomon nuqtalar aniq: (ko'rsatkichning maxrajini nolga aylantiradi) va (butun kasrning maxrajini nolga aylantiradi). Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishi aniq emas, demak, birinchi navbatda tadqiqot qilish yaxshiroqdir.
Agar to'plamda hech qanday element bo'lmasa, u chaqiriladi bo'sh to'plam va qayd etilgan Ø .
Mavjudlik kvantifikatori
∃- ekzistensial kvantifikator, "mavjud" so'zlari o'rniga ishlatiladi,
"mavjud". Belgilar birikmasi ∃!
Mutlaq qiymat
Ta'rif. Haqiqiy sonning mutlaq qiymati (modul) manfiy bo'lmagan son bo'lib, u quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Masalan,
Modul xususiyatlari
Agar va haqiqiy sonlar bo'lsa, unda quyidagi tengliklar bajariladi:
Funktsiya
funktsiya argumentlari deb ataladigan bir miqdorning har bir qiymati funktsiya qiymatlari deb ataladigan boshqa miqdorlarning qiymatlari bilan bog'liq bo'lgan ikki yoki undan ortiq miqdorlar o'rtasidagi munosabat.
Funktsiya doirasi
Funktsiya sohasi - bu funktsiyaga kiritilgan barcha operatsiyalar bajarilishi mumkin bo'lgan x mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari.
uzluksiz funksiya
a nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan f (x) funksiya, agar bu nuqtada uzluksiz deyiladi
![]() |
Raqamlar ketma-ketligi
ko'rish funktsiyasi y= f(x), x O N, qayerda N- natural sonlar to'plami (yoki natural argumentning funktsiyasi), belgilangan y=f(n) yoki y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Qiymatlar y 1 ,y 2 ,y 3 , ... navbati bilan ketma-ketlikning birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... a'zolari deyiladi.
Uzluksiz argument funksiyasining chegarasi
A soni x->x0 uchun y=f(x) funksiyaning chegarasi deyiladi, agar x ning barcha qiymatlari x0 sonidan etarlicha oz farq qiladigan bo'lsa, f(x) funksiyaning mos qiymatlari. ) A sonidan ixtiyoriy ravishda kam farq qiladi
cheksiz kichik funktsiya
Funktsiya y=f(x) chaqirdi cheksiz kichik da x→a yoki qachon x→∞ agar yoki bo'lsa, ya'ni. Cheksiz kichik funktsiya - berilgan nuqtadagi chegarasi nolga teng bo'lgan funksiya.
![]() |
Raqamli ketma-ketlikning chegarasi haqida tushuncha
Avval sonli ketma-ketlikning ta'rifini eslaylik.
Ta'rif 1
Natural sonlar to'plamini haqiqiy sonlar to'plamiga solishtirish deyiladi raqamli ketma-ketlik.
Raqamli ketma-ketlikning chegarasi tushunchasi bir nechta asosiy ta'riflarga ega:
- Haqiqiy $a$ soni $(x_n)$ sonli ketma-ketlikning chegarasi deyiladi, agar har qanday $\varepsilon >0$ uchun $\varepsilon$ ga qarab $N$ indeksi mavjud boʻlsa, har qanday indeks uchun $n> N boʻlsa. $ tengsizlik $\left|x_n-a\right|
- Haqiqiy $a$ soni $(x_n)$ sonli ketma-ketlikning chegarasi deyiladi, agar $a$ nuqtaning har qanday qoʻshnisi $(x_n)$ ketma-ketligining barcha aʼzolarini oʻz ichiga olsa, chekli sondan tashqari mumkin. a'zolari.
Raqamli ketma-ketlik chegarasining qiymatini hisoblash misolini ko'rib chiqing:
1-misol
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$ chegarasini toping
Yechim:
Ushbu vazifani hal qilish uchun biz birinchi navbatda ifodaga kiritilgan eng yuqori darajadagi qavslarni olishimiz kerak:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\o'ng))(n^2\left(2-\frac(1)) (n)-\frac(1)(n^2)\o'ng))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Agar maxraj cheksiz katta qiymat bo'lsa, u holda butun chegara nolga intiladi, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, bundan foydalanib, olamiz:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n) )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Javob:$\frac(1)(2)$.
Funksiyaning nuqtadagi chegarasi tushunchasi
Funktsiyaning nuqtadagi chegarasi tushunchasi ikkita klassik ta'rifga ega:
Koshi bo'yicha "chegara" atamasining ta'rifi
Haqiqiy $A$ soni $f\left(x\right)$ funksiyaning $x\to a$ kabi chegarasi deyiladi, agar har qanday $\varepsilon > 0$ uchun $ ga qarab $\delta >0$ mavjud boʻlsa. \varepsilon $, shundayki, har qanday $x\da X^(\teskari qiyshiq a)$ tengsizlikni qondiruvchi $\left|x-a\right|
Heine ta'rifi
Haqiqiy $A$ soni $f\left(x\right)$ funksiyasining $x\to a$ uchun chegarasi deyiladi, agar X$dagi $(x_n)\da har qanday ketma-ketlik uchun $a$ ketma-ketligiga yaqinlashsa. $f (x_n)$ qiymatlari $A$ ga yaqinlashadi.
Ushbu ikkita ta'rif bir-biriga bog'liq.
Izoh 1
Funktsiya chegarasining Koshi va Geyn ta'riflari ekvivalentdir.
Funksiya chegaralarini hisoblashning klassik yondashuvlaridan tashqari, bu borada ham yordam beradigan formulalarni eslaylik.
$x$ cheksiz kichik bo'lganda ekvivalent funktsiyalar jadvali (nolga tushadi)
Cheklovlarni hal qilishning bir usuli ekvivalent funktsiya bilan almashtirish printsipi. Ekvivalent funksiyalar jadvali quyida keltirilgan, undan foydalanish uchun o‘ngdagi funksiyalar o‘rniga chapdagi mos elementar funksiyani ifodaga almashtiring.
Shakl 1. Funktsiya ekvivalenti jadvali. Author24 - talabalar hujjatlarini onlayn almashish
Bundan tashqari, qiymatlari noaniqlikka tushirilgan chegaralarni hal qilish uchun L'Hospital qoidasini qo'llash mumkin. Umumiy holatda $\frac(0)(0)$ ko'rinishining noaniqligini pay va maxrajni koeffitsientga ajratib, keyin esa kamaytirish orqali aniqlash mumkin. $\frac(\infty )(\infty)$ shaklining noaniqligini pay va maxrajdagi ifodalarni eng yuqori quvvat topilgan oʻzgaruvchiga boʻlgandan keyin hal qilish mumkin.
Ajoyib chegaralar
- Birinchi ajoyib chegara:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Ikkinchi ajoyib chegara:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Maxsus chegaralar
- Birinchi maxsus chegara:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna) )$
- Ikkinchi maxsus chegara:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Uchinchi maxsus chegara:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Funktsiyaning uzluksizligi
Ta'rif 2
$f(x)$ funksiyasi $x=x_0$ nuqtada uzluksiz deyiladi, agar $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\mavjud \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ shundayki, $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
$f(x)$ funksiyasi $x=x_0$ nuqtada uzluksiz bo'ladi, agar $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\) rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop) chekli chegaralarga ega bo'lsa, X$ dagi $x_0\ nuqta birinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi. (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, lekin $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\to x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Bundan tashqari, agar $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$ boʻlsa, bu uzilish nuqtasi va agar $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+) 0) f(x_0)\ )$, keyin funksiyaning o'tish nuqtasi.
Agar $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$ chegaralaridan kamida bittasi boʻlsa, X$ dagi $x_0\ nuqta ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi. $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ cheksizlikni ifodalaydi yoki mavjud emas.
2-misol
$y=\frac(2)(x)$ uzluksizligini tekshiring
Yechim:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funksiya ikkinchi turdagi uzilish nuqtasiga ega.
Topologiya limitlar va funksiyalarning uzluksizligini o‘rganadigan matematikaning bir bo‘limidir. Topologiya algebra bilan birgalikda matematikaning umumiy asosini tashkil qiladi.
Topologik bo'shliq yoki raqam - Bizning bir hil Evklid fazomizning kichik to'plami bo'lib, uning nuqtalari orasida qandaydir yaqinlik aloqasi berilgan. Bu erda raqamlar qattiq jismlar sifatida emas, balki doimiy deformatsiyaga yo'l qo'yadigan, sifat xususiyatlarini saqlab qolgan juda elastik kauchukdan yasalgan narsalar sifatida qaraladi.
Shakllarni birma-bir uzluksiz xaritalash deyiladi gomeomorfizm. Boshqacha aytganda, raqamlar gomeomorf, agar uzluksiz deformatsiyalar natijasida birini boshqasiga aylantirish mumkin bo'lsa.
Misollar. Quyidagi raqamlar gomeomorf (turli guruhlardagi raqamlar gomeomorf emas), rasmda ko'rsatilgan. 2.
1. O'z-o'zidan kesishmasdan segment va egri chiziq.
2. Doira, ichki kvadrat, lenta.
3. Sfera, kub va tetraedr yuzasi.
4. Doira, ellips va tugunli aylana.
5. Samolyotdagi halqa (teshikli doira), fazoda halqa, ikki marta buralgan halqa, silindrning yon yuzasi.
6. Mobius chizig'i, ya'ni. bir marta o'ralgan halqa va uch marta o'ralgan halqa.
7. Torus (donut), tutqichli shar va tugunli torusning yuzasi.
8. Ikki tutqichli shar va ikkita teshikli simit.
Matematik analizda funksiyalar chegaralar usuli bilan o‘rganiladi. O'zgaruvchan va chegara asosiy tushunchalardir.
Turli hodisalarda ba'zi miqdorlar o'zlarining son qiymatini saqlab qoladilar, boshqalari o'zgaradi. O'zgaruvchining barcha raqamli qiymatlari to'plami deyiladi ushbu o'zgaruvchining doirasi.
O'zgaruvchining harakat qilish usullaridan eng muhimi o'zgaruvchining ma'lum chegaraga intilishidir.
doimiy raqam a chaqirdi o'zgaruvchan x orasidagi farqning mutlaq qiymati bo'lsa x va a() o'zgaruvchini o'zgartirish jarayonida bo'ladi x o'zboshimchalik bilan kichik:
"O'zboshimchalik bilan kichik" nimani anglatadi? o'zgaruvchan X chegaraga intiladi a, agar har qanday ixtiyoriy kichik (ixtiyoriy kichik) son uchun o'zgaruvchining o'zgarishida shunday moment mavjud bo'lsa X, undan boshlab tengsizlik .
Limitning ta'rifi oddiy geometrik ma'noga ega: tengsizlik shuni anglatadi X nuqtaning qo'shnisida joylashgan a,
bular. oraliqda
.
Shunday qilib, chegaraning ta'rifi geometrik shaklda berilishi mumkin:
Raqam a o'zgaruvchining chegarasi hisoblanadi X, agar har qanday o'zboshimchalik bilan kichik (o'zboshimchalik bilan kichik) uchun - sonning qo'shnisi a o'zgaruvchini o'zgartirishda bunday momentni belgilashingiz mumkin X, shundan boshlab uning barcha qiymatlari nuqtaning ko'rsatilgan qo'shnisiga to'g'ri keladi a.
Izoh. o'zgaruvchan X uning chegarasiga turli yo'llar bilan yaqinlasha oladi: bu chegaradan kamroq (chapda), ko'proq (o'ngda), chegara qiymati atrofida o'zgarib turadi.
Ketma-ketlik chegarasi
Funktsiya har bir elementga ko'ra qonun (qoida) deb ataladi x ba'zi to'plam X bitta elementga mos keladi y to'plamlar Y.
Funktsiya barcha natural sonlar to'plamida aniqlanishi mumkin: . Bunday funktsiya deyiladi tabiiy argument funktsiyasi yoki raqamli ketma-ketlik.
Ketma-ketlikni, har qanday cheksiz to'plam kabi, sanab o'tish orqali aniqlab bo'lmasligi sababli, u umumiy a'zo tomonidan belgilanadi: , bu yerda ketma-ketlikning umumiy atamasi.
Diskret o'zgaruvchi ketma-ketlikning umumiy a'zosidir.
Ketma-ketlik uchun "bir nuqtadan boshlab" so'zlari "bir qatordan boshlanadigan" so'zlarini anglatadi.
Raqam a ketma-ketlikning chegarasi deyiladi , agar har qanday ixtiyoriy kichik (o'zboshimchalik bilan kichik) son uchun bunday raqam mavjud bo'lsa N, bu raqam bilan ketma-ketlikning barcha a'zolari uchun n>N tengsizlik
.
yoki
da
.
Geometrik jihatdan ketma-ketlik chegarasining ta'rifi quyidagilarni anglatadi: har qanday ixtiyoriy kichik (o'zboshimchalik bilan kichik) - sonning qo'shnisi uchun a shunday raqam borki, ketma-ketlikning barcha shartlari dan katta N, raqamlar, bu mahallaga tushadi. Mahalladan tashqarida ketma-ketlikning dastlabki shartlarining faqat cheklangan soni mavjud. Natural son N ga bog'liq : .