Komplexné čísla a rady so zložitými členmi. Konvergentný rad komplexných čísel Absolútne konvergentný rad komplexných čísel
![Komplexné čísla a rady so zložitými členmi. Konvergentný rad komplexných čísel Absolútne konvergentný rad komplexných čísel](https://i1.wp.com/mathprofi.ru/k/slozhnye_ryady_clip_image006.gif)
Štandardné metódy, ale dostali sa do slepej uličky s iným príkladom.
Aká je náročnosť a kde môže byť zádrhel? Odložme namydlené lano, pokojne rozoberme dôvody a zoznámime sa s praktickými metódami riešenia.
Prvý a najdôležitejší: v drvivej väčšine prípadov je na štúdium konvergencie radu potrebné použiť nejakú známu metódu, ale bežný pojem radu je plný takých zložitých náplní, že nie je vôbec jasné, čo s tým robiť . A chodíte v kruhoch: prvý znak nefunguje, druhý nefunguje, tretí, štvrtý, piaty spôsob nefunguje, potom sa koncepty vyhodia a všetko sa začína odznova. Zvyčajne je to kvôli nedostatku skúseností alebo medzier v iných častiach kalkulu. Najmä ak beží sekvenčné limity a povrchovo rozobrané limity funkcií, potom to bude ťažké.
Inými slovami, človek jednoducho nevidí potrebné riešenie kvôli nedostatku vedomostí alebo skúseností.
Niekedy je na vine aj „zatmenie“, keď napríklad jednoducho nie je splnené potrebné kritérium pre konvergenciu série, no z neznalosti, nepozornosti či nedbanlivosti to z oka vypadne. A dopadne to ako v tom kole, kde profesor matematiky riešil detskú úlohu pomocou divokých opakujúcich sa postupností a číselných radov =)
V najlepších tradíciách okamžite živé príklady: riadky a ich príbuzní - sa rozchádzajú, pretože je to teoreticky dokázané sekvenčné limity. S najväčšou pravdepodobnosťou vás v prvom semestri vybijú z duše za dôkaz na 1-2-3 stranách, ale teraz úplne stačí ukázať, že nie je splnená potrebná podmienka na konvergenciu série, odvolávajúc sa na na známe fakty. slávny? Ak študent nevie, že koreň n-tého stupňa je mimoriadne silná vec, potom povedzme rad
dať ho do zabehnutých koľají. Hoci riešenie je ako dva a dva: , t.j. z pochopiteľných dôvodov sa obe série rozchádzajú. Skromný komentár „tieto limity sú teoreticky dokázané“ (alebo aj jeho absencia) úplne stačí na kompenzovanie, napokon výpočty sú dosť ťažké a rozhodne nepatria do sekcie číselných radov.
A po preštudovaní nasledujúcich príkladov budete len prekvapení stručnosťou a transparentnosťou mnohých riešení:
Príklad 1
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: v prvom rade skontrolujte vykonanie potrebné kritérium pre konvergenciu. Nejde o formalitu, ale o veľkú šancu vysporiadať sa s príkladom „malého krviprelievania“.
"Inšpekcia scény" naznačuje divergentný rad (prípad zovšeobecneného harmonického radu), ale opäť vyvstáva otázka, ako vziať do úvahy logaritmus v čitateli?
Približné príklady úloh na konci hodiny.
Nie je nezvyčajné, keď musíte vykonať dvojstranné (alebo dokonca trojstranné) uvažovanie:
Príklad 6
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: najprv sa opatrne vysporiadaj s hlúposťami čitateľa. Postupnosť je obmedzená: . potom:
Porovnajme našu sériu so sériou . Vďaka práve získanej dvojitej nerovnosti bude pre všetky „en“ platiť:
Teraz porovnajme rad s divergentným harmonickým radom.
Menovateľ zlomku menej menovateľ zlomku, tak samotný zlomok – viac zlomky (zapíšte si prvých pár pojmov, ak nie sú jasné). Takže pre akékoľvek "sk":
Takže na porovnanie, séria sa rozchádza spolu s harmonickým radom.
Ak trochu zmeníme menovateľa: , potom bude prvá časť odôvodnenia podobná:
. Ale na dôkaz divergencie radu je už použiteľný iba limitný test porovnania, pretože nerovnosť je nepravdivá.
Situácia s konvergujúcim radom je „zrkadlová“, to znamená, že napríklad pre sériu možno použiť obe porovnávacie kritériá (nerovnosť je pravdivá) a pre sériu iba obmedzujúce kritérium (nerovnosť je nepravdivá).
Pokračujeme v safari divočinou, kde sa na obzore črtalo stádo pôvabných a šťavnatých antilop:
Príklad 7
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: potrebné konvergenčné kritérium je splnené a my si opäť kladieme klasickú otázku: čo robiť? Pred nami je niečo, čo pripomína konvergentný rad, tu však neexistuje jasné pravidlo - takéto asociácie sú často klamlivé.
Často, ale tentoraz nie. Používaním Limitné porovnávacie kritérium Porovnajme náš rad s konvergentným radom . Pri výpočte limitu používame úžasná hranica , kde ako nekonečne malý stojí:
konverguje spolu s vedľa .
Namiesto štandardnej umelej techniky násobenia a delenia „trojkou“ bolo možné spočiatku porovnávať s konvergentným radom.
Tu je však potrebné upozorniť, že konštantný násobiteľ všeobecného výrazu neovplyvňuje konvergenciu radu. A práve v tomto štýle je navrhnuté riešenie nasledujúceho príkladu:
Príklad 8
Preskúmajte konvergenciu radu
Ukážka na konci lekcie.
Príklad 9
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: v predchádzajúcich príkladoch sme použili ohraničenosť sínusu, ale teraz je táto vlastnosť mimo hry. Menovateľ zlomku vyššieho poradie rastu ako čitateľ, takže keď sínusový argument a celý spoločný výraz nekonečne malý. Nevyhnutná podmienka konvergencie, ako ste pochopili, je splnená, čo nám nedovoľuje vyhýbať sa práci.
Rekogníciu vykonáme: v súlade s pozoruhodná rovnocennosť , mentálne zahoďte sínus a získajte sériu. No niečo také….
Rozhodovanie:
Porovnajme skúmaný rad s divergentným radom. Používame limitné porovnávacie kritérium:
Nahradme nekonečnú malú ekvivalentnou: for .
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad sa rozchádza spolu s harmonickým radom.
Príklad 10
Preskúmajte konvergenciu radu
Toto je príklad „urob si sám“.
Pre plánovanie ďalších akcií v takýchto príkladoch veľmi pomáha mentálne odmietnutie sínusu, arksínusu, tangensu, arctangensu. Pamätajte však, že táto možnosť existuje iba vtedy nekonečne malý argument, nie je to tak dávno, čo som narazil na provokatívny seriál:
Príklad 11
Preskúmajte konvergenciu radu .
Riešenie: je tu zbytocne pouzivat obmedzenost arkustangens a nefunguje ani ekvivalencia. Výstup je prekvapivo jednoduchý:
Študijná séria sa rozchádza, pretože nie je splnené potrebné kritérium pre konvergenciu radu.
Druhý dôvod„Gag on the job“ spočíva v slušnej prepracovanosti bežného člena, čo spôsobuje ťažkosti technického charakteru. Zhruba povedané, ak vyššie diskutované série patria do kategórie „čísla, ktoré uhádnete“, potom tieto patria do kategórie „vy rozhodnete“. V skutočnosti sa tomu hovorí zložitosť v „bežnom“ zmysle. Nie každý správne vyrieši niekoľko faktoriálov, stupňov, koreňov a iných obyvateľov savany. Samozrejme, najviac problémov spôsobujú faktoriály:
Príklad 12
Preskúmajte konvergenciu radu
Ako povýšiť faktoriál na mocninu? Jednoducho. Podľa pravidla operácií s právomocami je potrebné zvýšiť každý faktor produktu na silu:
A, samozrejme, pozornosť a ešte raz pozornosť, samotný nápis d'Alembert funguje tradične:
Teda skúmaná séria konverguje.
Pripomínam vám racionálnu techniku na odstránenie neistoty: keď je to jasné poradie rastučitateľ a menovateľ - vôbec nie je potrebné trpieť a otvárať zátvorky.
Príklad 13
Preskúmajte konvergenciu radu
Šelma je veľmi vzácna, no nájde sa a obísť ju objektívom fotoaparátu by bolo nefér.
Čo je to faktoriál dvojitého výkričníka? Faktoriál „navíja“ súčin kladných párnych čísel:
Podobne faktoriál „navíja“ súčin kladných nepárnych čísel:
Analyzujte, aký je medzi nimi rozdiel
Príklad 14
Preskúmajte konvergenciu radu
A v tejto úlohe sa snažte nezamieňať so stupňami, úžasné ekvivalencie a úžasné limity.
Vzorové riešenia a odpovede na konci hodiny.
Ale študent dostane nakŕmiť nielen tigre, ale aj prefíkané leopardy vystopujú svoju korisť:
Príklad 15
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: nevyhnutné kritérium konvergencie, obmedzujúce kritérium, d'Alembertovo a Cauchyho kritériá takmer okamžite zmiznú. Čo je však najhoršie, funkcia s nerovnosťami, ktorá nás opakovane zachraňovala, je bezmocná. Porovnanie s divergentnou sériou je skutočne nemožné, pretože nerovnosť nesprávne - multiplikátor-logaritmus iba zvyšuje menovateľa, čím znižuje samotný zlomok
vo vzťahu k zlomku. A ďalšia globálna otázka: prečo sme si spočiatku istí, že naša séria
je viazaný na divergenciu a musí sa porovnávať s nejakou divergentnou sériou? Hodí sa tam vôbec?
Integrálna funkcia? Nesprávny integrál vyvoláva smútočnú náladu. Teraz, keby sme sa pohádali
…tak potom áno. Stop! Takto sa rodia nápady. Rozhodujeme sa v dvoch krokoch:
1) Najprv študujeme konvergenciu radu . Používame integrálnou vlastnosťou:
Integrand nepretržitý na
Teda číslo diverguje spolu so zodpovedajúcim nevlastným integrálom.
2) Porovnajte náš rad s divergentným radom . Používame limitné porovnávacie kritérium:
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad sa rozchádza spolu s bok po boku .
A na takomto rozhodnutí nie je nič nezvyčajné ani kreatívne – tak by sa malo rozhodnúť!
Navrhujem nezávisle vypracovať nasledujúce dva ťahy:
Príklad 16
Preskúmajte konvergenciu radu
Študent s určitými skúsenosťami vo väčšine prípadov okamžite vidí, či sa séria zbieha alebo rozchádza, ale stane sa, že dravec sa šikovne zamaskuje v kríkoch:
Príklad 17
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: na prvý pohľad nie je vôbec jasné, ako sa táto séria správa. A ak máme pred sebou hmlu, tak je logické začať hrubou kontrolou potrebnej podmienky pre zbiehavosť série. Aby sme odstránili neistotu, používame nepotopiteľnú metóda násobenia a delenia adjunkovaným výrazom:
Nevyhnutný znak konvergencie nefungoval, ale vyniesol na svetlo nášho súdruha Tambov. V dôsledku vykonaných transformácií sa získal ekvivalentný rad , čo zase silne pripomína konvergentný rad .
Napíšeme čisté riešenie:
Porovnajte tento rad s konvergentným radom. Používame limitné porovnávacie kritérium:
Násobte a delte prídavným výrazom:
Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že skúmaný rad konverguje spolu s vedľa .
Možno si niektorí kladú otázku, odkiaľ sa vzali vlci z nášho afrického safari? neviem. Asi to priniesli. Získate nasledujúcu trofejnú kožu:
Príklad 18
Preskúmajte konvergenciu radu
Príklad riešenia na konci lekcie
A na záver ešte jedna myšlienka, ktorá mnohých študentov v zúfalstve navštívi: namiesto toho, či použiť zriedkavejšie kritérium pre konvergenciu radu? Znamenie Raabe, znamenie Abel, znamenie Gauss, znamenie Dirichlet a ďalšie neznáme zvieratá. Myšlienka funguje, ale v reálnych príkladoch je implementovaná veľmi zriedka. Osobne som sa za všetky roky praxe uchýlil len 2-3 krát znamenie Raabe keď zo štandardného arzenálu naozaj nič nepomohlo. Reprodukujem priebeh môjho extrémneho hľadania v plnom rozsahu:
Príklad 19
Preskúmajte konvergenciu radu
Riešenie: Bez akýchkoľvek pochybností znak d'Alemberta. V priebehu výpočtov aktívne využívam vlastnosti stupňov, ako aj druhá úžasná hranica:
Tu je jeden pre vás. D'Alembertov znak nedával odpoveď, hoci nič nenaznačovalo takýto výsledok.
Po prečítaní manuálu som našiel málo známy limit overený teoreticky a použil som silnejšie radikálne Cauchyho kritérium:
Tu sú pre vás dve. A čo je najdôležitejšie, nie je vôbec jasné, či séria konverguje alebo sa rozchádza (pre mňa mimoriadne zriedkavá situácia). Nevyhnutný znak porovnávania? Bez veľkej nádeje - aj keď nepredstaviteľným spôsobom zistím poradie rastu čitateľa a menovateľa, stále to nezaručuje odmenu.
Úplný d'Alembert, no najhoršie je, že sériu treba vyriešiť. Potreba. Koniec koncov, toto bude prvýkrát, čo sa vzdávam. A potom som si spomenul, že sa zdalo, že existujú nejaké silnejšie znamenia. Predo mnou už nebol vlk, ani leopard, ani tiger. Bol to obrovský slon, ktorý mával veľkým chobotom. Musel som zobrať granátomet:
Znamenie Raabe
Zvážte kladný číselný rad.
Ak existuje limit , potom:
a) V rade sa rozchádza. Okrem toho môže byť výsledná hodnota nulová alebo záporná.
b) V rade konverguje. Najmä rad konverguje pre .
c) Kedy Raabeho znamenie nedáva odpoveď.
Poskladáme limitu a zlomok opatrne zjednodušíme:
Áno, obrázok je mierne povedané nepríjemný, ale už ma to neprekvapilo. lopitálne pravidlá, a prvá myšlienka, ako sa neskôr ukázalo, sa ukázala ako správna. Najprv som však asi hodinu krútil a otáčal limit „bežnými“ metódami, no neistota sa nechcela eliminovať. A chodenie v kruhoch, ako nasvedčuje skúsenosť, je typickým znakom, že bol zvolený nesprávny spôsob riešenia.
Musel som sa obrátiť na ruskú ľudovú múdrosť: "Ak nič nepomôže, prečítajte si pokyny." A keď som otvoril 2. diel Fichtenholtza, na moju veľkú radosť som našiel štúdiu identickej série. A potom už išlo riešenie podľa vzoru.
1. Komplexné čísla. Komplexné čísla volané čísla formulára x+iy, kde X a y - reálne čísla, i-pomyselná jednotka, definované rovnosťou i2 = -1. Reálne čísla X a pri sa nazývajú resp platné a imaginárne časti komplexné číslo z. Pre nich je zavedený zápis: x=Rez; y=imz.
Geometricky každé komplexné číslo z=x+iy znázornené bodkou M (x; y) súradnicová rovina xOy(obr. 26). V tomto prípade lietadlo ahoj nazývaná komplexná číselná rovina, príp rovina komplexnej premennej z.
Polárne súradnice r a φ bodov M, ktoré je obrazom komplexného čísla z, sa nazývajú modul a argument komplexné číslo z; je pre nich zavedený zápis: r=|z|, φ=Argz.
Pretože každý bod roviny zodpovedá nekonečnému počtu hodnôt polárneho uhla, ktoré sa navzájom líšia o 2kπ (k je kladné alebo záporné celé číslo), Arg je z-nekonečná funkcia z.
To z hodnôt polárneho uhla φ , ktorý spĺňa nerovnosť –π< φ ≤ π sa nazývajú hlavný význam argument z a označujú arg z.
V nasledujúcom texte označenie φ uložiť len pre hlavnú hodnotu argumentu z , tie. dajme tomu φ =argz, pričom pre všetky ostatné hodnoty argumentu z dostaneme rovnosť
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Vzťahy medzi modulom a argumentom komplexného čísla z a jeho reálnou a imaginárnou časťou stanovujú vzorce
x = r cos φ; y = r sin φ.
Argumentovať z možno určiť aj podľa vzorca
arg z = arctg (y / x) + C,
kde OD= 0 at x > 0, OD= +π pre x<0, pri> 0; C \u003d - π at X < 0, pri< 0.
Výmena X a pri v zápise komplexných čísel z = x+iy ich prejavy cez r a φ , dostaneme tzv trigonometrický tvar komplexného čísla:
Komplexné čísla z 1 \u003d x 1 + iy 1 a z 2 \u003d x 2 + iy 2 zvážiť rovný vtedy a len vtedy, ak sú ich skutočné a imaginárne časti rovnaké:
z1 = z2, ak x 1 = x 2, y1 = y2.
Pre čísla uvedené v trigonometrickom tvare platí rovnosť, ak sú moduly týchto čísel rovnaké a argumenty sa líšia o celý násobok 2π:
z 1 = z 2, ak |z 1 | = |z 2 | a Argz1 = Argz2 +2kπ.
Dve komplexné čísla z = x+iy a z = x -iy s rovnakými reálnymi a opačnými imaginárnymi časťami sa nazývajú konjugovaný. Pre konjugované komplexné čísla, vzťahy
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(posledná rovnosť môže byť uvedená vo forme Argz1 + Argz2 = 2kπ).
Operácie s komplexnými číslami sú definované nasledujúcimi pravidlami.
Doplnenie. Ak z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, potom
Sčítanie komplexných čísel sa riadi komutatívnymi a asociačnými zákonmi:
Odčítanie. Ak , potom
Pre geometrické vysvetlenie sčítania a odčítania komplexných čísel je užitočné znázorniť ich nie ako body v rovine z, a vektory: číslo z = x + iy reprezentovaný vektorom majúci začiatok v bode O ("nulový" bod roviny - počiatok súradníc) a koniec v bode M(x; y). Potom sa sčítanie a odčítanie komplexných čísel vykoná podľa pravidla sčítania a odčítania vektorov (obr. 27).
Takáto geometrická interpretácia operácií sčítania a odčítania vektorov uľahčuje vytvorenie teorémov o module súčtu a rozdielu dvoch a súčtu niekoľkých komplexných čísel vyjadrených nerovnicami:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ± z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Okrem toho je užitočné si to zapamätať modul rozdielu dvoch komplexných čísel z1 a z2 sa rovná vzdialenosti medzi bodmi, ktoré sú ich obrazmi v rovine z:| |z1-z2 |=d(z1,z2) .
Násobenie. Ak z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2. potom
z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1).
Komplexné čísla sa teda násobia ako binomické čísla, pričom i2 je nahradené -1.
Ak potom
Touto cestou, modul súčinu sa rovná súčinu modulov somnoektelov a argument súčinu-súčet argumentov faktorov. Násobenie komplexných čísel sa riadi komutatívnym, asociačným a distributívnym (s ohľadom na sčítanie) zákonmi:
divízie. Ak chcete nájsť kvocient dvoch komplexných čísel uvedených v algebraickej forme, dividenda a deliteľ by sa mali vynásobiť číslom konjugovaným s deliteľom:
" Ak uvedené v trigonometrickej forme
Touto cestou, modul podielu sa rovná podielu modulu deliteľa a deliteľa, a argument súkromné sa rovná rozdielu medzi argumentmi dividendy a deliteľa.
Umocňovanie. Ak z= , potom pomocou Newtonovho binomického vzorca máme
(P je kladné celé číslo); vo výslednom výraze je potrebné nahradiť stupne i ich významy:
i 2 \u003d -1; i3 = i; i4 = 1; i 5 = 1,…
a vo všeobecnosti
i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
Ak potom
(tu P môže byť buď kladné celé číslo, alebo záporné celé číslo).
najmä
(De Moivreov vzorec).
Extrakcia koreňov. Ak P je kladné celé číslo, potom n-tá odmocnina komplexného čísla z má n rôznych hodnôt, ktoré sa dajú nájsť podľa vzorca
kde k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Nájdite (z 1 z 2)/z 3 ak z1 = 3 + 5i, z2 = 2 + 3i, z3 = 1+2i.
∆
438.
číslo z= 2 + 5i.
∆ Nájdite modul komplexného čísla: . Nájdite hlavnú hodnotu argumentu: . Preto ▲
439.
Predstavuje v trigonometrickej forme komplex
číslo
∆ Nájsť , ; , t.j.
440.
Predstavuje komplex v trigonometrickej forme
čísla 1, i, -1, -i.
441.
Reprezentovať čísla ,
,
v trigonometrickom tvare a potom nájdite komplexné číslo
z 1/(z 2 z 3).
∆ Nájsť
v dôsledku toho
442. Nájdite všetky hodnoty.
∆ Komplexné číslo zapisujeme v goniometrickom tvare. Máme , , . v dôsledku toho
V dôsledku toho, ,,
443. Vyriešte binárnu rovnicu ω 5 + 32i = 0.
∆ Prepíšme rovnicu do tvaru ω 5 + 32i = 0. číslo -32i reprezentovať v trigonometrickom tvare:
Ak k = 0 potom).
k=1,(B).
k=2,(C).
k=3,(D).
k=4,(E).
Korene dvojčlennej rovnice zodpovedajú vrcholom pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom R = 2 so stredom v počiatku (obr. 28).
Vo všeobecnosti korene dvojčlennej rovnice ω n \u003d a, kde a-komplexné číslo, zodpovedajú vrcholom regulárneho n-gon vpísaný do kruhu so stredom v počiatku a polomerom rovným ▲
444. Pomocou De Moivreovho vzorca vyjadrite cos5φ a sin5 φ cez cosφ a sinφ.
∆ Ľavú stranu rovnosti transformujeme podľa Newtonovho binomického vzorca:
Zostáva porovnať skutočnú a imaginárnu časť rovnosti:
445. Dané komplexné číslo z = 2-2i. Nájsť Rez, Imz, |z|, argz.
446. z = -12 + 5i.
447 . Vypočítajte výraz pomocou vzorca Moivre (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Vypočítajte pomocou De Moivreovho vzorca.
449. Vyjadrite komplexné číslo v trigonometrickom tvare
z = 1 + cos 20° + je 20°.
450. Hodnotiť výraz (2 + 3i) 3.
451.
Hodnotiť výraz
452. Hodnotiť výraz
453. Vyjadrite komplexné číslo v trigonometrickom tvare 5-3i.
454. Vyjadrite komplexné číslo v trigonometrickom tvare -1 + i.
455.
Hodnotiť výraz
456.
Hodnotiť výraz ktorý predtým uvádzal faktory v čitateli a menovateli v goniometrickej forme.
457. Nájdite všetky hodnoty
458.
Vyriešte binárnu rovnicu
459. expresné cos4φ a sin4φ cez cosφ a sinφ.
460. Ukážte, že vzdialenosť medzi bodmi z1 a z2 rovná sa | z2-z1|.
∆ Máme z 1 \u003d x 1 + iy 1, z 2 \u003d x 2 + iy 2, z 2 -z 1 \u003d (x 2 -x 1) + i (y 2 - y 1), kde
tie. | z2-z1| sa rovná vzdialenosti medzi danými bodmi. ▲
461. Ktorá čiara je opísaná bodom z, spĺňajúce rovnicu kde s-konštantné komplexné číslo a R>0?
462.
Aký je geometrický význam nerovností: 1) | z-c|
463. Aký je geometrický význam nerovností: 1) Rez > 0; 2) im z< 0 ?
2. Séria so zložitými pojmami. Zvážte postupnosť komplexných čísel z 1, z 2 , z 3, ..., kde z p \u003d x p + iy p (n \u003d 1, 2, 3, ...). konštantné číslo c = a + bi volal limit sekvencie z 1, z 2 , z 3 , ..., ak pre ľubovoľne malý počet δ>0 je tam číslo N, aký je význam z p s číslami n > N uspokojiť nerovnosť \z n-S\< δ . V tomto prípade napíšte .
Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou existencie limity postupnosti komplexných čísel je: číslo c=a+bi je limita postupnosti komplexných čísel x 1 + iy 1, x 2 + iy 2, x 3 + iy 3, ... vtedy a len vtedy , .
(1)
ktorého členmi sú komplexné čísla sa nazýva zbiehajúce sa, ak n-týčiastočný súčet radu S n pre n → ∞ smeruje k určitej koncovej hranici. V opačnom prípade sa volá séria (1). divergentný.
Rad (1) konverguje práve vtedy, ak rad s reálnymi členmi konverguje
(2) Preskúmajte konvergenciu radu Tento rad, ktorého členy tvoria nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, konverguje; teda daný rad s komplexnými členmi absolútne konverguje. ^
474. Nájdite oblasť konvergencie radu
Existencia konceptu limity postupnosti (1.5) nám umožňuje uvažovať o sériách v komplexnej oblasti (číselnej aj funkčnej). Štandardne sú definované čiastkové súčty, absolútna a podmienená konvergencia číselných radov. V čom konvergencia radu implikuje konvergenciu dvoch radov, z ktorých jedna pozostáva zo skutočných a druhá z imaginárnych častí pojmov série: Napríklad séria absolútne konverguje a séria − diverguje (kvôli imaginárnej časti).
Ak sa skutočné a imaginárne časti série absolútne zbližujú, potom
riadok, pretože . Platí to aj naopak: z absolútnej konvergencie komplexného radu
absolútna konvergencia reálnej a imaginárnej časti je nasledovná:
Podobne ako funkčné série v reálnej doméne, komplexné
funkčné rady, oblasť ich bodovej a rovnomernej konvergencie. Bez zmeny
formulované a osvedčené Značka Weierstrass rovnomerná konvergencia. sú uložené
všetky vlastnosti rovnomerne konvergentných radov.
Pri štúdiu funkčných radov sú obzvlášť zaujímavé moc
hodnosti: , alebo po výmene : . Ako v prípade skutočného
premenlivý, pravdivý abelova veta : ak (posledný) mocninný rad konverguje v bode ζ 0 ≠ 0, potom konverguje, a to absolútne, pre každé ζ, ktoré spĺňa nerovnosť
Touto cestou, konvergenčný región D toto mocninný rad je kružnica s polomerom R so stredom v počiatku, kde R − polomer konvergencie − presná horná hranica hodnôt (Odkiaľ tento výraz pochádza). Pôvodný mocninný rad sa bude zase zbiehať v kruhu s polomerom R so stredom na z 0 Navyše v akomkoľvek uzavretom kruhu mocninný rad konverguje absolútne a rovnomerne (posledné tvrdenie bezprostredne vyplýva z Weierstrassovho testu (pozri kurz „Série“)).
Príklad .
Nájdite kružnicu konvergencie a skúmajte konvergenciu v tt. z 1 a z 2 výkonové rady Riešenie.
oblasť konvergencie − kruh polomeru R= 2 so stredom v t. z 0 = 1 − 2i
. z 1 leží mimo kruhu konvergencie a rad diverguje. Kravata. bod leží na hranici kruhu konvergencie. Nahradením pôvodnej série sme dospeli k záveru:
− séria podmienene konverguje podľa Leibnizovho kritéria.
Ak vo všetkých hraničných bodoch séria absolútne konverguje alebo diverguje podľa potrebného kritéria, možno to okamžite stanoviť pre celú hranicu. Ak to chcete urobiť, nahraďte v rade
z modulov hodnoty pojmov R namiesto výrazu a skúmajte výsledný rad.
Príklad. Zvážte sériu z posledného príkladu a zmeňte jeden faktor:
Oblasť konvergencie radu zostáva rovnaká: Nahradiť v sérii modulov
výsledný polomer konvergencie:
Ak súčet radu označíme podľa f(z), t.j. f(z) = (prirodzene, v
oblasť konvergencie), potom sa tento rad nazýva blízko Taylora funkcie f(z) alebo rozšírenie funkcie f(z) v sérii Taylor. V konkrétnom prípade pre z 0 = 0 sa séria nazýva neďaleko Maclaurinu funkcie f(z) .
1.7 Definícia základných elementárnych funkcií. Eulerov vzorec.
Uvažujme mocninný rad If z je skutočná premenná, potom predstavuje
je séria Maclaurin rozšírenie funkcie a preto vyhovuje
charakteristická vlastnosť exponenciálnej funkcie: , t.j. . Toto je základ pre určenie exponenciálna funkcia v areáli komplexu:
Definícia 1. .
Funkcie sú definované podobne
Definícia 2.
Všetky tri rady konvergujú absolútne a rovnomerne v akejkoľvek ohraničenej uzavretej oblasti komplexnej roviny.
Z troch získaných vzorcov sa dedukuje jednoduchá substitúcia Eulerov vzorec:
Odtiaľ to hneď nasleduje demonštrácie zápis komplexných čísel:
Eulerov vzorec vytvára spojenie medzi obyčajnou a hyperbolickou trigonometriou.
Zvážte napríklad funkciu: Ostatné vzťahy sa získajú podobne. Takže:
Príklady. Reprezentujte tieto výrazy vo forme
2. (výraz v zátvorkách je číslo i
, písaný v exponenciálnej forme)
4. Nájdite lineárne nezávislé riešenia lineárneho DE 2. rádu:
Korene charakteristickej rovnice sú:
Keďže hľadáme reálne riešenia rovnice, môžeme zobrať funkcie
Definujme na záver logaritmickú funkciu komplexnej premennej. Rovnako ako v reálnej doméne ju budeme považovať za inverznú k exponenciálnej. Pre jednoduchosť uvažujeme len exponenciálnu funkciu, t.j. vyriešiť rovnicu pre w, ktorú nazývame logaritmická funkcia. Aby sme to dosiahli, vezmeme logaritmus rovnice z v exponenciálnom tvare:
Ak namiesto arg z napíš Arg z(1.2), potom dostaneme funkciu s nekonečnou hodnotou
1.8 Derivát FKP. Analytické funkcie. Cauchy-Riemannove podmienky.
Nechaj w = f(z) je jednohodnotová funkcia definovaná v doméne .
Definícia 1. derivát z funkcie f (z) v bode sa nazýva limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď má tendenciu k nule:
Funkcia, ktorá má v bode deriváciu z, sa volá diferencovateľné v tomto bode.
Je zrejmé, že všetky aritmetické vlastnosti derivátov sú splnené.
Príklad .
Pomocou Newtonovho binomického vzorca sa podobne odvodzuje, že
Rad pre exponent, sínus a kosínus spĺňa všetky podmienky na diferenciáciu po členoch. Priamym overením je ľahké získať, že:
Komentujte. Hoci sa definícia derivátu FKP formálne úplne zhoduje s definíciou pre FDP, je v podstate zložitejšia (pozri poznámku v časti 1.5).
Definícia 2. Funkcia f(z), kontinuálne diferencovateľné vo všetkých bodoch domény G, sa volá analytické alebo pravidelné v tomto regióne.
Veta 1 . Ak funkcia f (z) diferencovateľné vo všetkých bodoch domény G, potom je v tejto oblasti analytická. (b/d)
Komentujte. V skutočnosti táto veta stanovuje ekvivalenciu pravidelnosti a diferencovateľnosti FKP na doménach.
Veta 2. Funkcia, ktorá je diferencovateľná v nejakej oblasti, má v tejto oblasti nekonečne veľa derivátov. (b/d. Nižšie (v časti 2.4) bude toto tvrdenie preukázané za určitých dodatočných predpokladov)
Funkciu reprezentujeme ako súčet reálnych a imaginárnych častí: Veta 3. ( Cauchy − Riemannove podmienky). Nechajte funkciu f (z) je v určitom bode rozlíšiteľné . Potom funkcie u(X,r) a v(X,r) majú v tomto bode čiastočné deriváty a
A zavolal Cauchy-Riemannove podmienky .
Dôkaz . Pretože hodnota derivátu nezávisí od spôsobu, akým sa kvantita vyvíja
Na nulu zvolíme nasledujúcu cestu: Dostaneme:
Podobne, keď máme:
, čo dokazuje vetu.
Opak je tiež pravdou:
Veta 4. Ak funkcie u (X,r) a v(X,r) majú v určitom bode spojité parciálne derivácie, ktoré spĺňajú Cauchy-Riemannove podmienky, potom samotnú funkciu f(z) je v tomto bode rozlíšiteľné. (b/d)
Vety 1 – 4 ukazujú zásadný rozdiel medzi FKP a FDP.
Veta 3 vám umožňuje vypočítať deriváciu funkcie pomocou ktoréhokoľvek z nasledujúcich vzorcov:
Zároveň možno uvažovať X a priľubovoľné komplexné čísla a vypočítajte deriváciu pomocou vzorcov:
Príklady. Skontrolujte pravidelnosť funkcie. Ak je funkcia regulárna, vypočítajte jej deriváciu.
Definícia:Číselný rad komplexných čísel z 1, z 2, …, z n, … sa nazýva výraz formy
z 1 + z 2 + …, z n + … =,(3.1)
kde z n sa nazýva spoločný člen radu.
Definícia:číslo S n \u003d z 1 + z 2 + ..., z n sa nazýva čiastočný súčet radu.
Definícia: Rad (1) sa nazýva konvergentný, ak postupnosť (S n ) jeho čiastkových súčtov konverguje. Ak sa postupnosť čiastkových súčtov diverguje, potom sa rad nazýva divergentný.
Ak rad konverguje, potom číslo S = sa nazýva súčet radu (3.1).
z n = x n + iy n,
potom sa séria (1) zapíše ako
= + .
Veta: Rad (1) konverguje práve vtedy, ak rad a , zložený z reálnej a imaginárnej časti členov radu (3.1), konverguje.
Táto veta nám umožňuje preniesť konvergenčné kritériá vedľa reálnych členov do radov s komplexnými členmi (nevyhnutné kritérium, porovnávacie kritérium, d'Alembertovo, Cauchyho kritérium atď.).
Definícia. Rad (1) sa nazýva absolútne konvergentný, ak rad pozostávajúci z modulov jeho členov konverguje.
Veta. Pre absolútnu konvergenciu radu (3.1) je potrebné a postačujúce, aby rad a konvergoval absolútne.
Príklad 3.1. Zistite povahu konvergencie radu
Riešenie.
Zvážte sériu
Ukážme, že tieto rady absolútne konvergujú. Aby sme to dosiahli, dokážeme, že séria
Konvergovať.
Od , namiesto riadku, vezmeme riadok. Ak posledný rad konverguje, potom tento rad tiež konverguje porovnaním.
Konvergencia radu a je dokázaná pomocou integrálneho kritéria.
To znamená, že rad a konverguje absolútne a podľa poslednej vety pôvodný rad konverguje absolútne.
4. Mocninné rady so zložitými členmi. Abelova veta o mocninnom rade. Kruh a polomer konvergencie.
Definícia. Mocninný rad je séria tvaru
kde …, sú komplexné čísla, nazývané koeficienty radu.
Oblasť konvergencie radu (4.I) je kružnica .
Na nájdenie polomeru konvergencie R daného radu obsahujúceho všetky mocniny sa používa jeden zo vzorcov:
Ak séria (4.1) neobsahuje všetky mocniny , potom na jej nájdenie je potrebné použiť priamo d'Alembertov alebo Cauchyho test.
Príklad 4.1. Nájdite kružnicu konvergencie radu:
Riešenie:
a) Na zistenie polomeru konvergencie tohto radu použijeme vzorec
V našom prípade
Kruh konvergencie radu je teda daný nerovnosťou
b) Na nájdenie polomeru konvergencie radu používame d'Alembertovo kritérium.
Na výpočet limitu bolo dvakrát použité L'Hopitalovo pravidlo.
Podľa d'Alembertovho testu bude séria konvergovať, ak . Preto máme kruh konvergencie radu.
5. Exponenciálne a goniometrické funkcie komplexnej premennej.
6. Eulerova veta. Eulerove vzorce. Exponenciálny tvar komplexného čísla.
7. Veta o sčítaní. Periodicita exponenciálnej funkcie.
Exponenciálna funkcia a goniometrické funkcie a sú definované ako súčty príslušných mocninových radov, a to:
Tieto funkcie sú spojené pomocou Eulerových vzorcov:
nazývané hyperbolický kosínus a sínus, súvisia s trigonometrickým kosínusom a sínusom pomocou vzorcov
Funkcie , , , sú definované ako v reálnej analýze.
Pre akékoľvek komplexné čísla a veta o sčítaní platí:
Akékoľvek komplexné číslo možno zapísať v exponenciálnom tvare:
je jeho argument.
Príklad 5.1. Nájsť
Riešenie.
Príklad 5.2. Vyjadrite číslo v exponenciálnom tvare.
Riešenie.
Nájdite modul a argument tohto čísla:
Potom dostaneme
8. Limita, spojitosť a rovnomerná spojitosť funkcií komplexnej premennej.
Nechaj E je nejaká množina bodov v komplexnej rovine.
Definícia. Hovoria to na scéne E funkcia je daná f komplexná premenná z, ak každý bod z E podľa pravidla f je priradené jedno alebo viac komplexných čísel w(v prvom prípade sa funkcia nazýva jednohodnotová, v druhom - viachodnotová). Označiť w = f(z). E je doména definície funkcie.
akúkoľvek funkciu w = f(z) (z = x + iy) možno napísať vo forme
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) sa nazýva reálna časť funkcie a V(x, y) = Imf(z) je imaginárna časť funkcie f(z).
Definícia. Nechajte funkciu w = f(z) je definovaný a jedinečný v niektorom okolí bodu z 0 , možno s výnimkou samotného bodu z0. Číslo A sa nazýva limita funkcie f(z) v bode z0, ak k nejakému ε > 0, možno zadať číslo δ > 0 také, že pre všetky z = z0 a uspokojenie nerovnosti |z – z 0 |< δ , nerovnosť | f(z) – A|< ε.
zapísať
Z definície vyplýva, že z→z0 svojvoľne.
Veta. Pre existenciu limity funkcie w = f(z) v bode z 0 = x 0 + iy 0 je potrebné a postačujúce, aby limity funkcie U(x, y) a V(x, y) v bode (x0, y0).
Definícia. Nechajte funkciu w = f(z) je definovaný a jedinečný v niektorom okolí bodu z 0 , vrátane tohto bodu samotného. Funkcia f(z) sa nazýva spojitý v bode z 0 ak
Veta. Pre spojitosť funkcie v bode z 0 = x 0 + iy 0 je potrebné a postačujúce, aby funkcie U(x, y) a V(x, y) v bode (x0, y0).
Z teorémov vyplýva, že najjednoduchšie vlastnosti súvisiace s limitou a spojitosťou funkcií reálnych premenných sa prenášajú na funkcie komplexnej premennej.
Príklad 7.1. Oddeľte skutočnú a imaginárnu časť funkcie.
Riešenie.
Vo vzorci, ktorý definuje funkciu, dosadíme
Na nulu v dvoch rôznych smeroch, funkcia U(x, y) má rôzne limity. To znamená, že v bode z = 0 funkciu f(z) nemá žiadny limit. Ďalej funkcia f(z) definované v bodoch, kde .
Nechaj z 0 = x 0 + iy 0, jeden z týchto bodov.
To znamená, že v bodoch z = x + iy pri y 0 funkcia je spojitá.
9. Postupnosti a rady funkcií komplexnej premennej. Rovnomerná konvergencia. Kontinuita mocninových radov.
Definícia konvergentnej postupnosti a konvergentného radu funkcií komplexnej premennej rovnomernej konvergencie, zodpovedajúce teórii rovnakej konvergencie, spojitosť limity postupnosti, súčet radu sa tvoria a dokazujú úplne rovnakým spôsobom ako pri postupnostiach a radoch funkcií reálnej premennej.
Uvedieme fakty potrebné k tomu, čo nasleduje o funkčných radoch.
Nechajte v oblasti D je definovaná postupnosť jednohodnotových funkcií komplexnej premennej (fn (z)). Potom symbol:
volal funkčný rozsah.
Ak z0 patrí D opravené, potom séria (1) bude číselný.
Definícia. Funkčný rozsah (1) sa v regióne nazýva konvergentný D, ak pre nejaké z vo vlastníctve D, jemu zodpovedajúci číselný rad konverguje.
Ak riadok (1) konverguje v regióne D, potom v tejto oblasti možno definovať jednohodnotovú funkciu f(z), ktorých hodnota v každom bode z vo vlastníctve D sa rovná súčtu príslušného číselného radu. Táto funkcia sa nazýva súčet série (1) v oblasti D .
Definícia. Ak
pre hocikoho z vo vlastníctve D, platí nasledujúca nerovnosť:
potom riadok (1) sa v regióne nazýva rovnomerne konvergentná D.
Séria so zložitými pojmami.
19.3.1. Číselný rad so zložitými pojmami. Všetky základné definície konvergencie, vlastnosti konvergentných radov, kritériá konvergencie pre komplexné rady sa nijako nelíšia od reálneho prípadu.
19.3.1.1. Základné definície. Nech je daná nekonečná postupnosť komplexných čísel. Skutočná časť čísla bude označená , imaginárna - (t.j.
Číselný rad- zobraziť záznam .
Čiastkové súčty radu:
Definícia. Ak existuje limit S postupnosti čiastočných súčtov radu s , čo je vlastné komplexné číslo, potom rad konverguje; číslo S nazval súčet série a napíš alebo .
Nájdite reálnu a imaginárnu časť čiastkového súčtu: , kde symboly a označujú reálnu a imaginárnu časť čiastkového súčtu. Číselná postupnosť konverguje práve vtedy, ak postupnosť zložená z jej reálnej a imaginárnej časti konverguje. Rad s komplexnými členmi teda konverguje práve vtedy, ak rad tvorený jeho reálnou a imaginárnou časťou konverguje.
Príklad.
19.3.1.2. Absolútna konvergencia.
Definícia. Riadok sa volá absolútne konvergentné ak rad konverguje zložený z absolútnych hodnôt jeho členov.
Rovnako ako v prípade číselných reálnych radov s ľubovoľnými členmi sa dá dokázať, že ak rad konverguje, potom rad nevyhnutne konverguje. Ak rad konverguje a rad diverguje, potom sa o rade hovorí, že je podmienene konvergentný.
Rad je rad s nezápornými členmi, preto na štúdium jeho konvergencie možno použiť všetky známe vlastnosti (od porovnávacích viet až po Cauchyho integrálny test).
Príklad. Preskúmajte konvergenciu radu.
Urobme sériu modulov (): . Tento rad konverguje (Cauchyho test ), takže pôvodný rad absolútne konverguje.
19.1.3.4. Vlastnosti konvergentných radov. Pre konvergentné rady s komplexnými členmi platia všetky vlastnosti radov s reálnymi členmi:
Nevyhnutné kritérium pre konvergenciu radu. Spoločný člen konvergentného radu má tendenciu k nule ako.
Ak rad konverguje, potom konverguje ktorýkoľvek z jeho zvyšku. Naopak, ak konverguje akýkoľvek zvyšok radu, konverguje aj samotný rad.
Ak rad konverguje, potom súčet jeho zvyšku pon -tý člen má tendenciu k nule pri.
Ak sú všetky členy konvergentného radu vynásobené rovnakým číslom s, potom sa zachová konvergencia radu a súčet sa vynásobí s.
Konvergentné riadky ( ALE) a ( AT) možno pridávať a uberať po jednotlivých výrazoch; výsledný rad bude tiež konvergovať a jeho súčet sa rovná.
Ak sú členy konvergentného radu zoskupené ľubovoľne a nový rad je tvorený súčtom členov v každej dvojici zátvoriek, potom bude tento nový rad tiež konvergovať a jeho súčet sa bude rovnať súčtu pôvodného radu .
Ak rad konverguje absolútne, potom pre akúkoľvek permutáciu jeho členov sa konvergencia zachová a súčet sa nemení.
Ak riadky ( ALE) a ( AT) absolútne konvergujú k ich súčtua, potom ich súčin pre ľubovoľné poradie členov tiež konverguje absolútne a jeho súčet sa rovná.
19.3.2. Výkonový komplexný rad.
Definícia. Mocninný rad s komplexnými členmi je rad tvaru
kde sú konštantné komplexné čísla (koeficienty radu), je pevné komplexné číslo (stred kruhu konvergencie). Pre akúkoľvek číselnú hodnotu z rad sa mení na číselný rad so zložitými členmi, zbiehajúcimi sa alebo rozbiehajúcimi sa. Ak séria v určitom bode konverguje z , potom sa tento bod nazýva konvergenčný bod radu. Mocninný rad má aspoň jeden bod konvergencie - bod. Množina bodov konvergencie sa nazýva oblasť konvergencie radu.
Pokiaľ ide o mocninný rad s reálnymi členmi, všetky zmysluplné informácie o mocninnom rade sú obsiahnuté v Abelovej vete.
Abelova veta. Ak mocninný rad konverguje v bode , potom
1. absolútne sa zbieha v ktoromkoľvek bode kruhu ;
2. Ak sa tento rad líši v bode , potom sa rozchádza v ktoromkoľvek bode z
, uspokojujúce nerovnosť (t. j. nachádza sa ďalej od bodu ako ).
Dôkaz opakuje doslovne dôkaz sekcie 18.2.4.2. Abelova veta pre sériu so skutočnými členmi.
Abelova veta implikuje existenciu takéhoto nezáporného reálneho čísla R , že séria konverguje absolútne v akomkoľvek vnútornom bode kruhu s polomerom R so stredom v , a rozbieha sa v ktoromkoľvek bode mimo tohto kruhu. číslo R volal polomer konvergencie, kruh - kruh konvergencie. V bodoch hranice tohto kruhu - kruhy s polomerom R so stredom v bode - séria môže konvergovať aj divergovať. V týchto bodoch má séria modulov tvar . Možné sú tieto prípady:
1. Rad konverguje. V tomto prípade séria konverguje absolútne v akomkoľvek bode kruhu.
2. Séria sa líši, ale má spoločný termín . V tomto prípade môže séria v niektorých bodoch kruhu podmienene konvergovať a v iných divergovať, t.j. každý bod si vyžaduje individuálnu štúdiu.
3. Rad diverguje a jeho spoločný člen nemá tendenciu k nule pri . V tomto prípade sa séria rozchádza v ktoromkoľvek bode hraničného kruhu.