Як визначити швидкість будь-якої точки плоскої фігури. Визначення швидкостей точок плоскої фігури. Плоский рух твердого тіла
Нагадаємо, що рух плоскої фігури можна розглядати як складається з поступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса.
Відповідно з цим швидкість довільної точки М плоскої фігури геометрично складається зі швидкості якоїсь точки А, прийнятої за полюс, і швидкості, яку точка М отримує при обертанні фігури навколо цього полюса,тобто.
При цьому швидкість V MAвизначається як швидкість точки Мпри обертанні тіла навколо нерухомої осі, що проходить через крапку Аперпендикулярно до площини руху (див. § 7.2), тобто.
Таким чином, якщо відомі швидкість полюса V Аі кутова швидкість тіла зі, то
швидкість будь-якої точки Мтіла визначається відповідно до рівності (8.2), діагоналлю паралелсгграма, побудованого на векторах V Aі V MAяк на сторонах (рис. 8.3), а модуль швидкості V Mобчислюється за формулою
де у - кут між векторами V Aі V MA
Завдання 8.1. Колесо котиться нерухомою поверхнею без ковзання (рис. 8.4, а). Знайти швидкість точок До і D колеса, якщо відомі швидкість V c центру З колеса, радіус R колеса, відстань КС = b та кут а.
Рішення. 1. Розглянутий рух колеса є плоскопаралельним. Прийнявши точку С за полюс (оскільки її швидкість відома), відповідно до загальної рівності (8.2), для точки До можемо записати
Однак немає можливості визначити значення V KC оскільки невідома кутова швидкість зі.
Для визначення з розглянемо швидкість іншої точки, а саме точки Р торкання колеса про нерухому поверхню (рис. 8.4, б). Для цієї точки можна написати рівність
Особливістю точки Р є та обставина, що в даний момент часу V p - 0, оскільки колесо котиться без ковзання. Тоді рівність (б) набуває вигляду
звідки отримаємо
Звідси випливає: 1) вектори швидкостей V PCі V cповинні бути спрямовані у протилежні сторони; 2) із рівності модулів V PC - V cотримуємо іРС = V c ,звідси знайдемо зі = V c / PC = V c / R.Відповідно до напряму вектора V PCвизначаємо напрямок дугової стрілки з і показуємо її на кресленні (рис. 8.4, б).
Тепер повертаємось до визначення V Kпо рівності (а). Знаходимо
Vкс = про КС - V^b/R.Знаючи напрям кутової швидкості, зображаємо вектор V KCперпендикулярно відрізку КСі виконуємо побудову паралелограма на векторах V cі V KC(Рис. 8.4, в).Тому що в даному випадку V cі V KCвзаємно перпендикулярні, остаточно знаходимо
2. Швидкість точки Dна обід колеса визначимо з рівності V D = V C + V DC.Оскільки чисельно V DC -зі R - V c ,то паралелограм, побудований на векторах V cі V DC ,буде ромбом. Кут між V cі V DCдорівнює 2а. Визначивши V Dяк довжину відповідної діагоналі ромба, отримаємо
Теорема про проекції швидкостей двох точок твердого тіла
Відповідно до рівності (8.2) для двох довільних точок Аі Утвердого тіла справедлива рівність V B = V A + V BAвідповідно до якого виконаємо побудову, показану на рис. 8.5. Проеціюючи цю рівність на вісь Az,спрямовану по А В,отримаємо Розум + V BAz.Враховуючи, що вектор V BAперпендикулярний прямий
А В,знаходимо
Цей результат висловлює теорему: Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють один одному.
Зазначимо, що рівність (8.5) математично відображає ту обставину, що тіло розглядається як абсолютно тверде та відстань між точками Аі Уне змінюється. Тому рівність (8.5) виконуєтьсяне тільки при плоскопаралельному, а й за будь-якого руху твердого тіла.
Завдання 8.2. Повзуни Аі В,з'єднані стрижнем з шарнірами на кінцях, перемішуються по взаємно перпендикулярним напрямним у площині креслення (рис. 8.6, а).Визначити при даному вугіллі швидкість точки В,якщо відома швидкість V A .
Рішення. Проведемо вісь х через крапки Аі Ст.Знаючи напрям V A ,
знаходимо проекцію цього вектора на пряму АВ: V Ax - V A cos а (на рис. 8.6, бце буде відрізок Аа).Далі на кресленні від точки Увідкладаємо ВЬ - Аа(оскільки відрізок Аарозташований на осі х праворуч від точки А,то й відрізок ВЬвідкладаємо від крапки Упо осі х праворуч). Відновлюючи в точці Ьперпендикуляр до прямої АВ,знаходимо точку кінця вектора VB.
Відповідно до теореми про проекції V A cos а = K^cosp. Звідси (зважаючи на те, що Р = 90° - а) остаточно отримаємо V B = V A cos a/cos(90° - a) або V B = = V A ctg a.
Визначення швидкостей точок за допомогою миттєвого центру швидкостей
Для визначення швидкостей точок плоскої фігури виберемо як полюс будь-яку точку Р.Тоді, згідно з формулою
(8.2), швидкість довільної точки Мвизначається як сума двох векторів:
Якби швидкість полюса Рв даний момент часу дорівнювала нулю, то права частина цієї рівності була б представлена одним доданком У МРі швидкість будь-якої точки визначалася б як швидкість точки Мтіла при обертанні його навколо нерухомого полюса Р.
Отже, якщо вибрати як полюс точку Р,швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, то модулі швидкостей всіх точок фігури будуть пропорційні їх відстаням до полюса Р, а напрямки векторів швидкостей усіх точок будуть перпендикулярні прямим, що з'єднує точку, що розглядається, і полюс Р.Природно, що розрахунок за формулами (8.6) значно простіший за розрахунок за загальною формулою (8.2).
Точка плоскої фігури, швидкість якої на даний час дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦС).Легко переконатися, що коли фігура рухається непоступально, то така точка в кожний момент часу існує і єдина. Відзначимо, що миттєвий центр швидкостей може бути розташований як на самій фігурі, так і на її продовженні.
Розглянемо методи визначення становища миттєвого центру швидкостей.
1. Нехай у момент часу tjum плоскої фігури відомі її кутова швидкість з і швидкість V Aякоїсь її точки А(Рис. 8.7, а).Тоді, вибираючи точку Аяк полюс,_швидкість_пошуканий нами точки Рможна визначити за формулою V p = V A + Vp A -
Завдання полягає в тому, щоб знайти таку точку Р,у якої V P=0, отже, для неї V A +У РЛ=0 і звідси У РА = -УА. Отже, для точки Ршвидкість УРА, яку точка Ротримує при обертанні фігури навколо полюса А,та швидкість У Аполюса Арівні за модулем (У РА = У А)або про ЗАР = У Аі протилежні за напрямом. Крім того, точка Рмає лежати на перпендикулярі до вектора УА. Визначення положення точки Рздійснюється такою побудовою: з точки А(Рис. 8.7, б)відновимо перпендикуляр до вектора У Аі відкладемо на ньому відстань АР = УА /з в той бік від точки А,куди «покаже» вектор УА якщо його повернути на 90° у напрямку дугової стрілки зі.
Миттєвий центр швидкостей є єдиною точкою плоскої фігури, швидкість якої в даний час дорівнює нулю.
В інший момент часу миттєвим центром швидкостей може бути інша точка плоскої фігури.
2. Нехай відомі напрямки швидкостей V Aі У в(Рис. 8.8, а)двох точок Аі Уплоскої фігури (причому вектори швидкостей цих точок непаралельні) або відомі елементарні переміщення цих точок. Миттєвий центр швидкостей перебуватиме в точці перетину перпендикулярів, відновлених з точок А і В до швидкостей цих точок (або елементарних переміщень точок).Така побудова виконана на рис. 8.8, б.Воно ґрунтується на тому, що для будь-яких точок А і Вфігури застосовні положення (8.6):
З цих рівностей випливає, що
Знаючи положення МЦС та кутову швидкість тіла, застосувавши формули (8.6), легко визначити швидкість будь-якої точки цього тіла. Наприклад^для точки До(Див. рис. 8.8, б)модуль швидкість V K = coКР,вектор У доспрямований перпендикулярно до прямої КРвідповідно до
напрямом дугової стрілки пд.
Отже, Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент часу так, ніби ця фігура обертається навколо миттєвого центру швидкостей.
3. Якщо швидкість точок Аі Уплоскої фігури паралельні один одному, то можливі три варіанти, що зображені на рис. 8.9. Для випадків, коли пряма АВперпендикулярна векторам V Аі V B(Рис. 8.9, а, б),побудови ґрунтуються на пропорції (8.7).
Якщо швидкості точок Чи Впаралельні, а пряма AB_ntперпендикулярна VА(Рис. 8.9, в),то перпендикуляри до У Аі V Bпаралельні та миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності (АР=оо); кутова швидкість обертання фігури зі = VJAP = V A /cc = 0. У цьому випадку швидкості всіх точок фігури в даний момент часу дорівнюють один одному, тобто фігура має розподіл швидкостей як при поступальному русі. Такий стан руху тіла називають миттєво поступальним.Зазначимо, що у цьому стані прискорення всіх точок тіла не будуть однаковими.
4. Якщо плоский рух тіла здійснюється шляхом його кочення без ковзання по нерухомій поверхні (рис. 8.10), то точка дотику Рбуде миттєвим центром швидкостей (див. задачу 8.1).
Завдання 8.3.Плоский механізм складається з стрижнів 7, 2, 3, 4 та повзуна У(рис. 8.11), з'єднаних один з одним та з нерухомими опорами 0 { і 0 2 шарнірами; крапка Dзнаходиться в середині стрижня АВ.Довжини стрижнів: / 2 = 0,4 м, / 2 = 1,2 м, / 3 = 0,7 м, / 4 = 0,3 м. Кутова швидкість стрижня 7 в заданому положенні механізму, = 2 с -1 та спрямована проти ходу годинникової стрілки. Визначити V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , to 4 та швидкість точки Доу середині стрижня DE (DK = КЕ).
Рішення. У аналізованому механізмі стрижні 7, 4 здійснюють обертальний рух, повзун У- поступальне, а стрижні 2, 3 -
плоскопаралельний рух.
Швидкість точки Авизначимо як належну стрижню 7, що здійснює обертальний рух:
Розглянемо рух стрижня 2. Швидкість точки Авизначено, а напрямок швидкості точки Уобумовлено тим, що вона належить одночасно стрижню 2 і пів-
зуну, що рухається вздовж напрямних. Тепер, відновлюючи з точок Аі Уперпендикуляри до У Ата напрямку руху повзуна В,знаходимо положення точки С 2 - МЦС стрижня 2.
У напрямку вектора У А,враховуючи, що в положенні механізму, що розглядається, стрижень 2 обертається навколо точки С 2 , визначаємо напрям кутової швидкості з 2 стрижня 2 і знаходимо її числове значення (про 2 = V a /AC 2 = 0,8/1,04 = 0,77 -1 , де АС 2 – АВ sin 60° = 1,04 м (отримаємо під час розгляду А АС~,В).
Тепер визначаємо числові значення та напрямки швидкостей точок Уі Dстрижня 2 (так як ABDC 2рівносторонній, то НД 2 - DC 2 - - 0,6 м):
Розглянемо рух стрижня 3. Швидкість точки Dвідома. Бо точка Еналежить одночасно і стрижню 4, що обертається навколо осі 0 4 , то У е 10 4 Е. Тоді, проводячи через точки Dі Епрямі, перпендикулярні до швидкостей V D wV E ,знаходимо положення точки С 3 - МЦС стрижня
3. У напрямку вектора V D ,дивлячись з нерухомої точки С 3 визначаємо напрям кутової швидкості з 3 а її числове значення знаходимо (попередньо визначивши з AZ) C 3 ? відрізок Z) C 3 = DEsin 30 ° = 0,35 м): з 3 = V d / C3 D = 1,32 с -1.
Для визначення швидкості точки Допроведемо пряму КС 3і, враховуючи, що АР К З 3рівносторонній ( КС 3 = 0,35 м), обчислимо У к = = 0,462 м/с, К АКС 3 .
Розглянемо рух стержня_4, що обертається навколо осі 0 4 . Знаючи напрям і числове значення V E ,знаходимо напрямок та значення кутової швидкості з 4: з 4 = V e /0 4 E - 2,67 с.
Відповідь: V A= 0,8 м/с, V B = V D= 0,462 м/с, V E = 0,8 м/с, з 2 = 0,77 с" 1, з 3 = 1,32 с -1, (про 4 = 2,67 с -1, напрямки цих величин показані на рис. 8.11.
Примітка.У механізмі, що складається з декількох тіл, кожне тіло, що непоступально рухається, має в даний момент часу свій миттєвий центр швидкостей і свою кутову швидкість.
Завдання 8.4.Плоский механізм складається з стрижнів 1, 2, 3 і ковзанка, що котиться без ковзання по нерухомій площині (рис. 8.12, а).З'єднання стрижнів між собою та стрижня 3 до ковзанки в точці D -шарнірні. Довжини стрижнів: 1 { - 0,4 м, / 2 = 0,6 м, / 3 = 0,8 м. При даних кутах а = 60 °, В = 30 ° відомі значення та напрямки кутової швидкості, = = 2 с і швидкості центру Проковзанка V 0= 0,346 м/с, ZABD= 90 °. Визначити швидкість точки Ута кутову швидкість з 2 .
Рішення. Механізм має два ступені свободи (його положення визначається двома кутами а і р, що не залежать один від одного) і швидкість точки У(загальної точки стрижнів 2 і 3) залежить від швидкостей точок Аі D.
Розглядаючи рух стрижня /, н аходимо напрямок і значення швидкості точки A: V A= coj/j = 0,8 м/с, V a AjO (A.
Розглянемо рух ковзанки. Його миттєвий центр швидкостей розташований у точці Р;тоді V Dзнайдемо із пропорції
Оскільки A DOPрівнобедрений і гострі кути в ньому дорівнюють 30°, то DP- 2 OP cos 30° = ОРл/ 3. З рівності (а) знаходимо V D - 0,6 м/с. Вектор V Dспрямований перпендикулярно DP.
Бо точка Уналежить одночасно стрижням АВі BD,то за теоремою про проекції швидкостей має бути: 1) проекція вектора У вна пряму А В У А(відрізок Аана рис. 8.12, а),тобто. У А cos а = 0,4 м/с; 2) проекція вектора У вна пряму DBдорівнює проекції на цю пряму вектор У 0(відрізок Ddна рис. 8.12, а),тобто. У 0 cos у = 0,3 м/с (у = 60 °).
Далі вирішуємо графічно. Відкладаємо від крапки Уу відповідних напрямках відрізки ВЬ ( = Ааі Bb 2 = Dd.Швидкість точки Удорівнює сумі векторів V B = Bb + Bbj.Відновлюємо з точки Ь (перпендикуляр до ВЬ Х,а з
крапки b 2 -перпендикуляр до ВЬ 2 . Точка перетину цих перпендикулярів визначає кінець шуканого вектора VB.
Оскільки напрямки відрізків ВЬі ВЬ 2взаємно перпендикулярні, то
Визначаємо з 2 . На рис. 8.12, бпоказаний так званий план швидкостей, який графічно зображує векторну рівність
де вектори V Aі V Bвизначено (див. рис. 8.12, а),а напрямок V BAперпендикулярно стрижню АВ.З креслення (рис. 8.12, б)знаходимо
Тепер визначаємо з 2 = V ba /AB- 1,66 з -1 (напрямок з 2 - проти ходу годинникової стрілки).
Відповідь: V B - 0,5 м/с, з 2 = 1,66 -1 .
Було відзначено, що рух плоскої фігури можна розглядати як складовий поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються зі швидкістю полюса Аі з обертального руху навколо цього полюса. Покажемо, що швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометрично зі швидкостей, які крапка отримує у кожному з цих рухів.
Справді, становище будь-якої точки Мфігури визначається по відношенню до осей Охурадіусом-вектором (рис.30), де - радіус-вектор полюса А, - Вектор, що визначає положення точки Мщодо осей, що переміщаються разом з полюсом Апоступально (рух фігури по відношенню до цих осей є обертанням навколо полюса А). Тоді
В отриманій рівності величина є швидкість полюса А; величина ж дорівнює швидкості, яку точка Мотримує за , тобто. щодо осей, або, інакше кажучи, при обертанні фігури навколо полюса А. Таким чином, з попередньої рівності справді випливає, що
Швидкість, яку точка Мотримує при обертанні фігури навколо полюса А:
де - Кутова швидкість фігури.
Таким чином, швидкість будь-якої точки Мплоскої фігури геометрично складається зі швидкості якоїсь іншої точки А, прийнятої за полюс, та швидкості, яку точка Мотримує при обертанні фігури довкола цього полюса. Модуль та напрямок швидкості знаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис.31).
Рис.30 Рис.31
23. Фактично рівнянням поступального руху твердого тіла є рівняння другого закону Ньютона: Використовуючи рівняння:
І отримуємо.
24.У цьому випадку складники
– моменти зовнішніх сил, спрямовані вздовж xі y, компенсуються моментами сил реакції закріплення.
Обертання навколо осі zвідбувається лише під дією
6.4 6.5
Нехай деяке тіло обертається навколо осі z.Отримаємо рівняння динаміки для деякої точки m iцього тіла, що знаходиться на відстані R iвід осі обертання. При цьому пам'ятаємо, що і
Спрямовані завжди вздовж осі обертання z,тому надалі опустимо значок z.
Так як у всіх точок різна, введемо, вектор кутової швидкості причому
Так як тіло абсолютно тверде, то в процесі обертання m iі R iзалишаться незмінними. Тоді:
Позначимо I i – момент інерції крапкищо знаходиться на відстані Rвід осі обертання:
Оскільки тіло складається з величезної кількості точок і всі вони знаходяться на різних відстанях від осі обертання, то момент інерції тіла дорівнює:
де R- Відстань від осі zдо d m.Як видно, момент інерції I- Величина скалярна.
Підсумувавши по всіх i-ним точкам,
отримаємо або - Це основне рівняння
динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
26) Момент імпульсу твердого тіла.
p align="justify"> Момент імпульсу є векторна сума моментів імпульсів всіх матеріальних точок тіла відносно нерухомої осі.
Якщо вісь обертання твердого тіла закріплена, то момент сили перпендикулярний до цієї осі () за рахунок сил тертя в підшипниках завжди дорівнюватиме нулю.
Швидкість зміни моменту імпульсу твердого тіла вздовж осі обертання, яка закріплена, дорівнює результуючий момент зовнішніх сил, спрямований уздовж цієї осі.
- момент інерції.
28)Момент сил тертя кочення – закон Кулона. Коефіцієнт тертя кочення.
Тертя кочення. Існування тертя кочення можна встановити експериментально, наприклад, для дослідження кочення важкого циліндра радіуса на горизонтальній площині.
Якщо циліндр і площина - тверді тіла з шорсткими поверхнями (рис. 55, a), то їх дотик буде відбуватися в точці, сила N врівноважує силу тяжкості P, а горизонтальна сила Q і тертя F утворюють пару сил (Q, F) під дією якої циліндр повинен починати рух за будь-яких величинах сили Q. Насправді ж циліндр починає рух після того, як величина сили Q перевищить граничне значення Ql.
Цей факт можна пояснити, якщо припустити, що циліндр та площину деформуються. Тоді їх контакт відбуватиметься по малій площадці або лунці (на рис. 55, b мала площа зображена своїм перетином). При збільшенні сили Q центр тиску переміщатиметься з середини перерізу вправо. В результаті утворюється пара сил (P,N), яка перешкоджає початку руху циліндра. У стані граничної рівноваги на циліндр діють пара сил (Ql,F) з моментом Qlr і врівноважує її пара (P,N) з моментом Nδ, де δ - значення максимального зміщення. З рівності моментів пар сил знаходимо (6)
Поки Q
Зазвичай рис. 55 b спрощують, не зображуючи на ньому зміщення точки докладання нормальної реакції, додаючи до сил на рис. 55 a пару сил, що перешкоджає коченню циліндра, як показано на рис. 55, c.
Момент цієї пари сил називається моментом тертя кочення, Він дорівнює моменту пари сил (P, N): (7)
Величина максимального зміщення точки докладання нормальної реакції, що входить до формул (6) і (7) δ називається коефіцієнтом тертя кочення.Він має розмірність довжини та визначається експериментально. Наведемо наближені значення цього коефіцієнта (в метрах) для деяких матеріалів: дерево по дереву = 0,0005-0,0008; м'яка сталь по сталі (колесо по рейці) – 0.00005; загартована сталь по сталі (кулькопідшипник) – 0.00001.
Відношення δ/r у формулі (6) для більшості матеріалів значно менше коефіцієнта тертя спокою f0. Тому в техніці, коли це можливо, прагнуть ковзання замінити коченням (колеса, катки, шарикопідшипники тощо).
Закон Амонтона – Кулону
Основна стаття: Закон Кулона (механіка)
Не плутати із законом Кулона!
Основною характеристикою тертя є коефіцієнт тертя μ, який визначається матеріалами, з яких виготовлені поверхні тіл, що взаємодіють.
У найпростіших випадках сила тертя F і нормальне навантаження (або сила нормальної реакції) Nnormal пов'язані нерівністю, що звертаються до рівності тільки за наявності відносного руху. Це співвідношення називається законом Амонтона – Кулона.
3.5.1. Метод полюса
Оскільки рух плоскої фігури можна розглядати як складовий з поступального, коли всі точки фігури рухаються так само, як полюс Азі швидкістю , і обертального руху навколо полюса, то швидкість будь-якої точки Уфігури визначимо векторною сумою швидкостей (рис.23).
, (65)
де - швидкість полюса точки А;
Швидкість точки Упри обертанні фігури навколо полюса точки А(якщо вважати його нерухомим) чисельно дорівнює
Уперпендикулярно ВАу бік обертання кутової швидкості (рис.23).
Чисельне значення швидкості точки Увизначимо за теоремою косінусів
де – кут між векторами та , Î .
Рівність проекцій є наслідком незмінності відстані між точками Аі У, що належать твердому тілу, тому рівність буде справедливою для будь-якого руху твердого тіла.
3.5.2. Метод миттєвого центру швидкостей (МЛС)
Миттєвим центром швидкостей називається точка Рплоскої фігури, швидкість якої на даний час дорівнює нулю. Швидкості всіх інших точок плоскої фігури в даний момент часу визначаються так, якби рух фігури був обертальним щодо точки Р(Рис.25).
|
Відповідно до методу полюса швидкість точки Убуде рівна
. (69)
Так як швидкість полюса (МЛС) точки Рдорівнює нулю (), то
Вектор швидкості спрямований з точки Уперпендикулярно ВРу бік обертання кутової швидкості w.
Аналогічна рівність можна уявити всім точок плоскої фігури, отже, швидкості точок плоскої фігури пропорційні їх відстаням до МЦС.
Для визначення положення (МЛС) плоскої фігури потрібно знати напрямок ліній, уздовж яких діють вектори швидкостей точок Аі У(і). МЦС для цієї фігури перебуватиме в точці перетину перпендикулярів відновлених до цих ліній.
Для знаходження швидкості точки У, згідно з рис.25, потрібно знати швидкість точки А. Тоді кутова швидкість руху фігури в даний момент часу становитиме
де АР- Відстань точки Адо точки Р, Визначається згідно з вихідними даними.
Кутова швидкість під дією швидкості щодо полюса точки Рспрямована за годинниковою стрілкою.
Швидкість точки Ув даний момент часу складе
Вектор швидкості точки У() спрямований перпендикулярно лінії РВу бік обертання кутової швидкості w (рис.25).
3.5.2.1. Поняття про центроїди
Траєкторія, яку описує МЦС разом з рухомою фігурою, називається рухомою центроїдою (приклад, при русі колеса по поверхні без ковзання (табл.2) рухомий центроїдою є зовнішнє коло колеса).
Геометричне місце МЦС, положень точки Рна нерухомій площині називають нерухомою центроїдою (при русі колеса по поверхні без ковзання (див. табл.2) нерухомою центроїдою є нерухома поверхня, по якій котиться колесо).
3.5.2.2. Приватні випадки МЛС
Таблиця 2.
Миттєво-поступальний рух ланки АВ | Рух колеса по поверхні (без ковзання) | Рух рухомого блоку |
Крапка Урухається прямою х-х, отже, швидкість V Bспрямована вздовж осі, проводимо перпендикуляр до осі х-х. Оскільки перпендикулярні лінії не перетинаються, то ланка АВперебуває у миттєво-поступальному русі, швидкості всіх точок цієї ланки рівні, МЦС перебуває у нескінченності, . | МЦС знаходиться в точці торкання колеса з нерухомою поверхнею, якою котиться колесо, точці Р. Кутова швидкість колеса, складе . Швидкості точок У, З | МЦС (точка Р) знаходиться в точці перетину відрізка АВі прямий, що проходить через кінці векторів та . Визначення положення точки Р. Кутова швидкість блоку |
5) Поступальний рух.приклади.
Визначення обертального руху тіла довкола нерухомої осі.
Рівняння обертального руху.
- Такий рух, при якому всі його точки рухаються в площинах, перпендикулярних деякої нерухомої прямої, і описують кола з центрами, що лежать на цій прямій, званої віссю обертання.
Рух визначається законом зміни двогранного кута φ (кута повороту), утвореного нерухомою площиною P, що проходить через вісь обертання, і площиною Q, жорстко пов'язаною з тілом:
Кутова швидкість - величина, що характеризує швидкість зміни кута повороту.
Кутове прискорення - величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості.
Визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури.
1 спосіб визначення швидкостей через вектори. Швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкостей полюса та обертальної швидкості цієї точки навколо полюса. Таким чином, швидкість точки B дорівнює геометричній сумі швидкості полюса A і обертальної швидкості точки B навколо полюса:
2 спосіб визначення швидкостей через проекції. (Теорема про проекції швидкостей) Проекції швидкостей точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки рівні.
3) Формули обчислення швидкості та прискорення точки при природному способі завдання її руху.
вектор швидкості; - проекція швидкості на дотичну;
Складові вектор прискорення; -Проекції прискорення на осі t і n;
Таким чином, повне прискорення точки є векторна сума двох прискорень:
дотичного, спрямованого по дотичній до траєкторії у бік збільшення дугової координати, якщо (інакше – у протилежну) і
нормального прискорення, направленого по нормалі до дотичної до центру кривизни (увігнутості траєкторії): Модуль повного прискорення:
4) Формули обчислення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання її руху в декартових координатах.
Складові вектора швидкості: -Проекції швидкості на осі координат:
-Складові вектора прискорення; -Проекції прискорення на осі коодинат;
5) Поступальний рух.приклади.
(Повзун, поршень насоса, спарник коліс паровоза, що рухається прямолінійним шляхом, кабіна ліфта, двері купе, кабіна колеса огляду).- це такий рух, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом, залишається паралельною самій собі. Зазвичай поступальний рух ототожнюється з прямолінійним рухом його точок, але це негаразд. Точки та саме тіло (центр мас тіла) можуть рухатися по криволінійних траєкторіях, див., наприклад, рух кабіни колеса огляду. Іншими словами – це рух без поворотів.
Лекція 3. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Визначення швидкостей та прискорень.
У цій лекції розглядаються такі вопросы:
1. Плоскопаралельний рух твердого тіла.
2. Рівняння плоскопаралельного руху.
3. Розкладання руху на поступальне та обертальне.
4. Визначення швидкостей точок плоскої фігури.
5. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла.
6. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей.
7. Розв'язання задач визначення швидкості.
8. План швидкостей.
9. Визначення прискорень точок плоскої фігури.
10. Розв'язання задач на прискорення.
11. Миттєвий центр прискорень.
Вивчення даних питань необхідно надалі динаміки плоского руху твердого тіла, динаміки відносного руху матеріальної точки, на вирішення завдань у дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».
Плоскопаралельний рух твердого тіла. Рівняння плоскопаралельного руху.
Розкладання руху на поступальне та обертальне
Плоскопаралельним (або плоским) називається такий рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщаються паралельно до деякої фіксованої площини. П(Рис. 28). Плоский рух здійснюють багато частин механізмів і машин, наприклад колесо, що котиться на прямолінійній ділянці шляху, шатун в кривошипно-повзунному механізмі та ін. Приватним випадком плоскопаралельного руху є обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.
мал.28 мал.29
Розглянемо перетин Sтіла якоїсь площини Оxy, паралельної площині П(Рис.29). При плоскопаралельному русі всі точки тіла, що лежать на прямій ММ', перпендикулярної до течії S, Т. е. площині П, рухаються тотожно.
Звідси укладаємо, що вивчення руху всього тіла досить вивчити, як рухається у площині Охуперетин Sцього тіла чи деяка плоска фігура S. Тому надалі замість плоского руху тіла розглядатимемо рух плоскої фігури. Sу її площині, тобто. у площині Оху.
Положення фігури Sу площині Охувизначається положенням якогось проведеного на цій фігурі відрізка АВ(Рис. 28). У свою чергу положення відрізка АВможна визначити, знаючи координати x A і y A точки Аі кут, який відрізок АВутворює з віссю х. Крапку А, Вибрану для визначення положення фігури S, будемо надалі називати полюсом.
При русі фігури величини x A і yА і змінюватимуться. Щоб знати закон руху, тобто положення фігури у площині Охуу будь-який момент часу, треба знати залежності
Рівняння, що визначають закон руху, називаються рівняннями руху плоскої фігури в її площині. Вони є рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.
Перші з рівнянь руху визначають те рух, яке фігура здійснювала при =const; це, очевидно, буде поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс А. Третє рівняння визначає рух, який фігура здійснювала при і , тобто. коли полюс Анерухомий; це буде обертання фігури навколо полюса А. Звідси можна зробити висновок, що в загальному випадку рух плоскої фігури в її площині може розглядатися як що складається з поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс Аі з обертального руху навколо цього полюса.
Основними кінематичними характеристиками аналізованого руху є швидкість і прискорення поступального руху, рівні швидкості та прискорення полюса, а також кутова швидкість та кутове прискорення обертального руху навколо полюса.
Визначення швидкостей точок плоскої фігури
Було відзначено, що рух плоскої фігури можна розглядати як складовий поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються зі швидкістю полюса Аі з обертального руху навколо цього полюса. Покажемо, що швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометрично зі швидкостей, які крапка отримує у кожному з цих рухів.
Справді, становище будь-якої точки Мфігури визначається по відношенню до осей Охурадіусом-вектором (рис.30), де - радіус-вектор полюса А, - Вектор, що визначає положення точки Мщодо осей, що переміщаються разом з полюсом Апоступально (рух фігури по відношенню до цих осей є обертанням навколо полюса А). Тоді