Súčet redukovaných zvyškov modulo n. Odberové systémy. Cvičenia na samostatnú prácu
alebo akékoľvek po sebe nasledujúce pčísla.
Tento systém je tzv úplný systém čísel, ktoré nie sú modulovo porovnateľné p alebo kompletný systém zvyškov modulo p. Je zrejmé, že akékoľvek p po sebe idúce čísla tvoria takýto systém.
Všetky čísla patriace do rovnakej triedy majú veľa spoločných vlastností, preto ich vo vzťahu k modulu možno považovať za jedno číslo. Každé číslo zahrnuté do porovnania ako súčet alebo faktor možno bez porušenia porovnania nahradiť číslom s ním porovnateľným, t.j. s číslom patriacim do rovnakej triedy.
Druhý prvok, ktorý je spoločný pre všetky čísla danej triedy, je najväčším spoločným deliteľom každého prvku tejto triedy a modulu p.
Nechaj a a b porovnateľný modul p, potom
Veta 1. Ak v sekera+b namiesto X dajme všetko do poriadku pčlenov kompletnej sústavy čísel
Preto všetky čísla sekera+b, kde X=1,2,...p-1 nie sú porovnateľné moduly p(inak čísla 1,2,... p-1 by bolo porovnateľné modulo p.
Poznámky
1) V tomto článku bude slovo číslo znamenať celé číslo.
Literatúra
- 1. K. Ireland, M. Rosen. Klasický úvod do modernej teórie čísel. - M: Mir, 1987.
- 2. G. Davenport. Vyššia aritmetika. - M: Nauka, 1965.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Prednášky z teórie čísel. - Moskva, 1936.
Modulo zvyškový krúžok n označujú alebo . Jeho multiplikatívna skupina, ako vo všeobecnom prípade skupín invertibilných prvkov kruhov, sa označuje ∗ × × .
Najjednoduchší prípad
Aby sme pochopili štruktúru skupiny, môžeme zvážiť špeciálny prípad, kde je prvočíslo a zovšeobecniť ho. Zvážte najjednoduchší prípad, kedy, tj.
Veta: - cyklická grupa.
Príklad : Zvážte skupinu
= (1,2,4,5,7,8) Generátorom skupín je číslo 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Ako vidíte, každý prvok skupiny môže byť reprezentovaný ako , kde ≤ℓφ . To znamená, že skupina je cyklická.Všeobecný prípad
Na zváženie všeobecného prípadu je potrebné definovať primitívny koreň. Primitívny koreňový modulo a prvočíslo je číslo, ktoré spolu s triedou zvyškov dáva vznik skupine.
Príklady: 2 11 ; 8 - primitívne koreňové modulo 11 ; 3 nie je primitívny modulo root 11 .V prípade celého modulu je definícia rovnaká.
Štruktúra grupy je určená nasledujúcou vetou: Ak p je nepárne prvočíslo a l je kladné celé číslo, potom existujú primitívne korene modulo , teda cyklická grupa.
Príklad
Redukovaný systém zvyškov modulo pozostáva z tried zvyškov: . Vzhľadom na násobenie definované pre triedy zvyškov tvoria okrem toho skupinu a sú vzájomne inverzné (tj. ⋅ ) a sú k sebe inverzné.
Štruktúra skupiny
Záznam znamená "cyklická skupina rádu n".
× | φ | λ | Generátor skupín | × | φ | λ | Generátor skupín | × | φ | λ | Generátor skupín | × | φ | λ | Generátor skupín | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2 x C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4 × C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2 x C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2 x C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2 x C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2 × C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2 × C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2 × C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2 x C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2 × C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2 x C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2 × C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2 x C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2 × C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2 x C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2 × C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 × C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2 × C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2 × C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4 × C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2 x C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2 × C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 × C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2 × C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2 x C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2 × C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2 × C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2 x C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2 x C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2 × C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6 × C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6 × C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2 × C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 × C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Aplikácia
Na obtiažnosť, Farm, Hooley, . Waring sformuloval Wilsonovu vetu a Lagrange to dokázal. Euler navrhol existenciu primitívnych koreňov modulo prvočíslo. Gauss to dokázal. Artin predložil svoju hypotézu o existencii a kvantifikácii prvočísel modulo, pričom dané celé číslo je primitívny koreň. Brouwer prispel k štúdiu problému existencie množín po sebe nasledujúcich celých čísel, z ktorých každé je k-tou mocninou modulo p. Bielhartz dokázal analógiu Artinovej domnienky. Hooley dokázal Artinovu domnienku s predpokladom, že rozšírená Riemannova hypotéza platí v algebraických číselných poliach.
Poznámky
Literatúra
- Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do modernej teórie čísel. - M.: Mir, 1987.
- Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Základy kryptografie. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
- Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretická kryptografia. - Petrohrad: NPO "Professional", 2004.
ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Z TEORIE
6. 1. Definícia 1.
Trieda čísel modulo m je množina všetkých tých a len tých celých čísel, ktoré po delení m majú rovnaký zvyšok r, teda porovnateľné modulo m (t Î N, t> 1).
Označenie pre triedu čísel so zvyškom r: .
Každé číslo z triedy sa nazýva zvyšok modulo m a samotná trieda sa nazýva trieda zvyškov modulo m.
6. 2. Vlastnosti množiny tried zvyškov modulo t:
1) celkový modul t bude t Triedy zvyškov: Z t = { , , , … , };
2) každá trieda obsahuje nekonečnú množinu celých čísel (zvyškov) tvaru: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), to znamená akékoľvek dva odobraté zvyšky z jedného trieda, porovnateľné modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), to znamená žiadne dva zvyšky; prijaté z rôznych triedy neporovnateľné modulo t.
6. 3. Definícia 3.
Kompletný systém zvyškov modulo m je ľubovoľný súbor čísiel m, ktoré sa vezmú jedno a len jedno z každej triedy zvyškov modulo m.
Príklad: ak m= 5, potom (10, 6, - 3, 28, 44) je úplný systém zvyškov modulo 5 (a nie jediný!)
najmä
sada (0, 1, 2, 3, …, m–1) je systém najmenší nezáporný zrážky;
sada (1, 2, 3, …, m –1, t) je systém najmenej pozitívne zrážky.
6. 4. Poznač si to:
ak ( X 1 , X 2 , … , x t) je úplný systém zvyškov modulo t, potom
.
6. 5. Veta 1.
Ak {X 1 , X 2 , … , x t} – kompletný systém zvyškov modulo m, "a, bÎ Z a(a, t) = 1, – potom číselný systém {Oh 1 +b, Oh 2 + b, … , ah t+b} tvorí aj ucelený systém zvyškov modulo m .
6. 6. Veta 2.
Všetky zvyšky rovnakej triedy zvyškov modulo m majú rovnakého najväčšieho spoločného deliteľa s m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. Definícia 4.
Trieda rezíduí modulo m sa nazýva coprime s modulo m,ak aspoň jeden zvyšok z tejto triedy je koprimovaný s t.j.
Všimnite si, že v tomto prípade podľa vety 2 všetkyčísla tejto triedy budú zodpovedať modulu t.
6. 8. Definícia 5.
Redukovaný systém rezíduí modulo m je systém rezíduí prebratých jeden a len jeden z každej triedy coprime k m.
6. 9. Poznač si to:
1) redukovaný systém zvyškov modulo t obsahuje j( t) čísla ( X 1 , X 2 ,…, };
2) : .
3) "x i : (x i, m) = 1;
Príklad : Nech modulo t= 10 existuje 10 tried zvyškov:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) je množina tried zvyškov modulo 10. Kompletný systém zrážok mod 10 by bolo napríklad toto: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Mnoho tried zvyškov, nesúdeliteľné s modulom m= 10: (,,,,)(j(10) = 4).
Znížený systém zrážok modulo 10 by bolo napr.
(1, 3, 7, 9), alebo (11, 43, – 5, 17), alebo ( – 9, 13, – 5, 77) atď. (všade j(10) = 4 čísla).
6.10. Prakticky: na vytvorenie jedného z možných redukovaných zvyškových systémov mod m, je potrebné vybrať z úplného systému zvyškov mod m tie zvyšky, ktoré sú spolu s m. Takéto čísla budú j( t).
6.11. Veta 3.
Ak{X 1 , X 2 ,…, } – redukovaný systém zvyškov modulo m a
(a, m) = 1, – potom číselný systém {Oh 1 , Oh 2 , … , ax j (t)} aj formy
redukovaný systém zvyškov modulo m .
6.12. Definícia 6.
súčet( Å ) odvodové triedy a +b sa rovná súčtu akýchkoľvek dvoch zrážok vybraných po jednej z každej danej triedy a : Å = , kde"aÎ , "bÎ .
6.13. Definícia 7.
práca( Ä ) odvodové triedy a modulo m sa nazýva trieda zvyškov , teda trieda zvyškov pozostávajúca z čísel a ´ b sa rovná súčinu akýchkoľvek dvoch zvyškov odobratých jeden po druhom z každej danej triedy a : Ä = , kde"aÎ , "bÎ .
Teda v množine tried zvyškov modulo t: Z t= ( , , ,…, ) sú definované dve algebraické operácie – „sčítanie“ a „násobenie“.
6.14. Veta 4.
Množina tried zvyškov Zt modulo t je asociatívno-komutatívny kruh s jednotkou:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – prsteň.
TYPICKÉ ÚLOHY
1. Modulo t= 9:
1) úplný systém najmenej pozitívnych zvyškov;
2) úplný systém najmenej nezáporných zvyškov;
3) svojvoľný úplný systém zrážok;
4) úplný systém najmenších absolútnych zrážok.
Odpoveď:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Zostavte redukovaný systém zvyškov modulo t= 12.
Riešenie.
1) Zostavte kompletný systém najmenej pozitívnych zvyškov modulo t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (celkom t= 12 čísel).
2) Z tohto systému vymažeme čísla, ktoré nie sú spojené s číslom 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Zvyšné čísla spolu s číslom 12 tvoria požadovaný redukovaný systém zvyškov modulo t= 12 (celkom j( t) = j(12) = 4 čísla).
odpoveď:(1, 5, 7, 11) - redukovaný systém zvyškov modulo t= 12.
130. Vytvorte 1) úplný systém najmenej pozitívnych zvyškov; 2) úplný systém najmenej nezáporných zvyškov; 3) svojvoľný systém zrážok; 4) úplný systém najmenších absolútnych zrážok; 5) redukovaný systém zvyškov: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Je množina (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) kompletný systém zvyškov modulo 8?
132 Akým modulom je množina (20, - 4, 22, 18, - 1) úplný systém zvyškov?
133. Urobte redukovaný systém zvyškov modulo m Ak) m= 9; b) m= 24; v) m= 7. Koľko čísel by mala takáto sústava obsahovať?
134. Formulujte hlavné vlastnosti úplného systému zvyškov a redukovaného systému zvyškov modulo m .
135. Ktoré prvky odlišujú redukované a úplné systémy najmenej nezáporných zvyškov modulo prime?
136. Za akých podmienok sú čísla a a - a patria do rovnakej triedy modulo zvyškov m?
137. Do akých tried zvyškov modulo 8 patria všetky prvočísla? R³ 3?
138. Tvorí množina čísel (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) úplný systém zvyškov modulo 11?
139. Koľko tried zvyškov modulo 21 patrí všetkým zvyškom z jednej triedy zvyškov modulo 7?
140. Množina celých čísel Z rozdeľte podľa tried zvyškov modulo 5. Vo výslednej množine tried zvyškov vytvorte tabuľky sčítania a násobenia Z 5. Je súbor Z 5: a) skupina s operáciou sčítania triedy? b) skupina s operáciou násobenia tried?
§ 7. Eulerova veta. FERMATOVA MALÁ VETA
ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Z TEORIE
7. 1. Veta 1.
AkÎ Z,tÎ N, t>1 a(a;t) = 1, – potom v nekonečnom slede mocnín a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s, …, a t,… existujú aspoň dve mocniny s exponentmi s a t(s<t) také že . (*)
7. 2. Komentujte. Označenie t– s = k> 0, z (*) dostaneme: . Povýšenie oboch strán tohto prirovnania na moc nÎ N, dostaneme: (**). To znamená, že existuje nekonečné množstvo právomocí a, čo vyhovuje porovnaniu (**). ale ako nájsť tieto ukazovatele? Čo najmenej ukazovateľ, ktorý vyhovuje porovnaniu (**) ? Odpovedá na prvú otázku Eulerova veta(1707 – 1783).
7. 3. Eulerova veta.
AkÎ Z,tÎ N, t>1 a(a;t) = 1, - potom . (13)
Príklad. Nechaj a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Potom . Pretože j (21) = 12, potom 2 12 º 1 (mod 21). Skutočne: 2 12 = 4096 a (4096 - 1) 21. Potom je zrejmé, že 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) a tak ďalej. Ale je exponent 12 - najmenej uspokojivé porovnanie 2 nº 1 (mod 21) ? Ukazuje sa, že nie. Najnižší ukazovateľ bude P= 6: 2 6 º 1 (mod 21), pretože 2 6 – 1 = 63 a 63 21. Všimnite si, že najmenej index, ktorý treba hľadať iba medzi deliteľmi čísla j( t) (v tomto príklade medzi deliteľmi čísla j(21) = 12).
7. 4. Fermatova malá veta (1601 - 1665).
Pre ľubovoľné prvočíslo p a ľubovoľné číslo aÎ Z, nedeliteľný p, existuje porovnanie . (14)
Príklad. Nechaj a = 3,R= 5, kde 3 nie je 5. Potom alebo .
7. 5. Zovšeobecnenie Fermatovej vety.
Pre ľubovoľné prvočíslo p a ľubovoľné číslo aÎ Z sa porovnáva (15)
TYPICKÉ ÚLOHY
1. Dokážte, že 38 73 º 3 (mod 35).
Riešenie.
1) Keďže (38; 35) = 1, potom podľa Eulerovej vety ; j(35) = 24, takže
(1).
2) Z porovnania (1), dôsledkom 2, vlastností 5 0 numerických porovnaní, máme:
3) Z porovnania (2), dôsledkom 1 vlastnosti 5 0 porovnaní: 38 72 × 38 ° 1 × 38 (mod 35) Þ Þ 38 73 º38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), čo malo byť preukázané.
2. Vzhľadom na to: a = 4, t= 15. Nájdite najmenší exponent k, uspokojujúce porovnanie (*)
Riešenie.
1) Odkedy ( a; m) = (4; 25) = 1, potom podľa Eulerovej vety , j(25) = 20, tak .
2) Je nájdený exponent - číslo 20 - najmenej prirodzené číslo, ktoré vyhovuje porovnávaniu (*)? Ak je exponent menší ako 20, potom musí byť deliteľom 20. Preto požadovaný minimálny exponent k musíte hľadať medzi mnohými číslami n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – deliteľ 20.
3) Kedy P = 1: ;
pri P = 2: ;
pri P= 3: (netreba brať do úvahy);
pri P = 4: ;
pri P = 5: ;
pri P= 6, 7, 8, 9: (netreba brať do úvahy);
pri P = 10: .
takže, najmenej exponent k, vyhovujúce porovnanie(*), je k= 10.
odpoveď: .
CVIČENIA PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU
141. Podľa Eulerovej vety . O a = 3, t= 6 máme: .
Pretože j(6) = 2, potom 3 2 º1 (mod 6), alebo 9º1 (mod 6), potom podľa lemy (9 – 1) 6 alebo 8 6 (úplne!?). kde sa stala chyba?
142. Dokážte, že: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 ° 1 (mod100); c) 2 73 ° 2 (mod 73).
143. Dokážte, že a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 je bezo zvyšku deliteľné 12.
144. Dokážte vetu opačnú k Eulerovej vete: ak a j ( m) º 1 (mod m), potom ( a, m) =1.
145. Nájdite najmenší exponent kÎ N, vyhovuje tomuto prirovnaniu: a) ; b) ; v) ; G) ;
e) ; e) ; a) ; h) .
a) ; do) ; l) ; m) .
146. Nájdite zvyšok delenia:
a) 7 100 za 11; b) 9 900 za 5; c) 5 176 x 7; d) 2 1999 od 5; e) 8 377 za 5;
f) 26 57 x 35; g) 35 359 za 22; h) 5 718 za 103; i) 27 260 za 40; j) 25, 1998, 62.
147*. Dokáž to a 561 º a(mod 11).
148*. Ak je kanonický rozklad prirodzeného čísla P neobsahuje faktory 2 a 5, potom 12. mocnina tohto čísla končí na 1. Dokážte.
149*. Dokážte, že 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Dokázať: ak ( a, 65) =1 , (b, 65) = 1, teda a 12 –b 12 je rovnomerne deliteľné 65.
Kapitola 3. ARITMETICKÉ APLIKÁCIE
TEÓRIE NUMERICKÝCH POROVNANÍ
§ 8. SYSTEMATICKÉ ČÍSLA
ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Z TEORIE
1. CELÉ SYSTEMATICKÉ ČÍSLA
8. 1. Definícia 1.
Číselný systém je akýkoľvek spôsob zápisu čísel. Znaky, ktorými sú tieto čísla napísané, sa nazývajú čísla.
8. 2. Definícia 2.
Celé nezáporné systematické číslo zapísané v t-árovej pozičnej číselnej sústave je číslo n v tvare
,kde i(i = 0,1, 2,…, k) – celé nezáporné čísla – číslice, a 0 £ a i £ t– 1, t je základ číselnej sústavy, tÎ N, t > 1.
Napríklad zápis čísla v 7-člennej sústave je: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Tu a i- to sú 5, 6, 0, 3 - čísla; všetky spĺňajú podmienku: 0 £ a i£ 6. Kedy t=10 povedzte: číslo n zaznamenané v systém desiatkových čísel, a index t= 10 nepíšte.
8. 3. Veta 1.
Akékoľvek nezáporné celé číslo môže byť reprezentované jedinečným spôsobom ako systematické číslo v ľubovoľnom základe t, kde tÎ N, t > 1.
Príklad:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Poznač si to:
1) priradenie k systematickému počtu núl vľavo nemení toto číslo:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) priradenie k systematickému číslu s nuly vpravo sú ekvivalentné násobenie toto číslo pre t s: (3 4) 5 = 3 x 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Algoritmus na prevod zapísaného číslat -árna sústava, na desatinné miesta:
Príklad: (287) 12 = 2 × 12 2 + 8 × 12 1 +7 × 12 0 = 2 × 144 + 8 × 12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritmus na prevod čísla zapísaného v desiatkovej sústave systém, vt - osobné:
Príklad: (3 9 1) 10 = (X) 12. Nájsť X.
8. 7. Akcie na systematických číslach
2. SYSTEMATICKÉ ZLOMKY
8. 8. Definícia 3.
Konečný t-árny systematický zlomok v číselnej sústave so základom t je číslo tvaru
kde c 0 Î Z, s i - číslami– celé nezáporné čísla, a 0 £ s i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Zápis: a = ( c 0 , s 1 s 2 …s k)t. O t= 10 zlomok sa nazýva desiatkový.
8. 9. Dôsledok 1.
Každý konečný systematický zlomok je racionálne číslo, ktoré možno znázorniť ako , kdeÎ Z,bÎ N.
Príklad. a = (3 1, 2 4) 6 = 3 × 6 + 1 + = 19 + je racionálne číslo. Opačné tvrdenie nie je vo všeobecnosti pravdivé. Napríklad zlomok nemožno previesť na konečný systematický (desiatkový) zlomok.
8.10. Definícia 4.
Nekonečný t-árny kladný systematický zlomok v číselnej sústave so základom t je číslo tvaru
, odkiaľ od 0Î N, s i(i =1, 2, …, do, …) - čísla– celé nezáporné čísla, a 0 £ s i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Zápis: a = ( s 0 , s 1 s 2 … s k…) t. O t=10 zlomok sa nazýva desiatkový.
8.11. Definícia 5.
Existujú tri typy nekonečných systematických zlomkov:
ja a = ( s 0 , )t= = t, kde = = = … V tomto prípade číslo a sa nazýva nekonečný čisto periodický zlomok,(s 1 s 2 … s k) – obdobie, k - počet číslic v období - dĺžka obdobia.
II a = .
V tomto prípade je číslo a sa nazýva nekonečný zmiešaný periodický zlomok, – predobdobie, () – obdobie, k - počet číslic v perióde - dĺžka periódy, l - počet číslic medzi celou časťou a prvou periódou - dĺžka predobdobia.
III a = ( s 0 , s 1 s 2 … s k …)t . V tomto prípade číslo a sa nazýva nekonečný neperiodický zlomok.
TYPICKÉ ÚLOHY
1. Číslo ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , uvedené v 5-člennej sústave, preložiť do 7-árnej sústavy, teda nájsť X, ak (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Riešenie.
1) Premeňte dané číslo (2 1 4 3) 5 na číslo ( pri) 10 zapísaný v desiatkovej sústave:
2. Postupujte podľa nasledujúcich krokov:
1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 x (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Riešenie.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1 x 8 + 4 = (1 4) 8;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Poznámka: | 4+5 = 9 = 1×6+3, napíše sa 3, 1 prejde na ďalšiu číslicu, 6+3+1=10 =1×6+4, napíše sa 4, napíše sa 1, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, zapíše sa 2, 1 prejde na ďalšiu číslicu. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Poznámka: | "obsadiť" jednotku najvyššej hodnosti, t. j. "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Poznámka: | Pri násobení 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1 napíšeme 1, 1 prejde na ďalšiu číslicu, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, napíšeme 0, 1 prejde na nasledujúca číslica, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, napíše sa 4, 1 prejde na ďalšiu číslicu, Po vynásobení 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, zapíše sa 4, 1 prejde na ďalšiu číslicu, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, zapíše sa 2, zapíše sa 1 na ďalšiu číslicu, 3×4 +1=13=2×5 +3, zapíše sa 3, 2 prejde na ďalšiu číslicu. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 odpoveď: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
CVIČENIA PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU
151. Čísla uvedené v t-árna sústava, previesť na desiatkovú sústavu:
a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5; c) (1 0 0 1 0 1) 2; d) (13) 15;
e) (27) 11; f) (3 2 5 4) 6; g) (1 5 0 1 3) 8; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2;
i) (762)8; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Čísla. uvedený v desiatkovej sústave, previesť na t-ic systému. Vykonajte kontrolu.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5; c) (3 7) 10 = ( X) 2; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12; g) (5 0 0) 10 = ( X) osem ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) dvadsať; j) (9 2 5) 10 = ( X) osem ; k) (6 3 3) 10 = ( X) pätnásť; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Čísla uvedené v t-árny systém, preložiť do q-ic sústava (prechodom cez desiatkovú sústavu).
a) (3 7) 8 = ( X) 3; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4) 12 = ( X) 9. e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Ako sa zmení číslo (1 2 3) 5, ak sa k nemu sprava pridá nula?
b) Ako sa zmení číslo (5 7 6) 8, ak sa k nemu sprava pridajú dve nuly?
155. Postupujte podľa týchto krokov:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2; k) (7 4 1) 8 x (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 x (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 x (2 3 0) 4; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 + (9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Potom:
I Ak menovateľ b = b"(obsahuje len "2" a/alebo "5") - potom sa zlomok prevedie na finálny, konečný desatinný zlomok. Počet desatinných miest sa rovná najmenšiemu prirodzenému číslu l lº 0( mod b").
II Ak je menovateľ b = b 1(neobsahuje "2" a "5"), potom sa zlomok prevedie na nekonečné čisto periodické sa rovná najmenšiemu prirodzenému číslu k, uspokojivé porovnanie 10 kº 1( mod b 1).
III Ak je menovateľ b = b"× b 1 (obsahuje „2“ a/alebo „5“, ako aj ďalšie prvočísla), potom sa zlomok prevedie na nekonečné zmiešané periodikum desať-
tikajúci zlomok.
Dĺžka periódy sa rovná najmenšiemu prirodzenému číslu k, uspokojivé porovnanie 10 kº 1( mod b 1).
Dĺžka predobdobia sa rovná najmenšiemu prirodzenému číslu l, uspokojivé porovnanie 10 lº 0( mod b").
9. 2. Závery.
9. 3. Poznač si to:
racionálne číslo je akýkoľvek konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický desatinný zlomok;
Iracionálne číslo je akýkoľvek nekonečný neperiodický desatinný zlomok.
TYPICKÉ ÚLOHY
1. Tieto bežné zlomky zapísané v desiatkovej sústave sa prevedú na
desatinné, predtým určenie typu požadovaného zlomku (konečný alebo nekonečný; periodický alebo neperiodický; ak - periodický, potom čisto periodický alebo zmiešaný periodický); v posledných prípadoch predbežne nájsťčíslo k– dĺžka a počet periódy l je dĺžka predobdobia. jeden); 2); 3).
Riešenie.
1) Zlomok = menovateľ - číslo b= 80 = 2 4 × 5 obsahuje len „2“ a „5“. Preto sa tento zlomok prevedie na finálny, konečný desatinný zlomok. Počet desatinných miest volám sa určená z podmienky: 10 lº0 (mod80):
2) Zlomok = menovateľ - číslo b= 27 = 3 3 neobsahuje "2" a "5". Preto sa tento zlomok prevedie na nekonečno čisto periodické desatinný zlomok. Dĺžka obdobia k meno určená z podmienky: 10 kº1(mod27):
3) Zlomok = menovateľ - číslo b= 24 = 2 3 × 3, to znamená, že to vyzerá takto: b = b"× b 1 (okrem "2" alebo "5" obsahuje ďalšie faktory, v tomto prípade číslo 3). Preto sa tento zlomok prevedie na nekonečno zmiešané periodické desatinný zlomok. Dĺžka obdobia k meno určená z podmienky: 10 kº1(mod3), odkiaľ k meno= 1, teda dĺžka obdobia k= 1. Dĺžka pred periódou volám sa určená z podmienky: 10 lº0(mod8), odkiaľ volám sa= 3, teda dĺžka predobdobia l = 3.
Skontrolujte: vydeľte "roh" 5 24 a dostanete: = 0, 208 (3).
odpoveď: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
CVIČENIA PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU
156. Tieto obyčajné zlomky zapísané v desiatkovej sústave sa prevedú na desatinné zlomky. Ak je desatinné miesto periodické, potom predtým nájsť číslo k- dĺžka a počet periódy l- dĺžka predobdobia.
157. Tieto obyčajné zlomky zapísané v desiatkovej sústave sa prevedú na t-árne systematické zlomky. Nájdite čísla k- dĺžka obdobia a l- dĺžka predobdobia.
158*. V akej číselnej sústave je číslo (4 6) 10 zapísané rovnakými číslami, ale v
opačné poradie?
159*. Čo je väčšie: jednotka 8. číslice v dvojkovej sústave alebo jednotka 4. číslice v osmičkovej sústave?
§ 10. PASCALOVA VETA. ZNAKY DELITEĽNOSTI
ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Z TEORIE
10. 1. Pascalova veta (1623 – 1662).
Prirodzené čísla sú dané: t > 1a n, napísané v t-árnom systéme:
,kde a i sú čísla: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Nechaj n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m= 3 a m = 9.
1) Nájdite b i: modulom = 3 modulm = 9
100º1(mod3), t.j. b 0 = 1, 100º1(mod9), t.j. b 0 =1,
10 1º1(mod3), t.j. b 1 = 1, 101º1(mod9), t.j. b 1 =1,
10 2º1(mod3), t.j. b 2 = 1, 102º1(mod9), t.j. b
Kompletný fakturačný systém. Daný systém zrážok. Najbežnejšie odpočtové systémy sú: najmenej pozitívny, najmenej nezáporný, absolútne najmenší atď.
Veta 1. Vlastnosti úplného a redukovaného systému zvyškov.
1. Kritériá pre úplný systém zrážok. Akákoľvek kombinácia m celé čísla, ktoré sú párovo neporovnateľné modulo m, tvorí ucelený systém zvyškov modulo m.
2°. Ak čísla X 1 , X 2 , ..., x m– kompletný systém zvyškov modulo m, (a, m) = 1, b je ľubovoľné celé číslo, potom čísla sekera 1 +b, sekera 2 +b, ..., sekera m+b tiež tvoria úplný systém zvyškov modulo m.
3°. Kritérium systému zníženej redukcie. Akákoľvek kolekcia pozostávajúca z j( m) celé čísla, ktoré sú párovo neporovnateľné modulo m a spolu s modulom, tvorí redukovaný systém zvyškov modulo m.
4°. Ak čísla X 1 , X 2 , ..., X j ( m) je redukovaný systém zvyškov modulo m, (a, m) = 1, potom čísla sekera 1 , sekera 2 , ..., a x j ( m) tiež tvoria redukovaný systém zvyškov modulo m.
Veta 2. Eulerova veta.
Ak čísla a a m coprime teda a j ( m) º 1 (mod m).
Dôsledok.
1°. Fermatova veta. Ak p je prvočíslo a a nedeliteľné p, potom a p–1 º 1 (mod p).
2°. Zovšeobecnená Fermatova veta. Ak p je teda prvočíslo a p º a(mod p) pre akékoľvek aÎ Z .
§ štyri. Riešenie porovnaní s premennou
Rozhodnutie o porovnaní. Ekvivalencia. Stupeň porovnania.
Veta. Vlastnosti riešení kongruencií.
1° Riešenia kongruencií sú celé triedy zvyškov.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= z porovnania º 0 (mod m) a º 0 (mod m) sú rovnocenné.
3°. Ak sa obe časti porovnania vynásobia číslom súčasne s modulom, získa sa porovnanie, ktoré je ekvivalentné pôvodnému.
4°. Akékoľvek porovnávacie modulo je prvotriedne p je ekvivalentné porovnaniu, ktorého stupeň nepresahuje p–1.
5°. Porovnanie º 0 (mod p), kde p je prvočíslo, má nanajvýš n rôzne riešenia.
6°. Wilsonova veta. ( n- jeden)! º –1 (mod n) Û n Prvočíslo.
§ 5. Riešenie prirovnaní prvého stupňa
sekera º b(mod m).
Veta. 1°. Ak ( a, m) = 1, potom porovnanie má riešenie a je jedinečné.
2°. Ak ( a, m) = d a b nedeliteľné d, potom porovnanie nemá riešenia.
3°. Ak ( a, m) = d a b deleno d, potom porovnanie má d rôzne roztoky, ktoré tvoria jednu triedu modulo zvyškov.
Spôsoby riešenia porovnania sekera º b(mod m) kedy ( a, m) = 1:
1) výber (vyčíslenie prvkov úplného systému zrážok);
2) použitie Eulerovej vety;
3) použitie Euklidovho algoritmu;
4) variácia koeficientov (s použitím vlastnosti 2° úplného systému zvyškov z vety 2.2);
§6. Neurčité rovnice prvého stupňa
sekera+podľa = c.
Veta. Rovnica sekera+podľa = c riešiteľné vtedy a len vtedy c (a, b).
Kedy ( a, b) = 1 všetky riešenia rovnice sú dané vzorcami
tÎ Z , kde X 0 je nejaké porovnávacie riešenie
sekera º c(mod b), r 0 = .
Diofantické rovnice.
KAPITOLA 10. Komplexné čísla
Definícia sústavy komplexných čísel. Existencia sústavy komplexných čísel
Definícia sústavy komplexných čísel.
Veta. Systém komplexných čísel existuje.
Model: R 2 s operáciami
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+inzerát),
i= (0, 1) a identifikácia a = (a, 0).
Algebraický tvar komplexného čísla
Znázornenie komplexného čísla vo forme z = a+bi, kde a, bÎ R , i 2 = -1. Jedinečnosť takejto reprezentácie. Re z, Im z.
Pravidlá na vykonávanie aritmetických operácií s komplexnými číslami v algebraickej forme.
Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor C n. Sústavy lineárnych rovníc, matíc a determinantov nad C .
Extrahovanie druhých odmocnín z komplexných čísel v algebraickej forme.
časť úplného systému zvyškov (Pozri. Kompletný systém zvyškov), pozostávajúca z čísel spojených s modulom m. P. s. v. obsahuje φ( m) čísla [φ( m) je počet čísel, s ktorými sa spája m a menšie m]. Akékoľvek φ( m) čísla, ktoré nie sú porovnateľné v module m a spolu s ním tvoria P. s. v. pre tento modul.
- - pozri Znížená hmotnosť...
Fyzická encyklopédia
- - podmienená charakteristika rozloženia hmôt v pohybujúcej sa mechanike. alebo zmiešaný systém, v závislosti od fyzického. parametrov sústavy a zo zákona jej pohybu...
Fyzická encyklopédia
- - modulo m - ľubovoľná množina celých čísel, ktoré sú neporovnateľné modulo jedna. Zvyčajne ako P. s. v. modulo najmenšie nezáporné zvyšky 0, 1, . . ...
Matematická encyklopédia
- - súčet úžitkovej plochy bytového domu, ako aj plôch lodžií, verand, balkónov s príslušnými redukčnými faktormi - uvádza sa celková plocha - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Stavebný slovník
- - Pozri koeficient pórovitosti hornín ...
- - pomer objemu pórov horniny k objemu kostry horniny, zvyčajne vyjadrený v zlomkoch jednotky ...
Slovník hydrogeológie a inžinierskej geológie
- - pozri koeficient pórovitosti...
Výkladový slovník pedológie
- - rovnaké ako základná časť...
- - podmienený charakter rozloženia hmoty v sústave pohybujúcich sa telies, zavedený v mechanike na zjednodušenie pohybových rovníc sústavy...
Veľký encyklopedický polytechnický slovník
- - Daň vyberaná pri zdroji z dividend alebo iných príjmov prijatých nerezidentom krajiny...
Finančná slovná zásoba
- - Daň vyberaná pri zdroji z dividend alebo iných príjmov prijatých nerezidentom krajiny...
Slovník obchodných podmienok
- - modulo m, akákoľvek zbierka celých čísel obsahujúcich jedno číslo z každej triedy čísel modulo m. Ako P. s. v. najčastejšie používaný systém najmenej pozitívnych zvyškov 0, 1, 2,.....
- - podmienená charakteristika rozloženia hmôt v pohybujúcom sa mechanickom alebo zmiešanom systéme v závislosti od fyzikálnych parametrov systému a zákona jeho pohybu ...
Veľká sovietska encyklopédia
- - ZNÍŽENÁ hmotnosť - podmienená charakteristika rozloženia hmôt v pohybujúcom sa mechanickom alebo zmiešanom systéme v závislosti od fyzikálnych parametrov systému a zákona jeho pohybu ...
Veľký encyklopedický slovník
- - všeobecné, všetky, kumulatívne, ...
Slovník synonym
- - adj., počet synoným: 1 čistý ...
Slovník synonym
„Znížený systém zrážok“ v knihách
Aká je súčasná hodnota kľúčových kompetencií?
Z knihy Beztiaže bohatstvo. Určte hodnotu vašej spoločnosti v ekonomike nehmotných aktív autor Thyssen ReneAká je súčasná hodnota kľúčových kompetencií? Na základe vyššie uvedeného môžeme povedať, že súčasná hodnota základnej kompetencie sa vypočíta vynásobením všetkých ukazovateľov za určitý čas, berúc do úvahy náklady na prilákanie
Čistá súčasná hodnota (NPV)
Z knihy MBA za 10 dní. Najdôležitejší program popredných svetových obchodných škôl autora Silbiger ŠtefanČistá súčasná hodnota (NPV) Analýza súčasnej hodnoty (NPV) pomáha vypočítať, koľko musí zamestnanec investovať, aby dostal slušný dôchodok za 30 rokov, ale táto analýza nie je užitočná pri hodnotení súčasných investícií a projektov. Investície sa musia zhodnotiť
ÚČTOVANIE PODROBNOSTÍ A ZRÁŽKY ZO MZDY
Z knihy Účtovníctvo autor Melnikov IľjaUZNÁVANIE ÚDAJOV A ZRÁŽKY ZO MZDY V súlade s legislatívou sa zamestnancom vykonávajú zrážky zo mzdy: - daň z príjmov (daň štátu, predmet zdanenia - mzda);
10.6. Účtovanie zrážok a zrážok zo mzdy
Z knihy Účtovníctvo v poľnohospodárstve autora Byčková Svetlana Michajlovna10.6. Účtovanie zrážok a zrážok zo mzdy Z miezd zamestnancov podniku sa vykonávajú určité zrážky, ktoré sa členia nasledovne: povinné zrážky (daň z príjmu fyzických osôb, zrážky na základe exekučných titulov);
Z knihy Nehmotný majetok: účtovníctvo a daňové účtovníctvo autor Zakharyin V R<...>
4.1. Všeobecné otázky poskytovania sociálnych odvodov
autora Makurová Tatiana4.1. Všeobecné otázky poskytovania sociálnych odvodov Sociálne odvody (§ 219 daňového poriadku), ako aj odpočítanie majetku na kúpu bývania, znamenajú zníženie základu dane o výšku vynaložených sociálnych výdavkov, pričom sa zohľadňuje legislatívy
4.3. Vlastnosti poskytovania zrážok za vzdelanie
Z knihy Samoučivo o daniach z príjmov fyzických osôb autora Makurová Tatiana4.3. Osobitosti priznávania odpočtov na vzdelanie 142) Aké výdavky možno akceptovať ako odpočet na vzdelanie? Aké sú limity odvodov na vzdelanie Pre sociálny odpočet dane na vzdelanie sú akceptované: výdavky vo výške uhradenej daňovníkom v r.
3.4. Vyčíslenie a frekvencia vzniku a uplatňovania daňových odpočtov
Z knihy Daňové zaťaženie podniku: analýza, výpočet, manažment autora Čipurenko Elena Viktorovna3.4. Vyčíslenie a frekvencia vzniku a uplatňovania daňových odpočtov 3.4.1. DPH ako možný odpočet dane Pri výpočte DPH sa sumy odpočítania dane zisťujú len v súlade s údajmi daňových účtovných evidencií - nákupných kníh. O
Kompletný systém zrážok
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (PO) autora TSBZnížená hmotnosť
TSBZnížený systém zrážok
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (PR) autora TSB88. Štrukturálne a redukované formy sústavy simultánnych rovníc. Identifikácia modelu
Z knihy Odpovede na lístky na skúšky z ekonometrie autora Jakovleva Angelina Vitalievna88. Štrukturálne a redukované formy sústavy simultánnych rovníc. Identifikácia modelu Štrukturálne rovnice sú rovnice, ktoré tvoria pôvodný systém simultánnych rovníc. V tomto prípade má systém štrukturálnu formu.Štrukturálna forma
Z knihy Novinka v daňovom poriadku: komentár k zmenám, ktoré vstúpili do platnosti v roku 2008 autora Zrelov Alexander PavlovičČlánok 172. Postup pri uplatňovaní daňových odpočtov
autora autor neznámyČlánok 172
Z knihy Daňový poriadok Ruskej federácie. Prvá a druhá časť. Text s úpravami a doplnkami k 1.10.2009 autora autor neznámyČlánok 201. Postup pri uplatňovaní daňových odpočtov