Комплексні числа та ряди з комплексними членами. Сходи, що збігаються комплексних чисел Абсолютно схожі ряди комплексних чисел
Стандартними методами, але зайшли в глухий кут з черговим прикладом.
У чому полягає труднощі і де може бути проблема? Відкладемо убік намилену мотузку, спокійно проаналізуємо причини та ознайомимося з практичними прийомами рішення.
Перше, і найголовніше: у переважній більшості випадків для дослідження збіжності ряду необхідно застосувати якийсь знайомий спосіб, але загальний член ряду набитий настільки хитрою начинкою, що зовсім не очевидно, що з нею робити. І ви ходите по колу: не спрацьовує перша ознака, не годиться друга, не виходить третім, четвертим, п'ятим методом, потім чернетки відкидаються убік і все починається заново. Зазвичай це пов'язано з нестачею досвіду або прогалинами в інших розділах математичного аналізу. Зокрема, якщо запущено межі послідовностейта поверхнево розібрані межі функцій, то доведеться туго.
Іншими словами, людина просто не бачить потрібний прийом рішення через брак знань чи досвіду.
Буває винним є і «затемнення», коли, наприклад, елементарно не виконаний необхідний ознака збіжності низки, але з незнанню, неуважності чи недбалості це випадає з поля зору. І виходить як у тій байці, де професор математики вирішив дитяче завдання за допомогою диких рекурентних послідовностей та числових рядів =)
У найкращих традиціях одразу живі приклади: ряди та його родичі – розходяться, оскільки у теорії доведено межі послідовностей. Швидше за все, у першому семестрі з вас витрясе душу за доказ на 1-2-3 сторінки, але зараз цілком достатньо показати невиконання необхідної умови збіжності ряду, пославшись на відомі факти. Відомі? Якщо студент не знає, що корінь енного ступеня – штука надзвичайно потужна, то, скажімо, лави поставлять його в глухий кут. Хоча рішення, як двічі по два: , тобто. зі зрозумілої причини обидва ряди розходяться. Скромного коментаря «дані межі доведені в теорії» (або навіть зовсім його відсутності) цілком вистачить для заліку, проте викладки досить важкі і ставляться вони точно не до розділу числових рядів.
А вивчивши найближчі приклади, ви тільки дивуватиметеся стислості та прозорості багатьох рішень:
Приклад 1
Дослідити збіжність ряду
Рішення: перш за все, перевіряємо виконання необхідної ознаки збіжності. Це не формальність, а чудовий шанс розправитися з прикладом «малою кров'ю».
«Огляд місця події» наводить на думку про ряд, що розходиться (випадок узагальненого гармонійного ряду), але знову ж таки виникає питання, як врахувати логарифм у чисельнику?
Зразки оформлення завдань наприкінці уроку.
Не рідкість, коли доводиться проводити двоходове (а то й триходове) міркування:
Приклад 6
Дослідити збіжність ряду
Рішення: спочатку акуратно розуміємось з тарабарщиною чисельника Послідовність – обмежена: . Тоді:
Порівняємо наш ряд з поруч. В силу щойно отриманої подвійної нерівності, для всіх «ен» буде виконано:
Тепер порівняємо ряд з гармонійним рядом , що розходиться .
Знаменник дробу меншезнаменника дробу , тому сам дріб – більшедроби (розпишіть кілька перших членів, якщо не зрозуміло). Таким чином, для будь-якого «ен»:
Отже, за ознакою порівняння ряд розходитьсяразом із гармонійним рядом.
Якщо трохи видозмінити знаменник: , то перша частина міркувань буде аналогічна: . Але для доказу розбіжності низки вже застосуємо лише граничний ознака порівняння, оскільки нерівність неправильно.
Ситуація з рядками, що сходяться, «дзеркальна», тобто, наприклад, для ряду можна використовувати обидві ознаки порівняння (нерівність справедлива), а для ряду – тільки гранична ознака (нерівність неправильна).
Продовжуємо наше сафарі за дикою природою, де на горизонті замаячила череда граціозних і соковитих антилоп:
Приклад 7
Дослідити збіжність ряду
Рішення: необхідна ознака збіжності виконується, і ми знову ставимося до класичного питання: що робити? Перед нами щось нагадує ряд, що сходиться, однак, чіткого правила тут немає - такі асоціації часто оманливі.
Найчастіше, та не цього разу. За допомогою граничної ознаки порівнянняпорівняємо наш ряд зі схожим рядом. Під час обчислення межі використовуємо чудова межа , де як нескінченно малої величинивиступає:
сходитьсяразом із поруч.
Замість застосування стандартного штучного прийому домноження і поділу на «трійку», можна було спочатку провести порівняння з рядом, що сходить.
Але тут бажане застереження, що константа-множник загального члена впливає збіжність ряду. І саме в такому стилі оформлено рішення наступного прикладу:
Приклад 8
Дослідити збіжність ряду
Зразок наприкінці уроку.
Приклад 9
Дослідити збіжність ряду
Рішення: у попередніх прикладах ми користувалися обмеженістю синуса, але зараз ця властивість виявляється поза грою. Знаменник дробу вищого порядку зростання, Чим чисельник, тому при аргумент синуса і весь спільний член нескінченно мали. Необхідна умова збіжності, як розумієте, виконано, що не дозволяє нам ухилятися від роботи.
Проведемо розвідку: відповідно до чудовою еквівалентністю , подумки відкинемо синус і отримаємо ряд . Ну а вже таке….
Оформляємо рішення:
Порівняємо досліджуваний ряд з рядом, що розходиться. Використовуємо граничну ознаку порівняння:
Замінимо нескінченно малу еквівалентну: при .
Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, досліджуваний ряд розходитьсяразом із гармонійним рядом.
Приклад 10
Дослідити збіжність ряду
Це приклад самостійного рішення.
Для планування подальших дій у подібних прикладах здорово допомагає уявне відкидання синуса, арксинусу, тангенсу, арктангенсу. Але пам'ятайте, така можливість існує лише за нескінченно маломуаргументі, нещодавно мені трапився провокаційний ряд:
Приклад 11
Дослідити збіжність ряду
.
Рішення: тут марно використовувати обмеженість арктангенса, і еквівалентність теж не працює Вихід несподівано простий:
Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.
Друга причина«Затикання на завданні» полягає в пристойній навароченості загального члена, що викликає труднощі вже технічного характеру. Грубо кажучи, якщо розглянуті вище ряди ставляться до розряду «фіг здогадаєшся», то ці – категорії «хрін вирішиш». Власне, це називають складністю в «звичайному» розумінні. Не кожен правильно розрулить кілька факторіалів, ступенів, коренів та інших мешканців савани. Найбільше проблем доставляють, звичайно, факторіали:
Приклад 12
Дослідити збіжність ряду
Як звести факторіал у ступінь? Легко. За правилом дій зі ступенями необхідно звести в ступінь кожен множник твору:
І, звичайно ж, увага і ще раз увага, сама по собі ознака Даламбера працює традиційно:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
Нагадую раціональну методику усунення невизначеності: коли зрозумілий порядок зростаннячисельника та знаменника - зовсім не обов'язково мучитися і розкривати дужки.
Приклад 13
Дослідити збіжність ряду
Звір дуже рідкісний, але трапляється, і було б несправедливим обійти його об'єктивом камери.
Що таке факторіал з подвійним знаком оклику? Факторіал «накручує» добуток позитивних парних чисел:
Аналогічно, факторіал «накручує» добуток позитивних непарних чисел:
Проаналізуйте, у чому полягає відмінність від і
Приклад 14
Дослідити збіжність ряду
А в цьому завданні постарайтеся не заплутатися зі ступенями, чудовими еквівалентностямиі чудовими межами.
Зразки рішень та відповіді наприкінці уроку.
Але студент дістається на корм не лише тиграм – свою здобич вистежують і хитрі леопарди:
Приклад 15
Дослідити збіжність ряду
Рішення: практично миттєво відпадають необхідну ознаку збіжності, граничну ознаку, ознаки Даламбера та Коші. Але найгірше, що безсилий ознака, що неодноразово виручала нас, з нерівностями. Справді, порівняння з розбіжним поруч неможливо, оскільки нерівність неправильно - множник-логарифм тільки збільшує знаменник, зменшуючи саму дріб по відношенню до дробу. І інше глобальне питання: а чому ми взагалі спочатку впевнені, що наш ряд Обов'язково повинен розходитися і його необхідно порівнювати з будь-яким розбіжним рядом? Раптом він узагалі сходиться?
Інтегральна ознака? Невласний інтеграл навіює жалобний настрій. От якби в нас був ряд … тоді так. Стоп! Так народжуються ідеї. Оформляємо рішення у два кроки:
1) Спочатку досліджуємо збіжність ряду . Використовуємо інтегральна ознака:
Підінтегральна функція безперервнана
Таким чином, ряд розходиться разом із відповідним невласним інтегралом.
2) Порівняємо наш ряд із розбіжним рядом . Використовуємо граничну ознаку порівняння:
Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, досліджуваний ряд розходитьсяразом з поруч .
І у такому рішенні немає нічого незвичайного чи творчого – так і треба вирішувати!
Пропоную самостійно оформити наступну двоходівку:
Приклад 16
Дослідити збіжність ряду
Студент з деяким досвідом у більшості випадків відразу бачить, сходиться ряд або розходиться, але буває, що хижак вправно маскується в кущах:
Приклад 17
Дослідити збіжність ряду
Рішення: на перший погляд взагалі не зрозуміло, як поводиться цей ряд А якщо перед нами туман, то логічно розпочати з чорнової перевірки необхідної умови збіжності низки. З метою усунення невизначеності використовуємо непотоплюваний метод множення та поділу на сполучене вираз:
Необхідна ознака збіжності не спрацювала, але вивів на чисту воду нашого тамбовського товариша. В результаті виконаних перетворень отримано еквівалентний ряд , який у свою чергу сильно нагадує ряд , що сходить .
Записуємо чистове рішення:
Порівняємо даний ряд з рядом, що сходить. Використовуємо граничну ознаку порівняння:
Помножимо і розділимо на сполучене вираз:
Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.
Можливо, в деяких виникло питання, звідки на нашому африканському сафарі з'явилися вовки? Не знаю. Завезли, мабуть. Наступну трофейну шкуру добувати вам:
Приклад 18
Дослідити збіжність ряду
Зразковий зразок рішення наприкінці уроку
І, нарешті, ще одна думка, яка у відчаї відвідує багатьох студентів: а чи не використовувати більш рідкісна ознака збіжності ряду? Ознака Раабе, ознака Абеля, ознака Гауса, ознака Діріхле та інші невідомі звірятка. Ідея робоча, але у реальних прикладах здійснюється дуже рідко. Особисто я за всі роки практики лише 2-3 рази вдався до ознакою Раабеколи дійсно нічого не допомогло зі стандартного арсеналу. Повністю відтворюю хід свого екстремального квесту:
Приклад 19
Дослідити збіжність ряду
Рішення: Без жодних сумнівів ознака Даламбера Під час обчислень активно використовую властивості ступенів, а також друга чудова межа:
Ось тобі й один раз. Ознака Даламбера не дала відповіді, хоча нічого не віщувало такого результату.
Пошерстивши довідник, я знайшов доведену в теорії маловідому межу і застосував сильнішу радикальну ознаку Коші:
Ось тобі й два. І, головне, зовсім не зрозуміло, сходиться ряд чи розходиться (вкрай рідкісна для мене ситуація). Потрібна ознака порівняння? Без особливих надій - навіть якщо немислимим чином розберуся з порядком зростання чисельника і знаменника, це ще не гарантує винагороди.
Повний даламбер, але найгірше, що ряд потрібно вирішити. Потрібно. Це буде перший випадок, коли я здамся. І тут мені згадалося, що начебто існують ще якісь сильніші ознаки. Переді мною вже не вовк, не леопард і не тигр. Це був величезний слон, який розмахував великим хоботом. Довелося взяти до рук гранатомет:
Ознака Раабе
Розглянемо позитивний числовий ряд.
Якщо існує межа , то:
а) При ряд розходиться. Причому отримане значення може бути нульовим чи негативним
б) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
у При ознака Раабе не дає відповіді.
Складаємо межу і дбайливо-акуратно спрощуємо дріб:
Так, картина, м'яко кажучи, неприємна, але я вже не здивувався. Подібні межі розколюються за допомогою правила Лопіталя, і перша думка, як потім з'ясувалась, виявилася правильною. Але спочатку я десь годину крутив-крутив межу «звичайними» методами, проте невизначеність не хотіла усуватися. А ходьба по колу, як нагадує досвід – типова ознака того, що обрано неправильний спосіб вирішення.
Довелося звернутися до російської народної мудрості: Якщо нічого не допомагає, прочитайте інструкцію. І коли я відкрив 2-й том Фіхтенгольця, то на превелику радість виявив дослідження ідентичного ряду. І далі пішло рішення на зразок.
1. Комплексні числа. Комплексними числаминазиваються числа виду х+iy,де хі у -дійсні числа, i-уявна одиниця,обумовлена рівністю i 2 =-1.Справжні числа хі уназиваються відповідно дійсноюі уявною частинамикомплексного числа z.Для них вводяться позначення: x=Rеz; y=Imz.
Геометрично кожне комплексне число z = x + iyзображується точкою М (х; у)координатної площини xOу(Рис. 26). У цьому випадку площина хОуназивають комплексною числовою площиною, або площиною комплексного змінного z.
Полярні координати rі φ крапки М,є зображенням комплексного числа z, називаються модулемі аргументомкомплексного числа z; для них вводяться позначення: r=|z|, φ=Arg z.
Оскільки кожній точці площини відповідає безліч значень полярного кута, що відрізняються один від одного на 2kπ (k-ціле позитивне або негативне число), то Агg z-нескінченнозначна функція z.
Те зі значень полярного кута φ , яка задовольняє нерівності –π< φ ≤ π, називають головним значеннямаргументу z та позначають аrg z.
Надалі позначення φ збережемо лише для головного значення аргументу z , тобто. покладемо φ =аrg z,через що для всіх інших значень аргументу zотримаємо рівність
Аrg z = аrg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Співвідношення між модулем та аргументом комплексного числа z та його дійсною та уявною частинами встановлюються формулами
x = r cos φ; y = r sin φ.
Аргумент zможна визначити також за формулою
arg z = arctg (у/г)+С,
де З= 0 при х > 0, З= +π при х<0, у> 0; С = - π при x < 0, у< 0.
Замінюючи xі уу записі комплексного числа z = х + iуїх виразами через rі φ , отримуємо так звану тригонометричну форму комплексного числа:
Комплексні числа z 1 = х 1 + iy 1і z 2 = x 2 + iy 2вважаються рівнимитоді і тільки тоді, коли у них рівні окремо дійсні та уявні частини:
z 1 = z 2, якщо x 1 = x 2, у 1 = у 2.
Для чисел, заданих у тригонометричній формі, рівність має місце, якщо модулі цих чисел рівні, а аргументи відрізняються на ціле кратне 2π:
z 1 = z 2,якщо |z 1 | = | z 2 |і Аrg z 1 = Аrg z 2 +2kπ.
Два комплексні числа z = х + iута z = х -iуз рівними дійсними та протилежними уявними частинами називаються пов'язаними.Для пов'язаних комплексних чисел виконуються співвідношення
|z 1 | = | z 2 |; аrg z 1 = -аrg z 2
(Останній рівності можна надати вигляду Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
Події над комплексними числами визначаються такими правилами.
Додавання. Якщо z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2, то
Додавання комплексних чисел підпорядковується переміщувальному та сполучному законам:
Віднімання. Якщо , то
Для геометричного пояснення додавання та віднімання комплексних чисел корисно зображати їх не крапками на площині z,а векторами: число z = х + iузображується вектором мають початок у точці О («нульової» точці площини - початку координат) і кінець у точці М (х; у).Тоді додавання та віднімання комплексних чисел виконується за правилом складання та віднімання векторів (рис. 27).
Таке геометричне тлумачення операцій складання та віднімання векторів дозволяє легко встановити теореми про модуль суми та різниці двох і суму кількох комплексних чисел, що виражаються нерівностями:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Крім того, корисно пам'ятати, що модуль різниці двох комплексних чисел z 1 і z 2 дорівнює відстані між точками, що є їх зображеннями на площині z:| | z 1 -z 2 | = d (z 1, z 2).
множення. Якщо z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2. то
z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1).
Таким чином, комплексні числа перемножуються як двочлени, причому i2 замінюється на -1.
Якщо то
Таким чином, модуль твору дорівнює твору модулів сомноекі* телів, а аргумент твору-сумі аргументів співмножників.Множення комплексних чисел підпорядковується переміщувальному, сполучному та розподільчому (по відношенню до додавання) законам:
Розподіл.Для знаходження приватного двох комплексних чисел, заданих в формі алгебри, слід ділене і дільник помножити на число, пов'язане з дільником:
" Якщо задані у тригонометричній формі, то
Таким чином, модуль приватного дорівнює приватному модулів діленого та дільника,а аргументприватного дорівнює різниці аргументів діленого та дільника.
Зведення в ступінь. Якщо z = , то за формулою бінома Ньютона маємо
(п-ціле позитивне число); в отриманому виразі треба замінити ступеня iїх значеннями:
i 2 = -1; i 3 =i; i 4 =1; i 5 =1,…
і, у загальному випадку,
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Якщо то
(тут пможе бути як цілим позитивним, і цілим негативним числом).
Зокрема,
(Формула Муавра).
Вилучення кореня. Якщо п-ціле позитивне число, , то корінь n-го ступеня з комплексного числа zмає n різних значень, що знаходяться за формулою
де k = 0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Знайти (z 1 z 2)/z 3 , якщо z 1 = 3 + 5i, z 2 = 2+3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
число z= 2 + 5i.
∆ Знаходимо модуль комплексного числа: . Знаходимо головне значення аргумента: . Отже, ▲
439.
Подати у тригонометричній формі комплексне
число
∆ Знаходимо , ; , ,Тобто.
440.
Представити у тригонометричній формі комплексні
числа 1, i, -1, -i.
441.
Уявити числа ,
,
у тригонометричній формі, а потім знайти комплексне число
z 1 /(z 2 z 3).
∆ Знаходимо
Отже,
442. Знайти всі значення.
∆ Запишемо комплексне число у тригонометричній формі. Маємо , , . Отже,
Отже, , ,
443. Розв'язати двочленне рівняння ω 5 + 32i = 0.
∆ Перепишемо, рівняння у вигляді ω 5 + 32i = 0. Число -32iпредставимо у тригонометричній формі:
Якщо k = 0,(A).
k =1,(B).
k =2,(C).
k =3,(D).
k =4,(E).
Корінням двочленного рівняння відповідають вершини правильного п'ятикутника, вписаного в коло радіуса R = 2із центром на початку координат (рис. 28).
Взагалі корінням двочленного рівняння n = а,де а-комплексне число, відповідають вершини правильного n-кутника, вписаного в коло з центром на початку координат і радіусом, рівним ▲
444. Користуючись формулою Муавра, висловити соs5φі sin5 φчерез соsφі sinφ.
∆ Ліву частину рівності перетворимо за формулою бінома Ньютона:
Залишається прирівняти дійсні та уявні частини рівності:
445. Дано комплексне число z = 2-2i. Знайти Re z, Im z, | z |, arg z.
446. z = -12+5i.
447 . Обчислити за формулою Муавра вираз (зі 2° + isin 2°) 45 .
448. Обчислити за формулою Муавра.
449. Подати у тригонометричній формі комплексне число
z = 1 + сос 20° +isin 20°.
450. Обчислити вираз (2 + 3i) 3 .
451. Обчислити вираз
452. Обчислити вираз
453. Подати у тригонометричній формі комплексне число 5-3i.
454. Подати у тригонометричній формі комплексне число -1 + i.
455. Обчислити вираз
456. Обчислити вираз попередньо представивши в тригонометричній формі множники у чисельнику та знаменнику.
457. Знайти всі значення
458. Розв'язати двочленне рівняння
459. Виразити соs4φі sin4φчерез соsφі sinφ.
460. Показати, що відстань між точками z 1і z 2і | z 2-z 1|.
∆ Маємо z 1 = х 1 + iу 1, z 2 = х 2 + iу 2, z 2 -z 1 = (x 2 -x 1) + i(y 2 -y 1),звідки
тобто. | z 2-z 1| дорівнює відстані між даними точками. ▲
461. Яка лінія описується крапкою z, що задовольняє рівняння де з-постійне комплексне число, а R>0?
462.
Який геометричний зміст нерівностей: 1) | z-с|
463. Який геометричний зміст нерівностей: 1) Re z > 0; 2) Im z< 0 ?
2. Ряди з комплексними членами. Розглянемо послідовність комплексних чисел z 1 , z 2 , z 3 , ..., де z п = x п + iу п (п = 1, 2, 3, ...).Постійне число з = а + biназивається межеюпослідовності z 1 , z 2 , z 3 , ..., якщо для будь-якого скільки завгодно малого числа δ>0 знайдеться такий номер N,що ріє значення z пз номерами п > Nзадовольняють нерівності \z п-с\< δ . У цьому випадку пишуть .
Необхідна та достатня умова існування межі послідовності комплексних чисел полягає в наступному: число з = а + biє межею послідовності комплексних чисел х 1 +iу 1, х 2 +iу 2, х 3 +iу 3, …і тоді, коли , .
(1)
членами якого є комплексні числа, називається схожим,якщо n-ячасткова сума ряду S n при п → ∞прагне певної кінцевої межі. В іншому випадку ряд (1) називається розбіжним.
Ряд (1) сходиться тоді і лише тоді, коли сходяться ряди із дійсними членами
(2) Дослідити збіжність рядуЦей ряд, члени якого утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, сходиться; отже, заданий ряд із комплексними членами сходиться абсолютно. ^
474. Знайти область збіжності ряду
Існування поняття межі послідовності (1.5) дозволяє розглядати ряди у комплексній області (як числові, так і функціональні). Стандартно визначаються часткові суми, абсолютна та умовна збіжність числових рядів. При цьому збіжність ряду передбачає збіжність двох рядів, один з яких складається з дійсних, а інший з уявних частин членів ряду: Наприклад, ряд сходиться абсолютно, а ряд − розходиться (за рахунок уявної частини).
Якщо дійсна та уявна частини ряду сходяться абсолютно, то абсолютно сходиться і сам
ряд, т.к. . Правильне і протилежне: з абсолютної збіжності комплексного ряду
слід абсолютна збіжність дійсної і уявної частини:
Аналогічно функціональним рядам у цій галузі визначаються комплексні
функціональні ряди, область їх поточкової та рівномірної збіжності. Без змін
формулюється та доводиться ознака Вейєрштрасарівномірної збіжності. Зберігаються
всі властивості рівномірно схожих рядів.
При дослідженні функціональних рядів особливий інтерес є статечні
ряди: , або після заміни : . Як і у випадку дійсної
змінною, вірна теорема Абеля : якщо статечний ряд (останній) сходиться в т.
Таким чином, область збіжності Dцього степеневого ряду є коло радіусу R з центром на початку координат, де R − радіус збіжності − точна верхня межа значень (Звідки і з'явився цей термін). Початковий статечний ряд, у свою чергу, сходитиметься у колі радіусу Rз центром у т.ч. z 0 . При цьому, в будь-якому замкнутому колі статечний ряд сходиться абсолютно і рівномірно (останнє твердження відразу випливає з ознаки Вейєрштраса (див. курс "Ряди")).
приклад . Знайти коло збіжності та дослідити на збіжність у тт. z 1 та z 2 статечного ряду Рішення. область збіжності - коло радіусу R= 2 з центром у т.ч. z 0 = 1 − 2i . z 1 лежить поза коло збіжності ряд розходиться. При , тобто. точка лежить на межі кола збіжності. Підставивши її у вихідний ряд, укладаємо:
− ряд сходиться умовно за ознакою Лейбніца.
Якщо в усіх граничних точках ряд сходить абсолютно або розходиться за необхідною ознакою, то це можна встановити відразу для всієї межі. Для цього слід підставити до ряду
з модулів доданків значення Rзамість виразу та дослідити отриманий ряд.
приклад. Розглянемо ряд з останнього прикладу, змінивши один співмножник:
Область збіжності ряду залишилася колишньою: Підставимо в ряд із модулів
отриманий радіус збіжності:
Якщо позначити суму ряду через f(z), тобто. f(z) = (природно, в
області збіжності), то цей ряд називають поряд Тейлора функції f(z) або розкладанням функції f(z) у ряд Тейлора. В окремому випадку, при z 0 = 0, ряд називається поруч Маклорена функції f(z) .
1.7 Визначення основних елементарних функций. Формула Ейлера.
Розглянемо статечний ряд Якщо z− дійсна змінна, то він представляє
собою розкладання функції до ряду Маклорена і, отже, задовольняє
характеристичному властивості показової функції: , тобто. . Це і є підставою для визначення експоненційної функціїу комплексній області:
Визначення 1. .
Аналогічно визначаються функції
Визначення 2.
Всі три ряди сходяться абсолютно і рівномірно у будь-якій обмеженій замкнутій області комплексної площини.
З трьох отриманих формул простою підстановкою виводиться формула Ейлера:
Звідси одразу виходить показова форма запису комплексних чисел:
Формула Ейлера встановлює зв'язок між звичайною та гіперболічною тригонометрією.
Розглянемо, наприклад, функцію: Аналогічно виходять інші співвідношення. Отже:
Приклади. Подати вказані вирази у вигляді
2. (вираз у дужках є числом i , записане у показовій формі)
4. Знайти лінійно незалежні рішення лінійного ДК 2-го порядку:
Коріння характеристичного рівняння дорівнює:
Так як ми шукаємо дійсні рішення рівняння, то як фундаментальна система рішень можна взяти функції
Визначимо, насамкінець, логарифмічну функцію комплексної змінної. Як і в дійсній області, вважатимемо її зворотною до показової. Для простоти розглянемо лише експоненційну функцію, тобто. вирішимо рівняння щодо w, Яку і назвемо логарифмічною функцією. Для цього прологарифмуємо рівняння, представивши zу показовій формі:
Якщо замість arg zнаписати Arg z(1.2), то отримаємо нескінченну функцію
1.8 Похідна ФКП. Аналітичні функції. Умови Коші – Рімана.
Нехай w = f(z) - однозначна функція, визначена в області.
Визначення 1. Похідний від функції f (z) у точці називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли останнє прагне до нуля:
Функція, що має похідну в точці z, називається диференційованої у цій точці.
Очевидно, що виконуються всі арифметичні властивості похідних.
приклад .
За допомогою формули бінома Ньютона аналогічно виводиться, що
Ряди для експоненти, синуса та косинуса задовольняють усім умовам почленного диференціювання. Безпосередньою перевіркою легко отримати, що:
Зауваження. Хоча визначення похідної ФКП формально повністю збігається з визначенням для ФДП, але, сутнісно, є складнішим (див. зауваження п. 1.5).
Визначення 2.Функція f(z) , безперервно диференційована у всіх точках області G, називається аналітичної або регулярною в цій області.
Теорема 1 . Якщо функція f (z) диференційована у всіх точках області G, то вона є аналітичною в цій галузі. (Б/д)
Зауваження. Фактично, ця теорема встановлює еквівалентність регулярності та диференційності ФКП на області.
Теорема 2. Функція, що диференціюється в деякій області, має нескінченно багато похідних у цій галузі. (б/д. Нижче (у п.2.4) це твердження буде доведено за певних додаткових припущень)
Представимо функцію у вигляді суми дійсної та уявної частин: Теорема 3. ( Умови Коші – Рімана). Нехай функція f (z) диференційована у певній точці . Тоді функції u(x,y) та v(x,y) мають у цій точці приватні похідні, причому
І звані умовами Коші – Рімана .
Доведення . Оскільки значення похідної залежить від способу прагнення величини
До нуля, виберемо наступний шлях: Отримуємо:
Аналогічно, при маємо: що доводить теорему.
Правильне і зворотне твердження:
Теорема4.Якщо функції u (x,y) та v(x,y) мають у певній точці безперервні приватні похідні, що задовольняють умовам Коші – Рімана, то сама функція f(z) – диференційована у цій точці. (Б/д)
Теореми 1 – 4 показують важливе відмінність ФКП від ФДП.
Теорема 3 дозволяє обчислювати похідну функції за будь-якою з наступних формул:
При цьому можна вважати хі удовільними комплексними числами та обчислювати похідну за формулами:
Приклади. Перевірити функцію на регулярність. Якщо функція регулярна – обчислити її похідну.
Визначення:Числовим рядом комплексних чисел z 1, z 2, …, z n, …називається вираз виду
z 1 + z 2 + …, z n + … = ,(3.1)
де zn називають загальним членом ряду.
Визначення:Число S n = z 1 + z 2 + …, z nназивається частковою сумою ряду.
Визначення:Ряд (1) називається схожим, якщо сходиться послідовність (S n ) його часткових сум. Якщо ж послідовність часткових сум розходиться, то ряд називають розбіжним.
Якщо ряд сходиться, число S = називається сумою ряду (3.1).
z n = x n + iy n,
то ряд (1) записується у вигляді
= + .
Теорема:Ряд (1) сходиться тоді й тільки тоді, коли сходяться ряди і складені з дійсних і уявних частин членів ряду (3.1).
Ця теорема дозволяє перенести ознаки збіжності поруч із дійсними членами на ряди з комплексними членами (необхідна ознака, ознака порівняння, ознака Д'Аламбера, Коші та ін.).
Визначення.Ряд (1) називається абсолютно схожим, якщо сходиться ряд , складений із модулів його членів.
Теорема.Для абсолютної збіжності ряду (3.1) необхідно достатньо, щоб абсолютно сходилися ряди і .
Приклад 3.1.З'ясувати характер збіжності низки
Рішення.
Розглянемо ряди
Покажемо, що ці лави сходяться абсолютно. Для цього доведемо, що лави
Сходяться.
Оскільки замість ряду візьмемо ряд . Якщо останній ряд сходиться, то за ознакою порівняння сходиться ряд .
Східність рядів і доводиться за допомогою інтегральної ознаки.
Це означає, що ряди і сходиться абсолютно і, згідно з останньою теоремою, вихідний ряд абсолютно сходиться.
4. Ступінні ряди з комплексними членами. Теорема Абеля про статечні ряди. Коло та радіус збіжності.
Визначення.Ступіньним рядом називається ряд виду
де ..., - Комплексні числа, звані коефіцієнтами ряду.
Області збіжності ряду (4.I) є коло .
Для відшукання радіуса збіжності R даного ряду, що містить всі ступені, використовують одну з формул:
Якщо ряд (4.1) містить в повному обсязі , то для відшукання потрібно безпосередньо використовувати ознаку Д'Аламбера чи Коші.
Приклад 4.1.Знайти коло збіжності рядів:
Рішення:
а) Для відшукання радіусу збіжності цього ряду скористаємося формулою
У нашому випадку
Звідси коло збіжності низки задається нерівністю
б) Для відшукання радіусу збіжності ряду використовуємо ознаку Д'Аламбера.
Для обчислення межі двічі використовували правило Лопіталю.
За ознакою Д'Аламбера ряд збігатиметься, якщо . Звідси маємо коло збіжності ряду.
5. Показова та тригонометричні функції комплексної змінної.
6. Теорема Ейлера. Формули Ейлера. Показова форма комплексного числа.
7. Теорема складання. Періодичність показової функції.
Показова функція і тригонометричні функції визначаються як суми відповідних статечних статечних рядів, а саме:
Ці функції пов'язані формулами Ейлера:
звані, відповідно, гіперболічним косинусом та синусом, пов'язані з тригонометричним косинусом та синусом формулами
Функції , , , Визначаються як і в дійсному аналізі.
Для будь-яких комплексних чисел має місце теорема складання:
Будь-яке комплексне число може бути записано у показовій формі:
- Його аргумент.
Приклад 5.1.Знайти
Рішення.
Приклад 5.2.Подайте число у показовій формі.
Рішення.
Знайдемо модуль та аргумент цього числа:
Тоді отримаємо
8. Межа, безперервність та рівномірна безперервність функцій комплексної змінної.
Нехай Е- Деяка кількість точок комплексної площини.
Визначення.Кажуть, що на безлічі Езадана функція fкомплексної змінної z,якщо кожній точці z E за правилом fпоставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел w(У першому випадку функція називається однозначною, у другому – багатозначною). Позначимо w = f(z). E- Область визначення функції.
Будь-яку функцію w = f(z) (z = x + iy)можна записати у вигляді
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z)називають дійсною частиною функції, а V(x, y) = Im f(z)– уявною частиною функції f(z).
Визначення.Нехай функція w = f(z)визначена і однозначна в околиці точки z 0 ,виключаючи, можливо, саму точку z 0. Число А називається межею функції f(z)у точці z 0, якщо для будь-кого ε > 0 можна вказати таке число δ > 0, що всім z = z 0і задовольняють нерівності |z - z 0 |< δ , виконуватиметься нерівність | f(z) – A|< ε.
Записують
З визначення випливає, що z → z 0довільним чином.
Теорема.Для існування межі функції w = f(z)у точці z 0 = x 0 + iy 0необхідно і достатньо існування меж функції U(x, y)і V(x, y)у точці (x 0, y 0).
Визначення.Нехай функція w = f(z)визначена і однозначна в деякій околиці точки z 0 включаючи саму цю точку. Функція f(z)називається безперервною в точці z 0 якщо
Теорема.Для безперервності функції у точці z 0 = x 0 + iy 0необхідно і достатньо, щоб були безперервні функції U(x, y)і V(x, y)у точці (x 0, y 0).
З теорем випливає, що найпростіші властивості, що належать до межі та безперервності функцій дійсних змінних, переносяться на функції комплексної змінної.
Приклад 7.1.Виділити дійсну та уявну частини функції.
Рішення.
У формулу, що задає функцію, підставимо
До нуля за двома різними напрямками, функція U(x, y)має різні межі. Це означає, що в точці z = 0функція f(z)межі немає. Далі, функція f(z)визначена у точках, де .
Нехай z 0 = x 0 + iy 0, Одна з таких точок.
Це означає, що в точках z = x + iyпри y 0 функція безперервна.
9. Послідовності та ряди функцій комплексної змінної. Рівномірна збіжність. Безперервність статечного ряду.
Визначення збіжної послідовності і ряду функцій комплексної змінної рівномірної збіжності, що сходяться, відповідні теорії про однакову збіжність, безперервності межі послідовності, суми ряду формуються і доводяться точно так само, як і для послідовностей і рядів функцій дійсної змінної.
Наведемо необхідні для подальшого факти, що стосуються функціональних рядів.
Нехай в області Dвизначено послідовність однозначних функцій комплексної змінної (fn(z)). Тоді символ:
Називається функціональним рядом.
Якщо z0належить Dфіксовано, то ряд (1) буде числовим.
Визначення.Функціональний ряд (1) називається схожим в області D, якщо для будь-кого zщо належить D, Що відповідає йому числовий ряд сходиться.
Якщо ряд (1) сходиться в області D, то в цій галузі можна визначити однозначну функцію f(z)значення якої в кожній точці zщо належить Dдорівнює сумі відповідного числового ряду. Цю функцію називають сумою ряду (1) в області D .
Визначення.Якщо
для будь-кого zщо належить D,виконується нерівність:
то ряд (1) називається рівномірно схожим в області D.
Ряди із комплексними членами.
19.3.1. Числові лави з комплексними членами.Всі основні визначення збіжності, властивості рядів, що сходяться, ознаки збіжності для комплексних рядів нічим не відрізняються від дійсного випадку.
19.3.1.1. Основні визначення. Нехай дана нескінченна послідовність комплексних чисел. Дійсну частину числа будемо позначати , уявну - (тобто .
Числовий ряд- запис виду .
Часткові суми ряду:
Визначення.Якщо існує межа S послідовності часткових сум ряду при , що є власним комплексним числом, то кажуть, що ряд сходиться; число S називають сумою ряду та пишуть або .
Знайдемо дійсні та уявні частини часткових сум: , де символами та позначені дійсна та уявна частини часткової суми. Числова послідовність сходить тоді й тільки тоді, коли сходяться послідовності, складені з її дійсної і уявної частин. Таким чином, ряд з комплексними членами сходиться тоді і лише тоді, коли сходяться лави, утворені його дійсною та уявною частинами.
приклад.
19.3.1.2. Абсолютна збіжність.
Визначення.Ряд називається абсолютно схожимякщо сходиться ряд , Складений з абсолютних величин його членів.
Так само, як і для числових дійсних рядів з довільними членами, можна довести, що якщо сходиться ряд, то обов'язково сходиться ряд. Якщо ряд сходиться, а ряд розходиться, ряд називається умовно сходящимся.
Ряд - ряд з неотрицательными членами, для дослідження його збіжності можна застосовувати всі відомі ознаки (від теорем порівняння до інтегрального ознаки Коші).
приклад.Дослідити на збіжність ряд.
Складемо ряд із модулів (): . Цей ряд сходиться (ознака Коші ), тому вихідний ряд сходиться абсолютно.
19.1.3.4. Властивості рядів, що сходяться.Для рядів, що сходяться, з комплексними членами справедливі всі властивості рядів з дійсними членами:
Необхідна ознака збіжності низки. Загальний член ряду, що сходить, прагне до нуля при.
Якщо сходиться ряд, то сходиться будь-який його залишок, Назад, якщо сходиться якийсь залишок ряду, то сходиться і сам ряд.
Якщо ряд сходиться, то сума його залишку післяn -го члена прагне до нуля при.
Якщо всі члени ряду, що сходить, помножити на одне і те ж число з, то збіжність ряду збережеться, а сума помножиться на з.
Сходові ряди ( А) та ( У) можна почленно складати та віднімати; отриманий ряд теж сходитиметься, і його сума дорівнює.
Якщо члени ряду, що сходить, згрупувати довільним чином і скласти новий ряд із сум членів у кожній парі круглих дужок, то цей новий ряд теж буде сходитися, і його сума дорівнюватиме сумі вихідного ряду.
Якщо ряд сходить абсолютно, то при будь-якій перестановці його членів збіжність зберігається і сума не змінюється.
Якщо ряди ( А) та ( У) сходяться абсолютно до своїх сумі, їх добуток при довільному порядку членів теж сходиться абсолютно, та її сума дорівнює.
19.3.2. Ступінні комплексні ряди.
Визначення.Ступіньним поруч із комплексними членами називається ряд виду
де - Постійні комплексні числа (коефіцієнти ряду), - фіксоване комплексне число (центр кола збіжності). Для будь-якого чисельного значення z ряд перетворюється на числовий ряд з комплексними членами, що сходяться або розходяться. Якщо ряд сходиться у точці z , то ця точка називається точкою збіжності ряду. Ступіньовий ряд має щонайменше одну точку збіжності-точку. Сукупність точок збіжності називається областю збіжності ряду.
Як і для статечного ряду з дійсними членами, всі змістовні відомості про статечний ряд містяться в теоремі Абеля.
Теорема Абеля.Якщо статечний ряд сходиться в точці, то
1. він абсолютно сходиться у будь-якій точці кола ;
2. Якщо цей ряд розходиться в точці, то він розходиться в будь-якій точці z , що задовольняє нерівності (Тобто що знаходиться далі від точки , ніж ).
Доказ дослівно повторює доказ розділу 18.2.4.2. Теорема Абелядля поряд із дійсними членами.
З теореми Абеля випливає існування такого невід'ємного дійсного числа R , що ряд абсолютно сходиться у будь-якій внутрішній точці кола радіусу R з центром у точці , і розходиться у будь-якій точці поза цим кругом. Число R називається радіусом збіжності, коло - навколо збіжності. У точках кордону цього кола - кола радіусу R з центром у точці – ряд може і сходитися, і розходитися. У цих точках ряд із модулів має вигляд. Можливі такі випадки:
1. Ряд сходиться. І тут у будь-якій точці кола ряд сходиться абсолютно.
2. Ряд розходиться, але його спільний член . І тут у деяких точках кола ряд може сходитися умовно, інших - розходитися, тобто. кожна точка потребує індивідуального дослідження.
3. Ряд розходиться, та її загальний член прагне до нулю при . У цьому випадку ряд розходиться в будь-якій точці граничного кола.