Hvilke av linjeparene i planet er parallelle. Parallelle linjer i planet og i rommet. Beskyttelse av personopplysninger
![Hvilke av linjeparene i planet er parallelle. Parallelle linjer i planet og i rommet. Beskyttelse av personopplysninger](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personopplysninger samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Offentliggjøring til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
- Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
I et plan kalles linjer parallelle hvis de ikke har felles punkter, det vil si at de ikke krysser hverandre. For å indikere parallellitet, bruk et spesielt ikon || (parallelle linjer a || b).
For linjer som ligger i rommet er ikke kravet om at det ikke er felles punkter nok - for at de skal være parallelle i rommet må de tilhøre samme plan (ellers blir de skjeve).
Du trenger ikke gå langt for eksempler på parallelle linjer, de følger oss overalt, i rommet er de skjæringslinjene mellom veggen og taket og gulvet, på notatbokarket er det motsatte kanter osv.
Det er ganske åpenbart at med to linjer parallelle og en tredje linje parallelt med en av de to første, vil den være parallell med den andre.
Parallelle linjer i planet er forbundet med et utsagn som ikke kan bevises ved hjelp av planimetriens aksiomer. Det er akseptert som et faktum, som et aksiom: for ethvert punkt på et plan som ikke ligger på en rett linje, er det en enkelt rett linje som går gjennom det parallelt med den gitte. Hver sjetteklassing kjenner til dette aksiomet.
Dens romlige generalisering, det vil si påstanden om at for ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en linje, er det en unik linje som går gjennom den parallelt med den gitte, kan enkelt bevises ved å bruke det allerede kjente aksiomet for parallellisme i flyet.
Egenskaper til parallelle linjer
- Hvis noen av to parallelle linjer er parallelle med den tredje, er de innbyrdes parallelle.
Parallelle linjer har denne egenskapen både i flyet og i rommet.
Som et eksempel, vurder dets begrunnelse i stereometri.
La linjene b være parallelle med linjen a.
Tilfellet når alle linjene ligger i samme plan vil bli overlatt til planimetri.
Anta at a og b tilhører bettaplanet, og gamma er planet som a og c tilhører (etter definisjonen av parallellitet i rommet må linjer tilhøre samme plan).
Hvis vi antar at betta- og gammaplanene er forskjellige og markerer et bestemt punkt B på linjen b fra betta-planet, så må planet trukket gjennom punktet B og linjen c skjære betta-planet i en rett linje (vi angir det b1).
Hvis den resulterende linjen b1 skjærer gammaplanet, må skjæringspunktet på den ene siden ligge på a, siden b1 tilhører betta-planet, og på den annen side må det også tilhøre c, siden b1 tilhører det tredje planet.
Men de parallelle linjene a og c må ikke krysse hverandre.
Dermed må linjen b1 tilhøre betta-planet og samtidig ikke ha noen felles punkter med a, derfor sammenfaller den i henhold til parallellismens aksiom med b.
Vi har fått en linje b1 som sammenfaller med linjen b, som tilhører samme plan med linjen c og ikke skjærer den, det vil si at b og c er parallelle
- Gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje parallelt med den gitte linjen, kan bare én enkelt linje passere.
- To rette linjer som ligger på et plan vinkelrett på det tredje er parallelle.
- Hvis en av de to parallelle linjene skjærer planet, skjærer den andre linjen det samme planet.
- Tilsvarende og tverrliggende indre vinkler dannet av skjæringspunktet mellom parallelle to linjer i den tredje er like, summen av de indre ensidige dannet i dette tilfellet er 180 °.
De omvendte utsagnene er også sanne, som kan tas som tegn på parallellitet av to rette linjer.
Tilstand for parallelle linjer
Egenskapene og tegnene formulert ovenfor er betingelsene for parallelliteten til linjer, og de kan bevises med geometrimetodene. Med andre ord, for å bevise parallelliteten til to tilgjengelige linjer, er det tilstrekkelig å bevise deres parallellitet til den tredje linjen eller likheten av vinklene, enten de er tilsvarende eller ligger på tvers, og så videre.
Til beviset bruker de i hovedsak metoden «ved motsetning», det vil si med antagelsen om at linjene ikke er parallelle. Basert på denne forutsetningen kan det enkelt vises at i dette tilfellet blir de gitte betingelsene brutt, for eksempel viser de tverrliggende indre vinklene seg å være ulik, noe som beviser feilen i antagelsen som er gjort.
Tegn på parallellitet av to linjer
Teorem 1. Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer i en sekant:
diagonalt liggende vinkler er like, eller
tilsvarende vinkler er like, eller
summen av ensidige vinkler er 180°, da
linjene er parallelle(Figur 1).
Bevis. Vi begrenser oss til beviset for sak 1.
Anta at i skjæringspunktet mellom linjene a og b ved en sekant AB på tvers av de liggende vinklene er like. For eksempel, ∠ 4 = ∠ 6. La oss bevise at en || b.
Anta at linjene a og b ikke er parallelle. Deretter krysser de på et eller annet punkt M, og følgelig vil en av vinklene 4 eller 6 være den ytre vinkelen til trekanten ABM. La, for bestemthetens skyld, ∠ 4 være det ytre hjørnet av trekanten ABM, og ∠ 6 være det indre. Det følger av teoremet om den ytre vinkelen til en trekant at ∠ 4 er større enn ∠ 6, og dette motsier betingelsen, som betyr at linjene a og 6 ikke kan skjære hverandre, derfor er de parallelle.
Konsekvens 1. To distinkte linjer i et plan vinkelrett på samme linje er parallelle(Fig. 2).
Kommentar. Måten vi nettopp beviste tilfelle 1 av teorem 1 kalles bevismetoden ved selvmotsigelse eller reduksjon til absurditet. Denne metoden har fått sitt fornavn fordi det i begynnelsen av resonnementet gjøres en antagelse som er motsatt (motsatt) av det som kreves bevist. Det kalles reduksjon til absurditet på grunn av at vi, ved å argumentere ut fra den antagelsen som er gjort, kommer til en absurd konklusjon (absurditet). Å motta en slik konklusjon tvinger oss til å avvise antagelsen som ble gjort i begynnelsen og akseptere den som var påkrevd å bli bevist.
Oppgave 1. Konstruer en linje som går gjennom et gitt punkt M og parallelt med en gitt linje a, og går ikke gjennom punktet M.
Løsning. Vi trekker en linje p gjennom punktet M vinkelrett på linjen a (fig. 3).
Deretter trekker vi en linje b gjennom punktet M vinkelrett på linjen p. Linjen b er parallell med linjen a i henhold til konsekvensen av setning 1.
En viktig konklusjon følger av det vurderte problemet:
Gjennom et punkt som ikke er på en gitt linje, kan man alltid trekke en linje parallelt med den gitte linjen..
Hovedegenskapen til parallelle linjer er som følger.
Aksiomet for parallelle linjer. Gjennom et gitt punkt som ikke er på en gitt linje, er det bare en linje parallelt med den gitte linjen.
Tenk på noen egenskaper ved parallelle linjer som følger av dette aksiomet.
1) Hvis en linje skjærer en av de to parallelle linjene, så skjærer den den andre (fig. 4).
2) Hvis to forskjellige linjer er parallelle med den tredje linjen, så er de parallelle (fig. 5).
Følgende teorem er også sant.
Teorem 2. Hvis to parallelle linjer krysses av en sekant, så:
de liggende vinklene er like;
tilsvarende vinkler er like;
summen av ensidige vinkler er 180°.
Konsekvens 2. Hvis en linje er vinkelrett på en av to parallelle linjer, er den også vinkelrett på den andre.(se fig.2).
Kommentar. Teorem 2 kalles inversen av setning 1. Konklusjonen av setning 1 er betingelsen til setning 2. Og betingelsen til setning 1 er konklusjonen av setning 2. Ikke alle setninger har en invers, dvs. hvis en gitt setning er sann, da kan det inverse teoremet være usant.
La oss forklare dette med eksemplet med teoremet om vertikale vinkler. Denne teoremet kan formuleres som følger: hvis to vinkler er vertikale, så er de like. Det inverse teoremet vil være dette: Hvis to vinkler er like, så er de vertikale. Og dette er selvfølgelig ikke sant. To like vinkler trenger ikke å være vertikale i det hele tatt.
Eksempel 1 To parallelle linjer krysses av en tredje. Det er kjent at forskjellen mellom to indre ensidige vinkler er 30°. Finn disse vinklene.
Løsning. La figur 6 oppfylle betingelsen.
I denne artikkelen vil vi snakke om parallelle linjer, gi definisjoner, utpeke tegn og betingelser for parallellisme. For klarhet i teoretisk materiale vil vi bruke illustrasjoner og løsning av typiske eksempler.
Definisjon 1Parallelle linjer i flyet er to rette linjer i planet som ikke har felles punkter.
Definisjon 2
Parallelle linjer i 3D-rom- to rette linjer i tredimensjonalt rom som ligger i samme plan og ikke har felles punkter.
Det skal bemerkes at for å bestemme parallelle linjer i rommet, er avklaringen "ligger i samme plan" ekstremt viktig: to linjer i tredimensjonalt rom som ikke har felles punkter og ikke ligger i samme plan, er ikke parallelt, men kryssende.
For å betegne parallelle linjer er det vanlig å bruke symbolet ∥ . Det vil si at hvis de gitte linjene a og b er parallelle, bør denne betingelsen kort skrives som følger: a ‖ b . Verbalt er parallelliteten til linjer indikert som følger: linjene a og b er parallelle, eller linje a er parallell med linje b, eller linje b er parallell med linje a.
La oss formulere et utsagn som spiller en viktig rolle i emnet som studeres.
Axiom
Gjennom et punkt som ikke tilhører en gitt linje, er det bare en linje parallelt med den gitte linjen. Denne påstanden kan ikke bevises på grunnlag av de kjente aksiomene for planimetri.
I tilfellet når det gjelder rom, er teoremet sant:
Teorem 1
Gjennom ethvert punkt i rommet som ikke tilhører en gitt linje, vil det bare være en linje parallelt med den gitte.
Denne teoremet er lett å bevise på grunnlag av ovennevnte aksiom (geometriprogram for klasse 10-11).
Tegnet på parallellitet er en tilstrekkelig betingelse der parallelle linjer er garantert. Med andre ord, oppfyllelsen av denne betingelsen er tilstrekkelig til å bekrefte faktumet om parallellitet.
Spesielt er det nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelliteten til linjer i planet og i rommet. La oss forklare: nødvendig betyr betingelsen hvis oppfyllelse er nødvendig for parallelle linjer; hvis det ikke er tilfredsstilt, er linjene ikke parallelle.
Oppsummert, en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av linjer er en slik betingelse, hvis overholdelse er nødvendig og tilstrekkelig for at linjene skal være parallelle med hverandre. På den ene siden er dette et tegn på parallellisme, på den andre siden en egenskap som ligger i parallelle linjer.
Før vi gir en nøyaktig formulering av de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene, husker vi noen flere tilleggsbegreper.
Definisjon 3
sekantlinje er en linje som skjærer hver av de to gitte ikke-sammenfallende linjene.
Skjærende to rette linjer danner sekanten åtte ikke-utvidede vinkler. For å formulere den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen, vil vi bruke slike typer vinkler som kryssliggende, tilsvarende og ensidige. La oss demonstrere dem i illustrasjonen:
Teorem 2
Hvis to linjer på et plan skjærer en sekant, er det nødvendig og tilstrekkelig for at de gitte linjene skal være parallelle at de tverrliggende vinklene er like, eller de tilsvarende vinklene er like, eller summen av ensidige vinkler er lik 180 grader.
La oss grafisk illustrere den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelle linjer på planet:
Beviset for disse forholdene finnes i geometriprogrammet for klassetrinn 7-9.
Generelt gjelder disse forholdene også for tredimensjonalt rom, forutsatt at de to linjene og sekanten tilhører samme plan.
La oss peke på noen flere teoremer som ofte brukes for å bevise at linjer er parallelle.
Teorem 3
I et plan er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hverandre. Denne funksjonen er bevist på grunnlag av aksiomet for parallellisme nevnt ovenfor.
Teorem 4
I tredimensjonalt rom er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hverandre.
Beviset for attributtet studeres i geometriprogrammet for 10. klasse.
Vi gir en illustrasjon av disse teoremene:
La oss angi enda et par teoremer som beviser parallelliteten til linjer.
Teorem 5
I et plan er to linjer vinkelrett på en tredjedel parallelle med hverandre.
La oss formulere en lignende for et tredimensjonalt rom.
Teorem 6
I tredimensjonalt rom er to linjer vinkelrett på en tredjedel parallelle med hverandre.
La oss illustrere:
Alle ovennevnte teoremer, tegn og betingelser gjør det mulig å praktisk bevise parallelliteten til linjer ved hjelp av geometrimetodene. Det vil si at for å bevise parallelliteten til linjer, kan man vise at de tilsvarende vinklene er like, eller demonstrere det faktum at to gitte linjer er vinkelrette på den tredje, og så videre. Men vi legger merke til at det ofte er mer praktisk å bruke koordinatmetoden for å bevise parallelliteten til linjer i et plan eller i tredimensjonalt rom.
Parallellisme av linjer i et rektangulært koordinatsystem
I et gitt rektangulært koordinatsystem bestemmes en rett linje av ligningen til en rett linje på et plan av en av de mulige typene. På samme måte tilsvarer en rett linje gitt i et rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom noen ligninger av en rett linje i rommet.
La oss skrive de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten til linjer i et rektangulært koordinatsystem, avhengig av hvilken type ligning som beskriver de gitte linjene.
La oss starte med tilstanden til parallelle linjer i flyet. Den er basert på definisjonene av retningsvektoren til linjen og normalvektoren til linjen i planet.
Teorem 7
For at to ikke-sammenfallende linjer skal være parallelle på et plan, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til de gitte linjene er kollineære, eller normalvektorene til de gitte linjene er kollineære, eller retningsvektoren til en linje er vinkelrett på normalvektoren til den andre linjen.
Det blir åpenbart at tilstanden til parallelle linjer på planet er basert på tilstanden til kollineære vektorer eller betingelsen for perpendikularitet til to vektorer. Det vil si at hvis a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) er retningsvektorene til linjene a og b ;
og n b → = (n b x , n b y) er normale vektorer av linjene a og b , så skriver vi den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen ovenfor som følger: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y eller n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y eller a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , hvor t er et reelt tall. Koordinatene til retnings- eller direktevektorene bestemmes av de gitte ligningene til linjene. La oss vurdere hovedeksemplene.
- Linjen a i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av linjens generelle ligning: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Da vil normalvektorene til de gitte linjene ha henholdsvis koordinater (A 1 , B 1) og (A 2 , B 2). Vi skriver betingelsen for parallellisme som følger:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Den rette linjen a beskrives ved likningen av en rett linje med en helning på formen y = k 1 x + b 1. Rett linje b - y \u003d k 2 x + b 2. Da vil normalvektorene til de gitte linjene ha henholdsvis koordinater (k 1 , - 1) og (k 2 , - 1), og vi skriver parallellitetsbetingelsen slik:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Således, hvis parallelle linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er gitt ved ligninger med helningskoeffisienter, vil helningskoeffisientene til de gitte linjene være like. Og det motsatte utsagnet er sant: hvis ikke-sammenfallende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av likningene til en linje med samme helningskoeffisienter, så er disse gitte linjene parallelle.
- Linjene a og b i et rektangulært koordinatsystem er gitt av de kanoniske ligningene til linjen på planet: x - x 1 a x = y - y 1 a y og x - x 2 b x = y - y 2 b y eller de parametriske ligningene av linjen på planet: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y og x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Da vil retningsvektorene til de gitte linjene være: henholdsvis a x , a y og b x , b y, og vi skriver parallellitetsbetingelsen som følger:
a x = t b x a y = t b y
La oss se på eksempler.
Eksempel 1
Gitt to linjer: 2 x - 3 y + 1 = 0 og x 1 2 + y 5 = 1 . Du må finne ut om de er parallelle.
Løsning
Vi skriver ligningen til en rett linje i segmenter i form av en generell ligning:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vi ser at n a → = (2 , - 3) er normalvektoren til linjen 2 x - 3 y + 1 = 0 , og n b → = 2 , 1 5 er normalvektoren til linjen x 1 2 + y 5 = 1 .
De resulterende vektorene er ikke kollineære, fordi det er ingen slik verdi av t som likheten vil være sann for:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dermed er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallellitet av linjer på planet ikke oppfylt, noe som betyr at de gitte linjene ikke er parallelle.
Svar: gitte linjer er ikke parallelle.
Eksempel 2
Gitt linjer y = 2 x + 1 og x 1 = y - 4 2. Er de parallelle?
Løsning
La oss transformere den kanoniske ligningen til den rette linjen x 1 \u003d y - 4 2 til ligningen til en rett linje med en helning:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vi ser at likningene til linjene y = 2 x + 1 og y = 2 x + 4 ikke er like (hvis det var annerledes, ville linjene vært like) og stigningene til linjene er like, noe som betyr at de gitte linjene er parallelle.
La oss prøve å løse problemet annerledes. Først sjekker vi om de gitte linjene er sammenfallende. Vi bruker et hvilket som helst punkt på linjen y \u003d 2 x + 1, for eksempel (0, 1), koordinatene til dette punktet tilsvarer ikke ligningen til linjen x 1 \u003d y - 4 2, noe som betyr at linjene er ikke sammenfallende.
Det neste trinnet er å bestemme oppfyllelsen av parallellitetsbetingelsen for de gitte linjene.
Normalvektoren til linjen y = 2 x + 1 er vektoren n a → = (2 , - 1) , og retningsvektoren til den andre gitte linjen er b → = (1 , 2) . Skalarproduktet til disse vektorene er null:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Dermed er vektorene vinkelrette: dette viser for oss oppfyllelsen av den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for at de opprinnelige linjene skal være parallelle. De. gitte linjer er parallelle.
Svar: disse linjene er parallelle.
For å bevise parallelliteten til linjer i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom, brukes følgende nødvendige og tilstrekkelige betingelse.
Teorem 8
For at to ikke-sammenfallende linjer i tredimensjonalt rom skal være parallelle, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til disse linjene er kollineære.
De. for gitte ligninger av linjer i tredimensjonalt rom, er svaret på spørsmålet: er de parallelle eller ikke, funnet ved å bestemme koordinatene til retningsvektorene til de gitte linjene, samt kontrollere tilstanden til deres kollinearitet. Med andre ord, hvis a → = (a x, a y, a z) og b → = (b x, b y, b z) er retningsvektorene til henholdsvis linjene a og b, så for at de skal være parallelle, er eksistensen av et slikt reelt tall t er nødvendig, slik at likhet gjelder:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Eksempel 3
Gitt linjer x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 og x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Det er nødvendig å bevise parallelliteten til disse linjene.
Løsning
Betingelsene for problemet er de kanoniske ligningene til en rett linje i rommet og de parametriske ligningene til en annen rett linje i rommet. Retningsvektorer a → og b → gitte linjer har koordinater: (1 , 0 , - 3) og (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , deretter a → = 1 2 b → .
Derfor er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelle linjer i rommet oppfylt.
Svar: parallelliteten til de gitte linjene er bevist.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
De krysser hverandre ikke, uansett hvor lenge de fortsetter. Parallellen mellom linjer i skrift er indikert som følger: AB|| FRAE
Muligheten for eksistensen av slike linjer er bevist med et teorem.
Teorem.
Gjennom et hvilket som helst punkt tatt utenfor en gitt linje, kan man trekke en parallell til denne linjen..
La AB denne linjen og FRA et punkt tatt utenfor det. Det kreves for å bevise det FRA du kan tegne en rett linje parallellAB. La oss slippe på AB fra et punkt FRA vinkelrettFRAD og da vil vi FRAE^ FRAD, hva er mulig. Rett CE parallell AB.
For beviset antar vi det motsatte, dvs. at CE krysser AB på et tidspunkt M. Så fra poenget M til en rett linje FRAD vi ville ha to forskjellige perpendikulære MD og MS, som er umulig. Midler, CE ikke kan krysse med AB, dvs. FRAE parallell AB.
Konsekvens.
To perpendikulære (CEogD.B.) til en rett linje (CD) er parallelle.
Aksiomet for parallelle linjer.
Gjennom samme punkt er det umulig å trekke to forskjellige linjer parallelt med samme linje.
Så hvis en rett linje FRAD, trukket gjennom punktet FRA parallelt med en rett linje AB, deretter en hvilken som helst annen linje FRAE gjennom samme punkt FRA, kan ikke være parallell AB, dvs. fortsetter hun krysse Med AB.
Beviset for denne ikke helt åpenbare sannheten viser seg å være umulig. Det aksepteres uten bevis som en nødvendig antakelse (postulatum).
Konsekvenser.
1. Hvis rett(FRAE) skjærer med en av parallell(SW), så skjærer den seg med den andre ( AB), fordi ellers gjennom samme punkt FRA to forskjellige rette linjer, parallelle AB, som er umulig.
2. Hvis hver av de to direkte (ENogB) er parallelle med samme tredje linje ( FRA) , så de er parallelle seg imellom.
Faktisk, hvis vi antar det EN og B skjæres på et tidspunkt M, så ville to forskjellige rette linjer, parallelle med hverandre, passere gjennom dette punktet. FRA, som er umulig.
Teorem.
Hvis en rett linje er vinkelrett til en av de parallelle linjene, så er den vinkelrett på den andre parallell.
La AB || FRAD og EF ^ AB.Det kreves for å bevise det EF ^ FRAD.
VinkelrettEF, krysser med AB, vil sikkert krysse og FRAD. La skjæringspunktet være H.
Anta nå det FRAD ikke vinkelrett på EH. Så en annen linje, for eksempel HK, vil være vinkelrett på EH og dermed gjennom samme punkt H to rett parallell AB: en FRAD, etter tilstand, og den andre HK som bevist før. Siden dette er umulig, kan det ikke antas at SW var ikke vinkelrett på EH.