Аксиоматични методи в математиката. Аксиоматично изграждане на система от естествени числа. Дефиниция на естествено число
![Аксиоматични методи в математиката. Аксиоматично изграждане на система от естествени числа. Дефиниция на естествено число](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Споразумение за използване на материалите на сайта
Моля, използвайте произведенията, публикувани на сайта, само за лични цели. Публикуването на материали в други сайтове е забранено.
Тази работа (и всички други) е достъпна за безплатно изтегляне. Мислено можете да благодарите на неговия автор и персонала на сайта.
Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу
Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.
Подобни документи
Събиране и умножение на p-адични цели числа, дефинирано като почленно събиране и умножение на последователности. Пръстенът от цели p-адични числа, изследване на свойствата на тяхното разделяне. Обяснение на тези числа чрез въвеждане на нови математически обекти.
курсова работа, добавена на 22.06.2015 г
Как хората са се научили да смятат, появата на числата, числата и бройните системи. Таблица за умножение на "пръстите": техника на умножение за числата 9 и 8. Примери за бързо броене. Начини за умножение на двуцифрено число с 11, 111, 1111 и т.н. и трицифрено число с 999.
курсова работа, добавена на 22.10.2011 г
Нов начин за умножение на числа. Приликата на матрицата от числа, образувана по време на изчислението, с триъгълника е относителна, но все пак има, особено при умножаване на трицифрени числа и по-високи. триъгълна матрица.
статия, добавена на 02/06/2005
резюме, добавено на 13.01.2011 г
Характеризиране на историята на изследването на значението на простите числа в математиката чрез описание на начина, по който се намират. Приносът на Пиетро Каталди в развитието на теорията на простите числа. Методът на Ератостен за съставяне на таблици на простите числа. Удобство на естествените числа.
тест, добавен на 24.12.2010 г
Множеството от неотрицателни реални числа като интерпретирано подмножество на R. Делимост в мултипликативни полугрупи. Структура на числови НОД и НОК на полугрупи. Изследване на мултипликативни полугрупи на неотрицателни реални числа с 0 и 1.
дисертация, добавена на 27.05.2008 г
Свойства на реалните числа, тяхната роля в развитието на математиката. Анализ на конструкцията на множеството от реални числа в исторически аспект. Подходи за изграждане на теорията на реалните числа според Кантор, Вайерщрас, Дедекинд. Тяхното изучаване в училищния курс.
презентация, добавена на 10/09/2011
Първични елементи на математиката. Свойства на естествените числа. Концепцията на теорията на числата. Общи свойства на сравненията и алгебричните уравнения. Аритметични операции със сравнения. Основни закони на аритметиката. Проверка на резултатите от аритметичните действия.
курсова работа, добавена на 15.05.2015 г
Полисемия
Полисемията или многозначността на думите възниква от факта, че езикът е система, която е ограничена в сравнение с безкрайното разнообразие от реалност, така че, по думите на академик Виноградов, „Езикът е принуден да разпределя безброй набор от значения под едно или друго заглавие на основни понятия." (Виноградов "Руски език" 1947). Необходимо е да се прави разлика между различното използване на думи в един лексико-семантичен вариант и действителната разлика на думата. Така например думата (das)Ol може да обозначава редица различни масла, с изключение на кравето (за което има дума Масло). От това обаче не следва, че, обозначавайки различни масла, думата Ol всеки път ще има различно значение: във всички случаи нейното значение ще бъде едно и също, а именно масло (всичко освен краве). Както и, например, значението на думата Tisch таблица, независимо каква маса обозначава думата в конкретния случай. Ситуацията е различна, когато думата Ol означава масло. Тук на преден план вече не е сходството на маслото по линията на смазване с различни видове масло, а специалното качество на маслото - горимостта. И в същото време думите, обозначаващи различни видове гориво, вече ще корелират с думата Ol: Kohl, Holz и др. Това ни дава възможност да разграничим две значения от думата Ol (или, с други думи, два лексико-семантични варианта): 1) масло (не животно) 2) масло.
Обикновено новите значения възникват чрез прехвърляне на една от съществуващите думи към нов предмет или явление. Така се формират трансферните стойности. Те се основават или на сходството на обектите, или на връзката на един обект с друг. Известни са няколко вида прехвърляне на имена. Най-важният от тях е метафората или метонимията.
В метафората преносът се основава на сходството на нещата по цвят, форма, движение и т.н. С всички метафорични промени, някои признаци на оригиналната концепция остават
омонимия
Полисемията на една дума е толкова голям и многостранен проблем, че най-разнообразните проблеми на лексикологията по някакъв начин са свързани с него. По-специално, проблемът за омонимията също влиза в контакт с този проблем в някои от неговите аспекти.
Омонимите са думи, които звучат еднакво, но имат различно значение. Омонимите в някои случаи възникват от тяхната полисемия, която е претърпяла процес на унищожаване. Но омонимите могат да възникнат и в резултат на случайни звукови съвпадения. Ключът, който отваря вратата, и ключът - пружина или коса - прическа и коса - земеделски инструмент - тези думи имат различно значение и различен произход, но случайно съвпадат в звученето си.
Омонимите разграничават лексикални (отнасят се за една част от речта, например ключът - за отваряне на ключалката и ключът - пружина. източник) морфологични (отнасят се до различни части от речта, например три - числително, три - глагол в повелително наклонение), лексико-граматически, които се създават в резултат на преобразуване, когато дадената дума преминава в друга част на речта. например на англ. гледай-гледай и гледай-гледай. В английския език има особено много лексикални и граматически омоними.
Омофоните и омографите трябва да се разграничават от омонимите. Омофони се наричат различни думи, които, различавайки се по правописа си, съвпадат в произношението, например: лък - ливада, Seite - страница и Saite - низ.
Омографите са толкова различни думи, които съвпадат в правописа, въпреки че се произнасят по различен начин (както по отношение на звуковия състав, така и по мястото на ударението в думата), например Castle - замък.
Синонимия
Синонимите са подобни по значение, но различно звучащи думи, които изразяват нюанси на едно и също понятие.
Има три вида синоними:
1. Концептуален или идеографски. Те се различават един от друг по лексикално значение. Тази разлика се проявява в различна степен на обозначения знак (мраз - студен, силен, мощен, могъщ), в естеството на неговото обозначение (ватирано яке - ватирано яке - ватирано яке), в обема на изразената концепция (банер - флаг, нахален - смел), в степента на свързаност на лексикалните стойности (кафяво - кафяво, черно - черно).
2. Синонимите са стилистични или функционални. Те се различават един от друг в сферата на употреба, например очи - очи, лице - лице, чело - чело. Синоними емоционално - оценъчни. Тези синоними открито изразяват отношението на говорещия към обозначеното лице, предмет или явление. Например, едно дете може да се нарече тържествено дете, галено момче и малко момче, презрително момче и смукало, а също и подчертано - презрително кученце, смукало, смотаняк.
3. Антоними - комбинации от противоположни по лексикално значение думи, например: горе - долу, бяло - черно, говори - мълчи, силно - тихо.
Антонимия
Има три вида антоними:
1. Антоними на постепенни и координирани противоположности, например бяло - черно, тихо - силно, близко - далечно, добро - зло и т.н. Тези антоними имат общо значение, което позволява тяхното противопоставяне. Така че понятията черно и бяло обозначават противоположни цветови понятия.
2. Антоними на допълнителни и преобразуващи противоположности: война - мир, съпруг - съпруга, женен - неженен, може - не може, затвори - отворен.
3. Антоними на дихотомичното деление на понятията. Често са еднокоренни думи: народни - антинародни, легални - незаконни, хуманни - нечовешки.
Интерес представлява и т.нар. вътресловна антонимия, когато се противопоставят значенията на думи, които имат една и съща материална обвивка. Например на руски глаголът дать пари назаем на когото означава "давам на заем", а да вземеш пари назаем от някого вече означава да вземеш пари назаем от някого. Вътрешнословното противопоставяне на значения се нарича енантиосемия.
6. Аксиоматично изграждане на система от естествени числа. Аксиоматичен метод за изграждане на математическа теория. Изисквания към системата от аксиоми: последователност, независимост, пълнота. Аксиоматика на Пеано. Понятието естествено число от аксиоматични позиции. Модели на системата от аксиоми на Пеано. Събиране и умножение на естествени числа от аксиоматични позиции. Подреждане на множеството от естествени числа. Свойства на множеството от естествени числа. Изваждане и деление на множеството от естествени числа от аксиоматични позиции. Метод на математическата индукция. Въвеждане на нулата и изграждане на множеството от цели неотрицателни числа. Теорема за деление с остатък.
Основни понятия и определения
номер -то е израз на определено количество.
Естествено числоелемент от неопределено продължаваща последователност.
Естествени числа (естествени числа) -числа, които възникват естествено при броенето (както в смисъла на изброяването, така и в смисъла на смятането).
Има два подхода към дефиницията на естествените числа - числата, използвани в:
изброяване (номериране) на елементи (първи, втори, трети, ...);
обозначаване на броя на артикулите (без артикули, един артикул, два артикула, ...).
аксиома -това са основните изходни точки (самоочевидни принципи) на определена теория, от които чрез дедукция, тоест с чисто логически средства, се извлича цялото останало съдържание на тази теория.
Число, което има само два делителя (самото число и единица), се нарича - просто число.
Съставно числое число, което има повече от два делителя.
§2. Аксиоматика на естествено число
Естествените числа се получават чрез преброяване на предмети и чрез измерване на количества. Но ако по време на измерването се появят числа, различни от естествените, тогава изчислението води само до естествени числа. За да продължите да броите, имате нужда от поредица от числа, която започва с единица и която ви позволява да преминавате от едно число към друго и толкова пъти, колкото е необходимо. С други думи, имаме нужда от сегмент от естествения ред. Следователно при решаването на проблема за обосноваване на системата от естествени числа, на първо място беше необходимо да се отговори на въпроса какво е числото като елемент от естествената серия. Отговорът на това е даден в трудовете на двама математици - Немски Грасман и италиански Пеано.Те предложиха аксиома, в която естественото число беше оправдано като елемент от неопределено продължаваща редица.
Аксиоматичното изграждане на система от естествени числа се извършва съгласно формулираните правила.
Петте аксиоми могат да се разглеждат като аксиоматична дефиниция на основните понятия:
1 е естествено число;
Следващото естествено число е естествено число;
1 не следва нито едно естествено число;
Ако естествено число аследва естественото число bи за естествено число с, тогава bи сидентичен;
Ако някое предложение е доказано за 1 и ако от предположението, че е вярно за естествено число н, следва, че е вярно за следното нестествено число, то това предложение е вярно за всички естествени числа.
Мерна единицае първото число от естествената редица , както и една от цифрите в десетичната бройна система.
Смята се, че обозначението на единица от всяка категория със същия знак (доста близо до съвременния) се появява за първи път в Древен Вавилон приблизително 2 хиляди години пр.н.е. д.
Древните гърци, които са считали за числа само естествените числа, са разглеждали всяко от тях като сбор от единици. На самата единица е отделено специално място: тя не се е считала за число.
И. Нютон пише: „... под число имаме предвид не толкова набор от единици, а абстрактно съотношение на едно количество към друго количество, условно прието от нас като единица.“ Така единицата вече е заела достойното си място сред другите номера.
Аритметичните операции с числа имат различни свойства. Те могат да бъдат описани с думи, например: "Сумата не се променя от промяна на местата на термините." Може да се напише с букви: a+b = b+a. Може да се изрази със специфични термини.
Ние прилагаме основните закони на аритметиката често по навик, без да го осъзнаваме:
1) комутативен закон (комутативност), - свойство на събиране и умножение на числа, изразено чрез идентичности:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) асоциативен закон (асоциативност), - свойство на добавяне и умножение на числа, изразено чрез идентичности:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) закон за разпределение (дистрибутивност), - свойство, което свързва добавянето и умножението на числата и се изразява чрез идентичности:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
След доказване на комутативните, асоциативните и разпределителните (по отношение на събирането) закони на действието на умножението, по-нататъшното изграждане на теорията на аритметичните операции с естествени числа не представлява фундаментални затруднения.
В момента, наум или на лист хартия, ние правим само най-простите изчисления, все по-често поверявайки по-сложната изчислителна работа на калкулатори, компютри. Работата на всички компютри – прости и сложни – обаче се основава на най-простата операция – събиране на естествени числа. Оказва се, че най-сложните изчисления могат да бъдат сведени до добавяне, само тази операция трябва да се извърши много милиони пъти.
Аксиоматични методи в математиката
Една от основните причини за развитието на математическата логика е широкото разпространение аксиоматичен методв изграждането на различни математически теории, на първо място, геометрия, а след това аритметика, теория на групите и др. Аксиоматичен методможе да се определи като теория, която е изградена върху предварително избрана система от недефинирани понятия и връзки между тях.
При аксиоматичното изграждане на математическа теория предварително се избира определена система от недефинирани понятия и връзки между тях. Тези понятия и отношения се наричат основни. Следват въведени аксиомитези. основните положения на разглежданата теория, приети без доказателство. Цялото по-нататъшно съдържание на теорията се извежда логически от аксиомите. За първи път аксиоматичното изграждане на математическа теория е предприето от Евклид при изграждането на геометрията.
В аксиоматичната конструкция на всяка математическа теория, определено регламенти:
някои понятия на теорията са избрани за основни и се приемат без определение;
на всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните, се дава дефиниция;
формулират се аксиоми - изречения, които се приемат в тази теория без доказателство; разкриват свойствата на основните понятия;
· всяко изречение от теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; такива твърдения се наричат теореми и се доказват въз основа на аксиоми и тереми.
В аксиоматичното изграждане на теория всички твърдения се извличат от аксиомите чрез доказателство.
Следователно системата от аксиоми е обект на специални изисквания:
Съгласуваност (система от аксиоми се нарича последователна, ако е невъзможно логически да се изведат две взаимно изключващи се изречения от нея);
независимост (система от аксиоми се нарича независима, ако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми).
Множество с дадено в него отношение се нарича модел на дадена система от аксиоми, ако в него са изпълнени всички аксиоми на тази система.
Има много начини да се конструира система от аксиоми за множеството от естествени числа. Като основна концепция може да се вземе например сумата от числа или връзката на реда. Във всеки случай е необходимо да се посочи система от аксиоми, които описват свойствата на основните понятия.
Нека дадем система от аксиоми, възприемайки основната концепция за операцията събиране.
Непразно множество нсе нарича множество от естествени числа, ако операцията (а; б) → а + б, наречено събиране и притежаващо свойствата:
1. събирането е комутативно, т.е. a + b = b + a.
2. добавянето е асоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).
4. във всеки комплект НО, което е подмножество на множеството н, където НОима такъв брой, че всички ха, са равни a+b, където bN.
Аксиоми 1 - 4 са достатъчни, за да се изгради цялата аритметика на естествените числа. Но с такава конструкция вече не е възможно да се разчита на свойствата на крайните множества, които не са отразени в тези аксиоми.
Нека приемем като основна концепция релацията „директно следване...“, дефинирана върху непразно множество н. Тогава естествената поредица от числа ще бъде множеството N, в което е дефинирана връзката "пряко следване", а всички елементи на N ще се наричат естествени числа и важи следното: Аксиомите на Пеано:
АКСИОМА 1.
в множествонима елемент, който не следва непосредствено никой елемент от това множество. Ще го наречем единица и ще го обозначим със символа 1.
АКСИОМА 2.
За всеки елемент a отнима един елемент a непосредствено след a.
АКСИОМА 3.
За всеки елемент a отнима най-много един елемент, последван непосредствено от a.
AXOIM 4.
Всяко подмножество M от множествотонсъвпада сн, ако има свойствата: 1) 1 се съдържа в M; 2) от факта, че a се съдържа в M, следва, че a също се съдържа в M.
Много Н,за елементите, от които е установена връзката "непосредствено следват ...", удовлетворяващи аксиоми 1 - 4, се нарича набор от естествени числа , а неговите елементи са естествени числа.
Ако като комплект низберете някакъв специфичен набор, върху който е дадена конкретна релация "директно следване ...", удовлетворяваща аксиоми 1 - 4, тогава получаваме различни интерпретации (модели) дадено аксиомни системи.
Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Всяко изброимо множество може да бъде модел на аксиомите на Пеано.
Например I, II, III, III, ...
о, о, о, о, о...
едно две три четири, …
Да разгледаме последователност от множества, в която множеството (oo) е началният елемент, а всяко следващо множество се получава от предишното чрез присвояване на още една окръжност (фиг. 15).
Тогава не множество, състоящо се от множества от описания вид, и е модел на системата от аксиоми на Пеано.
Наистина в много нима елемент (oo), който не следва непосредствено никой елемент от даденото множество, т.е. важи аксиома 1. За всяко множество НОот разглеждания набор има уникален набор, който се получава от НОкато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 2. За всяко множество НОима най-много едно множество, от което е образувано множеството НОкато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 3. Ако Мни е известно, че комплектът НОсъдържащи се в М,следва, че множеството, в което има една окръжност повече от в множеството НО, също се съдържа в М, тогава М =н, което означава, че аксиома 4 е изпълнена.
В дефиницията на естествено число не може да бъде пропусната нито една от аксиомите.
Нека установим кои от множествата, показани на фиг. 16 са модел на аксиомите на Пеано.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Решение.Фигура 16 а) показва набор, в който са изпълнени аксиоми 2 и 3. Наистина, за всеки елемент има уникален елемент, който го следва непосредствено, и има уникален елемент, който следва. Но аксиома 1 не е валидна в това множество (аксиома 4 няма смисъл, защото няма елемент в множеството, който да не следва непосредствено друг). Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.
Фигура 16 b) показва набора, в който аксиоми 1, 3 и 4 са изпълнени, но зад елемента аведнага следват два елемента, а не един, както се изисква в аксиома 2. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.
На фиг. 16 c) показва набор, в който аксиоми 1, 2, 4 са изпълнени, но елементът снепосредствено следва два елемента. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.
На фиг. 16 d) показва набор, който удовлетворява аксиоми 2, 3 и ако вземем числото 5 като начален елемент, тогава този набор ще удовлетворява аксиоми 1 и 4. Тоест, в този набор за всеки елемент веднага има един след него и има един единствен елемент, който следва. Има и елемент, който не следва веднага нито един елемент от този набор, това е 5 , тези. В сила е аксиома 1. Съответно е в сила и аксиома 4. Следователно този набор е модел на аксиомите на Пеано.
Използвайки аксиомите на Пеано, можем да докажем редица твърдения.Например доказваме, че за всички естествени числа неравенството x x.
Доказателство.Означаваме с НОнабор от естествени числа, за които а а.Номер 1 принадлежи НО, тъй като не следва никакво число от н, и следователно не следва от само себе си: 1 1. Позволявам аа,тогава а а.Обозначете апрез b. По силата на аксиома 3, аб,тези. bbи bA.
При аксиоматичното изграждане на всяка теория се спазват определени правила:
някои концепции на теорията са избрани като основен,и се приемат без определение и се наричат недефинирани.
формулират се аксиоми - изречения, които се приемат в тази теория без доказателство; разкриват свойствата на основните понятия;
дадено е всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните определение, обяснява значението си с помощта на основни и предходни понятия;
всяко изречение от теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; такива предложения се наричат теореми и ги доказват въз основа на аксиомите и теоремите, предхождащи разглежданото.
В аксиоматичното изграждане на теория по същество всички твърдения се извеждат чрез доказателство от аксиомите. Следователно към системата от аксиоми се налагат специални изисквания. На първо място, тя трябва да бъде последователна и независима.
Системата от аксиоми се нарича последователенако от него логически не могат да се изведат две взаимно изключващи се изречения.
Съгласувана система от аксиоми се нарича независимаако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми на тази система.
Аксиомите, като правило, са отражение на вековната практическа дейност на хората и това определя тяхната валидност.
Като основно понятие в аксиоматичното изграждане на аритметиката на естествените числа се приема релацията "пряко следване", дадена върху непразно множество Н.Известни са също понятията за множество, елемент от множество и други теории на множествата, както и правилата на логиката.
Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам а".Същността на връзката "директно следване" се разкрива в следните аксиоми, предложени от италианския математик Дж. Пеано през 1891 г.
Аксиома 1.в множество нима елемент, който не следва непосредствено никой елемент от това множество. Нарича се единица и се обозначава със символа 1.
Аксиома 2.За всеки елемент аот нима само един елемент а",непосредствено след това а.
Аксиома 3.За всеки елемент a от нима най-много един елемент непосредствено последван от а.
Аксиома 4. (Аксиома на индукцията).Всяко подмножество Мкомплекти нсъвпада с N, ако има следните свойства: 1) 1 се съдържа в М; 2) от факта, че всеки елемент асъдържащи се в М,следва, че и а"съдържащи се в М.
Формулираните аксиоми често се наричат аксиоми на Пеано, а четвъртата аксиома се нарича аксиома на индукцията.
Нека напишем тези аксиоми в символна форма.
НО 1 )( 1 Н)( а Н)а" 1;
НО 2 )( а Н)( !б Н)а"=б
НО 3 ) ( а,b,С н)с = a" с = b" а= b;
A4) М н 1 М (а М а" М) M=N
Използвайки връзката "непосредствено следване" и аксиомите 1-4 на Пеано, може да се даде следната дефиниция на естествено число.
Определение 1. Множеството N., за чиито елементи е установена връзката "непосредствено следване", което удовлетворява аксиоми 1-4, се нарича множество от естествени числа, а неговите елементи естествени числа.
___________________________________________________________________
Определение 2 . Ако естествено числоbнепосредствено следва числото a, тогава числото a се нарича непосредствено предхождащо (предхождащо) числотоb.
______________________________________________________________________________________________
Теорема 1. Единицата няма предходно естествено число (истинността на теоремата следва непосредствено от аксиомата НО 1 ).
Теорема 2.Всяко естествено число а,различен от един има предходно число b , така че b " = а.
Определението за естествено число не казва нищо за природата на елементите на множеството Н.Така че тя може да бъде всичко. Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Всеки номер от тази серия има свое собствено обозначение и име, което ще считаме за известно.
Важно е да се отбележи, че в дефиницията на естествено число нито една от аксиомите не може да бъде пропусната.
1 а b ° С д
…
b
Ориз. 16 Ориз. 17
Задача 1.
На фигурите всеки елемент е свързан със стрелка с елемента след него.
Определете кои от множествата, показани на фигури 15 и 16, са модели на системата от аксиоми на Пеано.
1. На фиг. 16 показва набор, в който аксиоми 2 и 3 са валидни, но аксиома 1 не е валидна.
Аксиома 4 няма да има смисъл, тъй като няма елемент в множеството, който да не следва непосредствено друг.
2. На фиг. 17 е показано множеството, в което аксиоми 1, 2, 3 са изпълнени, но аксиома 4 не е изпълнена - множеството от точки, лежащи на лъча, съдържа 1 и заедно с всяко число съдържа числото, непосредствено след него, но не съвпадат с всички зададени точки, показани на фигурата. Заключение: нито един от наборите, изобразени на фиг. 16 и 17 не могат да се считат за модели на системата от аксиоми на Пеано.
Задача 2.
Нека докажем, че всяко естествено число е различно от непосредствено следващото естествено число, т.е. ( х )Х Х"
Доказателство
Използваме аксиомата на индукцията - НО 4 .
Позволявам М=(x/x , Х Х"}, защото . х М Н.
Доказателството се състои от две части.
Нека докажем това 1 М,тези. 1 1" . Това следва от НО 1 .
Нека докажем това х М=> Х" М.Позволявам х Мтези. х Х".Нека докажем това Х" М, т.е. Х" (Х")". Иаксиоми НО 3 Трябва Х" (Х")". Наистина, от НО 3 , ако x" = (x")", тогава x = x", и тъй като чрез индукционно предложение x М,след това x Х",следователно стигаме до противоречие. означава, Х" (Х")" , Х" М.
Тук се прилага правилото за противопоставяне (PC), което се използва широко при доказване „чрез противно“.
Така че имаме:
М н (1 М (x M => x " M)) М = N, т.е. твърдение x x" е вярно за всяко естествено число.
Тестови въпроси
Каква е същността на аксиоматичното изграждане на теорията?
Какви са основните понятия на училищния курс по планиметрия. Запомнете системата от аксиоми на този курс. Какви свойства на понятията са описани в тях?
Формулирайте и запишете в символна форма аксиомите на Пеано. "
Формулирайте аксиоматично определение на естествено число.
Продължете определението за естествено число: „Естественото число е елемент от множество н,... » .
Дайте примери от учебниците по математика в началното училище, в които:
а) ново (за ученици) число действа като продължение на получения сегмент от естествената серия;
б) се установява, че всяко естествено число е непосредствено последвано от само едно друго естествено число.
Упражнения
285. Елементите на едно множество са групи от чертички (I, II, III, IIII,...). Това множество удовлетворява ли аксиомите на Пеано? Както е дефинирано тук, отношението "незабавно следване". Разгледайте същите въпроси за множеството (0, 00, 000, 0000,...).
Ориз. 17
286. На фигура 17 а) всеки елемент е свързан със стрелка с елемента след него. Може ли наборът да се счита за модел на системата от аксиоми на Пеано? Същите въпроси за комплектите на фигури 17 b), c), d).
287. Дали наборът от числа (1, 2, 3 П, ...),ако следната връзка е дефинирана в него по следния начин:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Дайте примери за задачи от учебниците по математика за начален клас, в които коректността на задачите се обяснява с аксиомите на Пеано.
Аксиоматичен метод в математиката.
Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените редове. Дефиниция на естествено число.
Събиране на естествени числа.
Умножение на естествени числа.
Свойства на множеството от естествени числа
Изваждане и деление на естествени числа.
Аксиоматичен метод в математиката
В аксиоматичната конструкция на всяка математическа теория, определени правила:
1. Някои концепции на теорията са избрани като майори се приема без определение.
2. Формулиран аксиоми, които в тази теория се приемат без доказателство, те разкриват свойствата на основните понятия.
3. Дадено е всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните определение, той обяснява значението си с помощта на основното и предхождащото това понятие.
4. Всяко изречение от теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано. Такива предложения се наричат теоремии ги докажете въз основа на аксиомите и теоремите, предхождащи разглежданата.
Системата от аксиоми трябва да бъде:
а) последователен:трябва да сме сигурни, че правейки всякакви изводи от дадена система от аксиоми, никога няма да стигнем до противоречие;
б) независими: нито една аксиома не трябва да бъде следствие от други аксиоми на тази система.
в) пълен, ако в неговата рамка винаги е възможно да се докаже или даденото твърдение, или неговото отрицание.
Представянето на геометрията от Евклид в неговите "Елементи" (3 век пр. н. е.) може да се счита за първия опит на аксиоматичното изграждане на теория. Значителен принос за развитието на аксиоматичния метод за конструиране на геометрия и алгебра направи Н.И. Лобачевски и Е. Галоа. В края на 19в Италианският математик Пеано разработи система от аксиоми за аритметика.
Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените числа. Дефиниция на естествено число.
Като основно (недефинирано) понятие в определен набор н е избрано поведение , както и концепции от теорията на множествата, както и правилата на логиката.
Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам а".
Връзката "незабавно следване" отговаря на следните аксиоми:
Аксиомите на Пеано:
Аксиома 1. в множество н има елемент, директно не следващияза всеки елемент от това множество. Да му се обадим мерна единицаи символизират 1 .
Аксиома 2. За всеки елемент а от н има само един елемент а" непосредствено след това а .
Аксиома 3. За всеки елемент а от нима най-много един елемент непосредствено последван от а .
Аксиома 4.Всяко подмножество М комплекти н съвпада с н , ако има свойствата: 1) 1 съдържащи се в М ; 2) от какво а съдържащи се в М , следва, че и а" съдържащи се в М.
Определение 1. Много н , за чиито елементи се установява връзката "директно следвайте» който отговаря на аксиоми 1-4 се нарича набор от естествени числа, а неговите елементи са естествени числа.
Това определение не казва нищо за естеството на елементите на множеството н . Така че тя може да бъде всичко. Избор като комплект н някакъв конкретен набор, на който е дадена конкретна релация "пряко следване", която удовлетворява аксиоми 1-4, получаваме модел на тази система аксиоми.
Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1,2,3,4, ... Естествената поредица започва с числото 1 (аксиома 1); всяко естествено число е непосредствено последвано от едно естествено число (аксиома 2); всяко естествено число следва непосредствено най-много едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки към естествените числа непосредствено едно след друго, получаваме целия набор от тези числа (аксиома 4).
И така, започнахме аксиоматичното изграждане на система от естествени числа с избора на главния връзка "директно следване".и аксиоми, които описват неговите свойства. По-нататъшното изграждане на теорията включва разглеждане на известните свойства на естествените числа и операциите върху тях. Те трябва да бъдат разкрити в дефиниции и теореми, т.е. извлечени по чисто логически начин от релацията "непосредствено следват", и аксиоми 1-4.
Първото понятие, което въвеждаме след определението за естествено число е поведение "непосредствено предшества" , което често се използва при разглеждане на свойствата на естествените серии.
Определение 2.Ако естествено число b директно следваестествено число а, това число а Наречен непосредствено предхождащ(или предишен) номер b .
Отношението "преди" има в близост до имоти.
Теорема 1. Едно няма предходно естествено число.
Теорема 2. Всяко естествено число а, различно от 1, има едно предходно число б,такова, че б"= а.
Аксиоматичното изграждане на теорията на естествените числа не се разглежда нито в началното, нито в средното училище. Въпреки това, тези свойства на връзката "пряко следване", които са отразени в аксиомите на Пеано, са предмет на изучаване в началния курс по математика. Още в първи клас, когато се разглеждат числата от първите десет, се оказва как може да се получи всяко число. Използват се термините „следва“ и „преди“. Всяко ново число действа като продължение на изучавания сегмент от естествената редица от числа. Учениците се убеждават, че след всяко число следва следващо, при това само едно, че естествената редица от числа е безкрайна.
Събиране на естествени числа
Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, определението за събиране на естествени числа трябва да бъде въведено, като се използва само връзката "директно следване", и концепции "естествено число"и "предишен номер".
Нека предхождаме определението за добавяне със следните съображения. Ако за всяко естествено число адобавяме 1, получаваме числото а",непосредствено след това а, т.е. а+ 1= а"и оттам получаваме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Но как да добавя към числото аестествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако е известно, че 2 + 3 = 5, тогава сумата 2 + 4 = 6, която следва непосредствено числото 5. Това се случва, защото в сумата 2 + 4 вторият член е числото непосредствено след числото 3. Така че 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Като цяло имаме , .
Тези факти са в основата на определението за събиране на естествени числа в аксиоматичната теория.
Определение 3. Събиране на естествени числае алгебрична операция, която има следните свойства:
Номер a + b Наречен сбор от числа аи b , и самите числа аи b - условия.