Сума наведених відрахувань за модулем n. Системи відрахувань. Вправи для самостійної роботи
або ж будь-які послідовні pчисла.
Ця система називається повною системою чисел, не порівнянних за модулем pабо ж повною системою відрахувань за модулем p. Очевидно, що всякі pПослідовних чисел утворюють таку систему.
Усі числа, що належать до одного класу, мають багато загальних властивостей, отже, стосовно модуля їх можна розглядати як одне число. Кожне число, яке входить у порівняння як доданок або множник, може бути замінено, без порушення порівняння, числом, яке можна порівняти з ним, тобто. з числом, що належить до того самого класу.
Інший елемент, який є загальним для всіх чисел даного класу, є найбільшим спільним дільником кожного елемента цього класу та модуля p.
Нехай aі bможна порівняти за модулем pтоді
Теорема 1. Якщо в ax+bзамість xпідставимо послідовно все pчленів повної системи чисел
Тому всі числа ax+b, де x=1,2,...p-1 не можна порівняти за модулем p(інакше, числа 1,2,... p-1 були б порівняні за модулем p.
Примітки
1) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.
Література
- 1. К.Айрленд, М.Роузен. Класичне введення в сучасну теорію чисел. - М: Світ, 1987.
- 2. Г.Девенпорт. Вища арифметика. - М: Наука, 1965.
- 3. П.Г. Лежен Діріхле. Лекції з теорії чисел. − Москва, 1936.
Кільце відрахувань по модулю nпозначають або . Його мультиплікативну групу, як і загальному випадку груп оборотних елементів кілець, позначають ∗ × × .
Найпростіший випадок
Щоб зрозуміти структуру групи, можна розглянути окремий випадок, де - просте число, і узагальнити його. Розглянемо найпростіший випадок, коли , тобто .
Теорема: – циклічна група.
приклад : Розглянемо групу
= (1,2,4,5,7,8) Генератор групи є число 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Як бачимо, будь-який елемент групи може бути представлений у вигляді , де ≤ℓφ . Тобто група – циклічна.Загальний випадок
Для розгляду загального випадку необхідне визначення примітивного кореня. Примітивний корінь за простим модулем - це число, яке разом зі своїм класом відрахувань породжує групу.
Приклади: 2 11 ; 8 - примітивний корінь за модулем 11 ; 3 не є примітивним коренем по модулю 11 .У разі цілого модуля визначення таке саме.
Структуру групи визначає наступна теорема: Якщо p - непарне просте число і l - ціле позитивне, то є примітивне коріння по модулю, тобто - циклічна група.
приклад
Наведена система відрахувань по модулю складається з класів відрахувань: . Щодо певного для класів відрахувань множення вони утворюють групу, причому і взаємно зворотні (тобто ⋅ ), а й обернені самі собі.
Структура групи
Запис означає "циклічна група порядку n".
× | φ | λ | Генератор групи | × | φ | λ | Генератор групи | × | φ | λ | Генератор групи | × | φ | λ | Генератор групи | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C 1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C 2 ×C 10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C 4 ×C 12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C 96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C 1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C 2 ×C 10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C 42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C 2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C 66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C 2 ×C 30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C 2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C 2 ×C 16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C 2 ×C 20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C 4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C 2 ×C 22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C 2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C 2 ×C 16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C 6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C 70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C 2 ×C 2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C 2 ×C 2 ×C 6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C 2 ×C 2 ×C 12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C 6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C 40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C 72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C 2 ×C 2 ×C 12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C 4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C 42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C 2 ×C 20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C 2 ×C 2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C 2 ×C 10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C 2 ×C 18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C 2 ×C 18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C 2 ×C 30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C 6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C 2 ×C 20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C 46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C 78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 ×C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C 2 ×C 4 ×C 4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C 2 ×C 2 ×C 12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C 42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C 6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C 40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C 2 ×C 18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C 2 ×C 16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C 82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 ×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C 2 ×C 2 ×C 6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C 2 ×C 28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C 4 ×C 16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C 6 ×C 12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C 42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C 2 ×C 20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C 2 ×C 28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 ×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C 2 ×C 2 ×C 2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C 2 ×C 2 ×C 6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C 2 ×C 2 ×C 10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C 2 ×C 2 ×C 2 ×C 4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C 2 ×C 18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C 60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C 6 ×C 12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C 2 ×C 40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C 2 ×C 22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C 2 ×C 30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C 60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C 2 ×C 30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C 46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C 6 ×C 6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C 6 ×C 6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 ×C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C 2 ×C 8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C 2 ×C 16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C 2 ×C 2 ×C 8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 ×C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Застосування
На складності, Ферма, Хулі, . Уорінг сформулював теорему Вільсона, а Лагранж її довів. Ейлер припустив існування примітивних коренів за модулем простого числа. Гаус це довів. Артін висунув свою гіпотезу про існування та кількісну оцінку простих чисел, за модулем яких задане ціле число є первісним коренем. Брауер зробив внесок у дослідження проблеми існування наборів послідовних цілих чисел, кожне з яких - k-ий ступінь за модулем p. Білхарц довів аналог гіпотези Артіна. Хулі довів гіпотезу Артіна із припущенням справедливості розширеної гіпотези Рімана в полях алгебраїчних чисел.
Примітки
Література
- Айєрленд К., Роузен М.Класичне введення у сучасну теорію чисел. - М.: Світ, 1987.
- Алфьоров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмін А.С. Черьомушкин А.В.Основи криптографії. - Москва: "Геліос АРВ", 2002.
- Ростовцев А.Г., Маховенко О.Б.Теоретична криптографія. - Санкт-Петербург: НВО "Професіонал", 2004.
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ
6. 1. Визначення 1.
Класом чисел за даним модулем т називається безліч всіх тих і лише тих цілих чисел, які при розподілі на т мають один і той же залишок r, тобто порівняних за модулем т (т Î N, т> 1).
Позначення класу чисел, які мають залишок r: .
Кожне число із класу називається відрахуванням за модулем т, а сам клас називається класом відрахувань за модулем т.
6. 2. Властивості безлічі класів відрахувань за модулем т:
1) всього за модулем тбуде ткласів відрахувань: Z т = { , , , … , };
2) кожен клас містить безліч цілих чисел (відрахувань) виду: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "аÎ : аº r(mod m);
4) "а, bÎ : аº b(mod m), тобто будь-які два відрахування, взяті з одногокласу, можна порівнятиза модулем т;
5) "аÎ , " bÎ : а b(mod m), тобто ніякі два відрахування; взяті з різнихкласів, незрівнянніза модулем т.
6. 3. Визначення 3.
Повною системою відрахувань по даному модулю т називається будь-який набір т чисел, взятих по одному і лише по одному з кожного класу відрахувань по модулю т.
Приклад: якщо m= 5, то (10, 6, - 3, 28, 44) - це повна система відрахувань за модулем 5 (причому, не єдина!)
Зокрема,
безліч (0, 1, 2, 3, … , m-1) - це система найменших невід'ємнихвідрахувань;
безліч (1, 2, 3, …, m –1, т) - це система найменших позитивнихвідрахувань.
6. 4. Відмітимо, що:
якщо ( х 1 , х 2 , … , х т) – повна система відрахувань за модулем т, то
.
6. 5. Теорема 1.
Якщо {х 1 , х 2 , … , х т} – повна система відрахувань по модулю т, "а, bÎ Z та(а, т) = 1, – то система чисел {ах 1 +b, ах 2 + b, … , ах т+b} також утворює повну систему відрахувань по модулю т .
6. 6. Теорема 2.
Усі відрахування одного й того ж класу відрахувань по модулю т мають із числом т той самий найбільший спільний дільник: "а, bÎ Þ ( а; т) = (b; т).
6. 7. Визначення 4.
Клас відрахувань за даним модулем т називається взаємно простим з модулем т,якщо хоча б одне відрахування цього – взаємно простий з т.з.
Зауважимо, що в цьому випадку з теореми 2 всічисла цього класу будуть взаємно простими з модулем т.
6. 8. Визначення 5.
Наведеною системою відрахувань по даному модулю т називається система відрахувань, взятих по одному і лише по одному з кожного класу, взаємно простого з модулем т.
6. 9. Відмітимо, що:
1) наведена система відрахувань за модулем тмістить j( т) чисел ( х 1 , х 2 ,…, };
2) : .
3) "х i : (х i, m) = 1;
приклад : Нехай по модулю т= 10 є 10класів відрахувань:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) – безліч класів відрахувань за модулем 10. Повна система відрахувань по mod 10 буде, наприклад, така: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Безліч класів відрахувань, взаємно простихз модулем m= 10: ( , , , ) (j (10) = 4).
Наведена система відрахуваньза модулем10 буде, наприклад,
(1, 3, 7, 9), або (11, 43, - 5, 17), або ( - 9, 13, - 5, 77) і т.д. (Скрізь j(10) = 4 числа).
6.10. Майже: щоб скласти одну з можливих наведених систем відрахувань по mod m, потрібно з повної системи відрахувань по mod m вибрати ті відрахування, які взаємно прості з т. Таких чисел буде j( т).
6.11. Теорема 3.
Якщо{х 1 , х 2 ,…, } – наведена система відрахувань за модулем ті
(а, m) = 1, – то система чисел {ах 1 , ах 2 , … , ах j (т)} також утворює
наведену систему відрахувань за модулем т .
6.12. Визначення 6.
Сумою( Å ) класів відрахувань і +b, рівних сумі будь-яких двох відрахувань, взятих по одному з кожного даного класу та : Å = , де"аÎ , "bÎ .
6.13. Визначення 7.
Твором( Ä ) класів відрахувань і за модулем т називається клас відрахувань , тобто клас відрахувань, що складається з чисел ´ b, рівних добутку будь-яких двох відрахувань, взятих по одному з кожного даного класу та : Ä = , де"аÎ , "bÎ .
Таким чином, у безлічі класів відрахувань за модулем т: Z т= ( , , ,…, ) визначено дві алгебраїчні операції - "складання" та "множення".
6.14. Теорема 4.
Безліч класів відрахувань Z т за модулем т є асоціативно-комутативним кільцем з одиницею:
< Z т , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – кільце.
ТИПОВІ ЗАВДАННЯ
1. Скласти за модулем т= 9:
1) повну систему найменших позитивних відрахувань;
2) повну систему найменших невід'ємних відрахувань;
3) довільну повну систему відрахувань;
4) повну систему найменших за абсолютною величиною відрахувань.
Відповідь:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Скласти наведену систему відрахувань за модулем т= 12.
Рішення.
1) Складемо повну систему найменших позитивних відрахувань за модулем т= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (всього т= 12 чисел).
2) Викреслимо з цієї системи числа, які не взаємно прості з числом 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Числа, що залишилися, взаємно прості з числом 12, утворюють шукану наведену систему відрахувань по модулю т= 12 (всього j( т) = j(12) = 4 числа).
Відповідь:(1, 5, 7, 11) – наведена система відрахувань за модулем т= 12.
130. Складіть 1) повну систему найменших позитивних відрахувань; 2) повну систему найменших невід'ємних відрахувань; 3) довільну систему відрахувань; 4) повну систему найменших за абсолютною величиною відрахувань; 5) наведену систему відрахувань: а) за модулем m= 6; б) за модулем m = 8.
131. Чи є безліч (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) повною системою відрахувань за модулем 8 ?
132 За яким модулем безліч(20, – 4, 22, 18, – 1) є повною системою відрахувань?
133. Складіть наведену систему відрахувань за модулем mякщо а) m= 9; б) m= 24; в) m= 7. Скільки чисел має містити така система?
134. Сформулюйте основні властивості повної системи відрахувань та наведеної системи відрахувань за модулем m .
135. Якими елементами відрізняються наведена та повна системи найменших невід'ємних відрахувань за простим модулем?
136. За якої умови числа аі – аналежать одному класу відрахувань за модулем m?
137. Яким класам відрахувань за модулем 8 належать усі прості числа р³ 3?
138. Чи утворює безліч чисел (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) повну систему відрахувань за модулем 11 ?
139. Скільки класів відрахувань за модулем 21 належать усі відрахування з одного класу відрахувань за модулем 7 ?
140. Безліч цілих чисел Zрозподіліть за класами відрахувань за модулем 5. Складіть таблиці додавання і множення в безлічі класів відрахувань, що утворилася. Z 5 . Чи є безліч Z 5: а) групою з операцією складання класів? б) групою з операцією множення класів?
§ 7. ТЕОРЕМА ЕЙЛЕРА. МАЛА ТЕОРЕМА ФЕРМА
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ
7. 1. Теорема 1.
Якщо аÎ Z,тÎ N, т>1 і(а;т) = 1, - то в нескінченній послідовності ступенів а 1 , а 2 , а 3 , ... , а s , … , а t, … знайдуться хоча б два ступені з показниками s та t(s<t) такі, що . (*)
7. 2. Зауваження. Позначивши t– s = k> 0, з (*) отримаємо: . Зводячи обидві частини цього порівняння до ступеня nÎ N, Отримаємо: (**). Це означає, що існує безліч ступенів числа a, що задовольняють порівнянню (**). Але якзнайти ці показники? Який найменшийпоказник, що задовольняє порівнянню (**)? На перше запитання відповідає теорема Ейлера(1707 – 1783).
7. 3. Теорема Ейлер.
Якщо аÎ Z,тÎ N, т>1 і(а;т) = 1, - то . (13)
приклад. Нехай а = 2,т = 21, (а; т) = (2; 21) = 1. Тоді . Так як j (21) = 12, то 2 12 º 1 (mod 21). Справді: 2 12 = 4096 і (4096 – 1) 21. Тоді очевидно, що 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) тощо. Але чи є показник ступеня 12 – найменшим, що задовольняють порівнянню 2 nº 1(mod 21) ? Виявляється, ні. Найменшим показникомбуде п= 6: 2 6 º 1(mod 21), бо 2 6 – 1 = 63, а 63 21. Зауважимо, що найменшийпоказник слід шукати тільки серед дільників числа j( т) (у цьому прикладі – серед дільників числа j(21) = 12).
7. 4. Мала теорема Ферма (1601 – 1665).
Для будь-якого простого числа р та будь-якого числа аÎ Z, не поділяється на р, має місце порівняння . (14)
приклад. Нехай а = 3,р= 5, де 3 не 5. або .
7. 5. Узагальнення теорема Ферма.
Для будь-якого простого числа р і довільного числа аÎ Z має місце порівняння (15)
ТИПОВІ ЗАВДАННЯ
1. Доведіть, що 38 73 º 3(mod 35).
Рішення.
1) Так як (38; 35) = 1, то за теоремою Ейлера ; j(35) = 24, отже,
(1).
2) З порівняння (1) за наслідком 2 властивості 5 0 числових порівнянь маємо:
3) З порівняння (2) за наслідком 1 властивості 5 0 порівнянь: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35) , що і потрібно було довести.
2. Дано: а = 4, т= 15. Знайти найменший показник ступеня k, що задовольняє порівнянні (*)
Рішення.
1) Так як ( a; m) = (4; 25) = 1, то за теоремою Ейлера , j(25) = 20, тому .
2) Чи є знайдений показник ступеня – число 20 – найменшимнатуральним числом, що задовольняє порівняння (*)? Якщо існує показник ступеня, менший за 20, то він має бути дільником числа 20. Отже, найменший показник, який шукає kтреба шукати серед безлічі чисел n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) - дільників числа 20.
3) При п = 1: ;
при п = 2: ;
при п= 3: (Розглядати не треба);
при п = 4: ;
при п = 5: ;
при п= 6, 7, 8, 9: (Розглядати не треба);
при п = 10: .
Отже, найменшимпоказником ступеня k, що задовольняє порівнянню(*), є k= 10.
Відповідь: .
ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
141. За теоремою Ейлера . При а = 3, т= 6 маємо: .
Так як j(6) = 2, то 3 2 º1(mod 6), або 9º1(mod 6), Тоді, по лемі, (9 - 1) 6 або 8 6 (націло!?). Де помилка?
142. Доведіть, що: а) 23 100 º1(mod 101); б) 81 40 º 1(mod100); в) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Доведіть, що а) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
б) 5 4 п + 1 + 7 4п+ 1 ділиться без залишку на 12.
144. Доведіть теорему, обернену до теореми Ейлера: якщо а j ( m) º 1(mod m), то ( а, m) =1.
145. Знайдіть найменший показник ступеня kÎ N,що задовольняє даному порівнянню: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
і) ; к) ; л) ; м) .
146. Знайдіть залишок від розподілу:
а) 7100 на 11; б) 9900 на 5; в) 5176 на 7; г) 2 1999 на 5; д) 8377 на 5;
е) 26 57 на 35; ж) 35359 на 22; з) 5718 на 103; і) 27260 на 40; к) 25 1998 на 62.
147*. Доведіть, що а 561 º а(Mod 11).
148*. Якщо канонічне розкладання натурального числа пне містить множників 2 і 5, то 12 ступінь цього числа закінчується цифрою 1. Доведіть.
149*. Доведіть, що 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Доведіть: якщо ( а, 65) =1 , (b, 65) = 1, то a 12 –b 12 ділиться без залишку на 65.
Глава 3. АРИФМЕТИЧНІ ДОДАТКИ
ТЕОРІЇ ЧИСЛОВИХ ПОРІВАНЬ
§ 8. СИСТЕМАТИЧНІ ЧИСЛА
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ
1. ЦІЛІ СИСТЕМАТИЧНІ ЧИСЛА
8. 1. Визначення 1.
Системою числення називається будь-який спосіб запису чисел. Знаки, за допомогою яких записують ці цифри, називають цифрами.
8. 2. Визначення 2.
Цілим невід'ємним систематичним числом, записаним у t-їчній позиційній системі числення, називається число n виду
,де a i(i = 0,1, 2,…, k) – цілі невід'ємні числа – цифри, причому 0 £ a i £ t– 1, t – основа системи числення, tÎ N, t > 1.
Наприклад, запис числа у 7-річній системі має вигляд: (5603) 7 = 5×7 3 + 6×7 2 + 0×7 1 + 3. Тут a i- Це 5, 6, 0, 3 - цифри; всі вони задовольняють умові: 0 £ a i£ 6. При t=10 кажуть: число nзаписано в десятковій системі числення,причому індекс t= 10не пишуть.
8. 3. Теорема 1.
Будь-яке ціле невід'ємне число може бути представлене, причому єдиним чином, у вигляді систематичного числа з будь-якої основи t, де tÎ N, t > 1.
Приклад:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Відмітимо, що:
1) приписування до систематичного числа нулів зліва не зраджуєцього числа:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) приписування до систематичного числа sнулів праворуч рівносильно множенняцього числа на t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Алгоритм переведення числа, записаного вt -їчної системи, в десяткову:
Приклад: (287) 12 = 2 × 12 2 + 8 × 12 1 +7 × 12 0 = 2 × 144 + 8 × 12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Алгоритм переведення числа, записаного в десятковому системі, вt -Ічну:
Приклад: (3 9 1) 10 = (х) 12 . Знайти х.
8. 7. Дії над систематичними числами
2. СИСТЕМАТИЧНІ ДРОБИ
8. 8. Визначення 3.
Кінцевим t-ічним систематичним дробом у системі числення з основою t називається число виду
де c 0 Î Z, з i – цифри– цілі невід'ємні числа, причому 0 £ з i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Позначення: a = ( c 0 , з 1 з 2 …з k)t. При t= 10 дріб називається десятковий.
8. 9. Наслідок 1.
Будь-який кінцевий систематичний дріб є раціональне число, яке можна представити у вигляді , де аÎ Z, bÎ N.
приклад. a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + = 19 + - Раціональне число. Зворотне твердження, власне кажучи, неправильне. Наприклад, дріб не можна перетворити на кінцевий систематичний (десятковий) дріб.
8.10. Визначення 4.
Нескінченним t-ічним позитивним систематичним дробом у системі числення з основою t називається число виду
, де з 0Î N, з i(i =1, 2, …, до, …) – цифри– цілі невід'ємні числа, причому 0 £ з i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Позначення: a = ( з 0 , з 1 з 2 … з k…) t. При t=10 дріб називається десятковий.
8.11. Визначення 5.
Можливі три види нескінченних систематичних дробів:
I a = ( з 0 , )t= = t, де = = = … У цьому випадку число a називається нескінченним чисто періодичним дробом,(з 1 з 2 … з k) – періодом, k– кількість цифр у періоді – довжиною періоду.
II a = .
У цьому випадку число a називається нескінченним змішаним періодичним дробом, – передперіодом, () – періодом, k – кількість цифр у періоді – довжиною періоду, l – кількість цифр між цілою частиною та першим періодом – довжиною передперіоду.
III a = ( з 0 , з 1 з 2 … з k …)t . У цьому випадку число a називається нескінченним неперіодичним дробом.
ТИПОВІ ЗАВДАННЯ
1. Число ( а) 5 = (2 1 4 3) 5 , задане в 5-річній системі, перевести в 7-річну систему, тобто знайти х, якщо (2 1 4 3) 5 = ( х) 7 .
Рішення.
1) Перетворимо це число (2 1 4 3) 5 на число ( у) 10 , записане в десятковій системі:
2. Виконайте дії:
1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;
4) (5 2 3 4) 7 - (2 3 5 1) 7; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Рішення.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1 × 8 + 4 = (1 4) 8;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Примітка: | 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 пишемо, 1 переходить до наступного розряду, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 пишемо, 1 переходить до наступного розряду, 3+4+1= 8 = 1×6+2, 2 пишемо, 1 переходить у наступний розряд. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Примітка: | "займаємо" одиницю вищого розряду, тобто "1" = 1 × 7: (3 + 1 × 7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1 × 7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Примітка: | При множенні на 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, 1 пишемо, 1 переходить до наступного розряду, 2 × 2 +1 = 5 = 1 × 5 + 0, 0 пишемо, 1 переходить до наступного розряду, 2 ? 2+1=7=1×5+2, 2 пишемо, 1 переходить у наступний розряд, 3×4+1=13=2×5+3, 3 пишемо, 2 переходить у наступний розряд. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Відповідь: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
151. Числа, задані в t-їчної системи, переведіть в десяткову систему:
а) (2 3 5) 7; б) (2 4 3 1) 5; в) (1 0 0 1 0 1) 2; г) (1 3) 15;
д) (2 7) 11; е) (3 2 5 4) 6; ж) (1 5 0 1 3) 8; з) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;
і) (7 6 2) 8; к) (1 1 1 1) 20 .
152. Числа. задані в десятковій системі, переведіть у t-Ічну систему. Зробіть перевірку.
а) (1 3 2) 10 = ( х) 7 ; б) (2 9 8) 10 = ( х) 5 ; в) (3 7) 10 = ( х) 2 ; г) (3 2 4 5) 10 = ( х) 6 ;
д) (4 4 4 4) 10 = ( х) 3 ; е) (5 6 3) 10 = ( х) 12 ; ж) (5 0 0) 10 = ( х) 8 ; з) (6 0 0) 10 = ( х) 2 ;
і)(1 0 0 1 5) 10 =( х) 20 ; к) (9 2 5) 10 = ( х) 8 ; л) (6 3 3) 10 = ( х) 15 ; м) (1 4 3) 10 = ( х) 2 .
153. Числа, задані в t-їчної системи, переведіть в q-Ічну систему (шляхом переходу через десяткову систему).
а) (3 7) 8 = ( х) 3 ; б) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( х) 5 ; в) (6 2) 11 = ( х) 4 ;
г) (4) 12 = ( х) 9 . д) (3 3 1 3 1) 5 = ( х) 12 .
154. а) Як зміниться число (1 2 3) 5 , якщо праворуч приписати до нього нуль?
б) Як зміниться число (5 7 6) 8 якщо до нього праворуч приписати два нулі?
155. Виконайте дії:
а) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; б) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; в) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2;
г) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9; д) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; е) (2 4 5 3) 7 - (1 6 4 5) 7;
ж) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; з) (175) 11 - (6) 11; і) (3 6 4 0 1) 7 - (2 6 6 6 3) 7;
к) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; л) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; м) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
н) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4; о) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; п) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;
р) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; с) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; т)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
у) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; ф) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; х)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
ц) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; год) (1 1 1 1) 3 – (2 1 2) 3 ; ш)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Тоді:
I Якщо знаменник b = b"(містить тільки "2" і / або "5"), - то дріб перетворюється на кінцевудесятковий дріб. Кількість десяткових знаків дорівнює найменшому натуральному числу l lº 0( mod b").
II Якщо знаменник b = b 1(не містить "2" і "5"), - то дріб перетворюється на нескінченну чисто періодичнудорівнює найменшому натуральному числу k, що задовольняє порівнянню 10 kº 1( mod b 1).
III Якщо знаменник b = b"× b 1 (містить "2" і / або "5", а також інші прості множники), - то дріб перетворюється на нескінченну змішану періодичнудеся-
тичну дріб.
Довжина періоду дорівнює найменшому натуральному числу k, що задовольняє порівнянню 10 kº 1( mod b 1).
Довжина передперіоду дорівнює найменшому натуральному числу l, що задовольняє порівнянню 10 lº 0( mod b").
9. 2. Висновки.
9. 3. Відмітимо, що:
раціональним числом є всякий кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб;
ірраціональним числом є всяка нескінченна неперіодична десяткова дріб.
ТИПОВІ ЗАВДАННЯ
1. Дані прості дроби, записані в десятковій системі, перетворити на
десяткові, попередньовизначивши вид шуканого дробу (кінцевий або нескінченний; періодичний або неперіодичний; якщо – періодичний, то чисто періодичний або змішаний періодичний); в останніх випадках – попередньо знайтичисло k– довжину періоду та число l- Довжину передперіоду. 1); 2); 3).
Рішення.
1) У дробу = знаменник - число b= 80 = 2 4 × 5 містить тільки "2" та "5". Тому цей дріб перетворюється на кінцевудесятковий дріб. Кількість десяткових знаків l наймвизначається за умови: 10 lº0(mod80):
2) У дробу = знаменник - число b= 27 = 3 3 не містить "2" та "5". Тому цей дріб перетворюється на нескінченний чисто періодичнудесятковий дріб. Довжина періоду k наймвизначається за умови: 10 kº1(mod27):
3) У дробу = знаменник - число b= 24 = 2 3 ×3, тобто має вигляд: b = b"× b 1 (крім "2" або "5" містить інші множники, в даному випадку число 3). Тому цей дріб перетворюється на нескінченний змішану періодичнудесятковий дріб. Довжина періоду k наймвизначається за умови: 10 kº1(mod3), звідки k найм= 1, тобто довжина періоду k= 1. Довжина передперіоду l наймвизначається за умови: 10 lº0(mod8), звідки l найм= 3, тобто довжина передперіоду l = 3.
Перевірка: розділимо "куточком" 5 на 24 та отримаємо: = 0, 208 (3).
Відповідь: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
156. Ці звичайні дроби, записані в десятковій системі, перетворіть на десяткові дроби. Якщо десятковий дріб - періодичний, то попередньознайдіть число k- довжину періоду та число l- Довжину передперіоду.
157. Дані звичайні дроби, записані в десятковій системі, перетворіть на t-Ічні систематичні дроби. Знайдіть числа k- довжину періоду та l- Довжину передперіоду.
158*. У якій системі числення число (4 6) 10 записується тими ж цифрами, але в
зворотному порядку?
159*. Що більше: одиниця 8-го розряду у двійковій системі чи одиниця 4-го розряду у 8-річній системі?
§ 10. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ. ОЗНАКИ ДЕЛІМОСТІ
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ
10. 1. Теорема Паскаля (1623 – 1662).
Дано натуральні числа: т > 1і n, записане в t - особистісній системі:
,де a i – цифри: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Нехай n= (a k a k – 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1 ×10 k – 1 +…+a 1 ×10 + a 0 , m=3 і m = 9.
1) Знайдемо b i: за модулемm = 3по модулюm = 9
10 0 º1(mod3), тобто. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), тобто. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), тобто. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), тобто. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), тобто. b 2 = 1, 10 2 º 1 (mod9), тобто. b
Повна система відрахувань. Наведена система відрахувань. Найбільш уживані системи відрахувань: найменша позитивна, найменша невід'ємна, абсолютно найменша тощо.
Теорема 1. Властивості повної та наведеної система відрахувань.
1 °. Критерій повної системи відрахувань. Будь-яка сукупність з mцілих чисел, попарно не порівнянних за модулем m, утворює повну систему відрахувань за модулем m.
2 °. Якщо числа x 1 , x 2 , ..., x m- Повна система відрахувань по модулю m, (a, m) = 1, b- довільне ціле число, то числа ax 1 +b, ax 2 +b, ..., ax m+bтакож складають повну систему відрахувань за модулем m.
3 °. Критерій наведеної системи відрахувань. Будь-яка сукупність, що складається з j( m) цілих чисел, попарно не порівнянних за модулем mі взаємно простих з модулем, утворює наведену систему відрахувань по модулю m.
4 °. Якщо числа x 1 , x 2 , ..., x j ( m) – наведена система відрахувань за модулем m, (a, m) = 1, то числа ax 1 , ax 2 , ..., a x j ( m) також складають наведену систему відрахувань за модулем m.
Теорема 2.Теорема Ейлер.
Якщо числа aі mвзаємно прості, то a j ( m) º 1(mod m).
Слідство.
1°. Теорема Ферма. Якщо p- Просте число і aне ділиться на p, то a p-1 º 1 (mod p).
2 °. Узагальнена теорема Ферма. Якщо p- Просте число, то a p º a(mod p) для будь-яких aÎ Z .
§ 4. Вирішення порівнянь зі змінною
Вирішення порівнянь. Рівносильність. Ступінь порівняння.
Теорема. Властивості рішень порівнянь.
1 °. Рішеннями порівнянь є цілі класи відрахувань.
2 °. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= Þ порівняння º 0 (mod m) та º 0 (mod m) рівносильні.
3 °. Якщо обидві частини порівняння помножити на число, взаємно просте з модулем, вийде порівняння, рівносильне вихідному.
4 °. Будь-яке порівняння по простому модулю pрівносильно порівнянню, ступінь якого не перевищує p–1.
5 °. Порівняння º 0 (mod p), де p- Просте число, має не більше nрізних рішень.
6 °. Теорема Вільсона ( n-1)! º -1 (mod n) Û nпросте число.
§ 5. Рішення порівнянь першого ступеня
ax º b(mod m).
Теорема. 1°. Якщо ( a, m) = 1, то порівняння має рішення, причому єдине.
2 °. Якщо ( a, m) = dі bне ділиться на d, то порівняння немає рішень.
3 °. Якщо ( a, m) = dі bділиться на d, то порівняння має dрізних рішень, які становлять один клас відрахувань по модулю.
Способи розв'язання порівнянь ax º b(mod m) у разі, коли ( a, m) = 1:
1) підбір (перебір елементів повної системи відрахувань);
2) використання теореми Ейлера;
3) використання алгоритму Евкліда;
4) варіація коефіцієнтів (використання якості 2° повної системи відрахувань з Теореми 2.2);
§ 6. Невизначені рівняння першого ступеня
ax+by = c.
Теорема. Рівняння ax+by = cдозволимо тоді і тільки тоді, коли c (a, b).
В разі ( a, b) = 1 всі рішення рівняння задаються формулами
tÎ Z , де x 0 є будь-яким рішенням порівняння
ax º c(mod b), y 0 = .
Діофантові рівняння.
РОЗДІЛ 10. Комплексні числа
Визначення системи комплексних чисел. Існування системи комплексних чисел
Визначення системи комплексних чисел.
Теорема. Система комплексних чисел існує.
Модель: R 2 з операціями
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+ad),
i= (0, 1) та ототожненням а = (а, 0).
Алгебраїчна форма комплексного числа
Подання комплексного числа у вигляді z = a+bi, де a, bÎ R , i 2 = -1. Єдиність такого уявлення. Re z, Im z.
Правила виконання арифметичних дій над комплексними числами в формі алгебри.
Арифметичне n-мірний векторний простір C n. Системи лінійних рівнянь, матриці та визначники над C .
Вилучення квадратних коренів з комплексних чисел в формі алгебри.
частина повної системи відрахувань, що складається з чисел взаємно простих з модулем m.П. с. в. містить φ( m) Чисел [φ( m) - число чисел, взаємно простих з mта менших m]. Будь-які φ( m) чисел, які не можна порівняти за модулем mта взаємно прості з ним, утворюють П. с. в. за цим модулем.
- - див. Наведена маса...
Фізична енциклопедія
- - умовна характеристика розподілу мас в механіч, що рухається. або змішаної системи, яка залежить від фіз. параметрів системи та від закону її руху...
Фізична енциклопедія
- - за модулем т - будь-який набір з незрівнянних між собою за модулем тцілих чисел. Зазвичай як П. с. в. по модулю беруться найменші невід'ємні відрахування 0, 1, . . ...
Математична енциклопедія
- - сума корисної площі квартирного житлового будинку, а також площ лоджій, веранд, балконів з відповідними понижувальними коефіцієнтами - загальна наведена площа - розрахована úžitková plochа - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - хөрвүүлсен...
Будівельний словник
- - Див. Коефіцієнт пористості порід.
- - Відношення обсягу пор гірської породи до обсягу скелета гірської породи, що виражається зазвичай у частках одиниці.
Словник з гідрогеології та інженерної геології
- - див. коефіцієнт пористості.
Тлумачний словник з ґрунтознавства
- - те саме, що базова деталь...
- - Умовна хар-ка розподілу мас у системі рухомих тіл, що вводиться в механіці для спрощення ур-ній руху системи...
Великий енциклопедичний політехнічний словник
- - Податок, що стягується біля джерела з дивідендів або іншого доходу, який отримує нерезидент країни.
Фінансовий словник
- - Податок, що стягується біля джерела з дивідендів або іншого доходу, який не отримує резидент країни.
Словник бізнес термінів
- - за модулем m, будь-яка сукупність цілих чисел, що містить по одному числу з кожного класу чисел за модулем m. Як П. с. в. найчастіше застосовується система найменших позитивних відрахувань 0, 1, 2,.
- - умовна характеристика розподілу мас у механічній або змішаній системі, що рухається, яка залежить від фізичних параметрів системи і від закону її руху.
Велика Радянська Енциклопедія
- - ПРИВЕДЕНА маса - умовна характеристика розподілу мас у механічній або змішаній системі, що рухається, яка залежить від фізичних параметрів системи і від закону її руху.
Великий енциклопедичний словник
- - загальний, весь, сукупний,...
Словник синонімів
- - дод., кількість синонімів: 1 чистий...
Словник синонімів
"Наведена система відрахувань" у книгах
Якою є наведена вартість ключової сфери компетенції?
З книги Невагоме багатство. Визначте вартість вашої компанії в економіці нематеріальних активів автора Тіссен РенеЯкою є наведена вартість ключової сфери компетенції? Виходячи з розглянутого вище ми можемо сказати, що наведена вартість ключової сфери компетенції розраховується перемноженням усіх показників за певний час з урахуванням витрат на залучення
Чиста наведена вартість (NPV)
Із книги МВА за 10 днів. Найважливіша з програм провідних бізнес-шкіл світу автора Сілбігер СтівенЧиста наведена вартість (NPV) Аналіз наведеної вартості (NPV) допомагає порахувати, скільки працівникові потрібно вкласти, щоб через 30 років отримувати гідну пенсію, але цей аналіз не є корисним при оцінці поточних інвестицій та проектів. Інвестиції необхідно оцінювати в
ОБЛІК УТРИМАНЬ І ВІДЛІКІВ ІЗ ЗАРОБІТНОЇ ПЛАТИ
З книги Бухгалтерський облік автора Мельников ІлляОБЛІК УТРИМАНЬ І ВІДЛІКІВ ІЗ ЗАРОБІТНОЇ ПЛАТИ Відповідно до законодавства із заробітної плати працівників здійснюються такі утримання: - прибутковий податок (державний податок, об'єкт оподаткування - заробітна плата); - погашення заборгованості по раніше
10.6. Облік утримань та відрахувань із заробітної плати
З книги Бухгалтерський облік у сільському господарстві автора Бичкова Світлана Михайлівна10.6. Облік утримань та відрахувань із заробітної плати Із заробітної плати працівників підприємства виробляються певні утримання, які поділяються таким чином: обов'язкові утримання (податок на доходи фізичних осіб, утримання за виконавчими листами);
З книги Нематеріальні активи: бухгалтерський та податковий облік автора Захарьїн В Р<...>
4.1. Загальні питання надання соціальних податкових відрахувань
автора Макурова Тетяна4.1. Загальні питання надання соціальних податкових відрахувань Соціальні податкові відрахування (ст.219 ПК) так само, як і майновий відрахування на придбання житла, означають зменшення бази оподаткування на величину вироблених соціальних витрат з урахуванням законодавчо
4.3. Особливості надання освітніх відрахувань
З книги Самовчитель з податків на доходи фізосіб автора Макурова Тетяна4.3. Особливості надання освітніх відрахувань 142) Які витрати може бути прийнято до відрахування навчання? Які ліміти освітніх відрахувань? До соціального податкового відрахування на освіту приймаються: витрати у сумі, сплаченій платником податків у
3.4. Кількісна оцінка та періодичність виникнення та застосування податкових відрахувань
З книги Податкове навантаження підприємства: аналіз, розрахунок, управління автора Чипуренко Олена Вікторівна3.4. Кількісна оцінка та періодичність виникнення та застосування податкових відрахувань 3.4.1. ПДВ як потенційне податкове відрахування При обчисленні ПДВ суми податкових відрахувань визначаються лише відповідно до даних регістрів податкового обліку – книг покупок. При
Повна система відрахувань
З книги Велика Радянська Енциклопедія (ПЗ) автора ВікіпедіяНаведена маса
ВікіпедіяНаведена система відрахувань
З книги Велика Радянська Енциклопедія (ПР) автора Вікіпедія88. Структурна та наведена форми системи одночасних рівнянь. Ідентифікація моделі
З книги Відповіді на екзаменаційні квитки з економетрики автора Яковлєва Ангеліна Віталіївна88. Структурна та наведена форми системи одночасних рівнянь. Ідентифікація моделі Структурними рівняннями називаються рівняння, у тому числі складається вихідна система одночасних рівнянь. В даному випадку система має структурну форму. Структурна форма
З книги Нове у Податковому кодексі: коментар до змін, які набули чинності у 2008 році автора Зрілов Олександр ПавловичСтаття 172. Порядок застосування податкових відрахувань Коментар до статті 172У тексті абз.1 п.2 коментованої статті скасовано умову, яка наказує проводити обчислення суми податку на основі балансової вартості майна (з урахуванням його переоцінок та амортизації, які
автора Автор невідомийСтаття 172. Порядок застосування податкових відрахувань 1. Податкові відрахування, передбачені статтею 171 цього Кодексу, провадяться на підставі рахунків-фактур, виставлених продавцями при придбанні платником податків товарів (робіт, послуг), майнових прав,
Із книги Податковий кодекс Російської Федерації. Частини перша та друга. Текст із змінами та доповненнями на 1 жовтня 2009 р. автора Автор невідомийСтаття 201. Порядок застосування податкових відрахувань 1. Податкові відрахування, передбачені пунктами 1 – 4 статті 200 цього Кодексу, провадяться на підставі розрахункових документів та рахунків-фактур, виставлених продавцями при придбанні платником податків підакцизних