Summen av de reduserte restene modulo n. Uttakssystemer. Øvelser for selvstendig arbeid
![Summen av de reduserte restene modulo n. Uttakssystemer. Øvelser for selvstendig arbeid](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
eller påfølgende s tall.
Dette systemet kalles et komplett system av tall som ikke er sammenlignbare i modul s eller komplett system av rester modulo s. Det er åpenbart at evt s fortløpende tall danner et slikt system.
Alle tall som tilhører samme klasse har mange felles egenskaper, derfor kan de, i forhold til modulen, betraktes som ett tall. Hvert tall som inngår i sammenligningen som summand eller faktor kan erstattes, uten å krenke sammenligningen, med et tall som kan sammenlignes med det, dvs. med et nummer som tilhører samme klasse.
Det andre elementet som er felles for alle tallene i en gitt klasse er den største felles deleren for hvert element i denne klassen og modulen s.
La en og b sammenlignbare modulo s, deretter
Teorem 1. Hvis i øks+b i stedet for x la oss ordne alt s medlemmer av det komplette tallsystemet
Derfor alle tall øks+b, hvor x=1,2,...s-1 er ikke sammenlignbare modulo s(ellers tall 1,2,... s-1 ville være sammenlignbar modulo s.
Notater
1) I denne artikkelen vil ordet tall bety et heltall.
Litteratur
- 1. K. Irland, M. Rosen. Klassisk introduksjon til moderne tallteori. - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Høyere aritmetikk. - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Forelesninger om tallteori. - Moskva, 1936.
Modulo restring n betegne eller . Dens multiplikasjonsgruppe, som i det generelle tilfellet med grupper av inverterbare elementer av ringer, er betegnet ∗ × × .
Den enkleste saken
For å forstå strukturen til gruppen kan vi vurdere et spesielt tilfelle hvor er et primtall og generalisere det. Tenk på det enkleste tilfellet når , det vil si .
Teorem: - syklisk gruppe.
Eksempel : Tenk på en gruppe
= (1,2,4,5,7,8) Gruppegeneratoren er tallet 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Som du kan se, kan et hvilket som helst element i gruppen representeres som , hvor ≤ℓφ . Det vil si at gruppen er syklisk.Generell sak
For å vurdere det generelle tilfellet, er det nødvendig å definere en primitiv rot. En primitiv rot modulo a primtall er et tall som sammen med sin restklasse gir opphav til en gruppe.
Eksempler: 2 11 ; 8 - primitiv rot modulo 11 ; 3 er ikke en primitiv modulo-rot 11 .Når det gjelder en hel modul, er definisjonen den samme.
Strukturen til gruppen bestemmes av følgende teorem: Hvis p er et oddetall og l er et positivt heltall, så er det primitive røtter modulo , det vil si en syklisk gruppe.
Eksempel
Det reduserte systemet av rester modulo består av restklasser: . Med hensyn til multiplikasjonen definert for restklassene, danner de dessuten en gruppe og er gjensidig invers (det vil si, ⋅ ) og er omvendt til seg selv.
Gruppestruktur
Oppføringen betyr "syklisk gruppe av orden n".
× | φ | λ | Gruppe generator | × | φ | λ | Gruppe generator | × | φ | λ | Gruppe generator | × | φ | λ | Gruppe generator | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
applikasjon
På vanskelighetsgrad, Farm, Hooley, . Waring formulerte Wilsons teorem, og Lagrange beviste det. Euler foreslo eksistensen av primitive røtter modulo et primtall. Gauss beviste det. Artin la frem sin hypotese om eksistensen og kvantifiseringen av primtall modulo der et gitt heltall er en primitiv rot. Brouwer bidro til studiet av problemet med eksistensen av sett med påfølgende heltall, som hver er den kth potensen modulo p. Bielhartz beviste en analog av Artins formodning. Hooley beviste Artins formodning med antagelsen om at den utvidede Riemann-hypotesen er gyldig i algebraiske tallfelt.
Notater
Litteratur
- Irland K., Rosen M. En klassisk introduksjon til moderne tallteori. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Grunnleggende om kryptografi. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretisk kryptografi. - St. Petersburg: NPO "Professional", 2004.
GRUNNLEGGENDE INFORMASJON FRA TEORIEN
6. 1. Definisjon 1.
Klassen av tall modulo m er settet av alle disse og bare de heltallene som, når de divideres med m, har den samme resten r, det vil si sammenlignbare modulo m (t Î N, t> 1).
Betegnelse for en klasse med tall med en rest r: .
Hvert tall fra klassen kalles en rest modulo m, og selve klassen kalles klassen av rester modulo m.
6. 2. Egenskaper til settet med modulo-restklasser t:
1) total modulo t vil være t Restklasser: Z t = { , , , … , };
2) hver klasse inneholder et uendelig sett med heltall (rester) av formen: = ( en= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "enÎ : enº r(mod m);
4) "a, bÎ : enº b(mod m), det vil si alle to rester tatt fra en klasse, sammenlignbare modulo t;
5) "enÎ , " bÎ : en b(mod m), det vil si ingen to rester; tatt fra forskjellige klasser uforlignelig modulo t.
6. 3. Definisjon 3.
Et komplett system av rester modulo m er ethvert sett med m tall tatt ett og bare ett fra hver klasse av rester modulo m.
Eksempel: hvis m= 5, da (10, 6, - 3, 28, 44) er et komplett system av rester modulo 5 (og ikke den eneste!)
Spesielt,
sett (0, 1, 2, 3, … , m–1) er et system den minste ikke-negative fradrag;
sett (1, 2, 3, … , m –1, t) er systemet minst positivt fradrag.
6. 4. Noter det:
hvis ( X 1 , X 2 , … , x t) er det komplette systemet av rester modulo t, deretter
.
6. 5. Teorem 1.
Hvis en {X 1 , X 2 , … , x t} – komplett system av rester modulo m, "a, bÎ Z og(a, t) = 1, – deretter tallsystemet {Åh 1 +b, Åh 2 + b, … , ah t+b} danner også et komplett system av rester modulo m .
6. 6. Teorem 2.
Alle rester av samme klasse av rester modulo m har samme største felles divisor med m: "a, bÎ Þ ( en; t) = (b; t).
6. 7. Definisjon 4.
Restklasse modulo m kalles coprime med modulo m,hvis minst en rest av denne klassen er coprime med i.e.
Legg merke til at i dette tilfellet, ved teorem 2 alle tallene for denne klassen vil være coprime med modulen t.
6. 8. Definisjon 5.
Et redusert system av rester modulo m er et system av rester tatt én og bare én fra hver klasse coprime til m.
6. 9. Noter det:
1) redusert system av rester modulo t inneholder j( t) tall ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Eksempel : La modulo t= 10 det er 10 klasser av rester:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) er settet med restklasser modulo 10. Komplett system med fradrag mod 10 vil for eksempel være dette: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Mange klasser av rester, coprime med modul m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Det reduserte fradragssystemet modulo 10 vil for eksempel være
(1, 3, 7, 9), eller (11, 43, – 5, 17), eller ( – 9, 13, – 5, 77) osv. (overalt j(10) = 4 tall).
6.10. Praktisk talt: å danne et av de mulige reduserte restsystemer mod m, det er nødvendig å velge fra det komplette systemet av rester mod m de restene som er coprime med m. Slike tall vil være j( t).
6.11. Teorem 3.
Hvis en{X 1 , X 2 ,…, } – redusert system av rester modulo m og
(en, m) = 1, – deretter tallsystemet {Åh 1 , Åh 2 , … , øks j (t)} også former
redusert system av rester modulo m .
6.12. Definisjon 6.
sum( Å ) fradragsklasser og +b lik summen av eventuelle to fradrag tatt en fra hver gitt klasse og : Å = , hvor"enÎ , "bÎ .
6.13. Definisjon 7.
arbeid( Ä ) fradragsklasser og modulo m kalles restklassen , det vil si klassen av rester som består av tallene a ´ b lik produktet av to rester tatt en etter en fra hver gitt klasse og : Ä = , hvor"enÎ , "bÎ .
Således, i settet med restklasser modulo t: Z t= ( , , ,..., ) to algebraiske operasjoner er definert – "addisjon" og "multiplikasjon".
6.14. Teorem 4.
Settet med restklasser Z t modulo t er en assosiativ-kommutativ ring med en enhet:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – ringe.
TYPISKE OPPGAVER
1. Modulo t= 9:
1) et komplett system av minst positive rester;
2) et komplett system av minst ikke-negative rester;
3) et vilkårlig fullstendig system av fradrag;
4) et komplett system med de minste absolutte fradragene.
Svar:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Kompiler det reduserte systemet av rester modulo t= 12.
Løsning.
1) Komponer et komplett system av minst positive rester modulo t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (totalt t= 12 tall).
2) Vi sletter fra dette systemet tallene som ikke er coprime med tallet 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) De resterende tallene, coprime med tallet 12, danner det ønskede reduserte systemet av rester modulo t= 12 (totalt j( t) = j(12) = 4 tall).
Svar:(1, 5, 7, 11) - redusert system av rester modulo t= 12.
130. Lag 1) et komplett system av de minst positive rester; 2) et komplett system av minst ikke-negative rester; 3) et vilkårlig system av fradrag; 4) et komplett system med de minste absolutte fradragene; 5) det reduserte systemet av rester: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Er settet (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) et komplett system av rester modulo 8?
132 Med hvilken modul er settet (20, - 4, 22, 18, - 1) et komplett system av rester?
133. Gjør det reduserte systemet av rester modulo m hvis en) m= 9; b) m= 24; i) m= 7. Hvor mange tall bør et slikt system inneholde?
134. Formuler hovedegenskapene til det komplette systemet av rester og det reduserte systemet av rester modulo m .
135. Hvilke elementer skiller de reduserte og komplette systemene med minst ikke-negative rester modulo prime?
136. Under hvilke betingelser er tallene en og - a tilhører samme klasse av modulo-rester m?
137. Hvilke klasser av rester modulo 8 tilhører alle primtall? R³ 3 ?
138. Danner settet med tall (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) et komplett system av rester modulo 11?
139. Hvor mange klasser av rester modulo 21 tilhører alle rester fra en klasse av rester modulo 7?
140. Sett med heltall Z fordele etter restklasser modulo 5. Lag addisjons- og multiplikasjonstabeller i det resulterende settet med restklasser Z 5 . Er settet Z 5: a) en gruppe med en klassetilleggsoperasjon? b) en gruppe med operasjon av klassemultiplikasjon?
§ 7. Eulers teorem. FERMATS LILLE TEOREM
GRUNNLEGGENDE INFORMASJON FRA TEORIEN
7. 1. Teorem 1.
Hvis enÎ Z,tÎ N, t>1 og(en;t) = 1, – da i en uendelig rekkefølge av potenser a 1 , en 2 , en 3 , ... , en s, …, en t, … det er minst to potenser med eksponenter s og t(s<t) slik at . (*)
7. 2. Kommentar. Betegner t– s = k> 0, fra (*) får vi: . Heve begge sider av denne sammenligningen til en makt nÎ N, vi får:
(**). Dette betyr at det er et uendelig antall potenser en, som tilfredsstiller sammenligningen (**). Men hvordan finne disse indikatorene? Hva minst indikator som tilfredsstiller sammenligningen (**) ? Svarer på det første spørsmålet Eulers teorem(1707 – 1783).
7. 3. Eulers teorem.
Hvis enÎ Z,tÎ N, t>1 og(en;t) = 1, - deretter . (13)
Eksempel.
La en = 2,t = 21, (en; t) = (2; 21) = 1. Deretter . Siden j (21) = 12, så 2 12 º 1 (mod 21). Faktisk: 2 12 = 4096 og (4096 - 1) 21. Da er det åpenbart at 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) og så videre. Men er eksponenten for 12 - minst tilfredsstillende sammenligning 2 nº 1 (mod 21) ? Det viser seg ikke. Den laveste indikatoren vil være P= 6: 2 6 º 1(mod 21), siden 2 6 – 1 = 63 og 63 21. Merk at minst indeks som skal ses etter bare blant delere av et tall j( t) (i dette eksemplet, blant divisorene til tallet j(21) = 12).
7. 4. Fermats lille teorem (1601 - 1665).
For et hvilket som helst primtall p og et hvilket som helst tall aÎ Z, ikke delelig med s, det er en sammenligning . (14)
Eksempel.
La en = 3,R= 5, hvor 3 ikke er 5. Da eller
.
7. 5. Generalisering av Fermats teorem.
For ethvert primtall p og vilkårlig tall aÎ Z sammenlignes (15)
TYPISKE OPPGAVER
1. Bevis at 38 73 º 3(mod 35).
Løsning.
1) Siden (38; 35) = 1, da ved Euler-teoremet ; j(35) = 24, altså
(1).
2) Fra sammenligning (1), av resultat 2, egenskaper 5 0 av numeriske sammenligninger, har vi:
3) Fra sammenligning (2), av resultat 1 av egenskap 5 0 sammenligninger: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod. 35) , som skulle bevises.
2. Gitt: en = 4, t= 15. Finn den minste eksponenten k, som tilfredsstiller sammenligningen (*)
Løsning.
1) Siden ( en; m) = (4; 25) = 1, deretter ved Euler-teoremet , j(25) = 20, så
.
2) Er den funnet eksponenten - tallet 20 - minst et naturlig tall som tilfredsstiller sammenligning (*)? Hvis det er en eksponent mindre enn 20, må den være en divisor på 20. Derfor den nødvendige minimumseksponenten k du må søke blant mange tall n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – delere på 20.
3) Når P = 1: ;
på P = 2: ;
på P= 3: (ingen grunn til å vurdere);
på P = 4: ;
på P = 5: ;
på P= 6, 7, 8, 9: (ingen grunn til å vurdere);
på P = 10: .
Så, minst eksponent k, tilfredsstillende sammenligning(*), er k= 10.
Svar: .
ØVELSER FOR UAVHENGIG ARBEID
141. Ved Eulers teorem . På en = 3, t= 6 vi har:
.
Siden j(6) = 2, så 3 2 º1(mod 6), eller 9º1(mod 6), Deretter, ved lemma, (9 – 1) 6 eller 8 6 (helt!?). Hvor er feilen?
142. Bevis at: a) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40º 1(mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Bevis at a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 er delelig med 12 uten en rest.
144. Bevis et teorem omvendt til Eulers teorem: hvis en j ( m) º 1(mod m), deretter ( a, m) =1.
145. Finn den minste eksponenten kÎ N, tilfredsstiller denne sammenligningen: a) ; b)
; i)
; G)
;
e) ; e)
; og)
; h)
.
og) ; til)
; l)
; m)
.
146. Finn resten av divisjonen:
a) 7100 for 11; b) 9 900 for 5; c) 5.176 x 7; d) 2 1999 med 5; e) 8 377 for 5;
f) 26 57 x 35; g) 35 359 for 22; h) 5 718 per 103; i) 27.260 til 40; j) 25 1998 på 62.
147*. Bevis det en 561 º en(mod 11).
148*. Hvis den kanoniske dekomponeringen av et naturlig tall P ikke inneholder faktor 2 og 5, så ender 12. potens av dette tallet på 1. Bevis.
149*. Bevis at 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Bevis: hvis ( en, 65) =1 , (b, 65) =1, da en 12 –b 12 er jevnt delelig med 65.
Kapittel 3. ARITMETISK BRUK
TEORIER OM NUMERISKE SAMMENLIGNINGER
§ 8. SYSTEMATISKE TAL
GRUNNLEGGENDE INFORMASJON FRA TEORIEN
1. SYSTEMATISKE HELTALL
8. 1. Definisjon 1.
Et tallsystem er en hvilken som helst måte å skrive tall på. Tegnene som disse tallene er skrevet med kalles tall.
8. 2. Definisjon 2.
Et heltall ikke-negativt systematisk tall skrevet i det t-ære posisjonelle tallsystemet er et tall n av formen
,hvor en i(Jeg = 0,1, 2,…, k) – heltall ikke-negative tall - sifre, og 0 £ en i £ t– 1, t er grunnlaget for tallsystemet, tÎ N, t > 1.
For eksempel er notasjonen til et tall i det 7-årige systemet: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Her en i- disse er 5, 6, 0, 3 - tall; de tilfredsstiller alle betingelsen: 0 £ en i£ 6. Når t=10 si: tall n tatt opp i desimaltallsystem, og indeksen t= 10 ikke skriv.
8. 3. Teorem 1.
Ethvert ikke-negativt heltall kan representeres, og på en unik måte, som et systematisk tall i hvilken som helst base t, hvor tÎ N, t > 1.
Eksempel:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Noter det:
1) tilordning til det systematiske antallet nuller til venstre endres ikke dette nummeret:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) henføring til et systematisk tall s nuller til høyre er ekvivalent multiplikasjon dette nummeret for t s: (3 4) 5 = 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Algoritme for å konvertere et tall skrevet innt -ært system, til desimal:
Eksempel: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritme for å konvertere et tall skrevet med desimal system, it -personlig:
Eksempel: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Finne X.
8. 7. Handlinger på systematiske tall
2. SYSTEMATISKE BRUK
8. 8. Definisjon 3.
En endelig t-ær systematisk brøk i et tallsystem med grunntall t er et tall av formen
hvor c 0 Î Z, med i - tall– heltall ikke-negative tall, og 0 £ med i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Notasjon: a = ( c 0 , Med 1 Med 2 …med k)t. På t= 10 brøken kalles desimal.
8. 9. Konsekvens 1.
Hver endelig systematisk brøk er et rasjonelt tall som kan representeres som , hvor enÎ Z,bÎ N.
Eksempel.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + er et rasjonelt tall. Det motsatte utsagnet er ikke sant generelt. For eksempel kan en brøk ikke konverteres til en endelig systematisk (desimal) brøk.
8.10. Definisjon 4.
En uendelig t-ær positiv systematisk brøk i et tallsystem med grunntall t er et tall på formen
, hvor fra 0Î N, med i(Jeg =1, 2, …, til, …) - tall– heltall ikke-negative tall, og 0 £ med i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Notasjon: a = ( Med 0 , Med 1 Med 2 … med k…) t. På t=10 brøken kalles desimal.
8.11. Definisjon 5.
Det er tre typer uendelige systematiske brøker:
jeg en = ( Med 0 , )t= =
t, hvor =
= = … I dette tilfellet nummeret en kalles en uendelig rent periodisk brøk,(Med 1 Med 2 … med k) – periode, k - antall sifre i perioden - lengden på perioden.
II a = .
I dette tilfellet er tallet a kalles en uendelig blandet periodisk brøk, – førperiode, () – periode, k - antall sifre i perioden - lengden på perioden, l - antall sifre mellom heltallsdelen og den første perioden - lengden på pre-perioden.
III a = ( Med 0 , Med 1 Med 2 … med k …)t . I dette tilfellet nummeret en kalles en uendelig ikke-periodisk brøk.
TYPISKE OPPGAVER
1. Nummer ( en) 5 = (2 1 4 3) 5 , gitt i det 5-årige systemet, oversett til det 7-årige systemet, det vil si finn X, hvis (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Løsning.
1) Konverter det gitte tallet (2 1 4 3) 5 til tallet ( på) 10 skrevet med desimalsystem:
2. Følg trinnene:
1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Løsning.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Merk: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 skrives, 1 går til neste siffer, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 skrives, 1 går til neste siffer, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 er skrevet, 1 går til neste siffer. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Merk: | "oppta" en enhet av høyeste rang, dvs. "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Merk: | Når du multipliserer med 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, skriver vi 1, 1 går til neste siffer, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, vi skriver 0, 1 går til neste siffer, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 skrives, 1 går til neste siffer, Når multiplisert med 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, skrives 4, 1 går til neste siffer, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, 2 skrives, 1 går til neste siffer, 3×4 +1=13=2×5 +3, 3 skrives, 2 går til neste siffer. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Svar: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
ØVELSER FOR UAVHENGIG ARBEID
151. Tall gitt inn t-ært system, konverter til desimalsystem:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Tall. gitt i desimalsystemet, konverter til t-ic system. Gjør en sjekk.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5; c) (3 7) 10 = ( X) 2; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12; g) (5 0 0) 10 = ( X) åtte ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) tjue ; j) (9 2 5) 10 = ( X) åtte ; k) (6 3 3) 10 = ( X) femten ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Tall gitt inn t-ært system, oversette til q-ic system (ved å gå gjennom desimalsystemet).
a) (3 7) 8 = ( X) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Hvordan vil tallet (1 2 3) 5 endres hvis null legges til til høyre?
b) Hvordan vil tallet (5 7 6) 8 endres hvis to nuller legges til det til høyre?
155. Følg disse trinnene:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Deretter:
I Hvis nevneren b = b"(inneholder kun "2" og/eller "5") - da konverteres brøken til endelig desimalbrøk. Antall desimaler er lik det minste naturlige tallet l lº 0( mod b").
II Hvis nevneren b = b 1(inneholder ikke "2" og "5"), så konverteres brøken til uendelig rent periodisk er lik det minste naturlige tallet k, tilfredsstillende sammenligning 10 kº 1( mod b 1).
III Hvis nevneren b = b"× b 1 (inneholder "2" og / eller "5", samt andre primfaktorer), så konverteres brøken til uendelig blandet periodisk ti-
tikkende brøkdel.
Lengden på perioden er lik det minste naturlige tallet k, tilfredsstillende sammenligning 10 kº 1( mod b 1).
Lengden på forperioden er lik det minste naturlige tallet l, tilfredsstillende sammenligning 10 lº 0( mod b").
9. 2. Konklusjoner.
9. 3. Noter det:
et rasjonelt tall er en hvilken som helst endelig desimalbrøk eller uendelig periodisk desimalbrøk;
Et irrasjonelt tall er enhver uendelig ikke-periodisk desimalbrøk.
TYPISKE OPPGAVER
1. Disse vanlige brøkene, skrevet i desimalsystemet, konverteres til
desimal, tidligereå ha bestemt typen av ønsket fraksjon (endelig eller uendelig; periodisk eller ikke-periodisk; hvis - periodisk, så rent periodisk eller blandet periodisk); i sistnevnte tilfeller forhåndsfinne Antall k– periodelengde og antall l er lengden på pre-perioden. en) ; 2); 3).
Løsning.
1) Brøk = nevner - tall b= 80 = 2 4 × 5 inneholder bare "2" og "5". Derfor konverteres denne brøken til endelig desimalbrøk. Antall desimaler jeg navn bestemt ut fra betingelsen: 10 lº0(mod80):
2) Brøk = nevner - tall b= 27 = 3 3 inneholder ikke "2" og "5". Derfor blir denne brøken konvertert til en uendelig rent periodisk desimalbrøk. Periodelengde k navn bestemt ut fra betingelsen: 10 kº1(mod27):
3) Brøk = nevner - tall b= 24 = 2 3 × 3, det vil si at det ser slik ut: b = b"× b 1 (bortsett fra "2" eller "5" inneholder andre faktorer, i dette tilfellet tallet 3). Derfor blir denne brøken konvertert til en uendelig blandet periodisk desimalbrøk. Periodelengde k navn bestemt ut fra betingelsen: 10 kº1(mod3), hvorfra k navn= 1, det vil si lengden på perioden k= 1. Lengde før perioden jeg navn bestemt ut fra betingelsen: 10 lº0(mod8), hvorfra jeg navn= 3, det vil si lengden på forperioden l = 3.
Sjekk: del "hjørnet" 5 med 24 og få: = 0, 208 (3).
Svar: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
ØVELSER FOR UAVHENGIG ARBEID
156. Disse vanlige brøkene, skrevet i desimalsystemet, konverteres til desimalbrøker. Hvis desimaltallet er periodisk, da tidligere finne nummeret k- periodelengde og antall l- lengden på pre-perioden.
157. Disse vanlige brøkene, skrevet i desimalsystemet, konverteres til t-ary systematiske brøker. Finn tallene k- periodelengde og l- lengden på pre-perioden.
158*. I hvilket tallsystem er tallet (4 6) 10 skrevet i de samme tallene, men i
omvendt rekkefølge?
159*. Hva er størst: enheten til det åttende sifferet i det binære systemet eller enheten til det fjerde sifferet i det oktale systemet?
§ 10. PASCALS TEOREM. TEGN PÅ DELELIGHET
GRUNNLEGGENDE INFORMASJON FRA TEORIEN
10. 1. Pascals teorem (1623 – 1662).
Naturlige tall er gitt: t > 1og n, skrevet i t-ært system:
,hvor a i er tall: a iÎ N, 0 £ en i £ t–1 (Jeg = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
La n= (a k a k - 1 … en 1 en 0) 10 = en k×10 k +en k - 1×10 k- 1 +…+en 1×10+ en 0 , m=3 og m = 9.
1) Finn b i: modulom = 3 modulom = 9
10 0 º1(mod3), dvs. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), dvs. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), dvs. b 1 = 1, 10 1 º1 (mod9), dvs. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), dvs. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), dvs. b
Komplett faktureringssystem. Det gitte fradragssystemet. De vanligste fradragssystemene er: minst positive, minst ikke-negative, absolutt minst osv.
Teorem 1. Egenskaper til det komplette og reduserte systemet av rester.
1° Kriterier for et komplett system av fradrag. Enhver kombinasjon av m heltall som er parvis uforlignelige modulo m, danner et komplett system av rester modulo m.
2°. Hvis tall x 1 , x 2 , ..., x m– komplett system av rester modulo m, (en, m) = 1, b er et vilkårlig heltall, deretter tallene øks 1 +b, øks 2 +b, ..., øks m+b utgjør også et komplett system av rester modulo m.
3°. Kriterium for redusert reduksjonssystem. Enhver samling som består av j( m) heltall som er parvis uforlignelige modulo m og coprime med modulen, danner et redusert system av rester modulo m.
4°. Hvis tall x 1 , x 2 , ..., x j ( m) er det reduserte systemet av rester modulo m, (en, m) = 1, deretter tallene øks 1 , øks 2 , ..., en x j ( m) utgjør også det reduserte systemet av rester modulo m.
Teorem 2. Eulers teorem.
Hvis tall en og m coprime, altså en j ( m) º 1(mod m).
Konsekvens.
1°. Fermats teorem. Hvis en s er et primtall og en ikke delelig med s, deretter en s–1º 1(mod s).
2°. Generaliserte Fermats teorem. Hvis en s er altså et primtall en s º en(mod s) for noen enÎ Z .
§ fire. Løse sammenligninger med en variabel
Sammenligningsavgjørelse. Ekvivalens. Graden av sammenligning.
Teorem. Egenskaper til løsninger av kongruenser.
1° Løsninger av kongruenser er hele klasser av rester.
2°. (" k)(en k º b k(mod m))Ù k= z av sammenligningen º 0 (mod m) og º 0 (mod m) er likeverdige.
3°. Hvis begge deler av sammenligningen multipliseres med et tall coprime med modulen, oppnås en sammenligning som er ekvivalent med den opprinnelige.
4°. Enhver sammenligning modulo a prime s tilsvarer en sammenligning, hvis grad ikke overstiger s–1.
5°. Sammenligning º 0 (mod s), hvor s er et primtall, har på det meste n ulike løsninger.
6°. Wilsons teorem. ( n-en)! º –1 (mod n) Û n Primtall.
§ 5. Løse sammenligninger av første grad
øks º b(mod m).
Teorem. 1°. Hvis en ( en, m) = 1, så har sammenligningen en løsning, og den er unik.
2°. Hvis en ( en, m) = d og b ikke delelig med d, så har sammenligningen ingen løsninger.
3°. Hvis en ( en, m) = d og b delt på d, så har sammenligningen d forskjellige løsninger som utgjør én klasse av modulo-rester.
Måter å løse sammenligninger på øks º b(mod m) når ( en, m) = 1:
1) utvalg (oppregning av elementer i et komplett system med fradrag);
2) bruk av Eulers teorem;
3) bruk av Euklid-algoritmen;
4) variasjon av koeffisientene (ved bruk av egenskap 2° for hele systemet av rester fra setning 2.2);
§6. Ubestemte ligninger av første grad
øks+av = c.
Teorem. Ligningen øks+av = c løses hvis og bare hvis c (en, b).
Når ( en, b) = 1 alle løsninger av ligningen er gitt av formlene
tÎ Z , hvor x 0 er en sammenligningsløsning
øks º c(mod b), y 0 = .
Diofantiske ligninger.
KAPITTEL 10. Komplekse tall
Definisjon av et system av komplekse tall. Eksistensen av et system av komplekse tall
Definisjon av et system av komplekse tall.
Teorem. Systemet med komplekse tall eksisterer.
Modell: R 2 med operasjoner
(en, b)+(c, d) = (en+c, b+d), (en, b)×( c, d) = (ac–bd, f.Kr+annonse),
Jeg= (0, 1) og identifikasjon en = (en, 0).
Algebraisk form av et komplekst tall
Representasjon av et komplekst tall i skjemaet z = en+bi, hvor en, bÎ R , Jeg 2 = -1. Det unike med en slik representasjon. Re z, Jeg er z.
Regler for å utføre aritmetiske operasjoner på komplekse tall i algebraisk form.
Aritmetikk n-dimensjonalt vektorrom C n. Systemer av lineære ligninger, matriser og determinanter over C .
Trekke ut kvadratrøtter fra komplekse tall i algebraisk form.
del av det komplette systemet av rester (Se. Komplett system av rester), bestående av tall coprime med modulus m. P. s. i. inneholder φ( m) tall [φ( m) er antall tall coprime med m og mindre m]. Enhver φ( m) tall som ikke er sammenlignbare i modulo m og coprime med det, form P. s. i. for denne modulen.
- - se Redusert masse...
Fysisk leksikon
- - betinget karakteristikk av fordelingen av masser i en bevegelig mekanisk. eller blandet system, avhengig av fysisk. parametere for systemet og fra loven om dets bevegelse ...
Fysisk leksikon
- - modulo m - ethvert sett med heltall som er uforlignelige modulo en. Vanligvis som P. med. i. modulo de minste ikke-negative restene 0, 1, . . ...
Matematisk leksikon
- - summen av bruksarealet til en bygård, samt arealene med loggiaer, verandaer, balkonger med tilsvarende reduksjonsfaktorer - det totale arealet er gitt - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Byggeordbok
- - Se porøsitetskoeffisienten til bergarter ...
- - forholdet mellom porevolumet til bergarten og volumet av bergartskjelettet, vanligvis uttrykt i brøkdeler av en enhet ...
Ordbok for hydrogeologi og ingeniørgeologi
- - se porøsitetskoeffisient...
Forklarende ordbok for jordvitenskap
- - det samme som basisdelen...
- - en betinget karakter av fordelingen av masser i et system av bevegelige kropper, introdusert i mekanikk for å forenkle bevegelsesligningene til systemet ...
Stor encyklopedisk polyteknisk ordbok
- - Kildeskatt på utbytte eller annen inntekt mottatt av en ikke-bosatt i landet...
Økonomisk vokabular
- - Kildeskatt på utbytte eller annen inntekt mottatt av en ikke-bosatt i landet...
Ordliste over forretningsvilkår
- - modulo m, enhver samling av heltall som inneholder ett tall fra hver klasse med tall modulo m. Som P. med. i. det mest brukte systemet med minst positive rester 0, 1, 2,.....
- - en betinget karakteristikk av fordelingen av masser i et bevegelig mekanisk eller blandet system, avhengig av de fysiske parametrene til systemet og loven om dets bevegelse ...
Stor sovjetisk leksikon
- - REDUSERT masse - en betinget karakteristikk av fordelingen av masser i et bevegelig mekanisk eller blandet system, avhengig av de fysiske parametrene til systemet og loven om dets bevegelse ...
Stor encyklopedisk ordbok
- - generelt, alle, kumulativ, ...
Synonymordbok
- - adj., antall synonymer: 1 ren ...
Synonymordbok
"Redusert system for fradrag" i bøker
Hva er nåverdien av kjernekompetansen?
Fra boken Weightless Wealth. Bestem verdien av bedriften din i immaterielle eiendeler økonomien forfatter Thyssen ReneHva er nåverdien av kjernekompetansen? Basert på det ovenstående kan vi si at nåverdien av en kjernekompetanse beregnes ved å multiplisere alle indikatorene for en viss tid, og tar hensyn til kostnadene ved å tiltrekke seg
Netto nåverdi (NPV)
Fra MBA-boken om 10 dager. Det viktigste programmet til verdens ledende handelshøyskoler forfatter Silbiger StephenNetto nåverdi (NPV) Nåverdianalyse (NPV) hjelper til med å beregne hvor mye en ansatt må investere for å få en anstendig pensjon om 30 år, men denne analysen er ikke nyttig for å vurdere aktuelle investeringer og prosjekter. Investeringer skal verdsettes
REGNSKAP FOR DETALJER OG TREKK I LØNN
Fra boken Regnskap forfatter Melnikov IlyaGJENNOMFØRING AV DETALJER OG LØNNTREKK I samsvar med lovgivningen gjøres følgende trekk i lønnen til ansatte: - inntektsskatt (statsskatt, beskatningsobjekt - lønn);
10.6. Regnskap for trekk og trekk i lønn
Fra boken Regnskap i landbruket forfatter Bychkova Svetlana Mikhailovna10.6. Regnskap for trekk og trekk i lønn Visse trekk gjøres fra lønnen til ansatte i bedriften, som er delt inn som følger: obligatoriske trekk (skatt på personlig inntekt, fradrag på tvangsfullbyrdelser);
Fra boken Immaterielle eiendeler: Regnskap og skatteregnskap forfatteren Zakharyin V R<...>
4.1. Generelle spørsmål om innvilgelse av sosiale skattefradrag
forfatter Makurova Tatiana4.1. Generelle spørsmål om å gi sosiale skattefradrag Sosiale skattefradrag (artikkel 219 i skatteloven), så vel som et eiendomsfradrag for kjøp av bolig, betyr en reduksjon i skattegrunnlaget med mengden sosiale utgifter som påløper, tatt i betraktning lovgivning
4.3. Funksjoner ved tilbudet av utdanningsfradrag
Fra boken Self-Tutorial on Personal Income Taxes forfatter Makurova Tatiana4.3. Egenskaper ved å gi utdanningsfradrag 142) Hvilke utgifter kan godtas som fradrag for utdanning? Hva er grensene for utdanningsfradrag Følgende godtas for sosialskattefradrag for utdanning: utgifter i det beløp skattyter betaler i
3.4. Kvantifisering og hyppighet av forekomst og anvendelse av skattefradrag
Fra boken Skattebyrden til et foretak: analyse, beregning, ledelse forfatter Chipurenko Elena Viktorovna3.4. Kvantifisering og hyppighet av forekomst og anvendelse av skattefradrag 3.4.1. Merverdiavgift som potensielt skattefradrag Ved beregning av merverdiavgift fastsettes beløpene for skattefradrag kun i samsvar med dataene til skatteregnskapsregistre - innkjøpsbøker. På
Komplett system med fradrag
Fra boken Great Soviet Encyclopedia (PO) av forfatteren TSBRedusert masse
TSBDet reduserte fradragssystemet
Fra boken Great Soviet Encyclopedia (PR) av forfatteren TSB88. Strukturelle og reduserte former for et system av samtidige ligninger. Modellidentifikasjon
Fra boken Answers to Exam Tickets in Econometrics forfatter Yakovleva Angelina Vitalievna88. Strukturelle og reduserte former for et system av samtidige ligninger. Modellidentifikasjon Strukturelle ligninger er ligningene som utgjør det opprinnelige systemet med simultane ligninger. I dette tilfellet har systemet en strukturell form.Strukturell form
Fra boken Nytt i skatteloven: en kommentar til endringene som trådte i kraft i 2008 forfatter Zrelov Alexander PavlovichArtikkel 172. Prosedyre for anvendelse av skattefradrag
forfatter forfatter ukjentArtikkel 172
Fra boken Tax Code of the Russian Federation. Del en og to. Tekst med endringer og tillegg per 1. oktober 2009 forfatter forfatter ukjentArtikkel 201. Prosedyren for å anvende skattefradrag