Яка з пар прямих на площині є паралельними. Паралельні прямі на площині та у просторі. Захист персональної інформації
![Яка з пар прямих на площині є паралельними. Паралельні прямі на площині та у просторі. Захист персональної інформації](https://i2.wp.com/zaochnik.com/uploads/2018/02/21/image002.png)
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
На площині прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують значок || (Паралельні прямі a || b).
Для прямих, що лежать у просторі, вимоги відсутності загальних точок недостатньо – щоб вони у просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони схрещуються).
За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті – це лінії перетину стіни зі стелею та підлогою, на зошитовому листі – протилежні краї тощо.
Цілком очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну до однієї з перших двох, вона буде паралельна і другою.
Паралельні прямі пов'язані на площині твердженням, яке не доводиться за допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіома: для будь-якої точки на площині, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній. Цю аксіому знає кожен шестикласник.
Її просторове узагальнення, тобто твердження, що для будь-якої точки у просторі, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даній, легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.
Властивості паралельних прямих
- Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна до третьої, то вони взаємно паралельні.
Ця властивість має паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обґрунтування у стереометрії.
Допустимо паралельність прямих b і з прямою a.
Випадок, коли всі прямі лежать в одній площині залишимо планіметрії.
Припустимо, a і b належать площині бета, а гамма - площину, якій належать a і з (за визначенням паралельності у просторі прямі повинні належати одній площині).
Якщо припустити, що площини бетта і гамма різні і відзначити на прямій b з бетта певну точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бета по прямій (позначимо її b1).
Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бета, а з іншого вона повинна належати і з, оскільки b1 належить третій площині.
Але ж паралельні прямі і з перетинатися не повинні.
Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бета і при цьому не мати спільних точок a, отже, згідно з аксіомою паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали пряму b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і с - паралельні
- Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише одна єдина пряма.
- Дві прямі паралельні, що лежать на площині перпендикулярно третій.
- За умови перетину площини однієї з паралельних двох прямих, цю ж площину перетинає друга пряма.
- Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетином паралельних двох прямих третьої, рівні, сума у внутрішніх односторонніх при цьому дорівнює 180°.
Вірні та зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.
Умови паралельності прямих
Сформульовані вище властивості та ознаки є умовами паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше висловлюючись, задля доказу паралельності двох наявних прямих досить довести їх паралельність третьої прямої чи рівність кутів, чи то відповідних чи навхрест лежачих, тощо.
Для доказу переважно використовують метод «від неприємного», тобто з припущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього припущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест внутрішні кути, що лежать, виявляються нерівними, що і доводить некоректність зробленого припущення.
Ознаки паралельності двох прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:
навхрест лежачі кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то
прямі паралельні(Рис.1).
Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.
Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.
Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.
Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).
Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.
Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.
Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).
Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.
З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.
Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.
Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.
1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).
2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).
Справедлива та наступна теорема.
Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:
навхрест лежачі кути рівні;
відповідні кути рівні;
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).
Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.
Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.
приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.
Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.
У цій статті ми розповімо про паралельні прямі, дамо визначення, позначимо ознаки та умови паралельності. Для наочності теоретичного матеріалу будемо використовувати ілюстрації та вирішення типових прикладів.
Визначення 1Паралельні прямі на площині- Дві прямі на площині, що не мають спільних точок.
Визначення 2
Паралельні прямі у тривимірному просторі- Дві прямі в тривимірному просторі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.
Необхідно звернути увагу, що для визначення паралельних прямих у просторі вкрай важливе уточнення «що лежать в одній площині»: дві прямі в тривимірному просторі, що не мають спільних точок і не лежать в одній площині, є не паралельними, а схрещуються.
Щоб позначити паралельність прямих, загальноприйнято використовувати символ . Тобто якщо задані прямі a і b паралельні, коротко записати цю умову потрібно так: a ‖ b . Словесно паралельність прямих позначається так: прямі a і b паралельні, або пряма а паралельна прямий b , або пряма b паралельна прямий а.
Сформулюємо твердження, що грає важливу роль у темі, що вивчається.
Аксіома
Через точку, що не належить заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна заданій. Це твердження неможливо довести з урахуванням відомих аксіом планіметрії.
У випадку, коли йдеться про простір, вірна теорема:
Теорема 1
Через будь-яку точку простору, що не належить заданій прямій, проходитиме єдина пряма, паралельна заданій.
Цю теорему легко довести з урахуванням вищевказаної аксіоми (програма геометрії 10 - 11 класів).
Ознака паралельності є достатньою умовою, при виконанні якої гарантовано паралельність прямих. Інакше висловлюючись, виконання цієї умови достатньо, щоб підтвердити факт паралельності.
У тому числі, мають місце необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у просторі. Пояснимо: необхідне – означає умова, виконання якого необхідне паралельності прямих; якщо його не виконано – прямі є паралельними.
Резюмуючи, необхідну та достатню умову паралельності прямих – така умова, дотримання якої необхідно і достатньо, щоб прямі були паралельні між собою. З одного боку, це ознака паралельності, з іншого – властивість, властива паралельним прямим.
Перед тим, як дати точне формулювання необхідної та достатньої умови, нагадаємо ще кілька додаткових понять.
Визначення 3
Поточна пряма- Пряма, що перетинає кожну з двох заданих неспівпадаючих прямих.
Перетинаючи дві прямі, січна утворює вісім нерозгорнутих кутів. Щоб сформулювати необхідну та достатню умову, будемо використовувати такі типи кутів, як навхрест лежачі, відповідні та односторонні. Продемонструємо їх на ілюстрації:
Теорема 2
Якщо дві прямі на площині перетинаються січною, то для паралельності заданих прямих необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівними, або були рівними відповідні кути, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.
Проілюструємо графічно необхідну та достатню умову паралельності прямих на площині:
Доказ зазначених умов є у програмі геометрії за 7 - 9 класи.
Загалом, ці умови застосовні і для тривимірного простору при тому, що дві прямі та січна належать одній площині.
Вкажемо ще кілька теорем, які часто використовуються при доказі факту паралельності прямих.
Теорема 3
На площині дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Ця ознака доводиться на основі аксіоми паралельності, зазначеної вище.
Теорема 4
У тривимірному просторі дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.
Доказ ознаки вивчається у програмі геометрії 10 класу.
Дамо ілюстрацію зазначених теорем:
Вкажемо ще одну пару теорем, що є доказом паралельності прямих.
Теорема 5
На площині дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.
Сформулюємо аналогічне для тривимірного простору.
Теорема 6
У тривимірному просторі дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.
Проілюструємо:
Усі зазначені вище теореми, ознаки та умови дозволяють зручно довести паралельність прямих методами геометрії. Тобто, щоб навести доказ паралельності прямих, можна показати, що рівні відповідні кути, або продемонструвати факт, що дві задані прямі перпендикулярні до третьої і т.д. Але зазначимо, що найчастіше для доказу паралельності прямих на площині чи тривимірному просторі зручніше використовувати метод координат.
Паралельність прямих у прямокутній системі координат
У заданій прямокутній системі координат пряма визначається рівнянням прямої на площині одного з можливих видів. Так і прямий лінії, заданої у прямокутній системі координат у тривимірному просторі, відповідають деякі рівняння прямої у просторі.
Запишемо необхідні та достатні умови паралельності прямих у прямокутній системі координат залежно від типу рівняння, що описує задані прямі.
Почнемо з умови паралельності прямих на площині. Воно базується на визначеннях напрямного вектора прямої та нормального вектора прямої на площині.
Теорема 7
Щоб на площині дві несхожі прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори заданих прямих були колінеарними, або колінеарними нормальні вектори заданих прямих, або напрямний вектор однієї прямий був перпендикулярний нормальному вектору іншої прямої.
Стає очевидно, що умова паралельності прямих на площині базується на умові колінеарності векторів або перпендикулярності умов двох векторів. Тобто, якщо a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) є напрямними векторами прямих a і b;
і n b → = (n b x , n b y) є нормальними векторами прямих a і b , то зазначену вище необхідну та достатню умову запишемо так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y або n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y або a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , де t – деяке дійсне число. Координати напрямних чи прямих векторів визначаються за заданими рівняннями прямих. Розглянемо основні приклади.
- Пряма a у прямокутній системі координат визначається загальним рівнянням прямої: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; пряма b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (А1, В1) і (А2, В2) відповідно. Умову паралельності запишемо так:
A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2
- Пряма a описується рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом виду y = k 1 x + b 1 . Пряма b - y = k 2 x + b 2 . Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (k 1 -1) і (k 2 -1) відповідно, а умову паралельності запишемо так:
k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Таким чином, якщо паралельні прямі на площині прямокутної системі координат задаються рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти заданих прямих будуть рівні. І вірне зворотне твердження: якщо неспадні прямі на площині прямокутної системі координат визначаються рівняннями прямої з однаковими кутовими коефіцієнтами, ці задані прямі паралельні.
- Прямі a і b у прямокутній системі координат задані канонічними рівняннями прямої на площині: x - x 1 a x = y - y 1 a y і x - x 2 b x = y - y 2 b y або параметричними рівняннями прямої на площині: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y та x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Тоді напрямні вектори заданих прямих будуть: a x , a y і b x , b y відповідно, а умову паралельності запишемо так:
a x = t · b x a y = t · b y
Розберемо приклади.
Приклад 1
Задано дві прямі: 2 x - 3 y + 1 = 0 та x 1 2 + y 5 = 1 . Необхідно визначити, чи вони паралельні.
Рішення
Запишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Ми бачимо, що n a → = (2 , - 3) - нормальний вектор прямий 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2 , 1 5 - нормальний вектор прямий x 1 2 + y 5 = 1 .
Отримані вектори є колінеарними, т.к. не існує такого значення t, при якому буде вірна рівність:
2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Таким чином, не виконується необхідна і достатня умова паралельності прямих на площині, а отже, задані прямі не паралельні.
Відповідь:задані прямі не паралельні.
Приклад 2
Задані прямі y = 2 x + 1 та x 1 = y - 4 2 . Чи паралельні вони?
Рішення
Перетворимо канонічне рівняння прямої x 1 = y - 4 2 до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Ми, що рівняння прямих y = 2 x + 1 і y = 2 x + 4 є однаковими (якщо було інакше, прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже задані прямі є паралельними.
Спробуємо розв'язати задачу інакше. Спочатку перевіримо, чи збігаються задані прямі. Використовуємо будь-яку точку прямої y = 2 x + 1 наприклад, (0 , 1) , координати цієї точки не відповідають рівнянню прямої x 1 = y - 4 2 , а значить прямі не збігаються.
Наступним кроком визначимо виконання умови паралельності заданих прямих.
Нормальний вектор прямий y = 2 x + 1 це вектор n a → = (2 , - 1) , а напрямний вектор другої заданої прямої є b → = (1 , 2) . Скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю:
n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0
Таким чином, вектори перпендикулярні: це демонструє нам виконання необхідної та достатньої умови паралельності вихідних прямих. Тобто. задані прямі паралельні.
Відповідь:дані прямі паралельні.
Для доказу паралельності прямих у прямокутній системі координат тривимірного простору використовується така необхідна та достатня умова.
Теорема 8
Щоб дві несхожі прямі в тривимірному просторі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб вектори напрямних векторів цих прямих були колінеарними.
Тобто. при заданих рівняннях прямих у тривимірному просторі у відповідь питання: паралельні вони чи ні, перебуває з допомогою визначення координат напрямних векторів заданих прямих, і навіть перевірки умови їх коллинеарности. Інакше кажучи, якщо a → = (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) є напрямними векторами прямих a і b відповідно, то для того щоб вони були паралельні, необхідно існування такого дійсного числа t , щоб виконувалася рівність:
a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z
Приклад 3
Задані прямі x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 і x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необхідно довести паралельність цих прямих.
Рішення
Умовами завдання задані канонічні рівняння однієї прямої у просторі та параметричні рівняння іншої прямої у просторі. Напрямні вектори a → і b → заданих прямих мають координати: (1 , 0 , - 3) та (2 , 0 , - 6) .
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .
Отже, необхідну та достатню умову паралельності прямих у просторі виконано.
Відповідь:паралельність заданих прямих доведено.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE
Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.
Теорема.
Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.
Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗD, що можливо. Пряма CEпаралельна AB.
Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MС, що неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.
Слідство.
Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.
Аксіома паралельних ліній.
Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.
Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.
Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).
Наслідки.
1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в іншому випадку через одну і ту ж точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні AB, що неможливо.
2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.
Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні З, що неможливо.
Теорема.
Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.
Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.
ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.
Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через одну й ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.