Kompleksni brojevi i nizovi sa kompleksnim pojmovima. Konvergentni nizovi kompleksnih brojeva Apsolutno konvergentni nizovi kompleksnih brojeva
Standardne metode, ali su došli u slijepu ulicu s još jednim primjerom.
U čemu je poteškoća i gdje može biti zapreka? Ostavimo po strani sapunasto uže, mirno analizirajmo razloge i upoznajmo se s praktičnim metodama rješenja.
Prvo i najvažnije: u ogromnoj većini slučajeva, za proučavanje konvergencije niza, potrebno je primijeniti neku poznatu metodu, ali uobičajeni pojam niza je ispunjen tako škakljivim punjenjem da uopće nije očito što s njim učiniti . I vrtite se u krug: prvi znak ne radi, drugi ne radi, treći, četvrti, peti metod ne radi, onda se promaji bacaju u stranu i sve počinje iznova. To je obično zbog nedostatka iskustva ili praznina u drugim dijelovima računa. Posebno ako trči granice sekvence i površinski rastavljeno ograničenja funkcije, onda će biti teško.
Drugim riječima, osoba jednostavno ne vidi potrebno rješenje zbog nedostatka znanja ili iskustva.
Ponekad je krivo i „pomračenje“, kada, na primjer, nužni kriterij za konvergenciju niza jednostavno nije ispunjen, ali zbog neznanja, nepažnje ili nemara to ispadne iz vida. I ispada kao na onom biciklu gdje je profesor matematike riješio dječji problem uz pomoć divljih ponavljajućih nizova i nizova brojeva =)
U najboljoj tradiciji, odmah živi primjeri: redovi i njihovi rođaci - razilaze se, pošto je u teoriji to dokazano granice sekvence. Najvjerovatnije će vas u prvom semestru izbiti iz duše za dokaz od 1-2-3 stranice, ali sada je to sasvim dovoljno da pokažete da nije ispunjen neophodan uslov za konvergenciju serije, pozivajući se na na poznate činjenice. Poznati? Ako učenik ne zna da je korijen n-tog stepena izuzetno moćna stvar, onda, recimo, serija stavi ga u kolotečinu. Iako je rješenje kao dva i dva: , tj. iz očiglednih razloga, obje serije se razilaze. Skroman komentar „ove granice su dokazane u teoriji“ (ili čak i njihovo odsustvo) sasvim je dovoljan za kompenzaciju, uostalom, proračuni su prilično teški i definitivno ne spadaju u dio numeričkih serija.
A nakon proučavanja sljedećih primjera, samo ćete se iznenaditi kratkoćom i transparentnošću mnogih rješenja:
Primjer 1
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: prije svega provjerite izvršenje neophodan kriterijum za konvergenciju. Ovo nije formalnost, već odlična šansa da se pozabavimo primjerom "malog krvoprolića".
„Pregled scene“ sugeriše divergentni niz (slučaj generalizovanog harmonijskog niza), ali se opet postavlja pitanje kako uzeti u obzir logaritam u brojiocu?
Približni primjeri zadataka na kraju lekcije.
Nije neuobičajeno kada morate provesti dvosmjerno (ili čak trosmjerno) razmišljanje:
Primjer 6
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: prvo, pažljivo se pozabavite glupostima brojača. Redoslijed je ograničen: . onda:
Uporedimo našu seriju sa serijom. Na osnovu upravo dobijene dvostruke nejednakosti, za sve "en" bit će tačno:
Sada uporedimo seriju sa divergentnim harmonijskim nizom.
Imenilac razlomka manje imenilac razlomka, dakle sam razlomak – više razlomci (zapišite prvih nekoliko pojmova, ako nisu jasni). Dakle, za bilo koji "en":
Dakle, za poređenje, serija divergira zajedno sa harmonijskim nizom.
Ako malo promijenimo imenilac: , tada će prvi dio obrazloženja biti sličan: . Ali da bi se dokazala divergencija serije, već je primjenjiv samo granični test poređenja, budući da je nejednakost pogrešna.
Situacija sa konvergirajućim nizovima je „ogledala“, odnosno, na primjer, za niz se mogu koristiti oba kriterija poređenja (nejednakost je tačna), a za niz samo granični kriterij (nejednakost je netačna).
Safari nastavljamo kroz divljinu, gdje se krdo gracioznih i sočnih antilopa naziralo na horizontu:
Primjer 7
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: ispunjen je neophodan kriterijum konvergencije i ponovo postavljamo klasično pitanje: šta učiniti? Pred nama je nešto što nalikuje konvergentnom nizu, međutim, ovdje nema jasnog pravila - takve asocijacije su često varljive.
Često, ali ne ovaj put. Korišćenjem Kriterijum graničnog poređenja Uporedimo naš niz sa konvergentnim redom. Prilikom izračunavanja granice koristimo se divna granica , gdje kao infinitezimal stoji:
konvergira zajedno sa pored .
Umjesto korištenja standardne umjetne tehnike množenja i dijeljenja sa "trojkom", bilo je moguće u početku uporediti sa konvergentnim nizom.
Ali ovdje je poželjno upozorenje da konstantni množitelj opšteg pojma ne utiče na konvergenciju niza. I upravo u ovom stilu osmišljeno je rješenje sljedećeg primjera:
Primjer 8
Istražite konvergenciju niza
Uzorak na kraju lekcije.
Primjer 9
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: u prethodnim primjerima koristili smo ograničenost sinusa, ali sada ovo svojstvo nije u igri. Imenilac razlomka većeg redosled rasta nego brojilac, pa kada je sinusni argument i cijeli zajednički pojam beskrajno mali. Neophodan uslov za konvergenciju, kao što razumete, je zadovoljen, što nam ne dozvoljava da se klonimo posla.
Mi ćemo izvršiti izviđanje: u skladu sa izuzetna ekvivalentnost , mentalno odbacite sinus i dobijete seriju. Pa tako nešto….
Donošenje odluke:
Uporedimo niz koji se proučava sa divergentnim nizom. Koristimo kriterijum poređenja ograničenja:
Zamijenimo infinitezimalnu s ekvivalentnom: for .
Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava divergira zajedno sa harmonijskim nizom.
Primjer 10
Istražite konvergenciju niza
Ovo je "uradi sam" primjer.
Za planiranje daljnjih radnji u ovakvim primjerima mnogo pomaže mentalno odbacivanje sinusa, arksinusa, tangenta, arktangensa. Ali zapamtite, ova mogućnost postoji samo kada infinitezimal argument, ne tako davno sam naišao na provokativnu seriju:
Primjer 11
Istražite konvergenciju niza
.
Rješenje: ovdje je beskorisno koristiti ograničenost tangente luka, a ni ekvivalencija ne funkcionira. Izlaz je iznenađujuće jednostavan:
Study Series divergira, budući da nužni kriterijum za konvergenciju niza nije zadovoljen.
Drugi razlog"Gag on the job" se sastoji u pristojnoj sofisticiranosti običnog člana, što uzrokuje poteškoće tehničke prirode. Grubo govoreći, ako gore navedene serije spadaju u kategoriju „cifre koje pogađate“, onda ove spadaju u kategoriju „vi odlučujete“. Zapravo, ovo se zove složenost u "uobičajenom" smislu. Neće svi ispravno riješiti nekoliko faktorijala, stupnjeva, korijena i drugih stanovnika savane. Naravno, faktorijali uzrokuju najviše problema:
Primjer 12
Istražite konvergenciju niza
Kako podići faktorijel na stepen? Lako. Prema pravilu operacija sa potencijama, potrebno je svaki faktor proizvoda podići na stepen:
I, naravno, pažnja i još jednom pažnja, sam d'Alembertov znak radi tradicionalno:
Dakle, serija koja se proučava konvergira.
Podsjećam vas na racionalnu tehniku za otklanjanje neizvjesnosti: kada je jasno redosled rasta brojnik i nazivnik - uopće nije potrebno trpjeti i otvarati zagrade.
Primjer 13
Istražite konvergenciju niza
Zvijer je vrlo rijetka, ali je pronađena i bilo bi nepravedno zaobići je objektivom kamere.
Šta je faktorijel dvostrukog uskličnika? Faktorijal "navija" proizvod pozitivnih parnih brojeva:
Slično, faktorijel "navija" proizvod pozitivnih neparnih brojeva:
Analizirajte u čemu je razlika između
Primjer 14
Istražite konvergenciju niza
I u ovom zadatku pokušajte da se ne zbunite sa stepenima, divne ekvivalentnosti i divne granice.
Primjeri rješenja i odgovora na kraju lekcije.
Ali učenik može hraniti ne samo tigrove - lukavi leopardi također pronalaze svoj plijen:
Primjer 15
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: nužni kriterij konvergencije, granični kriterij, d'Alembert i Cauchy kriterij nestaju gotovo trenutno. Ali što je najgore, karakteristika s nejednakostima, koja nas je više puta spašavala, je nemoćna. Zaista, poređenje sa divergentnim nizom je nemoguće, jer postoji nejednakost netačno - množitelj-logaritam samo povećava nazivnik, smanjujući sam razlomak u odnosu na razlomak. I još jedno globalno pitanje: zašto smo u početku sigurni da je naša serija mora divergirati i mora se uporediti s nekim divergentnim nizovima? Da li se on uopšte uklapa?
Integralna karakteristika? Nepravilan integral izaziva tugaljivo raspoloženje. Sad, kad bismo se posvađali … onda da. Stani! Tako se rađaju ideje. Odluku donosimo u dva koraka:
1) Prvo, proučavamo konvergenciju serije . Koristimo integralna karakteristika:
Integrand kontinuirano na
Dakle, broj divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.
2) Uporedite naš niz sa divergentnim nizom . Koristimo kriterijum poređenja ograničenja:
Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava divergira zajedno sa rame uz rame .
I u takvoj odluci nema ničeg neobičnog ili kreativnog – tako treba odlučiti!
Predlažem da samostalno izradim sljedeća dva poteza:
Primjer 16
Istražite konvergenciju niza
Učenik s nekim iskustvom u većini slučajeva odmah vidi da li se serija konvergira ili razilazi, ali se dešava da se grabežljivac pametno prerušava u grmlju:
Primjer 17
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: na prvi pogled uopšte nije jasno kako se ova serija ponaša. A ako imamo maglu ispred sebe, onda je logično da počnemo s grubom provjerom potrebnog uslova za konvergenciju niza. Kako bismo eliminirali neizvjesnost, koristimo nepotopiv metoda množenja i dijeljenja spojnim izrazom:
Neophodan znak konvergencije nije uspio, ali je izveo našeg tambovskog druga na svjetlo dana. Kao rezultat izvršenih transformacija dobijen je ekvivalentan niz , što zauzvrat jako liči na konvergentni niz .
Pišemo čisto rješenje:
Uporedite ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo kriterijum poređenja ograničenja:
Pomnožite i podijelite spojenim izrazom:
Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .
Možda neki imaju pitanje odakle su vukovi došli na našem afričkom safariju? Ne znam. Verovatno su ga doneli. Dobićete sledeći trofejni skin:
Primjer 18
Istražite konvergenciju niza
Primjer rješenja na kraju lekcije
I, na kraju, još jedna misao koja mnoge studente posjećuje u očaju: umjesto da li koristiti rjeđi kriterij za konvergenciju niza? Znak Raabe, znak Abel, znak Gauss, znak Dirichlet i druge nepoznate životinje. Ideja funkcionira, ali se u stvarnim primjerima vrlo rijetko implementira. Lično sam za sve godine prakse pribjegao svega 2-3 puta znak Raabe kada ništa nije pomoglo od standardnog arsenala. Prenosim tijek moje ekstremne potrage u cijelosti:
Primjer 19
Istražite konvergenciju niza
Rješenje: Bez ikakve sumnje znak d'Alamberta. U toku proračuna aktivno koristim svojstva stupnjeva, kao i druga divna granica:
Evo jednog za tebe. D'Alembertov znak nije dao odgovor, iako ništa nije nagovještavalo takav ishod.
Nakon što sam prošao kroz priručnik, pronašao sam malo poznatu granicu dokazanu u teoriji i primijenio jači radikalni Cauchyjev kriterij:
Evo dva za tebe. I, što je najvažnije, uopće nije jasno da li se serija konvergira ili razilazi (za mene izuzetno rijetka situacija). Neophodan znak poređenja? Bez mnogo nade - čak i ako na nezamisliv način odgonetnem redosled rasta brojioca i nazivnika, to još uvek ne garantuje nagradu.
Kompletan d'Alembert, ali najgore je što seriju treba riješiti. Need. Na kraju krajeva, ovo će biti prvi put da odustanem. A onda sam se sjetio da su izgleda bili neki snažniji znakovi. Prije mene više nije bio vuk, ni leopard ni tigar. Bio je to ogroman slon koji maše velikom surlom. Morao sam uzeti bacač granata:
Raabeov znak
Zamislite niz pozitivnih brojeva.
Ako postoji granica , zatim:
a) Za redom divergira. Štaviše, rezultirajuća vrijednost može biti nula ili negativna.
b) Za redom konvergira. Konkretno, serija konvergira za .
c) Kada Raabeov znak ne daje odgovor.
Sastavljamo granicu i pažljivo pojednostavljujemo razlomak:
Da, slika je, blago rečeno, neprijatna, ali više nisam bio iznenađen. lopitalna pravila, a prva pomisao, kako se kasnije ispostavilo, pokazala se tačnom. Ali prvo sam oko sat vremena okretao i okretao granicu „uobičajenim“ metodama, ali neizvjesnost se nije htjela otkloniti. A hodanje u krugu, kako iskustvo govori, tipičan je znak da je odabran pogrešan način rješavanja.
Morao sam se obratiti ruskoj narodnoj mudrosti: "Ako ništa ne pomaže, pročitajte upute." I kada sam otvorio 2. tom Fihtenholca, na svoju veliku radost pronašao sam studiju identične serije. A onda je rješenje krenulo prema modelu.
1. Kompleksni brojevi. Kompleksni brojevi zvani brojevi forme x+iy, gdje X i y - realni brojevi, i-imaginarna jedinica, definisane jednakošću i 2 =-1. Realni brojevi X i at nazivaju se respektivno validan i imaginarne dijelove kompleksni broj z. Za njih se uvodi oznaka: x=Rez; y=imz.
Geometrijski, svaki kompleksni broj z=x+iy predstavljeno tačkom M (x; y) koordinatna ravan xOy(Sl. 26). U ovom slučaju avion hoy naziva se kompleksna brojevna ravan, ili ravan kompleksne varijable z.
Polarne koordinate r i φ bodova M, koji je slika kompleksnog broja z, nazivaju se modul i argument kompleksni broj z; za njih se uvodi notacija: r=|z|, φ=Argz.
Budući da svakoj tački ravni odgovara beskonačan broj vrijednosti polarnog ugla, koje se međusobno razlikuju za 2kπ (k je pozitivan ili negativan cijeli broj), Arg je z-beskonačna funkcija z.
Ono od vrijednosti polarnog ugla φ , što zadovoljava nejednakost –π< φ ≤ π se pozivaju glavni značaj argument z i označimo arg z.
U nastavku, oznaka φ sačuvajte samo za glavnu vrijednost argumenta z , one. stavimo φ =argz, pri čemu za sve ostale vrijednosti argumenta z dobijamo jednakost
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Relacije između modula i argumenta kompleksnog broja z i njegovih realnih i imaginarnih dijelova utvrđuju se formulama
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argument z može se odrediti i formulom
arg z = arctg (y / x) + C,
gdje OD= 0 at x > 0, OD= +π za x<0, at> 0; C \u003d - π at x < 0, at< 0.
Zamjena x i at u zapisu kompleksnih brojeva z = x+iy kroz njihove izraze r i φ , dobijamo tzv trigonometrijski oblik kompleksnog broja:
Kompleksni brojevi z 1 \u003d x 1 + iy 1 i z 2 \u003d x 2 + iy 2 razmatrano jednaka ako i samo ako su njihovi stvarni i imaginarni dijelovi odvojeno jednaki:
z1 = z2, ako x 1 = x 2, y 1 = y 2 .
Za brojeve date u trigonometrijskom obliku, jednakost se ostvaruje ako su moduli ovih brojeva jednaki, a argumenti se razlikuju za cjelobrojni višekratnik od 2π:
z 1 = z 2, ako |z 1 | = |z 2 | i Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
Dva kompleksna broja z = x+iy i z = x -iy sa jednakim realnim i suprotnim imaginarnim dijelovima nazivaju se konjugirani. Za konjugirane kompleksne brojeve, relacije
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(poslednja jednakost se može dati u obliku Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Operacije nad kompleksnim brojevima definirane su sljedećim pravilima.
Dodatak. Ako a z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, onda
Sabiranje kompleksnih brojeva poštuje komutativne i asocijativne zakone:
Oduzimanje. Ako a , onda
Za geometrijsko objašnjenje sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva, korisno je predstaviti ih ne kao tačke na ravni z, i vektori: broj z = x + iy predstavljen vektorom ima početak u tački O ("nulta" tačka ravni - ishodište koordinata) i kraj u tački M(x; y). Zatim se vrši sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva po pravilu sabiranja i oduzimanja vektora (slika 27).
Takva geometrijska interpretacija operacija sabiranja i oduzimanja vektora olakšava uspostavljanje teorema o modulu zbira i razlike dva i sumi nekoliko kompleksnih brojeva, izraženih nejednačinama:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Osim toga, korisno je to zapamtiti modul razlike dva kompleksna broja z1 i z2 jednaka je udaljenosti između tačaka koje su njihove slike na z ravnini:| |z 1 -z 2 |=d(z 1,z 2) .
Množenje. Ako a z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. onda
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Dakle, kompleksni brojevi se množe kao binomi, pri čemu je i 2 zamijenjen sa -1.
Ako onda
Na ovaj način, modul proizvoda jednak je umnošku modula somnoektela, a argument proizvoda-zbir argumenata faktora. Množenje kompleksnih brojeva pokorava se komutativnim, asocijativnim i distributivnim (u odnosu na sabiranje) zakonima:
Division. Da biste pronašli količnik dva kompleksna broja data u algebarskom obliku, dividendu i djelitelj treba pomnožiti brojem konjugiranim s djeliteljem:
" Ako a dato u trigonometrijskom obliku, dakle
Na ovaj način, modul količnika jednak je količniku modula deljenice i delioca, a argument privatni jednaka je razlici između argumenata dividende i djelitelja.
Eksponencijacija. Ako je z= , onda po Newton binomskoj formuli imamo
(P je pozitivan cijeli broj); u rezultirajućem izrazu potrebno je zamijeniti stupnjeve i njihova značenja:
i 2 \u003d -1; i 3 =i; i 4 =1; i 5 =1,…
i općenito,
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Ako onda
(ovdje P može biti ili pozitivan cijeli broj ili negativan cijeli broj).
posebno,
(De Moivreova formula).
Ekstrakcija korijena. Ako a P je pozitivan cijeli broj, zatim n-ti korijen kompleksnog broja z ima n različitih vrijednosti, koje se nalaze po formuli
gdje je k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Pronađite (z 1 z 2)/z 3 ako z1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
broj z= 2 + 5i.
∆ Pronađite modul kompleksnog broja: . Pronađite glavnu vrijednost argumenta: . Stoga, ▲
439.
Predstavite u trigonometrijskom obliku kompleks
broj
∆ Find , ; , , tj.
440.
Predstavljen u trigonometrijskom obliku kompleksa
brojevi 1, i, -1, -i.
441.
Predstavljajte brojeve ,
,
u trigonometrijskom obliku, a zatim pronaći kompleksni broj
z 1 /(z 2 z 3).
∆ Find
shodno tome,
442. Pronađite sve vrijednosti.
∆ Kompleksni broj zapisujemo u trigonometrijskom obliku. Imamo , , . shodno tome,
Posljedično, , ,
443. Riješite binarnu jednačinu ω 5 + 32i = 0.
∆ Prepišimo jednačinu u obliku ω 5 + 32i = 0. Broj -32i predstavljaju u trigonometrijskom obliku:
Ako a k = 0 zatim (A).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Korijeni jednadžbe sa dva člana odgovaraju vrhovima pravilnog petougla upisanog u krug polumjera R=2 centriran u nultu (slika 28).
Općenito, korijeni jednadžbe s dva člana ω n \u003d a, gdje a-kompleksni broj, odgovaraju vrhovima regularnog n-ugao upisan u krug sa centrom u početku i poluprečnikom jednakim ▲
444. Koristeći De Moivreovu formulu, izrazite cos5φ i sin5 φ kroz cosφ i sinφ.
∆ Transformiramo lijevu stranu jednakosti prema Newton binomskoj formuli:
Ostaje da izjednačimo stvarni i imaginarni dio jednakosti:
445. Dat je kompleksan broj z=2-2i. Nađi Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Izračunajte izraz koristeći Moivreovu formulu (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Izračunajte koristeći De Moivreovu formulu.
449. Izrazite kompleksni broj u trigonometrijskom obliku
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. Procijenite izraz (2 + 3i) 3 .
451. Procijenite izraz
452. Procijenite izraz
453. Izrazite kompleksni broj u trigonometrijskom obliku 5-3i.
454. Izrazite kompleksni broj u trigonometrijskom obliku -1 + i.
455. Procijenite izraz
456. Procijenite izraz prethodno predstavivši faktore u brojniku i nazivniku u trigonometrijskom obliku.
457. Pronađite sve vrijednosti
458. Riješite binarnu jednačinu
459. express cos4φ i sin4φ kroz cosφ i sinφ.
460. Pokažite da je udaljenost između tačaka z1 i z2 jednako | z2-z1|.
∆ Imamo z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 -y 1), gdje
one. | z2-z1| jednaka je udaljenosti između datih tačaka. ▲
461. Koja je linija opisana točkom z, zadovoljavajući jednačinu gdje With-konstantni kompleksni broj, i R>0?
462.
Koje je geometrijsko značenje nejednačina: 1) | z-c|
463. Koje je geometrijsko značenje nejednačina: 1) Rez > 0; 2) im z< 0 ?
2. Serija sa složenim pojmovima. Razmotrimo niz kompleksnih brojeva z 1 , z 2 , z 3 , ..., gdje z p = x p + iy p (n = 1, 2, 3, ...). konstantan broj c = a + bi pozvao limit sekvence z 1 , z 2 , z 3 , ..., ako je za bilo koji proizvoljno mali broj δ>0 postoji broj N, Koje je značenje z str sa brojevima n > N zadovoljiti nejednakost \z n-sa\< δ . U ovom slučaju napišite .
Neophodan i dovoljan uslov za postojanje granice niza kompleksnih brojeva je sledeći: broj c=a+bi je granica niza kompleksnih brojeva x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... ako i samo ako , .
(1)
čiji su članovi kompleksni brojevi naziva se konvergirajući, ako nth parcijalni zbir serije S n for n → ∞ teži određenoj krajnjoj granici. Inače, poziva se serija (1). divergentan.
Niz (1) konvergira ako i samo ako konvergiraju redovi sa realnim članovima
(2) Istražiti konvergenciju niza Ovaj niz, čiji članovi čine beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, konvergira; dakle, dati niz sa kompleksnim članovima apsolutno konvergira. ^
474. Pronađite područje konvergencije niza
Postojanje koncepta granice niza (1.5) omogućava nam da razmatramo nizove u kompleksnom domenu (i numeričkom i funkcionalnom). Standardno su definisani parcijalni zbroji, apsolutna i uslovna konvergencija numeričkih nizova. Gde konvergencija niza implicira konvergenciju dva niza, od kojih se jedan sastoji od stvarnih, a drugi od imaginarnih dijelova članova niza: Na primjer, niz se apsolutno konvergira, a niz − divergira (zbog imaginarnog dijela).
Ako se stvarni i imaginarni dijelovi niza apsolutno konvergiraju, onda je
red, jer . Vrijedi i obrnuto: od apsolutne konvergencije kompleksnog niza
apsolutna konvergencija realnog i imaginarnog dijela slijedi:
Slično kao funkcionalni nizovi u realnom domenu, složeni
funkcionalne serije, područje njihove tačkaste i uniformne konvergencije. Bez promene
formulisano i dokazano Weierstrass sign uniformna konvergencija. su sačuvani
sva svojstva uniformno konvergentnih redova.
U proučavanju funkcionalnih serija od posebnog su interesa moć
činovi: , ili nakon zamjene : . Kao iu slučaju stvarne
promenljivo, tačno abel teorem : ako (poslednji) red stepena konvergira u tački ζ 0 ≠ 0, tada konvergira, i to apsolutno, za bilo koji ζ koji zadovoljava nejednakost
Na ovaj način, regija konvergencije D ovo niz stepena je krug poluprečnika R sa centrom u početku, gdje R − radijus konvergencije − tačna gornja granica vrijednosti (odakle potiče ovaj termin). Originalni redovi snaga će se zauzvrat konvergirati u krug radijusa R sa centrom u z 0 . Štaviše, u bilo kojem zatvorenom krugu, redovi snaga konvergiraju apsolutno i uniformno (posljednja izjava odmah slijedi iz Weierstrassovog testa (vidi kurs „Serija”)).
Primjer . Naći krug konvergencije i ispitati konvergenciju u tt. z 1 i z 2 power series Rješenje. područje konvergencije − krug radijusa R= 2 sa centrom u t. z 0 = 1 − 2i . z 1 leži izvan kruga konvergencije i red se divergira. Na , tj. tačka leži na granici kruga konvergencije. Zamjenjujući ga u originalnu seriju, zaključujemo:
− red konvergira uslovno prema Leibniz testu.
Ako se u svim graničnim točkama niz apsolutno konvergira ili divergira prema potrebnom kriteriju, onda se to može odmah utvrditi za cijelu granicu. Da biste to učinili, zamijenite ih u nizu
iz modula vrijednosti termina R umjesto izraza i ispitati rezultirajuću seriju.
Primjer. Razmotrite niz iz posljednjeg primjera, mijenjajući jedan faktor:
Područje konvergencije serije ostaje isto: Zamjena u nizu modula
rezultujući radijus konvergencije:
Ako zbir serije označimo sa f(z), tj. f(z) = (naravno, in
oblast konvergencije), onda se ovaj niz naziva blizu Taylor funkcije f(z) ili proširenje funkcije f(z) u Taylor seriji. U posebnom slučaju, za z 0 = 0, niz se zove blizu Maclaurina funkcije f(z) .
1.7 Definicija osnovnih elementarnih funkcija. Ojlerova formula.
Razmotrimo niz stepena If z je realna varijabla, onda predstavlja
je proširenje funkcije u Maclaurinov red i, prema tome, zadovoljava
karakteristično svojstvo eksponencijalne funkcije: , tj. . Ovo je osnova za određivanje eksponencijalna funkcija u zoni kompleksa:
Definicija 1. .
Funkcije su definirane slično
Definicija 2.
Sve tri serije konvergiraju apsolutno i uniformno u bilo kojoj ograničenoj zatvorenoj oblasti kompleksne ravni.
Iz tri dobivene formule izvodi se jednostavna zamjena Ojlerova formula:
Odavde odmah slijedi demonstracija zapis kompleksnih brojeva:
Ojlerova formula uspostavlja vezu između obične i hiperboličke trigonometrije.
Razmotrimo, na primjer, funkciju: Ostali odnosi se dobijaju na sličan način. dakle:
Primjeri. Predstavite ove izraze u obliku
2. (izraz u zagradama je broj i , napisano u eksponencijalnom obliku)
4. Pronađite linearno nezavisna rješenja linearnog DE 2. reda:
Korijeni karakteristične jednadžbe su:
Pošto tražimo realna rješenja jednadžbe, možemo uzeti funkcije
Definirajmo, u zaključku, logaritamsku funkciju kompleksne varijable. Kao iu realnom domenu, smatraćemo ga inverznim od eksponencijalnog. Radi jednostavnosti, razmatramo samo eksponencijalnu funkciju, tj. riješiti jednačinu za w, koju nazivamo logaritamskom funkcijom. Da bismo to učinili, uzimamo logaritam jednačine, predstavljajući z u eksponencijalnom obliku:
Ako umjesto arg z napisati Arg z(1.2), tada dobijamo funkciju beskonačne vrijednosti
1.8 Derivat od FKP. Analitičke funkcije. Cauchy-Riemann uslovi.
Neka w = f(z) je jednoznačna funkcija definirana u domeni.
Definicija 1. derivat od funkcije f (z) u tački se naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada potonji teži nuli:
Funkcija koja ima derivaciju u tački z, zove se diferencibilan na ovom mjestu.
Očigledno, sva aritmetička svojstva izvoda su zadovoljena.
Primjer .
Koristeći Newtonovu binomnu formulu, slično se zaključuje
Redovi za eksponent, sinus i kosinus zadovoljavaju sve uslove za diferencijaciju po članu. Direktnom provjerom lako je dobiti da:
Komentar. Iako se definicija derivata FKP formalno u potpunosti poklapa sa definicijom za FDP, ona je, u suštini, složenija (vidi napomenu u odjeljku 1.5).
Definicija 2. Funkcija f(z) , kontinuirano diferencibilan u svim tačkama domene G, zove se analitički ili redovno u ovoj regiji.
Teorema 1 . Ako je funkcija f (z) diferencibilan u svim tačkama domene G, onda je to analitičko u ovoj oblasti. (b/d)
Komentar. U stvari, ova teorema uspostavlja ekvivalenciju pravilnosti i diferencijabilnosti FKP na domenima.
Teorema 2. Funkcija koja je diferencibilna u nekoj domeni ima beskonačno mnogo izvoda u toj domeni. (b/d. U nastavku (u Odjeljku 2.4) ova tvrdnja će biti dokazana pod određenim dodatnim pretpostavkama)
Funkciju predstavljamo kao zbir realnog i imaginarnog dijela: Teorema 3. ( Cauchy − Riemann uvjeti). Neka funkcija f (z) se može razlikovati u nekom trenutku. Zatim funkcije u(x,y) i v(x,y) imaju parcijalne derivate u ovoj tački, i
I zvao Cauchy-Riemann uslovi .
Dokaz . Budući da vrijednost derivata ne zavisi od načina na koji količina teži
Do nule biramo sljedeći put: Dobijamo:
Slično, kada imamo: , što dokazuje teoremu.
Vrijedi i obrnuto:
Teorema 4. Ako funkcije u (x,y) i v(x,y) imaju kontinuirane parcijalne derivacije u nekoj tački koje zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uslove, a zatim i sama funkcija f(z) je diferencibilan u ovom trenutku. (b/d)
Teoreme 1 – 4 pokazuju fundamentalnu razliku između FKP i FDP.
Teorema 3 vam omogućava da izračunate derivaciju funkcije koristeći bilo koju od sljedećih formula:
Istovremeno, može se razmotriti X i at proizvoljni kompleksni brojevi i izračunajte izvod koristeći formule:
Primjeri. Provjerite ispravnost funkcije. Ako je funkcija regularna, izračunajte njen izvod.
definicija: Brojevne serije kompleksnih brojeva z 1, z 2, …, z n , … naziva se izrazom forme
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
gdje se z n naziva zajedničkim članom niza.
definicija: Broj S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n naziva se parcijalni zbir serije.
definicija: Niz (1) se naziva konvergentnim ako niz (S n ) njegovih parcijalnih suma konvergira. Ako se niz parcijalnih suma divergira, tada se niz naziva divergentnim.
Ako se niz konvergira, tada se broj S = naziva zbirom niza (3.1).
z n = x n + iy n,
tada se serija (1) zapisuje kao
= + .
Teorema: Niz (1) konvergira ako i samo ako konvergiraju nizovi i , sastavljeni od realnih i imaginarnih dijelova članova reda (3.1).
Ova teorema nam omogućava da prebacimo kriterijume konvergencije pored realnih članova u nizove sa složenim članovima (neophodni kriterijum, kriterijum poređenja, d'Alembertov, Cauchyjev kriterijum, itd.).
Definicija. Niz (1) se naziva apsolutno konvergentnim ako konvergira niz koji se sastoji od modula njegovih članova.
Teorema. Za apsolutnu konvergenciju niza (3.1) potrebno je i dovoljno da red i apsolutno konvergiraju.
Primjer 3.1. Saznajte prirodu konvergencije niza
Rješenje.
Razmotrite seriju
Pokažimo da se ovi nizovi apsolutno konvergiraju. Da bismo to učinili, dokazujemo da je serija
Konvergirajte.
Budući da , umjesto reda, uzimamo red. Ako se posljednji niz konvergira, tada se i niz konvergira poređenjem.
Konvergencija reda i dokazuje se uz pomoć integralnog testa.
To znači da niz i konvergiraju apsolutno i, prema posljednjoj teoremi, originalni niz apsolutno konvergira.
4. Potencijalni redovi sa složenim članovima. Abelov teorem potencijskog reda. Krug i radijus konvergencije.
Definicija. Potencijski niz je niz oblika
gdje su …, kompleksni brojevi, koji se nazivaju koeficijenti serije.
Područje konvergencije serije (4.I) je kružnica .
Da bi se pronašao radijus konvergencije R danog niza koji sadrži sve potencije, koristi se jedna od formula:
Ako niz (4.1) ne sadrži sve potencije od , tada da bi ga pronašli, potrebno je direktno koristiti d'Alembertov ili Cauchyjev test.
Primjer 4.1. Pronađite krug konvergencije niza:
Rješenje:
a) Da bismo pronašli radijus konvergencije ovog niza, koristimo formulu
U našem slučaju
Dakle, krug konvergencije niza je dan nejednakošću
b) Da bismo pronašli radijus konvergencije reda, koristimo d'Alembertov test.
Za izračunavanje granice dva puta je korišteno L'Hopitalovo pravilo.
Prema d'Alembertovom testu, niz će konvergirati ako . Stoga imamo krug konvergencije serije .
5. Eksponencijalne i trigonometrijske funkcije kompleksne varijable.
6. Ojlerova teorema. Eulerove formule. Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.
7. Teorema sabiranja. Periodičnost eksponencijalne funkcije.
Eksponencijalna funkcija i trigonometrijske funkcije i definiraju se kao zbroji odgovarajućih nizova stepena, i to:
Ove funkcije su povezane Ojlerovim formulama:
koji se nazivaju hiperbolički kosinus i sinus, povezani su sa trigonometrijskim kosinusom i sinusom po formulama
Funkcije , , , definirane su kao u stvarnoj analizi.
Za sve kompleksne brojeve i teorema sabiranja vrijedi:
Bilo koji kompleksni broj može se napisati u eksponencijalnom obliku:
je njegov argument.
Primjer 5.1. Nađi
Rješenje.
Primjer 5.2. Izrazite broj u eksponencijalnom obliku.
Rješenje.
Pronađite modul i argument ovog broja:
Onda dobijamo
8. Granica, kontinuitet i uniformni kontinuitet funkcija kompleksne varijable.
Neka E je neki skup tačaka u kompleksnoj ravni.
Definicija. Kažu to na setu E funkcija je data f kompleksna varijabla z, ako svaki poen z E po pravilu f dodjeljuje se jedan ili više kompleksnih brojeva w(u prvom slučaju funkcija se naziva jednoznačna, u drugom - višeznačna). Označite w = f(z). E je domen definicije funkcije.
bilo koju funkciju w = f(z) (z = x + iy) može se napisati u formi
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) naziva se realni dio funkcije, i V(x, y) = Imf(z) je imaginarni dio funkcije f(z).
Definicija. Neka funkcija w = f(z) je definiran i jedinstven u nekom susjedstvu tačke z 0 , isključujući, možda, samu stvar z0. Broj A naziva se granica funkcije f(z) u tački z0, ako postoji ε > 0, može se specificirati broj δ > 0 takav da za sve z = z0 i zadovoljavanje nejednakosti |z – z 0 |< δ , nejednakost | f(z) – A|< ε.
zapiši
Iz definicije proizilazi da z→z0 proizvoljno.
Teorema. Za postojanje limita funkcije w = f(z) u tački z 0 = x 0 + iy 0 neophodno je i dovoljno da granice funkcije U(x, y) i V(x, y) u tački (x0, y0).
Definicija. Neka funkcija w = f(z) je definiran i jedinstven u nekom susjedstvu tačke z 0 , uključujući i samu tačku. Funkcija f(z) naziva se kontinuiranim u tački z 0 ako
Teorema. Za kontinuitet funkcije u tački z 0 = x 0 + iy 0 neophodno je i dovoljno da funkcije U(x, y) i V(x, y) u tački (x0, y0).
Iz teorema slijedi da se najjednostavnija svojstva vezana za ograničenost i kontinuitet funkcija realnih varijabli prenose na funkcije kompleksne varijable.
Primjer 7.1. Odvojite stvarne i imaginarne dijelove funkcije.
Rješenje.
U formuli koja definira funkciju vršimo zamjenu
Na nulu u dva različita smjera, funkcija U(x, y) ima različite granice. To znači da u trenutku z = 0 funkcija f(z) nema ograničenja. Dalje, funkcija f(z) definisan u tačkama gde .
Neka z 0 = x 0 + iy 0, jedna od ovih tačaka.
To znači da na tačkama z = x + iy at y 0 funkcija je kontinuirana.
9. Nizovi i nizovi funkcija kompleksne varijable. Uniformna konvergencija. Kontinuitet niza snaga.
Definicija konvergentnog niza i konvergentnog niza funkcija kompleksne varijable uniformne konvergencije, koje odgovaraju teoriji jednake konvergencije, kontinuitet granice niza, suma niza formiraju se i dokazuju na potpuno isti način što se tiče nizova i nizova funkcija realne varijable.
Izložimo činjenice potrebne za ono što slijedi u vezi s funkcionalnim nizovima.
Pustite u okolinu D definiran je niz jednovrijednih funkcija kompleksne varijable (fn (z)). Zatim simbol:
pozvao funkcionalni raspon.
Ako a z0 pripada D popravljeno, pa serija (1) bit će numerički.
Definicija. Funkcionalni raspon (1) se u regionu naziva konvergentnim D, ako postoji z u vlasništvu D, niz brojeva koji mu odgovara konvergira.
Ako je red (1) konvergira u regionu D, tada se u ovoj regiji može definirati jednoznačna funkcija f(z), čija vrijednost u svakoj tački z u vlasništvu D jednak je zbiru odgovarajućeg niza brojeva. Ova funkcija se zove zbir serije (1) u oblasti D .
Definicija. Ako a
za bilo koga z u vlasništvu D, vrijedi sljedeća nejednakost:
zatim red (1) naziva se uniformno konvergentnim u regionu D.
Serija sa složenim pojmovima.
19.3.1. Numerički nizovi sa složenim pojmovima. Sve osnovne definicije konvergencije, svojstva konvergentnih redova, kriterijumi konvergencije za kompleksne redove ni na koji način se ne razlikuju od realnog slučaja.
19.3.1.1. Osnovne definicije. Neka je dat beskonačan niz kompleksnih brojeva. Pravi dio broja će biti označen sa , a imaginarni - (tj.
Brojne serije- pogledajte zapis .
Djelomične sume serije:
Definicija. Ako postoji granica S nizovi parcijalnih suma niza sa , što je pravi kompleksni broj, tada se kaže da niz konvergira; broj S zove zbir niza i piše ili .
Pronađite stvarne i imaginarne dijelove parcijalnog zbroja: , gdje simboli i označavaju stvarne i imaginarne dijelove parcijalnog zbira. Numerički niz konvergira ako i samo ako se konvergiraju nizovi sastavljeni od njegovih stvarnih i imaginarnih dijelova. Dakle, niz sa složenim članovima konvergira ako i samo ako konvergiraju nizovi formirani od njegovih stvarnih i imaginarnih dijelova.
Primjer.
19.3.1.2. Apsolutna konvergencija.
Definicija. Red se zove apsolutno konvergentno ako se niz konvergira , sastavljen od apsolutnih vrijednosti svojih članova.
Baš kao i za numeričke realne nizove sa proizvoljnim članovima, može se dokazati da ako red konvergira, onda i red nužno konvergira. Ako se niz konvergira, a niz divergira, tada se kaže da je niz uslovno konvergentan.
Niz je niz sa nenegativnim članovima, pa se za proučavanje njegove konvergencije mogu koristiti sve poznate karakteristike (od teorema poređenja do Cauchyjevog integralnog testa).
Primjer. Istražite niz za konvergenciju.
Napravimo niz modula (): . Ovaj niz konvergira (Cauchy test ), tako da se originalni niz apsolutno konvergira.
19.1.3.4. Svojstva konvergentnih redova. Za konvergentne nizove sa složenim članovima, sva svojstva redova sa realnim članovima su tačna:
Neophodan kriterijum za konvergenciju niza. Uobičajeni član konvergentnog niza teži nuli kao.
Ako se niz konvergira, tada konvergira bilo koji njegov ostatak. Obrnuto, ako se bilo koji ostatak niza konvergira, tada se i sam niz konvergira.
Ako se niz konvergira, onda je zbroj njegovog ostatka nakonn -ti član teži nuli u.
Ako se svi članovi konvergentnog niza pomnože istim brojem With, tada je konvergencija reda sačuvana, a zbir se množi sa With.
Konvergentni redovi ( ALI) i ( AT) može se sabirati i oduzimati pojam po član; rezultirajući niz će također konvergirati, a njegov zbir je jednak.
Ako su članovi konvergentnog niza proizvoljno grupisani i novi niz je sastavljen od zbira članova u svakom paru zagrada, tada će i ovaj novi niz konvergirati, a njegov će zbir biti jednak zbroju originalnog niza .
Ako se niz apsolutno konvergira, tada za bilo koju permutaciju njegovih članova, konvergencija je očuvana i zbir se ne mijenja.
Ako redovi ( ALI) i ( AT) apsolutno konvergiraju svom zbirui, tada njihov proizvod za proizvoljan red članova također apsolutno konvergira, a njegov zbir je jednak.
19.3.2. Serija energetskih kompleksa.
Definicija. Potencijski niz sa složenim članovima je niz oblika
gdje su konstantni kompleksni brojevi (koeficijenti serije), je fiksni kompleksni broj (centar kruga konvergencije). Za bilo koju brojčanu vrijednost z niz se pretvara u numerički niz sa složenim članovima, konvergirajućim ili divergentnim. Ako se niz konvergira u tački z , tada se ova tačka naziva tačka konvergencije serije. Potencijalni red ima barem jednu tačku konvergencije - tačku . Skup tačaka konvergencije naziva se područjem konvergencije serije.
Što se tiče redova stepena sa realnim terminima, sve značajne informacije o stepenu niza sadržane su u Abelovoj teoremi.
Abelova teorema. Ako se red stupnja konvergira u točki , tada
1. apsolutno konvergira u bilo kojoj tački kružnice ;
2. Ako se ova serija divergira na , tada se divergira u bilo kojoj tački z , zadovoljavajući nejednakost (tj. nalazi se dalje od tačke nego ).
Dokaz se doslovno ponavlja dokaz sekcije 18.2.4.2. Abelova teorema za seriju sa pravim članovima.
Abelova teorema implicira postojanje takvog nenegativnog realnog broja R , da se niz konvergira apsolutno u bilo kojoj unutrašnjoj tački kružnice poluprečnika R sa središtem na , i divergira u bilo kojoj tački izvan ovog kruga. Broj R pozvao radijus konvergencije, krug - krug konvergencije. Na tačkama granice ove kružnice - krugovi poluprečnika R centriran u tački - nizovi mogu i konvergirati i divergirati. U tim tačkama, serija modula ima oblik . Mogući su sljedeći slučajevi:
1. Serija konvergira. U ovom slučaju, niz konvergira apsolutno u bilo kojoj tački kruga.
2. Serija se razilazi, ali njen zajednički pojam . U ovom slučaju, nizovi mogu uslovno konvergirati u nekim tačkama kruga, a divergirati u drugim, tj. svaka tačka zahteva individualno proučavanje.
3. Serija divergira, a njen zajednički pojam ne teži nuli na . U ovom slučaju, niz divergira u bilo kojoj tački graničnog kruga.