Pojem limity a spojitosti funkcie. Limit a spojitosť. Spojitosť funkcie v bode a na intervale
![Pojem limity a spojitosti funkcie. Limit a spojitosť. Spojitosť funkcie v bode a na intervale](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Kontinuita funkcie. Body zlomu.
Býk kráča, hojdá sa, vzdychá na cestách:
- Ach, doska končí, teraz spadnem!
V tejto lekcii budeme analyzovať koncept spojitosti funkcie, klasifikáciu bodov diskontinuity a bežný praktický problém. skúmanie spojitosti funkcie. Zo samotného názvu témy mnohí intuitívne hádajú, o čom sa bude diskutovať, a myslia si, že materiál je celkom jednoduchý. Toto je pravda. No práve jednoduché úlohy sú najčastejšie trestané za zanedbanie a povrchný prístup k ich riešeniu. Preto vám odporúčam, aby ste si článok dôkladne preštudovali a chytili všetky jemnosti a techniky.
Čo potrebujete vedieť a vedieť? Nie veľmi. Pre dobrý zážitok z učenia musíte pochopiť, čo limit funkcie. Pre čitateľov s nízkou úrovňou prípravy stačí článok pochopiť Hranice funkcií. Príklady riešení a pozri geometrický význam limity v návode Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Je tiež vhodné zoznámiť sa s geometrické transformácie grafov, keďže prax vo väčšine prípadov zahŕňa konštrukciu výkresu. Vyhliadky sú pre každého optimistické a aj plná kanvica si s úlohou poradí sama za hodinu či dve!
Kontinuita funkcie. Hraničné body a ich klasifikácia
Pojem spojitosti funkcie
Zvážte nejakú funkciu spojitú na celej skutočnej čiare:
Alebo, výstižnejšie, naša funkcia je spojitá on (množina reálnych čísel).
Aké je „filistínske“ kritérium kontinuity? Je zrejmé, že graf spojitej funkcie možno nakresliť bez toho, aby sme zdvihli ceruzku z papiera.
V tomto prípade by sa mali jasne rozlišovať dva jednoduché pojmy: rozsah funkcie a kontinuita funkcie. Všeobecne nie je to to isté. Napríklad:
Táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi, teda pre všetci hodnota "x" má svoju vlastnú hodnotu "y". Najmä ak , tak . Všimnite si, že druhá bodka je vyrazená, pretože podľa definície funkcie sa hodnota argumentu musí zhodovať jediná vec funkčná hodnota. Touto cestou, domény naše vlastnosti: .
Avšak táto funkcia nie je nepretržite zapnutá! Je úplne zrejmé, že v bode, keď vydrží medzera. Termín je tiež celkom zrozumiteľný a jasný, skutočne, tu bude treba ceruzku z papiera aj tak odtrhnúť. O niečo neskôr zvážime klasifikáciu bodov zlomu.
Spojitosť funkcie v bode a na intervale
V konkrétnom matematickom probléme môžeme hovoriť o spojitosti funkcie v bode, o spojitosti funkcie na intervale, polovičnom intervale alebo o spojitosti funkcie na segmente. teda neexistuje žiadna "spravodlivá kontinuita"– funkcia môže byť NIEKDE nepretržitá. A základná „tehla“ všetkého ostatného je kontinuita funkcie v bode .
Teória matematickej analýzy definuje spojitosť funkcie v bode pomocou susedstiev "delta" a "epsilon", ale v praxi sa používa iná definícia, ktorej budeme venovať veľkú pozornosť.
Najprv si spomeňme jednostranné limity ktorý nám vtrhol do života na prvej hodine o funkčných grafoch. Zvážte každodennú situáciu:
Ak sa priblížime po osi k bodu vľavo(červená šípka), potom zodpovedajúce hodnoty „hier“ prejdú pozdĺž osi k bodu (malinová šípka). Matematicky je táto skutočnosť fixná pomocou ľavý limit:
Venujte pozornosť vstupu (znie „x inklinuje ku ka zľava“). "Aditívum" symbolizuje "mínus nula". , čo v podstate znamená, že sa k číslu blížime z ľavej strany.
Podobne, ak sa priblížite k bodu „ka“ napravo(modrá šípka), potom sa „hry“ dostanú na rovnakú hodnotu, ale pozdĺž zelenej šípky a pravostranný limit bude formátovaný nasledovne:
"Doplnok" symbolizuje , a záznam znie takto: "x inklinuje ku ka sprava."
Ak sú jednostranné limity konečné a rovné(ako v našom prípade): , potom povieme, že existuje VŠEOBECNÝ limit. Je to jednoduché, celkový limit je náš „obvyklý“ limit funkcie rovná konečnému číslu.
Všimnite si, že ak funkcia nie je definovaná v (vyrazte čiernu bodku na vetve grafu), potom uvedené výpočty zostávajú v platnosti. Ako už bolo opakovane uvedené, najmä v článku o infinitezimálnych funkciách, výrazy znamenajú, že "x" nekonečne blízko sa približuje k bodu, zatiaľ čo IRELEVANTNÝči je samotná funkcia v danom bode definovaná alebo nie. Dobrý príklad nájdete v ďalšej časti, keď je funkcia analyzovaná.
Definícia: funkcia je spojitá v bode, ak sa limita funkcie v danom bode rovná hodnote funkcie v tomto bode: .
Definícia je podrobne uvedená v nasledujúcich pojmoch:
1) Funkcia musí byť definovaná v bode , to znamená, že hodnota musí existovať.
2) Musí existovať spoločný limit funkcie. Ako je uvedené vyššie, znamená to existenciu a rovnosť jednostranných limitov: .
3) Limita funkcie v danom bode sa musí rovnať hodnote funkcie v tomto bode: .
Ak dôjde k porušeniu aspoň jeden z troch podmienok, potom funkcia stráca vlastnosť spojitosti v bode .
Spojitosť funkcie na intervale formulované vtipne a veľmi jednoducho: funkcia je spojitá na intervale, ak je spojitá v každom bode daného intervalu.
Najmä mnohé funkcie sú spojité na nekonečnom intervale, teda na množine reálnych čísel. Ide o lineárnu funkciu, polynómy, exponent, sínus, kosínus atď. A vo všeobecnosti elementárna funkcia nepretržite na svojom domén, takže napríklad logaritmická funkcia je spojitá na intervale . Dúfam, že už máte dobrú predstavu o tom, ako vyzerajú grafy hlavných funkcií. Podrobnejšie informácie o ich kontinuite možno získať od láskavého muža menom Fichtenholtz.
S kontinuitou funkcie na segmente a polovičných intervaloch je tiež všetko jednoduché, ale je vhodnejšie o tom hovoriť v lekcii pri hľadaní minimálnych a maximálnych hodnôt funkcie na segmente dovtedy dajme hlavy dole.
Klasifikácia bodov zlomu
Fascinujúci život funkcií je bohatý na všemožné špeciálne body a zlomové body sú len jednou zo stránok ich životopisu.
Poznámka : pre každý prípad sa zastavím pri elementárnom momente: bod zlomu je vždy jediný bod- neexistuje "niekoľko bodov prerušenia za sebou", to znamená, že neexistuje niečo ako "interval prestávky".
Tieto body sú zase rozdelené do dvoch veľkých skupín: prestávky prvého druhu a prestávky druhého druhu. Každý typ medzery má svoje charakteristické črty, na ktoré sa teraz pozrieme:
Bod diskontinuity prvého druhu
Ak je v určitom bode porušená podmienka kontinuity a jednostranné limity konečný , potom sa volá bod zlomu prvého druhu.
Začnime tým najoptimistickejším prípadom. Podľa pôvodnej myšlienky lekcie som chcel povedať teóriu „všeobecne“, ale aby som demonštroval reálnosť materiálu, rozhodol som sa pre variant s konkrétnymi aktérmi.
Je smutné, že ako fotografia novomanželov na pozadí Večného plameňa, ale nasledujúci rám je všeobecne akceptovaný. Nakreslíme graf funkcie na výkrese:
Táto funkcia je súvislá na celej číselnej osi okrem bodky. V skutočnosti sa menovateľ nemôže rovnať nule. Avšak v súlade s významom limitu - môžeme nekonečne blízko priblížiť sa k „nule“ zľava aj sprava, to znamená, že existujú jednostranné limity a samozrejme sa zhodujú: (Podmienka kontinuity č. 2 je splnená).
Funkcia však v bode nie je definovaná, preto je porušená podmienka č. 1 spojitosti a funkcia sa v tomto bode preruší.
Prestávka tohto druhu (s existujúcim všeobecný limit) sa volajú opraviteľná medzera. Prečo odnímateľné? Pretože funkcia môže predefinovať v bode zlomu:
Vyzerá to zvláštne? Možno. Ale takýto funkčný záznam ničomu neodporuje! Teraz je medzera opravená a všetci sú spokojní:
Urobme formálnu kontrolu:
2) – existuje spoločný limit;
3)
Všetky tri podmienky sú teda splnené a funkcia je spojitá v bode podľa definície spojitosti funkcie v bode.
Neprajníci matanov však môžu funkciu predefinovať napríklad zlým spôsobom :
Je zaujímavé, že prvé dve podmienky kontinuity sú tu splnené:
1) - funkcia je definovaná v danom bode;
2) – existuje spoločný limit.
Tretia hranica však neprešla: , čiže limita funkcie v bode nerovná sa hodnotu danej funkcie v danom bode.
V určitom bode teda funkcia trpí diskontinuitou.
Druhý, smutnejší prípad je tzv prestávka prvého druhu s výskokom. A smútok vyvolávajú jednostranné limity, ktoré konečný a odlišný. Príklad je uvedený na druhom výkrese lekcie. Táto medzera sa zvyčajne vyskytuje v po častiach už spomenuté v článku. o transformáciách grafov.
Zvážte funkciu po častiach a vykonať jej kresbu. Ako zostaviť graf? Veľmi jednoduché. Na polovičnom intervale nakreslíme fragment paraboly (zelená), na intervale - priamku (červená) a na polovičnom intervale - priamku (modrá).
Zároveň je v dôsledku nerovnosti definovaná hodnota pre kvadratickú funkciu (zelená bodka) a z dôvodu nerovnosti je definovaná hodnota pre lineárnu funkciu (modrá bodka):
V najťažšom prípade by sme sa mali uchýliť k bodovej konštrukcii každého kusu grafu (pozri prvý lekciu o grafoch funkcií).
Zatiaľ nás zaujíma iba pointa. Pozrime sa na kontinuitu:
2) Vypočítajte jednostranné limity.
Na ľavej strane máme segment červenej čiary, takže ľavý limit je:
Vpravo je modrá priamka a pravý limit:
Ako výsledok, konečné čísla, a oni nerovná sa. Pretože jednostranné limity konečný a odlišný: , potom trpí naša funkcia diskontinuita prvého druhu so skokom.
Je logické, že medzeru nie je možné odstrániť – funkciu naozaj nemožno ďalej definovať a „nezlepiť“, ako v predchádzajúcom príklade.
Body diskontinuity druhého druhu
Zvyčajne sú všetky ostatné prípady prasknutia prefíkane pripísané tejto kategórii. Nebudem vypisovať všetko, pretože v praxi sa s 99% úloh stretnete nekonečná medzera- keď je ľavák alebo pravák, a častejšie, obe hranice sú nekonečné.
A, samozrejme, najzrejmejším obrazom je hyperbola na nule. Tu sú obe jednostranné limity nekonečné: , preto funkcia trpí diskontinuitou druhého druhu v bode .
Svoje články sa snažím napĺňať čo najrozmanitejším obsahom, preto sa pozrime na graf funkcie, ktorý ešte nie je vidieť:
podľa štandardnej schémy:
1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná, pretože menovateľ je nulový.
Samozrejme, možno okamžite konštatovať, že funkcia trpí prerušením v bode , ale bolo by pekné klasifikovať charakter prerušenia, ktorý si často vyžaduje podmienka. Pre to:
Pripomínam, že rekord znamená nekonečne malé záporné číslo a pod položkou - nekonečne malé kladné číslo.
Jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 2. druhu v bode . Os y je vertikálna asymptota pre graf.
Nie je zriedkavé, že existujú obe jednostranné limity, ale iba jedna z nich je nekonečná, napríklad:
Toto je graf funkcie.
Skúmame bod kontinuity:
1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.
2) Vypočítajte jednostranné limity:
O metodike výpočtu takýchto jednostranných limitov si povieme v posledných dvoch príkladoch prednášky, aj keď mnohí čitatelia už všetko videli a uhádli.
Ľavá limita je konečná a rovná sa nule („nechodíme k samotnému bodu“), ale pravá limita je nekonečná a oranžová vetva grafu je nekonečne blízko svojej vlastnej vertikálna asymptota daný rovnicou (prerušovaná čierna čiara).
Tým funkcia trpí prestávka druhého druhu v bode .
Pokiaľ ide o diskontinuitu 1. druhu, funkcia môže byť definovaná v samotnom bode diskontinuity. Napríklad pre funkciu po častiach smelo dajte na začiatok čiernu tučnú bodku. Vpravo je vetva hyperboly a pravá hranica je nekonečná. Myslím, že takmer každý si predstavil, ako tento graf vyzerá.
Na čo sa všetci tešili:
Ako skúmať spojitosť funkcie?
Štúdium funkcie kontinuity v bode sa vykonáva podľa už zavedenej rutinnej schémy, ktorá spočíva v kontrole troch podmienok kontinuity:
Príklad 1
Funkcia Preskúmať
Riešenie:
1) Jediný bod spadá pod zameriavač, kde funkcia nie je definovaná.
2) Vypočítajte jednostranné limity:
Jednostranné limity sú konečné a rovnaké.
V určitom bode teda funkcia trpí prerušiteľnou diskontinuitou.
Ako vyzerá graf tejto funkcie?
Chcem to zjednodušiť , a zdá sa, že ide o obyčajnú parabolu. ALE pôvodná funkcia nie je definovaná v bode , takže je potrebné nasledujúce upozornenie:
Vykonajte kreslenie:
Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, kde je nespojitá.
Funkcia môže byť predefinovaná dobrým alebo nie tak dobrým spôsobom, ale to si nevyžaduje podmienka.
Hovoríte, že príklad je pritiahnuté za vlasy? Vôbec nie. V praxi sa to stalo desiatky krát. Takmer všetky úlohy stránky pochádzajú zo skutočnej nezávislej a kontrolnej práce.
Poďme si rozobrať naše obľúbené moduly:
Príklad 2
Funkcia Preskúmať pre kontinuitu. Určite povahu prerušení funkcií, ak nejaké existujú. Vykonajte výkres.
Riešenie: študenti sa z nejakého dôvodu boja a nemajú radi funkcie s modulom, hoci na nich nie je nič zložité. Takýchto vecí sme sa už v lekcii trochu dotkli. Geometrické transformácie grafov. Pretože modul nie je záporný, rozširuje sa takto: , kde "alfa" je nejaký výraz. V tomto prípade , a naša funkcia by sa mala podpísať po častiach:
Ale zlomky oboch kusov sa musia zmenšiť o . Zníženie, ako v predchádzajúcom príklade, nezostane bez následkov. Pôvodná funkcia nie je v bode definovaná, pretože menovateľ zmizne. Preto by mal systém dodatočne špecifikovať podmienku a sprísniť prvú nerovnosť:
Teraz VEĽMI UŽITOČNÝ trik: pred dokončením úlohy na koncepte je výhodné urobiť výkres (bez ohľadu na to, či to vyžaduje podmienka alebo nie). Po prvé, pomôže vám to okamžite vidieť body kontinuity a zlomových bodov a po druhé vás to 100% ochráni pred chybami pri hľadaní jednostranných limitov.
Poďme na to. V súlade s našimi výpočtami je vľavo od bodu potrebné nakresliť fragment paraboly (modrá) a vpravo - kúsok paraboly (červená), pričom funkcia nie je definovaná v samotnom bode. :
Ak máte pochybnosti, vezmite niekoľko hodnôt "x" a nahraďte ich do funkcie (pamätajte na to, že modul zničí možné znamienko mínus) a skontrolujte graf.
Analyticky skúmame funkciu kontinuity:
1) Funkcia nie je definovaná v bode , takže môžeme okamžite povedať, že v ňom nie je spojitá.
2) Stanovme povahu diskontinuity, na to vypočítame jednostranné limity:
Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode . Ešte raz si uvedomte, že pri hľadaní limitov nezáleží na tom, či je funkcia v bode zlomu definovaná alebo nie.
Teraz zostáva preniesť kresbu z konceptu (bola vytvorená, ako keby s pomocou výskumu ;-)) a dokončiť úlohu:
Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, kde trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom.
Niekedy je potrebné dodatočne označiť skok diskontinuity. Počíta sa elementárne - ľavú limitu treba odpočítať od pravej limity: , čiže v bode zlomu naša funkcia skočila o 2 jednotky dole (o čom nám hovorí znamienko mínus).
Príklad 3
Funkcia Preskúmať pre kontinuitu. Určite povahu prerušení funkcií, ak nejaké existujú. Urobte si kresbu.
Toto je príklad na samoriešenie, vzorové riešenie na konci hodiny.
Prejdime k najobľúbenejšej a najbežnejšej verzii úlohy, keď sa funkcia skladá z troch častí:
Príklad 4
Preskúmajte spojitosť funkcie a nakreslite graf funkcie .
Riešenie: je zrejmé, že všetky tri časti funkcie sú spojité na zodpovedajúcich intervaloch, takže zostáva skontrolovať iba dva "spojovacie" body medzi dielikmi. Najprv si urobme nákres na náčrte, techniku výstavby som dostatočne podrobne komentoval v prvej časti článku. Jediná vec je pozorne sledovať naše singulárne body: kvôli nerovnosti patrí hodnota do priamky (zelená bodka) a kvôli nerovnosti patrí hodnota do paraboly (červená bodka):
V zásade je všetko jasné =) Zostáva vypracovať rozhodnutie. Pre každý z dvoch „zadných“ bodov štandardne kontrolujeme 3 podmienky kontinuity:
ja) Skúmame bod kontinuity
1)
Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode .
Vypočítajme skok diskontinuity ako rozdiel medzi pravou a ľavou hranicou:
, teda graf poskočil o jednotku vyššie.
II) Skúmame bod kontinuity
1) – funkcia je definovaná v danom bode.
2) Nájdite jednostranné limity:
– jednostranné limity sú konečné a rovnaké, existuje teda spoločná limita.
3) – limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
V záverečnej fáze prenesieme kresbu na čistú kópiu, po ktorej vložíme posledný akord:
Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi, okrem bodu, kde trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom.
Príklad 5
Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte jej graf .
Toto je príklad na samostatné riešenie, krátke riešenie a približná ukážka úlohy na konci hodiny.
Niekto môže nadobudnúť dojem, že v jednom bode musí byť funkcia nevyhnutne spojitá a v inom bode nutne musí existovať diskontinuita. V praxi to tak nie je vždy. Pokúste sa nezanedbávať zostávajúce príklady - bude tu niekoľko zaujímavých a dôležitých funkcií:
Príklad 6
Daná funkcia . Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Zostavte graf.
Riešenie: a znova okamžite vykonajte kreslenie na koncepte:
Zvláštnosťou tohto grafu je, že po častiach je funkcia daná rovnicou osi x. Tu je táto časť nakreslená zelenou farbou a v poznámkovom bloku je zvyčajne odvážne zvýraznená jednoduchou ceruzkou. A, samozrejme, nezabudnite na naše ovečky: hodnota sa vzťahuje na tangentovú vetvu (červená bodka) a hodnota patrí na priamku.
Z nákresu je všetko jasné - funkcia je spojitá na celej číselnej osi, zostáva vypracovať riešenie, ktoré sa uvedie do plnej automatizácie doslova po 3-4 podobných príkladoch:
ja) Skúmame bod kontinuity
1) - funkcia je definovaná v danom bode.
2) Vypočítajte jednostranné limity:
, takže existuje spoločný limit.
Len pre každého hasiča pripomeniem triviálny fakt: hranica konštanty sa rovná konštante samotnej. V tomto prípade sa hranica nuly rovná samotnej nule (ľavá hranica).
3) – limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície funkcie, ktorá je spojitá v bode.
II) Skúmame bod kontinuity
1) - funkcia je definovaná v danom bode.
2) Nájdite jednostranné limity:
A tu - hranica jednotky sa rovná samotnej jednotke.
– existuje spoločný limit.
3) – limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície funkcie, ktorá je spojitá v bode.
Ako obvykle, po štúdiu prenesieme našu kresbu na čistopis.
Odpoveď: funkcia je v bodoch spojitá.
Upozorňujeme, že za podmienky, že sme sa nič nepýtali na štúdium celej funkcie pre spojitosť, a považuje sa to za dobrú matematickú formu na formulovanie presné a jasné odpoveď na položenú otázku. Mimochodom, ak podľa podmienky nie je potrebné zostaviť graf, potom máte plné právo ho nevytvoriť (hoci vás k tomu môže neskôr učiteľ prinútiť).
Malý matematický "vtip" pre nezávislé riešenie:
Príklad 7
Daná funkcia . Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Klasifikujte body prerušenia, ak existujú. Vykonajte výkres.
Pokúste sa správne „vysloviť“ všetky „slová“ =) A nakreslite graf presnejšie, presnosť, nebude to všade zbytočné ;-)
Ako si pamätáte, odporučil som vám, aby ste okamžite nakreslili návrh, ale z času na čas existujú také príklady, kde nemôžete okamžite zistiť, ako graf vyzerá. Preto je v mnohých prípadoch výhodné najskôr nájsť jednostranné limity a až potom na základe štúdie vetvy znázorniť. V posledných dvoch príkladoch sa tiež naučíme techniku výpočtu niektorých jednostranných limitov:
Príklad 8
Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte jej schematický graf.
Riešenie: zlé body sú zrejmé: (zmení menovateľa exponentu na nulu) a (na nulu zmení menovateľa celého zlomku). Nie je jasné, ako vyzerá graf tejto funkcie, čo znamená, že je lepšie najskôr urobiť prieskum.
Ak množina neobsahuje žiadne prvky, potom sa volá prázdna sada a zaznamenané Ø .
Kvantifikátor existencie
∃- existenciálny kvantifikátor, sa používa namiesto slov „existuje“,
„k dispozícii“. Používa sa aj kombinácia symbolov ∃!, ktorá sa číta tak, že existuje iba jeden.
Absolútna hodnota
Definícia. Absolútna hodnota (modul) reálneho čísla je nezáporné číslo, ktoré je určené vzorcom:
Napríklad,
Vlastnosti modulu
Ak a sú reálne čísla, potom platia nasledujúce rovnosti:
Funkcia
vzťah medzi dvoma alebo viacerými veličinami, v ktorom každá hodnota jednej veličiny, nazývaná argumenty funkcie, je spojená s hodnotami iných veličín, nazývaných hodnoty funkcie.
Rozsah funkcie
Doména funkcie sú tie hodnoty nezávislej premennej x, pre ktoré budú vykonateľné všetky operácie zahrnuté vo funkcii.
nepretržitá funkcia
Funkcia f (x) definovaná v niektorom okolí bodu a sa v tomto bode nazýva spojitá, ak
![]() |
Číselné postupnosti
funkcia zobrazenia r= f(X), X O N,kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označovaná r=f(n) alebo r 1 ,r 2 ,…, y n,…. hodnoty r 1 ,r 2 ,r 3, ... sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen postupnosti.
Limita funkcie spojitého argumentu
Číslo A sa nazýva limita funkcie y=f(x) pre x->x0, ak pre všetky hodnoty x, ktoré sa dostatočne málo líšia od čísla x0, zodpovedajú zodpovedajúce hodnoty funkcie f(x ) sa ľubovoľne málo líšia od čísla A
infinitezimálna funkcia
Funkcia y=f(x) volal nekonečne malý pri x→a alebo kedy X→∞ ak alebo , t.j. Infinitezimálna funkcia je funkcia, ktorej limita v danom bode je nula.
![]() |
Pojem limita číselnej postupnosti
Najprv si pripomeňme definíciu číselnej postupnosti.
Definícia 1
Nazýva sa zobrazenie množiny prirodzených čísel na množinu reálnych čísel číselná postupnosť.
Pojem limita číselnej postupnosti má niekoľko základných definícií:
- Reálne číslo $a$ sa nazýva limita číselnej postupnosti $(x_n)$, ak pre ľubovoľný $\varepsilon >0$ existuje index $N$ v závislosti od $\varepsilon$ taký, že pre ľubovoľný index $n> N $ nerovnosť $\left|x_n-a\right|
- Reálne číslo $a$ sa nazýva limita číselnej postupnosti $(x_n)$, ak akékoľvek okolie bodu $a$ obsahuje všetky členy postupnosti $(x_n)$, možno s výnimkou konečného počtu členov.
Zvážte príklad výpočtu hodnoty limitu číselnej postupnosti:
Príklad 1
Nájdite limit $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Riešenie:
Na vyriešenie tejto úlohy musíme najprv odstrániť zátvorky najvyššieho stupňa zahrnutého vo výraze:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1)) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Ak je menovateľom nekonečne veľká hodnota, potom má celý limit tendenciu k nule, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, pomocou tohto dostaneme:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
odpoveď:$\frac(1)(2)$.
Pojem limita funkcie v bode
Pojem limita funkcie v bode má dve klasické definície:
Definícia pojmu „limit“ podľa Cauchyho
Reálne číslo $A$ sa nazýva limita funkcie $f\left(x\right)$ ako $x\to a$, ak pre ľubovoľný $\varepsilon > 0$ existuje $\delta >0$ v závislosti od $ \varepsilon $ tak, že pre ľubovoľné $x\in X^(\spätné lomítko a)$ vyhovujúce nerovnosti $\left|x-a\right|
Heineho definícia
Reálne číslo $A$ sa nazýva limita funkcie $f\left(x\right)$ pre $x\to a$, ak pre ľubovoľnú postupnosť $(x_n)\in X$ konvergujúca k $a$ postupnosť hodnoty $f (x_n)$ konvergujú k $A$.
Tieto dve definície spolu súvisia.
Poznámka 1
Cauchyho a Heineho definície limity funkcie sú ekvivalentné.
Okrem klasických prístupov k výpočtu limity funkcie si pripomeňme vzorce, ktoré v tom môžu tiež pomôcť.
Tabuľka ekvivalentných funkcií, keď $x$ je nekonečne malé (ide na nulu)
Jeden prístup k riešeniu limitov je princíp nahradenia ekvivalentnou funkciou. Tabuľka ekvivalentných funkcií je uvedená nižšie, aby ste ju mohli použiť, namiesto funkcií vpravo dosaďte do výrazu zodpovedajúcu elementárnu funkciu vľavo.
Obrázok 1. Tabuľka ekvivalencie funkcií. Author24 - online výmena študentských prác
Na riešenie limitov, ktorých hodnoty sú redukované na neistotu, je možné použiť aj L'Hospitalovo pravidlo. Vo všeobecnom prípade možno neistotu tvaru $\frac(0)(0)$ odhaliť rozkladom čitateľa a menovateľa a následným znížením. Neurčitosť tvaru $\frac(\infty )(\infty)$ sa dá vyriešiť tak, že výrazy v čitateli a menovateli vydelíme premennou, v ktorej sa nachádza najväčšia mocnina.
Pozoruhodné limity
- Prvý pozoruhodný limit:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Druhá pozoruhodná hranica:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Špeciálne limity
- Prvý špeciálny limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\)=\frac(1)(lna )$
- Druhý špeciálny limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Tretí špeciálny limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Kontinuita funkcie
Definícia 2
Funkcia $f(x)$ sa nazýva spojitá v bode $x=x_0$, ak $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\existuje \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ tak, že $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Funkcia $f(x)$ je spojitá v bode $x=x_0$, ak $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0)) f(x)=f(x_(0))$.
Bod $x_0\in X$ sa nazýva bod nespojitosti prvého druhu, ak má konečné limity $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, ale $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\to x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Navyše, ak $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, potom ide o bod zlomu a ak $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, potom bod skoku funkcie.
Bod $x_0\v X$ sa nazýva bod nespojitosti druhého druhu, ak obsahuje aspoň jednu z limitov $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ predstavuje nekonečno alebo neexistuje.
Príklad 2
Preskúmajte spojitosť $y=\frac(2)(x)$
Riešenie:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - funkcia má bod zlomu druhého druhu.
Topológia je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá štúdiom limity a spojitosti funkcií. Spolu s algebrou tvorí topológia všeobecný základ matematiky.
Topologický priestor alebo obrazec - podmnožina nášho homogénneho euklidovského priestoru, medzi bodmi ktorého je daný nejaký vzťah blízkosti. Postavy sa tu nepovažujú za tuhé telesá, ale za predmety vyrobené takpovediac z veľmi elastickej gumy, ktorá umožňuje nepretržitú deformáciu pri zachovaní ich kvalitatívnych vlastností.
Nazýva sa spojité mapovanie obrazcov jedna ku jednej homeomorfizmus. Inými slovami, čísla homeomorfný, ak je možné jednu premeniť na druhú kontinuálnou deformáciou.
Príklady. Nasledujúce obrázky sú homeomorfné (postavy z rôznych skupín nie sú homeomorfné), znázornené na obr. 2.
1. Segment a krivka bez vlastných priesečníkov.
2. Kruh, štvorec vnútri, páska.
3. Povrch gule, kocky a štvorstenu.
4. Kruh, elipsa a zauzlený kruh.
5. Krúžok na rovine (kruh s otvorom), krúžok v priestore, krúžok dvakrát skrútený, bočná plocha valca.
6. Mobiov pás, t.j. raz skrútený krúžok a trikrát skrútený krúžok.
7. Povrch torusu (donut), gule s rukoväťou a uzlíkového torusu.
8. Guľa s dvoma rúčkami a praclík s dvoma otvormi.
V matematickej analýze sa funkcie študujú metódou limitov. Premenná a limit sú základné pojmy.
Pri rôznych javoch si niektoré veličiny zachovávajú svoju číselnú hodnotu, iné sa menia. Volá sa množina všetkých číselných hodnôt premennej rozsah tejto premennej.
Z rôznych spôsobov, ako sa premenná správa, je najdôležitejší ten, pri ktorom premenná smeruje k určitej hranici.
konštantné číslo a volal premenná x ak absolútna hodnota rozdielu medzi X a a() sa stáva v procese zmeny premennej X svojvoľne malý:
Čo znamená „svojvoľne malý“? premenlivý X inklinuje k limitu a, ak pre ľubovoľne malé (ľubovoľne malé) číslo existuje taký moment pri zmene premennej X, počnúc od ktorej nerovnosť .
Definícia limity má jednoduchý geometrický význam: nerovnosť znamená to X je v susedstve bodu a,
tie. v intervale
.
Definícia limitu teda môže byť uvedená v geometrickej forme:
číslo a je limit premennej X, ak pre ľubovoľne malé (ľubovoľne malé) -okolie čísla a môžete určiť taký moment pri zmene premennej X, od ktorého všetky jeho hodnoty spadajú do určeného susedstva bodu a.
Komentujte. premenlivý X sa môže priblížiť k svojej hranici rôznymi spôsobmi: zostať pod touto hranicou (vľavo), viac (vpravo), kolísať okolo hodnoty hranice.
Limit sekvencie
Funkcia nazývaný zákon (pravidlo), podľa ktorého každý prvok X nejaká sada X zhoduje sa s jedným prvkom r súpravy Y.
Funkciu možno definovať na množine všetkých prirodzených čísel: . Takáto funkcia sa nazýva funkcia prirodzeného argumentu alebo číselná postupnosť.
Keďže postupnosť, ako každá nekonečná množina, nemôže byť špecifikovaná enumeráciou, je určená spoločným členom: , kde je spoločný člen postupnosti.
Diskrétna premenná je spoločným členom postupnosti.
V prípade sekvencie slová „začínajúce v určitom bode“ znamenajú slová „začínajúce v nejakom čísle“.
číslo a sa nazýva limita postupnosti , ak pre ľubovoľne malé (ľubovoľne malé) číslo také číslo existuje N, čo pre všetky členy postupnosti s číslom n>N nerovnosť
.
alebo
pri
.
Geometricky znamená definícia limity postupnosti toto: pre ľubovoľne malé (ľubovoľne malé) - susedstvo čísla a existuje číslo také, že všetky členy postupnosti s väčším ako N, čísla, spadajú do tejto štvrte. Mimo susedstva je len konečný počet počiatočných členov postupnosti. Prirodzené číslo N záleží na : .