Концепцията за граница и непрекъснатост на функция. Предел и непрекъснатост. Непрекъснатост на функция в точка и на интервал
![Концепцията за граница и непрекъснатост на функция. Предел и непрекъснатост. Непрекъснатост на функция в точка и на интервал](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Непрекъснатост на функцията. Точки на прекъсване.
Бик върви, люлее се, въздиша в движение:
- Ох, дъската свършва, сега ще падна!
В този урок ще анализираме концепцията за непрекъснатост на функция, класификацията на точките на прекъсване и общ практически проблем изследване на функция за непрекъснатост. От самото заглавие на темата мнозина интуитивно предполагат какво ще бъде обсъдено и смятат, че материалът е доста прост. Това е вярно. Но простите задачи най-често се наказват за пренебрегване и повърхностен подход към решаването им. Затова ви препоръчвам внимателно да проучите статията и да уловите всички тънкости и техники.
Какво трябва да знаете и да можете?Не много. За добър учебен опит трябва да разберете какво ограничение на функцията. За читатели с ниско ниво на подготовка е достатъчно да разберат статията Граници на функциите. Примери за решенияи вижте геометричното значение на границата в ръководството Графики и свойства на елементарни функции. Също така е препоръчително да се запознаете с геометрични трансформации на графики, тъй като практиката в повечето случаи включва изграждането на чертеж. Перспективите са оптимистични за всички и дори пълен чайник ще може да се справи сам със задачата в следващите час-два!
Непрекъснатост на функцията. Точки на прекъсване и тяхната класификация
Концепцията за непрекъснатост на функция
Помислете за някаква функция, непрекъсната върху цялата реална права:
Или, по-накратко, нашата функция е непрекъсната върху (множеството от реални числа).
Какъв е "филистинският" критерий за приемственост? Очевидно е, че графиката на непрекъсната функция може да бъде начертана, без да се вдига моливът от хартията.
В този случай трябва ясно да се разграничат две прости понятия: функционален обхвати непрекъснатост на функцията. Общо взето не е същото. Например:
Тази функция е дефинирана на цялата числова линия, тоест за всекистойността на "x" има своя собствена стойност на "y". По-специално, ако , тогава . Обърнете внимание, че другата точка е изчертана, защото по дефиниция на функцията стойността на аргумента трябва да съвпада единственото нещостойност на функцията. По този начин, домейннашите функции:.
въпреки това тази функция не е непрекъснато включена!Съвсем очевидно е, че в момента тя издържа празнина. Терминът също е доста разбираем и ясен, наистина, тук моливът така или иначе ще трябва да бъде откъснат от хартията. Малко по-късно ще разгледаме класификацията на точките на прекъсване.
Непрекъснатост на функция в точка и на интервал
В конкретен математически проблем можем да говорим за непрекъснатост на функция в точка, непрекъснатост на функция в интервал, полуинтервал или непрекъснатост на функция в сегмент. Това е, няма "просто приемственост"– функцията може да бъде непрекъсната НЯКЪДЕ. И фундаменталната "тухла" на всичко останало е непрекъснатост на функцията в точката .
Теорията на математическия анализ определя непрекъснатостта на функция в точка с помощта на "делта" и "епсилон" околности, но на практика се използва друга дефиниция, на която ще обърнем голямо внимание.
Първо да си спомним едностранни границикоито нахлуха в живота ни на първия урок относно функционалните графики. Помислете за ежедневна ситуация:
Ако се приближим по оста към точката наляво(червена стрелка), тогава съответните стойности на "игрите" ще вървят по оста до точката (малинова стрелка). Математически този факт се фиксира с помощта на ляво ограничение:
Обърнете внимание на записа (той гласи "x клони към ka отляво"). "Добавка" "минус нула" символизира , което по същество означава, че приближаваме числото от лявата страна.
По същия начин, ако се приближите до точката "ka" на дясно(синя стрелка), тогава „игрите“ ще стигнат до същата стойност, но по зелената стрелка и дясна границаще бъде форматиран, както следва:
„Добавка“ символизира , а записът гласи така: "x клони към ka отдясно."
Ако едностранните граници са крайни и равни(както в нашия случай): , тогава ще кажем, че има ОБЩА граница. Просто е, общият лимит е нашият "обичаен" ограничение на функциятаравно на крайното число.
Обърнете внимание, че ако функцията не е дефинирана в (изчертайте черната точка на клона на графиката), тогава изброените изчисления остават валидни. Както многократно беше отбелязано, по-специално в статията относно безкрайно малките функции, изразите означават, че "x" безкрайно близосе доближава до точката , докато НЕУМЕСТЕНдали самата функция е дефинирана в дадената точка или не. Добър пример ще бъде намерен в следващия раздел, когато функцията се анализира.
Определение: функция е непрекъсната в точка, ако границата на функцията в дадена точка е равна на стойността на функцията в тази точка: .
Определението е подробно описано със следните термини:
1) Функцията трябва да бъде дефинирана в точката, т.е. стойността трябва да съществува.
2) Трябва да има обща граница на функцията. Както беше отбелязано по-горе, това предполага наличието и равенството на едностранни ограничения: .
3) Границата на функцията в дадена точка трябва да бъде равна на стойността на функцията в тази точка: .
Ако се наруши поне единот трите условия, тогава функцията губи свойството на непрекъснатост в точката .
Непрекъснатост на функция на интервалформулирано остроумно и много просто: една функция е непрекъсната на интервал, ако е непрекъсната във всяка точка от дадения интервал.
По-специално, много функции са непрекъснати в безкрайния интервал, т.е. в множеството от реални числа. Това е линейна функция, полиноми, експонента, синус, косинус и т.н. И като цяло всяка елементарна функциянепрекъснато на своя домейни, така че например логаритмичната функция е непрекъсната на интервала . Надявам се, че вече имате добра представа как изглеждат графиките на основните функции. По-подробна информация за тяхната приемственост може да се получи от любезен човек на име Фихтенхолц.
С непрекъснатостта на функцията на сегмента и полуинтервалите, всичко също е просто, но е по-подходящо да се говори за това в урока за намиране на минималните и максималните стойности на функция върху сегментдотогава нека сведем глави.
Класификация на точките на прекъсване
Увлекателният живот на функциите е богат на всякакви специални точки, а точките на прекъсване са само една от страниците на тяхната биография.
Забележка : за всеки случай ще се спра на един елементарен момент: преломната точка е винаги единична точка- няма "няколко точки на прекъсване подред", тоест няма такова нещо като "интервал на прекъсване".
Тези точки от своя страна са разделени на две големи групи: прекъсвания от първи види прекъсвания от втори вид. Всеки тип празнина има свои собствени характеристики, които ще разгледаме точно сега:
Точка на прекъсване от първи род
Ако условието за непрекъснатост е нарушено в точка и едностранни ограничения краен , тогава се нарича точка на счупване от първи вид.
Да започнем с най-оптимистичния случай. Според първоначалната идея на урока исках да разкажа теорията „в общи линии“, но за да покажа реалността на материала, се спрях на вариант с конкретни актьори.
За съжаление, като снимка на младоженците на фона на Вечния огън, но следният кадър е общоприет. Нека начертаем графика на функцията от чертежа:
Тази функция е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката. Наистина, знаменателят не може да бъде равен на нула. Но в съответствие със смисъла на лимита – можем безкрайно близосе приближават до „нула“ както отляво, така и отдясно, тоест съществуват едностранни граници и очевидно съвпадат: (спазено е условие за непрекъснатост № 2).
Но функцията не е дефинирана в точката, следователно, условие № 1 за непрекъснатост е нарушено и функцията претърпява прекъсване в тази точка.
Прекъсване от този вид (със съществуващото общ лимит) са наречени ремонтируема празнина. Защо подвижни? Тъй като функцията може предефинирамв точката на счупване:
Изглежда странно? Може би. Но такъв запис на функция не противоречи на нищо! Сега разликата е коригирана и всички са доволни:
Нека направим официална проверка:
2) – има общ лимит;
3)
По този начин и трите условия са изпълнени и функцията е непрекъсната в точка според определението за непрекъснатост на функция в точка.
Въпреки това мразещите matan могат да предефинират функцията по лош начин, например :
Любопитно е, че тук са изпълнени първите две условия за непрекъснатост:
1) - функцията е дефинирана в дадена точка;
2) – има обща граница.
Но третата граница не е премината: , тоест границата на функцията в точката не е равностойността на дадената функция в дадена точка.
Така в даден момент функцията претърпява прекъсване.
Вторият, по-тъжен случай се нарича прекъсване от първи вид със скок. И тъгата се предизвиква от едностранчиви ограничения, които крайни и различни. Пример е показан на втория чертеж на урока. Тази празнина обикновено се появява в функции на частивече е споменато в статията. относно трансформациите на диаграмите.
Помислете за функция на части и изпълни нейната рисунка. Как да изградим графика? Много просто. На полуинтервала рисуваме фрагмент от параболата (зелено), на интервала - прав сегмент (червен), а на полуинтервала - права линия (син).
В същото време поради неравенство стойността се определя за квадратична функция (зелена точка), а поради неравенство стойността се определя за линейна функция (синя точка):
В най-трудния случай трябва да се прибегне до поточкова конструкция на всяка част от графиката (вижте първата урок за графики на функции).
Засега ни интересува само точката. Нека го разгледаме за приемственост:
2) Изчислете едностранните граници.
Отляво имаме сегмент от червена линия, така че лявата граница е:
Отдясно е синята права линия, а дясната граница:
Като резултат, крайни числа, и те не е равно. Защото едностранчивите ограничения крайни и различни: , тогава нашата функция страда прекъсване от първи вид със скок.
Логично е, че празнината не може да бъде елиминирана - функцията не може наистина да бъде допълнително дефинирана и „не залепена заедно“, както в предишния пример.
Точки на прекъсване от втори род
Обикновено всички останали случаи на разрив се приписват хитро към тази категория. Няма да изброявам всичко, защото на практика в 99% от задачите ще срещнете безкрайна празнина- при лява или дясна ръка, и по-често, и двете граници са безкрайни.
И, разбира се, най-очевидната картина е хипербола на нула. Тук и двете едностранни граници са безкрайни: , следователно функцията претърпява прекъсване от втори вид в точката .
Опитвам се да запълня статиите си с най-разнообразно съдържание, така че нека да разгледаме графиката на функцията, която все още не е виждана:
по стандартната схема:
1) Функцията не е дефинирана в този момент, защото знаменателят отива на нула.
Разбира се, веднага може да се заключи, че функцията претърпява прекъсване в точката, но би било хубаво да се класифицира естеството на прекъсването, което често се изисква от условие. За това:
Напомням ви, че рекорд означава безкрайно малко отрицателно число, а под записа - безкрайно малко положително число.
Едностранните граници са безкрайни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 2-ри вид в точката . Оста y е вертикална асимптотаза диаграмата.
Не рядко съществуват и двете едностранни граници, но само една от тях е безкрайна, например:
Това е графиката на функцията.
Разглеждаме точката за приемственост:
1) Функцията не е дефинирана на този етап.
2) Изчислете едностранните граници:
Ще говорим за методологията за изчисляване на такива едностранни граници в последните два примера на лекцията, въпреки че много читатели вече са видели и познали всичко.
Лявата граница е крайна и е равна на нула (ние „не отиваме до самата точка“), но дясната граница е безкрайна и оранжевият клон на графиката е безкрайно близо до собствената си вертикална асимптотададено от уравнението (пунктирана черна линия).
Така функцията страда прекъсване от втори видв точка .
Що се отнася до прекъсване от 1-ви вид, функция може да бъде дефинирана в самата точка на прекъсване. Например за частична функция смело поставете черна удебелена точка в началото. Вдясно е клон на хиперболата, а дясната граница е безкрайна. Мисля, че почти всички са си представяли как изглежда тази графика.
Това, което всички очакваха с нетърпение:
Как да изследваме функция за непрекъснатост?
Изследването на функцията за непрекъснатост в точка се извършва съгласно вече разработената рутинна схема, която се състои в проверка на три условия за непрекъснатост:
Пример 1
Разгледайте функцията
Решение:
1) Единствената точка попада под мерника, където функцията не е дефинирана.
2) Изчислете едностранните граници:
Едностранните граници са крайни и равни.
По този начин в даден момент функцията претърпява прекъсване на непрекъснатостта.
Как изглежда графиката на тази функция?
Искам да опростя , и изглежда, че е обикновена парабола. НОоригиналната функция не е дефинирана в точка, така че е необходимо следното предупреждение:
Нека изпълним чертежа:
Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, където претърпява прекъсване.
Функцията може да бъде предефинирана по добър или не толкова добър начин, но това не се изисква от условието.
Казвате, че примерът е пресилен? Въобще не. Случвало се е десетки пъти на практика. Почти всички задачи на сайта идват от реална самостоятелна и контролна работа.
Нека разделим нашите любими модули:
Пример 2
Разгледайте функцията за приемственост. Определете естеството на функционалните прекъсвания, ако има такива. Изпълнете чертежа.
Решение: по някаква причина студентите се страхуват и не харесват функции с модул, въпреки че в тях няма нищо сложно. Вече засегнахме малко такива неща в урока. Трансформации на геометрични графики. Тъй като модулът е неотрицателен, той се разширява, както следва: , където "алфа" е някакъв израз. В този случай, и нашата функция трябва да се подпише на части:
Но дробите на двете парчета трябва да бъдат намалени с . Намаляването, както в предишния пример, няма да остане без последствия. Оригиналната функция не е дефинирана в точката, тъй като знаменателят изчезва. Следователно системата трябва допълнително да уточни условието и да направи първото неравенство строго:
Сега за един МНОГО ПОЛЕЗЕН трик: преди финализиране на задачата на чернова е добре да се направи чертеж (независимо дали се изисква от условието или не). Това ще помогне, първо, незабавно да видите точките на непрекъснатост и точките на прекъсване, и второ, 100% ще ви спести от грешки при намиране на едностранни граници.
Нека направим трика. В съответствие с нашите изчисления, отляво на точката е необходимо да се начертае фрагмент от парабола (синьо), а отдясно - парче от парабола (червено), докато функцията не е дефинирана в самата точка :
Когато се съмнявате, вземете няколко стойности "x", заменете ги във функцията (не забравяйте, че модулът унищожава възможен знак минус) и проверете графиката.
Ние изследваме функцията за непрекъснатост аналитично:
1) Функцията не е дефинирана в точката , така че веднага можем да кажем, че не е непрекъсната в нея.
2) Нека установим естеството на прекъсването, за това изчисляваме едностранни граници:
Едностранните граници са крайни и различни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 1-ви вид със скок в точката . Още веднъж имайте предвид, че когато намирате границите, няма значение дали функцията в точката на прекъсване е дефинирана или не.
Сега остава да прехвърлите чертежа от черновата (той е направен, така да се каже, с помощта на проучване ;-)) и да изпълните задачата:
Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, където претърпява прекъсване от първи вид със скок.
Понякога се изисква допълнително да се посочи скокът на прекъсването. Изчислява се елементарно - лявата граница трябва да се извади от дясната граница: , тоест в точката на прекъсване нашата функция е скочила с 2 единици надолу (за което ни говори знакът минус).
Пример 3
Разгледайте функцията за приемственост. Определете естеството на функционалните прекъсвания, ако има такива. Направете рисунка.
Това е пример за самостоятелно решаване, примерно решение в края на урока.
Нека да преминем към най-популярната и често срещана версия на задачата, когато функцията се състои от три части:
Пример 4
Проучете функцията за непрекъснатост и начертайте графиката на функцията .
Решение: очевидно е, че и трите части на функцията са непрекъснати на съответните интервали, така че остава да се проверят само две точки на "възел" между частите. Първо, нека направим чертеж върху чернова, коментирах техниката на изграждане достатъчно подробно в първата част на статията. Единственото нещо е да следваме внимателно нашите особени точки: поради неравенството стойността принадлежи на правата линия (зелена точка), а поради неравенството стойността принадлежи на параболата (червена точка):
Е, по принцип всичко е ясно =) Остава да се изготви решение. За всяка от двете "задни" точки проверяваме стандартно 3 условия за непрекъснатост:
аз)Проверяваме точката за приемственост
1)
Едностранните граници са крайни и различни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 1-ви вид със скок в точката .
Нека изчислим скока на прекъсване като разликата между дясната и лявата граница:
, тоест диаграмата скочи с една единица нагоре.
II)Проверяваме точката за приемственост
1) – функцията е дефинирана в дадена точка.
2) Намерете едностранни ограничения:
– едностранните граници са крайни и равни, така че има обща граница.
3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.
На последния етап прехвърляме чертежа в чисто копие, след което поставяме последния акорд:
Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, където претърпява прекъсване от първи вид със скок.
Пример 5
Изследвайте функция за непрекъснатост и изградете нейната графика .
Това е пример за самостоятелно решение, кратко решение и приблизителна извадка на задачата в края на урока.
Може да се създаде впечатлението, че в един момент функцията задължително трябва да е непрекъсната, а в друг момент задължително трябва да има прекъсване. На практика това не винаги е така. Опитайте се да не пренебрегвате останалите примери - ще има няколко интересни и важни функции:
Пример 6
Дадена функция . Изследвайте функцията за непрекъснатост в точки. Постройте графика.
Решение: и отново веднага изпълнете чертежа върху черновата:
Особеността на тази графика е, че за частичната функция се дава от уравнението на абсцисната ос. Тук този раздел е нарисуван в зелено, а в бележника обикновено е подчертан с обикновен молив. И, разбира се, не забравяйте за нашите овце: стойността се отнася за допирателната клонка (червена точка), а стойността принадлежи към правата линия.
От чертежа всичко е ясно - функцията е непрекъсната на цялата числова линия, остава да се изготви решение, което се довежда до пълен автоматизъм буквално след 3-4 подобни примера:
аз)Проверяваме точката за приемственост
1) - функцията е дефинирана в дадена точка.
2) Изчислете едностранните граници:
, така че има обща граница.
Просто за всеки пожарникар, нека ви напомня един тривиален факт: границата на една константа е равна на самата константа. В този случай границата на нула е равна на самата нула (лявата граница).
3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.
По този начин една функция е непрекъсната в точка по дефиницията на функция, която е непрекъсната в точка.
II)Проверяваме точката за приемственост
1) - функцията е дефинирана в дадена точка.
2) Намерете едностранни ограничения:
И тук - границата на единицата е равна на самата единица.
– има обща граница.
3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.
По този начин една функция е непрекъсната в точка по дефиницията на функция, която е непрекъсната в точка.
Както обикновено, след проучването прехвърляме нашата рисунка в чисто копие.
Отговор: функцията е непрекъсната в точките .
Моля, обърнете внимание, че в условието не бяхме попитани нищо относно изследването на цялата функция за непрекъснатост и се счита за добра математическа форма за формулиране точно и ясноотговор на поставения въпрос. Между другото, ако според условието не се изисква да се изгради графика, тогава имате пълното право да не я построите (въпреки че по-късно учителят може да ви принуди да направите това).
Малка математическа "шаблона" за самостоятелно решение:
Пример 7
Дадена функция . Изследвайте функцията за непрекъснатост в точки. Класифицирайте точките на прекъсване, ако има такива. Изпълнете чертежа.
Опитайте се да „произнесете“ правилно всички „думи“ =) И начертайте графиката по-точно, точност, няма да е излишно навсякъде ;-)
Както си спомняте, препоръчах ви незабавно да рисувате върху чернова, но от време на време има такива примери, при които не можете веднага да разберете как изглежда графиката. Следователно в редица случаи е изгодно първо да се намерят едностранни граници и едва след това, въз основа на изследването, да се изобразят клоните. В последните два примера ще научим и техниката за изчисляване на някои едностранни ограничения:
Пример 8
Изследвайте функция за непрекъснатост и изградете нейната схематична графика.
Решение: лошите моменти са очевидни: (превръща знаменателя на степента в нула) и (превръща в нула знаменателя на цялата дроб). Не е ясно как изглежда графиката на тази функция, което означава, че е по-добре първо да се направи проучване.
Ако наборът не съдържа елементи, тогава той се извиква празен комплекти записано Ø .
Квантор на съществуване
∃- екзистенциален квантор, се използва вместо думите "съществува",
"на разположение". Използва се и символната комбинация ∃!, която се чете, тъй като е само една.
Абсолютна стойност
Определение. Абсолютната стойност (модул) на реално число е неотрицателно число, което се определя по формулата:
Например,
Свойства на модула
Ако и са реални числа, тогава са валидни следните равенства:
функция
връзка между две или повече величини, при която всяка стойност на едно количество, наречена аргументи на функция, е свързана със стойностите на други величини, наречени стойности на функцията.
Обхват на функцията
Домейнът на функцията е онези стойности на независимата променлива x, за които всички операции, включени във функцията, ще бъдат изпълними.
непрекъсната функция
Функция f (x), дефинирана в някаква околност на точка a, се нарича непрекъсната в тази точка, ако
![]() |
Цифрови последователности
функция за преглед г= f(х), хО н,където не набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означен г=f(н)или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойности г 1 ,г 2 ,г 3 , ... се наричат съответно първи, втори, трети, ... членове на редицата.
Граница на функцията на непрекъснат аргумент
Числото A се нарича граница на функцията y=f(x) за x->x0, ако за всички стойности на x, които се различават достатъчно малко от числото x0, съответните стойности на функцията f(x ) се различават произволно малко от числото A
безкрайно малка функция
функция y=f(x)Наречен безкрайно малъкпри x→aили кога х→∞ ако или , т.е. Безкрайно малка функция е функция, чиято граница в дадена точка е нула.
![]() |
Понятието граница на числова редица
Нека първо си припомним дефиницията на числова редица.
Определение 1
Преобразуването на множеството от естествени числа върху множеството от реални числа се нарича числова последователност.
Понятието граница на числова последователност има няколко основни определения:
- Реално число $a$ се нарича граница на числова редица $(x_n)$, ако за всеки $\varepsilon >0$ съществува индекс $N$, зависещ от $\varepsilon$, така че за всеки индекс $n> N $ неравенството $\left|x_n-a\right|
- Реално число $a$ се нарича граница на числова редица $(x_n)$, ако всяка околност на точка $a$ съдържа всички членове на редицата $(x_n)$, с възможното изключение на краен брой от членове.
Помислете за пример за изчисляване на стойността на границата на числова последователност:
Пример 1
Намерете границата $(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$
Решение:
За да решим тази задача, първо трябва да извадим скобите на най-високата степен, включена в израза:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Ако знаменателят е безкрайно голяма стойност, тогава цялата граница клони към нула, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, използвайки това, получаваме:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Отговор:$\frac(1)(2)$.
Понятието граница на функция в точка
Понятието граница на функция в точка има две класически определения:
Дефиниция на понятието "предел" по Коши
Реално число $A$ се нарича граница на функцията $f\left(x\right)$ като $x\to a$, ако за всяко $\varepsilon > 0$ съществува $\delta >0$ в зависимост от $ \varepsilon $, така че за всяко $x\in X^(\backslash a)$, удовлетворяващо неравенството $\left|x-a\right|
Определение на Хайне
Реално число $A$ се нарича граница на функцията $f\left(x\right)$ за $x\to a$, ако за всяка последователност $(x_n)\in X$, сходна към $a$, последователността от стойности $f (x_n)$ се сближава с $A$.
Тези две определения са свързани.
Забележка 1
Дефинициите на Коши и Хайне за границата на функция са еквивалентни.
В допълнение към класическите подходи за изчисляване на границите на функция, нека си припомним формули, които също могат да помогнат в това.
Таблица с еквивалентни функции, когато $x$ е безкрайно малка (стига до нула)
Един подход за решаване на граници е принцип на заместване с еквивалентна функция. Таблицата с еквивалентни функции е представена по-долу, за да я използвате, вместо функциите отдясно, заменете съответната елементарна функция отляво в израза.
Фигура 1. Таблица за еквивалентност на функциите. Author24 - онлайн обмен на студентски работи
Също така, за да се решат границите, чиито стойности са сведени до несигурност, е възможно да се приложи правилото на L'Hospital. В общия случай несигурността на формата $\frac(0)(0)$ може да бъде разкрита чрез разлагане на числителя и знаменателя и след това намаляване. Неопределеност на формата $\frac(\infty )(\infty)$ може да бъде разрешена след разделяне на изразите в числителя и знаменателя на променливата, при която е намерена най-високата мощност.
Забележителни граници
- Първо забележително ограничение:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- Второ забележително ограничение:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Специални лимити
- Първо специално ограничение:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- Второ специално ограничение:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Трети специален лимит:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
Непрекъснатост на функцията
Определение 2
Функция $f(x)$ се нарича непрекъсната в точка $x=x_0$, ако $\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\съществува \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm 0) $ така че $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
Функцията $f(x)$ е непрекъсната в точката $x=x_0$, ако $\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\ rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
Точка $x_0\in X$ се нарича точка на прекъсване от първи вид, ако има крайни граници $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, но $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\до x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Освен това, ако $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f (x_0)$, тогава това е точка на прекъсване и ако $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+ 0) f(x_0)\ )$, тогава точката на прескачане на функцията.
Точка $x_0\in X$ се нарича точка на прекъсване от втори вид, ако съдържа поне една от границите $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ представлява безкрайност или не съществува.
Пример 2
Проучете за непрекъснатост $y=\frac(2)(x)$
Решение:
$(\mathop(lim)_(x\до 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\до 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - функцията има точка на прекъсване от втори вид.
Топологияе дял от математиката, който се занимава с изследване на границите и непрекъснатостта на функциите. Заедно с алгебрата, топологията съставлява общата основа на математиката.
Топологично пространство или фигура -подмножество на нашето хомогенно евклидово пространство, между точките на което е дадено някакво отношение на близост. Тук фигурите се разглеждат не като твърди тела, а като обекти, направени сякаш от много еластична гума, позволяваща непрекъсната деформация, запазвайки качествените си свойства.
Едно към едно непрекъснато картографиране на фигури се нарича хомеоморфизъм. С други думи, цифрите хомеоморфен, ако едно може да се превърне в друго чрез непрекъсната деформация.
Примери. Следните фигури са хомеоморфни (фигури от различни групи не са хомеоморфни), показани на фиг. 2.
1. Отсечка и крива без самопресичане.
2. Кръг, квадрат отвътре, лента.
3. Повърхнина на сфера, куб и тетраедър.
4. Кръг, елипса и кръг с възли.
5. Пръстен на равнина (кръг с отвор), пръстен в пространството, пръстен, усукан два пъти, странична повърхност на цилиндър.
6. Лента на Мьобиус, т.е. веднъж усукана халка и три пъти усукана халка.
7. Повърхност на тор (поничка), сфера с дръжка и възел тор.
8. Сфера с две дръжки и геврек с две дупки.
В математическия анализ функциите се изучават по метода на границите. Променлива и граница са основните понятия.
При различни явления някои величини запазват числовата си стойност, други се променят. Наборът от всички числени стойности на променлива се нарича обхвата на тази променлива.
От различните начини, по които една променлива се държи, най-важен е този, по който променливата клони към определена граница.
постоянно число аНаречен променлива xако абсолютната стойност на разликата между хи а() става в процеса на промяна на променливата хпроизволно малък:
Какво означава "произволно малък"? променлива хклони към границата а, ако за всяко произволно малко (произволно малко) число има такъв момент в промяната на променливата х, започвайки от които неравенството .
Определението за граница има просто геометрично значение: неравенството означава, че хе в околността на точката а,
тези. в интервала
.
Така дефиницията на границата може да бъде дадена в геометрична форма:
Номер ае границата на променливата х, ако за всяка произволно малка (произволно малка) -околност на числото аможете да посочите такъв момент при промяна на променливата х, започвайки от която всички негови стойности попадат в определената -околост на точката а.
Коментирайте. променлива хможе да се доближи до своя лимит по различни начини: оставайки по-малко от този лимит (вляво), повече (вдясно), варирайки около стойността на лимита.
Ограничение на последователността
функциянаречен закон (правило), според който всеки елемент хнякакъв комплект хсъвпада с един елемент гкомплекти Y.
Функцията може да бъде дефинирана върху множеството от всички естествени числа: . Такава функция се нарича функция естествен аргументили числова последователност.
Тъй като последователността, като всяко безкрайно множество, не може да бъде определена чрез изброяване, тя се определя от общ член: , където е общият член на редицата.
Дискретната променлива е общ член на последователност.
За последователност думите "започвайки от някаква точка" означават думите "започвайки от някакъв номер".
Номер асе нарича граница на редицата , ако за всяко произволно малко (произволно малко) число съществува такова число н, което за всички членове на редицата с номер н>ннеравенството
.
или
при
.
Геометрично дефиницията на границата на редица означава следното: за всяка произволно малка (произволно малка) -околност на число аима такова число, че всички членове на редицата с по-голямо от н, числа, попадат в този квартал. Извън околността има само краен брой начални членове на последователността. Естествено число нзависи от : .