Zbir reduciranih ostataka po modulu n. Sistemi povlačenja. Vježbe za samostalan rad
![Zbir reduciranih ostataka po modulu n. Sistemi povlačenja. Vježbe za samostalan rad](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
ili bilo koji uzastopni str brojevi.
Ovaj sistem se zove kompletan sistem brojeva koji nisu uporedivi po modulu str ili kompletan sistem ostataka po modulu str. Očigledno je da bilo koji str uzastopni brojevi formiraju takav sistem.
Svi brojevi koji pripadaju istoj klasi imaju mnoga zajednička svojstva, pa se u odnosu na modul mogu smatrati jednim brojem. Svaki broj uključen u poređenje kao sabir ili faktor može se, bez narušavanja poređenja, zamijeniti s njim uporedivim brojem, tj. sa brojem koji pripada istoj klasi.
Drugi element koji je zajednički svim brojevima date klase je najveći zajednički djelitelj svakog elementa ove klase i modula str.
Neka a i b uporedivi modulo str, onda
Teorema 1. Ako u ax+b umjesto x hajde da sve dovedemo u red strčlanovi kompletnog sistema brojeva
Stoga svi brojevi ax+b, gdje x=1,2,...str-1 nisu uporedivi po modulu str(inače brojevi 1,2,... str-1 bi bilo uporedivo po modulu str.
Bilješke
1) U ovom članku, riječ broj će značiti cijeli broj.
Književnost
- 1. K. Ireland, M. Rosen. Klasični uvod u modernu teoriju brojeva - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Viša aritmetika - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Predavanja iz teorije brojeva. − Moskva, 1936.
Modulo rezidualni prsten n označavaju ili . Njegova multiplikativna grupa, kao u općem slučaju grupa invertibilnih elemenata prstenova, označava se ∗ × × .
Najjednostavniji slučaj
Da bismo razumjeli strukturu grupe, možemo razmotriti poseban slučaj gdje je prost broj i generalizirati ga. Razmotrimo najjednostavniji slučaj kada , To je .
Teorema: - ciklična grupa.
Primjer : Razmotrite grupu
= (1,2,4,5,7,8) Generator grupe je broj 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Kao što vidite, bilo koji element grupe može biti predstavljen kao , gdje ≤ℓφ . Odnosno, grupa je ciklična.Opšti slučaj
Da bismo razmotrili opći slučaj, potrebno je definirati primitivni korijen. Primitivni korijen po modulu prosti je broj koji, zajedno sa svojom klasom ostatka, stvara grupu.
primjeri: 2 11 ; 8 - primitivni korijen po modulu 11 ; 3 nije primitivan modulo korijen 11 .U slučaju cijelog modula, definicija je ista.
Struktura grupe određena je sljedećom teoremom: Ako je p neparan prost broj, a l pozitivan cijeli broj, tada postoje primitivni korijeni po modulu , odnosno ciklična grupa.
Primjer
Redukovani sistem ostataka po modulu sastoji se od klasa ostataka: . S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, one čine grupu, štoviše, i međusobno su inverzne (tj. ⋅ ) i inverzni su sami sebi.
Grupna struktura
Unos znači "ciklička grupa reda n".
× | φ | λ | Grupni generator | × | φ | λ | Grupni generator | × | φ | λ | Grupni generator | × | φ | λ | Grupni generator | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4×C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2×C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2×C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2×C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2×C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2×C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2×C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2×C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2×C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2×C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2×C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2×C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2×C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2×C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2×C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2×C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6×C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2×C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2×C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2×C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2×C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2×C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2×C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6×C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2×C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2×C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplikacija
Na težini, Farma, Hooley, . Waring je formulirao Wilsonovu teoremu, a Lagrange je to dokazao. Ojler je predložio postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantificiranju prostih brojeva po modulu da je dati cijeli broj primitivan korijen. Brouwer je doprinio proučavanju problema postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ti stepen po modulu p. Bielhartz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku uz pretpostavku da proširena Riemannova hipoteza vrijedi u poljima algebarskih brojeva.
Bilješke
Književnost
- Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu, Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - Sankt Peterburg: NPO "Professional", 2004.
OSNOVNI PODACI IZ TEORIJE
6. 1. Definicija 1.
Klasa brojeva po modulu m je skup svih onih i samo onih cijelih brojeva koji, kada se podijele sa m, imaju isti ostatak r, odnosno uporediv po modulu m (t Î N, t> 1).
Oznaka za klasu brojeva sa ostatkom r: .
Svaki broj iz razreda naziva se reziduom po modulu m, a sama klasa naziva se klasa ostataka po modulu m.
6. 2. Svojstva skupa modulo klasa ostataka t:
1) ukupno po modulu t bice t Klase ostataka: Z t = { , , , … , };
2) svaka klasa sadrži beskonačan skup cijelih brojeva (ostataka) oblika: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), odnosno bilo koja dva uzeta ostatka od jednog razred, uporedivi modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), odnosno nema dva ostatka; uzeti od različitih casovi neuporedivo modulo t.
6. 3. Definicija 3.
Potpuni sistem ostataka po modulu m je bilo koji skup od m brojeva uzetih jedan i samo jedan iz svake klase ostataka po modulu m.
primjer: ako m= 5, onda je (10, 6, - 3, 28, 44) kompletan sistem ostataka po modulu 5 (i to ne jedini!)
posebno,
skup (0, 1, 2, 3, … , m–1) je sistem najmanji nenegativni odbici;
skup (1, 2, 3, … , m –1, t) je sistem najmanje pozitivno odbici.
6. 4. Zapiši to:
ako ( X 1 , X 2 , … , x t) je kompletan sistem ostataka po modulu t, onda
.
6. 5. Teorema 1.
Ako a {X 1 , X 2 , … , x t} – kompletan sistem ostataka po modulu m, "a, bÎ Z i(a, t) = 1, – zatim sistem brojeva {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} takođe formira kompletan sistem ostataka po modulu m .
6. 6. Teorema 2.
Svi ostaci iste klase ostataka po modulu m imaju isti najveći zajednički djelitelj sa m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. Definicija 4.
Klasa ostatka modulo m naziva se koprost sa modulom m,ako je barem jedan ostatak ove klase kopriman sa tj.
Imajte na umu da u ovom slučaju, prema teoremi 2 sve brojevi ove klase će biti koprosti sa modulom t.
6. 8. Definicija 5.
Redukovani sistem ostataka po modulu m je sistem rezidua uzetih jedan i samo jedan iz svake klase koji je koprost prema m.
6. 9. Zapiši to:
1) redukovani sistem ostataka po modulu t sadrži j( t) brojevi ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Primjer : Neka modulo t= 10 postoji 10 klasa ostataka:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) je skup klasa ostataka po modulu 10. Kompletan sistem odbitaka mod 10 bi bilo, na primjer, ovo: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Mnoge klase ostataka, coprime sa modulom m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Redukovani sistem odbitaka modulo 10 bi bio, na primjer,
(1, 3, 7, 9), ili (11, 43, – 5, 17), ili ( – 9, 13, – 5, 77) itd. (svuda j(10) = 4 broja).
6.10. Praktično: da se formira jedan od mogućih redukovanih sistema ostataka mod m, potrebno je iz kompletnog sistema ostataka mod m izabrati one ostatke koji su koprosti sa m. Takvi brojevi će biti j( t).
6.11. Teorema 3.
Ako a{X 1 , X 2 ,…, } – smanjeni sistem ostataka po modulu m i
(a, m) = 1, – zatim sistem brojeva {Oh 1 , Oh 2 , … , sjekira j (t)} takođe forme
smanjeni sistem ostataka po modulu m .
6.12. Definicija 6.
suma( Å ) dedukcione klase i +b jednako zbiru bilo koja dva odbitka uzeta po jedan iz svake date klase i : Å = , gdje"aÎ , "bÎ .
6.13. Definicija 7.
rad( Ä ) dedukcione klase i modulo m naziva se klasa ostatka , odnosno klasa ostataka koja se sastoji od brojeva a ´ b jednako proizvodu bilo koja dva ostatka uzeta jedan po jedan iz svake date klase i : Ä = , gdje"aÎ , "bÎ .
Dakle, u skupu klasa ostataka po modulu t: Z t= ( , , ,…, ) definirane su dvije algebarske operacije – "sabiranje" i "množenje".
6.14. Teorema 4.
Skup klasa ostataka Z t modulo t je asocijativno-komutativni prsten s jedinicom:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – prsten.
TIPIČNI ZADACI
1. Modulo t= 9:
1) kompletan sistem najmanje pozitivnih ostataka;
2) kompletan sistem najmanje nenegativnih ostataka;
3) proizvoljan pun sistem odbitaka;
4) kompletan sistem najmanjih apsolutnih odbitaka.
Odgovori:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Sastaviti redukovani sistem ostataka po modulu t= 12.
Rješenje.
1) Sastaviti kompletan sistem najmanje pozitivnih ostataka po modulu t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (ukupno t= 12 brojeva).
2) Iz ovog sistema brišemo brojeve koji nisu koprosti sa brojem 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Preostali brojevi, koprosti sa brojem 12, formiraju željeni redukovani sistem ostataka po modulu t= 12 (ukupno j( t) = j(12) = 4 broja).
odgovor:(1, 5, 7, 11) - redukovani sistem ostataka po modulu t= 12.
130. Napravite 1) kompletan sistem najmanje pozitivnih ostataka; 2) kompletan sistem najmanje nenegativnih ostataka; 3) proizvoljan sistem odbitaka; 4) kompletan sistem najmanjih apsolutnih odbitaka; 5) redukovani sistem ostataka: a) po modulu m= 6; b) modulo m = 8.
131. Da li je skup (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) kompletan sistem ostataka po modulu 8?
132 Po kojem modulu je skup (20, - 4, 22, 18, - 1) kompletan sistem ostataka?
133. Redukovani sistem ostataka napraviti po modulu m ako a) m= 9; b) m= 24; u) m= 7. Koliko brojeva treba da sadrži takav sistem?
134. Formulirajte glavna svojstva kompletnog sistema ostataka i redukovanog sistema ostataka po modulu m .
135. Koji elementi razlikuju reducirane i kompletne sisteme najmanjih nenegativnih ostataka po modulu prosti?
136. Pod kojim uslovom su brojevi a i - a pripadaju istoj klasi modulo ostataka m?
137. Kojim klasama ostataka po modulu 8 pripadaju svi prosti brojevi? R³ 3 ?
138. Da li skup brojeva (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) čini kompletan sistem ostataka po modulu 11?
139. Koliko klasa ostataka po modulu 21 pripada svim ostacima iz jedne klase ostataka po modulu 7?
140. Skup cijelih brojeva Z distribuirati po klasama ostataka po modulu 5. Napravite tablice sabiranja i množenja u rezultirajućem skupu klasa ostataka Z 5 . Je set Z 5: a) grupa sa operacijom sabiranja klase? b) grupa sa operacijom množenja klasa?
§ 7. Ojlerova teorema. FERMATOVA MALA TEOREMA
OSNOVNI PODACI IZ TEORIJE
7. 1. Teorema 1.
Ako aÎ Z,tÎ N, t>1 i(a;t) = 1, – tada u beskonačnom nizu potencija a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t, … postoje najmanje dva stepena s eksponentima s i t(s<t) takav da . (*)
7. 2. Komentar. Označavanje t– s = k> 0, iz (*) dobijamo: . Podizanje obe strane ovog poređenja na moć nÎ N, dobijamo:
(**). To znači da postoji beskonačan broj moći a, zadovoljavajući poređenje (**). Ali kako pronaći ove indikatore? Šta najmanje indikator koji zadovoljava poređenje (**) ? Odgovori na prvo pitanje Ojlerova teorema(1707 – 1783).
7. 3. Ojlerova teorema.
Ako aÎ Z,tÎ N, t>1 i(a;t) = 1, - onda . (13)
Primjer.
Neka a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Tada . Pošto je j (21) = 12, onda je 2 12 º 1 (mod 21). Zaista: 2 12 = 4096 i (4096 - 1) 21. Tada je očigledno da je 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) i tako dalje. Ali da li je eksponent od 12 - najmanje zadovoljavajuće poređenje 2 nº 1 (mod 21) ? Ispostavilo se da nije. Najniži indikator bice P= 6: 2 6 º 1 (mod 21), budući da je 2 6 – 1 = 63 i 63 21. Imajte na umu da najmanje indeks koji treba tražiti samo među djeliteljima broja j( t) (u ovom primjeru, među djeliteljima broja j(21) = 12).
7. 4. Fermatova mala teorema (1601 - 1665).
Za bilo koji prost broj p i bilo koji broj aÎ Z, nije djeljivo sa p, postoji poređenje . (14)
Primjer.
Neka a = 3,R= 5, gdje 3 nije 5. Tada ili
.
7. 5. Generalizacija Fermaove teoreme.
Za bilo koji prost broj p i proizvoljan broj aÎ Z se poredi (15)
TIPIČNI ZADACI
1. Dokazati da je 38 73 º 3 (mod 35).
Rješenje.
1) Pošto je (38; 35) = 1, onda prema Ojlerovoj teoremi ; j(35) = 24, dakle
(1).
2) Iz poređenja (1), prema korolaru 2, svojstva 5 0 numeričkih poređenja, imamo:
3) Iz poređenja (2), po korolaru 1 svojstva 5 0 poređenja: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35) 35) , što je trebalo dokazati.
2. S obzirom na: a = 4, t= 15. Pronađite najmanji eksponent k, zadovoljavajući poređenje (*)
Rješenje.
1) Od ( a; m) = (4; 25) = 1, onda prema Ojlerovoj teoremi , j(25) = 20, dakle
.
2) Da li je pronađeni eksponent - broj 20 - najmanje prirodni broj koji zadovoljava poređenje (*)? Ako postoji eksponent manji od 20, onda on mora biti djelitelj od 20. Dakle, traženi minimalni eksponent k morate tražiti među puno brojeva n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – djelitelji 20.
3) Kada P = 1: ;
at P = 2: ;
at P= 3: (nema potrebe za razmatranjem);
at P = 4: ;
at P = 5: ;
at P= 6, 7, 8, 9: (nema potrebe za razmatranjem);
at P = 10: .
dakle, najmanje eksponent k, zadovoljavajuće poređenje(*), je k= 10.
odgovor: .
VJEŽBE ZA SAMOSTALNI RAD
141. Po Ojlerovoj teoremi . At a = 3, t= 6 imamo:
.
Kako je j(6) = 2, onda je 3 2 º1 (mod 6), ili 9º1 (mod 6), onda, prema lemi, (9 – 1) 6 ili 8 6 (potpuno!?). Gdje je greška?
142. Dokazati da je: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Dokazati da je a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 je djeljivo sa 12 bez ostatka.
144. Dokazati teoremu suprotnu Ojlerovoj teoremi: ako a j ( m) º 1 (mod m), zatim ( a, m) =1.
145. Pronađite najmanji eksponent kÎ N, zadovoljavajući ovo poređenje: a) ; b)
; u)
; G)
;
e) ; e)
; i)
; h)
.
i) ; do)
; l)
; m)
.
146. Pronađite ostatak dijeljenja:
a) 7.100 za 11; b) 9.900 za 5; c) 5.176 sa 7; d) 2 1999 po 5; e) 8 377 za 5;
f) 26 57 sa 35; g) 35 359 za 22; h) 5.718 na 103; i) 27.260 do 40; j) 25. 1998. na 62.
147*. Dokaži to a 561 º a(mod 11).
148*. Ako je kanonska dekompozicija prirodnog broja P ne sadrži faktore 2 i 5, onda se 12. stepen ovog broja završava na 1. Dokažite.
149*. Dokazati da je 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Dokaži: ako ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, dakle a 12 –b 12 je jednako djeljivo sa 65.
Poglavlje 3. ARITHMETIČKE PRIMJENE
TEORIJE NUMERIČKIH POREĐENJA
§ 8. SISTEMSKI BROJEVI
OSNOVNI PODACI IZ TEORIJE
1. CIJELOBROJNI SISTEMSKI BROJEVI
8. 1. Definicija 1.
Brojevni sistem je bilo koji način pisanja brojeva. Znaci kojima se ovi brojevi pišu nazivaju se brojevi.
8. 2. Definicija 2.
Cjelobrojni nenegativni sistematski broj zapisan u t-arnom pozicijskom brojevnom sistemu je broj n oblika
,gdje a i(i = 0,1, 2,…, k) – cijeli nenegativni brojevi - cifre, i 0 £ a i £ t– 1, t je osnova brojevnog sistema, tÎ N, t > 1.
Na primjer, zapis broja u 7-arnom sistemu je: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Ovdje a i- ovo su 5, 6, 0, 3 - brojevi; svi oni zadovoljavaju uslov: 0 £ a i£ 6. Kada t=10 reci: broj n snimljeno u decimalni brojevni sistem, i indeks t= 10 ne pišite.
8. 3. Teorema 1.
Bilo koji nenegativni cijeli broj može se predstaviti, i to na jedinstven način, kao sistematski broj u bilo kojoj bazi t, gdje je tÎ N, t > 1.
primjer:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Zapiši to:
1) dodeljivanje sistematskog broja nula na levoj strani se ne mijenja ovaj broj:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) pripisivanje sistematskom broju s nule na desnoj strani su ekvivalentne množenje ovaj broj za t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Algoritam za pretvaranje upisanog brojat -arnog sistema, na decimalni:
primjer: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritam za pretvaranje broja zapisanog u decimalnom obliku sistem, ut -lični:
primjer: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Nađi X.
8. 7. Akcije na sistematske brojeve
2. SISTEMATSKI RAZLOMCI
8. 8. Definicija 3.
Konačan t-arni sistematski razlomak u brojevnom sistemu sa osnovom t je broj u obliku
gdje c 0 Î Z, sa i - brojevima– cijelih nenegativnih brojeva, i 0 £ sa i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Oznaka: a = ( c 0 , With 1 With 2 …sa k)t. At t= 10 razlomak se zove decimalni.
8. 9. Posljedica 1.
Svaki konačni sistematski razlomak je racionalan broj koji se može predstaviti kao , gdje aÎ Z,bÎ N.
Primjer.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + je racionalan broj. Obratna izjava generalno nije tačna. Na primjer, razlomak se ne može pretvoriti u konačni sistematski (decimalni) razlomak.
8.10. Definicija 4.
Beskonačan t-aran pozitivan sistematski razlomak u brojevnom sistemu sa bazom t je broj u obliku
, odakle od 0Î N, sa i(i =1, 2, …, to, …) - brojevi– cijelih nenegativnih brojeva, i 0 £ sa i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Oznaka: a = ( With 0 , With 1 With 2 … sa k…) t. At t=10 razlomak se zove decimalni.
8.11. Definicija 5.
Postoje tri vrste beskonačnih sistematskih razlomaka:
I a = ( With 0 , )t= =
t, gdje je =
= = … U ovom slučaju, broj a naziva se beskonačan čisto periodični razlomak,(With 1 With 2 … sa k) – period, k - broj cifara u periodu - dužina perioda.
II a = .
U ovom slučaju, broj a naziva se beskonačan mješoviti periodični razlomak, – pre-period, () – period, k - broj cifara u periodu - dužina perioda, l - broj cifara između celog dela i prve tačke - dužina pred-perioda.
III a = ( With 0 , With 1 With 2 … sa k …)t . U ovom slučaju, broj a naziva se beskonačan neperiodični razlomak.
TIPIČNI ZADACI
1. Broj ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , dato u 5-arnom sistemu, prevesti u 7-arni sistem, odnosno pronaći X, ako je (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Rješenje.
1) Pretvorite dati broj (2 1 4 3) 5 u broj ( at) 10 zapisano u decimalnom sistemu:
2. Slijedite korake:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Rješenje.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Bilješka: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 je upisano, 1 ide na sledeću cifru, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 je upisano, 1 ide na sledeću cifru, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, 2 je napisano, 1 ide na sljedeću znamenku. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Bilješka: | "zauzimaju" jedinicu najvišeg ranga, tj. "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Bilješka: | Kada množimo sa 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, pišemo 1, 1 ide na sljedeću znamenku, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, pišemo 0, 1 ide na sljedeća cifra, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 se upisuje, 1 ide na sljedeću cifru, kada se pomnoži sa 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 se upisuje, 1 ide na sledeću cifru, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, 2 je upisano, 1 ide na sledeću cifru, 3×4 +1=13=2×5 +3, 3 je upisano, 2 ide na sljedeću cifru. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 odgovor: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
VJEŽBE ZA SAMOSTALNI RAD
151. Brojevi dati u t-arni sistem, pretvoriti u decimalni sistem:
a) (2 3 5) 7 ; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Brojevi. dato u decimalnom sistemu, pretvoriti u t-ic sistem. Provjeri.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) osam ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) dvadeset ; j) (9 2 5) 10 = ( X) osam ; k) (6 3 3) 10 = ( X) petnaest ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Brojevi dati u t-arnog sistema, prevesti na q-ic sistem (prolaskom kroz decimalni sistem).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Kako će se promijeniti broj (1 2 3) 5 ako mu se sa desne strane doda nula?
b) Kako će se promijeniti broj (5 7 6) 8 ako mu se sa desne strane dodaju dvije nule?
155. Slijedite ove korake:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – (6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Zatim:
I Ako je imenilac b = b"(sadrži samo "2" i/ili "5") - tada se razlomak pretvara u final decimalni razlomak. Broj decimalnih mjesta jednak je najmanjem prirodnom broju l lº 0( mod b").
II Ako je imenilac b = b 1(ne sadrži "2" i "5"), tada se razlomak pretvara u beskonačno čisto periodično jednak je najmanjem prirodnom broju k, zadovoljavajuće poređenje 10 kº 1( mod b 1).
III Ako je imenilac b = b"× b 1 (sadrži "2" i/ili "5", kao i druge proste faktore), tada se razlomak pretvara u beskonačna mješovita periodična deset-
otkucavanje frakcije.
Dužina perioda jednaka je najmanjem prirodnom broju k, zadovoljavajuće poređenje 10 kº 1( mod b 1).
Dužina pred-perioda jednaka je najmanjem prirodnom broju l, zadovoljavajuće poređenje 10 lº 0( mod b").
9. 2. Zaključci.
9. 3. Zapiši to:
racionalni broj je bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak;
Iracionalni broj je bilo koji beskonačan neperiodični decimalni razlomak.
TIPIČNI ZADACI
1. Ovi obični razlomci, zapisani u decimalnom sistemu, se pretvaraju u
decimalni, prethodno odredivši vrstu željenog razlomka (konačan ili beskonačan; periodičan ili neperiodičan; ako - periodičan, onda čisto periodičan ili mješoviti periodičan); u poslednjim slučajevima unaprijed pronaći broj k– dužina i broj perioda l je dužina pred-perioda. jedan) ; 2) ; 3).
Rješenje.
1) Razlomak = imenilac - broj b= 80 = 2 4 × 5 sadrži samo "2" i "5". Stoga se ovaj razlomak pretvara u final decimalni razlomak. Broj decimalnih mjesta l name određeno iz uslova: 10 lº0(mod80):
2) Razlomak = imenilac - broj b= 27 = 3 3 ne sadrži "2" i "5". Stoga se ovaj razlomak pretvara u beskonačan čisto periodično decimalni razlomak. Dužina perioda k ime određeno iz uslova: 10 kº1(mod27):
3) Razlomak = imenilac - broj b= 24 = 2 3 × 3, odnosno izgleda ovako: b = b"× b 1 (osim "2" ili "5" sadrži druge faktore, u ovom slučaju broj 3). Stoga se ovaj razlomak pretvara u beskonačan mješoviti periodični decimalni razlomak. Dužina perioda k ime određeno iz uslova: 10 kº1(mod3), odakle k ime= 1, odnosno dužina perioda k= 1. Dužina prije perioda l name određeno iz uslova: 10 lº0(mod8), odakle l name= 3, odnosno dužina predperioda l = 3.
Provjerite: podijelite "ugao" 5 sa 24 i dobijete: = 0, 208 (3).
odgovor: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
VJEŽBE ZA SAMOSTALNI RAD
156. Ovi obični razlomci, zapisani u decimalnom sistemu, pretvaraju se u decimalne razlomke. Ako je decimala periodična, onda prethodno pronađi broj k- dužina i broj perioda l- dužina prethodnog perioda.
157. Ovi obični razlomci, zapisani u decimalnom sistemu, pretvaraju se u t-arnih sistematskih razlomaka. Pronađite brojeve k- dužina perioda i l- dužina prethodnog perioda.
158*. U kom brojevnom sistemu je broj (4 6) 10 napisan istim brojevima, ali u
obrnuti redosled?
159*. Šta je veće: jedinica 8. cifre u binarnom sistemu ili jedinica 4. cifre u oktalnom sistemu?
§ 10. PASCALOVA TEOREMA. ZNACI DJELJIVOSTI
OSNOVNI PODACI IZ TEORIJE
10. 1. Pascalova teorema (1623 – 1662).
Dati su prirodni brojevi: t > 1i n, napisano u t-arnom sistemu:
,gdje su a i brojevi: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Neka n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 i m = 9.
1) Pronađite b i: modulom = 3modulom = 9
10 0 º1(mod3), tj. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), tj. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), tj. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), tj. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), tj. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), tj. b
Kompletan sistem naplate. Dati sistem odbitaka. Najčešći sistemi dedukcije su: najmanje pozitivni, najmanje nenegativni, apsolutno najmanji, itd.
Teorema 1. Osobine kompletnog i redukovanog sistema ostataka.
1° Kriterijumi za kompletan sistem odbitaka. Bilo koja kombinacija m cijeli brojevi koji su parno neuporedivi po modulu m, formira kompletan sistem ostataka po modulu m.
2°. Ako brojevi x 1 , x 2 , ..., x m– kompletan sistem ostataka po modulu m, (a, m) = 1, b je proizvoljan cijeli broj, zatim brojevi sjekira 1 +b, sjekira 2 +b, ..., ax m+b takođe čine kompletan sistem ostataka po modulu m.
3°. Kriterijum redukovanog sistema redukcije. Bilo koja kolekcija koja se sastoji od j( m) cijeli brojevi koji su u parovima neuporedivi po modulu m i kopriman sa modulom, formira redukovani sistem ostataka po modulu m.
4°. Ako brojevi x 1 , x 2 , ..., x j ( m) je redukovani sistem ostataka po modulu m, (a, m) = 1, zatim brojevi sjekira 1 , sjekira 2 , ..., sjekira j ( m) takođe čine redukovani sistem ostataka po modulu m.
Teorema 2. Ojlerova teorema.
Ako brojevi a i m coprime, onda a j ( m) º 1 (mod m).
Posljedica.
1°. Fermatova teorema. Ako a str je prost broj i a nije djeljivo sa str, onda a p–1 º 1 (mod str).
2°. Generalizovana Fermatova teorema. Ako a str je onda prost broj a p º a(mod str) za bilo koje aÎ Z .
§ četiri. Rješavanje poređenja s varijablom
Odluka o poređenju. Ekvivalencija. Stepen poređenja.
Teorema. Svojstva rješenja kongruencija.
1° Rješenja kongruencija su čitave klase ostataka.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= z poređenja º 0 (mod m) i º 0 (mod m) su ekvivalentni.
3°. Ako se oba dijela poređenja pomnože brojem koji je koprost sa modulom, onda se dobije poređenje koje je ekvivalentno originalnom.
4°. Bilo koje poređenje po modulu prost str je ekvivalentno poređenju, čiji stepen ne prelazi str–1.
5°. Poređenje º 0 (mod str), gdje str je prost broj, ima najviše n razna rješenja.
6°. Wilsonova teorema. ( n-jedan)! º –1 (mod n) Û n Prost broj.
§ 5. Rješavanje poređenja prvog stepena
sjekira º b(mod m).
Teorema. 1°. Ako ( a, m) = 1, tada poređenje ima rješenje, i ono je jedinstveno.
2°. Ako ( a, m) = d i b nije djeljivo sa d, onda poređenje nema rješenja.
3°. Ako ( a, m) = d i b podijeljena d, onda poređenje ima d različita rješenja koja čine jednu klasu modulo ostataka.
Načini rješavanja poređenja sjekira º b(mod m) kada ( a, m) = 1:
1) izbor (nabrajanje elemenata kompletnog sistema odbitaka);
2) upotreba Ojlerove teoreme;
3) korišćenje Euklidovog algoritma;
4) varijacija koeficijenata (koristeći svojstvo 2° kompletnog sistema ostataka iz teoreme 2.2);
§6. Neodređene jednačine prvog stepena
sjekira+by = c.
Teorema. Jednačina sjekira+by = c rješivo ako i samo ako c (a, b).
Kada ( a, b) = 1 sva rješenja jednadžbe data su formulama
tÎ Z , gdje x 0 je neko rješenje za poređenje
sjekira º c(mod b), y 0 = .
Diofantove jednadžbe.
POGLAVLJE 10. Kompleksni brojevi
Definicija sistema kompleksnih brojeva. Postojanje sistema kompleksnih brojeva
Definicija sistema kompleksnih brojeva.
Teorema. Sistem kompleksnih brojeva postoji.
Model: R 2 sa operacijama
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+ad),
i= (0, 1) i identifikacija a = (a, 0).
Algebarski oblik kompleksnog broja
Predstavljanje kompleksnog broja u obliku z = a+bi, gdje a, bÎ R , i 2 = -1. Jedinstvenost takve reprezentacije. Re z, Ja sam z.
Pravila za izvođenje aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.
Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor C n. Sistemi linearnih jednadžbi, matrica i determinanti završeni C .
Izdvajanje kvadratnih korijena iz kompleksnih brojeva u algebarskom obliku.
dio kompletnog sistema ostataka (vidi. Kompletan sistem ostataka), koji se sastoji od brojeva koprostih sa modulom m. P. s. in. sadrži φ( m) brojevi [φ( m) je broj koprostih brojeva m i manji m]. Bilo koji φ( m) brojevi koji nisu uporedivi po modulu m i kopriman sa njim, oblik P. s. in. za ovaj modul.
- - vidi Smanjena masa...
Physical Encyclopedia
- - uslovna karakteristika raspodjele masa u pokretnoj mehaničkoj. ili mješoviti sistem, ovisno o fizičkom. parametara sistema i iz zakona njegovog kretanja...
Physical Encyclopedia
- - modulo m - bilo koji skup cijelih brojeva koji su neuporedivi po modulu jedan. Obično kao P. sa. in. po modulu najmanjih nenegativnih ostataka 0, 1, . . ...
Mathematical Encyclopedia
- - zbir korisne površine stambene zgrade, kao i površina lođa, verandi, balkona sa odgovarajućim faktorima smanjenja - data je ukupna površina - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Građevinski rječnik
- - Pogledajte koeficijent poroznosti stijena...
- - omjer volumena pora stijene i volumena skeleta stijene, obično izražen u dijelovima jedinice...
Rječnik hidrogeologije i inženjerske geologije
- - vidi koeficijent poroznosti...
Eksplanatorni rečnik nauke o tlu
- - isto kao i osnovni deo...
- - uslovni karakter raspodjele masa u sistemu pokretnih tijela, uveden u mehanici da bi se pojednostavile jednadžbe kretanja sistema...
Veliki enciklopedijski politehnički rječnik
- - Porez naplaćen na izvoru na dividende ili druge prihode koje primi nerezident zemlje...
Finansijski vokabular
- - Porez naplaćen na izvoru na dividende ili druge prihode koje primi nerezident zemlje...
Pojmovnik poslovnih pojmova
- - po modulu m, bilo koja zbirka cijelih brojeva koja sadrži jedan broj iz svake klase brojeva po modulu m. Kako P. sa. in. najčešće korišćeni sistem najmanje pozitivnih ostataka 0, 1, 2,.....
- - uslovna karakteristika raspodele masa u pokretnom mehaničkom ili mešovitom sistemu, u zavisnosti od fizičkih parametara sistema i zakona njegovog kretanja...
Velika sovjetska enciklopedija
- - SMANJENA masa - uslovna karakteristika raspodele masa u pokretnom mehaničkom ili mešovitom sistemu, u zavisnosti od fizičkih parametara sistema i od zakona njegovog kretanja...
Veliki enciklopedijski rečnik
- - opšte, sve, kumulativno, ...
Rečnik sinonima
- - prid., broj sinonima: 1 čist ...
Rečnik sinonima
"Smanjeni sistem odbitaka" u knjigama
Koja je sadašnja vrijednost ključnih kompetencija?
Iz knjige Weightless Wealth. Odredite vrijednost vaše kompanije u ekonomiji nematerijalne imovine autor Thyssen ReneKoja je sadašnja vrijednost ključnih kompetencija? Na osnovu navedenog, možemo reći da se sadašnja vrijednost ključne kompetencije izračunava množenjem svih indikatora za određeno vrijeme, uzimajući u obzir troškove privlačenja
Neto sadašnja vrijednost (NPV)
Iz MBA knjige za 10 dana. Najvažniji program vodećih svjetskih poslovnih škola autor Silbiger StephenNeto sadašnja vrijednost (NPV) Analiza sadašnje vrijednosti (NPV) pomaže da se izračuna koliko zaposleni treba da uloži da bi dobio pristojnu penziju za 30 godina, ali ova analiza nije korisna u procjeni tekućih investicija i projekata. Investicije se moraju vrednovati
RAČUNOVODSTVO ZA DETALJE I ODBITKE OD PLAĆE
Iz knjige Računovodstvo autor Melnikov IlyaPRIZNAVANJE PODATAKA I ODBITKA OD ZARADA U skladu sa zakonskom regulativom, od zarada zaposlenih vrše se odbici: - porez na dohodak (državni porez, predmet oporezivanja - zarade);
10.6. Obračun odbitaka i odbitka od plata
Iz knjige Računovodstvo u poljoprivredi autor Bičkova Svetlana Mihajlovna10.6. Obračun odbitaka i odbitaka od zarada Od plata zaposlenih u preduzeću vrše se određeni odbici, koji se dijele na sljedeći način: obavezni odbici (porez na dohodak građana, odbici po nalozima za izvršenje);
Iz knjige Nematerijalna imovina: računovodstvo i porezno računovodstvo autor Zakharyin V R<...>
4.1. Opća pitanja davanja socijalnih poreskih olakšica
autor Makurova Tatiana4.1. Opšta pitanja davanja socijalnih poreskih olakšica Porezni socijalni odbici (član 219. Poreskog zakonika), kao i imovinski odbitak za kupovinu stambenog prostora, podrazumevaju smanjenje poreske osnovice za iznos nastalih socijalnih troškova, uzimajući u obzir zakonodavstvo
4.3. Značajke pružanja obrazovnih odbitaka
Iz knjige Samoučenje o porezima na dohodak građana autor Makurova Tatiana4.3. Osobenosti odobravanja obrazovnih odbitaka 142) Koji se troškovi mogu prihvatiti kao odbitak za školovanje? Koje su granice odbitaka za obrazovanje? Za odbitak socijalnog poreza za obrazovanje se prihvataju: troškovi u iznosu koji plaća poreski obveznik u
3.4. Kvantifikacija i učestalost pojavljivanja i primjene poreskih olakšica
Iz knjige Poresko opterećenje preduzeća: analiza, obračun, upravljanje autor Čipurenko Elena Viktorovna3.4. Kvantifikacija i učestalost pojavljivanja i primjene poreskih odbitaka 3.4.1. PDV kao potencijalni poreski odbitak Kod obračuna PDV-a iznosi poreskih odbitaka se utvrđuju samo u skladu sa podacima registara poreskog knjigovodstva – knjiga nabavki. At
Kompletan sistem odbitaka
Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (PO) autora TSBSmanjena masa
TSBRedukovani sistem odbitaka
Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (PR) autora TSB88. Strukturni i redukovani oblici sistema simultanih jednačina. Identifikacija modela
Iz knjige Odgovori na ispitne karte iz ekonometrije autor Yakovleva Angelina Vitalievna88. Strukturni i redukovani oblici sistema simultanih jednačina. Identifikacija modela Strukturne jednačine su jednačine koje čine originalni sistem simultanih jednačina. U ovom slučaju sistem ima strukturnu formu.Strukturnu formu
Iz knjige Novo u Poreznom zakoniku: komentar izmjena koje su stupile na snagu 2008. autor Zrelov Aleksandar PavlovičČlan 172. Postupak primjene poreskih odbitaka
autor autor nepoznatČlan 172
Iz knjige Poreski zakonik Ruske Federacije. Prvi i drugi dio. Tekst sa izmjenama i dopunama od 01.10.2009 autor autor nepoznatČlan 201. Postupak primjene poreskih odbitaka