Сумата от редуцираните остатъци по модул n. Системи за теглене. Упражнения за самостоятелна работа
![Сумата от редуцираните остатъци по модул n. Системи за теглене. Упражнения за самостоятелна работа](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
или всяка последователна стрчисла.
Тази система се нарича пълна система от числа, които не са сравними по модул стрили пълна система от остатъци по модул стр. Очевидно е, че всяка стрпоследователни числа образуват такава система.
Всички числа, принадлежащи към един и същ клас, имат много общи свойства, следователно по отношение на модула те могат да се разглеждат като едно число. Всяко число, включено в сравнението като сбор или фактор, може да бъде заменено, без да се нарушава сравнението, със сравнимо с него число, т.е. с номер, принадлежащ към същия клас.
Другият елемент, който е общ за всички числа от даден клас, е най-големият общ делител на всеки елемент от този клас и модул стр.
Позволявам аи bсравним модул стр, тогава
Теорема 1. Ако в брадва+бвместо хнека подредим всичко стрчленове на пълната система от числа
Следователно всички числа брадва+б, където х=1,2,...стр-1 не са сравними по модул стр(в противен случай, числа 1,2,... стр-1 би било сравнимо по модул стр.
Бележки
1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.
Литература
- 1. К. Ирландия, М. Росен. Класическо въведение в съвременната теория на числата.- М: Мир, 1987.
- 2. Г. Дейвънпорт. Висша аритметика , - М: Наука, 1965.
- 3. П.Г. Льожен Дирихле. Лекции по теория на числата. – Москва, 1936г.
Модуло остатъчен пръстен нобозначават или . Неговата мултипликативна група, както в общия случай на групи от обратими елементи на пръстени, се обозначава ∗ × × .
Най-простият случай
За да разберем структурата на групата, можем да разгледаме специален случай, когато е просто число и да го обобщим. Помислете за най-простия случай, когато, т.е.
Теорема: - циклична група.
Пример : Помислете за група
= (1,2,4,5,7,8) Генераторът на групата е числото 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Както можете да видите, всеки елемент от групата може да бъде представен като , където ≤ℓφ . Тоест групата е циклична.Общ случай
За да разгледаме общия случай, е необходимо да дефинираме примитивен корен. Примитивен корен по модул просто е число, което заедно със своя остатъчен клас поражда група.
Примери: 2 11 ; 8 - примитивен корен по модул 11 ; 3 не е примитивен корен по модул 11 .В случай на цял модул дефиницията е същата.
Структурата на групата се определя от следната теорема: Ако p е нечетно просто число и l е положително цяло число, тогава има примитивни корени по модул , тоест циклична група.
Пример
Редуцираната система от остатъци по модул се състои от класове остатъци: . По отношение на умножението, дефинирано за класовете остатъци, те образуват група освен това и са взаимно обратни (т.е. ⋅ ) и са обратни на себе си.
Групова структура
Записът означава "циклична група от ред n".
× | φ | λ | Групов генератор | × | φ | λ | Групов генератор | × | φ | λ | Групов генератор | × | φ | λ | Групов генератор | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2 × C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4 × C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2 × C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | С 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2 × C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2 × C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2 × C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | С 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | С 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2 × C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2 × C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2 × C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | С 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2 × C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2 × C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2 × C2 × C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | С 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | С 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2×C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2 × C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2 × C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | С 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4×C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | С 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | С 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2 × C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2×C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2 × C2 × C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2 × C2 × C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2 × C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | С 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | С 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | С 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2 × C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2 × C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2 × C2 × C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2 × C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2 × C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | С 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2 × C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2 × C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6 × C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6 × C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | С 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2 × C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2 × C2 × C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 × C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Приложение
На трудност, Ферма, Хули, . Уоринг формулира теоремата на Уилсън, а Лагранж я доказа. Ойлер предполага съществуването на примитивни корени по модул на просто число. Гаус го доказа. Артин изложи хипотезата си за съществуването и количественото определяне на прости числа по модул, при който дадено цяло число е примитивен корен. Брауър допринесе за изследването на проблема за съществуването на набори от последователни цели числа, всяко от които е k-та степен по модул p. Биелхарц доказа аналог на хипотезата на Артин. Хули доказва хипотезата на Артин с предположението, че разширената хипотеза на Риман е валидна в полетата с алгебрични числа.
Бележки
Литература
- Ирландия К., Росен М.Класическо въведение в съвременната теория на числата. - М.: Мир, 1987.
- Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузмин А.С. Черемушкин А.В.Основи на криптографията. - Москва: "Хелиос АРВ", 2002 г.
- Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б.Теоретична криптография. - Санкт Петербург: НПО "Професионалист", 2004 г.
ОСНОВНИ СВЕДЕНИЯ ОТ ТЕОРИЯТА
6. 1. Определение 1.
Класът на числата по модул m е множеството от всички тези и само онези цели числа, които, когато се разделят на m, имат същия остатък r, тоест сравними по модул m (t Î N, t> 1).
Обозначение за клас числа с остатък r: .
Всеки номер от класа се нарича остатък по модул m, а самият клас се нарича клас остатъци по модул m.
6. 2. Свойства на набора от класове остатък по модул T:
1) общ модул Tще бъде TКласове остатъци: Z t = { , , , … , };
2) всеки клас съдържа безкраен набор от цели числа (остатъци) от формата: = ( а= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< м}
3) "аÎ : аº r(mod m);
4) "а, бÎ : аº b(mod m), тоест всеки два взети остатъка от единклас, сравнимипо модул T;
5) "аÎ , " bÎ : а b(mod m), тоест няма два остатъка; взета от различникласове несравнимпо модул T.
6. 3. Определение 3.
Пълна система от остатъци по модул m е всеки набор от m числа, взети едно и само едно от всеки клас остатъци по модул m.
Пример: ако м= 5, тогава (10, 6, - 3, 28, 44) е пълна система от остатъци по модул 5 (и не единствената!)
По-специално,
набор (0, 1, 2, 3, …, м–1) е система най-малкото неотрицателноудръжки;
комплект (1, 2, 3, …, м –1, T) е системата най-малко положителенудръжки.
6. 4. Забележи, че:
ако ( х 1 , х 2 , … , x t) е пълната система от остатъци по модул T, тогава
.
6. 5. Теорема 1.
Ако {х 1 , х 2 , … , x t} – пълна система от остатъци по модул m, "а, бÎ Z и(а, т) = 1, – след това бройната система {о 1 +b, о 2 + b, … , ах т+b} също образува пълна система от остатъци по модул m .
6. 6. Теорема 2.
Всички остатъци от един и същи клас остатъци по модул m имат един и същ най-голям общ делител с m: "а, бÎ Þ ( а; T) = (b; T).
6. 7. Определение 4.
Остатъчен клас по модул m се нарича взаимнопросто с модул m,ако поне един остатък от този клас е взаимнопрост с т.е.
Обърнете внимание, че в този случай, по Теорема 2 всичкочислата от този клас ще бъдат взаимно прости с модула T.
6. 8. Определение 5.
Редуцирана система от остатъци по модул m е система от остатъци, взети един и само един от всеки клас, взаимнопрост с m.
6. 9. Забележи, че:
1) редуцирана система от остатъци по модул Tсъдържа j( T) числа ( х 1 , х 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, м) = 1;
Пример : Нека модуло T= 10 има 10 класа остатъци:
З 10 = ( , , , , , , , , , ) е наборът от класове остатъци по модул 10. Пълна система от удръжки мод 10 би било например това: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Много класове остатъци, взаимно примес модул m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Намалената система на удръжкимодул 10 ще бъде, например,
(1, 3, 7, 9), или (11, 43, – 5, 17), или ( – 9, 13, – 5, 77) и т.н. (навсякъде j(10) = 4 числа).
6.10. Практически: за образуване на една от възможните системи с намалени остатъци mod m, необходимо е да се изберат от пълната система от остатъци mod m онези остатъци, които са взаимно прости с m. Такива числа ще бъдат j( T).
6.11. Теорема 3.
Ако{х 1 , х 2 ,…, } – редуцирана система от остатъци по модул mи
(а, м) = 1, – след това бройната система {о 1 , о 2 , … , брадва j (t)} също форми
редуцирана система от остатъци по модул m .
6.12. Определение 6.
сума( Å ) класове за приспадане и +b равно на сумата от всеки две намаления, взети по едно от всеки даден клас и : Å = , където"аÎ , "bÎ .
6.13. Определение 7.
работа( Ä ) класове за приспадане и по модул m се нарича остатъчен клас , тоест класът от остатъци, състоящ се от числа a ´ b равно на произведението на всеки два остатъка, взети един по един от всеки даден клас и : Ä = , където"аÎ , "bÎ .
По този начин в набора от класове остатъци по модул T: Z t= ( , , ,…, ) са дефинирани две алгебрични операции – „събиране“ и „умножение“.
6.14. Теорема 4.
Множеството от класове остатъци Z t по модул t е асоциативно-комутативен пръстен с единица:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – пръстен.
ТИПОВИ ЗАДАЧИ
1. Модуло T= 9:
1) пълна система от най-малко положителни остатъци;
2) пълна система от най-малко неотрицателни остатъци;
3) произволна пълна система от удръжки;
4) пълна система от най-малко абсолютни отчисления.
Отговор:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Съставете редуцираната система от остатъци по модул T= 12.
Решение.
1) Съставете пълна система от най-малко положителни остатъци по модул T= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (общо T= 12 числа).
2) Изтриваме от тази система числата, които не са взаимно прости с числото 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Останалите числа, взаимно прости с числото 12, образуват желаната редуцирана система от остатъци по модул T= 12 (общо j( T) = j(12) = 4 числа).
Отговор:(1, 5, 7, 11) - редуцирана система от остатъци по модул T= 12.
130. Направете 1) пълна система от най-малко положителни остатъци; 2) пълна система от най-малко неотрицателни остатъци; 3) произволна система на удръжки; 4) пълна система от най-малките абсолютни удръжки; 5) редуцирана система от остатъци: а) по модул м= 6; б) по модул м = 8.
131. Множеството (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) пълна система от остатъци по модул 8 ли е?
132 По какъв модул множеството (20, - 4, 22, 18, - 1) е пълна система от остатъци?
133. Направете редуцираната система от остатъци по модул мако) м= 9; б) м= 24; в) м= 7. Колко числа трябва да съдържа такава система?
134. Формулирайте основните свойства на пълната система от остатъци и намалената система от остатъци по модул м .
135. Какви елементи отличават редуцираните и пълните системи от най-малко неотрицателни остатъци по простия модул?
136. При какво условие са числата аи - апринадлежат към същия клас модулни остатъци м?
137. Към какви класове остатъци по модул 8 принадлежат всички прости числа? Р³ 3?
138. Наборът от числа (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) образува ли пълна система от остатъци по модул 11?
139. Колко класа остатъци по модул 21 принадлежат на всички остатъци от един клас остатъци по модул 7?
140. Набор от цели числа Зразпределете по класове остатъци по модул 5. Направете таблици за събиране и умножение в получения набор от класове остатъци З 5. Комплектът ли е З 5: а) група с операция за добавяне на клас? б) група с операция умножение на клас?
§ 7. Теорема на Ойлер. МАЛКАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА
ОСНОВНИ СВЕДЕНИЯ ОТ ТЕОРИЯТА
7. 1. Теорема 1.
АкоÎ З,TÎ N, t>1 и(а;T) = 1, – тогава в безкрайна последователност от степени a 1 , а 2 , а 3 , ... , ас , … , а T, … има поне две степени с показатели s и t(с<T) такова, че . (*)
7. 2. Коментирайте. Обозначаване T– с = к> 0, от (*) получаваме: . Повишаване на двете страни на това сравнение до степен нÎ н, получаваме:
(**). Това означава, че има безкраен брой правомощия а, удовлетворяващи сравнението (**). Но какнамери тези индикатори? Какво най-малкопоказател, който удовлетворява сравнението (**) ? Отговаря на първия въпрос Теорема на Ойлер(1707 – 1783).
7. 3. Теорема на Ойлер.
АкоÎ З,TÎ N, t>1 и(а;T) = 1, - тогава . (13)
Пример.
Позволявам а = 2,T = 21, (а; T) = (2; 21) = 1. Тогава . Тъй като j (21) = 12, тогава 2 12 º 1(mod 21). Наистина: 2 12 = 4096 и (4096 - 1) 21. Тогава е очевидно, че 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) и така нататък. Но показателят на 12 е - най-малкозадоволително сравнение 2 нº 1 (мод 21) ? Оказва се, че не. Най-ниският показателще бъде П= 6: 2 6 º 1 (mod 21), тъй като 2 6 – 1 = 63 и 63 21. Обърнете внимание, че най-малкоиндекс, който трябва да се търси само сред делители на число j( T) (в този пример сред делителите на числото j(21) = 12).
7. 4. Малката теорема на Ферма (1601 - 1665).
За всяко просто число p и всяко число aÎ З, не се дели на p, има сравнение . (14)
Пример.
Позволявам а = 3,Р= 5, където 3 не е 5. Тогава или
.
7. 5. Обобщение на теоремата на Ферма.
За всяко просто число p и произволно число aÎ Z се сравнява (15)
ТИПОВИ ЗАДАЧИ
1. Докажете, че 38 73 º 3(mod 35).
Решение.
1) Тъй като (38; 35) = 1, то по теоремата на Ойлер ; j(35) = 24, така че
(1).
2) От сравнение (1), по следствие 2, свойства 5 0 на числените сравнения, имаме:
3) От сравнение (2), чрез следствие 1 от свойство 5 0 сравнения: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), което трябваше да се докаже.
2. Като се има предвид: а = 4, T= 15. Намерете най-малкия показател к, удовлетворяващ сравнението (*)
Решение.
1) Тъй като ( а; м) = (4; 25) = 1, тогава по теоремата на Ойлер , j(25) = 20, така че
.
2) Дали намереният показател - числото 20 - най-малкоестествено число, което удовлетворява сравнението (*)? Ако има показател по-малък от 20, тогава той трябва да е делител на 20. Следователно изискваният минимален показател ктрябва да търсите сред много числа н= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – делители на 20.
3) Кога П = 1: ;
при П = 2: ;
при П= 3: (няма нужда да се разглежда);
при П = 4: ;
при П = 5: ;
при П= 6, 7, 8, 9: (няма нужда да се взема предвид);
при П = 10: .
Така, най-малкоекспонент к, удовлетворяващо сравнение(*), е к= 10.
Отговор: .
УПРАЖНЕНИЯ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА
141. По теоремата на Ойлер . При а = 3, T= 6 имаме:
.
Тъй като j(6) = 2, тогава 3 2 º1(mod 6), или 9º1(mod 6), тогава, съгласно лемата, (9 – 1) 6 или 8 6 (напълно!?). Къде е грешката?
142. Докажете, че: а) 23 100 º1(mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); в) 2 73 º 2 (mod 73).
143. Докажете, че а) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);
б) 5 4 П + 1 + 7 4П+ 1 се дели на 12 без остатък.
144. Докажете теорема, обратна на теоремата на Ойлер: ако а j ( м) º 1(мод м), тогава ( а, м) =1.
145. Намерете най-малкия показател кÎ Н,удовлетворяващи това сравнение: а) ; б)
; в)
; G)
;
д) ; д)
; и)
; з)
.
и) ; да се)
; л)
; м)
.
146. Намерете остатъка от делението:
а) 7100 за 11; б) 9900 за 5; в) 5176 по 7; г) 2 1999 по 5; д) 8 377 за 5;
е) 26 57 на 35; ж) 35 359 за 22; з) 5,718 на 103; i) 27 260 за 40; j) 25 1998 на 62.
147*. Докажи това а 561 º а(мода 11).
148*. Ако каноничното разлагане на естествено число Пне съдържа множители 2 и 5, то 12-та степен на това число завършва на 1. Докажете.
149*. Докажете, че 2 64 º 16 (mod 360).
150*. Докажете: ако ( а, 65) =1 , (б, 65) =1, тогава а 12 –b 12 се дели равномерно на 65.
Глава 3. АРИТМЕТИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ НА ЧИСЛЕНИТЕ СРАВНЕНИЯ
§ 8. СИСТЕМАТИЧНО ЧИСЛО
ОСНОВНИ СВЕДЕНИЯ ОТ ТЕОРИЯТА
1. ЦЕЛИ СИСТЕМАТИЧНИ ЧИСЛА
8. 1. Определение 1.
Бройна система е всеки начин за записване на числа. Знаците, с които се записват тези числа, се наричат числа.
8. 2. Определение 2.
Цяло неотрицателно систематично число, записано в t-ичната позиционна бройна система, е число n от вида
,където a i(аз = 0,1, 2,…, к) – цели неотрицателни числа – цифри, и 0 £ a i £ T– 1, t е основата на бройната система, tÎ N, t > 1.
Например записът на число в 7-значната система е: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Тук a i- това са 5, 6, 0, 3 - числа; всички те отговарят на условието: 0 £ a i£ 6. Кога T=10 кажете: число нзаписан в десетична бройна система,и индекса t= 10 не пиша.
8. 3. Теорема 1.
Всяко неотрицателно цяло число може да бъде представено и по уникален начин като систематично число във всяка основа t, където tÎ N, t > 1.
Пример:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Забележи, че:
1) присвояване на систематичния брой нули вляво не се променятози номер:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) приписване на систематично число снули вдясно е еквивалентно умножениетози номер за t s: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).
8. 5. Алгоритъм за преобразуване на число, записано вT -арна система, до десетична:
Пример: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .
8. 6. Алгоритъм за преобразуване на число, записано в десетична система система, вT - лични:
Пример: (3 9 1) 10 = (х) 12 . намирам Х.
8. 7. Действия върху систематични числа
2. СИСТЕМАТИЧНИ ДРОБИ
8. 8. Определение 3.
Крайна t-системна дроб в бройна система с основа t е число от формата
където c 0 Î З, с i - числа– цели неотрицателни числа, и 0 £ с i£ T– 1, TÎ N, t > 1, кÎ н .
Нотация: a = ( ° С 0 , с 1 с 2 …с к)T. При T= 10 се нарича дробта десетичен знак.
8. 9. Следствие 1.
Всяка крайна систематична дроб е рационално число, което може да бъде представено като , къдеÎ З бÎ Н.
Пример.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + е рационално число. Обратното твърдение по принцип не е вярно. Например една дроб не може да бъде преобразувана в крайна систематична (десетична) дроб.
8.10. Определение 4.
Безкрайна t-значна положителна систематична дроб в бройна система с основа t е число от формата
, където от 0Î н, с i(аз =1, 2, …, да се, …) - числа– цели неотрицателни числа, и 0 £ с i£ T–1, TÎ N, t > 1, кÎ н.
Нотация: a = ( с 0 , с 1 с 2 … с к…) T. При T=10 се нарича дробта десетичен знак.
8.11. Определение 5.
Има три вида безкрайни систематични дроби:
I a = ( с 0 , )T= =
T, където =
= = … В този случай числотоа се нарича безкрайна чисто периодична дроб,(с 1 с 2 … с к) – месечен цикъл, k - брой цифри в периода - дължината на периода.
II а = .
В този случай числото a се нарича безкрайна смесена периодична дроб, – предпериод, () – месечен цикъл, k - броят на цифрите в периода - дължината на периода, l - броят на цифрите между цялата част и първия период - дължината на предпериода.
III a = ( с 0 , с 1 с 2 … с к …)T . В този случай числотоа се нарича безкрайна непериодична дроб.
ТИПОВИ ЗАДАЧИ
1. Номер ( а) 5 = (2 1 4 3) 5 , дадено в 5-арната система, преведете в 7-арната система, т.е. намерете х, ако (2 1 4 3) 5 = ( х) 7 .
Решение.
1) Преобразувайте даденото число (2 1 4 3) 5 в числото ( при) 10 записано в десетична система:
2. Следвайте стъпките:
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Решение.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Забележка: | 4+5 = 9 = 1×6+3, пише се 3, 1 отива към следващата цифра, 6+3+1=10 =1×6+4, пише се 4, 1 отива към следващата цифра, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, пише се 2, 1 отива на следващата цифра. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Забележка: | "заемат" единица от най-висок ранг, т.е. "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5 , |
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Забележка: | При умножение по 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, пишем 1, 1 отива към следващата цифра, 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0, пишем 0, 1 отива към следваща цифра, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 се записва, 1 отива към следващата цифра, Когато се умножи по 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 се записва, 1 отива на следващата цифра, 3 × 2 +1=7 = 1 × 5 +2, пише се 2, 1 отива на следващата цифра, 3 × 4 +1=13=2 × 5 +3, пише се 3, 2 преминава към следващата цифра. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Отговор: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
УПРАЖНЕНИЯ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА
151. Дадени числа в T-ary система, конвертиране в десетична система:
а) (2 3 5) 7 ; б) (2 4 3 1) 5 ; в) (1 0 0 1 0 1) 2 ; г) (1 3 ) 15 ;
д) (2 7) 11; е) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; з) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; й) (1 1 1 1) 20 .
152. Числа. дадено в десетичната система, конвертирайте в T-ic система. Направете проверка.
а) (1 3 2) 10 = ( х) 7 ; б) (2 9 8) 10 = ( х) 5 ; в) (3 7) 10 = ( х) 2 ; г) (3 2 4 5) 10 = ( х) 6 ;
д) (4 4 4 4) 10 = ( х) 3 ; е) (5 6 3) 10 = ( х) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( х) осем ; з) (6 0 0) 10 = ( х) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( х) двадесет ; j) (9 2 5) 10 = ( х) осем ; k) (6 3 3) 10 = ( х) петнадесет ; m) (1 4 3) 10 = ( х) 2 .
153. Дадени числа в T-ary система, превод на р-ic система (чрез преминаване през десетичната система).
а) (3 7) 8 = ( х) 3 ; б) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( х) 5 ; в) ( 6 2) 11 = ( х) 4 ;
г) (4 ) 12 = ( х) 9 . д) (3 3 1 3 1) 5 = ( х) 12 .
154. а) Как ще се промени числото (1 2 3) 5, ако към него отдясно се добави нула?
б) Как ще се промени числото (5 7 6) 8, ако към него се добавят две нули отдясно?
155. Следвайте тези стъпки:
а) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; б) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; в) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;
г) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; д) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; е) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; з) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; о) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; в) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; е) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; з) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 След това:
I Ако знаменателят b = б"(съдържа само "2" и/или "5") - тогава фракцията се преобразува в финалдесетична дроб. Броят на десетичните знаци е равен на най-малкото естествено число л лº 0( мод b").
II Ако знаменателят b = b 1(не съдържа "2" и "5"), тогава фракцията се преобразува в безкрайно чисто периодичное равно на най-малкото естествено число к, задоволително сравнение 10 кº 1( мод b 1).
III Ако знаменателят b = б"× b 1 (съдържа "2" и / или "5", както и други прости множители), след което дробта се преобразува в безкраен смесен периодичендесет-
тиктакаща фракция.
Продължителността на периода е равна на най-малкото естествено число к, задоволително сравнение 10 кº 1( мод b 1).
Продължителността на предпериода е равна на най-малкото естествено число л, задоволително сравнение 10 лº 0( мод b").
9. 2. Изводи.
9. 3. Забележи, че:
рационално число е всяка крайна десетична дроб или безкрайна периодична десетична дроб;
Ирационално число е всяка безкрайна непериодична десетична дроб.
ТИПОВИ ЗАДАЧИ
1. Тези обикновени дроби, записани в десетичната система, се преобразуват в
десетична, преди товакато определи вида на желаната фракция (крайна или безкрайна; периодична или непериодична; ако - периодична, след това чисто периодична или смесена периодична); в последните случаи предварително намираненомер к– продължителност и брой на периода ле продължителността на предварителния период. един) ; 2) ; 3).
Решение.
1) Дроб = знаменател - число b= 80 = 2 4 × 5 съдържа само "2" и "5". Следователно тази дроб се преобразува в финалдесетична дроб. Брой знаци след десетичната запетая аз имеопределя се от условието: 10 лº0 (mod80):
2) Дроб = знаменател - число b= 27 = 3 3 не съдържа "2" и "5". Следователно тази дроб се преобразува в безкрайна чисто периодичнодесетична дроб. Продължителност на периода k имеопределя се от условието: 10 кº1(mod27):
3) Дроб = знаменател - число b= 24 = 2 3 × 3, тоест изглежда така: b = б"× b 1 (с изключение на "2" или "5" съдържа други фактори, в този случай числото 3). Следователно тази дроб се преобразува в безкрайна смесен периодичендесетична дроб. Продължителност на периода k имеопределя се от условието: 10 кº1(mod3), откъдето k име= 1, тоест дължината на периода к= 1. Дължина преди периода аз имеопределя се от условието: 10 лº0(mod8), откъдето аз име= 3, тоест продължителността на предпериода л = 3.
Проверка: разделете "ъгъла" 5 на 24 и получете: = 0, 208 (3).
Отговор: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
УПРАЖНЕНИЯ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА
156. Тези обикновени дроби, записани в десетичната система, се превръщат в десетични дроби. Ако десетичната запетая е периодична, тогава преди тованамери номера к- продължителност и брой на периода л- продължителността на предпериода.
157. Тези обикновени дроби, записани в десетичната система, се превръщат в T-арични систематични дроби. Намерете числата к- продължителност на периода и л- продължителността на предпериода.
158*. В коя бройна система се записва числото (4 6) 10 със същите цифри, но в
обратен ред?
159*. Кое е по-голямо: единицата от 8-ма цифра в двоичната система или единицата от 4-та цифра в осмичната система?
§ 10. ТЕОРЕМА НА ПАСКАЛ. ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТ
ОСНОВНИ СВЕДЕНИЯ ОТ ТЕОРИЯТА
10. 1. Теорема на Паскал (1623 – 1662).
Дадени са естествени числа: t > 1и n, написани в t-образна система:
,където a i са числа: a iÎ Н, 0 £ a i £ T–1 (аз = 0,1, 2,…, к), TÎ N, t > 1.
Позволявам н= (a k a k - 1 … а 1 а 0) 10 = a k×10 к +к - 1×10 к- 1 +…+а 1×10+ а 0 , м=3 и м = 9.
1) Намерете b i: по модулm = 3модулоm = 9
10 0 º1(mod3), т.е. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), т.е. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), т.е. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), т.е. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), т.е. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), т.е. b
Пълна система за таксуване. Дадената система на удръжки. Най-често срещаните системи за приспадане са: най-малко положителни, най-малко неотрицателни, абсолютно най-малко и т.н.
Теорема 1. Свойства на пълната и редуцирана система от остатъци.
1° Критерии за цялостна система на удръжки. Всяка комбинация от мцели числа, които са несравними по двойки по модул м, образува пълна система от остатъци по модул м.
2°. Ако числата х 1 , х 2 , ..., x m– пълна система от остатъци по модул м, (а, м) = 1, bе произволно цяло число, след това числата брадва 1 +b, брадва 2 +b, ..., брадва m+bсъщо представляват пълна система от остатъци по модул м.
3°. Критерий на редуцираната редукционна система. Всяка колекция, състояща се от j( м) цели числа, които са несравними по двойки по модул ми взаимнопрост с модула, образува редуцирана система от остатъци по модул м.
4°. Ако числата х 1 , х 2 , ..., х j ( м) е редуцирана система от остатъци по модул м, (а, м) = 1, след това числата брадва 1 , брадва 2 , ..., a x j ( м) също съставляват редуцирана система от остатъци по модул м.
Теорема 2.Теорема на Ойлер.
Ако числата аи м coprime, тогава а j ( м) º 1(мод м).
Последица.
1°. Теорема на Ферма. Ако стре просто число и ане се дели на стр, тогава a p–1 º 1 (мод стр).
2°. Обобщена теорема на Ферма. Ако стртогава е просто число a p º а(мод стр) за всякакви аÎ З .
§ четири. Решаване на сравнения с променлива
Решение за сравнение. Еквивалентност. Степента на сравнение.
Теорема. Свойства на решенията на конгруенции.
1° Решения на конгруенции са цели класове остатъци.
2°. (" к)(a k º b k(мод м))Ù к= z от сравнението º 0 (мод м) и º 0 (мод м) са еквивалентни.
3°. Ако и двете части на сравнението се умножат по число, взаимно просто с модула, тогава се получава сравнение, което е еквивалентно на оригиналното.
4°. Всяко сравнение по модул просто стре еквивалентно на сравнение, чиято степен не надвишава стр–1.
5°. Сравнение º 0 (мод стр), където стре просто число, има най-много нразлични решения.
6°. Теорема на Уилсън. ( н-един)! º –1 (мод н) Û нПросто число.
§ 5. Решаване на сравнения от първа степен
брадва º b(мод м).
Теорема. 1°. Ако ( а, м) = 1, тогава сравнението има решение и то е уникално.
2°. Ако ( а, м) = ди bне се дели на д, тогава сравнението няма решения.
3°. Ако ( а, м) = ди bразделена на д, тогава сравнението има дразлични разтвори, които образуват един клас модулни остатъци.
Начини за решаване на сравнения брадва º b(мод м) кога ( а, м) = 1:
1) подбор (изброяване на елементи от пълна система от удръжки);
2) използване на теоремата на Ойлер;
3) използване на алгоритъма на Евклид;
4) вариация на коефициентите (като се използва свойство 2° на пълната система от остатъци от теорема 2.2);
§6. Неопределени уравнения от първа степен
брадва+от = ° С.
Теорема. Уравнението брадва+от = ° Сразрешима тогава и само ако ° С (а, b).
Кога ( а, b) = 1 всички решения на уравнението са дадени с формулите
TÎ З , където х 0 е някакво решение за сравнение
брадва º ° С(мод b), г 0 = .
Диофантови уравнения.
ГЛАВА 10. Комплексни числа
Дефиниция на система от комплексни числа. Наличие на система от комплексни числа
Дефиниция на система от комплексни числа.
Теорема. Съществува системата на комплексните числа.
Модел: Р 2 с операции
(а, b)+(° С, д) = (а+° С, b+д), (а, b)×( ° С, д) = (ак–бд, пр.н.е+реклама),
аз= (0, 1) и идентификация а = (а, 0).
Алгебрична форма на комплексно число
Представяне на комплексно число във формата z = а+би, където а, bÎ Р , аз 2 = -1. Уникалността на такова представяне. Re z, Аз съм z.
Правила за извършване на аритметични действия с комплексни числа в алгебрична форма.
Аритметика н-дименсионално векторно пространство ° С н. Системи от линейни уравнения, матрици и детерминанти над ° С .
Извличане на квадратни корени от комплексни числа в алгебрична форма.
част от пълната система от остатъци (Вж. Пълна система от остатъци), състояща се от числа, взаимно прости с модул м. P. s. в. съдържа φ( м) числа [φ( м) е броят на числата, взаимно прости с ми по-малък м]. Всеки φ( м) числа, които не са сравними по модул ми копрости с него, образуват P. s. в. за този модул.
- - вижте Намалена маса...
Физическа енциклопедия
- - условна характеристика на разпределението на масите в движеща се механика. или смесена система, в зависимост от физ. параметрите на системата и от закона за нейното движение...
Физическа енциклопедия
- - по модул m - всяко множество от цели числа, които са несравними по модул 1. Обикновено като П. с. в. по модул най-малките неотрицателни остатъци 0, 1, . . ...
Математическа енциклопедия
- - сумата от използваемата площ на жилищна сграда, както и площите на лоджиите, верандите, балконите със съответните коефициенти на намаление - дадена е общата площ - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Строителен речник
- - Вижте коефициента на порьозност на скалите ...
- - съотношението на обема на порите на скалата към обема на скалния скелет, обикновено изразено във фракции от единица ...
Речник по хидрогеология и инженерна геология
- - вижте коефициента на порьозност...
Обяснителен речник по почвознание
- - същото като основната част...
- - условен характер на разпределението на масите в система от движещи се тела, въведен в механиката за опростяване на уравненията на движение на системата ...
Голям енциклопедичен политехнически речник
- - Данък, наложен при източника върху дивиденти или други доходи, получени от нерезидент на страната...
Финансов речник
- - Данък, наложен при източника върху дивиденти или други доходи, получени от нерезидент на страната...
Речник на бизнес термините
- - по модул m, всяка колекция от цели числа, съдържаща едно число от всеки клас числа по модул m. Както П. с. в. най-често използваната система от най-малко положителни остатъци 0, 1, 2,.....
- - условна характеристика на разпределението на масите в движеща се механична или смесена система, в зависимост от физическите параметри на системата и от закона на нейното движение ...
Велика съветска енциклопедия
- - НАМАЛЕНА маса - условна характеристика на разпределението на масите в движеща се механична или смесена система, в зависимост от физическите параметри на системата и от закона на нейното движение ...
Голям енциклопедичен речник
- - общи, всички, кумулативни, ...
Речник на синонимите
- - прил., брой синоними: 1 чист ...
Речник на синонимите
"Намалена система на удръжки" в книгите
Каква е настоящата стойност на основните компетенции?
От книгата Безтегловно богатство. Определете стойността на вашата компания в икономиката на нематериалните активи автор Тисен РенеКаква е настоящата стойност на основните компетенции? Въз основа на горното можем да кажем, че настоящата стойност на основна компетентност се изчислява чрез умножаване на всички показатели за определено време, като се вземат предвид разходите за привличане
Нетна настояща стойност (NPV)
От MBA книгата за 10 дни. Най-важната програма на водещите световни бизнес училища автор Силбигер СтефанНетна настояща стойност (NPV) Анализът на настоящата стойност (NPV) помага да се изчисли колко трябва да инвестира един служител, за да получава прилична пенсия след 30 години, но този анализ не е полезен при оценката на текущи инвестиции и проекти. Инвестициите трябва да бъдат оценени
СЧЕТОВОДНО ОТЧИТАНЕ НА РЕКВИЗИТИ И УДЪРЖАНИЯ ОТ ЗАПЛАТАТА
От книгата Счетоводство автор Мелников ИляПРИЗНАВАНЕ НА ДАННИ И УДЪРЖАНИЯ ОТ ЗАПЛАТИТЕ В съответствие със законодателството се правят следните удръжки от заплатите на служителите: - данък общ доход (държавен данък, обект на облагане - заплати);
10.6. Счетоводно отчитане на удръжки и удръжки от заплати
От книгата Счетоводство в селското стопанство автор Бичкова Светлана Михайловна10.6. Счетоводно отчитане на удръжки и удръжки от заплатите. От заплатите на служителите на предприятието се правят определени удръжки, които се разделят, както следва: задължителни удръжки (данък върху доходите на физическите лица, удръжки по заповеди за изпълнение);
От книгата Нематериални активи: Счетоводно и данъчно счетоводство авторът Захарьин В Р<...>
4.1. Общи въпроси за предоставяне на социални данъчни облекчения
автор Макурова Татяна4.1. Общи въпроси за предоставяне на социални данъчни удръжки. Социалните данъчни удръжки (член 219 от Данъчния кодекс), както и имуществено приспадане за закупуване на жилище означава намаляване на данъчната основа с размера на направените социални разходи, като се вземат предвид законодателство
4.3. Характеристики на предоставянето на удръжки за образование
От книгата Самоучител за данъците върху доходите на физическите лица автор Макурова Татяна4.3. Особености при отпускане на удръжки за образование 142) Какви разходи могат да се приемат като удръжки за образование? Какви са границите на удръжките за образование За приспадането на социалния данък за образование се приемат: разходи в размер, платен от данъкоплатеца в
3.4. Количествено определяне и честота на възникване и прилагане на данъчни облекчения
От книгата Данъчната тежест на предприятието: анализ, изчисляване, управление автор Чипуренко Елена Викторовна3.4. Количествено определяне и честота на възникване и прилагане на данъчни облекчения 3.4.1. ДДС като потенциално данъчно приспадане При изчисляване на ДДС сумите на данъчните приспадания се определят само в съответствие с данните от данъчните счетоводни регистри - книги за покупки. При
Пълна система от удръжки
От книгата Велика съветска енциклопедия (ПО) на автора TSBНамалена маса
TSBНамалената система на удръжки
От книгата Велика съветска енциклопедия (PR) на автора TSB88. Структурни и съкратени форми на система от едновременни уравнения. Идентификация на модела
От книгата Отговори на изпитни билети по иконометрия автор Яковлева Ангелина Виталиевна88. Структурни и съкратени форми на система от едновременни уравнения. Идентификация на модела Структурните уравнения са уравненията, които съставят оригиналната система от едновременни уравнения. В този случай системата има структурна форма.Структурна форма
От книгата Ново в Данъчния кодекс: коментар на промените, влезли в сила през 2008 г автор Зрелов Александър ПавловичЧлен 172. Процедура за прилагане на данъчни облекчения
автор автор неизвестенЧл.172
От книгата Данъчен кодекс на Руската федерация. Първа и втора част. Текст с изменения и допълнения от 1 октомври 2009 г автор автор неизвестенЧлен 201. Процедурата за прилагане на данъчни облекчения