Визначення швидкості точки фігури під час плоского руху. Визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури. Складний рух точки
![Визначення швидкості точки фігури під час плоского руху. Визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури. Складний рух точки](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Швидкість довільної точки Мфігури визначимо як сума швидкостей, які точка одержує при поступальному русі разом з полюсом і обертальний рух навколо полюса.
Уявимо положення точки Мяк (рис.1.6).
Продиференціювавши цей вираз за часом отримаємо:
, т.к.
.
При цьому швидкість v MA. яку точку Мотримує при обертанні фігури навколо полюса А, визначатиметься з виразу
v MA=ω · MA,
де ω - Кутова швидкість плоскої фігури.
Швидкість будь-якої точки Мплоскої фігури геометрично складається зі швидкості точки А, прийнятої за полюс, та швидкості, точки Мпри обертанні фігури довкола полюса. Модуль та напрямок швидкості цієї швидкості знаходяться побудовою паралелограма швидкостей.
Завдання 1
Визначити швидкість точки А,якщо швидкість центру ковзанки дорівнює 5м/с, кутова швидкість ковзанки . Радіус ковзанки r=0,2м,кут. Ковзанка котитися без ковзання.
Так як тіло здійснює плоскопаралельний рух, то швидкість точки Аскладатиметься зі швидкості полюса (точка З) та швидкості отриманої точкою Апри обертанні навколо полюса З.
,
Відповідь:
Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла, що рухає плоскопаралельно
Розглянемо якісь дві точки Аі Уплоских фігур. Приймаючи крапку Аза полюс (рис.1.7), отримуємо
Звідси, проеціюючи обидві частини рівності на вісь, спрямовану по АВ, і враховуючи, що вектор перпендикулярний АВ, знаходимо
v B· cosβ=v A· cosα+ v A· cos90°.
т.к. v У A· cos90°=0отримуємо: проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, рівні.
Завдання 1
Стрижень АВковзає по гладкій стіні вниз і гладкій підлозі, швидкість точки A V A = 5м/с,кут між підлогою та стрижнем АВдорівнює 30 0 . Визначити швидкість точки Ст.
Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей
При визначенні швидкостей точок плоскої фігури через швидкість полюса, швидкість полюса і швидкість обертального руху навколо полюса можуть дорівнювати за величиною і протилежні за напрямом і існує така точка Р, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю називають її миттєвим центром швидкостей.
Миттєвим центром швидкостейназивається точка, пов'язана з плоскою фігурою, швидкість якої в даний час дорівнює нулю.
Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент часу так, ніби рух фігури був миттєво обертальним навколо осі, що проходить через миттєвий центр швидкостей (рис. 1.8).
v A=ω · PA; ().
Т.к. v B=ω · PB; (), то w= v B/PB=v A/PA
Швидкості точок плоскої фігури пропорційні найкоротшим відстаням від цих точок до миттєвого центру швидкостей.
Отримані результати призводять до таких висновків:
1) для визначення положення миттєвого центру швидкостей треба знати величину та напрямки швидкості та напрям швидкості якихось двох точок Аі Уплоскі фігури; миттєвий центр швидкостей Pзнаходиться в точці перетину перпендикулярів, відновлених з точок Аі Удо швидкостей цих точок;
2) кутова швидкість ω Плоска фігура в даний момент часу дорівнює відношенню швидкості до відстані від неї до миттєвого центру Ршвидкостей: ω =v А/РА;
3) Швидкість точки по відношенню до миттєвого центру швидкостей P вкаже напрям кутової швидкості w.
4) Величина швидкості точки прямопропорційна найкоротшій відстані від точки У до миттєвого центру швидкостей Р v А = ω · ВР
Завдання 1
Кривошип ОАдовжиною 0,2мобертається рівномірно з кутовою швидкістю ω=8 рад/с. До шатуна АВу точці Зшарнірно прикріплений шатун CD.Для заданого положення механізму визначити швидкість точки Dповзуна, якщо кут .
Рух точки Уобмежено горизонтальними напрямними, повзун може здійснювати лише поступальний рух горизонтальними напрямними. Швидкість точки Успрямована в ту ж сторону що і . Так як дві точки шатуна мають однаковий напрямок швидкостей, тіло здійснює миттєво поступальний рух, і швидкості всіх точок шатуна мають однаковий напрямок і значення.
ПЛОСКИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА
Навчальні питання:
1.Рівняння плоского руху твердого тіла.
2. Швидкість точок плоскої фігури
3. Миттєвий центр швидкостей
4. Прискорення точок плоскої фігури
1.Рівняння плоского руху твердого тіла
Плоский рух твердого тіланазивають такерух, при якому всі точки перетину тіла рухаються у своїй площині.
Нехай тверде тіло 1 здійснює плоский рух.
Сікучаплощина
в тілі 1
утворює переріз П, який переміщається в сіючій площині
.
Якщо паралельно площині виконати інші перерізи тіла, наприклад через точки
і т.д., що лежать на одному перпендикулярі до перерізів, всі ці точки і всі перерізи тіла будуть переміщатися однаково.
Отже, рух тіла в цьому випадку повністю визначається рухом одного з його перерізів в будь-якій з паралельних площин, а положення перерізу - положенням двох точок цього перерізу, наприклад Аі У.
Положення перерізу Пу площині Охувизначають положенням відрізка АВ,проведеного у цьому перерізі. Положення двох точок на площині А()
і В(
)
характеризується чотирма параметрами (координатами), куди накладають одне обмеження - рівняння зв'язку як довжини отрезка АВ:
Тому положення перерізу П у площині можна задати трьома незалежними параметрами – координатами
крапкиА
та кутом
,
який утворює відрізок АВз віссю Ох.Крапку А,обрану для визначення положення перерізу П, називають ПОЛЮСОМ.
При русі перетину тіла його кінематичні параметри є функціями часу
Рівняння є кінематичними рівняннями плоского (плоскопаралельного) руху твердого тіла. Тепер покажемо, що відповідно до отриманих рівнянь тіло при плоскому русі здійснює поступальний і обертальний рух. Нехай на мал. перетин тіла, заданий відрізком
у системі координат Оху,перемістилося з початкового положення 1
у кінцеве положення 2.
Покажемо два способи можливого переміщення тіла із положення 1 у положення 2.
Перший метод.За полюс приймемо крапку . Переміщаємо відрізок
паралельно себе, тобто. поступально, по траєкторії
,
до суміщення точок
і
. Отримуємо положення відрізка
.
на кут
і отримуємо кінцеве положення плоскої фігури, задане відрізком
.
Другий спосіб.За полюс приймемо крапку . Переміщаємо відрізок
паралельно себе, тобто. поступально по траєкторії
до суміщення точок
і
. Отримуємо положення відрізка
.
Далі повертаємо цей відрізок навколо полюса
на
кут
і отримуємо кінцеве положення плоскої фігури, задане відрізком
.
Зробимо такі висновки.
1. Плоский рух у повній відповідності до рівнянь є сукупність поступального і обертального рухів, причому модель плоского руху тіла можна розглядати як поступальний рух усіх точок тіла разом з полюсом і обертання тіла щодо полюса.
2. Траєкторії поступального руху тіла залежить від вибору полюса
.
На рис. 13.3 у розглянутому випадку бачимо, що у першому способі руху, коли за полюс приймали крапку траєкторія поступального руху
значно відрізняється від траєкторії
для іншого полюса Ст.
3. Обертання тіла від вибору полюса не залежить. Кут
обертання тіла залишається постійним за модулем та напрямом обертання
. У обох випадках, розглянутих на рис. 13.3 обертання відбулося проти обертання годинникової стрілки.
Основними характеристиками тіла при плоскому русі є траєкторія руху полюса, кут обертання тіла навколо полюса, швидкість і прискорення полюса, кутова швидкість і кутове прискорення тіла. Додаткові осі
при поступальному русі переміщаються разом із полюсом Апаралельно основним осям Охуза траєкторією руху полюса.
Швидкість полюса плоскої фігури можна визначити за допомогою похідних часу від рівнянь:
Аналогічно визначають кутові характеристики тіла: кутову швидкість ;
кутове прискорення
.
На рис. у полюсі Апоказані векторні проекції швидкості на осі Ох, Оу.Кут обертання тіла
, кутова швидкість
та кутове прискорення
показані дуговими стрілками навколо точки А.У зв'язку з незалежністю обертальних характеристик руху від вибору полюса кутові характеристики
,
,
можна показувати у будь-якій точці плоскої фігури дуговими стрілками, наприклад, у точці В.
Лекція 3. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Визначення швидкостей та прискорень.
У цій лекції розглядаються такі вопросы:
1. Плоскопаралельний рух твердого тіла.
2. Рівняння плоскопаралельного руху.
3. Розкладання руху на поступальне та обертальне.
4. Визначення швидкостей точок плоскої фігури.
5. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла.
6. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей.
7. Розв'язання задач визначення швидкості.
8. План швидкостей.
9. Визначення прискорень точок плоскої фігури.
10. Розв'язання задач на прискорення.
11. Миттєвий центр прискорень.
Вивчення даних питань необхідно надалі динаміки плоского руху твердого тіла, динаміки відносного руху матеріальної точки, на вирішення завдань у дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».
Плоскопаралельний рух твердого тіла. Рівняння плоскопаралельного руху.
Розкладання руху на поступальне та обертальне
Плоскопаралельним (або плоским) називається такий рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщаються паралельно до деякої фіксованої площини. П(Рис. 28). Плоский рух здійснюють багато частин механізмів і машин, наприклад колесо, що котиться на прямолінійній ділянці шляху, шатун в кривошипно-повзунному механізмі та ін. Приватним випадком плоскопаралельного руху є обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.
мал.28 мал.29
Розглянемо перетин Sтіла якоїсь площини Оxy, паралельної площині П(Рис.29). При плоскопаралельному русі всі точки тіла, що лежать на прямій ММ', перпендикулярної до течії S, Т. е. площині П, рухаються тотожно.
Звідси укладаємо, що з вивчення руху всього тіла досить вивчити, як рухається у площині Охуперетин Sцього тіла чи деяка плоска фігура S. Тому надалі замість плоского руху тіла розглядатимемо рух плоскої фігури. Sу її площині, тобто. у площині Оху.
Положення фігури Sу площині Охувизначається положенням якогось проведеного на цій фігурі відрізка АВ(Рис. 28). У свою чергу положення відрізка АВможна визначити, знаючи координати x A і y A точки Аі кут, який відрізок АВутворює з віссю х. Крапку А, Вибрану для визначення положення фігури S, будемо надалі називати полюсом.
При русі фігури величини x A і yА і змінюватимуться. Щоб знати закон руху, тобто положення фігури у площині Охуу будь-який момент часу, треба знати залежності
Рівняння, що визначають закон руху, називаються рівняннями руху плоскої фігури в її площині. Вони є рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.
Перші з рівнянь руху визначають те рух, яке фігура здійснювала при =const; це, очевидно, буде поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс А. Третє рівняння визначає рух, який фігура здійснювала при і , тобто. коли полюс Анерухомий; це буде обертання фігури навколо полюса А. Звідси можна зробити висновок, що в загальному випадку рух плоскої фігури в її площині може розглядатися як що складається з поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс Аі з обертального руху навколо цього полюса.
Основними кінематичними характеристиками аналізованого руху є швидкість і прискорення поступального руху, рівні швидкості та прискорення полюса, а також кутова швидкість та кутове прискорення обертального руху навколо полюса.
Визначення швидкостей точок плоскої фігури
Було відзначено, що рух плоскої фігури можна розглядати як складовий поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються зі швидкістю полюса Аі з обертального руху навколо цього полюса. Покажемо, що швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометрично зі швидкостей, які крапка отримує у кожному з цих рухів.
Справді, становище будь-якої точки Мфігури визначається по відношенню до осей Охурадіусом-вектором (рис.30), де - радіус-вектор полюса А, - Вектор, що визначає положення точки Мщодо осей, що переміщаються разом з полюсом Апоступально (рух фігури по відношенню до цих осей є обертанням навколо полюса А). Тоді
Нагадаємо, що рух плоскої фігури можна розглядати як складається з поступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса.
Відповідно з цим швидкість довільної точки М плоскої фігури геометрично складається зі швидкості якоїсь точки А, прийнятої за полюс, і швидкості, яку точка М отримує при обертанні фігури навколо цього полюса,тобто.
При цьому швидкість V MAвизначається як швидкість точки Мпри обертанні тіла навколо нерухомої осі, що проходить через крапку Аперпендикулярно до площини руху (див. § 7.2), тобто.
Таким чином, якщо відомі швидкість полюса V Аі кутова швидкість тіла зі, то
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
швидкість будь-якої точки Мтіла визначається відповідно до рівності (8.2), діагоналлю паралелсгграма, побудованого на векторах V Aі V MAяк на сторонах (рис. 8.3), а модуль швидкості V Mобчислюється за формулою
де у - кут між векторами V Aі V MA
Завдання 8.1. Колесо котиться нерухомою поверхнею без ковзання (рис. 8.4, а). Знайти швидкість точок До і D колеса, якщо відомі швидкість V c центру З колеса, радіус R колеса, відстань КС = b та кут а.
Рішення. 1. Розглянутий рух колеса є плоскопаралельним. Прийнявши точку С за полюс (оскільки її швидкість відома), відповідно до загальної рівності (8.2), для точки До можемо записати
Однак немає можливості визначити значення V KC оскільки невідома кутова швидкість зі.
Для визначення з розглянемо швидкість іншої точки, а саме точки Р торкання колеса про нерухому поверхню (рис. 8.4, б). Для цієї точки можна написати рівність
Особливістю точки Р є та обставина, що в даний момент часу V p - 0, оскільки колесо котиться без ковзання. Тоді рівність (б) набуває вигляду
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
звідки отримаємо
Звідси випливає: 1) вектори швидкостей V PCі V cповинні бути спрямовані у протилежні сторони; 2) із рівності модулів V PC - V cотримуємо іРС = V c ,звідси знайдемо зі = V c / PC = V c / R.Відповідно до напряму вектора V PCвизначаємо напрямок дугової стрілки з і показуємо її на кресленні (рис. 8.4, б).
Тепер повертаємось до визначення V Kпо рівності (а). Знаходимо
Vкс = про КС - V^b/R.Знаючи напрям кутової швидкості, зображаємо вектор V KCперпендикулярно відрізку КСі виконуємо побудову паралелограма на векторах V cі V KC(Рис. 8.4, в).Тому що в даному випадку V cі V KCвзаємно перпендикулярні, остаточно знаходимо
2. Швидкість точки Dна обід колеса визначимо з рівності V D = V C + V DC.Оскільки чисельно V DC -зі R - V c ,то паралелограм, побудований на векторах V cі V DC ,буде ромбом. Кут між V cі V DCдорівнює 2а. Визначивши V Dяк довжину відповідної діагоналі ромба, отримаємо
Теорема про проекції швидкостей двох точок твердого тіла
Відповідно до рівності (8.2) для двох довільних точок Аі Утвердого тіла справедлива рівність V B = V A + V BAвідповідно до якого виконаємо побудову, показану на рис. 8.5. Проеціюючи цю рівність на вісь Az,спрямовану по А В,отримаємо Розум + V BAz.Враховуючи, що вектор V BAперпендикулярний прямий
А В,знаходимо
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Цей результат висловлює теорему: Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють один одному.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Зазначимо, що рівність (8.5) математично відображає ту обставину, що тіло розглядається як абсолютно тверде та відстань між точками Аі Уне змінюється. Тому рівність (8.5) виконуєтьсяне тільки при плоскопаралельному, а й за будь-якого руху твердого тіла.
Завдання 8.2. Повзуни Аі В,з'єднані стрижнем з шарнірами на кінцях, перемішуються по взаємно перпендикулярним напрямним у площині креслення (рис. 8.6, а).Визначити при даному вугіллі швидкість точки В,якщо відома швидкість V A .
Рішення. Проведемо вісь х через крапки Аі Ст.Знаючи напрям V A ,
знаходимо проекцію цього вектора на пряму АВ: V Ax - V A cos а (на рис. 8.6, бце буде відрізок Аа).Далі на кресленні від точки Увідкладаємо ВЬ - Аа(оскільки відрізок Аарозташований на осі х праворуч від точки А,то й відрізок ВЬвідкладаємо від крапки Упо осі х праворуч). Відновлюючи в точці Ьперпендикуляр до прямої АВ,знаходимо точку кінця вектора VB.
Відповідно до теореми про проекції V A cos а = K^cosp. Звідси (зважаючи на те, що Р = 90° - а) остаточно отримаємо V B = V A cos a/cos(90° - a) або V B = = V A ctg a.
Визначення швидкостей точок за допомогою миттєвого центру швидкостей
Для визначення швидкостей точок плоскої фігури виберемо як полюс будь-яку точку Р.Тоді, згідно з формулою
(8.2), швидкість довільної точки Мвизначається як сума двох векторів:
Якби швидкість полюса Рв даний момент часу дорівнювала нулю, то права частина цієї рівності була б представлена одним доданком У МРі швидкість будь-якої точки визначалася б як швидкість точки Мтіла при обертанні його навколо нерухомого полюса Р.
Отже, якщо вибрати як полюс точку Р,швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, то модулі швидкостей всіх точок фігури будуть пропорційні їх відстаням до полюса Р, а напрямки векторів швидкостей усіх точок будуть перпендикулярні прямим, що з'єднує точку, що розглядається, і полюс Р.Природно, що розрахунок за формулами (8.6) значно простіший за розрахунок за загальною формулою (8.2).
Точка плоскої фігури, швидкість якої на даний час дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦС).Легко переконатися, що коли фігура рухається непоступально, то така точка в кожний момент часу існує і єдина. Відзначимо, що миттєвий центр швидкостей може бути розташований як на самій фігурі, так і на її продовженні.
Розглянемо методи визначення становища миттєвого центру швидкостей.
1. Нехай у момент часу tjum плоскої фігури відомі її кутова швидкість з і швидкість V Aякоїсь її точки А(Рис. 8.7, а).Тоді, вибираючи точку Аяк полюс,_швидкість_пошуканий нами точки Рможна визначити за формулою V p = V A + Vp A -
Завдання полягає в тому, щоб знайти таку точку Р,у якої V P=0, отже, для неї V A +У РЛ=0 і звідси У РА = -УА. Отже, для точки Ршвидкість УРА, яку точка Ротримує при обертанні фігури навколо полюса А,та швидкість У Аполюса Арівні за модулем (У РА = У А)або про ЗАР = У Аі протилежні за напрямом. Крім того, точка Рмає лежати на перпендикулярі до вектора УА. Визначення положення точки Рздійснюється такою побудовою: з точки А(Рис. 8.7, б)відновимо перпендикуляр до вектора У Аі відкладемо на ньому відстань АР = УА /з в той бік від точки А,куди «покаже» вектор УА якщо його повернути на 90° у напрямку дугової стрілки зі.
Миттєвий центр швидкостей є єдиною точкою плоскої фігури, швидкість якої в даний час дорівнює нулю.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
В інший момент часу миттєвим центром швидкостей може бути інша точка плоскої фігури.
2. Нехай відомі напрямки швидкостей V Aі У в(Рис. 8.8, а)двох точок Аі Уплоскої фігури (причому вектори швидкостей цих точок непаралельні) або відомі елементарні переміщення цих точок. Миттєвий центр швидкостей перебуватиме в точці перетину перпендикулярів, відновлених з точок А і В до швидкостей цих точок (або елементарних переміщень точок).Така побудова виконана на рис. 8.8, б.Воно ґрунтується на тому, що для будь-яких точок А і Вфігури застосовні положення (8.6):
З цих рівностей випливає, що
Знаючи положення МЦС та кутову швидкість тіла, застосувавши формули (8.6), легко визначити швидкість будь-якої точки цього тіла. Наприклад^для точки До(Див. рис. 8.8, б)модуль швидкість V K = coКР,вектор У доспрямований перпендикулярно до прямої КРвідповідно до
напрямом дугової стрілки пд.
Отже, Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент часу так, ніби ця фігура обертається навколо миттєвого центру швидкостей.
3. Якщо швидкість точок Аі Уплоскої фігури паралельні один одному, то можливі три варіанти, що зображені на рис. 8.9. Для випадків, коли пряма АВперпендикулярна векторам V Аі V B(Рис. 8.9, а, б),побудови ґрунтуються на пропорції (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Якщо швидкості точок Чи Впаралельні, а пряма AB_ntперпендикулярна VА(Рис. 8.9, в),то перпендикуляри до У Аі V Bпаралельні та миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності (АР=оо); кутова швидкість обертання фігури зі = VJAP = V A /cc = 0. У цьому випадку швидкості всіх точок фігури в даний момент часу дорівнюють один одному, тобто фігура має розподіл швидкостей як при поступальному русі. Такий стан руху тіла називають миттєво поступальним.Зазначимо, що у цьому стані прискорення всіх точок тіла не будуть однаковими.
4. Якщо плоский рух тіла здійснюється шляхом його кочення без ковзання по нерухомій поверхні (рис. 8.10), то точка дотику Рбуде миттєвим центром швидкостей (див. задачу 8.1).
Завдання 8.3.Плоский механізм складається з стрижнів 7, 2, 3, 4 та повзуна У(рис. 8.11), з'єднаних один з одним та з нерухомими опорами 0 { і 0 2 шарнірами; крапка Dзнаходиться в середині стрижня АВ.Довжини стрижнів: / 2 = 0,4 м, / 2 = 1,2 м, / 3 = 0,7 м, / 4 = 0,3 м. Кутова швидкість стрижня 7 в заданому положенні механізму, = 2 с -1 та спрямована проти ходу годинникової стрілки. Визначити V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , to 4 та швидкість точки Доу середині стрижня DE (DK = КЕ).
Рішення. У аналізованому механізмі стрижні 7, 4 здійснюють обертальний рух, повзун У- поступальне, а стрижні 2, 3 -
плоскопаралельний рух.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Швидкість точки Авизначимо як належну стрижню 7, що здійснює обертальний рух:
Розглянемо рух стрижня 2. Швидкість точки Авизначено, а напрямок швидкості точки Уобумовлено тим, що вона належить одночасно стрижню 2 і пів-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
зуну, що рухається вздовж напрямних. Тепер, відновлюючи з точок Аі Уперпендикуляри до У Ата напрямку руху повзуна В,знаходимо положення точки С 2 - МЦС стрижня 2.
У напрямку вектора У А,враховуючи, що в положенні механізму, що розглядається, стрижень 2 обертається навколо точки С 2 , визначаємо напрям кутової швидкості з 2 стрижня 2 і знаходимо її числове значення (про 2 = V a /AC 2 = 0,8/1,04 = 0,77 -1 , де АС 2 – АВ sin 60° = 1,04 м (отримаємо під час розгляду А АС~,В).
Тепер визначаємо числові значення та напрямки швидкостей точок Уі Dстрижня 2 (так як ABDC 2рівносторонній, то НД 2 - DC 2 - - 0,6 м):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Розглянемо рух стрижня 3. Швидкість точки Dвідома. Бо точка Еналежить одночасно і стрижню 4, що обертається навколо осі 0 4 , то У е 10 4 Е. Тоді, проводячи через точки Dі Епрямі, перпендикулярні до швидкостей V D wV E ,знаходимо положення точки С 3 - МЦС стрижня
3. У напрямку вектора V D ,дивлячись з нерухомої точки С 3 визначаємо напрям кутової швидкості з 3 а її числове значення знаходимо (попередньо визначивши з AZ) C 3 ? відрізок Z) C 3 = DEsin 30 ° = 0,35 м): з 3 = V d / C3 D = 1,32 с -1.
Для визначення швидкості точки Допроведемо пряму КС 3і, враховуючи, що АР К З 3рівносторонній ( КС 3 = 0,35 м), обчислимо У к = = 0,462 м/с, К АКС 3 .
Розглянемо рух стержня_4, що обертається навколо осі 0 4 . Знаючи напрям і числове значення V E ,знаходимо напрямок та значення кутової швидкості з 4: з 4 = V e /0 4 E - 2,67 с.
Відповідь: V A= 0,8 м/с, V B = V D= 0,462 м/с, V E = 0,8 м/с, з 2 = 0,77 с" 1, з 3 = 1,32 с -1, (про 4 = 2,67 с -1, напрямки цих величин показані на рис. 8.11.
Примітка.У механізмі, що складається з декількох тіл, кожне тіло, що непоступально рухається, має в даний момент часу свій миттєвий центр швидкостей і свою кутову швидкість.
Завдання 8.4.Плоский механізм складається з стрижнів 1, 2, 3 і ковзанка, що котиться без ковзання по нерухомій площині (рис. 8.12, а).З'єднання стрижнів між собою та стрижня 3 до ковзанки в точці D -шарнірні. Довжини стрижнів: 1 { - 0,4 м, / 2 = 0,6 м, / 3 = 0,8 м. При даних кутах а = 60 °, В = 30 ° відомі значення та напрямки кутової швидкості, = = 2 с і швидкості центру Проковзанка V 0= 0,346 м/с, ZABD= 90 °. Визначити швидкість точки Ута кутову швидкість з 2 .
Рішення. Механізм має два ступені свободи (його положення визначається двома кутами а і р, що не залежать один від одного) і швидкість точки У(загальної точки стрижнів 2 і 3) залежить від швидкостей точок Аі D.
Розглядаючи рух стрижня /, н аходимо напрямок і значення швидкості точки A: V A= coj/j = 0,8 м/с, V a AjO (A.
Розглянемо рух ковзанки. Його миттєвий центр швидкостей розташований у точці Р;тоді V Dзнайдемо із пропорції
Оскільки A DOPрівнобедрений і гострі кути в ньому дорівнюють 30°, то DP- 2 OP cos 30° = ОРл/ 3. З рівності (а) знаходимо V D - 0,6 м/с. Вектор V Dспрямований перпендикулярно DP.
Бо точка Уналежить одночасно стрижням АВі BD,то за теоремою про проекції швидкостей має бути: 1) проекція вектора У вна пряму А В У А(відрізок Аана рис. 8.12, а),тобто. У А cos а = 0,4 м/с; 2) проекція вектора У вна пряму DBдорівнює проекції на цю пряму вектор У 0(відрізок Ddна рис. 8.12, а),тобто. У 0 cos у = 0,3 м/с (у = 60 °).
Далі вирішуємо графічно. Відкладаємо від крапки Уу відповідних напрямках відрізки ВЬ ( = Ааі Bb 2 = Dd.Швидкість точки Удорівнює сумі векторів V B = Bb + Bbj.Відновлюємо з точки Ь (перпендикуляр до ВЬ Х,а з
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
крапки b 2 -перпендикуляр до ВЬ 2 . Точка перетину цих перпендикулярів визначає кінець шуканого вектора VB.
Оскільки напрямки відрізків ВЬі ВЬ 2взаємно перпендикулярні, то
Визначаємо з 2 . На рис. 8.12, бпоказаний так званий план швидкостей, який графічно зображує векторну рівність
де вектори V Aі V Bвизначено (див. рис. 8.12, а),а напрямок V BAперпендикулярно стрижню АВ.З креслення (рис. 8.12, б)знаходимо
Тепер визначаємо з 2 = V ba /AB- 1,66 з -1 (напрямок з 2 - проти ходу годинникової стрілки).
Відповідь: V B - 0,5 м/с, з 2 = 1,66 -1 .
Рух плоскої фігури складається з поступального руху, коли всі точки фігури рухаються зі швидкістю полюса А, та з обертального руху навколо цього полюса (рис. 3.4). Швидкість будь-якої точки Мфігури складається геометрично зі швидкостей, які крапка отримує у кожному з цих рухів.
Малюнок 3.4
Справді, положення точки Мпо відношенню до осей Охyвизначається радіусом – вектором , де
- радіус-вектор полюса А,
=
- радіус-вектор, що визначає положення точки Мщодо
, що переміщаються разом з полюсом Апоступально. Тоді
.
є швидкість полюса А,
дорівнює швидкості
, яку точка Мотримує при
, тобто. щодо осей
, або, інакше, при обертанні фігури навколо полюса А. Таким чином випливає, що
де ω - Кутова швидкість фігури.
Малюнок 3.5
Таким чином, швидкість будь-якої точки М плоскої фігури геометрично складається зі швидкості якоїсь іншої точки А, прийнятої за полюс, та швидкості, яку точка М отримує при обертанні фігури навколо цього полюса.Модуль та напрямок швидкості знаходяться побудовою відповідного паралелограма (рис. 3.5).
10.3. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла
Одним з простих способів визначення швидкостей точок плоскої фігури (або тіла плоскопаралельно, що рухається) є теорема: Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють один одному.
Малюнок 3.6
Розглянемо якісь дві точки Аі Уплоскої фігури (або тіла) (рис.3.6). Приймаючи крапку Аза полюс отримуємо, що . Звідси, проектуючи обидві частини рівності на вісь, спрямовану на АВ, і враховуючи, що вектор
перпендикулярний АВ, знаходимо
|
та теорема доведена. Зауважимо, що цей результат зрозумілий і з суто фізичних міркувань: якщо рівність не виконуватиметься, то при русі відстань між точками Аі Умає змінюватися, що неможливо – тіло є абсолютно твердим. Тому ця рівність виконується не тільки при плоскопаралельному, а й за будь-якого руху твердого тіла.
10.4. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей
Інший простий і наочний метод визначення швидкостей точок плоскої фігури (або тіла при плоскому русі) заснований на понятті про миттєвий центр швидкостей.
Миттєвим центром швидкостей (МЛС) називається точка плоскої фігури, швидкість якої в даний час дорівнює нулю.
Якщо фігура рухається непоступально, то така точка у кожний момент часу tіснує і до того ж єдина. Нехай у момент часу tкрапки Аі Уплощині фігури мають швидкості і
, Непаралельні один одному (рис. 3.7.). Тоді точка Р, що лежить на перетині перпендикулярів Аадо вектору
і Уbдо вектору
, і буде миттєвим центром швидкостей, оскільки
.
Малюнок 3.7
Справді, якщо , то за теоремою про проекції швидкостей вектор
повинен бути одночасно перпендикулярний і АР(так як
), і ВР(так як
), що неможливо. З цієї ж теореми видно, що жодна інша точка фігури в цей момент часу не може мати швидкість, що дорівнює нулю.
Якщо тепер у момент часу tвзяти точку Рза полюс. То швидкість точки Абуде
,
так як =0. Такий самий результат виходить для будь-якої іншої точки фігури. Тоді, Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент часу так, ніби рух фігури був обертанням навколо миттєвого центру швидкостей.При цьому
|
і так для будь-якої точки фігури.
З цього випливає ще, що і
тоді
|
тобто. що швидкості точок плоскої фігури пропорційні їх відстані від миттєвого центру швидкостей.
Отримані результати призводять до таких висновків:
1. Для визначення миттєвого центру швидкостей треба знати лише напрямки швидкостей, наприклад,і
якихось двох точок А та В плоскої фігури.
2. Для визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури треба знати модуль та напрямок швидкості якої-небудь однієї точки А фігури та напрямок швидкості іншої її точки В.
3. Кутова швидкістьПлоска фігура дорівнює в кожний момент часу відношенню швидкості якої-небудь точки фігури до її відстані від миттєвого центру швидкостей Р:
|
Знайдемо, ще інший вираз для ω
з рівностей і
випливає, що
і
, звідки
|
Розглянемо деякі окремі випадки визначення МЦС, які допоможуть вирішувати теоретичну механіку.
1. Якщо плоскопаралельний рух здійснюється шляхом кочення без ковзання одного циліндричного тіла по поверхні іншого нерухомого, то точка Ртіла, що котиться, що стосується нерухомої поверхні (рис. 3.8), має в даний момент часу внаслідок відсутності ковзання швидкість, рівну нулю ( ), а отже, є миттєвим центром швидкостей.
Малюнок 3.8
2. Якщо швидкість точок Аі Уплоскої фігури паралельні один одному, причому лінія АВне перпендикулярна (рис.3.9, а), то миттєвий центр швидкостей лежить у нескінченності та швидкості всіх точок //
. При цьому з теореми про проекції швидкостей випливає, що
, тобто.
, у разі фігура має миттєве поступальний рух.
3. Якщо швидкість точок Аі Уплоскої фігури / / один одному і при цьому лінія АВперпендикулярна , то миттєвий центр швидкостей Рвизначається побудовою (рис. 3.9, б).
Малюнок 3.9
Справедливість побудов випливає з . У цьому випадку, на відміну від попередніх, для знаходження центру Ртреба крім напрямків знати ще й модулі швидкостей
і
.
4. Якщо відомий вектор швидкості якоїсь точки Уфігури та її кутова швидкість ω
, то положення миттєвого центру швидкостей Р, що лежить на перпендикулярі до
(див. рис. ?), можна знайти з рівності
, яке дає
.