Bestemme hastigheten til et figurpunkt i en planbevegelse. Bestemmelse av hastigheten til ethvert punkt i en plan figur. Kompleks punktbevegelse
Vilkårlig punkthastighet M figurer er definert som summen av hastighetene som punktet mottar under translasjonsbevegelse sammen med polen og rotasjonsbevegelsen rundt polen.
Tenk deg plasseringen av punktet M som (fig.1.6).
Ved å differensiere dette uttrykket med hensyn til tid får vi:
, fordi
.
Samtidig hastigheten v MA. hvilket punkt M fås ved å rotere figuren rundt stangen MEN, vil bli bestemt ut fra uttrykket
v MA=ω · MA,
hvor ω er vinkelhastigheten til den flate figuren.
Enhver punkthastighet M flat figur er geometrisk sammensatt av hastigheten til et punkt MEN, tatt som en stang, og fart, poeng M når figuren roterer rundt stangen. Modulen og retningen til hastigheten til denne hastigheten finner du ved å konstruere et parallellogram av hastighetene.
Oppgave 1
Bestem punkthastighet MEN, hvis hastigheten til midten av valsen er 5m/s, vinkelhastigheten til valsen . Rulleradius r=0,2m, hjørne. Skøytebanen ruller uten å skli.
Siden kroppen gjør en planparallell bevegelse, hastigheten til punktet MEN vil bestå av hastigheten til stangen (punkt FRA) og hastigheten oppnådd av punktet MEN når du roterer rundt stangen FRA.
,
Svar:
Teorem om projeksjoner av hastighetene til to punkter i et legeme som beveger seg på en planparallell måte
Vurder noen to punkter MEN og PÅ flat figur. Tar et poeng MEN per stolpe (fig. 1.7), får vi
Derfor projiserer begge deler av likheten på aksen rettet langs AB, og gitt at vektoren er vinkelrett AB, Vi finner
v B· cosβ=v A· cosα+ v i A· cos90°.
fordi v I A· cos90°=0 vi får: projeksjonene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på aksen som går gjennom disse punktene er like.
Oppgave 1
Kjerne AB glir ned en glatt vegg og et glatt gulv, punkthastighet A V A \u003d 5m/s, vinkel mellom gulv og stang AB er lik 30 0 . Bestem punkthastighet PÅ.
Bestemmelse av hastighetene til punktene til en plan figur ved å bruke det øyeblikkelige senteret av hastigheter
Når du bestemmer hastigheten til punktene til en flat figur gjennom stangens hastighet, kan stangens hastighet og rotasjonshastigheten rundt stangen være like stor og motsatt i retning, og det er et slikt punkt P, hastighet som på et gitt tidspunkt er lik null , kall det øyeblikkelig senter av hastigheter.
Øyeblikkelig senter for hastigheter Et punkt assosiert med en flat figur kalles, hvis hastighet på et gitt tidspunkt er null.
Hastighetene til punktene til en flat figur bestemmes på et gitt tidspunkt som om figurens bevegelse var momentant roterende rundt en akse som går gjennom det øyeblikkelige hastighetssenteret (fig. 1.8).
v A=ω · PA; ().
Fordi v B=ω · PB; (), deretter w=vB/PB=v A/PA
Hastighetene til punktene til en flat figur er proporsjonale med de korteste avstandene fra disse punktene til det øyeblikkelige hastighetssenteret.
Resultatene som er oppnådd fører til følgende konklusjoner:
1) for å bestemme posisjonen til det øyeblikkelige hastighetssenteret, er det nødvendig å vite størrelsen og retningen til hastigheten og retningen til hastigheten til to punkter MEN og PÅ flat figur; øyeblikkelig hastighetssenter P er i skjæringspunktet for perpendikulære konstruert fra punktene MEN og PÅ til hastighetene til disse punktene;
2) vinkelhastighet ω planfigur på et gitt tidspunkt er lik forholdet mellom hastigheten og avstanden fra den til det øyeblikkelige senteret R hastigheter: ω =v A/PA;
3) Hastigheten til et punkt i forhold til det øyeblikkelige senter av hastigheter P vil indikere retningen til vinkelhastigheten w.
4) Hastigheten til et punkt er direkte proporsjonal med den korteste avstanden fra punktet PÅ til det øyeblikkelige hastighetssenteret R v A \u003d ω BP
Oppgave 1
Sveiv OA lengde 0,2m roterer jevnt med vinkelhastighet ω=8 rad/s. Til koblingsstang AB på punktet FRA hengslet koblingsstang CD. For en gitt posisjon av mekanismen, bestemme hastigheten til punktet D glidebryteren hvis vinkelen.
Punktbevegelse PÅ begrenset av de horisontale føringene, kan glideren bare bevege seg fremover langs de horisontale føringene. Punkthastighet PÅ rettet i samme retning som . Siden to punkter på koblingsstangen har samme hastighetsretning, utfører kroppen øyeblikkelig translasjonsbevegelse, og hastighetene til alle punkter på koblingsstangen har samme retning og verdi.
FLYBEVEGELSE AV EN STIV KROPP
Studiespørsmål:
1. Ligninger for planbevegelse av et stivt legeme.
2. Punkthastighet for en flat figur
3. Øyeblikkelig sentrum av hastigheter
4. Akselerasjoner av punkter i en plan figur
1. Ligninger for planbevegelse av et stivt legeme
Plan bevegelse av en stiv kroppkall detbevegelse der alle punkter i kroppsdelen beveger seg i sitt eget plan.
La det faste 1 gjør en flat bevegelse.
Sekant flyet i kroppen 1 danner en seksjon П, som beveger seg i skjæreplanet .
Hvis parallelt med flyet utføre andre deler av kroppen, for eksempel gjennom punkter
osv. liggende på samme vinkelrett på seksjonene, så vil alle disse punktene og alle seksjoner av kroppen bevege seg på samme måte.
Følgelig er bevegelsen til kroppen i dette tilfellet fullstendig bestemt av bevegelsen til en av dens seksjoner i et av de parallelle planene, og posisjonen til seksjonen bestemmes av posisjonen til to punkter i denne seksjonen, for eksempel MEN og PÅ.
Seksjonsposisjon P i fly Åh bestemme posisjonen til segmentet AB, utført i denne delen. Plassering av to punkter på et plan MEN(
)
og PÅ(
)
preget av fire parametere (koordinater), som en begrensning er pålagt - kommunikasjonsligningen i form av lengden på segmentet AB:
Derfor kan posisjonen til seksjonen P i planet stilles inn tre uavhengige parametere - koordinater
poengMEN
og vinkel,
som danner et segment AB med aksel Åh. Punkt MEN, valgt for å bestemme posisjonen til seksjonen P, kalt STANG.
Når kroppsdelen beveger seg, er dens kinematiske parametere funksjoner av tid
Ligningene er kinematiske ligninger av plan (planparallell) bevegelse av et stivt legeme. Nå vil vi vise at, i samsvar med ligningene oppnådd, utfører kroppen i plan bevegelse translasjons- og rotasjonsbevegelser. La i fig. del av en kropp gitt av et segment
i koordinatsystemet Åh flyttet fra startposisjonen 1
til sluttposisjon 2.
La oss vise to måter for mulig forskyvning av kroppen fra posisjonen 1 til posisjon 2.
Første vei. La oss ta et poeng som en pol . Flytte segmentet
parallelt med seg selv, dvs. gradvis, langs banen ,før matchende poeng
og . Hente posisjonen til segmentet .
på hjørnet og vi får den endelige posisjonen til den flate figuren, gitt av segmentet
.
Den andre måten. La oss ta et poeng som en pol . Flytter segmentet
parallelt med seg selv, dvs. gradvis langs banen
før matchende poeng og .Vi får posisjonen til segmentet
.
Deretter roterer du dette segmentet rundt stangen på
hjørne
og vi får den endelige posisjonen til den flate figuren, gitt av segmentet
.
La oss trekke følgende konklusjoner.
1. Planbevegelse, i full overensstemmelse med ligningene, er en kombinasjon av translasjons- og rotasjonsbevegelser, og modellen av planbevegelsen til et legeme kan betraktes som translasjonsbevegelse av alle punkter på kroppen sammen med polen og rotasjonen av kroppen i forhold til stangen.
2. Banene til kroppens translasjonsbevegelse avhenger av valget av pol
.
På fig. 13.3 i det betraktede tilfellet, ser vi at i den første bevegelsesmetoden, når et punkt ble tatt som en pol , translasjonsbane vesentlig forskjellig fra banen
for den andre polen PÅ.
3. Rotasjonen av kroppen er ikke avhengig av valget av stang. Hjørne rotasjon av kroppen forblir konstant i modul og rotasjonsretning . I begge tilfeller, sett i fig. 13.3, var rotasjonen mot klokken.
Hovedkarakteristikkene til kroppen i plan bevegelse er: stavens bane, rotasjonsvinkelen til kroppen rundt stangen, hastigheten og akselerasjonen til stangen, vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til kroppen. Ekstra aksler
i translasjonsbevegelse beveger de seg med stangen MEN parallelt med hovedaksene Åh langs stien til stolpen.
Hastigheten til polen til en flat figur kan bestemmes ved å bruke tidsderivertene til ligningene:
På samme måte bestemmes vinkelegenskapene til kroppen: vinkelhastigheten
;
vinkelakselerasjon
.
På fig. ved polet MEN projeksjoner av hastighetsvektoren vises på aksel Ååååååå Kroppsrotasjonsvinkel , vinkelhastighet og vinkelakselerasjon vist med buepiler rundt punktet MEN. På grunn av uavhengigheten til rotasjonsegenskapene til bevegelse fra valget av polen, vinkelegenskapene ,,kan vises på et hvilket som helst punkt på en flat figur med buepiler, for eksempel ved punkt B.
Forelesning 3. Planparallell bevegelse av en stiv kropp. Bestemmelse av hastigheter og akselerasjoner.
Dette foredraget tar for seg følgende spørsmål:
1. Planparallell bevegelse av en stiv kropp.
2. Ligninger av plan-parallell bevegelse.
3. Dekomponering av bevegelse til translasjon og rotasjon.
4. Bestemmelse av hastighetene til punktene til en plan figur.
5. Teoremet om projeksjonene av hastighetene til to punkter på kroppen.
6. Bestemmelse av hastighetene til punktene i en plan figur ved å bruke det øyeblikkelige senteret av hastigheter.
7. Løse problemer for å bestemme hastigheten.
8. Hastighetsplan.
9. Bestemmelse av akselerasjoner av punkter i en plan figur.
10. Løse akselerasjonsproblemer.
11. Øyeblikkelig akselerasjonssenter.
Studiet av disse spørsmålene er nødvendig i fremtiden for dynamikken til en plan bevegelse av et stivt legeme, dynamikken i den relative bevegelsen til et materiell punkt, for å løse problemer i disiplinene "Teori om maskiner og mekanismer" og "Maskindeler" ".
Planparallell bevegelse av en stiv kropp. Ligninger for planparallell bevegelse.
Dekomponering av bevegelse til translasjon og rotasjon
Planparallell (eller flat) er en slik bevegelse av et stivt legeme, der alle punktene beveger seg parallelt med et fast plan P(Fig. 28). Planbevegelse utføres av mange deler av mekanismer og maskiner, for eksempel et rullende hjul på en rett del av sporet, en forbindelsesstang i en sveiv-glidemekanisme, etc. Et spesielt tilfelle av planparallell bevegelse er rotasjonsbevegelsen av et stivt legeme rundt en fast akse.
Fig.28 Fig.29
Vurder delen S kropper av et fly Oxy, parallelt med planet P(fig.29). Med planparallell bevegelse, alle punkter på kroppen ligger på en rett linje MM' vinkelrett på strømmen S, dvs. fly P, beveger seg identisk.
Derfor konkluderer vi med at for å studere bevegelsen til hele kroppen, er det tilstrekkelig å studere hvordan den beveger seg i planet Åh seksjon S denne kroppen eller en flyfigur S. Derfor, i fremtiden, i stedet for kroppens planbevegelse, vil vi vurdere bevegelsen til en plan figur S i sitt plan, dvs. i fly Åh.
Figurposisjon S i fly Åh bestemmes av posisjonen til et eller annet segment tegnet på denne figuren AB(Fig. 28). I sin tur posisjonen til segmentet AB kan bestemmes ved å kjenne koordinatene x A og y A poeng MEN og vinkelen som er segmentet AB former med akse X. Punkt MEN valgt for å bestemme plasseringen av figuren S, vil heretter bli kalt en pol.
Når du flytter en størrelsesfigur x A og y A og vil endre seg. Å kjenne bevegelsesloven, det vil si posisjonen til figuren i planet Åh når som helst må du kjenne avhengighetene
Ligningene som bestemmer loven for den pågående bevegelsen kalles bevegelseslikningene til en flat figur i planet. De er også ligninger av planparallell bevegelse av et stivt legeme.
De to første av bevegelsesligningene definerer bevegelsen som figuren ville gjort hvis =konst; dette vil åpenbart være en translasjonsbevegelse, der alle punktene på figuren beveger seg på samme måte som polen MEN. Den tredje ligningen bestemmer bevegelsen som figuren ville gjøre ved og , dvs. når stangen MEN ubevegelig; dette vil være rotasjonen av figuren rundt stangen MEN. Fra dette kan vi konkludere med at i det generelle tilfellet kan bevegelsen til en flat figur i planet betraktes som en sum av translasjonsbevegelse, der alle punktene i figuren beveger seg på samme måte som polen MEN, og fra en rotasjonsbevegelse rundt den polen.
De viktigste kinematiske egenskapene til bevegelsen som vurderes er hastigheten og akselerasjonen av translasjonsbevegelsen, lik hastigheten og akselerasjonen til polen, samt vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til rotasjonsbevegelsen rundt polen.
Bestemme hastighetene til punktene til en plan figur
Det ble lagt merke til at bevegelsen til en flat figur kan betraktes som en sum av translasjonsbevegelse, der alle punktene på figuren beveger seg med polens hastighet MEN, og fra en rotasjonsbevegelse rundt den polen. La oss vise at hastigheten til ethvert punkt M figurene er dannet geometrisk fra hastighetene som punktet mottar i hver av disse bevegelsene.
Faktisk, plasseringen av ethvert punkt M figurer er definert i forhold til aksene Åh radiusvektor (fig. 30), hvor er radiusvektoren til polen MEN, - vektor som definerer posisjonen til punktet M om økser som beveger seg med stangen MEN translasjonsmessig (bevegelsen av figuren i forhold til disse aksene er en rotasjon rundt polen MEN). Deretter
Husk at bevegelsen til en flat figur kan betraktes som summen av translasjonsbevegelse sammen med polen og rotasjonsbevegelsen rundt polen.
I følge dette hastigheten til et vilkårlig punkt M på en plan figur er geometrisk summen av hastigheten til et punkt A, tatt som en pol, og hastigheten som punktet M mottar når figuren roterer rundt denne polen, dvs.
Samtidig hastigheten VMA definert som hastigheten til et punkt M når et legeme roterer rundt en fast akse som går gjennom et punkt MEN vinkelrett på bevegelsesplanet (se § 7.2), dvs.
Altså hvis hastigheten på stangen er kjent VA og vinkelhastigheten til kroppen w, da
hastigheten til ethvert punkt M av kroppen bestemmes i samsvar med likhet (8.2), diagonalen til parallellgrammet bygget på vektorene VA og VMA, som på sidene (fig. 8.3), og hastighetsmodulen V M beregnet med formelen
hvor y er vinkelen mellom vektorene VA og VMA
Oppgave 8.1. Hjulet ruller på en fast overflate uten å skli (fig. 8.4, en). Finn fartspunkter Til og D hjul hvis hastigheten er kjent Vc senter C hjul, radius R hjul, avstand COP = b og vinkel a.
Løsning. 1. Bevegelsen til det aktuelle hjulet er planparallell. Å ta punktet C som en pol (siden hastigheten er kjent), i samsvar med den generelle likheten (8.2), for punktet Til vi kan skrive
Det er imidlertid ingen måte å bestemme verdien på V KC, siden vinkelhastigheten er ukjent.
For å bestemme w, vurdere hastigheten til et annet punkt, nemlig punktet R berøre hjulet på en fast overflate (fig. 8.4, b). For dette punktet kan vi skrive likheten
punktfunksjon R er det faktum at på dette tidspunktet Vp - 0, siden hjulet ruller uten å skli. Så tar likhet (b) formen
hvor vi kommer fra
Det følger herfra: 1) hastighetsvektorer V PC og Vc bør rettes i motsatte retninger; 2) fra likestilling av moduler V PC - V c vi får uPC = V c , herfra finner vi w = Vc/PC = Vc/R. I henhold til vektorretning V PC bestem retningen til buepilen w og vis den på tegningen (fig. 8.4, b).
Nå tilbake til definisjonen V K ved likestilling (a). Vi finner
Vks \u003d om KS - V ^ b / R. Når vi kjenner retningen til vinkelhastigheten ω, viser vi vektoren V KC vinkelrett på segmentet KS og utføre konstruksjonen av et parallellogram på vektorene Vc og V KC(Fig. 8.4, i). Siden i dette tilfellet Vc og V KC innbyrdes vinkelrett finner vi til slutt
2. Punkthastighet D på felgen, bestemmer vi ut fra likheten VD = V C + V DC . Siden numerisk VDC - co R - V c , deretter parallellogrammet bygget på vektorene Vc og VDC, vil være en rombe. Vinkel mellom Vc og V DC er lik 2a. Etter å ha definert VD som lengden på den tilsvarende diagonalen til romben, får vi
Teorem om projeksjoner av hastigheter til to punkter i et stivt legeme
I følge likhet (8.2) for to_ vilkårlige punkter MEN og PÅ stiv kropp likheten V B \u003d V A + V B A, i samsvar med hvilken vi utfører konstruksjonen vist i fig. 8.5. Projiserer denne likheten på aksen Az, rettet mot A B vi får Mind + VBAz. Gitt at vektoren VBA vinkelrett på linjen
A B finne
Dette resultatet uttrykker teoremet: projeksjonene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på aksen som går gjennom disse punktene er lik hverandre.
Vi legger merke til at likhet (8,5) matematisk gjenspeiler det faktum at kroppen anses som absolutt stiv og avstanden mellom punktene MEN og PÅ endres ikke. Derfor likestilling (8,5) er tilfredsstilt ikke bare for fly-parallell, men også for enhver bevegelse av en stiv kropp.
Oppgave 8.2. Creepers MEN og PÅ, forbundet med en stang med hengsler i endene, flyttes de langs gjensidig vinkelrette føringer i plan på tegningen (fig. 8.6, en). Bestem hastigheten til et punkt ved en gitt vinkel PÅ, hvis hastigheten er kjent V A .
Løsning. La oss tegne x-aksen gjennom punktene MEN og PÅ.Å vite retningen VA,
finn projeksjonen av denne vektoren på linjen AB: V Axe - V A cos a (i fig. 8.6, b dette vil være et kutt Ah). Videre på tegningen fra punktet PÅ utsette Bb - Aa(fordi segmentet Ah plassert på x-aksen til høyre for punktet MEN, deretter segmentet Bb sett til side fra poenget PÅ på x-aksen til høyre). Gjenoppstandelse på punktet b vinkelrett på en linje AB, finn endepunktet til vektoren V B .
I følge projeksjonsteoremet VA cos a = K^cosp. Herfra (med tanke på at Р = 90 ° - a) får vi endelig V B = VA cos a/cos(90° - a) eller V B = = VA ctg a.
Bestemmelse av punkthastigheter ved å bruke det øyeblikkelige senter av hastigheter
For å bestemme hastighetene til punktene til en plan figur, velger vi et hvilket som helst punkt som en pol R. Deretter, i henhold til formelen
(8.2), hastigheten til et vilkårlig punkt M er definert som summen av to vektorer:
Hvis hastigheten på stangen R på et gitt tidspunkt var lik null, så ville høyre side av denne likheten representert med ett ledd Hos MR og hastigheten til et hvilket som helst punkt vil bli definert som hastigheten til et punkt M kroppen når den roterer rundt en fast stang R.
Derfor, hvis vi velger punktet som pol R, hvis hastighet er null på et gitt tidspunkt, da modulene for hastighetene til alle punktene på figuren vil være proporsjonale med deres avstander til polen P, og retningene til hastighetsvektorene til alle punktene vil være vinkelrett på de rette linjene som forbinder punktet under vurdering og polen P. Naturligvis er beregningen med formler (8.6) mye enklere enn beregningen med den generelle formelen (8.2).
Punktet til en flat figur, hvis hastighet i et gitt tidspunkt er null, kalles det øyeblikkelige hastighetssenteret (MCS). Det er lett å verifisere at hvis figuren beveger seg ikke-translasjonelt, så eksisterer et slikt punkt i hvert øyeblikk og er dessuten unikt. Legg merke til at det øyeblikkelige senteret av hastigheter kan lokaliseres både på selve figuren og på dens mentale fortsettelse.
Vurder måter å bestemme posisjonen til det øyeblikkelige sentrum av hastigheter.
1. La på tidspunktet for tiden tjum av en plan figur, dens vinkelhastighet ω og hastigheten VA noen av dens punkter MEN(Fig. 8.7, en). Deretter velger du et punkt MEN som en pol,_hastighet_av punktet vi leter etter R kan bestemmes av formelen Vp = VA + VpA -
Problemet er å finne et slikt punkt R, i hvilken V P=0, så for henne V A + U RL=0 og dermed Y RA \u003d -Y A. Derfor, for poenget R hastighet På RA som peker R fås ved å rotere figuren rundt stangen MEN, og hastighet EN poler MEN lik i modulo (Y RA = Y A) eller ca ZAR = U A og motsatt i retning. I tillegg kommer poenget R må ligge vinkelrett på vektoren På A. Bestemme posisjonen til et punkt R utføres som følger: fra punktet MEN(Fig. 8.7, b) sett opp en vinkelrett på vektoren EN og ta avstand til den AR = Y A/co på den andre siden av punktet MEN, hvor vektoren vil "vise" På Og hvis den roteres 90 ° i retning av buepilen co.
Det øyeblikkelige senter av hastigheter er det eneste punktet på en plan figur hvis hastighet på et gitt tidspunkt er null.
På et annet tidspunkt kan det øyeblikkelige senter av hastigheter allerede være et annet punkt på planfiguren.
2. La hastighetsretningene være kjent VA og i(Fig. 8.8, en) to poeng MEN og PÅ plan figur (også er ikke hastighetsvektorene til disse punktene parallelle), eller de elementære forskyvningene til disse punktene er kjent. Det øyeblikkelige senter av hastigheter vil være lokalisert i skjæringspunktet mellom perpendikulærene reist fra punktene A og B til hastighetene til disse punktene (eller til de elementære forskyvningene av punktene). En slik konstruksjon er vist i fig. 8,8, b. Det er basert på det faktum at for eventuelle poeng A og B tall gjeldende bestemmelser (8.6):
Av disse likestillingene følger det at
Når du kjenner posisjonen til MCC og vinkelhastigheten til kroppen, ved å bruke formler (8.6), er det lett å bestemme hastigheten til et hvilket som helst punkt i denne kroppen. For eksempel for et poeng Til(se fig. 8.8, b) modulhastighet V K =coKP, vektor U til rettet vinkelrett på en rett linje KR i samsvar med
retningen til buepilen y.
Følgelig hastighetene til punktene til en flat figur bestemmes på et gitt tidspunkt som om denne figuren roterte rundt det øyeblikkelige sentrum av hastigheter.
3. Hvis hastigheten peker MEN og PÅ planfigurer er parallelle med hverandre, da er tre alternativer mulig, som er vist i fig. 8.9. For tilfeller hvor den direkte AB vinkelrett på vektorene VA og V B(Fig. 8.9, a, b) konstruksjonene er basert på andelen (8,7).
Hvis hastigheten på punktene Lee V parallell og rett AB_nt vinkelrett VMEN(Fig. 8.9, i), deretter perpendikulære til U A og V B er parallelle og det øyeblikkelige senter av hastigheter er på uendelig (AP= oo); vinkelhastighet for rotasjon av figuren w = VJAP=VA/cc= 0. I dette tilfellet er hastighetene til alle punktene i figuren på et gitt tidspunkt lik hverandre, dvs. figuren har en fordeling av hastigheter som i translasjonsbevegelse. Denne bevegelsestilstanden kalles øyeblikkelig progressiv. Merk at i denne tilstanden vil ikke akselerasjonene til alle punkter på kroppen være de samme.
4. Hvis den plane bevegelsen av kroppen utføres ved å rulle uten å skli på en fast overflate (fig. 8.10), så kontaktpunktet R vil være det øyeblikkelige sentrum av hastigheter (se Oppgave 8.1).
Oppgave 8.3. Den flate mekanismen består av 7 stenger, 2, 3, 4 og crawler PÅ(Fig. 8.11), forbundet med hverandre og med faste støtter 0 { og 0 2 hengsler; punktum D er i midten av stangen AB. Stanglengder: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m. og rettet mot klokken. Definere V A, V B, V D, V E, oo 2 , co 3 , til 4 og punkthastighet Til midt på stanga DE (DK = KE).
Løsning. I den aktuelle mekanismen er stengene 7, 4 foreta en rotasjonsbevegelse PÅ- progressive, og stenger 2, 3 -
planparallell bevegelse.
Punkthastighet MEN vi definerer som tilhørende stangen 7, som utfører en rotasjonsbevegelse:
Tenk på bevegelsen til stangen 2. Punkthastighet MEN er definert, og retningen til punktets hastighet PÅ på grunn av at den samtidig tilhører stangen 2 og kjønn-
Zun beveger seg langs guidene. Nå gjenoppretter fra poeng MEN og PÅ vinkelrett på EN og bevegelsesretningen til glideren PÅ, finn posisjonen til punktet C 2 - MCS for stangen 2.
I retning av vektoren U A gitt at i den betraktede posisjonen til mekanismen, stangen 2 roterer rundt punktet C 2, bestemmer vi retningen på vinkelhastigheten fra 2 stenger 2 og finn dens numeriske verdi (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, hvor AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (vi får når vi vurderer A AC ~, B).
Nå bestemmer vi de numeriske verdiene for retningene til hastighetene til punktene PÅ og D stang 2 (fordi ABDC 2 likesidet altså BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
Tenk på bevegelsen til stangen 3. Punkthastighet D kjent. Siden punktet E hører til stangen samtidig 4, roterer rundt en akse 0 4 , deretter Y e 10 4 E. Deretter passerer du gjennom punktene D og E rette linjer vinkelrett på hastigheten V D w V E , finn posisjonen til punktet C 3 - stangens MCS
3. I retning av vektoren V D, ser vi fra et fast punkt С 3 , bestemmer vi retningen til vinkelhastigheten с 3 , og vi finner dens numeriske verdi (ha tidligere bestemt fra AZ) C 3 ? segment Z)C3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
For å bestemme hastigheten til et punkt Til la oss tegne en rett linje COP 3 og med tanke på det AR K Fra 3 likesidet ( COP 3 = 0,35 m), beregn Y k \u003d \u003d 0,462 m/s, U til AKS 3.
Tenk på bevegelsen til stang_4 som roterer rundt aksen 0 4 . Å vite retning og tallverdi V E , vi finner retningen og verdien av vinkelhastigheten fra 4: fra 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Svar: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, retningene til disse mengdene er vist i fig. 8.11.
Merk.I en mekanisme som består av flere kropper, har hvert ikke-translasjonelt bevegelige legeme på et gitt tidspunkt sitt eget øyeblikkelige hastighetssenter og sin egen vinkelhastighet.
Oppgave 8.4. Den flate mekanismen består av stenger 1, 2, 3 og en rulle som ruller uten å skli på et fast plan (fig. 8.12, en). Forbindelser av stenger mellom seg selv og stangen 3 til skøytebanen på punktet D- hengslet. Stanglengder: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. For de gitte vinklene a = 60°, B = 30°, verdiene og retningene til vinkelen O is bane V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Bestem punkthastighet PÅ og vinkelhastighet fra 2 .
Løsning. Mekanismen har to frihetsgrader (posisjonen bestemmes av to vinkler a og p, uavhengig av hverandre) og punktets hastighet PÅ(vanlig punkt for stenger 2 og 3) avhenger av hastighetene til punktene MEN og D.
Med tanke på bevegelsen til stangen /, n vi finner retningen og verdien av punktets hastighet A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Tenk på bevegelsen til rullen. Dens øyeblikkelige hastighetssenter ligger ved punktet R; deretter VD finne fra proporsjoner
Siden A DOP likebente og spisse vinkler i den er lik 30 °, da DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Fra likhet (a) finner vi VD- 0,6 m/s. Vektor VD rettet vinkelrett D.P.
Siden punktet PÅ hører til stengene samtidig AB og BD, da skal det ifølge hastighetsprojeksjonsteoremet være: 1) projeksjonen av vektoren i direkte A B EN(linjestykke Ah i fig. 8.12, en), dvs. EN cos a = 0,4 m/s; 2) vektorprojeksjon i direkte D.B. er lik projeksjonen på denne linjen av vektoren 0(linjestykke Dd i fig. 8.12, en), dvs. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
La oss løse det grafisk. Sett til side fra poenget PÅ kutter i tilsvarende retninger Bb (= Aa og Bb 2 = Dd. Punkthastighet PÅ er lik summen av vektorer V B = Bb + Bbj. Gjenoppretter fra et punkt b ( vinkelrett på Bb x, og fra
poeng b 2 - vinkelrett på Bb 2. Skjæringspunktet for disse perpendikulærene bestemmer slutten av den ønskede vektoren V B .
Siden retningene til segmentene Bb og Bb 2 gjensidig vinkelrett altså
Vi bestemmer fra 2. På fig. 8.12, b den såkalte hastighetsplanen vises, som grafisk viser vektorlikheten
hvor vektorer VA og V B definert (se fig. 8.12, en), og retningen VBA vinkelrett på stangen AB. Fra tegningen (fig. 8.12, b) finne
Nå definerer vi med 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (retning fra 2 - mot klokken).
Svar: VB- 0,5 m/s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Bevegelsen til en flat figur er sammensatt av translasjonsbevegelse, når alle punktene på figuren beveger seg med stangens hastighet MEN, og fra rotasjonsbevegelse rundt denne polen (fig. 3.4). Enhver punkthastighet M figurene er dannet geometrisk fra hastighetene som punktet mottar i hver av disse bevegelsene.
Figur 3.4
Faktisk, plasseringen av punktet M i forhold til aksene Åhy bestemt av radius - vektor
, hvor - radiusvektor for polen MEN,=
- radiusvektor som definerer posisjonen til punktet M relativt
beveger seg med stangen MEN progressivt. Deretter
.
er hastigheten til stangen MEN,lik hastighet
, hvilket punkt M mottar kl
, dvs. om øksene
, eller med andre ord når figuren roterer rundt stangen MEN. Dermed følger det
hvor ω er vinkelhastigheten til figuren.
Figur 3.5
På denne måten, hastigheten til et hvilket som helst punkt M på en plan figur er geometrisk summen av hastigheten til et annet punkt A, tatt som en pol, og hastigheten som punktet M mottar når figuren roterer rundt denne polen. Modul og hastighetsretning finnes ved å konstruere det tilsvarende parallellogrammet (fig. 3.5).
10.3. Teorem om projeksjonene av hastighetene til to punkter på kroppen
En av de enkle måtene å bestemme hastighetene til punktene til en plan figur (eller et legeme som beveger seg på en planparallell måte) er teoremet: projeksjonene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på aksen som går gjennom disse punktene er lik hverandre.
Figur 3.6
Vurder noen to punkter MEN og PÅ flat figur (eller kropp) (fig. 3.6). Tar et poeng MEN per stang får vi det
. Derfor projiserer begge deler av likheten på aksen rettet langs AB, og gitt at vektoren
vinkelrett AB, Vi finner
, |
og teoremet er bevist. Merk at dette resultatet også er klart av rent fysiske hensyn: dersom likestillingen
vil ikke bli utført, da når du flytter avstanden mellom punktene MEN og PÅ må endres, noe som er umulig - kroppen er helt solid. Derfor er denne likheten tilfredsstilt ikke bare for planparallell, men også for enhver bevegelse av et stivt legeme.
10.4. Bestemmelse av hastighetene til punktene til en plan figur ved å bruke det øyeblikkelige senteret av hastigheter
En annen enkel og illustrativ metode for å bestemme hastighetene til punktene til en plan figur (eller et legeme i en plan bevegelse) er basert på konseptet om det øyeblikkelige senter av hastigheter.
Det øyeblikkelige hastighetssenteret (ICV) er punktet til en flat figur, hvis hastighet på et gitt tidspunkt er lik null.
Hvis figuren beveger seg ikke-translasjonelt, så et slikt punkt i hvert øyeblikk t eksisterer og er unik. La i øyeblikket t poeng MEN og PÅ planene til figuren har hastigheter og , ikke-parallelle med hverandre (fig. 3.7.). Så poenget R liggende i skjæringspunktet mellom perpendikulære Ah til vektoren og PÅb til vektoren , og vil være det øyeblikkelige senter av hastigheter, siden
.
Figur 3.7
Faktisk, hvis
, så ved hastighetsprojeksjonsteoremet vektoren må være både vinkelrett og AR(fordi
), og BP(fordi
), noe som er umulig. Fra samme teorem er det klart at intet annet punkt i figuren i dette tidspunktet kan ha en hastighet lik null.
Hvis nå på den tiden t ta et poeng R per stang. Det er hastigheten på punktet MEN vil være
,
fordi =0. Det samme resultatet oppnås for et hvilket som helst annet punkt i figuren. Deretter, hastighetene til punktene til en flat figur bestemmes på et gitt tidspunkt som om figurens bevegelse var en rotasjon rundt det øyeblikkelige hastighetssenteret. Hvori
( |
og så videre for et hvilket som helst punkt i figuren.
Det følger også av dette at
og
, deretter
=, |
de. hva hastighetene til punktene til en plan figur er proporsjonale med deres avstand fra det øyeblikkelige hastighetssenteret.
Resultatene som er oppnådd fører til følgende konklusjoner:
1. For å bestemme det øyeblikkelige senteret av hastigheter, er det nødvendig å kjenne bare retningene til hastighetene, for eksempel,ogto punkter A og B i en plan figur.
2. For å bestemme hastigheten til et hvilket som helst punkt i en plan figur, må du kjenne modulen og retningen til hastigheten til et punkt A på figuren og retningen til hastigheten til det andre punktet B.
3. Vinkelhastighetav en flat figur er i hvert øyeblikk lik forholdet mellom hastigheten til et punkt på figuren og avstanden fra det øyeblikkelige sentrum av hastighetene P:
. |
La oss finne et annet uttrykk for ω
fra likestilling
og
følger det
og
, hvor
. |
La oss vurdere noen spesielle tilfeller av definisjonen av MCC, som vil bidra til å løse teoretisk mekanikk.
1. Hvis planparallell bevegelse utføres ved å rulle uten å gli av ett sylindrisk legeme på overflaten av et annet stasjonært, så R av et rullende legeme som berører en fast overflate (fig. 3.8), på et gitt tidspunkt, på grunn av fravær av slip, har en hastighet lik null (
), og er derfor det øyeblikkelige senter av hastigheter.
Figur 3.8
2. Hvis hastigheten peker MEN og PÅ flat figur er parallelle med hverandre, og linjen AB ikke vinkelrett (Fig. 3.9, a), da ligger det øyeblikkelige senter av hastigheter på uendelig og hastigheten til alle punkter // . I dette tilfellet følger det av hastighetsprojeksjonsteoremet at
, dvs.
, i dette tilfellet har figuren en øyeblikkelig translasjonsbevegelse.
3. Hvis hastigheten peker MEN og PÅ flat figur // til hverandre og samtidig linjen AB vinkelrett , deretter det øyeblikkelige sentrum av hastigheter R bestemmes av konstruksjonen (fig. 3.9, b).
Figur 3.9
Konstruksjonenes gyldighet følger av
. I dette tilfellet, i motsetning til de forrige, for å finne sentrum R i tillegg til veibeskrivelser, må du også kjenne til modulene for hastigheter og .
4. Hvis hastighetsvektoren er kjent et eller annet poeng PÅ figuren og dens vinkelhastighet ω
, deretter posisjonen til det øyeblikkelige senter av hastigheter R liggende vinkelrett på (se fig. ?), kan finnes fra likestillingen
, som gir
.