Određivanje brzine figure u kretanju u ravnini. Određivanje brzine bilo koje tačke ravne figure. Složeno kretanje tačke
Proizvoljna tačka brzine M figure su definisane kao zbir brzina koje tačka prima tokom translacionog kretanja zajedno sa polom i rotacionog kretanja oko pola.
Zamislite poziciju tačke M kao (sl.1.6).
Razlikovanjem ovog izraza s obzirom na vrijeme, dobijamo:
, jer
.
Istovremeno, brzina v MA. koja tačka M dobijeno rotiranjem figure oko motke ALI, će se odrediti iz izraza
v MA=ω · MA,
gdje ω je ugaona brzina ravne figure.
Brzina bilo koje tačke M ravna figura je geometrijski sastavljena od brzine jedne tačke ALI, uzeto kao motka, i brzina, bodovi M kada se figura okreće oko pola. Modul i smjer brzine ove brzine se nalaze konstruiranjem paralelograma brzina.
Zadatak 1
Odredite brzinu tačke ALI, ako je brzina centra valjka 5m/s, kutna brzina valjka . Radijus valjka r=0,2m, kut . Klizalište se kotrlja bez klizanja.
Budući da se tijelo kreće paralelno, brzina je tačke ALI sastojat će se od brzine motke (tačke OD) i brzinu dobivenu točkom ALI prilikom rotacije oko stuba OD.
,
odgovor:
Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka tijela koje se kreće ravnoparalelno
Razmotrite neke dvije tačke ALI i AT ravna figura. Uzimam poen ALI po polu (slika 1.7), dobijamo
Dakle, projektiranje oba dijela jednakosti na osu usmjerenu duž AB, i s obzirom da je vektor okomit AB, mi nalazimo
v B· cosβ=v A· cosα+ v u A· cos90°.
jer v U A· cos90°=0 dobijamo: projekcije brzina dve tačke krutog tela na osu koja prolazi kroz ove tačke su jednake.
Zadatak 1
Kernel AB klizi niz gladak zid i gladak pod, tačkasta brzina A V A \u003d 5m / s, ugao između poda i šipke AB jednaki 30 0 . Odredite brzinu tačke AT.
Određivanje brzina tačaka ravne figure koristeći trenutni centar brzina
Prilikom određivanja brzina tačaka ravne figure kroz brzinu motke, brzina motke i brzina rotacionog kretanja oko pola mogu biti jednake po veličini i suprotnog smjera, a postoji takva tačka P, čija je brzina u datom trenutku jednaka nuli , nazovite ga trenutnim centrom brzina.
Trenutni centar brzina Naziva se tačka povezana sa ravnom figurom, čija je brzina u datom trenutku nula.
Brzine tačaka ravne figure određene su u datom trenutku vremena kao da je kretanje figure trenutno rotaciono oko ose koja prolazi kroz trenutni centar brzina (slika 1.8).
v A=ω · PA; ().
Jer v B=ω · PB; (), onda w= v B/PB=v A/PA
Brzine tačaka ravne figure proporcionalne su najkraćim udaljenostima od ovih tačaka do trenutnog centra brzina.
Dobijeni rezultati dovode do sljedećih zaključaka:
1) da bi se odredio položaj trenutnog centra brzina, potrebno je znati veličinu i smjer brzine i smjer brzine bilo koje dvije tačke ALI i AT ravna figura; trenutni centar brzine P nalazi se u tački presjeka okomica konstruiranih iz tačaka ALI i AT na brzine ovih tačaka;
2) ugaona brzina ω ravan lik u datom trenutku jednak je omjeru brzine i udaljenosti od nje do trenutnog centra R brzine: ω =v A/PA;
3) Brzina tačke u odnosu na trenutni centar brzina P pokazaće pravac ugaone brzine w.
4) Brzina tačke je direktno proporcionalna najkraćoj udaljenosti od tačke AT do trenutnog centra brzine R v A \u003d ω BP
Zadatak 1
Crank OA dugo 0.2m rotira jednoliko ugaonom brzinom ω=8 rad/s. Za klipnjaču AB u tački OD zglobna klipnjača CD. Za datu poziciju mehanizma odredite brzinu tačke D klizač ako je ugao .
Pokret u tački AT ograničen horizontalnim vodilicama, klizač se može kretati samo naprijed duž horizontalnih vodilica. Tačkasta brzina AT usmjerena u istom smjeru kao . Kako dvije tačke klipnjače imaju isti smjer brzina, tijelo vrši trenutno translatorno kretanje, a brzine svih tačaka klipnjače imaju isti smjer i vrijednost.
RAVNSKO KRETANJE KRUTOG TIJELA
Pitanja za učenje:
1. Jednačine ravninskog kretanja krutog tijela.
2. Brzina tačaka ravne figure
3. Trenutni centar brzina
4. Ubrzanja tačaka ravne figure
1. Jednačine ravninskog kretanja krutog tijela
Planarno kretanje krutog tijelanazovi tokretanje u kojem se sve tačke presjeka tijela kreću u svojoj ravni.
Neka čvrsta 1 pravi ravan pokret.
Secant avion u telu 1 formira presek P, koji se kreće u ravni sečenja .
Ako je paralelno sa ravninom izvodite druge dijelove tijela, na primjer kroz tačke
itd. leže na istoj okomici na presjeke, tada će se sve ove tačke i svi dijelovi tijela kretati na isti način.
Prema tome, kretanje tijela u ovom slučaju je u potpunosti određeno kretanjem jednog njegovog presjeka u bilo kojoj od paralelnih ravnina, a položaj presjeka određen je položajem dvije tačke ovog presjeka, npr. ALI i AT.
Položaj sekcije P u avionu Ohu odrediti poziciju segmenta AB, sprovedeno u ovoj sekciji. Položaj dvije tačke na ravni ALI(
)
i AT(
)
karakteriziraju četiri parametra (koordinate) na koje je nametnuto jedno ograničenje - jednačina komunikacije u obliku dužine segmenta AB:
Stoga se može podesiti položaj presjeka P u ravni tri nezavisna parametra - koordinate
bodovaALI
i ugao,
koji formira segment AB sa osovinom Oh. Poenta ALI, izabran za određivanje položaja sekcije P, tzv POLE.
Kada se dio tijela kreće, njegovi kinematički parametri su funkcija vremena
Jednačine su kinematičke jednačine ravnog (ravno-paralelnog) kretanja krutog tijela. Sada ćemo pokazati da, u skladu sa dobijenim jednačinama, tijelo u ravninskom kretanju vrši translacijsko i rotacijsko kretanje. Neka na Sl. dio tijela dat segmentom
u koordinatnom sistemu Ohu pomerio sa početne pozicije 1
do krajnje pozicije 2.
Pokažimo dva načina mogućeg pomjeranja tijela iz položaja 1 na poziciju 2.
Prvi način. Uzmimo tačku kao motku .Pomicanje segmenta
paralelno sa sobom, tj. progresivno, duž putanje ,prije uparivanja bodova
i . Dobivanje pozicije segmenta .
na uglu i dobijamo konačnu poziciju ravne figure, datu segmentom
.
Drugi način. Uzmimo tačku kao motku . Pomicanje segmenta
paralelno sa sobom, tj. progresivno duž putanje
prije uparivanja bodova i .Dobijamo poziciju segmenta
.
Zatim zarotirajte ovaj segment oko stupa na
ugao
i dobijamo konačnu poziciju ravne figure, datu segmentom
.
Hajde da donesemo sljedeće zaključke.
1. Ravninsko gibanje, u potpunom skladu sa jednadžbama, je kombinacija translacijskog i rotacijskog kretanja, a modelom ravninskog kretanja tijela može se smatrati translacijsko kretanje svih tačaka tijela zajedno sa polom i rotacijom tijela. telo u odnosu na stub.
2. Putanja translacionog kretanja tijela zavise od izbora pola
.
Na sl. 13.3 u razmatranom slučaju vidimo da je kod prvog načina kretanja, kada je tačka uzeta kao pol , translacijska putanja značajno razlikuje od putanje
za drugi pol AT.
3. Rotacija tela ne zavisi od izbora motke. Ugao rotacija tijela ostaje konstantna u modulu i smjeru rotacije . U oba slučaja, razmatrano na sl. 13.3, rotacija je bila u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Glavne karakteristike tijela u ravninskom kretanju su: putanja motke, ugao rotacije tijela oko stupa, brzina i ubrzanje motke, ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela. Dodatne osovine
u translatornom kretanju se kreću sa motkom ALI paralelno sa glavnim osovinama Ohu duž putanje stuba.
Brzina pola ravne figure može se odrediti pomoću vremenskih izvoda jednadžbi:
Slično, određuju se ugaone karakteristike tijela: ugaona brzina
;
ugaono ubrzanje
.
Na sl. na stubu ALI prikazane su projekcije vektora brzine na osovini Ooh, ooh Ugao rotacije tela , ugaona brzina i ugaono ubrzanje prikazano lučnim strelicama oko tačke ALI. Zbog nezavisnosti rotacionih karakteristika kretanja od izbora motke, ugaone karakteristike ,,može se prikazati u bilo kojoj tački ravne figure sa lučnim strelicama, na primjer, u tački B.
Predavanje 3. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela. Određivanje brzina i ubrzanja.
Ovo predavanje pokriva sljedeća pitanja:
1. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela.
2. Jednačine ravnoparalelnog kretanja.
3. Dekompozicija kretanja na translacijsko i rotacijsko.
4. Određivanje brzina tačaka ravne figure.
5. Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka tijela.
6. Određivanje brzina tačaka ravne figure koristeći trenutni centar brzina.
7. Rješavanje problema za određivanje brzine.
8. Plan brzine.
9. Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure.
10. Rješavanje problema ubrzanja.
11. Trenutačni centar ubrzanja.
Proučavanje ovih pitanja neophodno je u budućnosti za dinamiku ravninskog kretanja krutog tela, dinamiku relativnog kretanja materijalne tačke, za rešavanje zadataka u disciplinama "Teorija mašina i mehanizama" i "Mašinski delovi". ".
Ravnoparalelno kretanje krutog tijela. Jednačine ravnoparalelnog kretanja.
Dekompozicija kretanja na translatorno i rotaciono
Ravnoparalelno (ili ravno) je takvo kretanje krutog tijela, pri kojem se sve njegove točke kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom P(Sl. 28). Ravno gibanje izvode mnogi dijelovi mehanizama i strojeva, na primjer kotrljajući točak na ravnom dijelu kolosijeka, klipnjača u mehanizmu radilice, itd. Poseban slučaj ravnoparalelnog kretanja je rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose.
Fig.28 Sl.29
Razmotrite odeljak S tela nekog aviona Oxy, paralelno sa ravninom P(sl.29). Kod ravnoparalelnog kretanja sve tačke tela leže na pravoj liniji MM’ okomito na tok S, odnosno avioni P, kreću se identično.
Stoga zaključujemo da je za proučavanje kretanja cijelog tijela dovoljno proučiti kako se ono kreće u ravni. Ohu odjeljak S ovo tijelo ili neka ravan figura S. Stoga ćemo u budućnosti, umjesto ravnog gibanja tijela, razmatrati kretanje ravne figure S u svojoj ravni, tj. u avionu Ohu.
Položaj figure S u avionu Ohu je određen položajem nekog segmenta nacrtanog na ovoj slici AB(Sl. 28). Zauzvrat, položaj segmenta AB može se odrediti poznavanjem koordinata x A i y A bodova ALI i ugao koji je segment AB forme sa osom X. Poenta ALI odabrano da odredi položaj figure S, od sada će se zvati polom.
Prilikom pomicanja cifre veličine x A i y A i promeniće se. Poznavati zakon kretanja, odnosno položaj figure u ravni Ohu u svakom trenutku morate znati zavisnosti
Jednačine koje određuju zakon tekućeg kretanja nazivaju se jednadžbama kretanja ravne figure u njenoj ravni. One su također jednačine ravnoparalelnog kretanja krutog tijela.
Prve dvije jednačine kretanja definiraju kretanje koje bi figura napravila ako je =const; ovo će očigledno biti translatorno kretanje, u kojem se sve tačke figure kreću na isti način kao i pol ALI. Treća jednačina određuje kretanje koje bi figura napravila na i , tj. kada je stub ALI nepomičan; to će biti rotacija figure oko pola ALI. Iz ovoga možemo zaključiti da se, u opštem slučaju, kretanje ravne figure u njenoj ravni može posmatrati kao zbir translacionog kretanja, u kojem se sve tačke figure kreću na isti način kao i pol. ALI, i od rotacionog kretanja oko tog pola.
Glavne kinematičke karakteristike kretanja koje se razmatra su brzina i ubrzanje translacionog kretanja, jednako brzini i ubrzanju motke, kao i ugaona brzina i ugaona akceleracija rotacionog kretanja oko pola.
Određivanje brzina tačaka ravne figure
Primijećeno je da se kretanje ravne figure može smatrati zbrojem translacijskog kretanja, u kojem se sve točke figure kreću brzinom pola. ALI, i od rotacionog kretanja oko tog pola. Pokažimo da je brzina bilo koje tačke M figure se formiraju geometrijski od brzina koje tačka prima u svakom od ovih kretanja.
Zaista, pozicija bilo koje tačke M figure su definisane u odnosu na ose Ohu radijus vektor (slika 30), gdje je radijus vektor pola ALI, - vektor koji definira poziciju točke M o osovinama koje se kreću sa motkom ALI translatorno (kretanje figure u odnosu na ove ose je rotacija oko pola ALI). Onda
Podsjetimo da se kretanje ravne figure može smatrati zbirom translacijskog kretanja zajedno s polom i rotacijskog kretanja oko pola.
Prema ovome brzina proizvoljne tačke M ravne figure je geometrijski zbir brzine neke tačke A, uzete kao pol, i brzine koju tačka M dobija kada se figura okreće oko ovog pola, tj.
Istovremeno, brzina VMA definisana kao brzina tačke M kada se tijelo rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz tačku ALI okomito na ravan kretanja (vidi § 7.2), tj.
Dakle, ako je poznata brzina motke VA i ugaona brzina tijela w, tada
brzina bilo koje tačke M tijela određena je u skladu sa jednakošću (8.2), dijagonala paralelgrama izgrađenog na vektorima VA i VMA , kao na bočnim stranama (sl. 8.3), i modul brzine V M izračunato po formuli
gdje je y ugao između vektora VA i VMA
Problem 8.1. Točak se kotrlja po fiksnoj površini bez klizanja (slika 8.4, a). Pronađite tačke brzine To i D točkova ako je brzina poznata Vc centar C točka, radijus R točkovi, rastojanje COP = b i ugao a.
Rješenje. 1. Kretanje točka koji se razmatra je ravnoparalelno. Uzimajući tačku C kao pol (pošto je njena brzina poznata), u skladu sa opštom jednakošću (8.2), za tačku To možemo pisati
Međutim, ne postoji način da se odredi vrijednost V KC , pošto je ugaona brzina nepoznata.
Da biste odredili w, razmotrite brzinu druge tačke, odnosno tačke R dodirivanje točka na fiksnoj površini (slika 8.4, b). Za ovu tačku možemo napisati jednakost
tačka karakteristika R je činjenica da u ovom trenutku Vp - 0, pošto se točak kotrlja bez klizanja. Tada jednakost (b) poprima oblik
odakle dolazimo
Odavde proizilazi: 1) vektori brzina V PC i Vc treba biti usmjerena u suprotnim smjerovima; 2) iz jednakosti modula V PC - V c dobijamo uPC = V c , odavde nalazimo w = Vc /PC = Vc /R. Prema smjeru vektora V PC odredite smjer strelice luka w i pokažite ga na crtežu (sl. 8.4, b).
Sada se vratimo na definiciju V K po jednakosti (a). Mi nalazimo
Vks \u003d o KS - V ^ b / R. Znajući smjer kutne brzine ω, prikazujemo vektor V KC okomito na segment KS i izvršiti konstrukciju paralelograma na vektorima Vc i V KC(Sl. 8.4, in). Pošto u ovom slučaju Vc i V KC međusobno okomite, konačno nalazimo
2. Brzina tačke D na naplatku kotača određujemo iz jednakosti V D = V C + V DC . Od brojčano VDC - co R - V c , zatim paralelogram izgrađen na vektorima Vc i VDC,će biti romb. Ugao između Vc i V DC jednako 2a. Nakon definisanja V D kao dužinu odgovarajuće dijagonale romba, dobijamo
Teorema o projekcijama brzina dvije tačke krutog tijela
Prema jednakosti (8.2) za dvije_ proizvoljne tačke ALI i AT kruto tijelo jednakost V B \u003d V A + V B A, u skladu sa kojim izvodimo konstrukciju prikazanu na sl. 8.5. Projektovanje ove jednakosti na osu az, ciljano na A B dobijamo Um + VBAz. S obzirom da je vektor VBA okomito na liniju
A B nađi
Ovaj rezultat izražava teoremu: projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na osu koja prolazi kroz ove tačke jednake su jedna drugoj.
Napominjemo da jednakost (8.5) matematički odražava činjenicu da se tijelo smatra apsolutno krutim i udaljenost između tačaka ALI i AT se ne mijenja. Zbog toga jednakost (8.5) je zadovoljena ne samo za ravan paralelne, već i za ravan paralelne za bilo koje kretanje krutog tijela.
Problem 8.2. Creepers ALI i AT, spojeni šipkom sa šarkama na krajevima, pomiču se duž međusobno okomitih vodilica u ravnini crteža (slika 8.6, a). Odrediti pod datim uglom a brzinu tačke AT, ako je brzina poznata V A .
Rješenje. Nacrtajmo x-osu kroz tačke ALI i AT. Znajući pravac VA ,
naći projekciju ovog vektora na pravu AB: V Ax - V A cos a (na slici 8.6, b ovo će biti rez Ah). Dalje na crtežu iz tačke AT odgoditi Bb - Aa(jer segment Ah nalazi se na x-osi desno od tačke ALI, zatim segment Bb odvojiti od tačke AT na x-osi desno). Uskrsnuće na tački b okomito na pravu AB, pronađite krajnju tačku vektora V B .
Prema teoremi projekcije VA cos a = K^cosp. Odavde (uzimajući u obzir da je R = 90 ° - a) konačno dobijamo V B = VA cos a/cos(90° - a) ili V B = = VA ctg a.
Određivanje tačkastih brzina pomoću trenutnog centra brzina
Da bismo odredili brzine tačaka ravne figure, biramo bilo koju tačku kao pol R. Zatim, prema formuli
(8.2), brzina proizvoljne tačke M je definisan kao zbir dva vektora:
Ako je brzina motke R u datom trenutku bila jednaka nuli, tada bi desna strana ove jednakosti bila predstavljena jednim članom Kod MR a brzina bilo koje tačke bi se definisala kao brzina tačke M tijelo dok se okreće oko fiksnog stupa R.
Stoga, ako odaberemo tačku kao pol R,čija je brzina nula u datom trenutku moduli brzina svih tačaka na slici će biti proporcionalni njihovim udaljenostima do pola P, a pravci vektora brzina svih tačaka će biti okomiti na prave linije koje spajaju tačku koja se razmatra i pol P. Naravno, proračun po formulama (8.6) je mnogo jednostavniji od izračunavanja po opštoj formuli (8.2).
Tačka ravne figure, čija je brzina u datom trenutku nula, naziva se trenutni centar brzina (MCS). Lako je provjeriti da ako se figura kreće netranslacijsko, onda takva tačka postoji u svakom trenutku vremena i, štoviše, jedinstvena je. Imajte na umu da se trenutni centar brzina može locirati i na samoj figuri i na njenom mentalnom nastavku.
Razmotrite načine za određivanje položaja trenutnog centra brzina.
1. Neka u trenutku vremena tjum ravne figure, njenu ugaonu brzinu ω i brzinu VA bilo koju od njegovih tačaka ALI(Sl. 8.7, a). Zatim biranje tačke ALI kao pol,_brzina_tačke koju tražimo R može se odrediti formulom Vp = VA + VpA -
Problem je pronaći takvu tačku R, u kojem V P=0, tako za nju V A + U RL=0 i stoga Y RA \u003d -Y ODGOVOR: Dakle, za poentu R brzina At RA koja tačka R dobijeno rotiranjem figure oko motke ALI, i brzinu A stubovi ALI jednak po modulu (Y RA = Y A) ili o ZAR = U A i suprotnog smera. Osim toga, poenta R mora ležati okomito na vektor At A. Određivanje položaja tačke R provodi se na sljedeći način: od tač ALI(Sl. 8.7, b) postaviti okomitu na vektor A i stavite distancu na to AR = Y Klimatizacija sa druge strane ALI, gdje će se vektor "pokazati" At I, ako se zarotira za 90° u smjeru lučne strelice co.
Trenutni centar brzina je jedina tačka na ravnoj figuri čija je brzina u datom trenutku nula.
U drugom trenutku, trenutni centar brzina može već biti druga tačka ravninske figure.
2. Neka su poznati smjerovi brzina VA i in(Sl. 8.8, a) dva poena ALI i AT ravan lik (štaviše, vektori brzina ovih tačaka nisu paralelni), ili su poznati elementarni pomaci ovih tačaka. Trenutni centar brzina nalazit će se u tački presjeka okomica podignutih iz tačaka A i B na brzine ovih tačaka (ili na elementarne pomake tačaka). Takva konstrukcija je prikazana na sl. 8.8, b. Zasnovan je na činjenici da za bilo koje točke A i B brojke primjenjive odredbe (8.6):
Iz ovih jednakosti slijedi da
Poznavajući položaj MCC-a i ugaonu brzinu tijela, primjenom formula (8.6), lako je odrediti brzinu bilo koje tačke ovog tijela. Na primjer, za bod To(vidi sliku 8.8, b) brzina modula V K =coKP, vektor U to usmjerena okomito na pravu liniju KR u skladu sa
smjer strelice luka y.
shodno tome, brzine tačaka ravne figure određene su u datom trenutku kao da se ova figura rotira oko trenutnog centra brzina.
3. Ako brzina pokazuje ALI i AT ravne figure su paralelne jedna s drugom, tada su moguće tri opcije, koje su prikazane na sl. 8.9. Za slučajeve kada je direktno AB okomito na vektore VA i V B(Sl. 8.9, a, b) konstrukcije su zasnovane na proporciji (8.7).
Ako je brzina bodova Lee V paralelno i pravo AB_nt okomito VALI(Sl. 8.9, u), zatim okomite do U A i V B su paralelne i trenutni centar brzina je u beskonačnosti (AP= oo); ugaona brzina rotacije figure w = VJAP=VA/cc= 0. U ovom slučaju su brzine svih tačaka figure u datom trenutku jednake jedna drugoj, tj. figura ima raspodjelu brzina kao u translatornom kretanju. Ovo stanje kretanja se zove trenutno progresivna. Imajte na umu da u ovom stanju ubrzanja svih tačaka tijela neće biti ista.
4. Ako se ravno kretanje tijela vrši kotrljanjem bez klizanja po fiksnoj površini (sl. 8.10), tada je tačka dodira Rće biti trenutni centar brzina (vidi problem 8.1).
Problem 8.3. Ravni mehanizam se sastoji od 7 šipki, 2, 3, 4 i crawler AT(Sl. 8.11), međusobno povezane i sa fiksnim nosačima 0 { i 0 2 šarke; dot D je u sredini štapa AB. Dužina štapa: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m i usmjerena suprotno od kazaljke na satu. Definiraj V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , do 4 i tačkasta brzina To u sredini štapa DE (DK = KE).
Rješenje. U mehanizmu koji se razmatra, šipke 7, 4 napravite rotacijski pokret AT- progresivni i štapovi 2, 3 -
ravnoparalelno kretanje.
Tačkasta brzina ALI definiramo kao pripadajući štapu 7, koji vrši rotacijsko kretanje:
Razmotrite kretanje štapa 2. Tačkasta brzina ALI je definiran i smjer brzine tačke AT zbog činjenice da istovremeno pripada štapu 2 i spol-
Zun se kreće duž vodiča. Sada, vraćanje iz tačaka ALI i AT okomito na A i smjer kretanja klizača AT, pronađite poziciju tačke C 2 - MCS štapa 2.
U pravcu vektora U A s obzirom da je u razmatranom položaju mehanizma, šipka 2 rotira oko tačke C 2, određujemo smjer ugaone brzine iz 2 štapa 2 i pronađite njegovu brojčanu vrijednost (o 2 = V a / AC 2 = 0,8 / 1,04 = 0,77 s -1, gdje je AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (dobićemo kada uzmemo u obzir A AC ~, B).
Sada određujemo numeričke vrijednosti i smjerove brzina tačaka AT i D rod 2 (jer ABDC 2 onda jednakostraničan BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
Razmotrite kretanje štapa 3. Tačkasta brzina D poznato. Od tačke E pripada štapu u isto vrijeme 4, rotirajući oko ose 0 4 , onda Y e 10 4 E. Zatim, prolazeći kroz tačke D i E prave linije okomite na brzinu V D w V E , pronađite poziciju tačke C 3 - MCS štapa
3. U pravcu vektora V D , gledajući iz fiksne tačke S 3 , određujemo pravac ugaone brzine s 3 , i nalazimo njenu numeričku vrednost (prethodno određujući iz AZ) C 3 ? segment Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Odrediti brzinu tačke To hajde da nacrtamo pravu liniju COP 3 i s obzirom na to AR K Od 3 jednakostraničan ( COP 3 = 0,35 m), izračunajte Y k \u003d = 0,462 m / s, U do AKS 3.
Razmotrimo kretanje štapa_4 koji rotira oko ose 0 4 . Poznavanje smjera i numeričke vrijednosti V E , nalazimo smjer i vrijednost kutne brzine od 4: od 4 \u003d V e / 0 4 E - 2.67 s
odgovor: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 = 0,77 s "1, co 3 = 1,32 s -1, (o 4 = 2,67 s -1, smjerovi ovih veličina prikazani su na slici 8.11.
Bilješka.U mehanizmu koji se sastoji od nekoliko tijela, svako netranslacijsko tijelo u datom trenutku ima svoj vlastiti trenutni centar brzina i vlastitu kutnu brzinu.
Problem 8.4. Ravni mehanizam se sastoji od šipki 1, 2, 3 i valjak koji se kotrlja bez klizanja po fiksnoj ravni (sl. 8.12, a). Spojevi štapova između njih i šipke 3 do klizališta na punktu D-šarke. Dužina štapova: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Za date uglove a = 60°, B = 30°, vrijednosti i smjerovi ugla O klizalište V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Odredite brzinu tačke AT i ugaona brzina od 2 .
Rješenje. Mehanizam ima dva stepena slobode (njegov položaj je određen sa dva ugla a i p, nezavisni jedan od drugog) i brzinu tačke AT(zajednička tačka štapova 2 i 3) zavisi od brzina tačaka ALI i D.
S obzirom na kretanje štapa /, n nalazimo pravac i vrijednost brzine tačke A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Razmotrite kretanje valjka. Njegov trenutni centar brzina nalazi se u tački R; onda V D pronađite iz proporcije
Od A DOP jednakokraki i oštri uglovi u njemu su tada jednaki 30 ° DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. Iz jednakosti (a) nalazimo VD- 0,6 m/s. Vector V D usmjerena okomito D.P.
Od tačke AT pripada istovremeno i štapovima AB i BD, tada bi prema teoremi projekcije brzine trebalo da bude: 1) projekcija vektora in direktno A B A(odsječak linije Ah na sl. 8.12, a) tj. A cos a = 0,4 m/s; 2) vektorska projekcija in direktno D.B. jednaka je projekciji na ovu liniju vektora 0(odsječak linije Dd na sl. 8.12, a) tj. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Rešimo to grafički. Ostavite po strani od tačke AT rezove u odgovarajućim pravcima Bb (= Aa i Bb 2 = Dd. Tačkasta brzina AT jednak je zbiru vektora V B = Bb + Bbj. Obnavljanje iz tačke b ( okomito na Bb x, i od
bodova b 2 - okomito na Bb 2. Točka presjeka ovih okomita određuje kraj željenog vektora V B .
Budući da su smjerovi segmenata Bb i Bb 2 onda međusobno okomite
Određujemo od 2 . Na sl. 8.12, b prikazan je takozvani plan brzine koji grafički prikazuje vektorsku jednakost
gdje vektori VA i V B definisano (vidi sliku 8.12, a) i pravac VBA okomito na štap AB. Sa crteža (sl. 8.12, b) nađi
Sada definiramo sa 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (smjer od 2 - suprotno od kazaljke na satu).
odgovor: VB- 0,5 m / s, co 2 = 1,66 s -1.
Kretanje ravne figure sastoji se od translacijskog kretanja, kada se sve točke figure kreću brzinom motke ALI, i od rotacionog kretanja oko ovog pola (slika 3.4). Brzina bilo koje tačke M figure se formiraju geometrijski od brzina koje tačka prima u svakom od ovih kretanja.
Slika 3.4
Zaista, pozicija tačke M u odnosu na ose Ohy određen radijusom - vektorom
, gdje - radijus vektor pola ALI,=
- radijus vektor koji definiše poziciju tačke M relativno
krećući se sa motkom ALI progresivno. Onda
.
je brzina motke ALI,jednaka brzini
, koja tačka M prima na
, tj. o sekirama
, ili, drugim riječima, kada se figura rotira oko pola ALI. Iz toga sledi
gdje ω je ugaona brzina figure.
Slika 3.5
Na ovaj način, brzina bilo koje tačke M ravne figure je geometrijski zbir brzine neke druge tačke A, uzete kao pol, i brzine koju tačka M dobija kada se figura okreće oko ovog pola. Modul i smjer brzine nalaze se konstruisanjem odgovarajućeg paralelograma (slika 3.5).
10.3. Teorema o projekcijama brzina dvije tačke tijela
Jedan od jednostavnih načina za određivanje brzina tačaka ravne figure (ili tijela koje se kreće ravnoparalelno) je teorema: projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na osu koja prolazi kroz ove tačke jednake su jedna drugoj.
Slika 3.6
Razmotrite neke dvije tačke ALI i AT ravna figura (ili telo) (slika 3.6). Uzimam poen ALI po stubu dobijamo to
. Dakle, projektiranje oba dijela jednakosti na osu usmjerenu duž AB, i s obzirom da je vektor
okomito AB, mi nalazimo
, |
i teorema je dokazana. Imajte na umu da je ovaj rezultat jasan i iz čisto fizičkih razmatranja: ako je jednakost
neće biti izvedena, tada pri pomicanju udaljenosti između tačaka ALI i AT mora da se promeni, što je nemoguće - telo je apsolutno čvrsto. Dakle, ova jednakost je zadovoljena ne samo za ravnoparalelno, već i za svako kretanje krutog tijela.
10.4. Određivanje brzina tačaka ravne figure koristeći trenutni centar brzina
Još jedna jednostavna i ilustrativna metoda za određivanje brzina tačaka ravne figure (ili tijela koje se kreće u ravnini) zasniva se na konceptu trenutnog centra brzina.
Trenutni centar brzina (ICV) je tačka ravne figure, čija je brzina u datom trenutku jednaka nuli.
Ako se figura kreće netranslacijsko, onda takva tačka u svakom trenutku vremena t postoji i jedinstven je. Neka trenutno t bodova ALI i AT ravni figure imaju brzine i , neparalelne jedna s drugom (slika 3.7.). Onda poenta R koji leži na presjeku okomica Ah na vektor i ATb na vektor , i biće trenutni centar brzina, pošto
.
Slika 3.7
Zaista, ako
, zatim teoremom o projekciji brzine vektor mora biti i okomita i AR(jer
), i BP(jer
), što je nemoguće. Iz iste teoreme jasno je da nijedna druga tačka figure u ovom trenutku ne može imati brzinu jednaku nuli.
Ako sada u to vrijeme t uzeti poen R po stubu. To je brzina tačke ALI bice
,
jer =0. Isti rezultat se dobija za bilo koju drugu tačku na slici. onda, brzine tačaka ravne figure određene su u datom trenutku kao da je kretanje figure rotacija oko trenutnog centra brzina. Gde
( |
i tako dalje za bilo koju tačku figure.
Iz ovoga takođe proizilazi da
i
, onda
=, |
one. šta Brzine tačaka ravne figure su proporcionalne njihovoj udaljenosti od trenutnog centra brzina.
Dobijeni rezultati dovode do sljedećih zaključaka:
1. Da bi se odredio trenutni centar brzina, potrebno je znati samo smjerove brzina, npr.ibilo koje dvije tačke A i B ravne figure.
2. Da biste odredili brzinu bilo koje tačke ravne figure, morate znati modul i smjer brzine bilo koje tačke A figure i smjer brzine njene druge točke B.
3. Ugaona brzinaravne figure jednak je u svakom trenutku vremena omjeru brzine neke tačke figure i njene udaljenosti od trenutnog centra brzina P:
. |
Hajde da nađemo drugi izraz za ω
od jednakosti
i
sledi to
i
, gdje
. |
Razmotrimo neke posebne slučajeve definicije MCC-a, koji će pomoći u rješavanju teorijske mehanike.
1. Ako se ravnoparalelno kretanje vrši kotrljanjem bez klizanja jednog cilindričnog tijela po površini drugog nepokretnog, tada je tačka R kotrljajućeg tijela koje dodiruje fiksnu površinu (slika 3.8), u datom trenutku, zbog odsustva klizanja, ima brzinu jednaku nuli (
), i stoga je trenutni centar brzina.
Slika 3.8
2. Ako brzina pokazuje ALI i AT ravne figure su paralelne jedna s drugom, a linija AB nije okomito (Sl. 3.9, a), tada trenutni centar brzina leži u beskonačnosti i brzina svih tačaka // . U ovom slučaju iz teoreme projekcije brzine slijedi da
, tj.
, u ovom slučaju figura ima trenutno translatorno kretanje.
3. Ako brzina pokazuje ALI i AT ravna figura // jedna prema drugoj i istovremeno linija AB okomito , zatim trenutni centar brzina R je određena konstrukcijom (slika 3.9, b).
Slika 3.9
Valjanost konstrukcija proizilazi iz
. U ovom slučaju, za razliku od prethodnih, pronaći centar R osim uputa, morate znati i module brzina i .
4. Ako je vektor brzine poznat neka tačka AT figure i njene ugaone brzine ω
, zatim položaj trenutnog centra brzina R ležeći okomito na (vidi sl. ?), može se naći iz jednakosti
, što daje
.