การนำเสนอตัวเลขที่ซับซ้อนและการดำเนินการกับพวกเขา จำนวนเชิงซ้อน การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน
![การนำเสนอตัวเลขที่ซับซ้อนและการดำเนินการกับพวกเขา จำนวนเชิงซ้อน การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_1.jpg)
Loktionova G.N.
ครูคณิตศาสตร์
GAPOU "วิทยาลัยขนส่งยานพาหนะ"
“ตัวเลขและการกระทำที่ซับซ้อน
เหนือพวกเขา"
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_1.jpg)
- หลังจากศึกษาหัวข้อนี้แล้ว นักเรียนควร: ทราบ:รูปแบบพีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน สามารถ:ดำเนินการบวก การคูณ การลบ การหาร การยกกำลัง และการแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนบนจำนวนเชิงซ้อน แปลงจำนวนเชิงซ้อนจากพีชคณิตเป็นเรขาคณิตและตรีโกณมิติ ใช้การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ในกรณีที่ง่ายที่สุด ให้หารากที่ซับซ้อนของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_2.jpg)
- การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์
- แนวคิดพื้นฐาน
- การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
- รูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
- การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_3.jpg)
- กูซัค เอ.เอ. คณิตศาสตร์ชั้นสูง : หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย จำนวน 2 เล่ม ต.1. /เอเอ แกนเดอร์ – ฉบับที่ 5 – มินสค์: TetraSystems, 2004. – 544 หน้า
- Kanatnikov, A.N. พีชคณิตเชิงเส้น / หนึ่ง. Kanatnikov, A.P. คริสเชนโก. - อ.: สำนักพิมพ์ MSTU im. N.E. บาวแมน, 2001 – 336 น.
- คูรอช, เอ.จี. หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง / เอ.จี. คุโรช - อ.: วิทยาศาสตร์, 2514-432.
- เขียน บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง 1 ส่วน. – ฉบับที่ 2, ฉบับที่. – อ.: ไอริสกด 2546 - 288 หน้า
- ซิกอร์สกายา, G.A. หลักสูตรบรรยายเรื่องพีชคณิตและเรขาคณิต : หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาคณะขนส่ง / G.A. ซิกอร์สกายา - โอเรนบูร์ก: IPK GOU OSU, 2550. – 374 หน้า
ข้อ 1 ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
แนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นจากการฝึกและทฤษฎีการแก้สมการพีชคณิต
นักคณิตศาสตร์พบจำนวนเชิงซ้อนเป็นครั้งแรกเมื่อแก้สมการกำลังสอง จนถึงศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกไม่พบการตีความที่ยอมรับได้สำหรับรากที่ซับซ้อนที่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสอง ประกาศว่ามันเป็นเท็จและไม่ได้คำนึงถึงพวกมัน
คาร์ดาโน ซึ่งทำงานเกี่ยวกับการแก้สมการระดับที่ 3 และ 4 เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่ทำงานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนอย่างเป็นทางการ แม้ว่าความหมายของพวกเขาจะยังคงไม่ชัดเจนสำหรับเขามากนักก็ตาม
ความหมายของจำนวนเชิงซ้อนได้รับการอธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีอีกคนหนึ่ง อาร์. บอมเบลลี ในหนังสือพีชคณิตของเขา (ค.ศ. 1572) เขาได้กำหนดกฎสำหรับการดำเนินการจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบสมัยใหม่เป็นครั้งแรก
อย่างไรก็ตาม จนถึงศตวรรษที่ 18 จำนวนเชิงซ้อนถือเป็น "จินตภาพ" และไม่มีประโยชน์ เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าแม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นอย่างเดส์การตส์ ผู้ซึ่งระบุจำนวนจริงด้วยส่วนของเส้นจำนวน ยังเชื่อว่าไม่มีการตีความจำนวนเชิงซ้อนที่แท้จริงได้ และตัวเลขเหล่านี้จะยังคงเป็นจินตภาพและจินตภาพตลอดไป นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อย่างนิวตันและไลบ์นิซมีความคิดเห็นคล้ายกัน
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_5.jpg)
เฉพาะในศตวรรษที่ 18 ปัญหามากมายในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และกลศาสตร์ จำเป็นต้องมีการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนอย่างกว้างขวาง ซึ่งสร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาการตีความทางเรขาคณิต
ในงานประยุกต์ของดาล็องแบร์และออยเลอร์ในช่วงกลางศตวรรษที่ 18 ผู้เขียนเป็นตัวแทนของปริมาณจินตภาพตามอำเภอใจในรูปแบบ z=a+ibซึ่งช่วยให้สามารถแสดงปริมาณดังกล่าวด้วยจุดของระนาบพิกัดได้ การตีความนี้ใช้โดย Gauss ในงานของเขาเพื่อศึกษาการแก้สมการพีชคณิต
และเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้นเมื่อมีการชี้แจงบทบาทของจำนวนเชิงซ้อนในสาขาคณิตศาสตร์ต่าง ๆ การตีความทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายและเป็นธรรมชาติของพวกมันก็ได้รับการพัฒนาซึ่งทำให้สามารถเข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของการดำเนินการในเชิงซ้อนได้ ตัวเลข
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_6.jpg)
ป. 2 แนวคิดพื้นฐาน
จำนวนเชิงซ้อน zเรียกว่า การแสดงออกของรูป z=a+ib, ที่ไหน กและ ข– จำนวนจริง ฉัน – หน่วยจินตภาพซึ่งถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:
ในกรณีนี้คือหมายเลข กเรียกว่า ส่วนที่แท้จริงตัวเลข z
(ก = อีกครั้ง z) ก ข - ส่วนจินตภาพ (ข = ฉันz).
ถ้า ก = เรซ =0 , หมายเลขนั้น zจะ จินตนาการล้วนๆ, ถ้า ข = ฉันz =0 แล้วตามด้วยหมายเลข zจะ ถูกต้อง .
ตัวเลข z=a+ibและถูกเรียก ซับซ้อน - คอนจูเกต .
จำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 =ก 1 +ib 1 และ z 2 =ก 2 +ib 2 ถูกเรียก เท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันตามลำดับ:
ก 1 =ก 2 ; ข 1 =ข 2
จำนวนเชิงซ้อนจะเท่ากับศูนย์ถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีค่าเท่ากับศูนย์ตามลำดับ
จำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนในรูปแบบได้เช่นกัน z=x+iy , z=u+iv .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_7.jpg)
ป. 3 การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=x+iyสามารถแสดงด้วยจุดได้ ม(x;ย)เครื่องบิน xOyดังนั้น เอ็กซ์ = เรซ , ย = ฉันz. และในทางกลับกันทุกจุด ม(x;ย)ระนาบพิกัดถือได้ว่าเป็นภาพของจำนวนเชิงซ้อน z=x+iy(ภาพที่ 1)
ภาพที่ 1
ระนาบที่ใช้แสดงจำนวนเชิงซ้อนนั้นเรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน .
เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงเพราะมันมีจำนวนจริง z=x+0i=x .
แกนพิกัดเรียกว่า แกนจินตภาพประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพ z=0+ยี่=ยี่ .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_8.jpg)
บ่อยครั้งแทนที่จะเก็บคะแนนบนเครื่องบิน เวกเตอร์รัศมี
เหล่านั้น. เวกเตอร์ที่เริ่มต้นด้วยจุด โอ(0;0), จบ ม(x;ย) .
ความยาวของเวกเตอร์แทนจำนวนเชิงซ้อน z , เรียกว่า โมดูลหมายเลขนี้ถูกกำหนดไว้ | z|หรือ ร .
ขนาดของมุมระหว่างทิศทางบวกของแกนจริงกับเวกเตอร์ที่แทนจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า การโต้แย้งของจำนวนเชิงซ้อนนี้แสดงไว้ เรื่อง zหรือ φ .
อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน ซ=0ไม่ได้กำหนดไว้
อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน z ≠ 0 - ปริมาณมีหลายค่าและถูกกำหนดให้แม่นยำกับผลรวม 2 π เค (k=0,-1,1,-2,2,..) :
เรื่อง z=หาเรื่อง ซ+2 π เค
ที่ไหน หาเรื่อง z - ความหมายหลักของการโต้แย้ง สรุป ในระหว่างนี้ (- π , π ] .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_9.jpg)
หน้า 4 รูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
การเขียนตัวเลขในรูปแบบ z=x+iyเรียกว่า รูปแบบพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อน.
จากภาพที่ 1 ชัดเจนว่า x=rcos φ , y=rsin φ , ดังนั้นที่ซับซ้อน z=x+iyสามารถเขียนตัวเลขได้เป็น:
การบันทึกรูปแบบนี้เรียกว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.
โมดูล r=|z|ถูกกำหนดโดยสูตรเฉพาะ
การโต้แย้ง φ กำหนดได้จากสูตร
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_10.jpg)
เมื่อย้ายจากรูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนไปเป็นตรีโกณมิติก็เพียงพอที่จะกำหนดค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้นนั่นคือ นับ φ =หาเรื่อง z .
เนื่องจากจากสูตรเราได้สิ่งนั้นมา
สำหรับจุดภายใน ฉัน , IVไตรมาส;
สำหรับจุดภายใน ครั้งที่สองไตรมาส;
สำหรับจุดภายใน สามไตรมาส
ตัวอย่างที่ 1แทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_11.jpg)
สารละลาย. จำนวนเชิงซ้อน z=x+iyในรูปแบบตรีโกณมิติมีรูปแบบ z=r(คอส φ +ไอซิน φ ) , ที่ไหน
1) z 1 = 1 +ฉัน(ตัวเลข z 1 เป็นของ ฉันไตรมาส) x=1, y=1
ดังนั้น,
2) (หมายเลข z 2 เป็นของ ครั้งที่สองไตรมาส)
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
เพราะฉะนั้น,
คำตอบ:
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_12.jpg)
พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง w=อี z, ที่ไหน z=x+iy- จำนวนเชิงซ้อน
ก็สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชัน วสามารถเขียนเป็น:
ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า สมการของออยเลอร์
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:
ที่ไหน ม– จำนวนเต็ม
ถ้าในสมการออยเลอร์ เลขยกกำลังถือเป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ ( x=0) จากนั้นเราจะได้:
สำหรับจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนเราจะได้:
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_13.jpg)
จากสมการทั้งสองนี้เราได้รับ:
สูตรเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาค่ากำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านฟังก์ชันหลายมุม
หากคุณแทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ
z=r(คอส φ +ไอซิน φ )
และใช้สูตรของออยเลอร์ จ ฉัน φ =คอส φ +ไอซิน φ , แล้วเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้เป็น
z=r อี ฉัน φ
ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเรียกว่า แบบฟอร์มเอ็กซ์โปเนนเชียลจำนวนเชิงซ้อน.
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_14.jpg)
ป. 5 การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
1) การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบพีชคณิต
ก) การบวกจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 =x 1 +ย 1 ฉันและ z 2 =x 2 +ย 2 ฉัน
z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(ย 1 +ย 2 ).
คุณสมบัติของการดำเนินการบวก:
1. z 1 +z 2 = ซ 2 +z 1 ,
2. (z 1 +z 2 )+z 3 =ซ 1 +(ซ 2 +z 3 ) ,
3. ซ+0=ซ .
b) การลบจำนวนเชิงซ้อน
การลบถูกกำหนดให้เป็นค่าผกผันของการบวก
โดยความแตกต่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 =x 1 +ย 1 ฉันและ z 2 =x 2 +ย 2 ฉันเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนเช่นนั้น zซึ่งเมื่อเพิ่มเข้าไปแล้ว z 2 , ให้หมายเลข z 1 และถูกกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน
ซ=ซ 1 – ซ 2 =(x 1 – x 2 )+i(ย 1 -y 2 ).
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_15.jpg)
c) การคูณจำนวนเชิงซ้อน
การทำงานจำนวนเชิงซ้อน z 1 =x 1 +ย 1 ฉันและ z 2 =x 2 +ย 2 ฉันกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน
ซ=ซ 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 ย 2 )+ฉัน(x 1 ย 2 –x 2 ย 1 ).
จากนี้ไปจะเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่สำคัญที่สุดโดยเฉพาะ
ฉัน 2 = – 1.
คุณสมบัติของการดำเนินการคูณ:
1. z 1 z 2 = ซ 2 z 1 ,
2. (z 1 z 2 )ซ 3 =ซ 1 (z 2 z 3 ) ,
3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =ซ 1 z 2 +z 1 z 3 ,
4 . z ∙ 1 =ซ .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_16.jpg)
d) การหารจำนวนเชิงซ้อน
การหารถูกกำหนดให้เป็นค่าผกผันของการคูณ
ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 และ z 2 ≠ 0 เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน zซึ่งเมื่อคูณด้วย z 2 , ให้หมายเลข z 1 , เช่น. ถ้า z 2 z = z 1 .
ถ้าใส่ z 1 =x 1 +ย 1 ฉัน , z 2 =x 2 +ย 2 ฉัน ≠ 0, z=x+ยี่ , แล้วจากความเท่าเทียมกัน (x+ยี่)(x 2 +ฉัน 2 )= x 1 +ย 1 ฉัน,ควร
การแก้ระบบเราจะค้นหาค่าต่างๆ xและ ย :
ดังนั้น,
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_17.jpg)
ในทางปฏิบัติ แทนที่จะใช้สูตรผลลัพธ์ มีการใช้เทคนิคต่อไปนี้: พวกเขาคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนคอนจูเกตกับตัวส่วน (“กำจัดจินตภาพในตัวส่วน”)
ตัวอย่างที่ 2เมื่อพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน 10+8i , 1+ฉันมาหาผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ และผลหารกัน
สารละลาย.
ก) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;
ข) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 ฉัน;
วี) (10+8i)(1+i) = 10+10 ฉัน +8 ฉัน +8 ฉัน 2 =2+18i;
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_18.jpg)
e) การสร้างจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบพีชคณิตใน n ระดับที่
ให้เราเขียนกำลังจำนวนเต็มของหน่วยจินตภาพ:
โดยทั่วไปสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 3คำนวณ ฉัน 2 092 .
สารละลาย.
- ให้เราแสดงเลขชี้กำลังในรูปแบบ n = 4k+ลและใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ z 4k+1 =(ซ 4 ) เค ∙ z ล .
เรามี: 2092=4 ∙ 523 .
ดังนั้น, ฉัน 2 092 = ฉัน 4 ∙ 523 =(ผม 4 ) 523 , แต่ตั้งแต่ ฉัน 4 = 1 แล้วในที่สุดเราก็ได้ ฉัน 2 092 = 1 .
คำตอบ: ฉัน 2 092 = 1 .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_19.jpg)
เมื่อสร้างจำนวนเชิงซ้อน เอ+บียกกำลังสองและสามให้ใช้สูตรยกกำลังสองและยกกำลังสามตามสูตรผลรวมของเลขสองจำนวนและเมื่อยกกำลัง n (n- จำนวนธรรมชาติ n ≥ 4 ) – สูตรทวินามของนิวตัน:
หากต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรนี้ จะใช้สามเหลี่ยมปาสคาลได้สะดวก
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_20.jpg)
จ) การแยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน
รากที่สองจากจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีกำลังสองเท่ากับจำนวนที่กำหนด
ให้เราแทนรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน เอ็กซ์+ยีผ่าน คุณ+วีแล้วตามคำนิยาม
สูตรสำหรับการค้นหา ยูและ โวลต์ดูเหมือน
สัญญาณ ยูและ โวลต์ถูกเลือกมาเพื่อผลลัพธ์ ยูและ โวลต์ความเท่าเทียมกันที่น่าพอใจ 2uv=y .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_21.jpg)
ตัวอย่างที่ 4การหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน z=5+12i .
สารละลาย.
ให้เราแสดงรากที่สองของตัวเลข zผ่าน คุณ+วี, แล้ว (คุณ+วี) 2 =5+12i .
เพราะในกรณีนี้ x=5 , ย=12จากนั้นใช้สูตร (1) ที่เราได้รับ:
ยู 2 =9; ยู 1 =3; ยู 2 = – 3; โวลต์ 2 =4; โวลต์ 1 =2; โวลต์ 2 = – 2.
ดังนั้นจึงพบค่ารากที่สองสองค่า: ยู 1 +วี 1 ผม=3+2i , ยู 2 +วี 2 ผม= –3 –2i, . (ป้ายถูกเลือกตามความเท่าเทียมกัน 2uv=y, เช่น. เพราะว่า y=120, ที่ ยูและ โวลต์เครื่องหมายที่เหมือนกันจำนวนเชิงซ้อนหนึ่งอัน)
คำตอบ:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_22.jpg)
2) การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 และ z 2 กำหนดไว้ในรูปแบบตรีโกณมิติ
ก) ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน
ทำการคูณเลข z 1 และ z 2 , เราได้รับ
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_23.jpg)
b) ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว
ให้จำนวนเชิงซ้อนมา z 1 และ z 2 ≠ 0 .
ลองพิจารณาผลหารที่เรามี
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_24.jpg)
ตัวอย่างที่ 5. ให้จำนวนเชิงซ้อนสองตัว
สารละลาย.
1) การใช้สูตร เราได้รับ
เพราะฉะนั้น,
2) การใช้สูตร เราได้รับ
เพราะฉะนั้น,
คำตอบ:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_25.jpg)
วี) การสร้างจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ n ระดับที่
จากการดำเนินการคูณจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นไปตามนั้น
ในกรณีทั่วไปเราได้รับ:
ที่ไหน n – จำนวนเต็มบวก.
เพราะฉะนั้น เมื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลัง โมดูลัสจะถูกยกให้เป็นกำลังเดียวกัน และอาร์กิวเมนต์จะคูณด้วยเลขชี้กำลัง .
นิพจน์ (2) เรียกว่า สูตรมูฟวร์ .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_26.jpg)
Abraham de Moivre (1667 - 1754) - นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่มีต้นกำเนิดจากภาษาฝรั่งเศส
ข้อดีของ Moivre:
- ค้นพบ (1707) สูตรของ Moivre สำหรับการยกกำลัง (และการสกัดราก) ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ;
- คนแรกเริ่มใช้การยกกำลังของอนุกรมอนันต์
- มีส่วนสนับสนุนอย่างมากต่อทฤษฎีความน่าจะเป็น: เขาพิสูจน์กรณีพิเศษของทฤษฎีบทของลาปลาซ ดำเนินการศึกษาความน่าจะเป็นของการพนัน และข้อมูลทางสถิติจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับประชากร
สูตรของ Moivre สามารถใช้ค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ มุม
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_27.jpg)
ตัวอย่างที่ 6ค้นหาสูตร บาป 2 และ เพราะ 2 .
สารละลาย.
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน
จากนั้นในด้านหนึ่ง
ตามสูตรของ Moivre:
เท่ากับเราได้รับ
เพราะ จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน
เราได้รับสูตรมุมคู่ที่รู้จักกันดี
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_28.jpg)
d) การสกัดราก ป
ราก ป - กำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน zเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน วพึงพอใจในความเท่าเทียมกัน ว n =ซ, เช่น. ถ้า ว n =ซ .
ถ้าเราใส่ จากนั้น ตามคำจำกัดความของรูทและสูตรของ Moivre เราก็จะได้
จากที่นี่เรามี
ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้น
โดยที่ (เช่นจาก 0 ถึง n-1).
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_29.jpg)
ดังนั้น, การสกัดราก n - กำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน z เป็นไปได้และให้เสมอ n ความหมายที่แตกต่างกัน ความหมายรากทั้งหมด n องศาที่ตั้งอยู่บนวงกลมรัศมี โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์แล้วหารวงกลมนี้ด้วย n ส่วนที่เท่ากัน
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าทั้งหมด
สารละลาย.
ขั้นแรก เรามาแสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติกันก่อน
ในกรณีนี้ x=1 , , ดังนั้น,
เพราะฉะนั้น,
การใช้สูตร
ที่ไหน k=0,1,2,…,(n-1),เรามี:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_30.jpg)
มาเขียนค่าทั้งหมดกัน:
คำตอบ:
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_31.jpg)
คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง
1. กำหนดนิยามของจำนวนเชิงซ้อน.
2. จำนวนเชิงซ้อนใดที่เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ?
3. จำนวนเชิงซ้อนสองตัวใดที่เรียกว่าคอนจูเกต?
4. อธิบายว่าการบวกจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตหมายความว่าอย่างไร คูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง
5. อธิบายหลักการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปพีชคณิต
6. เขียนในแง่ทั่วไปถึงกำลังจำนวนเต็มของหน่วยจินตภาพ
7. การยกจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดโดยรูปแบบพีชคณิตให้เป็นกำลัง (n คือจำนวนธรรมชาติ) หมายความว่าอย่างไร?
8. บอกเราว่าการแสดงจำนวนเชิงซ้อนบนเครื่องบินได้อย่างไร
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/kopilka/uploads/user_file_560beba307518/img_user_file_560beba307518_32.jpg)
9 . สัญกรณ์รูปแบบใดเรียกว่ารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
10. กำหนดนิยามของโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน
11. กำหนดกฎสำหรับการคูณจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูปแบบตรีโกณมิติ
12. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ
13. กำหนดกฎสำหรับการยกจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปตรีโกณมิติให้เป็นกำลัง
14. กำหนดกฎสำหรับการแยกรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ
15. บอกเราเกี่ยวกับความหมายของรากที่ n ของความสามัคคีและขอบเขตของการประยุกต์
สไลด์ 2
1. การพัฒนาแนวคิดเรื่องจำนวน
นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณถือว่าเฉพาะตัวเลขธรรมชาติเท่านั้นที่เป็น "จำนวนจริง" นอกจากจำนวนธรรมชาติแล้ว ยังมีการใช้เศษส่วน - ตัวเลขที่ประกอบด้วยเศษส่วนจำนวนเต็มในหนึ่งหน่วย
สไลด์ 3
การแนะนำจำนวนลบ - สิ่งนี้ทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีนเมื่อสองศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช จ. ในศตวรรษที่ 8 เป็นที่ยอมรับแล้วว่ารากที่สองของจำนวนบวกมีสองความหมาย - บวกและลบ และรากที่สองไม่สามารถนำมาจากจำนวนลบได้
สไลด์ 4
2. ระหว่างทางสู่จำนวนเชิงซ้อน
ในศตวรรษที่ 16 ในการศึกษาสมการลูกบาศก์ จำเป็นต้องแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบ
สไลด์ 5
ในสูตรการแก้สมการลูกบาศก์ของรูปแบบ:
สไลด์ 6
ลูกบาศก์และรากที่สอง:
สไลด์ 7
สูตรนี้ทำงานได้อย่างไร้ที่ติในกรณีที่สมการนั้นมีรากจำนวนจริงเพียงตัวเดียว และถ้ามีรากจำนวนจริงสามตัว จำนวนลบจะปรากฏใต้เครื่องหมายรากที่สอง ปรากฎว่าเส้นทางไปยังรากเหล่านี้นำไปสู่การดำเนินการที่เป็นไปไม่ได้ในการแยกรากที่สองของจำนวนลบ
สไลด์ 8
สไลด์ 9
นอกจาก x=1 แล้ว ยังมีรากอีกสองตัว
สไลด์ 10
นักพีชคณิตชาวอิตาลี G. Cardano ในปี 1545 ได้เสนอแนะตัวเลขที่มีลักษณะใหม่ เขาแสดงให้เห็นว่าระบบสมการ
สไลด์ 11
ซึ่งไม่มีคำตอบอยู่ในเซตของจำนวนจริง ก็มีคำตอบอยู่ในรูป
สไลด์ 12
คุณเพียงแค่ต้องตกลงที่จะดำเนินการกับนิพจน์ดังกล่าวตามกฎของพีชคณิตธรรมดาและสันนิษฐานไว้
สไลด์ 13
3. คำชี้แจงจำนวนเชิงซ้อนทางคณิตศาสตร์
Cardano เรียกปริมาณดังกล่าวว่า "เป็นลบล้วนๆ" และแม้แต่ "เป็นลบอย่างซับซ้อน" ถือว่าปริมาณเหล่านี้ไร้ประโยชน์และพยายามที่จะไม่ใช้มัน แต่ในปี ค.ศ. 1572 หนังสือของนักพีชคณิตชาวอิตาลี R. Bombelli ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งมีการกำหนดกฎข้อแรกสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขดังกล่าวจนถึงการแยกรากของลูกบาศก์ออกจากพวกมัน
สไลด์ 14
ชื่อ "ตัวเลขจินตภาพ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637 โดยนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส อาร์. เดการ์ต ในปี ค.ศ. 1777 นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของศตวรรษที่ 18 แอล. ออยเลอร์ เสนอให้ใช้อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส จินตนาการ (จินตภาพ) เพื่อแทนตัวเลข (หน่วยจินตภาพ) สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ทั่วไปโดย K. Gauss คำว่า "จำนวนเชิงซ้อน" ถูกนำมาใช้โดยเกาส์ในปี ค.ศ. 1831
สไลด์ 15
คำว่าซับซ้อน (จากภาษาละติน complexus) หมายถึงความเชื่อมโยง การรวมกัน ชุดของแนวคิด วัตถุ ปรากฏการณ์ ฯลฯ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว
สไลด์ 16
แอล. ออยเลอร์ได้รับสูตรอันน่าทึ่งในปี 1748
สไลด์ 17
ซึ่งเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าด้วยกัน ด้วยการใช้สูตรของแอล. ออยเลอร์ ทำให้สามารถยกจำนวน e ให้เป็นกำลังเชิงซ้อนใดๆ ได้
สไลด์ 18
ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เจ. ลากรองจ์สามารถกล่าวได้ว่าการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ไม่ซับซ้อนอีกต่อไปด้วยปริมาณจินตภาพ
สไลด์ 19
หลังจากการสร้างทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อน คำถามก็เกิดขึ้นเกี่ยวกับการมีอยู่ของตัวเลข "ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์" - ตัวเลขที่มีหน่วย "จินตภาพ" หลายหน่วย ระบบดังกล่าวถูกสร้างขึ้นในปี พ.ศ. 2386 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช ดับเบิลยู. แฮมิลตัน ซึ่งเรียกระบบเหล่านี้ว่า "ควอเทอร์เนียน"
สไลด์ 20
สไลด์ 21
4. การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
สไลด์ 22
ระนาบดังกล่าวเรียกว่าซับซ้อน จำนวนจริงบนนั้นครอบครองแกนนอน หน่วยจินตภาพจะแสดงเป็นหนึ่งบนแกนตั้ง ด้วยเหตุนี้แกนนอนและแกนตั้งจึงเรียกว่าแกนจริงและแกนจินตภาพตามลำดับ
สไลด์ 23
5. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
Abscissa a และพิกัด b ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi แสดงในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ q สูตร a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r คือความยาวของเวกเตอร์ (a+bi), q คือมุมที่มันก่อตัวโดยมีทิศทางบวกของแกน abscissa
สไลด์ 24
จำนวนเชิงซ้อน แม้จะมี "ความเท็จ" และความไม่ถูกต้อง แต่ก็มีการใช้งานที่กว้างขวางมาก พวกเขามีบทบาทสำคัญในไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์เช่นฟิสิกส์และเคมีด้วย ปัจจุบัน จำนวนเชิงซ้อนถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในอุตสาหกรรมเครื่องกลไฟฟ้า คอมพิวเตอร์ และอวกาศ
สไลด์ 25
ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนใดๆ จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบ r(cos q + i sin q) โดยที่ r > 0 เช่น z=a+bi หรือ z=r*cos q + r*sin q นิพจน์นี้เรียกว่ารูปแบบตรีโกณมิติปกติ หรือเรียกสั้นๆ ว่ารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
สไลด์ 26
ขอบคุณสำหรับความสนใจของคุณ!
ดูสไลด์ทั้งหมด
1 สไลด์
2 สไลด์
N C Z C Q C R C C N- “ธรรมชาติ” R- “ของจริง” C - “ซับซ้อน” Z – บทบาทพิเศษของความสัมพันธ์ที่เป็นศูนย์ “ศูนย์” Q – “ผลหาร” (เนื่องจากจำนวนตรรกยะคือ m/n) C R Q Z N
3 สไลด์
เงื่อนไขขั้นต่ำสำหรับจำนวนเชิงซ้อน 1) มีตัวเลขจำนวนหนึ่งที่มีกำลังสอง = -1 2) เซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมด 3) การดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารจำนวนเชิงซ้อนเป็นไปตามกฎปกติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
4 สไลด์
องค์ประกอบที่มีกำลังสองเป็น -1 เรียกว่าหน่วยจินตภาพ เขียนแทนโดย i (แปลว่า "จินตภาพ", "จินตภาพ") “นักคณิตศาสตร์ใช้จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในการวิจัยของพวกเขาในศตวรรษที่ 18 ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 คือ Leonhard Euler (1707- พ.ศ. 2326 (ค.ศ. 1783) ซึ่งถืออย่างถูกต้องว่าเป็นหนึ่งในผู้สร้างทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ในงานที่โดดเด่นของออยเลอร์ มีการศึกษาฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อนอย่างละเอียด หลังจากออยเลอร์ผลลัพธ์และวิธีการค้นพบของเขาได้รับการพัฒนาขึ้น ปรับปรุงและจัดระบบ และในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนได้กลายเป็นสาขาที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" การกล่าวถึงครั้งแรกของตัวเลข "จินตภาพ" เป็นรากของกำลังสองและ "ลบ" ตัวเลข” มีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 16 (เจ. คาร์ดาโน, 1545) จนกระทั่งกลางศตวรรษที่ 18 จำนวนเชิงซ้อนปรากฏเป็นครั้งคราวในงานของนักคณิตศาสตร์แต่ละคนเท่านั้น (I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut) การนำเสนอครั้งแรกของทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนในภาษารัสเซียเป็นของแอล. ออยเลอร์ (พีชคณิต, เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2306 ต่อมาหนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาต่างประเทศและพิมพ์ซ้ำหลายครั้ง): สัญลักษณ์ "i" ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน แอล. ออยเลอร์. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนมีขึ้นตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 18 (เดนมาร์ก แคสเปอร์ เวสเซล, ค.ศ. 1799)”
5 สไลด์
เงื่อนไขเกี่ยวกับการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนทำให้คุณสามารถคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยหน่วยจินตภาพ (i) ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเรียกว่าตัวเลขจินตภาพล้วนๆ ตัวอย่างเช่น: i, 2i, -0.3i เป็นตัวเลขจินตภาพล้วนๆ 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi ) =(ab)ฉัน 30 (ไอ)(ไบ)=abi2= -ab 40 0i =0
6 สไลด์
ผลรวม a+bi (a และ b เป็นจำนวนจริง) a = 0 จากนั้น a+bi =0+bi=bi (จินตภาพ) b = 0 จากนั้น a+bi =a+0=a (จริง) a ไม่ใช่ เท่ากับศูนย์ ดังนั้น a+bi ไม่ใช่ของจริงหรือจินตภาพ เป็นจำนวนประกอบที่ซับซ้อนกว่า จำนวนเชิงซ้อนคือผลรวมของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพบริสุทธิ์ Z=a + bi
หลังจากศึกษาหัวข้อ “จำนวนเชิงซ้อน
นักเรียนจะต้อง:
ทราบ:
รูปแบบพีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ
จำนวนเชิงซ้อน.
สามารถ:
ดำเนินการบวกกับจำนวนเชิงซ้อน
การคูณ การลบ การหาร การยกกำลัง การสกัด
รากของจำนวนเชิงซ้อน
แปลงจำนวนเชิงซ้อนจากรูปแบบพีชคณิตเป็น
เรขาคณิตและตรีโกณมิติ
ใช้การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
ในกรณีที่ง่ายที่สุด ให้หารากที่ซับซ้อนของสมการด้วย
ค่าสัมประสิทธิ์จริง
คุณคุ้นเคยกับชุดตัวเลขใด
I. การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่คุณคุ้นเคยกับชุดตัวเลขใด
เอ็น
ซี
ถาม
เอ็น ซี คิว อาร์
ร ระบบตัวเลข
เป็นธรรมชาติ
ตัวเลข, เอ็น
จำนวนเต็ม, Z
จำนวนตรรกยะ, Q
ตัวเลขจริง
ร
ซับซ้อน
ตัวเลข, ซี
ยอมรับได้
พีชคณิต
การดำเนินงาน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป,
การคูณ
การบวก ลบ
การคูณ
การบวก ลบ
การคูณการหาร
การบวก ลบ
การคูณ, การหาร,
การรูต
ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ
การดำเนินงานทั้งหมด
บางส่วน
ยอมรับได้
พีชคณิต
การดำเนินงาน
การลบ การหาร
การสกัดราก
แผนก,
การสกัดราก
การสกัดรากจาก
ไม่เป็นลบ
ตัวเลข
การสกัดราก
จากพลการ
ตัวเลข เงื่อนไขขั้นต่ำที่ต้องปฏิบัติตาม
จำนวนเชิงซ้อน:
C1) มีรากที่สองของ นั่นคือ มีอยู่จริง
จำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ
C2) เซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมด
ตัวเลข
C3) การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร
จำนวนเชิงซ้อนเป็นไปตามกฎปกติ
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การรวมกัน การสับเปลี่ยน
การกระจาย).
การปฏิบัติตามเงื่อนไขขั้นต่ำเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้
เซต C ของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด
ตัวเลขจินตภาพ
i = -1, i – หน่วยจินตภาพi, 2i, -0.3i - ตัวเลขจินตภาพล้วนๆ
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนจินตภาพล้วนๆ
เป็นไปตามเงื่อนไข C3
3i 13i 3 13 และ 16i
3i 13i 3 13 ฉัน 39i 2 39
ฉัน 7 ฉัน 2 ฉันฉัน
3
โดยทั่วไปกฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจินตภาพล้วนๆ
ตัวเลขคือ:
ขฉัน;
บิ อับ ฉัน;
ไอ ไบ
ใช่สองฉัน;
ไอ ไบ อาบี เอ
โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง
2
จำนวนเชิงซ้อน
คำจำกัดความ 1 จำนวนเชิงซ้อนคือผลรวมจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพล้วนๆ
z a bi C a R, b R,
ฉันคือหน่วยจินตภาพ
เรื่อง z ข ฉัน z
คำจำกัดความที่ 2 เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัว
เท่ากันถ้าส่วนที่แท้จริงเท่ากันและเท่ากัน
ส่วนจินตภาพของพวกเขา:
a bi c di a c, b d
การจำแนกจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนเอ+บี
ตัวเลขจริง
ข=o
มีเหตุผล
ตัวเลข
ไม่ลงตัว
ตัวเลข
ตัวเลขจินตภาพ
ข≠o
ตัวเลขจินตภาพด้วย
ไม่ใช่ศูนย์
ถูกต้อง
ส่วนหนึ่ง
ก ≠ 0, ข ≠ 0
หมดจด
จินตภาพ
ตัวเลข
ก = 0, ข ≠ 0
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (โฆษณา + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc โฆษณา
2
2
ฉัน
2
2
ค ได (ค ได)(ค ได) ค ง
ซีดี
ผสานจำนวนเชิงซ้อน
คำจำกัดความ: หากเก็บจำนวนเชิงซ้อนไว้ส่วนจริงและเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพแล้ว
ผลลัพธ์ที่ได้คือการคอนจูเกตจำนวนเชิงซ้อนกับค่าที่กำหนด
หากจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดแสดงด้วยตัวอักษร z ดังนั้น
หมายเลขคอนจูเกตเขียนแทนด้วย z:
z x yi z x yi
ของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด จำนวนจริง (และเฉพาะพวกมัน)
เท่ากับจำนวนคอนจูเกตของมัน
ตัวเลข a + bi และ a - bi เรียกว่าการผันระหว่างกัน
จำนวนเชิงซ้อน
คุณสมบัติของตัวเลขคอนจูเกต
1. ผลรวมและผลคูณของตัวเลขคอนจูเกตสองตัวคือตัวเลขจริง.
z z (บิ) (บิ) 2a
z z (ไบ)(ไบ) 2 (ไบ) 2 a 2 b 2
2. จำนวนคอนจูเกตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวมีค่าเท่ากับ
ผลรวมของจำนวนคอนจูเกต
z1 z2 z1 z2
3. จำนวนคอนจูเกตของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวมีค่าเท่ากับ
ความแตกต่างระหว่างคอนจูเกตของตัวเลขที่กำหนด
z1 z2 z1 z2
4. จำนวนคอนจูเกตของผลิตภัณฑ์ของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวมีค่าเท่ากับ
ผลคูณของสังยุคของตัวเลขที่กำหนด
z1z2 z1 z2
คุณสมบัติของตัวเลขคอนจูเกต
5. จำนวนที่ผันเข้ากับกำลัง n ของจำนวนเชิงซ้อน zเท่ากับกำลังที่ n ของตัวเลข คอนจูเกตกับตัวเลข z เช่น
zn (z)n , n N
6. จำนวนคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจาก
ซึ่งตัวหารไม่เป็นศูนย์เท่ากับผลหาร
ผันตัวเลขเช่น
ไบอะไบ
ค ดิ ซี ดิ
พลังของหน่วยจินตภาพ
ตามนิยามแล้ว กำลังแรกของ i คือ1
ตัวมันเอง
ตัวเลข i และกำลังที่สองคือตัวเลข -1:
i1 = ฉัน, i2 = -1
.
พลังที่สูงกว่าของฉันมีดังต่อไปนี้
1
ทาง:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 เป็นต้น
แน่นอน สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = ฉัน;
i4n+3 = - ผม
การแยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต
คำนิยาม. จำนวน w เรียกว่ารากที่สองของ2
จำนวนเชิงซ้อน z ถ้ากำลังสองของมันเท่ากับ z: w z
ทฤษฎีบท. ให้ z=a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์
จากนั้นมีสองสิ่งที่ซับซ้อนที่ตรงกันข้ามกัน
ตัวเลขที่มีกำลังสองเท่ากับ z ถ้า b≠0 แล้วตัวเลขสองตัวนี้
แสดงโดยสูตร:
ว
ก2 บี2ก
ฉันลงชื่อ
2
ก 2 ข 2 ก
, ที่ไหน
2
1 ถ้า b 0
ลงชื่อb 1 ถ้า b 0
0 ถ้าข 0
สำหรับ b 0 เรามี 0: w a สำหรับ b 0 เรามี 0: w i a
การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน z บนระนาบพิกัดสอดคล้องกับจุด M(a, b)
บ่อยครั้งแทนที่จะเก็บคะแนนบนเครื่องบิน
เวกเตอร์รัศมี
โอม
คำจำกัดความ: โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi
เรียกตัวเลขที่ไม่เป็นลบก 2 b2
,
เท่ากับระยะทางจากจุด M ถึงจุดเริ่มต้น
ซี 2 บี2
พิกัด
เพราะ
ย
ม (ก, ข)
ข
φ
โอ
ก
x
ก
และบาป
ข
เอ2 บี2
เอ2 บี2
อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน
;
รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
เพราะฉันทำบาปโดยที่ φ คืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน
ร=
2 b2 - โมดูลของจำนวนเชิงซ้อน
เพราะ
ก
เอ2 บี2
และบาป
ข
เอ2 บี2
การคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ
ทฤษฎีบทถ้า
1.
z1 0, z2 0
และ
z1 r1 cos 1 ฉันบาป 1 , z2 r2 cos 2 ฉันบาป 2 แล้ว:
ก)
z1 z2 r1r2 เพราะ 1 2 ฉันทำบาป 1 2
ข)
z1 r1
เพราะ 1 2 ฉันทำบาป 1 2
z2 r2
ทฤษฎีบทที่ 2 (สูตร Moivre)
ให้ z เป็นค่าใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์
จำนวนเชิงซ้อน n - จำนวนเต็มใดๆ
แล้ว
z r เพราะว่าฉันบาป r n cosn ฉันบาป n
n
n
การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน
ทฤษฎีบท. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n และมีจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ z อยู่
n ค่าที่แตกต่างกันของ n-root
ถ้า
เพราะฉันทำบาป
จากนั้นค่าเหล่านี้จะแสดงโดยสูตร
2k
2k
สัปดาห์ r เพราะ
อยู่ใน
,
n
n
โดยที่ k 0,1,..., (n 1)