Aksiomatiske metoder i matematikk. Aksiomatisk konstruksjon av et system av naturlige tall Definisjon av et naturlig tall
![Aksiomatiske metoder i matematikk. Aksiomatisk konstruksjon av et system av naturlige tall Definisjon av et naturlig tall](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Avtale om bruk av tomtemateriell
Vennligst bruk verkene publisert på nettstedet kun til personlige formål. Publisering av materiale på andre nettsteder er forbudt.
Dette verket (og alle andre) er tilgjengelig for nedlasting gratis. Mentalt kan du takke forfatteren og de ansatte på nettstedet.
Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor
Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være deg veldig takknemlig.
Lignende dokumenter
Addisjon og multiplikasjon av p-adiske heltall, definert som termvis addisjon og multiplikasjon av sekvenser. Ringen av heltalls p-adiske tall, studiet av egenskapene til deres divisjon. Forklaring av disse tallene ved å introdusere nye matematiske objekter.
semesteroppgave, lagt til 22.06.2015
Hvordan folk lærte å telle, fremveksten av tall, tall og tallsystemer. Multiplikasjonstabell på "fingre": multiplikasjonsteknikk for tall 9 og 8. Eksempler på rask telling. Måter å multiplisere et tosifret tall med 11, 111, 1111 osv. og et tresifret tall med 999.
semesteroppgave, lagt til 22.10.2011
En ny måte å multiplisere tall på. Likheten til matrisen av tall som dannes under beregningen med trekanten er relativ, men fortsatt der, spesielt når man multipliserer tresifrede tall og høyere. trekantet matrise.
artikkel, lagt til 02.06.2005
sammendrag, lagt til 13.01.2011
Karakterisering av historien til studiet av betydningen av primtall i matematikk ved å beskrive hvordan de finnes. Bidraget til Pietro Cataldi til utviklingen av teorien om primtall. Eratosthenes' metode for å sette sammen tabeller over primtall. Vennlighet av naturlige tall.
test, lagt til 24.12.2010
Settet med ikke-negative reelle tall som en tolket delmengde av R. Delbarhet i multiplikative semigrupper. Struktur av numerisk GCD og LCM for semigrupper. Studie av multiplikative semigrupper av ikke-negative reelle tall med 0 og 1.
avhandling, lagt til 27.05.2008
Egenskaper til reelle tall, deres rolle i utviklingen av matematikk. Analyse av konstruksjonen av settet av reelle tall i det historiske aspektet. Tilnærminger til konstruksjonen av teorien om reelle tall ifølge Kantor, Weierstrass, Dedekind. Studiet deres i skoleløpet.
presentasjon, lagt til 10.09.2011
Primære elementer i matematikk. Egenskaper til naturlige tall. Begrepet tallteori. Generelle egenskaper ved sammenligninger og algebraiske ligninger. Aritmetiske operasjoner med sammenligninger. Grunnleggende aritmetiske lover. Kontrollere resultatene av aritmetiske operasjoner.
semesteroppgave, lagt til 15.05.2015
Polysemi
Polysemi, eller ords tvetydighet, oppstår fra det faktum at språket er et system som er begrenset i forhold til virkelighetens uendelige variasjon, slik at, med ordene til akademiker Vinogradov, "Språket er tvunget til å distribuere et utallig sett av betydninger under en eller annen overskrift av grunnleggende begreper." (Vinogradov "russisk språk" 1947). Det er nødvendig å skille mellom den ulik bruken av ord i én leksiko-semantisk variant og den faktiske forskjellen på ordet. Så, for eksempel, ordet (das)Ol kan betegne en rekke forskjellige oljer, bortsett fra ku's (som det er et ord Smør for). Det følger imidlertid ikke av dette at ordet Ol, som betegner forskjellige oljer, hver gang vil ha en annen betydning: i alle tilfeller vil betydningen være den samme, nemlig olje (alt unntatt ku). Samt for eksempel betydningen av ordet Tisch table, uavhengig av hva slags tabell ordet betegner i dette spesielle tilfellet. Situasjonen er annerledes når ordet Ol betyr olje. Her er det ikke lenger likheten mellom olje langs smørelinjen med ulike typer olje som kommer i forgrunnen, men oljens spesielle kvalitet - brennbarhet. Og samtidig vil ord som angir ulike typer drivstoff allerede korrelere med ordet Ol: Kohl, Holz, etc. Dette gir oss muligheten til å skille to betydninger fra ordet Ol (eller, med andre ord, to leksikalsk-semantiske varianter): 1) olje (ikke et dyr) 2) olje.
Vanligvis oppstår nye betydninger ved å overføre et av de eksisterende ordene til et nytt objekt eller fenomen. Slik dannes overføringsverdier. De er basert enten på likheten mellom objekter, eller koblingen av ett objekt med et annet. Det er kjent flere typer navneoverføringer. Den viktigste av dem er metafor eller metonymi.
I metafor er overføring basert på likheten mellom ting i farge, form, bevegelse og så videre. Med alle metaforiske endringer, gjenstår noen tegn på det opprinnelige konseptet
homonymi
Polysemien til et ord er et så stort og mangefasettert problem at leksikologiens mest forskjellige problemer på en eller annen måte er forbundet med det. Spesielt kommer problemet med homonymi også i kontakt med dette problemet i noen av dets aspekter.
Homonymer er ord som høres likt ut, men som har forskjellige betydninger. Homonymer oppstår i noen tilfeller fra polysemien deres, som har gjennomgått en ødeleggelsesprosess. Men homonymer kan også oppstå som følge av tilfeldige lydtilfeldigheter. Nøkkelen som åpner døren, og nøkkelen - en fjær eller en ljå - en frisyre og en ljå - et landbruksverktøy - disse ordene har forskjellige betydninger og forskjellig opprinnelse, men faller tilfeldigvis sammen i lyden.
Homonymer skiller mellom leksikalske (referer til en orddel, for eksempel nøkkelen - for å åpne låsen og nøkkelen - en fjær. kilde) morfologisk (referer til forskjellige orddeler, for eksempel tre - tall, tre - verb i imperativ stemning), leksiko-grammatiske, som skapes som et resultat av konvertering, når det gitte ordet går over i en annen del av talen. for eksempel på eng. se-se og se-se. Det er spesielt mange leksikale og grammatiske homonymer i det engelske språket.
Homofoner og homografer må skilles fra homonymer. Ulike ord kalles homofoner, som, med forskjellig stavemåte, sammenfaller i uttale, for eksempel: bue - eng, Seite - side og Saite - streng.
Homografer er så forskjellige ord som faller sammen i stavemåten, selv om de uttales forskjellig (både når det gjelder lydsammensetning og belastningens plass i ordet), for eksempel Slott - slott.
Synonym
Synonymer er like i betydning, men forskjellig-klingende ord som uttrykker nyanser av samme konsept.
Det er tre typer synonymer:
1. Konseptuell, eller ideologisk. De skiller seg fra hverandre i leksikalsk betydning. Denne forskjellen manifesteres i varierende grad av det utpekte tegnet (frost - kaldt, sterkt, kraftig, mektig), i arten av dets betegnelse (vatterjakke - vattert jakke - vattert jakke), i volumet til det uttrykte konseptet (banner - flagg, frekk - dristig), i graden av tilknytning til de leksikalske verdiene (brun - brun, svart - svart).
2. Synonymer er stilistiske eller funksjonelle. De skiller seg fra hverandre i bruksområdet, for eksempel øyne - øyne, ansikt - ansikt, panne - panne. Synonymer emosjonell - vurderende. Disse synonymene uttrykker åpent talerens holdning til den utpekte personen, objektet eller fenomenet. For eksempel kan et barn høytidelig kalles et barn, kjærlig en gutt og en liten gutt, foraktelig en gutt og en sucker, og også ettertrykkelig - foraktelig en valp, en sucker, en dust.
3. Antonymer - kombinasjoner av ord som er motsatte i sin leksikalske betydning, for eksempel: topp - bunn, hvit - svart, snakk - vær stille, høyt - stille.
Antonymy
Det finnes tre typer antonymer:
1. Antonymer av gradvise og koordinerte motsetninger, for eksempel hvit - svart, stille - høyt, nær - fjern, snill - ond, og så videre. Disse antonymene har en felles betydning, som tillater deres motstand. Så begrepene svart og hvitt betegner motsatte fargekonsepter.
2. Antonymer av komplementære og konverterende motsetninger: krig - fred, mann - kone, gift - singel, kan - kan ikke, lukke - åpne.
3. Antonymer til den dikotomiske begrepsdelingen. De er ofte de samme grunnordene: folk – anti-folk, lovlig – ulovlig, human – umenneskelig.
Renter er også den såkalte. intra-ord-antonymi, når betydningen av ord som har samme materielle skall kontrasteres. For eksempel på russisk betyr verbet å låne penger til noen "å låne ut", og å låne penger fra noen betyr allerede å låne penger av noen. Intraord-motsetningen av betydninger kalles enantiosemi.
6. Aksiomatisk konstruksjon av et system av naturlige tall. En aksiomatisk metode for å konstruere en matematisk teori. Krav til systemet av aksiomer: konsistens, uavhengighet, fullstendighet. Peanos aksiomatikk. Konseptet med et naturlig tall fra aksiomatiske posisjoner. Modeller av systemet med Peanos aksiomer. Addisjon og multiplikasjon av naturlige tall fra aksiomatiske posisjoner. Ordning av settet med naturlige tall. Egenskaper til settet med naturlige tall. Subtraksjon og divisjon av settet av naturlige tall fra aksiomatiske posisjoner. Metode for matematisk induksjon. Introduksjon av null og konstruksjon av settet med ikke-negative heltall. Delingssetning med resten.
Grunnleggende begreper og definisjoner
Antall - det er et uttrykk for en bestemt mengde.
Naturlig tall et element i en uendelig kontinuerlig sekvens.
Naturlige tall (naturlige tall) - tall som oppstår naturlig ved telling (både i betydningen oppregning og i betydningen kalkulus).
Det er to tilnærminger til definisjonen av naturlige tall - tallene som brukes i:
oppregning (nummerering) av elementer (første, andre, tredje, ...);
betegnelse på antall varer (ingen varer, en vare, to varer, ...).
Axiom - dette er de grunnleggende utgangspunktene (selvinnlysende prinsipper) for en bestemt teori, som ved deduksjon, det vil si med rent logiske midler, er hentet ut hele resten av innholdet i denne teorien.
Et tall som bare har to divisorer (selve tallet og én) kalles - enkelt tall.
Sammensatt tall er et tall som har mer enn to divisorer.
§2. Aksiomatikk av et naturlig tall
Naturlige tall oppnås ved å telle gjenstander og ved å måle mengder. Men hvis det under målingen dukker opp andre tall enn naturlige, fører beregningen bare til naturlige tall. For å holde tellingen trenger du en tallsekvens som starter med ett og som lar deg flytte fra ett tall til et annet og så mange ganger som nødvendig. Vi trenger med andre ord et segment av den naturlige serien. Derfor, når du løste problemet med å underbygge systemet med naturlige tall, var det først og fremst nødvendig å svare på spørsmålet om hva et tall er som et element i den naturlige serien. Svaret på dette ble gitt i verkene til to matematikere - Tysk Grassmann og italiensk Peano. De foreslo en aksiomatisk der det naturlige tallet ble rettferdiggjort som et element i en uendelig kontinuerlig sekvens.
Den aksiomatiske konstruksjonen av et system av naturlige tall utføres i henhold til de formulerte reglene.
De fem aksiomene kan sees på som en aksiomatisk definisjon av de grunnleggende begrepene:
1 er et naturlig tall;
Det neste naturlige tallet er et naturlig tall;
1 følger ikke noe naturlig tall;
Hvis et naturlig tall en følger naturlig tall b og for et naturlig tall Med, deretter b og Med identisk;
Hvis noen påstand er bevist for 1 og hvis fra antagelsen om at det er sant for et naturlig tall n, følger det at det er sant for følgende n naturlig tall, så er denne proposisjonen sann for alle naturlige tall.
Enhet er det første tallet i den naturlige serien , samt et av sifrene i desimaltallsystemet.
Det antas at betegnelsen på en enhet av enhver kategori med det samme tegnet (ganske nær moderne) dukket opp for første gang i det gamle Babylon omtrent 2 tusen år f.Kr. e.
De gamle grekerne, som betraktet bare naturlige tall som tall, betraktet hver av dem som en samling enheter. Selve enheten er gitt en spesiell plass: den ble ikke ansett som et nummer.
I. Newton skrev: "... med tall mener vi ikke så mye en samling av enheter, men et abstrakt forhold mellom en mengde og en annen mengde, konvensjonelt akseptert av oss som en enhet." Dermed har enheten allerede tatt sin rettmessige plass blant andre numre.
Aritmetiske operasjoner på tall har en rekke egenskaper. De kan beskrives med ord, for eksempel: "Summen endres ikke fra en endring i vilkårenes steder." Kan skrives med bokstaver: a+b = b+a. Kan uttrykkes i spesifikke termer.
Vi bruker de grunnleggende aritmetiske lovene ofte av vane uten å være klar over det:
1) kommutativ lov (kommutativitet), - en egenskap for addisjon og multiplikasjon av tall, uttrykt av identiteter:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) assosiativ lov (assosiativitet), - en egenskap ved addisjon og multiplikasjon av tall, uttrykt ved identiteter:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) distributiv lov (distributivitet), - en egenskap som forbinder addisjon og multiplikasjon av tall og uttrykkes av identiteter:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Etter å ha bevist de kommutative, assosiative og distributive (med hensyn til addisjon) lovene for multiplikasjonshandlingen, gir videre konstruksjon av teorien om aritmetiske operasjoner på naturlige tall ingen grunnleggende vanskeligheter.
For tiden, i sinnet eller på et stykke papir, gjør vi bare de enkleste beregningene, og overlater mer og oftere mer komplekst beregningsarbeid til kalkulatorer, datamaskiner. Driften av alle datamaskiner - enkle og komplekse - er imidlertid basert på den enkleste operasjonen - tillegg av naturlige tall. Det viser seg at de mest komplekse beregningene kan reduseres til addisjon, bare denne operasjonen må gjøres mange millioner ganger.
Aksiomatiske metoder i matematikk
En av hovedårsakene til utviklingen av matematisk logikk er den utbredte aksiomatisk metode i konstruksjonen av ulike matematiske teorier, først og fremst geometri, og deretter aritmetikk, gruppeteori, etc. Aksiomatisk metode kan defineres som en teori som er bygget på et forhåndsvalgt system av udefinerte begreper og relasjoner mellom dem.
I den aksiomatiske konstruksjonen av en matematisk teori er et visst system av udefinerte begreper og relasjoner mellom dem foreløpig valgt. Disse begrepene og relasjonene kalles grunnleggende. Neste er introdusert aksiomer de. hovedbestemmelsene i teorien under vurdering, akseptert uten bevis. Alt videre innhold i teorien er utledet logisk fra aksiomene. For første gang ble den aksiomatiske konstruksjonen av en matematisk teori utført av Euklid i konstruksjonen av geometri.
I den aksiomatiske konstruksjonen av enhver matematisk teori, sikkert forskrifter:
noen begreper i teorien er valgt som de viktigste og aksepteres uten definisjon;
hvert konsept av teorien, som ikke er inneholdt i listen over grunnleggende, er gitt en definisjon;
aksiomer er formulert - setninger som er akseptert i denne teorien uten bevis; de avslører egenskapene til de grunnleggende konseptene;
· hver setning i teorien som ikke finnes i listen over aksiomer må bevises; slike påstander kalles teoremer og bevises på grunnlag av aksiomer og termer.
I den aksiomatiske konstruksjonen av en teori er alle utsagn avledet fra aksiomene som bevis.
Derfor er systemet av aksiomer underlagt spesielle krav:
Konsistens (et system av aksiomer kalles konsistent hvis det er umulig å logisk utlede to gjensidig utelukkende setninger fra det);
uavhengighet (et system av aksiomer kalles uavhengig hvis ingen av aksiomene til dette systemet er en konsekvens av andre aksiomer).
Et sett med en relasjon gitt i det kalles en modell av et gitt system av aksiomer hvis alle aksiomene til dette systemet er oppfylt i det.
Det er mange måter å konstruere et system av aksiomer for settet av naturlige tall. For grunnbegrepet kan man ta for eksempel summen av tall eller rekkefølgerelasjonen. I alle fall er det nødvendig å spesifisere et system av aksiomer som beskriver egenskapene til de grunnleggende konseptene.
La oss gi et system av aksiomer, ved å ta i bruk det grunnleggende konseptet for driften av addisjon.
Ikke-tomt sett N kalles settet av naturlige tall hvis operasjonen (en; b) → a + b, kalt addisjon og har egenskapene:
1. addisjon er kommutativ, dvs. a + b = b + a.
2. addisjon er assosiativ, dvs. (a + b) + c = a + (b + c).
4. i ethvert sett MEN, som er en undergruppe av settet N, hvor MEN det er et nummer en slik at alle Ha, er like a+b, hvor bN.
Aksiomer 1 - 4 er nok til å konstruere hele aritmetikken til naturlige tall. Men med en slik konstruksjon er det ikke lenger mulig å stole på egenskapene til endelige mengder som ikke gjenspeiles i disse aksiomene.
La oss ta som det grunnleggende konseptet forholdet "direkte følge..." definert på et ikke-tomt sett N. Da vil den naturlige tallrekka være settet N, der relasjonen "direkte følger" er definert, og alle elementene i N vil bli kalt naturlige tall, og følgende gjelder: Peanos aksiomer:
AKSIOM 1.
i mengderNdet er et element som ikke umiddelbart følger noe element i dette settet. Vi vil kalle det en enhet, og betegne det med symbolet 1.
AXIOM 2.
For hvert element a avNdet er et enkelt element a umiddelbart etter a.
AXIOM 3.
For hvert element a avNdet er høyst ett element umiddelbart etterfulgt av en.
AXOIM 4.
Enhver delmengde M av settetNsammenfaller medN, hvis den har egenskapene: 1) 1 er inneholdt i M; 2) fra det faktum at a er inneholdt i M, følger det at a også er inneholdt i M.
Masse av N, for elementene som relasjonen "umiddelbart følger ..." er etablert, som tilfredsstiller aksiomene 1 - 4, kalles sett med naturlige tall , og dens elementer er naturlige tall.
Hvis som et sett N velg et spesifikt sett som en spesifikk relasjon "direkte følger ..." er gitt på, som tilfredsstiller aksiomene 1 - 4, så får vi forskjellige tolkninger (modeller) gitt aksiomsystemer.
Standardmodellen for systemet med Peanos aksiomer er en serie tall som oppsto i prosessen med den historiske utviklingen av samfunnet: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Ethvert tellbart sett kan være en modell av Peano-aksiomene.
For eksempel I, II, III, III, ...
å å å å å å å...
en to tre fire, …
Tenk på en sekvens av sett der settet (oo) er det innledende elementet, og hvert påfølgende sett er hentet fra det forrige ved å tilordne en sirkel til (fig. 15).
Deretter N er et sett som består av sett av den beskrevne formen, og det er en modell av systemet med Peanos aksiomer.
Faktisk i mange N det er et element (oo) som ikke umiddelbart følger noe element i det gitte settet, dvs. gjelder aksiom 1. For hvert sett MEN av settet under vurdering, er det et unikt sett som er hentet fra MEN ved å legge til én sirkel, dvs. Holder Axiom 2. For hvert sett MEN det er høyst ett sett som settet er dannet av MEN ved å legge til én sirkel, dvs. Aksiom 3 gjelder. Hvis MN og det er kjent at settet MEN oppbevart i M, det følger at settet der det er en sirkel mer enn i settet MEN, er også inneholdt i M, deretter M =N, som betyr at Axiom 4 er tilfredsstilt.
I definisjonen av et naturlig tall kan ingen av aksiomene utelates.
La oss fastslå hvilket av settene vist i fig. 16 er en modell av Peanos aksiomer.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Løsning. Figur 16 a) viser et sett der aksiomer 2 og 3 er oppfylt. For hvert element er det faktisk et unikt element som umiddelbart følger det, og det er et unikt element som det følger. Men aksiom 1 holder ikke i dette settet (aksiom 4 gir ikke mening, fordi det ikke er noe element i settet som ikke umiddelbart følger noen annen). Derfor er dette settet ikke en modell av Peanos aksiomer.
Figur 16 b) viser settet der aksiomene 1, 3 og 4 er oppfylt, men bak elementet en to elementer følger umiddelbart, og ikke ett, som kreves i aksiom 2. Derfor er ikke dette settet en modell av Peanos aksiomer.
På fig. 16 c) viser et sett der aksiomene 1, 2, 4 er oppfylt, men elementet Med umiddelbart følger to elementer. Derfor er dette settet ikke en modell av Peanos aksiomer.
På fig. 16 d) viser en mengde som tilfredsstiller aksiomene 2, 3, og hvis vi tar tallet 5 som startelement, så vil dette settet tilfredsstille aksiomene 1 og 4. Det vil si at i dette settet for hvert element er det et enkelt umiddelbart etter det, og det er et enkelt element som det følger. Det er også et element som ikke umiddelbart følger noe element i dette settet, dette er 5 , de. Axiom 1 gjelder. Tilsvarende gjelder også Axiom 4. Derfor er dette settet en modell av Peanos aksiomer.
Ved å bruke Peano-aksiomene kan vi bevise en rekke påstander, for eksempel beviser vi at for alle naturlige tall er ulikheten x x.
Bevis. Angi med MEN sett med naturlige tall for hvilke en a. Antall 1 hører til MEN, siden det ikke følger noe tall fra N, og følger derfor ikke av seg selv: 1 1. La aa, deretter en a. Betegn en gjennom b. I kraft av aksiom 3, enb, de. bb og bA.
I den aksiomatiske konstruksjonen av enhver teori blir visse regler observert:
noen begreper i teorien er valgt som grunnleggende, og er akseptert uten definisjon og kalles udefinert.
aksiomer er formulert - setninger som er akseptert i denne teorien uten bevis; de avslører egenskapene til de grunnleggende konseptene;
hvert konsept av teorien, som ikke er inkludert i listen over grunnleggende, er gitt definisjon, forklarer dens betydning ved hjelp av grunnleggende og foregående begreper;
hver setning i teorien som ikke finnes i listen over aksiomer må bevises; slike påstander kalles teoremer og beviser dem på grunnlag av aksiomer og teoremer som går foran den som vurderes.
I den aksiomatiske konstruksjonen av en teori er i hovedsak alle utsagn utledet av bevis fra aksiomene. Derfor stilles det spesielle krav til systemet med aksiomer. Først og fremst må den være konsekvent og uavhengig.
Systemet av aksiomer kalles konsistent hvis to gjensidig utelukkende setninger ikke kan utledes logisk fra det.
Et konsistent system av aksiomer kalles uavhengig hvis ingen av aksiomene til dette systemet er en konsekvens av andre aksiomer i dette systemet.
Aksiomer er som regel en refleksjon av de hundre år gamle praktiske aktivitetene til mennesker, og dette bestemmer deres gyldighet.
Som et grunnleggende konsept i den aksiomatiske konstruksjonen av aritmetikken til naturlige tall, tas relasjonen "direkte følge", gitt på en ikke-tom mengde N. Også kjent er begrepene til et sett, et element i et sett og andre settteoretiske begreper, samt logikkens regler.
Elementet umiddelbart etter elementet en, utpeke en". Essensen av "direkte følg"-forholdet avsløres i følgende aksiomer foreslått av den italienske matematikeren J. Peano i 1891.
Aksiom 1. i mengder N det er et element som ikke umiddelbart følger noe element i dette settet. Det kalles en enhet og er merket med symbolet 1.
Aksiom 2. For hvert element en fra N det er bare ett element en", umiddelbart etter en.
Aksiom 3. For hvert element a av N det er høyst ett element umiddelbart etterfulgt av en.
Aksiom 4. (Induksjonsaksiom). Enhver undergruppe M settene N sammenfaller med N hvis den har følgende egenskaper: 1) 1 er inneholdt i M; 2) fra det faktum at ethvert element en oppbevart i M, det følger at og en" oppbevart i M.
De formulerte aksiomene kalles ofte Peanos aksiomer, og det fjerde aksiomet kalles induksjonsaksiomet.
La oss skrive disse aksiomene i symbolsk form.
MEN 1 )( 1 N)( en N)en" 1;
MEN 2 )( en N)( !b N)en"=b
MEN 3 ) ( en,b,Med N)с = a" с = b" en= b;
A4) M N 1 M (en M en" M) M=N
Ved å bruke "umiddelbart følg"-relasjonen og Peanos aksiomer 1-4, kan følgende definisjon av et naturlig tall gis.
Definisjon 1. Mengden N. for hvis elementer relasjonen "umiddelbart følger" er etablert, som tilfredsstiller aksiomene 1-4, kalles settet av naturlige tall, og dets elementer naturlige tall.
___________________________________________________________________
Definisjon 2 . Hvis et naturlig tallbumiddelbart etter tallet a, så kalles tallet a umiddelbart foran (forut) nummeretb.
______________________________________________________________________________________________
Teorem 1. Enheten har ikke noe forutgående naturlig tall (sannheten til teoremet følger umiddelbart av aksiomet MEN 1 ).
Teorem 2. Hvert naturlig tall en, annet enn én har et foregående tall b , slik at b " = en.
Definisjonen av et naturlig tall sier ingenting om arten av elementene i settet N. Så hun kan være hva som helst. Standardmodellen for systemet med Peanos aksiomer er en serie tall som oppsto i prosessen med den historiske utviklingen av samfunnet:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Hvert nummer i denne serien har sin egen betegnelse og navn, som vi vil anse som kjent.
Det er viktig å merke seg at i definisjonen av et naturlig tall kan ingen av aksiomene utelates.
1 en b c d
…
b
Ris. 16 Ris. 17
Oppgave 1.
I figurene er hvert element forbundet med en pil til elementet som følger det.
Bestem hvilke av settene vist i figur 15 og 16 som er modeller av systemet med Peanos aksiomer.
1. I fig. 16 viser et sett hvor aksiom 2 og 3 holder, men aksiom 1 ikke holder.
Axiom 4 vil ikke gi mening, siden det ikke er noe element i settet som ikke umiddelbart følger noen andre.
2. På fig. 17 viser settet der aksiomene 1, 2, 3 er oppfylt, men aksiom 4 er ikke oppfylt - settet med punkter som ligger på strålen inneholder 1, og sammen med hvert tall inneholder det tallet umiddelbart etter det, men det gjør det ikke sammenfaller med hele settpunktene vist i figuren. Konklusjon: ingen av settene avbildet i fig. 16 og 17 kan ikke betraktes som modeller av systemet med Peanos aksiomer.
Oppgave 2.
La oss bevise at ethvert naturlig tall er forskjellig fra det umiddelbart etterfølgende naturlige tallet, dvs. ( X ) X X"
Bevis
Vi bruker aksiomet for induksjon - MEN 4 .
La M=(x/x , X X"}, fordi . X M N.
Beviset består av to deler.
La oss bevise det 1 M, de. 1 1" . Dette følger av MEN 1 .
La oss bevise det X M=> X" M. La X M de. X X". La oss bevise det X" M, dvs. X" (X")". Og aksiomer MEN 3 bør X" (X")". Faktisk av MEN 3 , hvis x" = (x")" så x = x", og siden ved induksjonsproposisjon x M, deretter x X", derfor kommer vi til en selvmotsigelse. Midler, X" (X")" , X" M.
Her brukes regelen om kontraposisjon (PC), som er mye brukt i bevis "ved motsigelse".
Så vi fikk:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, dvs. påstand x x" er sant for ethvert naturlig tall.
Test spørsmål
Hva er essensen av teoriens aksiomatiske konstruksjon?
Hva er de grunnleggende konseptene for skoleplanimetrikurset. Husk aksiomsystemet i dette kurset. Hvilke egenskaper ved konsepter er beskrevet i dem?
Formuler og skriv ned i symbolsk form Peanos aksiomer. "
Formuler en aksiomatisk definisjon av et naturlig tall.
Fortsett definisjonen av et naturlig tall: «Et naturlig tall er et element i en mengde N,... » .
Gi eksempler fra lærebøker i matematikk i grunnskolen der:
a) et nytt (for studenter) nummer fungerer som en fortsettelse av det mottatte segmentet av den naturlige serien;
b) det fastslås at hvert naturlig tall umiddelbart etterfølges av bare ett annet naturlig tall.
Øvelser
285. Elementene i et sett er grupper av bindestreker (I, II, III, IIII,...). Tilfredsstiller dette settet Peanos aksiomer? Som definert her, følger forholdet "umiddelbart". Vurder de samme spørsmålene for settet (0, 00, 000, 0000,...).
Ris. 17
286. I figur 17 a) er hvert element forbundet med en pil til elementet som følger det. Kan settet betraktes som en modell av systemet med Peanos aksiomer? De samme spørsmålene for settene i figur 17 b), c), d).
287. Gjør settet med tall (1, 2, 3 P, ...), hvis følgende relasjon er definert i den slik:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Gi eksempler på oppgaver fra lærebøker i matematikk for grunnkarakterer, der oppgavenes riktighet er forklart med Peanos aksiomer.
Aksiomatisk metode i matematikk.
Grunnleggende begreper og relasjoner til den aksiomatiske teorien om naturlige serier. Definisjon av et naturlig tall.
Addisjon av naturlige tall.
Multiplikasjon av naturlige tall.
Egenskaper til settet med naturlige tall
Subtraksjon og divisjon av naturlige tall.
Aksiomatisk metode i matematikk
I den aksiomatiske konstruksjonen av enhver matematisk teori, er visse regler:
1. Noen begreper i teorien er valgt som major og akseptert uten definisjon.
2. Formulert aksiomer, som i denne teorien er akseptert uten bevis, avslører de egenskapene til de grunnleggende konseptene.
3. Hvert konsept av teorien, som ikke er inkludert i listen over grunnleggende, er gitt definisjon, forklarer dens betydning ved hjelp av hoved- og foran dette konseptet.
4. Hver setning i teorien som ikke finnes i listen over aksiomer må bevises. Slike forslag kalles teoremer og bevis dem på grunnlag av aksiomer og teoremer som går foran den som vurderes.
Systemet med aksiomer skal være:
a) konsekvent: vi må være sikre på at, ved å trekke alle slags konklusjoner fra et gitt system av aksiomer, vil vi aldri komme til en selvmotsigelse;
b) uavhengig: ingen aksiomer skal være en konsekvens av andre aksiomer i dette systemet.
i) fullstendig, hvis det innenfor dens ramme alltid er mulig å bevise enten det gitte utsagnet eller dets negasjon.
Presentasjonen av geometri av Euklid i hans "Elementer" (3. århundre f.Kr.) kan betraktes som den første erfaringen med den aksiomatiske konstruksjonen av en teori. Et betydelig bidrag til utviklingen av den aksiomatiske metoden for å konstruere geometri og algebra ble gitt av N.I. Lobachevsky og E. Galois. På slutten av 1800-tallet Den italienske matematikeren Peano utviklet et system med aksiomer for aritmetikk.
Grunnleggende begreper og sammenhenger i den aksiomatiske teorien om naturlige tall. Definisjon av et naturlig tall.
Som et grunnleggende (udefinert) konsept i et visst sett N er valgt holdning , samt settteoretiske begreper, samt logikkens regler.
Elementet umiddelbart etter elementet en, utpeke en".
Forholdet "umiddelbart følg" tilfredsstiller følgende aksiomer:
Peanos aksiomer:
Aksiom 1. i mengder N det er et element, direkte ikke neste for ethvert element i dette settet. La oss ringe ham enhet og symboliserer 1 .
Aksiom 2. For hvert element en fra N det er bare ett element en" umiddelbart etter en .
Aksiom 3. For hvert element en fra N det er høyst ett element umiddelbart etterfulgt av en .
Aksiom 4. Enhver undergruppe M settene N sammenfaller med N , hvis den har egenskapene: 1) 1 oppbevart i M ; 2) fra hva en oppbevart i M , det følger at og en" oppbevart i M.
Definisjon 1. Masse av N , for hvis elementer forholdet er etablert "følge direkte» som tilfredsstiller aksiomene 1-4 kalles sett med naturlige tall, og dens elementer er naturlige tall.
Denne definisjonen sier ikke noe om arten av elementene i settet N . Så hun kan være hva som helst. Velger som et sett N et bestemt sett som en bestemt "direkte følger"-relasjon er gitt som tilfredsstiller aksiomene 1-4, får vi modell av dette systemet aksiomer.
Standardmodellen av systemet med Peanos aksiomer er en tallrekke som oppsto i prosessen med den historiske samfunnsutviklingen: 1,2,3,4, ... Den naturlige rekken begynner med tallet 1 (aksiom 1); hvert naturlig tall blir umiddelbart etterfulgt av et enkelt naturlig tall (aksiom 2); hvert naturlig tall følger umiddelbart etter høyst ett naturlig tall (aksiom 3); starter fra tallet 1 og beveger seg for å de naturlige tallene umiddelbart etter hverandre, får vi hele settet med disse tallene (aksiom 4).
Så vi begynte den aksiomatiske konstruksjonen av et system med naturlige tall med valg av hoved "direkte følge" forholdet og aksiomer som beskriver dens egenskaper. Videre konstruksjon av teorien innebærer vurdering av de kjente egenskapene til naturlige tall og operasjoner på dem. De bør avsløres i definisjoner og teoremer, dvs. avledet på en rent logisk måte fra relasjonen "straks følge", og aksiomene 1-4.
Det første konseptet som vi introduserer etter definisjonen av et naturlig tall er holdning "umiddelbart foran" , som ofte brukes når man vurderer egenskapene til den naturlige serien.
Definisjon 2. Hvis et naturlig tall b følger direkte naturlig tall en, det tallet en kalt umiddelbart før(eller tidligere) nummer b .
Forholdet "før" har nær eiendommer.
Teorem 1. Man har ikke noe forutgående naturlig tall.
Teorem 2. Hvert naturlig tall en, annet enn 1, har et enkelt foregående tall b, slik at b"= en.
Den aksiomatiske konstruksjonen av teorien om naturlige tall vurderes verken i grunnskolen eller videregående. Imidlertid er de egenskapene til "direkte følg"-relasjonen, som gjenspeiles i Peanos aksiomer, gjenstand for studier i det innledende kurset i matematikk. Allerede i første klasse, når man vurderer tallene til de ti første, viser det seg hvordan hvert tall kan oppnås. Begrepene "følge" og "før" brukes. Hvert nytt tall fungerer som en fortsettelse av det studerte segmentet av den naturlige tallserien. Elevene er overbevist om at hvert tall etterfølges av det neste, og dessuten bare ett, at den naturlige tallrekka er uendelig.
Addisjon av naturlige tall
I henhold til reglene for å konstruere en aksiomatisk teori, må definisjonen av addisjon av naturlige tall innføres kun ved å bruke relasjonen "følge direkte", og konsepter "naturlig nummer" og "tidligere nummer".
La oss innlede definisjonen av addisjon med følgende betraktninger. Hvis for et hvilket som helst naturlig tall en legg til 1, vi får tallet en", umiddelbart etter en, dvs. en+ 1= a" og derfor får vi regelen om å legge til 1 til et hvilket som helst naturlig tall. Men hvordan legge til tallet en naturlig tall b, forskjellig fra 1? La oss bruke følgende faktum: hvis det er kjent at 2 + 3 = 5, så er summen 2 + 4 = 6, som følger umiddelbart etter tallet 5. Dette skjer fordi i summen 2 + 4 er det andre leddet tallet umiddelbart etter tallet 3. Så 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Generelt har vi , .
Disse fakta ligger til grunn for definisjonen av addisjon av naturlige tall i aksiomatisk teori.
Definisjon 3. Addisjon av naturlige tall er en algebraisk operasjon som har følgende egenskaper:
Antall a + b kalt summen av tall en og b , og selve tallene en og b - vilkår.