Кои от двойките прави в равнината са успоредни. Успоредни прави в равнината и в пространството. Защита на личната информация
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
В равнината правите се наричат успоредни, ако нямат общи точки, тоест не се пресичат. За да посочите паралелизъм, използвайте специална икона || (успоредни прави a || b).
За правите, лежащи в пространството, изискването да няма общи точки не е достатъчно - за да са успоредни в пространството, те трябва да принадлежат на една и съща равнина (в противен случай ще бъдат коси).
Не е нужно да ходите далеч за примери за успоредни линии, те ни придружават навсякъде, в стаята това са линиите на пресичане на стената с тавана и пода, на листа на тетрадката има противоположни ръбове и т.н.
Съвсем очевидно е, че имайки две успоредни прави и трета права, успоредна на една от първите две, тя ще бъде успоредна на втората.
Успоредните прави в равнината са свързани с твърдение, което не може да бъде доказано с помощта на аксиомите на планиметрията. Приема се като факт, като аксиома: за всяка точка от равнина, която не лежи на права линия, има една права, която минава през нея, успоредна на дадената. Всеки шестокласник знае тази аксиома.
Неговото пространствено обобщение, т.е. твърдението, че за всяка точка от пространството, която не лежи на права, има единствена права, която минава през нея, успоредна на дадената, се доказва лесно с помощта на вече известната аксиома за паралелизъм в самолет.
Свойства на успоредните прави
- Ако някоя от две успоредни прави е успоредна на третата, то те са взаимно успоредни.
Успоредните прави имат това свойство както в равнината, така и в пространството.
Като пример, помислете за неговата обосновка в стереометрията.
Нека правите b са успоредни на правата a.
Случаят, когато всички линии лежат в една равнина, ще бъде оставен на планиметрията.
Да предположим, че a и b принадлежат на равнината бета, а гама е равнината, на която принадлежат a и c (по дефиницията на паралелизъм в пространството, правите трябва да принадлежат на една и съща равнина).
Ако приемем, че равнините бета и гама са различни и маркираме определена точка В на правата b от равнината на бета, тогава равнината, прекарана през точка В и правата c, трябва да пресича равнината на бета по права линия (означаваме то b1).
Ако получената права b1 пресича гама равнината, тогава, от една страна, пресечната точка ще трябва да лежи на a, тъй като b1 принадлежи на равнината на бета, а от друга страна, тя също трябва да принадлежи на c, тъй като b1 принадлежи към третия план.
Но успоредните прави a и c не трябва да се пресичат.
По този начин правата b1 трябва да принадлежи на равнината на бета и в същото време да няма общи точки с a, следователно, според аксиомата на паралелизма, тя съвпада с b.
Получихме права b1, съвпадаща с правата b, която принадлежи на една равнина с правата c и не я пресича, тоест b и c са успоредни
- През точка, която не лежи на дадена права, успоредна на дадената права, може да премине само една единствена права.
- Две прави, лежащи в равнина, перпендикулярна на третата, са успоредни.
- Ако една от двете успоредни прави пресича равнината, втората права пресича същата равнина.
- Съответстващите и кръстосани вътрешни ъгли, образувани от пресичането на успоредни две линии на третата, са равни, сумата от вътрешните едностранни, образувани в този случай, е 180 °.
Верни са и обратните твърдения, които могат да се приемат за признаци на успоредност на две прави.
Състояние на успоредни прави
Свойствата и признаците, формулирани по-горе, са условията за паралелност на линиите и могат да бъдат доказани с методите на геометрията. С други думи, за да се докаже успоредността на две налични прави, е достатъчно да се докаже тяхната успоредност спрямо третата права или равенството на ъглите, дали те съответстват или лежат напречно и т.н.
За доказателството те използват главно метода "от противно", тоест с допускането, че правите не са успоредни. Въз основа на това предположение може лесно да се покаже, че в този случай дадените условия са нарушени, например напречно разположените вътрешни ъгли се оказват неравни, което доказва неправилността на направеното предположение.
Признаци за успоредност на две прави
Теорема 1. Ако в пресечната точка на две прави на секанс:
диагонално разположените ъгли са равни, или
съответните ъгли са равни, или
сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава
линиите са успоредни(Фиг. 1).
Доказателство. Ние се ограничаваме до доказателство за случай 1.
Да предположим, че при пресичането на правите a и b със секуща AB напречно лежащите ъгли са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.
Да приемем, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълника ABM. Нека за определеност ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 е вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.
Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).
Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на разсъждението се прави предположение, което е противоположно (противоположно) на това, което се изисква да се докаже. Нарича се свеждане до абсурд поради факта, че, спорейки въз основа на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (абсурд). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.
Задача 1.Да се построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.
Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).
След това начертаваме права b през точката M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.
От разглеждания проблем следва важен извод:
През точка, която не е на дадена права, винаги може да се начертае права, успоредна на дадената права..
Основното свойство на успоредните прави е следното.
Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не е на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права.
Разгледайте някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.
1) Ако права пресича едната от двете успоредни прави, то тя пресича другата (фиг. 4).
2) Ако две различни прави са успоредни на третата права, то те са успоредни (фиг. 5).
Следващата теорема също е вярна.
Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат със секанс, тогава:
ъглите на лежане са равни;
съответните ъгли са равни;
сборът от едностранните ъгли е 180°.
Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.(виж фиг.2).
Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на Теорема 1. Заключението на Теорема 1 е условието на Теорема 2. А условието на Теорема 1 е заключението на Теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярна, тогава обратната теорема може да е невярна.
Нека обясним това с примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била следната: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Два равни ъгъла изобщо не трябва да са вертикални.
Пример 1Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.
Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.
В тази статия ще говорим за успоредни линии, ще дадем дефиниции, ще посочим знаците и условията на паралелизма. За яснота на теоретичния материал ще използваме илюстрации и решение на типични примери.
Определение 1Успоредни прави в равнинатаса две прави в равнината, които нямат общи точки.
Определение 2
Успоредни прави в 3D пространство- две прави линии в тримерното пространство, които лежат в една равнина и нямат общи точки.
Трябва да се отбележи, че за да се определят успоредни прави в пространството, уточнението „лежат в една и съща равнина“ е изключително важно: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, но пресичащи се.
За обозначаване на успоредни прави е обичайно да се използва символът ∥. Тоест, ако дадените прави a и b са успоредни, това условие трябва да се запише накратко по следния начин: a ‖ b . Устно успоредността на правите се обозначава по следния начин: правите a и b са успоредни, или правата a е успоредна на правата b, или правата b е успоредна на правата a.
Нека формулираме твърдение, което играе важна роля в разглежданата тема.
Аксиома
През точка, която не принадлежи на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права. Това твърдение не може да се докаже въз основа на известните аксиоми на планиметрията.
В случая, когато става въпрос за пространство, теоремата е вярна:
Теорема 1
През всяка точка от пространството, която не принадлежи на дадена права, ще има само една права, успоредна на дадената.
Тази теорема е лесна за доказване въз основа на горната аксиома (програма по геометрия за 10-11 клас).
Знакът за успоредност е достатъчно условие, при което успоредните прави са гарантирани. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да потвърди факта на паралелизма.
По-специално, съществуват необходими и достатъчни условия за паралелност на прави в равнината и в пространството. Нека обясним: необходимо означава условието, чието изпълнение е необходимо за успоредни прави; ако не е изпълнено, линиите не са успоредни.
Обобщавайки, необходимо и достатъчно условие за успоредност на правите е такова условие, чието спазване е необходимо и достатъчно, за да бъдат правите успоредни една на друга. От една страна, това е знак за успоредност, от друга страна, свойство, присъщо на успоредните линии.
Преди да дадем точна формулировка на необходимите и достатъчни условия, припомняме още няколко допълнителни понятия.
Определение 3
секуща линияе права, която пресича всяка от двете дадени несъвпадащи прави.
Пресичайки две прави линии, секущата образува осем неразгънати ъгъла. За да формулираме необходимото и достатъчно условие, ще използваме такива видове ъгли като кръстосани, съответстващи и едностранни. Нека ги демонстрираме на илюстрацията:
Теорема 2
Ако две прави в една равнина пресичат секуща, то за да са успоредни дадените прави е необходимо и достатъчно напречно разположените ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 степени.
Нека илюстрираме графично необходимото и достатъчно условие за успоредни прави в равнината:
Доказателството за тези условия присъства в програмата по геометрия за 7-9 клас.
По принцип тези условия са приложими и за триизмерно пространство, при условие че двете прави и секущата принадлежат на една и съща равнина.
Нека посочим още няколко теореми, които често се използват при доказване на факта, че правите са успоредни.
Теорема 3
В една равнина две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. Тази характеристика се доказва въз основа на споменатата по-горе аксиома за паралелизъм.
Теорема 4
В триизмерното пространство две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга.
Доказателството на атрибута се изучава в програмата по геометрия за 10. клас.
Даваме илюстрация на тези теореми:
Нека посочим още една двойка теореми, които доказват успоредността на правите.
Теорема 5
В една равнина две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.
Нека формулираме подобно за триизмерно пространство.
Теорема 6
В триизмерното пространство две линии, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.
Нека да илюстрираме:
Всички горни теореми, признаци и условия позволяват удобно да се докаже успоредността на линиите чрез методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на правите, може да се покаже, че съответните ъгли са равни, или да се демонстрира фактът, че две дадени прави са перпендикулярни на третата и т.н. Но отбелязваме, че често е по-удобно да се използва методът на координатите, за да се докаже паралелността на линиите в равнина или в триизмерно пространство.
Успоредност на прави в правоъгълна координатна система
В дадена правоъгълна координатна система права линия се определя от уравнението на права линия в равнина от един от възможните видове. По същия начин, права линия, дадена в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, съответства на някои уравнения на права линия в пространството.
Нека напишем необходимите и достатъчни условия за успоредност на прави в правоъгълна координатна система в зависимост от вида на уравнението, описващо дадените прави.
Да започнем с условието за успоредни прави в равнината. Основава се на дефинициите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на правата в равнината.
Теорема 7
За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на дадените прави да са колинеарни, или нормалните вектори на дадените прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалният вектор на другата права.
Става очевидно, че условието за успоредни прави в равнината се основава на условието за колинеарни вектори или условието за перпендикулярност на два вектора. Тоест, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващите вектори на правите a и b ;
и n b → = (n b x , n b y) са нормални вектори на прави a и b , тогава записваме горното необходимо и достатъчно условие, както следва: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y или n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , където t е някакво реално число. Координатите на насочващите или преките вектори се определят от дадените уравнения на правите. Нека разгледаме основните примери.
- Правата a в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение на правата: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (A 1 , B 1) и (A 2 , B 2). Записваме условието за паралелизъм, както следва:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Правата линия a се описва от уравнението на права линия с наклон от формата y = k 1 x + b 1 . Права b - y \u003d k 2 x + b 2. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) и записваме условието за успоредност, както следва:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
По този начин, ако успоредни прави на равнина в правоъгълна координатна система са дадени чрез уравнения с коефициенти на наклон, тогава коефициентите на наклон на дадените линии ще бъдат равни. И обратното твърдение е вярно: ако несъвпадащите прави на равнина в правоъгълна координатна система се определят от уравненията на права с еднакви коефициенти на наклон, тогава тези дадени прави са успоредни.
- Правите a и b в правоъгълна координатна система се дават от каноничните уравнения на правата в равнината: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или параметричните уравнения на правата в равнината: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y и x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .
Тогава насочващите вектори на дадените прави ще бъдат съответно: a x , a y и b x , b y и записваме условието за успоредност по следния начин:
a x = t b x a y = t b y
Нека да разгледаме примерите.
Пример 1
Дадени са два реда: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Трябва да определите дали са успоредни.
Решение
Записваме уравнението на права линия в сегменти под формата на общо уравнение:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Виждаме, че n a → = (2 , - 3) е нормалният вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0 и n b → = 2 , 1 5 е нормалният вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.
Получените вектори не са колинеарни, защото няма такава стойност на t, за която равенството да е вярно:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
По този начин необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, което означава, че дадените прави не са успоредни.
Отговор:дадените прави не са успоредни.
Пример 2
Дадени са прави y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2 . Паралелни ли са?
Решение
Нека преобразуваме каноничното уравнение на правата линия x 1 \u003d y - 4 2 в уравнението на права линия с наклон:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Виждаме, че уравненията на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не са еднакви (ако беше друго, правите щяха да са еднакви) и наклоните на правите са равни, което означава, че дадените прави са успоредни.
Нека се опитаме да решим проблема по различен начин. Първо проверяваме дали дадените линии съвпадат. Използваме всяка точка от линията y \u003d 2 x + 1, например (0, 1) , координатите на тази точка не съответстват на уравнението на линията x 1 \u003d y - 4 2, което означава, че линиите не съвпадат.
Следващата стъпка е да се определи изпълнението на условието за успоредност на дадените прави.
Нормалният вектор на правата y = 2 x + 1 е векторът n a → = (2 , - 1) , а векторът на посоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Скаларното произведение на тези вектори е нула:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
По този начин векторите са перпендикулярни: това ни демонстрира изпълнението на необходимото и достатъчно условие оригиналните прави да бъдат успоредни. Тези. дадените прави са успоредни.
Отговор:тези линии са успоредни.
За да се докаже паралелността на правите в правоъгълна координатна система на тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.
Теорема 8
За да бъдат успоредни две несъвпадащи прави в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни.
Тези. за дадени уравнения на прави в тримерното пространство, отговорът на въпроса: успоредни ли са или не, се намира чрез определяне на координатите на насочващите вектори на дадените прави, както и проверка на условието за тяхната колинеарност. С други думи, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) са съответно насочващите вектори на правите a и b, тогава, за да бъдат успоредни, съществуването на такова реално число t е необходимо, така че да е валидно равенството:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Пример 3
Дадени са прави x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Необходимо е да се докаже успоредността на тези линии.
Решение
Условията на задачата са каноничните уравнения на една права линия в пространството и параметричните уравнения на друга права линия в пространството. Вектори на посоката а → и b → дадените прави имат координати: (1 , 0 , - 3) и (2 , 0 , - 6) .
1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , тогава a → = 1 2 b → .
Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредни прави в пространството е изпълнено.
Отговор:доказана е успоредността на дадените прави.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Те не се пресичат, колкото и да продължават. Успоредността на редовете в писмена форма се обозначава, както следва: AB|| ОТд
Възможността за съществуването на такива линии се доказва с теорема.
Теорема.
През всяка точка, взета извън дадена права, може да се направи паралел на тази права..
Позволявам ABтази линия и ОТнякаква точка, взета извън него. Изисква се това да се докаже ОТможете да начертаете права линия паралеленAB. Хайде да се отбием ABот точка ОТ перпендикуляренОТди тогава ще го направим ОТд^ ОТд, какво е възможно. Направо CEпаралелен AB.
За доказателство приемаме обратното, т.е CEпресича ABв някакъв момент М. След това от точката Мкъм права линия ОТдще имаме два различни перпендикуляра Мди ГОСПОЖИЦА, което е невъзможно. означава, CEне може да се пресича с AB, т.е. ОТдпаралелен AB.
Последица.
Два перпендикуляра (CдиД.Б.) до една права линия (Сд) са успоредни.
Аксиома за успоредни прави.
През една и съща точка е невъзможно да се начертаят две различни прави, успоредни на една и съща права.
Така че, ако права линия ОТд, прекаран през точката ОТуспоредна на права линия AB, след това всеки друг ред ОТдпрез същата точка ОТ, не могат да бъдат успоредни AB, т.е. - продължава тя пресичат сес AB.
Доказателството на тази не съвсем очевидна истина се оказва невъзможно. Приема се без доказателство като необходимо предположение (постулат).
Последствия.
1. Ако прав(ОТд) се пресича с един от паралелен(SW), тогава се пресича с другия ( AB), защото в противен случай през същата точка ОТдве различни прави линии, успоредни AB, което е невъзможно.
2. Ако всяко от двете директен (Аиб) са успоредни на същата трета права ( ОТ) , тогава те са успореднипомежду си.
Наистина, ако приемем, че Аи бсе пресичат в някаква точка М, тогава две различни прави, успоредни една на друга, ще минават през тази точка. ОТ, което е невъзможно.
Теорема.
Ако правата линия е перпендикулярнакъм една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна на другата паралелен.
Позволявам AB || ОТди EF ^ AB.Изисква се да се докаже това EF ^ ОТд.
ПерпендикулярендЕ, пресичаща се с AB, със сигурност ще се пресичат и ОТд. Нека пресечната точка е з.
Да предположим сега, че ОТдне е перпендикулярно на ЕХ. След това някой друг ред, например HK, ще бъде перпендикулярна на ЕХи оттам през същата точка здве прав паралел AB: един ОТд, по условие и другото HKкакто е доказано преди. Тъй като това е невъзможно, не може да се приеме, че SWне беше перпендикулярна на ЕХ.