Otvorená udalosť v matematike. Matematické hádanky Riešenie úloh pre samostatnú prácu
![Otvorená udalosť v matematike. Matematické hádanky Riešenie úloh pre samostatnú prácu](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
matematická cesta
Tu sú nápady a úlohy,
Hry, vtipy, všetko pre vás!
Prajeme veľa šťastia
Do práce, majte sa dobre!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
Volavečke popolavej na lekciu Prišlo 744, A to majú pripravené lekcie len 3 straky. Koľko mokasínov-štyridsať Prišiel na lekciu?
V škole dali deťom lekciu: Skákanie v poli 40 štyridsať, Desať vzlietlo Sadol si na jedľu. Koľko ich zostalo v poli štyridsiatky?
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_2.jpg)
Sme veľká rodina
Väčšina junior som ja.
Nepočítajte nás hneď:
Manya je a Vanya je,
Yura, Shura, Klasha, Sasha
A Natasha je tiež naša.
Ideme po ulici
Hovoria, že je to sirotinec.
Počítajte rýchlo
Koľkí z nás sú deti v rodine.
Mama dnes dovolí
Po škole idem na prechádzku.
Nie som príliš veľa a nie som príliš málo
Dostal označený...
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_3.jpg)
Je tu dlhý segment, je tu kratší,
Mimochodom, nakreslíme to pomocou pravítka.
Päť centimetrov - veľkosť,
Volá sa...
Skladá sa z bodu a čiary.
No hádajte kto to je?
Stáva sa, že v daždi prerazí mraky.
Teraz hádajte čo? to...
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_4.jpg)
Ak sú dva objekty ďaleko od seba,
Kilometre medzi nimi vieme jednoducho vypočítať.
Rýchlosť, čas - poznáme hodnoty,
Teraz znásobíme ich hodnoty.
Výsledok všetkých našich vedomostí -
Počítané...
Je dvojnohý, ale chromý
Kreslí iba jednou nohou.
Postavte sa do stredu druhou nohou,
Aby kruh krivky nevychádzal.
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_5.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_6.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_7.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_8.jpg)
Metagramy
Určité slovo je zašifrované v metagrame. Treba to uhádnuť. Potom by sa v dešifrovanom slove malo jedno z uvedených písmen nahradiť iným písmenom a význam slova sa zmení.
Nie je to veľmi malý hlodavec,
Pre trochu viac veveričiek.
A nahraďte "U" za "O" -
Bude to okrúhle číslo.
odpoveď: s pri rock - s o skala.
S "Sh" - musím počítať,
S "M" - páchatelia sú hrozní!
odpoveď: sh tam je - m existuje
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_9.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_10.jpg)
info-know-it-all
Teraz dajte vedieť všetkým Kto je najmúdrejší? Kto je čitateľnejší, múdrejší - Vyhrajte túto súťaž!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_11.jpg)
Stanica
"hudobný"
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_12.jpg)
Stanica
"matematické preteky"
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_13.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_14.jpg)
OCEŇOVANIE
ĎAKUJEM VÁM VŠETKÝM! SI SKVELÝ!
Povedzme teda, že sa naše telá pohybujú rovnakým smerom. Čo si myslíte, koľko prípadov môže byť pre takýto stav? Presne tak, dve.
prečo je to tak? Som si istý, že po všetkých príkladoch ľahko prídete na to, ako tieto vzorce odvodiť.
Mám to? Výborne! Je čas vyriešiť problém.
Štvrtá úloha
Kolja ide do práce autom rýchlosťou km/h. Kolega Kolja Vova ide rýchlosťou km/h. Kolja žije vo vzdialenosti km od Vova.
Ako dlho bude trvať Vovovi, kým predbehne Kolju, ak odídu z domu v rovnakom čase?
Počítal si? Porovnajme odpovede - ukázalo sa, že Vova dobehne Kolju za hodiny alebo minúty.
Porovnajme naše riešenia...
Výkres vyzerá takto:
Podobné ako vy? Výborne!
Keďže problém sa pýta, ako dlho sa chalani stretli a odišli v rovnakom čase, čas, ktorý precestovali, bude rovnaký, ako aj miesto stretnutia (na obrázku je označené bodkou). Vytváranie rovníc, nájdite si čas.
Vova sa teda vybral na miesto stretnutia. Kolja sa vybral na miesto stretnutia. Toto je jasné. Teraz sa zaoberáme osou pohybu.
Začnime s cestou, ktorú urobil Kolya. Jeho dráha () je na obrázku znázornená ako segment. A z čoho pozostáva Vova cesta ()? Správne, zo súčtu segmentov a kde je počiatočná vzdialenosť medzi chlapcami a rovná sa ceste, ktorú urobil Kolya.
Na základe týchto záverov dostaneme rovnicu:
Mám to? Ak nie, prečítajte si túto rovnicu znova a pozrite sa na body označené na osi. Kreslenie pomáha, nie?
hodiny alebo minúty minúty.
Dúfam, že v tomto príklade pochopíte, aká dôležitá je úloha dobre spracovaná kresba!
A plynule pokračujeme ďalej, alebo skôr, už sme prešli k ďalšiemu kroku v našom algoritme – privedenie všetkých veličín do rovnakej dimenzie.
Pravidlo troch „P“ – rozmer, rozumnosť, vypočítavosť.
Rozmer.
Nie vždy je v úlohách daný rovnaký rozmer pre každého účastníka pohybu (ako to bolo v našich ľahkých úlohách).
Môžete sa napríklad stretnúť s úlohami, kde sa hovorí, že telesá sa pohybovali určitý počet minút a rýchlosť ich pohybu je udávaná v km/h.
Nemôžeme len vziať a nahradiť hodnoty vo vzorci - odpoveď bude nesprávna. Dokonca aj z hľadiska jednotiek merania naša odpoveď „neprejde“ testom primeranosti. Porovnaj:
Vidíš? Pri správnom vynásobení znížime aj merné jednotky a podľa toho dostaneme primeraný a správny výsledok.
A čo sa stane, ak neprevedieme do jedného systému merania? Odpoveď má zvláštny rozmer a % je nesprávny výsledok.
Takže pre každý prípad mi dovoľte pripomenúť význam základných jednotiek merania dĺžky a času.
Jednotky dĺžky:
centimeter = milimetre
decimeter = centimetre = milimetre
meter = decimetre = centimetre = milimetre
kilometer = metre
Časové jednotky:
minúta = sekundy
hodina = minúty = sekundy
dni = hodiny = minúty = sekundy
Poradenstvo: Pri prevode jednotiek merania súvisiacich s časom (minúty na hodiny, hodiny na sekundy atď.) si predstavte ciferník vo vašej hlave. Voľným okom je vidieť, že minúty sú štvrtinou ciferníka, t.j. hodiny, minúty je tretina číselníka, t.j. hodiny a minúta je hodina.
A teraz veľmi jednoduchá úloha:
Máša išla na bicykli z domu do dediny rýchlosťou km/h celé minúty. Aká je vzdialenosť medzi domom auta a dedinou?
Počítal si? Správna odpoveď je km.
minúta je hodina a ďalšia minúta od hodiny (mentálne si predstavoval ciferník a povedal, že minúty sú štvrťhodiny), respektíve - min \u003d h.
inteligencia.
Rozumiete, že rýchlosť auta nemôže byť km/h, samozrejme, ak nehovoríme o športovom aute? A ešte viac to nemôže byť negatívne, však? Takže rozumnosť, to je všetko)
Kalkulácia.
Skontrolujte, či vaše riešenie „prejde“ rozmerom a primeranosťou a až potom skontrolujte výpočty. Je to logické – ak dôjde k nesúladu s rozmerom a rozumnosťou, potom je jednoduchšie všetko prečiarknuť a začať hľadať logické a matematické chyby.
„Láska k stolom“ alebo „keď kreslenie nestačí“
Zďaleka nie vždy sú úlohy na pohyb také jednoduché, ako sme riešili predtým. Veľmi často, aby ste správne vyriešili problém, musíte nielen nakreslite kompetentný výkres, ale vytvorte aj tabuľku so všetkými podmienkami, ktoré nám boli dané.
Prvá úloha
Z bodu do bodu, ktorého vzdialenosť je km, odišiel súčasne cyklista a motorkár. Je známe, že motocyklista prejde viac kilometrov za hodinu ako cyklista.
Určte rýchlosť cyklistu, ak je známe, že prišiel do bodu o minútu neskôr ako motocyklista.
Tu je taká úloha. Zoberte sa a prečítajte si to niekoľkokrát. Čítať? Začnite kresliť - priamka, bod, bod, dve šípky ...
Vo všeobecnosti nakreslite a teraz porovnajte, čo máte.
Akési prázdne, však? Nakreslíme tabuľku.
Ako si pamätáte, všetky pohybové úlohy pozostávajú z komponentov: rýchlosť, čas a cesta. Z týchto grafov sa bude skladať každá tabuľka v takýchto úlohách.
Je pravda, že pridáme ešte jeden stĺpec - názov o ktorých píšeme informácie - motorkár a cyklista.
Uveďte aj v záhlaví rozmer, do ktorého tam zadáte hodnoty. Pamätáte si, aké je to dôležité, však?
Máte takýto stôl?
Teraz analyzujme všetko, čo máme, a paralelne zadáme údaje do tabuľky a do obrázku.
Prvá vec, ktorú máme, je cesta, ktorú cyklista a motorkár prešli. Je to rovnaké a rovná sa km. Prinášame!
Vezmime si rýchlosť cyklistu ako, potom rýchlosť motocyklistu bude ...
Ak riešenie úlohy s takouto premennou nefunguje, nevadí, vezmeme ďalšiu, kým nedosiahneme víťaznú. To sa stáva, hlavnou vecou nie je byť nervózny!
Tabuľka sa zmenila. Nechali sme nevyplnený iba jeden stĺpec - čas. Ako nájsť čas, keď existuje cesta a rýchlosť?
Presne tak, cestu rozdeľte podľa rýchlosti. Zadajte ho do tabuľky.
Naša tabuľka je teda naplnená, teraz môžete zadať údaje do obrázku.
Čo na ňom môžeme reflektovať?
Výborne. Rýchlosť pohybu motocyklistu a cyklistu.
Prečítajme si problém ešte raz, pozrime sa na obrázok a vyplnenú tabuľku.
Aké údaje nie sú uvedené v tabuľke alebo na obrázku?
Správny. Čas, o ktorý prišiel motocyklista skôr ako cyklista. Vieme, že časový rozdiel je minút.
Čo by sme mali robiť ďalej? Presne tak, preložte nám daný čas z minút na hodiny, pretože rýchlosť sa nám udáva v km/h.
Kúzlo vzorcov: písanie a riešenie rovníc – manipulácie, ktoré vedú k jedinej správnej odpovedi.
Takže, ako ste už uhádli, teraz budeme makeup rovnica.
Zostavenie rovnice:
Pozrite sa na svoju tabuľku, na poslednú podmienku, ktorá v nej nebola zahrnutá, a zamyslite sa nad vzťahom medzi tým, čo a čo môžeme dať do rovnice?
správne. Môžeme vytvoriť rovnicu na základe časového rozdielu!
Je to logické? Cyklista jazdil viac, ak od jeho času odrátame čas motorkára, dostaneme akurát rozdiel, ktorý nám bude daný.
Táto rovnica je racionálna. Ak neviete, čo to je, prečítajte si tému "".
Prinášame pojmy do spoločného menovateľa:
Otvorme zátvorky a dajme podobné výrazy: Fíha! Mám to? Vyskúšajte si ďalšiu úlohu.
Riešenie rovnice:
Z tejto rovnice dostaneme nasledovné:
Otvorme zátvorky a presuňte všetko na ľavú stranu rovnice:
Voila! Máme jednoduchú kvadratickú rovnicu. My rozhodujeme!
Dostali sme dve odpovede. Pozri, za čo máme? Presne tak, rýchlosť cyklistu.
Pripomíname si pravidlo „3P“, presnejšie „rozumnosť“. Rozumieš čo tým myslím? presne tak! Rýchlosť nemôže byť záporná, takže naša odpoveď je km/h.
Druhá úloha
Na 1-kilometrový beh sa vydali naraz dvaja cyklisti. Prvý išiel rýchlosťou o 1 km/h rýchlejší ako druhý a do cieľa prišiel o hodiny skôr ako druhý. Nájdite rýchlosť cyklistu, ktorý prišiel do cieľa ako druhý. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Spomínam si na algoritmus riešenia:
- Prečítajte si problém niekoľkokrát - zistite všetky podrobnosti. Mám to?
- Začnite kresliť kresbu - ktorým smerom sa pohybujú? ako ďaleko cestovali? Kreslili ste?
- Skontrolujte, či všetky množstvá, ktoré máte, majú rovnaký rozmer a začnite stručne zapisovať stav problému, vytvorte tabuľku (pamätáte si, aké sú tam stĺpce?).
- Pri písaní tohto všetkého premýšľajte o tom, čo si vziať? Vybrali? Záznam do tabuľky! Teraz je to jednoduché: vytvoríme rovnicu a vyriešime ju. Áno, a nakoniec - pamätajte na "3P"!
- Urobil som všetko? Výborne! Ukázalo sa, že rýchlosť cyklistu je km / h.
-"Akej farby je tvoje auto?" - "Je krásna!" Správne odpovede na otázky
Pokračujme v našom rozhovore. Aká je teda rýchlosť prvého cyklistu? km/h? Naozaj dúfam, že práve teraz neprikývnete kladne!
Pozorne si prečítajte otázku: „Aká je rýchlosť najprv cyklista?
Chápem, čo tým myslím?
presne tak! Prijaté je nie vždy odpoveď na otázku!
Pozorne si prečítajte otázky - možno po ich nájdení budete musieť vykonať nejaké ďalšie manipulácie, napríklad pridať km / h, ako v našej úlohe.
Ďalší bod - často je v úlohách všetko uvedené v hodinách a odpoveď je požiadaná o vyjadrenie v minútach alebo všetky údaje sú uvedené v km a odpoveď sa požaduje napísať v metroch.
Na rozmer pozerajte nielen pri samotnom riešení, ale aj pri zapisovaní odpovedí.
Úlohy na pohyb v kruhu
Telesá v úlohách sa nemusia nutne pohybovať po priamke, ale napríklad aj v kruhu, cyklisti môžu jazdiť po kruhovej dráhe. Poďme sa na tento problém pozrieť.
Úloha č.1
Cyklista opustil bod okružnej trate. O pár minút sa ešte nevrátil na kontrolné stanovište a z kontrolného stanovišťa ho nasledoval motorkár. Minúty po odjazde dobehol cyklistu prvýkrát a minúty nato ho dobehol druhýkrát.
Nájdite rýchlosť cyklistu, ak je dĺžka trate km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Riešenie problému č.1
Skúste nakresliť obrázok tohto problému a vyplňte ho do tabuľky. Tu je to, čo sa mi stalo:
Medzi stretnutiami cyklista prešiel vzdialenosť a motocyklista -.
Zároveň však motocyklista odjazdil presne o jedno kolo viac, je to vidieť na obrázku:
Dúfam, že chápete, že v skutočnosti nešli v špirále - špirála len schematicky ukazuje, že idú v kruhu, pričom niekoľkokrát prechádzajú rovnakými bodmi trate.
Mám to? Skúste sami vyriešiť nasledujúce problémy:
Úlohy pre samostatnú prácu:
- Dve mo-to-tsik-li-stovky štart-to-tu-yut one-but-time-men-ale in one-right-le-ni z dvoch dia-met-ral-ale pro-ty-in-po - nepravé body okružnej trasy, dĺžka roja sa rovná km. Po koľkých minútach sú zoznamy mo-the-cycle po prvýkrát rovnaké, ak je rýchlosť jedného z nich o km/h vyššia ako rýchlosť druhého th?
- Z jedného bodu kružnice-vytie diaľnice sa dĺžka nejakého roja rovná km, zároveň v jednej pravej-le-ni sú dvaja motorkári. Rýchlosť prvého motocykla je km/h a minúty po štarte bol pred druhým motocyklom o jedno kolo. Nájdite rýchlosť druhého motocykla. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Riešenie problémov pre samostatnú prácu:
- Nech km/h je rýchlosť prvého cyklu-li-sto, potom rýchlosť druhého cyklu-li-sto je km/h. Nech sa prvé zoznamy cyklu rovnajú v hodinách. Aby sa mo-the-cycle-li-stas rovnali, ten rýchlejší ich musí prekonať zo začiatku vzdialenosti, rovnej v lo-vi-nie dĺžke trasy.
Dostaneme, že čas sa rovná hodinám = minútam.
- Rýchlosť druhého motocykla nech je km/h. Za hodinu prvý motocykel prešiel o kilometer viac ako druhý roj, dostaneme rovnicu:
Rýchlosť druhého motorkára je km/h.
Úlohy na kurz
Teraz, keď ste dobrí v riešení problémov „na súši“, prejdime k vode a pozrime sa na desivé problémy spojené s prúdom.
Predstavte si, že máte plť a spustíte ju do jazera. čo sa s ním deje? správne. Stojí preto, lebo jazero, jazierko, mláka je predsa stojatá voda.
Aktuálna rýchlosť v jazere je .
Plť sa bude pohybovať len vtedy, ak začnete sami veslovať. Rýchlosť, ktorú získa, bude vlastná rýchlosť raftu. Bez ohľadu na to, kde plávate - vľavo, vpravo, raft sa bude pohybovať rovnakou rýchlosťou, akou veslováte. Je to jasné? Je to logické.
Teraz si predstavte, že spúšťate plť na rieku, otočíte sa, aby ste vzali lano ..., otočte sa a on ... odplával ...
Toto sa deje preto rieka má prietok, ktorý unáša váš raft v smere prúdu.
Zároveň sa jeho rýchlosť rovná nule (stojíte v šoku na brehu a neveslujete) – pohybuje sa rýchlosťou prúdu.
Mám to?
Potom odpovedzte na túto otázku - "Ako rýchlo bude plť plávať po rieke, ak budete sedieť a veslovať?" premýšľať?
Tu sú možné dve možnosti.
Možnosť 1 – idete s prúdom.
A potom plávate svojou rýchlosťou + rýchlosťou prúdu. Zdá sa, že prúd vám pomáha napredovať.
2. možnosť - t Plávate proti prúdu.
Ťažko? Je to tak, pretože prúd sa vás snaží „hodiť“ späť. Stále viac sa snažíš aspoň plávať metrov, respektíve rýchlosť, ktorou sa pohybujete, sa rovná vašej vlastnej rýchlosti – rýchlosti prúdu.
Povedzme, že potrebujete zaplávať míľu. Kedy prejdete túto vzdialenosť rýchlejšie? Kedy sa pohnete s prúdom alebo proti?
Poďme vyriešiť problém a skontrolovať.
Pridajme k našej ceste údaje o rýchlosti prúdu - km/h a o vlastnej rýchlosti plte - km/h. Koľko času strávite pohybom s prúdom a proti prúdu?
Samozrejme, že ste sa s touto úlohou ľahko vyrovnali! Po prúde - hodinu a proti prúdu až hodinu!
Toto je celá podstata úloh na prúdiť s prúdom.
Poďme si úlohu trochu skomplikovať.
Úloha č.1
Loď s motorom preplávala z bodu do bodu za hodinu a späť za hodinu.
Nájdite rýchlosť prúdu, ak rýchlosť člna na stojatej vode je km/h
Riešenie problému č.1
Označme vzdialenosť medzi bodmi ako a rýchlosť prúdu ako.
Cesta S | rýchlosť v, km/h |
čas t, hodiny |
|
A -> B (proti prúdu) | 3 | ||
B -> A (downstream) | 2 |
Vidíme, že loď robí rovnakú cestu, resp.
Čo sme účtovali?
Rýchlosť toku. Tak toto bude odpoveď :)
Rýchlosť prúdu je km/h.
Úloha č. 2
Kajak išiel z bodu do bodu vzdialeného km. Po hodinovom zotrvaní v bode sa kajak vydal na cestu a vrátil sa do bodu c.
Určte (v km/h) vlastnú rýchlosť kajaku, ak je známe, že rýchlosť rieky je km/h.
Riešenie úlohy č.2
Tak poďme na to. Prečítajte si problém niekoľkokrát a nakreslite obrázok. Myslím, že to môžete ľahko vyriešiť sami.
Sú všetky množstvá vyjadrené v rovnakej forme? Nie Čas odpočinku je uvedený v hodinách aj minútach.
Prevod na hodiny:
hodina minút = h.
Teraz sú všetky množstvá vyjadrené v jednej forme. Začnime vypĺňať tabuľku a hľadať, čo si vezmeme.
Nech je vlastná rýchlosť kajaku. Potom je rýchlosť kajaku po prúde rovnaká a proti prúdu rovnaká.
Zapíšme si tieto údaje, ako aj cestu (ako ste pochopili, je to rovnaké) a čas vyjadrený cestou a rýchlosťou, do tabuľky:
Cesta S | rýchlosť v, km/h |
čas t, hodiny |
|
Proti prúdu | 26 | ||
S prúdom | 26 |
Vypočítajme, koľko času kajak strávil na svojej ceste:
Plávala celé hodiny? Opätovné čítanie úlohy.
Nie, nie všetky. Odpočinok mala hodinu, respektíve minút, od hodín odpočítavame čas odpočinku, ktorý sme už prepočítali na hodiny:
h kajak naozaj vznášal.
Priveďme všetky pojmy k spoločnému menovateľovi:
Otvárame zátvorky a dávame podobné podmienky. Ďalej riešime výslednú kvadratickú rovnicu.
S týmto si myslím, že to zvládnete aj sami. Akú odpoveď ste dostali? Mám km/h.
Zhrnutie
![](https://i1.wp.com/youclever.org/book/website/youclever/var/custom/file/2014/06/241z-2.png)
POKROČILÁ ÚROVEŇ
Pohybové úlohy. Príklady
Zvážte príklady s riešeniamipre každý typ úlohy.
pohybujúce sa s prúdom
Jedna z najjednoduchších úloh úlohy pre pohyb na rieke. Celá ich podstata je nasledovná:
- ak sa pohybujeme s prúdením, rýchlosť prúdu sa pripočíta k našej rýchlosti;
- ak sa pohybujeme proti prúdu, rýchlosť prúdu sa odpočíta od našej rýchlosti.
Príklad č. 1:
Loď sa plavila z bodu A do bodu B za hodiny a späť za hodiny. Nájdite rýchlosť prúdu, ak rýchlosť člna na stojatej vode je km/h.
Riešenie #1:
Označme vzdialenosť medzi bodmi ako AB a rýchlosť prúdu ako.
Všetky údaje z podmienky zapíšeme do tabuľky:
Cesta S | rýchlosť v, km/h |
Čas t, hodiny | |
A -> B (proti prúdu) | AB | 50-te roky | 5 |
B -> A (downstream) | AB | 50+x | 3 |
Pre každý riadok tejto tabuľky musíte napísať vzorec:
V skutočnosti nemusíte písať rovnice pre každý z riadkov tabuľky. Vidíme, že vzdialenosť, ktorú loď prejde tam a späť, je rovnaká.
Takže môžeme porovnávať vzdialenosť. Ak to chcete urobiť, okamžite použijeme vzorec vzdialenosti:
Často je potrebné použiť vzorec pre čas:
Príklad č. 2:
Loď prejde vzdialenosť v km proti prúdu o hodinu dlhšie ako s prúdom. Nájdite rýchlosť člna na stojatej vode, ak rýchlosť prúdu je km/h.
Riešenie č. 2:
Skúsme napísať rovnicu. Čas proti prúdu je o hodinu dlhší ako čas po prúde.
Píše sa to takto:
Teraz namiesto každého času nahradíme vzorec:
Dostali sme obvyklú racionálnu rovnicu, vyriešime ju:
Je zrejmé, že rýchlosť nemôže byť záporné číslo, takže odpoveď je km/h.
Relatívny pohyb
Ak sa niektoré telesá navzájom pohybujú, je často užitočné vypočítať ich relatívnu rýchlosť. Rovná sa:
- súčet rýchlostí, ak sa telesá pohybujú k sebe;
- rozdiel rýchlosti, ak sa telesá pohybujú rovnakým smerom.
Príklad č. 1
Z bodov A a B odišli dve autá súčasne proti sebe rýchlosťou km/h a km/h. Za koľko minút sa stretnú? Ak je vzdialenosť medzi bodmi km?
I spôsob riešenia:
Relatívna rýchlosť áut km/h. To znamená, že ak sedíme v prvom aute, zdá sa, že stojí, ale druhé auto sa k nám blíži rýchlosťou km/h. Keďže vzdialenosť medzi autami je spočiatku km, čas, po ktorom druhé auto prejde prvým:
Riešenie 2:
Čas od začiatku pohybu po stretnutie pri autách je zjavne rovnaký. Označme to. Potom prvé auto išiel cestu, a druhý -.
Celkovo precestovali všetky km. znamená,
Ďalšie pohybové úlohy
Príklad č. 1:
Auto odišlo z bodu A do bodu B. Súčasne s ním odišlo ďalšie auto, ktoré išlo presne polovicu cesty rýchlosťou o km/h nižšou ako prvé a druhú polovicu cesty išlo rýchlosťou km/h.
Výsledkom bolo, že autá dorazili do bodu B v rovnakom čase.
Nájdite rýchlosť prvého auta, ak je známe, že je väčšia ako km/h.
Riešenie #1:
Naľavo od znamienka rovnosti píšeme čas prvého auta a napravo - druhého:
Zjednodušte výraz na pravej strane:
Každý výraz delíme AB:
Ukázalo sa obvyklá racionálna rovnica. Keď to vyriešime, dostaneme dva korene:
Z nich je len jeden väčší.
Odpoveď: km/h.
Príklad č. 2
Cyklista opustil bod A kruhovej trate. Po niekoľkých minútach sa do bodu A ešte nevrátil a z bodu A za ním išiel motorkár. Minúty po odjazde dobehol cyklistu prvýkrát a minúty nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť cyklistu, ak je dĺžka trate km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Riešenie:
Tu budeme porovnávať vzdialenosť.
Nech je rýchlosť cyklistu a rýchlosť motocyklistu -. Do okamihu prvého stretnutia bol cyklista na ceste niekoľko minút a motocyklista -.
Pritom prešli rovnaké vzdialenosti:
Medzi stretnutiami cyklista prešiel vzdialenosť a motocyklista -. Zároveň však motocyklista odjazdil presne o jedno kolo viac, je to vidieť na obrázku:
Dúfam, že chápete, že v skutočnosti nešli v špirále - špirála len schematicky ukazuje, že idú v kruhu, pričom niekoľkokrát prechádzajú rovnakými bodmi trate.
Výsledné rovnice riešime v sústave:
SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC
1. Základný vzorec
2. Relatívny pohyb
- Toto je súčet rýchlostí, ak sa telesá pohybujú k sebe;
- rozdiel rýchlosti, ak sa telesá pohybujú rovnakým smerom.
3. Pohybujte sa s prúdom:
- Ak sa pohybujeme s prúdom, rýchlosť prúdu sa pripočíta k našej rýchlosti;
- ak sa pohybujeme proti prúdu, rýchlosť prúdu sa odráta od rýchlosti.
Pomohli sme vám zvládnuť úlohy pohybu...
Teraz si na rade ty...
Ak ste si pozorne prečítali text a vyriešili všetky príklady sami, sme pripravení tvrdiť, že ste všetko pochopili.
A toto je už polovica cesty.
Napíšte dole do komentárov, či ste vymysleli úlohy na pohyb?
Ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti?
Chápete, že úlohy na „prácu“ sú takmer to isté?
Napíšte nám a prajeme veľa šťastia na skúškach!
Nech je pohyb prvého telesa charakterizovaný hodnotami s 1 , v 1 , t 1 a pohyb druhého telesa - s 2 , v 2 , t 2 . Takýto pohyb možno znázorniť na schematickom výkrese: v 1, t 1 t zabudovaný. v2, t2
Ak sa dva objekty začnú pohybovať súčasne k sebe, potom každý z nich strávi rovnaký čas od okamihu pohybu až po stretnutie - čas stretnutia, t.j. t 1 = t 2 = t int.
Vzdialenosť, na ktorú sa pohybujúce sa objekty priblížia za jednotku času, sa nazýva rýchlosť približovania, tie. v bl. \u003d v 1 + v 2.
Vzdialenosť medzi telesami môže byť vyjadrená takto: s=s 1 + s 2.
Celú vzdialenosť, ktorú prejdú pohybujúce sa telesá v protiidúcej premávke, možno vypočítať podľa vzorca: s=v sbl. t int. .
Príklad. Vyriešme problém: „Dvaja chodci súčasne vyšli k sebe z dvoch bodov, ktorých vzdialenosť je 18 km. Rýchlosť jedného z nich je 5 km / h, druhého - 4 km / h. Za koľko hodín sa stretnú?
Riešenie: Problémom je pohyb smerom k stretnutiu dvoch chodcov. Jeden ide rýchlosťou 5 km/h, druhý rýchlosťou 4 km/h. Cesta, ktorú musia prejsť, je 18 km. Je potrebné nájsť čas, po ktorom sa stretnú, pričom sa začnú pohybovať v rovnakom čase.
Členovia hnutia | Rýchlosť | Čas | Vzdialenosť |
Prvý chodec | 5 km/h | ?h - to isté | 18 km |
Druhý chodec | 4 km/h |
Keďže rýchlosti chodcov sú známe, môžeme zistiť ich nájazdovú rýchlosť: 5+4=9(km/h). Potom, keď poznáte rýchlosť priblíženia a vzdialenosť, ktorú musia prejsť, môžete nájsť čas, po ktorom sa chodci stretnú: 189=2(h).
Problémy pri pohybe dvoch telies v rovnakom smere.
Rozlišujú sa dva typy takýchto úloh: 1) pohyb začína súčasne z rôznych bodov; 2) pohyb začína v čase z jedného bodu.
Nech je pohyb prvého telesa charakterizovaný hodnotami s 1 , v 1 , t 1 a pohyb druhého telesa - s 2 , v 2 , t 2 . Takýto pohyb môže byť znázornený na schematickom výkrese:
v 1 , t 1 v 2 , t 2 t
Ak pri pohybe jedným smerom prvé teleso dobehne druhé, potom v 1 v 2, navyše za jednotku času sa prvý objekt priblíži k druhému na vzdialenosť v 1 -v 2 . Táto vzdialenosť je tzv rýchlosť priblíženia: v sbl. =v1-v2.
Vzdialenosť medzi telesami môžeme vyjadriť vzorcami: s= s 1 - s 2 a s= v sbl. t int.
Príklad. Vyriešme problém: „Z dvoch bodov, vzdialených od seba vo vzdialenosti 30 km. Rýchlosť jedného je 40 km/h, druhého 50 km/h. O koľko hodín predbehne druhý jazdec prvého?
Riešenie: Problém sa týka pohybu dvoch motocyklistov. Odchádzali v rovnakom čase z rôznych miest vo vzdialenosti 30 km, pričom rýchlosť jedného je 40 km/h, druhého 50 km/h. Je potrebné zistiť, za koľko hodín dobehne druhý motorkár prvého.
Pomocné modely môžu byť rôzne - schematický nákres (pozri vyššie) a tabuľka:
Keď poznáte rýchlosť oboch motocyklistov, môžete zistiť ich nájazdovú rýchlosť: 50-40=10(km/h). Potom, keď poznáme rýchlosť približovania a vzdialenosť medzi motocyklistami, nájdeme čas, za ktorý druhý motocyklista predbehne prvého: 3010=3(h).
Uveďme príklad úlohy, ktorá popisuje druhú situáciu pohybu dvoch telies v rovnakom smere.
Príklad. Vyriešme problém: „Vlak odchádzal z Moskvy o 7. hodine rýchlosťou 60 km/h. Na druhý deň o 13:00 rovnakým smerom vzlietlo lietadlo rýchlosťou 780 km/h. Ako dlho bude trvať, kým lietadlo predbehne vlak?
Riešenie: Úloha uvažuje o pohybe vlaku a lietadla v rovnakom smere z rovnakého bodu, ale v rôznych časoch. Je známe, že rýchlosť vlaku je 60 km/h, rýchlosť lietadla je 780 km/h; vlak začína o 7:00 a lietadlo o 13:00 nasledujúceho dňa. Je potrebné zistiť, ako dlho bude trvať, kým lietadlo predbehne vlak.
Z podmienok problému vyplýva, že kým lietadlo vzlietne, vlak prekonal určitú vzdialenosť. Ak sa nájde, potom sa táto úloha stane podobnou predchádzajúcej úlohe.
Ak chcete zistiť túto vzdialenosť, musíte vypočítať, ako dlho bol vlak na ceste: 24-7 + 13 = 30 (h). Ak poznáte rýchlosť vlaku a čas, ktorý bol na ceste pred odchodom lietadla, môžete zistiť vzdialenosť medzi vlakom a lietadlom: 6030=1800(km). Potom zistíme rýchlosť približovania sa vlaku a lietadla: 780-60=720(km/h). A ďalej čas, po ktorom lietadlo dobehne vlak: 1800720=2,5(h).
Úlohy na pohyb smerom k sebe (protiidúca premávka) sú jedným z troch hlavných typov úloh na pohyb.
Ak sa dva objekty pohybujú k sebe, približujú sa k sebe:
Ak chcete zistiť rýchlosť priblíženia dvoch objektov pohybujúcich sa k sebe, musíte ich rýchlosti pridať:
Rýchlosť konvergencie je väčšia ako rýchlosť každého z nich.
Rýchlosť, čas a vzdialenosť spolu súvisia:
Pozrime sa na niektoré úlohy pre prichádzajúcu premávku.
Úloha 1
Dvaja cyklisti išli proti sebe. Rýchlosť jedného spodku je 12 km/h a druhého 10 km/h. Po 3 hodinách sa stretli. Aká bola vzdialenosť medzi nimi na začiatku cesty?
Stav úloh pre pohyb je pohodlne prezentovaný vo forme tabuľky:
1) 12+10=22 (km/h) nájazdová rýchlosť cyklistu
2) Na začiatku cesty bolo medzi cyklistami 22∙3=66 (km).
Odpoveď: 66 km.
Úloha 2
Dva vlaky idú proti sebe. Rýchlosť jedného z nich je 50 km/h, rýchlosť druhého 60 km/h. Teraz medzi nimi 440 km. Za koľko hodín sa stretnú?
1) 60+50=110 (km/h) rýchlosť približovania vlaku
2) 440:110=4 (h) čas, po ktorom sa vlaky stretnú.
Odpoveď: po 4 hodinách.
Úloha 3.
Dvaja chodci boli od seba vo vzdialenosti 20 km. Vyšli v rovnakom čase k sebe a stretli sa po 2 hodinách. Rýchlosť jedného chodca je 6 km/h. Nájdite rýchlosť iného chodca.
ja chodec |
|||
II chodec |
1) 20:2=10 (km/h) rýchlosť priblíženia chodca
2) 10-6=4 (km/h) rýchlosť iného chodca.
Odpoveď: 4 km/h.