Komplekse tall og serier med komplekse ledd. Konvergerende serier av komplekse tall Absolutt konvergerende serier av komplekse tall
Standardmetoder, men kom til en blindvei med et annet eksempel.
Hva er vanskeligheten og hvor kan det være en hake? La oss legge til side såpetauet, analysere årsakene rolig og bli kjent med de praktiske løsningsmetodene.
Første og viktigste: i det overveldende flertallet av tilfellene, for å studere konvergensen til en serie, er det nødvendig å bruke en eller annen kjent metode, men den vanlige termen i serien er fylt med så vanskelig fylling at det slett ikke er åpenbart hva man skal gjøre med det . Og du går rundt i sirkler: det første tegnet fungerer ikke, det andre fungerer ikke, den tredje, fjerde, femte metoden fungerer ikke, så blir utkastene kastet til side og alt starter på nytt. Dette skyldes vanligvis mangel på erfaring eller hull i andre deler av kalkulus. Spesielt hvis du løper sekvensgrenser og overfladisk demontert funksjonsgrenser, da blir det vanskelig.
Med andre ord, en person ser rett og slett ikke den nødvendige løsningen på grunn av mangel på kunnskap eller erfaring.
Noen ganger er "eclipse" også skylden, når for eksempel det nødvendige kriteriet for konvergens av serien rett og slett ikke er oppfylt, men på grunn av uvitenhet, uoppmerksomhet eller uaktsomhet, faller dette ut av syne. Og det blir som i den sykkelen der professoren i matematikk løste et barneproblem ved hjelp av ville gjentakende sekvenser og tallserier =)
I de beste tradisjoner, umiddelbart levende eksempler: rader og deres slektninger - divergerer, siden det i teorien er bevist sekvensgrenser. Mest sannsynlig, i det første semesteret vil du bli slått ut av sjelen din for et bevis på 1-2-3 sider, men nå er det ganske nok til å vise at den nødvendige betingelsen for konvergens av serien ikke er oppfylt, med henvisning til til kjente fakta. Berømt? Hvis studenten ikke vet at roten til den n-te graden er en ekstremt kraftig ting, så for eksempel serien sette ham i hjulspor. Selv om løsningen er som to og to: , dvs. av åpenbare grunner skiller begge seriene seg. En beskjeden kommentar "disse grensene har blitt bevist i teorien" (eller til og med fraværet i det hele tatt) er nok for forskyvning, tross alt er beregningene ganske tunge, og de tilhører definitivt ikke delen av numeriske serier.
Og etter å ha studert de neste eksemplene, vil du bare bli overrasket over kortheten og åpenheten til mange løsninger:
Eksempel 1
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: Først av alt, sjekk utførelsen nødvendig kriterium for konvergens. Dette er ikke en formalitet, men en fin sjanse til å håndtere eksemplet med «lite blodsutgytelse».
"Inspeksjon av scenen" antyder en divergerende serie (tilfellet av en generalisert harmonisk serie), men igjen oppstår spørsmålet, hvordan ta hensyn til logaritmen i telleren?
Omtrentlig eksempler på oppgaver på slutten av timen.
Det er ikke uvanlig når du må utføre en toveis (eller til og med treveis) resonnement:
Eksempel 6
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: For det første, forhold deg nøye til tullet til telleren. Rekkefølgen er begrenset: . Deretter:
La oss sammenligne serien vår med serien . I kraft av den doble ulikheten som nettopp er oppnådd, vil det for alle "en" være sant:
La oss nå sammenligne serien med den divergerende harmoniske serien.
Brøknevner mindre nevneren til brøken, altså selve brøken – mer brøker (skriv ned de første begrepene, hvis de ikke er klare). Derfor, for alle "en":
Så, til sammenligning, serien divergerer sammen med den harmoniske serien.
Hvis vi endrer nevneren litt: , så vil den første delen av resonnementet være likt: . Men for å bevise divergensen i serien, er bare grensetesten for sammenligning allerede gjeldende, siden ulikheten er falsk.
Situasjonen med konvergerende serier er "speil", det vil si at for eksempel for en serie kan både sammenligningskriterier brukes (ulikheten er sann), og for en serie kun det begrensende kriteriet (ulikheten er usann).
Vi fortsetter vår safari gjennom naturen, der en flokk med grasiøse og saftige antiloper dukket opp i horisonten:
Eksempel 7
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: det nødvendige konvergenskriteriet er oppfylt, og vi stiller igjen det klassiske spørsmålet: hva skal vi gjøre? Foran oss er noe som ligner en konvergent serie, men det er ingen klar regel her - slike assosiasjoner er ofte villedende.
Ofte, men ikke denne gangen. Ved bruk av Begrens sammenligningskriterium La oss sammenligne serien vår med den konvergerende serien . Ved beregning av grensen bruker vi fantastisk grense , hvor som uendelig liten står:
konvergerer sammen med ved siden av .
I stedet for å bruke standard kunstig teknikk multiplikasjon og divisjon med en "tre", var det mulig å i utgangspunktet sammenligne med en konvergent serie.
Men her er det ønskelig at konstantmultiplikatoren til den generelle termen ikke påvirker konvergensen til serien. Og akkurat i denne stilen er løsningen til følgende eksempel utformet:
Eksempel 8
Undersøk konvergensen til en serie
Eksempel på slutten av leksjonen.
Eksempel 9
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: i de forrige eksemplene brukte vi sinusens avgrensning, men nå er denne egenskapen ute av spill. Nevneren til en brøkdel av en høyere vekstrekkefølge enn telleren, så når sinusargumentet og hele fellesbegrepet uendelig liten. Den nødvendige betingelsen for konvergens, som du forstår, er oppfylt, noe som ikke tillater oss å unngå jobb.
Vi vil foreta rekognosering: iht bemerkelsesverdig ekvivalens , forkaste sinus mentalt og få en serie. Vel, noe sånt....
Ta en beslutning:
La oss sammenligne serien som studeres med den divergerende serien. Vi bruker grensesammenligningskriteriet:
La oss erstatte det uendelige med det tilsvarende: for .
Et endelig tall annet enn null oppnås, som betyr at serien som studeres divergerer sammen med den harmoniske serien.
Eksempel 10
Undersøk konvergensen til en serie
Dette er et gjør-det-selv eksempel.
For å planlegge ytterligere handlinger i slike eksempler, hjelper den mentale avvisningen av sinus, arcsine, tangent, arctangens mye. Men husk, denne muligheten eksisterer bare når uendelig liten argument, for ikke så lenge siden kom jeg over en provoserende serie:
Eksempel 11
Undersøk konvergensen til en serie
.
Løsning: det nytter ikke å bruke begrensningene til buetangensen her, og ekvivalensen fungerer heller ikke. Utgangen er overraskende enkel:
Studieserie divergerer, siden det nødvendige kriteriet for konvergens av serien ikke er oppfylt.
Den andre grunnen"Gag on the job" består i en anstendig sofistikering av det vanlige medlemmet, som forårsaker vanskeligheter av teknisk art. Grovt sett, hvis serien diskutert ovenfor tilhører kategorien "figurer du gjetter", så tilhører disse kategorien "du bestemmer". Egentlig kalles dette kompleksitet i "vanlig" forstand. Ikke alle vil riktig løse flere faktorer, grader, røtter og andre innbyggere på savannen. Selvfølgelig forårsaker factorials flest problemer:
Eksempel 12
Undersøk konvergensen til en serie
Hvordan heve en factorial til en makt? Enkelt. I henhold til regelen for operasjoner med fullmakter, er det nødvendig å heve hver faktor av produktet til en makt:
Og, selvfølgelig, oppmerksomhet og nok en gang oppmerksomhet, selve d'Alembert-skiltet fungerer tradisjonelt:
Dermed serien som studeres konvergerer.
Jeg minner deg om en rasjonell teknikk for å eliminere usikkerhet: når det er klart vekstrekkefølge teller og nevner - det er slett ikke nødvendig å lide og åpne parentesene.
Eksempel 13
Undersøk konvergensen til en serie
Beistet er svært sjeldent, men det er funnet, og det ville være urettferdig å omgå det med en kameralinse.
Hva er dobbelt utropstegn faktorial? Faktorialet "vinder" produktet av positive partall:
På samme måte "vinder" faktoren opp produktet av positive oddetall:
Analyser hva som er forskjellen mellom
Eksempel 14
Undersøk konvergensen til en serie
Og i denne oppgaven, prøv å ikke bli forvirret med gradene, fantastiske ekvivalenser og fantastiske grenser.
Eksempel på løsninger og svar på slutten av leksjonen.
Men studenten får ikke bare mate tigre - utspekulerte leoparder sporer også opp byttet sitt:
Eksempel 15
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: det nødvendige konvergenskriteriet, det begrensende kriteriet, d'Alembert- og Cauchy-kriteriene forsvinner nesten umiddelbart. Men det verste av alt er at funksjonen med ulikheter, som gjentatte ganger har reddet oss, er maktesløs. Faktisk er sammenligning med en divergerende serie umulig, siden ulikheten feil - multiplikatorlogaritmen øker bare nevneren, og reduserer selve brøken i forhold til brøken. Og et annet globalt spørsmål: hvorfor er vi i utgangspunktet sikre på at serien vår er bundet til å divergere og må sammenlignes med noen divergerende serier? Passer han i det hele tatt?
Integrert funksjon? Feil integral fremkaller en sørgmodig stemning. Nå, hvis vi hadde en rad … så ja. Stoppe! Slik blir ideer født. Vi tar en avgjørelse i to trinn:
1) Først studerer vi konvergensen til serien . Vi bruker integrert funksjon:
Integrand kontinuerlige på
Altså et tall divergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.
2) Sammenlign serien vår med den divergerende serien . Vi bruker grensesammenligningskriteriet:
Et endelig tall annet enn null oppnås, som betyr at serien som studeres divergerer sammen med side ved side .
Og det er ikke noe uvanlig eller kreativt i en slik avgjørelse - det er slik det skal avgjøres!
Jeg foreslår å uavhengig utarbeide følgende to-trekk:
Eksempel 16
Undersøk konvergensen til en serie
En student med litt erfaring ser i de fleste tilfeller umiddelbart om serien konvergerer eller divergerer, men det hender at et rovdyr på en smart måte skjuler seg i buskene:
Eksempel 17
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: ved første øyekast er det slett ikke klart hvordan denne serien oppfører seg. Og hvis vi har tåke foran oss, er det logisk å starte med en grov sjekk av den nødvendige betingelsen for seriens konvergens. For å eliminere usikkerhet bruker vi en usinkbar multiplikasjons- og divisjonsmetode ved adjunktuttrykk:
Det nødvendige tegnet på konvergens fungerte ikke, men brakte vår Tambov-kamerat frem i lyset. Som et resultat av de utførte transformasjonene ble en ekvivalent serie oppnådd , som igjen minner sterkt om en konvergent serie .
Vi skriver en ren løsning:
Sammenlign denne serien med den konvergerende serien. Vi bruker grensesammenligningskriteriet:
Multipliser og del med adjoint uttrykk:
Et endelig tall annet enn null oppnås, som betyr at serien som studeres konvergerer sammen med ved siden av .
Kanskje noen har et spørsmål, hvor kom ulvene fra på vår afrikanske safari? Vet ikke. De tok det sannsynligvis med seg. Du vil få følgende troféskinn:
Eksempel 18
Undersøk konvergensen til en serie
Et eksempel på løsning på slutten av leksjonen
Og til slutt, en tanke til som besøker mange studenter i fortvilelse: i stedet for om man skal bruke et sjeldnere kriterium for seriens konvergens? Tegn på Raabe, tegn på Abel, tegn på Gauss, tegn på Dirichlet og andre ukjente dyr. Ideen fungerer, men i virkelige eksempler blir den implementert svært sjelden. Personlig, i alle årene med praksis, har jeg bare tydd til 2-3 ganger tegn på Raabe når ingenting virkelig hjalp fra standardarsenalet. Jeg gjengir forløpet av min ekstreme søken i sin helhet:
Eksempel 19
Undersøk konvergensen til en serie
Løsning: Uten tvil et tegn på d'Alembert. I løpet av beregninger bruker jeg aktivt egenskapene til grader, så vel som andre fantastiske grensen:
Her er en for deg. D'Alemberts tegn ga ikke noe svar, selv om ingenting forutsa et slikt utfall.
Etter å ha gått gjennom håndboken fant jeg en lite kjent grense bevist i teorien og brukte et sterkere radikalt Cauchy-kriterium:
Her er to til deg. Og, viktigst av alt, det er slett ikke klart om serien konvergerer eller divergerer (en ekstremt sjelden situasjon for meg). Nødvendig tegn på sammenligning? Uten mye håp - selv om jeg på en utenkelig måte finner ut rekkefølgen på veksten til telleren og nevneren, garanterer dette fortsatt ingen belønning.
En komplett d'Alembert, men det verste er at serien må løses. Trenge. Tross alt vil dette være første gang jeg gir opp. Og så husket jeg at det så ut til å være noen kraftigere tegn. Før meg var ikke lenger en ulv, ikke en leopard og ikke en tiger. Det var en stor elefant som viftet med en stor snabel. Jeg måtte hente en granatkaster:
Tegn på Raabe
Tenk på en positiv tallserie.
Hvis det er en grense , deretter:
a) På rekke og rad divergerer. Dessuten kan den resulterende verdien være null eller negativ.
b) På rekke og rad konvergerer. Spesielt konvergerer serien for .
c) Når Raabes skilt gir ikke svar.
Vi setter grensen og forenkler brøken forsiktig:
Ja, bildet er mildt sagt ubehagelig, men jeg ble ikke lenger overrasket. lopitale regler, og den første tanken, som det viste seg senere, viste seg å være riktig. Men først, i omtrent en time, vred jeg og snudde grensen ved å bruke "vanlige" metoder, men usikkerheten ønsket ikke å bli eliminert. Og å gå i sirkler, som erfaringen tilsier, er et typisk tegn på at feil løsningsmåte er valgt.
Jeg måtte vende meg til russisk folkevisdom: "Hvis ingenting hjelper, les instruksjonene." Og da jeg åpnet 2. bind av Fichtenholtz, fant jeg til min store glede en studie av en identisk serie. Og så gikk løsningen etter modellen.
1. Komplekse tall. Komplekse tall kalt skjemaets tall x+iy, hvor X og y - reelle tall, Jeg-imaginær enhet, definert av likestilling i 2 =-1. Reelle tall X og på kalles hhv gyldig og imaginære deler komplekst tall z. For dem introduseres notasjonen: x=Rez; y=imz.
Geometrisk, hvert komplekst tall z=x+iy representert med en prikk M (x; y) koordinatplan xOy(Fig. 26). I dette tilfellet flyet hei kalt det komplekse tallplanet, eller planet til den komplekse variabelen z.
Polare koordinater r og φ poeng M, som er bildet av et komplekst tall z, kalles modul og argument komplekst tall z; notasjonen er introdusert for dem: r=|z|, φ=Argz.
Siden hvert punkt på planet tilsvarer et uendelig antall verdier av den polare vinkelen, som er forskjellig fra hverandre med 2kπ (k er et positivt eller negativt heltall), er Arg en z-uendelig-verdi funksjon av z.
Det av verdiene til den polare vinkelen φ , som tilfredsstiller ulikheten –π< φ ≤ π kalles hovedviktig argument z og betegne arg z.
I det følgende, betegnelsen φ lagre bare for hovedverdien til argumentet z , de. la oss sette φ =argz, hvorved for alle andre verdier av argumentet z vi får likheten
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Forholdet mellom modulen og argumentet til det komplekse tallet z og dets reelle og imaginære deler er etablert av formlene
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argument z kan også bestemmes av formelen
arg z = arctg (y / x) + C,
hvor FRA= 0 kl x > 0, FRA= +π for x<0, på> 0; C \u003d - π kl x < 0, på< 0.
Erstatte x og på i kompleks tallnotasjon z = x+iy deres uttrykk gjennom r og φ , får vi den såkalte trigonometrisk form av et komplekst tall:
Komplekse tall z 1 \u003d x 1 + iy 1 og z 2 \u003d x 2 + iy 2 ansett lik hvis og bare hvis deres virkelige og imaginære deler er like hver for seg:
z1 = z2, hvis x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
For tall gitt i trigonometrisk form, finner likhet sted hvis modulene til disse tallene er like, og argumentene avviker med et heltallsmultippel av 2π:
z 1 = z 2, hvis |z 1 | = |z 2 | og Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
To komplekse tall z = x+iy og z = x -iy med like reelle og motsatte imaginære deler kalles konjugert. For konjugerte komplekse tall, relasjonene
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(den siste likheten kan gis formen Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Operasjoner på komplekse tall er definert av følgende regler.
Addisjon. Hvis en z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, deretter
Tilsetningen av komplekse tall følger de kommutative og assosiative lovene:
Subtraksjon. Hvis en , deretter
For en geometrisk forklaring av addisjon og subtraksjon av komplekse tall, er det nyttig å representere dem ikke som punkter på planet z, og vektorer: tallet z = x + iy representert med vektor har begynnelsen ved punktet O ("null"-punktet på planet - opprinnelsen til koordinatene) og slutten på punktet M(x; y). Deretter utføres addisjon og subtraksjon av komplekse tall i henhold til regelen for addisjon og subtraksjon av vektorer (fig. 27).
En slik geometrisk tolkning av operasjonene for addisjon og subtraksjon av vektorer gjør det enkelt å etablere teoremer om modulen til summen og differansen av to og summen av flere komplekse tall, uttrykt ved ulikhetene:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
I tillegg er det nyttig å huske det modul for forskjellen til to komplekse tall z1 og z2 er lik avstanden mellom punktene som er bildene deres på z-planet:| |zl-z2 |=d(zl,z2).
Multiplikasjon. Hvis en z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. deretter
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Dermed multipliseres komplekse tall som binomialer, med i 2 erstattet med -1.
Hvis da
På denne måten, modulen til produktet er lik produktet av modulene til somnoektels, og argumentet til produktet-summen av argumentene til faktorene. Multiplikasjonen av komplekse tall følger de kommutative, assosiative og distributive (med hensyn til addisjon) lovene:
Inndeling. For å finne kvotienten av to komplekse tall gitt i algebraisk form, skal utbyttet og divisor multipliseres med tallet konjugert til divisor:
" Hvis en gitt i trigonometrisk form, da
På denne måten, modulen til kvotienten er lik kvotienten til modulen til utbytte og divisor, en argument privat er lik differansen mellom argumentene for utbytte og divisor.
Eksponentiering. Hvis z= , deretter ved Newtons binomialformel vi har
(S er et positivt heltall); i det resulterende uttrykket er det nødvendig å erstatte gradene Jeg deres betydninger:
i 2 \u003d -1; i3=i; i4=1; jeg 5 =1,...
og generelt,
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Hvis da
(her P kan enten være et positivt heltall eller et negativt heltall).
Spesielt,
(De Moivres formel).
Rotutvinning. Hvis en P er et positivt heltall, deretter den n-te roten av det komplekse tallet z har n forskjellige verdier, som finnes av formelen
hvor k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Finn (z 1 z 2)/z 3 if z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1 + 2i.
∆
438.
Antall z= 2 + 5i.
∆ Finn modulen til det komplekse tallet: . Finn hovedverdien til argumentet: . Derfor, ▲
439.
Representer komplekset i trigonometrisk form
Antall
∆ Finn , ; , , dvs.
440.
Representer i trigonometrisk form kompleks
tallene 1, i, -1, -i.
441.
Representer tall ,
,
på trigonometrisk form og finn så det komplekse tallet
z 1 /(z 2 z 3).
∆ Finn
Følgelig
442. Finn alle verdier.
∆ Vi skriver det komplekse tallet på trigonometrisk form. Vi har , , . Følgelig
Følgelig, , ,
443. Løs en binær ligning ω 5 + 32i = 0.
∆ La oss omskrive ligningen i formen ω 5 + 32i = 0. Antall -32i representere i trigonometrisk form:
Hvis en k = 0 Så en).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Røttene til toledsligningen tilsvarer toppunktene til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel med radius R=2 sentrert ved origo (fig. 28).
Generelt er røttene til en to-term ligning ω n \u003d a, hvor en-komplekst tall, tilsvarer toppunktene til det regulære n-gon innskrevet i en sirkel med sentrum ved origo og radius lik ▲
444. Bruk De Moivres formel, uttrykk cos5φ og sin5 φ gjennom cosφ og sinφ.
∆ Vi transformerer venstre side av likheten i henhold til Newtons binomiale formel:
Det gjenstår å sette likhetstegn mellom de virkelige og imaginære delene av likheten:
445. Gitt et komplekst tall z=2-2i. Finne Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Regn ut uttrykket ved å bruke Moivre-formelen (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Regn ut ved å bruke De Moivres formel.
449. Uttrykk et komplekst tall i trigonometrisk form
z = 1 + cos 20° + er i 20°.
450. Vurder uttrykk (2 + 3i) 3 .
451. Vurder uttrykk
452. Vurder uttrykk
453. Uttrykk et komplekst tall i trigonometrisk form 5-3i.
454. Uttrykk et komplekst tall i trigonometrisk form -1 + i.
455. Vurder uttrykk
456. Vurder uttrykk har tidligere presentert faktorene i telleren og nevneren i trigonometrisk form.
457. Finn alle verdier
458. Løs en binær ligning
459. uttrykke cos4φ og sin4φ gjennom cosφ og sinφ.
460. Vis at avstanden mellom punktene z1 og z2 lik | z2-z1|.
∆ Vi har z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1), hvor
de. | z2-z1| er lik avstanden mellom de gitte punktene. ▲
461. Hvilken linje er beskrevet av punktet z, som tilfredsstiller ligningen hvor Med-konstant komplekst tall, og R>0?
462.
Hva er den geometriske betydningen av ulikhetene: 1) | z-c|
463. Hva er den geometriske betydningen av ulikhetene: 1) Rez > 0; 2) im z< 0 ?
2. Serier med komplekse termer. Tenk på rekkefølgen av komplekse tall z 1, z 2 , z 3, ..., hvor z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...). konstant antall c = a + bi kalt grense sekvenser z 1, z 2 , z 3 , ..., hvis for et hvilket som helst vilkårlig lite antall δ>0 det er et tall N, hva er meningen z s med tall n > N tilfredsstille ulikheten \z n-Med\< δ . Skriv i dette tilfellet .
En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en grense for en sekvens av komplekse tall er som følger: tallet c=a+bi er grensen for sekvensen av komplekse tall x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... hvis og bare hvis , .
(1)
hvis medlemmer er komplekse tall kalles konvergerende, hvis nth delsum av serien S n for n → ∞ har en tendens til en viss endegrense. Ellers kalles serie (1). avvikende.
Serier (1) konvergerer hvis og bare hvis serier med reelle termer konvergerer
(2) Undersøk konvergensen til serien. Denne serien, hvis termer danner en uendelig avtagende geometrisk progresjon, konvergerer; derfor konvergerer den gitte serien med komplekse termer absolutt. ^
474. Finn konvergensområdet til en serie
Eksistensen av begrepet grensen til en sekvens (1.5) lar oss vurdere serier i det komplekse domenet (både numerisk og funksjonelt). Delsummer, absolutt og betinget konvergens av numeriske serier er standard definert. Hvori konvergens av en serie innebærer konvergens av to serier, hvorav den ene består av den virkelige og den andre av de imaginære delene av termene i serien: For eksempel konvergerer serien absolutt, og serien − divergerer (på grunn av den imaginære delen).
Hvis de virkelige og imaginære delene av en serie konvergerer absolutt, da
rad, fordi . Det motsatte er også sant: fra den komplekse seriens absolutte konvergens
den absolutte konvergensen av de reelle og imaginære delene følger:
På samme måte som funksjonelle serier i det virkelige domenet, komplekse
funksjonelle serier, området for deres punktvise og enhetlige konvergens. Uten forandring
formulert og bevist Weierstrass-skilt enhetlig konvergens. er lagret
alle egenskaper til jevnt konvergerende serier.
I studiet av funksjonelle serier, av spesiell interesse er makt
rekker: , eller etter utskifting : . Som i tilfelle av ekte
variabel, sann abel teorem : hvis den (siste) potensserien konvergerer ved punktet ζ 0 ≠ 0, så konvergerer den, og absolutt, for enhver ζ som tilfredsstiller ulikheten
På denne måten, konvergensregion D dette potensserie er en sirkel med radius R sentrert ved origo, hvor R − konvergensradius − eksakt øvre grense for verdier (hvor kom dette begrepet fra). Den opprinnelige kraftserien vil i sin tur konvergere i en sirkel med radius R med senteret kl z 0 . Dessuten, i enhver lukket sirkel, konvergerer kraftserien absolutt og jevnt (den siste uttalelsen følger umiddelbart av Weierstrass-testen (se kurset "Serie")).
Eksempel . Finn konvergenssirkelen og undersøk for konvergens i tt. z 1 og z 2 kraftserier Løsning. konvergensområde − sirkel med radius R= 2 med sentrum i t. z 0 = 1 − 2Jeg . z 1 ligger utenfor konvergenssirkelen og serien divergerer. Et slips. punktet ligger på grensen til konvergenssirkelen. Ved å erstatte den med den originale serien, konkluderer vi:
− serien konvergerer betinget i henhold til Leibniz-kriteriet.
Hvis serien på alle grensepunkter konvergerer absolutt eller divergerer i henhold til det nødvendige kriteriet, kan dette fastsettes umiddelbart for hele grensen. For å gjøre dette, bytt ut på rad
fra moduler med termverdi R i stedet for et uttrykk og undersøk den resulterende serien.
Eksempel. Tenk på serien fra det siste eksemplet, og endre én faktor:
Seriens konvergensregion forblir den samme: Vikar i en rekke moduler
resulterende konvergensradius:
Hvis vi betegner summen av serien med f(z), dvs. f(z) = (naturligvis, i
konvergensregion), kalles denne serien nær taylor funksjoner f(z) eller utvidelse av funksjonen f(z) i en Taylor-serie. I et spesielt tilfelle, for z 0 = 0, kalles serien nær Maclaurin funksjoner f(z) .
1.7 Definisjon av grunnleggende elementære funksjoner. Euler formel.
Vurder en kraftserie If z er en reell variabel, så representerer den
er Maclaurin-serien utvidelse av funksjonen og tilfredsstiller derfor
karakteristisk egenskap til eksponentialfunksjonen: , dvs. . Dette er grunnlaget for å bestemme eksponentiell funksjon i det komplekse området:
Definisjon 1. .
Funksjoner er definert på samme måte
Definisjon 2.
Alle tre seriene konvergerer absolutt og jevnt i ethvert avgrenset lukket område av det komplekse planet.
Fra de tre oppnådde formlene utledes en enkel substitusjon Euler formel:
Herfra følger det umiddelbart demonstrasjon notasjon av komplekse tall:
Eulers formel etablerer en sammenheng mellom vanlig og hyperbolsk trigonometri.
Tenk for eksempel på funksjonen: Resten av relasjonene oppnås på samme måte. Så:
Eksempler. Representer disse uttrykkene i skjemaet
2. (Uttrykket i parentes er et tall Jeg , skrevet i eksponentiell form)
4. Finn lineært uavhengige løsninger av en lineær DE av 2. orden:
Røttene til den karakteristiske ligningen er:
Siden vi ser etter reelle løsninger på ligningen, kan vi ta funksjonene
La oss avslutningsvis definere den logaritmiske funksjonen til en kompleks variabel. Som i det virkelige domenet, vil vi vurdere det inverst til det eksponentielle. For enkelhets skyld tar vi kun for oss eksponentialfunksjonen, dvs. løse ligningen for w, som vi kaller den logaritmiske funksjonen. For å gjøre dette tar vi logaritmen til ligningen, og presenterer z i eksponentiell form:
Hvis i stedet for arg z skriv Arg z(1.2), da får vi en funksjon med uendelig verdi
1.8 Derivat av FKP. Analytiske funksjoner. Cauchy–Riemann-forhold.
La w = f(z) er en funksjon med én verdi definert i domenet .
Definisjon 1. derivat fra funksjon f (z) på punktet kalles grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, når sistnevnte har en tendens til null:
En funksjon som har en derivert i et punkt z, er kalt differensierbar På dette punktet.
Det er klart at alle aritmetiske egenskaper til derivater er oppfylt.
Eksempel .
Ved å bruke Newtons binomiale formel blir det på samme måte utledet at
Seriene for eksponenten, sinus og cosinus tilfredsstiller alle betingelsene for term-for-term differensiering. Ved direkte verifisering er det enkelt å oppnå at:
Kommentar. Selv om definisjonen av FKP-derivatet formelt sett er helt sammenfallende med definisjonen for FDP, er den i hovedsak mer komplisert (se merknaden i avsnitt 1.5).
Definisjon 2. Funksjon f(z), kontinuerlig differensierbar på alle punkter av domenet G, er kalt analytisk eller regelmessig i denne regionen.
Teorem 1 . Hvis funksjonen f (z) differensierbar på alle punkter av domenet G, da er det analytisk på dette området. (b/d)
Kommentar. Faktisk etablerer denne teoremet ekvivalensen av regularitet og differensierbarhet av FKP på domener.
Teorem 2. En funksjon som er differensierbar i et domene har uendelig mange derivater i det domenet. (b/d. Nedenfor (i avsnitt 2.4) vil denne påstanden bli bevist under visse ytterligere forutsetninger)
Vi representerer funksjonen som summen av de reelle og imaginære delene: Teorem 3. ( Cauchy − Riemann-forhold). La funksjonen f (z) er differensierbar på et tidspunkt. Deretter funksjonene u(x,y) og v(x,y) har partielle derivater på dette tidspunktet, og
Og ringte Cauchy–Riemann-forhold .
Bevis . Siden verdien av derivatet ikke avhenger av måten mengden tenderer på
Til null velger vi følgende vei: Vi får:
På samme måte når vi har: , som beviser teoremet.
Det motsatte er også sant:
Teorem 4. Hvis funksjoner u (x,y) og v(x,y) har kontinuerlige partielle derivater på et tidspunkt som tilfredsstiller Cauchy-Riemann-betingelsene, deretter selve funksjonen f(z) er differensierbar på dette tidspunktet. (b/d)
Teoremene 1 – 4 viser den grunnleggende forskjellen mellom FKP og FDP.
Teorem 3 lar deg beregne den deriverte av en funksjon ved å bruke en av følgende formler:
Samtidig kan man vurdere X og på vilkårlige komplekse tall og beregne den deriverte ved å bruke formlene:
Eksempler. Sjekk funksjonen for regularitet. Hvis funksjonen er regulær, regner du ut dens deriverte.
Definisjon: Tallserier av komplekse tall z 1, z 2, …, z n , … kalles et uttrykk for formen
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
hvor z n kalles fellesleddet for serien.
Definisjon: Antall S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n kalles delsummen av serien.
Definisjon: Serien (1) kalles konvergent hvis sekvensen (S n ) av dens delsummer konvergerer. Hvis sekvensen av delsummer divergerer, kalles serien divergent.
Hvis rekken konvergerer, kalles tallet S = summen av rekken (3.1).
z n = x n + iy n,
da skrives serie (1) som
= + .
Teorem: Serie (1) konvergerer hvis og bare hvis rekken og , sammensatt av de reelle og imaginære delene av vilkårene for serie (3.1), konvergerer.
Denne teoremet lar oss overføre konvergenskriteriene ved siden av reelle termer til serier med komplekse termer (nødvendig kriterium, sammenligningskriterium, d'Alembert, Cauchy-kriterium, etc.).
Definisjon. Serien (1) kalles absolutt konvergent hvis serien som består av modulene til medlemmene konvergerer.
Teorem. For den absolutte konvergensen av serien (3.1), er det nødvendig og tilstrekkelig at serien og konvergerer absolutt.
Eksempel 3.1. Finn ut arten av konvergensen til serien
Løsning.
Tenk på serien
La oss vise at disse seriene konvergerer absolutt. For å gjøre dette, beviser vi at serien
Konverger.
Siden , i stedet for en rad, tar vi en rad. Hvis den siste serien konvergerer, så konvergerer serien også ved sammenligning.
Konvergensen av serien og er bevist ved hjelp av en integrert test.
Dette betyr at serien og konvergerer absolutt, og ifølge den siste teoremet konvergerer den opprinnelige serien absolutt.
4. Potensrekker med komplekse termer. Abels potensseriesetning. Sirkel og konvergensradius.
Definisjon. En potensserie er en serie av formen
hvor …, er komplekse tall, kalt koeffisienter i rekken.
Konvergensområdet for serien (4.I) er sirkelen.
For å finne konvergensradius R til en gitt serie som inneholder alle potenser, brukes en av formlene:
Hvis serien (4.1) ikke inneholder alle potensene til , må man direkte bruke d'Alembert- eller Cauchy-testen for å finne den.
Eksempel 4.1. Finn konvergenssirkelen til serien:
Løsning:
a) For å finne konvergensradiusen til denne serien bruker vi formelen
I vårt tilfelle
Derfor er konvergenssirkelen til serien gitt av ulikheten
b) For å finne konvergensradiusen til serien bruker vi d'Alembert-kriteriet.
For å beregne grensen ble L'Hopital-regelen brukt to ganger.
I følge d'Alembert-testen vil serien konvergere hvis . Derfor har vi konvergenssirkelen til serien.
5. Eksponentielle og trigonometriske funksjoner til en kompleks variabel.
6. Eulers teorem. Euler formler. Eksponentiell form av et komplekst tall.
7. Addisjonsteorem. Periodisiteten til eksponentialfunksjonen.
Eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner og er definert som summene av den tilsvarende potensserien, nemlig:
Disse funksjonene er relatert av Euler-formlene:
kalt henholdsvis hyperbolsk cosinus og sinus, er relatert til trigonometrisk cosinus og sinus ved formlene
Funksjonene , , , er definert som i den virkelige analysen.
For alle komplekse tall og addisjonsteoremet gjelder:
Ethvert komplekst tall kan skrives i eksponentiell form:
er hans argument.
Eksempel 5.1. Finne
Løsning.
Eksempel 5.2. Uttrykk tallet i eksponentiell form.
Løsning.
Finn modulen og argumentet til dette tallet:
Så får vi
8. Begrensning, kontinuitet og enhetlig kontinuitet av funksjoner til en kompleks variabel.
La E er et sett med punkter i det komplekse planet.
Definisjon. Det sier de på settet E funksjon er gitt f kompleks variabel z, hvis hvert punkt z E etter regel f ett eller flere komplekse tall er tilordnet w(i det første tilfellet kalles funksjonen single-valued, i det andre - multi-valued). Betegn w = f(z). E er domenet til funksjonsdefinisjonen.
hvilken som helst funksjon w = f(z) (z = x + iy) kan skrives i skjemaet
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) kalles den reelle delen av funksjonen, og V(x, y) = Imf(z) er den imaginære delen av funksjonen f(z).
Definisjon. La funksjonen w = f(z) er definert og unik i noen områder av punktet z 0 , utelukker kanskje selve poenget z0. Tallet A kalles funksjonens grense f(z) på punktet z0, hvis for noen ε > 0, kan man spesifisere et tall δ > 0 slik at for alle z = z0 og tilfredsstille ulikheten |z – z 0 |< δ , ulikheten | f(z) – A|< ε.
skrive ned
Det følger av definisjonen at z→z0 vilkårlig.
Teorem. For eksistensen av funksjonens grense w = f(z) på punktet z 0 = x 0 + iy 0 det er nødvendig og tilstrekkelig at grensene for funksjonen U(x, y) og V(x, y) på punktet (x0, y0).
Definisjon. La funksjonen w = f(z) er definert og unik i noen områder av punktet z 0 , inkludert dette punktet selv. Funksjon f(z) kalles kontinuerlig i punktet z 0 if
Teorem. For kontinuitet til en funksjon på et punkt z 0 = x 0 + iy 0 det er nødvendig og tilstrekkelig at funksjonene U(x, y) og V(x, y) på punktet (x0, y0).
Det følger av teoremene at de enkleste egenskapene knyttet til grensen og kontinuiteten til funksjoner til reelle variabler overføres til funksjoner til en kompleks variabel.
Eksempel 7.1. Skill de reelle og imaginære delene av funksjonen.
Løsning.
I formelen som definerer funksjonen, erstatter vi
For å nullstille i to forskjellige retninger, funksjonen U(x, y) har forskjellige grenser. Dette betyr at på punktet z = 0 funksjon f(z) har ingen grense. Deretter funksjonen f(z) definert på punktene der .
La z 0 = x 0 + iy 0, ett av disse punktene.
Dette betyr at på punktene z = x + iy på y 0 funksjonen er kontinuerlig.
9. Sekvenser og rekker av funksjoner til en kompleks variabel. Ensartet konvergens. Kontinuitet i kraftserien.
Definisjonen av en konvergent sekvens og en konvergent rekke funksjoner av en kompleks variabel med enhetlig konvergens, som tilsvarer teorien om lik konvergens, kontinuitet av grensen til en sekvens, summen av en serie dannes og bevises på nøyaktig samme måte som for sekvenser og rekker av funksjoner til en reell variabel.
La oss presentere fakta som er nødvendig for det som følger om funksjonelle serier.
Slipp inn i området D en sekvens av funksjoner med én verdi av den komplekse variabelen (fn (z)) er definert. Så symbolet:
kalt funksjonell rekkevidde.
Hvis en z0 tilhører D fast, så serien (1) vil være numerisk.
Definisjon. Funksjonell rekkevidde (1) kalles konvergent i regionen D, hvis for noen z eid D, konvergerer tallserien som tilsvarer den.
Hvis raden (1) konvergerer i regionen D, så kan man i denne regionen definere en funksjon med én verdi f(z), hvis verdi på hvert punkt z eid D er lik summen av den tilsvarende tallserien. Denne funksjonen kalles summen av serien (1) i området til D .
Definisjon. Hvis en
for alle z eid D, følgende ulikhet gjelder:
så serien (1) kalles jevnt konvergent i regionen D.
Serier med komplekse termer.
19.3.1. Numeriske serier med komplekse termer. Alle grunnleggende definisjoner av konvergens, egenskaper til konvergerende serier, konvergenskriterier for komplekse serier skiller seg ikke på noen måte fra det virkelige tilfellet.
19.3.1.1. Grunnleggende definisjoner. La en uendelig rekkefølge av komplekse tall gis. Den reelle delen av tallet vil bli betegnet med , den imaginære - (dvs.
Nummerserie- se posten .
Delsummer av en serie:
Definisjon. Hvis det er en grense S sekvenser av delsummer av serien med , som er et riktig komplekst tall, så sies serien å konvergere; Antall S kalt summen av serien og skriv eller .
Finn de reelle og imaginære delene av delsummene: , hvor symbolene og betegner de reelle og imaginære delene av delsummen. En numerisk sekvens konvergerer hvis og bare hvis sekvensene som består av dens reelle og imaginære deler, konvergerer. Dermed konvergerer en serie med komplekse termer hvis og bare hvis serien dannet av dens reelle og imaginære deler konvergerer.
Eksempel.
19.3.1.2. Absolutt konvergens.
Definisjon. Rekka heter absolutt konvergent hvis serien konvergerer , sammensatt av de absolutte verdiene til medlemmene.
Akkurat som for numeriske reelle serier med vilkårlige termer, kan det bevises at hvis serien konvergerer, så konvergerer serien nødvendigvis. Hvis serien konvergerer og serien divergerer, sies serien å være betinget konvergent.
En serie er en serie med ikke-negative medlemmer, derfor, for å studere dens konvergens, kan alle kjente funksjoner brukes (fra sammenligningsteoremer til Cauchy-integraltesten).
Eksempel. Undersøk serien for konvergens.
La oss lage en serie med moduler (): . Denne serien konvergerer (Cauchy-testen ), så den originale serien konvergerer absolutt.
19.1.3.4. Egenskaper til konvergerende serier. For konvergerende serier med komplekse termer er alle egenskapene til serier med reelle termer sanne:
Et nødvendig kriterium for konvergens av en serie. Den vanlige termen for den konvergerende serien har en tendens til null som.
Hvis serien konvergerer, så konvergerer hvilken som helst av resten av serien. Omvendt, hvis resten av serien konvergerer, så konvergerer serien selv.
Hvis serien konvergerer, så summen av dens resten ettern -te ledd har en tendens til null ved.
Hvis alle ledd i en konvergent serie multipliseres med samme tall Med, da bevares konvergensen av serien, og summen multipliseres med Med.
Konvergerende rader ( MEN) og ( PÅ) kan legges til og trekkes fra begrep for begrep; den resulterende serien vil også konvergere, og summen er lik.
Hvis leddene til den konvergerende serien er gruppert vilkårlig og en ny serie består av summene av leddene i hvert par parenteser, vil denne nye serien også konvergere, og summen vil være lik summen av den opprinnelige serien .
Hvis en serie konvergerer absolutt, blir konvergensen bevart for enhver permutasjon av dens vilkår og summen endres ikke.
Hvis radene ( MEN) og ( PÅ) konvergerer absolutt til summenog, så konvergerer deres produkt for en vilkårlig rekkefølge av termer også absolutt, og summen er lik.
19.3.2. Power kompleks serie.
Definisjon. En potensrekke med komplekse termer er en rekke av formen
hvor er konstante komplekse tall (koeffisienter av serien), er et fast komplekst tall (sentrum av konvergenssirkelen). For enhver numerisk verdi z serien blir til en numerisk serie med komplekse termer, konvergerende eller divergerende. Hvis serien konvergerer på et punkt z , så kalles dette punktet konvergenspunktet for serien. Potensserien har minst ett konvergenspunkt - punktet. Settet med konvergenspunkter kalles seriens konvergensregion.
Når det gjelder en potensserie med reelle termer, er all meningsfull informasjon om en potensserie inneholdt i Abels teorem.
Abels teorem. Hvis potensserien konvergerer ved punktet , da
1. den konvergerer absolutt når som helst på sirkelen ;
2. Hvis denne serien divergerer ved , så divergerer den når som helst z , som tilfredsstiller ulikheten (dvs. ligger lenger fra punktet enn ).
Beviset gjentar ordrett beviset for seksjonen 18.2.4.2. Abels teorem for en serie med ekte medlemmer.
Abels teorem antyder eksistensen av et slikt ikke-negativt reelt tall R , at serien konvergerer absolutt ved ethvert indre punkt i en sirkel med radius R sentrert ved , og divergerer på et hvilket som helst punkt utenfor denne sirkelen. Antall R kalt konvergensradius, en sirkel - sirkel av konvergens. Ved punktene til grensen til denne sirkelen - sirkler med radius R sentrert på et punkt - serien kan både konvergere og divergere. På disse punktene har serien med moduler formen . Følgende tilfeller er mulige:
1. Serien konvergerer. I dette tilfellet konvergerer serien absolutt når som helst på sirkelen.
2. Serien divergerer, men dens vanlige betegnelse . I dette tilfellet kan serien konvergere betinget på noen punkter i sirkelen, og divergere på andre, dvs. hvert punkt krever en individuell studie.
3. Serien divergerer, og dens vanlige term har ikke en tendens til null ved . I dette tilfellet divergerer serien på et hvilket som helst punkt i grensesirkelen.