Koncept granice i kontinuiteta funkcije. Ograničenje i kontinuitet. Kontinuitet funkcije u tački i na intervalu
![Koncept granice i kontinuiteta funkcije. Ograničenje i kontinuitet. Kontinuitet funkcije u tački i na intervalu](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Kontinuitet funkcije. Prelomne tačke.
Bik hoda, ljulja se, uzdiše u hodu:
- O, tabla se završava, sad ću pasti!
U ovoj lekciji ćemo analizirati koncept kontinuiteta funkcije, klasifikaciju tačaka diskontinuiteta i uobičajeni praktični problem istraživanje funkcije za kontinuitet. Već iz samog naslova teme mnogi intuitivno pogađaju o čemu će biti riječi i misle da je materijal prilično jednostavan. Istina je. Ali jednostavni zadaci se najčešće kažnjavaju zbog zanemarivanja i površnog pristupa njihovom rješavanju. Stoga preporučujem da pažljivo proučite članak i uhvatite sve suptilnosti i tehnike.
Šta treba da znate i umete da radite? Ne baš puno. Za dobro iskustvo učenja, morate razumjeti šta ograničenje funkcije. Za čitaoce sa niskim nivoom pripreme dovoljno je da shvate članak Granice funkcija. Primjeri rješenja i pogledajte geometrijsko značenje granice u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Takođe je preporučljivo da se upoznate geometrijske transformacije grafova, budući da praksa u većini slučajeva uključuje izradu crteža. Izgledi su optimistični za sve, a čak i pun čajnik moći će se sam nositi sa zadatkom u narednih sat-dva!
Kontinuitet funkcije. Prelomne tačke i njihova klasifikacija
Koncept kontinuiteta funkcije
Razmotrimo neku funkciju kontinuiranu na cijeloj realnoj liniji:
Ili, sažetije, naša funkcija je kontinuirana na (skup realnih brojeva).
Šta je "filistički" kriterijum kontinuiteta? Očigledno je da se graf neprekidne funkcije može nacrtati bez podizanja olovke sa papira.
U ovom slučaju treba jasno razlikovati dva jednostavna koncepta: opseg funkcije i kontinuitet funkcije. Uglavnom nije isto. Na primjer:
Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, odnosno za svima vrijednost "x" ima svoju vrijednost "y". Konkretno, ako , Tada . Imajte na umu da je druga tačka izbušena, jer se po definiciji funkcije vrijednost argumenta mora podudarati jedina stvar vrijednost funkcije. Na ovaj način, domena naše karakteristike: .
kako god ova funkcija nije kontinuirano uključena! Sasvim je očigledno da u trenutku kada izdrži jaz. Pojam je također prilično razumljiv i jasan, zaista, ovdje će olovku ionako morati otkinuti s papira. Malo kasnije ćemo razmotriti klasifikaciju tačaka prekida.
Kontinuitet funkcije u tački i na intervalu
U određenom matematičkom problemu možemo govoriti o kontinuitetu funkcije u tački, o kontinuitetu funkcije na intervalu, poluintervalu ili o kontinuitetu funkcije na segmentu. To je, ne postoji "samo kontinuitet"– funkcija može biti kontinuirana NEGDJE. A osnovna "cigla" svega ostalog je kontinuitet funkcije u tački .
Teorija matematičke analize definiše kontinuitet funkcije u tački uz pomoć "delta" i "epsilon" susjedstva, ali u praksi se koristi druga definicija na koju ćemo obratiti posebnu pažnju.
Prvo se prisjetimo jednostrane granice koji je upao u naše živote na prvoj lekciji o grafovima funkcija. Razmotrite svakodnevnu situaciju:
Ako se približimo po osi tački lijevo(crvena strelica), tada će odgovarajuće vrijednosti "igara" ići duž osi do tačke (strelica maline). Matematički, ova činjenica se fiksira pomoću lijeva granica:
Obratite pažnju na unos (piše "x teži ka ka sa leve strane"). "Aditiv" "minus nula" simbolizira , što u suštini znači da se broju približavamo sa lijeve strane.
Slično, ako se približite tački "ka" desno(plava strelica), tada će "igre" doći na istu vrijednost, ali duž zelene strelice, i desna granicaće biti formatiran na sljedeći način:
"Dodatak" simbolizira , a unos glasi ovako: "x teži ka ka sa desne strane."
Ako su jednostrane granice konačne i jednake(kao u našem slučaju): , onda ćemo reći da postoji GENERALNA granica . Jednostavno, ukupni limit je naš "uobičajen" ograničenje funkcije jednak konačnom broju.
Imajte na umu da ako funkcija nije definirana na (izbušite crnu tačku na grani grafa), tada navedeni proračuni ostaju važeći. Kao što je više puta napomenuto, posebno u članku o infinitezimalnim funkcijama, izrazi znače da je "x" beskonačno blizu približava tački , dok IRELEVANTNO da li je sama funkcija definirana u datoj tački ili ne. Dobar primjer će se naći u sljedećem odjeljku, kada se funkcija analizira.
Definicija: funkcija je kontinuirana u točki ako je granica funkcije u datoj tački jednaka vrijednosti funkcije u toj tački: .
Definicija je detaljna u sljedećim terminima:
1) Funkcija mora biti definirana u tački , odnosno vrijednost mora postojati.
2) Mora postojati zajednička granica funkcije. Kao što je gore navedeno, ovo implicira postojanje i jednakost jednostranih granica: .
3) Granica funkcije u datoj tački mora biti jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački: .
Ako se prekrši najmanje jedan od tri uslova, tada funkcija gubi svojstvo kontinuiteta u tački .
Kontinuitet funkcije na intervalu formulisan duhovito i vrlo jednostavno: funkcija je neprekidna na intervalu ako je kontinuirana u svakoj tački datog intervala.
Konkretno, mnoge funkcije su kontinuirane na beskonačnom intervalu, odnosno na skupu realnih brojeva. Ovo je linearna funkcija, polinomi, eksponent, sinus, kosinus, itd. I općenito, bilo koji elementarna funkcija kontinuirano na svom domene, pa je, na primjer, logaritamska funkcija kontinuirana na intervalu . Nadam se da do sada imate dobru ideju o tome kako izgledaju grafikoni glavnih funkcija. Detaljnije informacije o njihovom kontinuitetu mogu se dobiti od ljubaznog čovjeka po imenu Fichtenholtz.
Uz kontinuitet funkcije na segmentu i poluintervali, sve je također jednostavno, ali o tome je prikladnije govoriti u lekciji o pronalaženju minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije na segmentu do tada, spustimo glave.
Klasifikacija tačaka prekida
Fascinantan život funkcija bogat je raznim posebnim tačkama, a prelomne tačke su samo jedna od stranica njihove biografije.
Bilješka : za svaki slučaj, zadržaću se na elementarnom momentu: tačka preloma je uvek jedna tačka- ne postoji "nekoliko tačaka prekida u nizu", odnosno ne postoji "interval pauze".
Ove točke su pak podijeljene u dvije velike grupe: pauze prve vrste i pauze druge vrste. Svaka vrsta jaza ima svoje karakteristične karakteristike, koje ćemo sada pogledati:
Tačka diskontinuiteta prve vrste
Ako je uslov kontinuiteta narušen u nekoj tački i jednostranih ograničenja konačan , onda se zove tačka preloma prve vrste.
Počnimo s najoptimističnijim slučajem. Prema početnoj ideji lekcije, želio sam da ispričam teoriju „općenito“, ali da bih pokazao realnost gradiva, odlučio sam se na varijantu sa konkretnim akterima.
Nažalost, poput fotografije mladenaca na pozadini Vječne vatre, ali je sljedeći okvir općenito prihvaćen. Nacrtajmo graf funkcije na crtežu:
Ova funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim na tački. Zaista, imenilac ne može biti jednak nuli. Međutim, u skladu sa značenjem granice – možemo beskonačno blizu prilaziti „nuli“ i slijeva i s desna, odnosno jednostrane granice postoje i očito se poklapaju: (Uslov kontinuiteta br. 2 je ispunjen).
Ali funkcija nije definirana u tački , dakle, uvjet br. 1 kontinuiteta je narušen i funkcija trpi prekid u ovoj tački.
Raskid ove vrste (sa postojećim opšta granica) su pozvani popravljiv jaz. Zašto se može ukloniti? Jer funkcija može redefinisati na prelomnoj tački:
Da li izgleda čudno? Možda. Ali takav zapis funkcije ne proturječi ničemu! Sada je jaz popravljen i svi su zadovoljni:
Uradimo formalnu provjeru:
2) – postoji zajednička granica;
3)
Dakle, sva tri uslova su zadovoljena, a funkcija je neprekidna u tački prema definiciji kontinuiteta funkcije u tački.
Međutim, matan mrzitelji mogu, na primjer, redefinirati funkciju na loš način :
Zanimljivo je da su prva dva uslova kontinuiteta ovde zadovoljena:
1) - funkcija je definisana u datoj tački;
2) – postoji zajednička granica.
Ali treća granica nije prijeđena: , odnosno granica funkcije u tački nije jednako vrijednost date funkcije u datoj tački.
Stoga, u jednom trenutku, funkcija trpi diskontinuitet.
Drugi, tužniji slučaj se zove lom prve vrste sa skokom. A tugu izazivaju jednostrane granice koje konačan i različit. Primjer je prikazan na drugom crtežu lekcije. Ovaj jaz se obično javlja u funkcije po komadima već spomenuto u članku. o transformacijama grafikona.
Razmotrite funkciju po komadima i izvrši njen crtež. Kako napraviti grafikon? Veoma jednostavno. Na poluintervalu crtamo fragment parabole (zeleno), na intervalu - pravi segment (crveni), a na poluintervalu - ravnu liniju (plavo).
Istovremeno, zbog nejednakosti, vrijednost je definirana za kvadratnu funkciju (zelena tačka), a zbog nejednakosti vrijednost je definirana za linearnu funkciju (plava tačka):
U najtežem slučaju, treba pribjeći konstrukciji svakog dijela grafa po tačkama (vidi prvi lekcija o grafovima funkcija).
Za sada nas zanima samo poenta. Hajde da ga ispitamo radi kontinuiteta:
2) Izračunajte jednostrane granice.
Na lijevoj strani imamo segment crvene linije, tako da je granica s lijeve strane:
Na desnoj strani je plava ravna linija i desna granica:
Kao rezultat, konačni brojevi, i oni nije jednako. Jer jednostrane granice konačan i različit: , onda naša funkcija pati diskontinuitet prve vrste sa skokom.
Logično je da se jaz ne može eliminirati – funkcija se ne može dalje definirati i „ne zalijepiti zajedno“, kao u prethodnom primjeru.
Tačke diskontinuiteta druge vrste
Obično se svi ostali slučajevi rupture lukavo pripisuju ovoj kategoriji. Neću sve nabrajati, jer ćete u praksi u 99% zadataka naići beskrajni jaz- kada ste ljevoruk ili dešnjak, a češće, obje granice su beskonačne.
I, naravno, najočitija slika je hiperbola na nuli. Ovdje su obje jednostrane granice beskonačne: , dakle, funkcija trpi diskontinuitet druge vrste u točki .
Trudim se da svoje članke ispunim najrazličitijim sadržajem, pa pogledajmo graf funkcije koji još nije viđen:
prema standardnoj shemi:
1) Funkcija nije definirana u ovom trenutku jer nazivnik ide na nulu.
Naravno, odmah se može zaključiti da funkcija trpi prekid u tački , ali bilo bi lijepo klasificirati prirodu prekida, što se često zahtijeva uslovom. Za ovo:
Podsjećam da zapis znači beskonačno mali negativan broj, a ispod unosa - beskonačno mali pozitivan broj.
Jednostrane granice su beskonačne, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 2. vrste u tački . Y-osa je vertikalna asimptota za grafikon.
Nije rijetkost da postoje obje jednostrane granice, ali samo jedna od njih je beskonačna, na primjer:
Ovo je graf funkcije.
Ispitujemo poentu za kontinuitet:
1) Funkcija nije definirana u ovom trenutku.
2) Izračunajte jednostrane granice:
O metodologiji za izračunavanje ovakvih jednostranih granica govorit ćemo u posljednja dva primjera predavanja, iako su mnogi čitaoci već sve vidjeli i pogodili.
Lijeva granica je konačna i jednaka je nuli (mi "ne idemo do same tačke"), ali desna granica je beskonačna i narandžasta grana grafa je beskonačno bliska svojoj vertikalna asimptota dato jednadžbom (isprekidana crna linija).
Dakle, funkcija trpi lom druge vrste u tački .
Što se tiče diskontinuiteta 1. vrste, funkcija se može definirati u samoj tački diskontinuiteta. Na primjer, za funkciju po komadima hrabro stavite crnu podebljanu tačku na početak. Desno je grana hiperbole, a desna granica je beskonačna. Mislim da su skoro svi zamišljali kako ovaj grafikon izgleda.
Čemu su se svi radovali:
Kako istražiti funkciju za kontinuitet?
Proučavanje funkcije za kontinuitet u nekoj tački provodi se prema već umotanoj rutinskoj shemi, koja se sastoji od provjere tri uvjeta kontinuiteta:
Primjer 1
Explore Function
Rješenje:
1) Jedina tačka pada ispod nišana, gde funkcija nije definisana.
2) Izračunajte jednostrane granice:
Jednostrane granice su konačne i jednake.
Stoga, u jednom trenutku, funkcija trpi diskontinuitet koji se može prekinuti.
Kako izgleda graf ove funkcije?
Želim da pojednostavim , i čini se da je to obična parabola. ALI originalna funkcija nije definirana u točki , pa je potrebno sljedeće upozorenje:
Izradimo crtež:
Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim u tački u kojoj trpi diskontinuitet.
Funkcija se može redefinirati na dobar ili ne tako dobar način, ali to uvjet ne zahtijeva.
Kažete da je primjer nategnut? Ne sve. Desilo se na desetine puta u praksi. Gotovo svi zadaci stranice proizlaze iz stvarnog samostalnog i kontrolnog rada.
Hajde da raščlanimo naše omiljene module:
Primjer 2
Explore Function za kontinuitet. Odredite prirodu prekida funkcije, ako ih ima. Izvršite crtež.
Rješenje: iz nekog razloga, studenti se boje i ne vole funkcije s modulom, iako u njima nema ništa komplikovano. Takvih stvari smo već malo dotakli u lekciji. Geometrijske transformacije dijagrama. Budući da je modul nenegativan, on se širi na sljedeći način: , gdje je "alfa" neki izraz. U ovom slučaju, , i naša funkcija bi trebala potpisati po komadima:
Ali razlomci oba komada moraju se smanjiti za . Smanjenje, kao iu prethodnom primjeru, neće proći bez posljedica. Originalna funkcija nije definirana u tački jer nazivnik nestaje. Stoga bi sistem trebao dodatno specificirati uvjet , i učiniti prvu nejednakost strogom:
Sada za VEOMA KORISAN trik: prije finalizacije zadatka na nacrtu, korisno je napraviti crtež (bez obzira da li to uvjet zahtijeva ili ne). Ovo će vam pomoći, prvo, da odmah vidite tačke kontinuiteta i tačke prekida, i, drugo, 100% će vas spasiti od grešaka pri pronalaženju jednostranih granica.
Hajde da uradimo trik. U skladu sa našim proračunima, lijevo od tačke potrebno je nacrtati fragment parabole (plavo), a desno - komadić parabole (crveno), dok funkcija nije definirana u samoj tački :
Kada ste u nedoumici, uzmite nekoliko "x" vrijednosti, zamijenite ih u funkciju (sjetite se da modul uništava mogući minus znak) i provjerite graf.
Analitički istražujemo funkciju za kontinuitet:
1) Funkcija nije definirana u tački , pa možemo odmah reći da nije kontinuirana u njoj.
2) Utvrdimo prirodu diskontinuiteta, za to izračunavamo jednostrane granice:
Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački . Još jednom, imajte na umu da prilikom pronalaženja granica nije važno da li je funkcija u tački prekida definirana ili ne.
Sada ostaje prenijeti crtež iz nacrta (napravljen je, takoreći, uz pomoć istraživanja ;-)) i završiti zadatak:
Odgovori: funkcija je neprekidna na cijeloj brojevnoj pravoj osim na mjestu gdje pretrpi diskontinuitet prve vrste sa skokom.
Ponekad je potrebno dodatno naznačiti skok diskontinuiteta. Izračunava se elementarno - lijeva granica se mora oduzeti od desne granice: , odnosno u tački prekida naša funkcija je skočila 2 jedinice naniže (o čemu nam govori znak minus).
Primjer 3
Explore Function za kontinuitet. Odredite prirodu prekida funkcije, ako ih ima. Napravite crtež.
Ovo je primjer za samostalno rješavanje, primjer rješenja na kraju lekcije.
Prijeđimo na najpopularniju i najčešću verziju zadatka, kada se funkcija sastoji od tri dijela:
Primjer 4
Istražite funkciju za kontinuitet i nacrtajte graf funkcije .
Rješenje: očito je da su sva tri dijela funkcije kontinuirana na odgovarajućim intervalima, pa ostaje provjeriti samo dvije "spojne" točke između dijelova. Prvo, napravimo crtež na nacrtu, dovoljno sam detaljno komentirao tehniku gradnje u prvom dijelu članka. Jedina stvar je da pažljivo pratimo naše singularne tačke: zbog nejednakosti vrijednost pripada pravoj liniji (zelena tačka), a zbog nejednakosti vrijednost pripada paraboli (crvena tačka):
Pa, u principu, sve je jasno =) Ostaje da se donese odluka. Za svaku od dvije "gutinje" tačke standardno provjeravamo 3 uvjeta kontinuiteta:
ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet
1)
Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački .
Izračunajmo skok diskontinuiteta kao razliku između desne i lijeve granice:
, odnosno grafikon je skočio za jednu jedinicu gore.
II) Ispitujemo tačku za kontinuitet
1) – funkcija je definirana u datoj točki.
2) Pronađite jednostrane granice:
– jednostrane granice su konačne i jednake, tako da postoji zajednička granica.
3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.
U završnoj fazi crtež prenosimo na čistu kopiju, nakon čega stavljamo završni akord:
Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim na mjestu gdje pretrpi diskontinuitet prve vrste sa skokom.
Primjer 5
Istražite funkciju za kontinuitet i izgradite njen graf .
Ovo je primjer za samostalno rješenje, kratko rješenje i približan uzorak problema na kraju lekcije.
Može se steći utisak da u jednom trenutku funkcija mora nužno biti kontinuirana, au drugoj tački nužno mora postojati diskontinuitet. U praksi to nije uvijek slučaj. Pokušajte ne zanemariti preostale primjere - bit će nekoliko zanimljivih i važnih karakteristika:
Primjer 6
Zadata funkcija . Istražite funkciju za kontinuitet u točkama . Napravite graf.
Rješenje: i ponovo odmah izvršite crtež na nacrtu:
Posebnost ovog grafa je u tome što je funkcija po komadima data jednadžbom apscisne ose. Ovdje je ovaj dio nacrtan zelenom bojom, a u bilježnici je obično hrabro istaknut jednostavnom olovkom. I, naravno, ne zaboravite na našu ovcu: vrijednost se odnosi na tangentnu granu (crvena tačka), a vrijednost pripada pravoj liniji.
Iz crteža je sve jasno - funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, ostaje da se nacrta rješenje koje se doslovno nakon 3-4 slična primjera dovodi do punog automatizma:
ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet
1) - funkcija je definirana u datoj tački.
2) Izračunajte jednostrane granice:
, tako da postoji zajednička granica.
Samo za svakog vatrogasca, da vas podsjetim na jednu trivijalnu činjenicu: granica konstante jednaka je samoj konstanti. U ovom slučaju, granica nule jednaka je samoj nuli (lijevi limit).
3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.
Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji funkcije koja je kontinuirana u tački.
II) Ispitujemo tačku za kontinuitet
1) - funkcija je definirana u datoj tački.
2) Pronađite jednostrane granice:
I ovdje - granica jedinice je jednaka samoj jedinici.
– postoji zajednička granica.
3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.
Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji funkcije koja je kontinuirana u tački.
Kao i obično, nakon studije, naš crtež prenosimo u čistu kopiju.
Odgovori: funkcija je kontinuirana u točkama .
Napominjemo da u tom stanju nismo pitali ništa o proučavanju cijele funkcije za kontinuitet, te se smatra dobrom matematičkom formom za formulisanje precizno i jasno odgovor na postavljeno pitanje. Usput, ako prema uvjetu nije potrebno graditi graf, onda imate pravo da ga ne gradite (iako vas kasnije nastavnik može natjerati da to učinite).
Mali matematički "patter" za samostalno rješenje:
Primjer 7
Zadata funkcija . Istražite funkciju za kontinuitet u točkama . Klasifikujte prelomne tačke, ako ih ima. Izvršite crtež.
Pokušajte ispravno "izgovoriti" sve "riječi" =) I nacrtajte grafikon preciznije, tačnost, neće svugdje biti suvišno ;-)
Kao što se sjećate, preporučio sam vam da odmah nacrtate nacrt, ali s vremena na vrijeme ima takvih primjera u kojima ne možete odmah shvatiti kako grafikon izgleda. Stoga je u velikom broju slučajeva korisno prvo pronaći jednostrane granice pa tek onda, na osnovu studije, prikazati grane. U zadnja dva primjera naučit ćemo i tehniku izračunavanja nekih jednostranih granica:
Primjer 8
Istražite funkciju za kontinuitet i izgradite njen shematski graf.
Rješenje: loše tačke su očigledne: (okreće imenilac eksponenta na nulu) i (okreće na nulu imenilac čitavog razlomka). Nije jasno kako izgleda graf ove funkcije, što znači da je bolje prvo istražiti.
Ako skup ne sadrži elemente, onda se poziva prazan set i snimljeno Ø .
Kvantifikator postojanja
∃- egzistencijalni kvantifikator, koristi se umjesto riječi "postoji",
"dostupno". Koristi se i kombinacija simbola ∃!, koja se čita kao da postoji samo jedan.
Apsolutna vrijednost
Definicija. Apsolutna vrijednost (modulus) realnog broja je nenegativan broj, koji se određuje formulom:
Na primjer,
Svojstva modula
Ako su i realni brojevi, tada vrijede sljedeće jednakosti:
Funkcija
odnos između dvije ili više veličina, u kojem je svaka vrijednost jedne veličine, nazvana argumenti funkcije, povezana s vrijednostima drugih veličina, koje se nazivaju vrijednostima funkcije.
Opseg funkcije
Domen funkcije su one vrijednosti nezavisne varijable x za koje će sve operacije uključene u funkciju biti izvršne.
kontinuirana funkcija
Funkcija f (x) definirana u nekom susjedstvu tačke a naziva se kontinuiranom u ovoj tački if
![]() |
Brojne sekvence
funkcija pregleda y= f(x), x O N,gdje N je skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označenih y=f(n)ili y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vrijednosti y 1 ,y 2 ,y 3 , ... nazivaju se redom prvi, drugi, treći, ... članovi niza.
Granica funkcije kontinuiranog argumenta
Broj A naziva se granica funkcije y=f(x) za x->x0, ako za sve vrijednosti x koje se razlikuju dovoljno malo od broja x0, odgovarajuće vrijednosti funkcije f(x ) proizvoljno se malo razlikuju od broja A
infinitezimalna funkcija
Funkcija y=f(x) pozvao infinitezimal at x→a ili kada x→∞ ako ili , tj. Infinitezimalna funkcija je funkcija čija je granica u datoj tački nula.
![]() |
Koncept granice numeričkog niza
Prisjetimo se prvo definicije numeričkog niza.
Definicija 1
Zove se preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva numerički niz.
Koncept granice numeričkog niza ima nekoliko osnovnih definicija:
- Realni broj $a$ naziva se granica numeričkog niza $(x_n)$ ako za bilo koji $\varepsilon >0$ postoji indeks $N$ koji zavisi od $\varepsilon$ takav da za bilo koji indeks $n> N $ nejednakost $\left|x_n-a\right|
- Realni broj $a$ naziva se granica numeričkog niza $(x_n)$ ako bilo koja okolina tačke $a$ sadrži sve članove niza $(x_n)$, s mogućim izuzetkom konačnog broja članovi.
Razmotrimo primjer izračunavanja vrijednosti granice numeričkog niza:
Primjer 1
Pronađite granicu $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Rješenje:
Da bismo riješili ovaj zadatak, prvo trebamo izvaditi zagrade najvišeg stepena uključene u izraz:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\desno))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Ako je imenilac beskonačno velika vrednost, onda cela granica teži nuli, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, koristeći ovo, dobijamo:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
odgovor:$\frac(1)(2)$.
Koncept granice funkcije u tački
Koncept granice funkcije u tački ima dvije klasične definicije:
Definicija pojma "limit" prema Cauchyju
Realni broj $A$ naziva se granica funkcije $f\left(x\right)$ kao $x\to a$ ako za bilo koji $\varepsilon > 0$ postoji $\delta >0$ u zavisnosti od $ \varepsilon $, takav da za bilo koji $x\in X^(\backslash a)$ koji zadovoljava nejednakost $\left|x-a\right|
Heine definicija
Realni broj $A$ naziva se granica funkcije $f\left(x\right)$ za $x\do a$ ako je za bilo koji niz $(x_n)\u X$ koji konvergira na $a$ niz vrijednosti $f (x_n)$ konvergiraju u $A$.
Ove dvije definicije su povezane.
Napomena 1
Cauchy i Heine definicije granice funkcije su ekvivalentne.
Pored klasičnih pristupa izračunavanju granica funkcije, prisjetimo se formula koje također mogu pomoći u tome.
Tabela ekvivalentnih funkcija kada je $x$ beskonačno malo (ide na nulu)
Jedan pristup rješavanju ograničenja je princip zamjene ekvivalentnom funkcijom. Tabela ekvivalentnih funkcija je prikazana u nastavku, da biste je koristili, umjesto funkcija s desne strane, u izraz zamijenite odgovarajuću elementarnu funkciju s lijeve strane.
Slika 1. Tablica ekvivalencije funkcija. Author24 - online razmjena studentskih radova
Također, za rješavanje granica, čije su vrijednosti svedene na neizvjesnost, moguće je primijeniti L'Hospital pravilo. U opštem slučaju, nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$ može se otkriti faktoriranjem brojnika i nazivnika, a zatim smanjenjem. Neodređenost oblika $\frac(\infty )(\infty)$ može se riješiti dijeljenjem izraza u brojniku i nazivniku promjenljivom kod koje se nalazi najveća snaga.
Izvanredne granice
- Prva izuzetna granica:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Druga izuzetna granica:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Posebna ograničenja
- Prvo posebno ograničenje:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Drugo posebno ograničenje:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Treći specijalni limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Kontinuitet funkcije
Definicija 2
Funkcija $f(x)$ naziva se kontinuiranom u tački $x=x_0$ ako $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\postoji \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ takav da je $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Funkcija $f(x)$ je kontinuirana u tački $x=x_0$ ako je $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Tačka $x_0\u X$ naziva se tačka diskontinuiteta prve vrste ako ima konačne granice $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, ali $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\do x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Štaviše, ako je $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, onda je ovo tačka prekida, a ako je $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+) 0) f(x_0)\ )$, zatim točka skoka funkcije.
Tačka $x_0\u X$ naziva se tačka diskontinuiteta druge vrste ako sadrži barem jednu od granica $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ predstavlja beskonačnost ili ne postoji.
Primjer 2
Istražite kontinuitet $y=\frac(2)(x)$
Rješenje:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funkcija ima tačku prekida druge vrste.
Topologija je grana matematike koja se bavi proučavanjem granica i kontinuiteta funkcija. Zajedno sa algebrom, topologija čini opštu osnovu matematike.
Topološki prostor ili figura - podskup našeg homogenog euklidskog prostora, između čijih tačaka je data neka relacija blizine. Ovdje se figure ne posmatraju kao kruta tijela, već kao predmeti napravljeni, takoreći, od vrlo elastične gume, koja omogućava kontinuiranu deformaciju, čuvajući svoje kvalitativne osobine.
Jedan-na-jedan kontinuirano preslikavanje figura se zove homeomorfizam. Drugim riječima, brojke homeomorfna, ako se jedno može pretvoriti u drugo kontinuiranom deformacijom.
Primjeri. Sljedeće figure su homeomorfne (figure iz različitih grupa nisu homeomorfne), prikazane na sl. 2.
1. Segment i kriva bez samopresjeka.
2. Krug, kvadrat iznutra, traka.
3. Površina sfere, kocke i tetraedra.
4. Krug, elipsa i čvorni krug.
5. Prsten na ravni (krug sa rupom), prsten u prostoru, prsten dvaput upleten, bočna površina cilindra.
6. Mobius traka, tj. jednom uvrnuti prsten, a tri puta uvrnuti prsten.
7. Površina torusa (krofne), sfere sa drškom i čvorasti torus.
8. Kugla sa dvije drške i perecom sa dvije rupe.
U matematičkoj analizi funkcije se proučavaju metodom granica. Varijabla i granica su osnovni koncepti.
U različitim pojavama neke veličine zadržavaju svoju brojčanu vrijednost, druge se mijenjaju. Poziva se skup svih numeričkih vrijednosti varijable opseg ove varijable.
Od različitih načina na koje se varijabla ponaša, najvažniji je onaj na koji varijabla teži određenoj granici.
konstantan broj a pozvao varijabla x ako je apsolutna vrijednost razlike između x i a() postaje u procesu promjene varijable x proizvoljno mali:
Šta znači "proizvoljno mali"? varijabla X teži krajnjim granicama a, ako za bilo koji proizvoljno mali (arbitrarno mali) broj postoji takav trenutak u promjeni varijable X, počevši od toga nejednakost .
Definicija granice ima jednostavno geometrijsko značenje: nejednakost znači da X je u -susedstvu tačke a,
one. u intervalu
.
Dakle, definicija granice se može dati u geometrijskom obliku:
Broj a je granica varijable X, ako je za bilo koji proizvoljno mali (proizvoljno mali) - susjedstvo broja a možete odrediti takav trenutak u promjeni varijable X, počevši od kojeg sve njegove vrijednosti padaju u specificirano susjedstvo točke a.
Komentar. varijabla X može pristupiti svojoj granici na različite načine: ostajući manje od ove granice (lijevo), više (desno), fluktuirajući oko vrijednosti granice.
Granica sekvence
Funkcija zove zakon (pravilo) prema kojem svaki element x neki set X odgovara jednom elementu y setovi Y.
Funkcija se može definirati na skupu svih prirodnih brojeva: . Takva funkcija se zove funkcija prirodnog argumenta ili numerički niz.
Budući da se niz, kao i svaki beskonačan skup, ne može specificirati nabrajanjem, on je specificiran zajedničkim članom: , gdje je zajednički termin niza.
Diskretna varijabla je zajednički član niza.
Za sekvencu, riječi "počevši u nekom trenutku" znače riječi "počevši od nekog broja".
Broj a naziva se granica niza , ako za bilo koji proizvoljno mali (arbitrarno mali) broj postoji takav broj N, što za sve članove niza s brojem n>N nejednakost
.
ili
at
.
Geometrijski, definicija granice niza znači sljedeće: za bilo koji proizvoljno mali (arbitrarno mali) - susjedstvo broja a postoji broj takav da su svi članovi niza veći od N, brojevi, spadaju u ovo susjedstvo. Izvan susjedstva je samo konačan broj početnih članova niza. Prirodni broj N zavisi od : .