Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği kavramı. Limit ve süreklilik. Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği
![Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği kavramı. Limit ve süreklilik. Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği](https://i0.wp.com/mathprofi.ru/i/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva_clip_image004.jpg)
Fonksiyon sürekliliği. Kırılma noktaları.
Hareket halindeyken bir boğa yürüyor, sallanıyor, iç çekiyor:
- Oh, tahta bitiyor, şimdi düşeceğim!
Bu derste, bir fonksiyonun sürekliliği kavramını, süreksizlik noktalarının sınıflandırılmasını ve yaygın bir pratik problemi inceleyeceğiz. süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi. Birçoğu, konunun başlığından neyin tartışılacağını sezgisel olarak tahmin ediyor ve materyalin oldukça basit olduğunu düşünüyor. Bu doğru. Ancak, çoğunlukla ihmal nedeniyle cezalandırılan basit görevler ve bunları çözmek için yüzeysel bir yaklaşımdır. Bu nedenle makaleyi dikkatlice incelemenizi ve tüm incelikleri ve teknikleri yakalamanızı tavsiye ederim.
Neleri bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor?Çok değil. İyi bir öğrenme deneyimi için neyin ne olduğunu anlamanız gerekir. işlev sınırı. Hazırlık düzeyi düşük okuyucular için makaleyi anlaması yeterlidir. Fonksiyonların limitleri. Çözüm örnekleri ve kılavuzdaki limitin geometrik anlamını görün Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Kendinizi tanımanız da tavsiye edilir. grafiklerin geometrik dönüşümleri, çoğu durumda uygulama bir çizimin oluşturulmasını içerdiğinden. Beklentiler herkes için iyimser ve dolu bir su ısıtıcısı bile önümüzdeki bir veya iki saat içinde görevin üstesinden gelebilir!
Fonksiyon sürekliliği. Kesme noktaları ve sınıflandırılması
Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı
Bazı fonksiyonların tüm gerçek satırda sürekli olduğunu düşünün:
Ya da daha kısaca, fonksiyonumuz (gerçel sayılar kümesi) üzerinde süreklidir.
Sürekliliğin "burjuva" ölçütü nedir? Sürekli bir fonksiyonun grafiğinin, kalemi kağıttan kaldırmadan çizilebileceği açıktır.
Bu durumda, iki basit kavram açıkça ayırt edilmelidir: işlev kapsamı ve fonksiyon sürekliliği. Genel olarak aynı şey değil. Örneğin:
Bu fonksiyon tüm sayı satırında, yani şu şekilde tanımlanır: herkes"x" değerinin kendi "y" değeri vardır. Özellikle, eğer , o zaman . Diğer noktanın işaretli olduğuna dikkat edin, çünkü fonksiyonun tanımı gereği argümanın değeri eşleşmelidir. Sadece bir şey işlev değeri. Böylece, alan adıözelliklerimiz: .
Yine de bu işlev sürekli açık değil! Dayandığı noktada çok açık açıklık. Terim de oldukça anlaşılır ve net, aslında burada kalemin yine de kağıttan yırtılması gerekecek. Biraz sonra, kesme noktalarının sınıflandırılmasını ele alacağız.
Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği
Belirli bir matematik probleminde bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinden, bir fonksiyonun bir aralıkta, yarım aralıkta veya bir fonksiyonun bir doğru parçasında sürekliliğinden bahsedebiliriz. Yani, "sadece süreklilik" yoktur– işlev BİR YERDE sürekli olabilir. Ve diğer her şeyin temel "tuğlası" fonksiyon sürekliliği noktada .
Matematiksel analiz teorisi, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini "delta" ve "epsilon" komşulukları yardımıyla tanımlar, ancak pratikte çok dikkat edeceğimiz başka bir tanım kullanımdadır.
önce hatırlayalım tek taraflı limitler ilk derste hayatımıza girenler fonksiyon grafikleri hakkında. Günlük bir durum düşünün:
Eksen boyunca noktaya yaklaşırsak ayrıldı(kırmızı ok), ardından "oyunların" karşılık gelen değerleri eksen boyunca noktaya (ahududu oku) gidecektir. Matematiksel olarak, bu gerçek kullanılarak sabitlenir sol sınır:
Girdiye dikkat edin ("x soldan ka'ya eğilimlidir" yazıyor). "Katkı maddesi" "eksi sıfır"ı simgeliyor , bu da esasen sayıya sol taraftan yaklaştığımız anlamına gelir.
Benzer şekilde, "ka" noktasına yaklaşırsanız sağda(mavi ok), ardından "oyunlar" aynı değere gelecek, ancak yeşil ok boyunca ve sağ sınır aşağıdaki gibi biçimlendirilecektir:
"Ek" sembolize eder , ve giriş şu şekildedir: "x sağdan ka'ya eğilimlidir."
Tek taraflı limitler sonlu ve eşit ise(bizim durumumuzda olduğu gibi): , o zaman GENEL bir sınır var diyeceğiz . Çok basit, toplam limit bizim "olağan" limitimizdir. işlev sınırı son sayıya eşittir.
İşlev, (grafik dalındaki siyah noktayı delin) noktasında tanımlanmamışsa, listelenen hesaplamaların geçerli kalacağını unutmayın. Özellikle makalede defalarca belirtildiği gibi sonsuz küçük fonksiyonlar hakkında, ifadeler "x" anlamına gelir sonsuz yakın noktaya yaklaşırken, ALAKASIZ fonksiyonun kendisinin verilen noktada tanımlı olup olmadığı. Bir sonraki bölümde, fonksiyon analiz edildiğinde iyi bir örnek bulunacaktır.
Tanım: fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşitse, fonksiyon bir noktada süreklidir: .
Tanım aşağıdaki terimlerle detaylandırılmıştır:
1) Fonksiyon noktasında tanımlanmalıdır, yani değer mevcut olmalıdır.
2) Fonksiyonun ortak bir limiti olmalıdır. Yukarıda belirtildiği gibi, bu, tek taraflı limitlerin varlığını ve eşitliğini ima eder: .
3) Fonksiyonun verilen bir noktadaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit olmalıdır: .
İhlal edilirse en az birüç koşuldan biri, o zaman fonksiyon noktasında süreklilik özelliğini kaybeder.
Aralıkta bir fonksiyonun sürekliliği esprili ve çok basit bir şekilde formüle edildi: bir fonksiyon, verilen aralığın her noktasında sürekliyse, bir aralıkta süreklidir.
Özellikle sonsuz aralıkta, yani gerçek sayılar kümesinde birçok fonksiyon süreklidir. Bu doğrusal bir fonksiyondur, polinomlar, üs, sinüs, kosinüs vb. temel işlevüzerinde sürekli etki alanları, bu nedenle, örneğin, logaritmik fonksiyon aralıkta süreklidir. Umarım şimdiye kadar ana fonksiyonların grafiklerinin nasıl göründüğüne dair iyi bir fikriniz vardır. Süreklilikleri hakkında daha detaylı bilgi, Fichtenholtz adlı nazik bir adamdan alınabilir.
Fonksiyonun segment ve yarım aralıklar üzerindeki sürekliliği ile de her şey basit ama derste bundan bahsetmek daha uygun. bir segmentteki bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini bulma üzerine o zamana kadar başımızı eğik tutalım.
Kırılma noktalarının sınıflandırılması
Fonksiyonların büyüleyici hayatı, her türlü özel nokta açısından zengindir ve kırılma noktaları, biyografilerinin sayfalarından sadece bir tanesidir.
Not : her ihtimale karşı, temel bir an üzerinde duracağım: kırılma noktası her zaman tek nokta- "arka arkaya birkaç kırılma noktası" yoktur, yani "ara aralığı" diye bir şey yoktur.
Bu noktalar sırayla iki büyük gruba ayrılır: birinci türden kırılmalar ve ikinci türden kırılmalar. Her boşluk türünün, şu anda inceleyeceğimiz kendi karakteristik özellikleri vardır:
Birinci türden süreksizlik noktası
Süreklilik koşulu bir noktada ihlal edilirse ve tek taraflı limitler sonlu , sonra denir birinci türden kırılma noktası.
En iyimser durumla başlayalım. Dersin ilk fikrine göre, teoriyi "genel terimlerle" anlatmak istedim, ancak malzemenin gerçekliğini göstermek için belirli aktörlerle bir varyantta karar kıldım.
Ne yazık ki, yeni evlilerin Ebedi Ateşin fonunda çekilmiş bir fotoğrafı gibi, ancak aşağıdaki çerçeve genel olarak kabul ediliyor. Çizimdeki fonksiyonun grafiğini çizelim:
Bu fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda süreklidir. Gerçekten de, payda sıfıra eşit olamaz. Ancak, sınırın anlamına uygun olarak - yapabiliriz sonsuz yakın hem soldan hem de sağdan "sıfıra" yaklaşın, yani tek taraflı sınırlar vardır ve açıkça çakışmaktadır: (Süreklilik koşulu No. 2 karşılanır).
Ancak fonksiyon noktasında tanımlı değildir, bu nedenle sürekliliğin 1. Koşulu ihlal edilir ve fonksiyon bu noktada bir kırılma yaşar.
Bu tür bir kırılma (mevcut genel sınır) arandı onarılabilir boşluk. Neden çıkarılabilir? Çünkü fonksiyon yeniden tanımla kırılma noktasında:
Garip mi görünüyor? Belki. Ancak böyle bir işlev kaydı hiçbir şeyle çelişmez! Şimdi boşluk düzeltildi ve herkes mutlu:
Resmi bir kontrol yapalım:
2) – ortak bir sınır vardır;
3)
Böylece, üç koşul da sağlanır ve fonksiyon bir noktada süreklilik tanımına göre fonksiyon bir noktada süreklidir.
Ancak, matandan nefret edenler, işlevi kötü bir şekilde yeniden tanımlayabilir, örneğin :
Merakla, ilk iki süreklilik koşulu burada karşılanmıştır:
1) - işlev belirli bir noktada tanımlanır;
2) – ortak bir sınır vardır.
Ancak üçüncü sınır geçilmemiştir: , yani fonksiyonun o noktadaki limiti. eşit değil verilen fonksiyonun verilen noktadaki değeri.
Böylece, bir noktada fonksiyon bir süreksizlik yaşar.
İkinci, daha üzücü durum denir birinci türden kırılma bir sıçrama ile. Ve üzüntü, tek taraflı sınırlar tarafından uyandırılır. sonlu ve farklı. Dersin ikinci çiziminde bir örnek gösterilmiştir. Bu boşluk genellikle parçalı fonksiyonlar yazıda belirtilmiş zaten. grafik dönüşümleri hakkında.
Parçalı bir fonksiyon düşünün ve çizimini yürütün. Bir grafik nasıl oluşturulur? Çok basit. Yarım aralıkta parabolün bir parçasını (yeşil), aralıkta - düz bir çizgi parçası (kırmızı) ve yarı aralıkta - düz bir çizgi (mavi) çiziyoruz.
Aynı zamanda, eşitsizlik nedeniyle, değer ikinci dereceden bir işlev (yeşil nokta) için tanımlanır ve eşitsizlik nedeniyle, değer doğrusal bir işlev (mavi nokta) için tanımlanır:
En zor durumda, grafiğin her bir parçasının noktasal olarak oluşturulmasına başvurulmalıdır (bkz. fonksiyonların grafikleri hakkında ders).
Şimdilik sadece nokta ile ilgileniyoruz. Devamlılık açısından inceleyelim:
2) Tek taraflı limitleri hesaplayın.
Solda kırmızı bir çizgi segmentimiz var, yani soldaki limit:
Sağda mavi düz çizgi ve sağdaki sınır var:
Sonuç olarak, sonlu sayılar, ve onlar eşit değil. Çünkü tek taraflı limitler sonlu ve farklı: , o zaman fonksiyonumuz zarar görür bir sıçrama ile birinci türden süreksizlik.
Boşluğun ortadan kaldırılamaması mantıklıdır - işlev, önceki örnekte olduğu gibi gerçekten daha fazla tanımlanamaz ve "birbirine yapıştırılamaz".
İkinci türden süreksizlik noktaları
Genellikle, diğer tüm kopma vakaları kurnazca bu kategoriye atfedilir. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü pratikte karşılaşacağınız görevlerin %99'unda sonsuz boşluk- solak veya sağlak olduğunda ve daha sıklıkla, her iki sınır da sonsuzdur.
Ve elbette, en bariz resim sıfırdaki bir abartmadır. Burada her iki tek taraflı limit de sonsuzdur: bu nedenle fonksiyon, noktasında ikinci türden bir süreksizlikten muzdariptir.
Makalelerimi en çeşitli içeriklerle doldurmaya çalışıyorum, bu yüzden fonksiyonun henüz görülmemiş grafiğine bakalım:
standart şemaya göre:
1) Payda sıfıra gittiği için fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.
Tabii ki, fonksiyonun şu noktada bir kesintiye uğradığı sonucuna varılabilir, ancak genellikle koşulun gerektirdiği kırılmanın doğasını sınıflandırmak iyi olur. Bunun için:
Size bir kaydın ne anlama geldiğini hatırlatırım sonsuz küçük negatif sayı ve girişin altında - sonsuz küçük pozitif sayı.
Tek taraflı limitler sonsuzdur, yani fonksiyon noktasında 2. türden bir süreksizlik yaşar. y ekseni dikey asimptot grafik için.
Her iki tek taraflı sınırın olması nadir değildir, ancak bunlardan yalnızca biri sonsuzdur, örneğin:
Bu, fonksiyonun grafiğidir.
Süreklilik noktasını inceliyoruz:
1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.
2) Tek taraflı limitleri hesaplayın:
Pek çok okuyucu zaten her şeyi görmüş ve tahmin etmiş olsa da, dersin son iki örneğinde bu tür tek taraflı limitleri hesaplama metodolojisinden bahsedeceğiz.
Soldaki limit sonludur ve sıfıra eşittir ("noktaya gitmeyiz"), ancak sağdaki limit sonsuzdur ve grafiğin turuncu dalı kendisininkine sonsuz derecede yakındır. dikey asimptot denklemle verilir (kesikli siyah çizgi).
Böylece, işlev zarar görür ikinci türden kırılma noktada .
1. türden bir süreksizlik söz konusu olduğunda, süreksizlik noktasında bir fonksiyon tanımlanabilir. Örneğin, parçalı bir fonksiyon için orijine cesurca siyah kalın bir nokta koyun. Sağda hiperbolün bir dalı var ve sağdaki limit sonsuz. Sanırım neredeyse herkes bu grafiğin neye benzediğini hayal etti.
Herkesin dört gözle beklediği şey:
Süreklilik için bir fonksiyon nasıl araştırılır?
Bir noktadaki süreklilik fonksiyonunun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesinden oluşan önceden haddelenmiş rutin şemaya göre gerçekleştirilir:
örnek 1
İşlevi Keşfet
Çözüm:
1) Fonksiyonun tanımlanmadığı tek nokta görüşün altına düşer.
2) Tek taraflı limitleri hesaplayın:
Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.
Böylece, bir noktada, fonksiyon durdurulamaz bir süreksizlikten muzdariptir.
Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?
basitleştirmek istiyorum , ve sıradan bir parabol gibi görünüyor. ANCAK orijinal işlev noktasında tanımlanmamıştır, bu nedenle aşağıdaki uyarı gereklidir:
Çizimi çalıştıralım:
Cevap: fonksiyon, süreksizliğe maruz kaldığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
İşlev iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde yeniden tanımlanabilir, ancak bu koşul tarafından gerekli değildir.
Örneğin çok uzak olduğunu mu söylüyorsunuz? Hiç de bile. Pratikte onlarca kez oldu. Sitenin hemen hemen tüm görevleri gerçek bağımsız ve kontrollü çalışmalardan gelmektedir.
Favori modüllerimizi inceleyelim:
Örnek 2
İşlevi Keşfet süreklilik için. Varsa, işlev sonlarının doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.
Çözüm: nedense, öğrenciler korkuyorlar ve karmaşık hiçbir şey olmamasına rağmen bir modülle çalışmaktan hoşlanmıyorlar. Derste zaten bu tür şeylere biraz değindik. Geometrik Çizim Dönüşümleri. Modül negatif olmadığından, aşağıdaki gibi genişler: , burada "alfa" bir ifadedir. Bu durumda, ve fonksiyonumuz parçalı olarak imzalamalıdır:
Ancak her iki parçanın kesirleri de azaltılmalıdır. Önceki örnekte olduğu gibi azalma sonuçsuz kalmayacak. Payda sıfır olduğu için orijinal fonksiyon noktada tanımlanmamıştır. Bu nedenle, sistem ayrıca koşulu belirtmeli ve ilk eşitsizliği kesin yapmalıdır:
Şimdi ÇOK FAYDALI bir numara için: Görevi bir taslak üzerinde tamamlamadan önce (koşulun gerektirip gerektirmediğine bakılmaksızın) bir çizim yapmakta fayda vardır. Bu, öncelikle süreklilik noktalarını ve kırılma noktalarını anında görmenize yardımcı olacak ve ikinci olarak, tek taraflı limitler bulurken sizi hatalardan %100 kurtaracaktır.
Hadi hile yapalım. Hesaplamalarımıza göre, fonksiyon noktanın kendisinde tanımlanmamışken, noktanın soluna bir parabol parçası (mavi) ve sağa - bir parabol parçası (kırmızı) çizmek gerekir. :
Şüpheye düştüğünüzde, birkaç "x" değeri alın ve bunları fonksiyonda değiştirin. (modülün olası bir eksi işaretini yok ettiğini hatırlayarak) ve grafiği kontrol edin.
Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak araştırıyoruz:
1) Fonksiyon , noktasında tanımlı değildir, dolayısıyla o noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.
2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim, bunun için tek taraflı limitler hesaplıyoruz:
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır, bu da fonksiyonun noktasında bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizlik yaşadığı anlamına gelir. Bir kez daha, limitleri bulurken kırılma noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığına dikkat edin.
Şimdi çizimi taslaktan aktarmaya (olduğu gibi araştırma ;-) yardımıyla yapıldı) ve görevi tamamlamaya devam ediyor:
Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
Bazen süreksizlik atlamasını ayrıca belirtmek gerekir. Temel olarak hesaplanır - sol limit sağ limitten çıkarılmalıdır: , yani kırılma noktasında fonksiyonumuz 2 birim aşağı atladı (eksi işareti bize bunu anlatıyor).
Örnek 3
İşlevi Keşfet süreklilik için. Varsa, işlev sonlarının doğasını belirleyin. Çizim yapmak.
Bu kendi kendine çözme için bir örnek, dersin sonunda bir örnek çözüm.
İşlev üç parçadan oluştuğunda, görevin en popüler ve yaygın sürümüne geçelim:
Örnek 4
Fonksiyonu süreklilik açısından araştırın ve fonksiyon grafiğini çizin .
Çözüm: Fonksiyonun üç bölümünün de karşılık gelen aralıklarda sürekli olduğu açıktır, bu nedenle parçalar arasında yalnızca iki "kavşak" noktasını kontrol etmek kalır. Önce bir taslak üzerine çizim yapalım, yazının ilk bölümünde yapım tekniğini yeterince detaylı bir şekilde yorumladım. Tek şey, tekil noktalarımızı dikkatlice takip etmektir: eşitsizlik nedeniyle değer düz çizgiye (yeşil nokta) ve eşitsizlik nedeniyle değer parabole (kırmızı nokta) aittir:
Prensip olarak, her şey açık =) Bir karar vermeye devam ediyor. İki "popo" noktasının her biri için standart olarak 3 süreklilik koşulunu kontrol ediyoruz:
BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1)
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır, bu da fonksiyonun noktasında bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizlik yaşadığı anlamına gelir.
Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol sınırlar arasındaki fark olarak hesaplayalım:
, yani grafik bir birim yukarı sıçradı.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) – fonksiyon verilen noktada tanımlanır.
2) Tek taraflı limitleri bulun:
– tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, dolayısıyla ortak bir limit vardır.
3) – bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Son aşamada çizimi temiz bir kopyaya aktarıyoruz ve ardından son akoru koyuyoruz:
Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğin olduğu nokta dışında, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
Örnek 5
Süreklilik için bir fonksiyonu araştırın ve grafiğini oluşturun .
Bu, dersin sonunda bağımsız bir çözüm, kısa bir çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.
Bir noktada fonksiyonun zorunlu olarak sürekli olması gerektiği ve başka bir noktada zorunlu olarak bir süreksizlik olması gerektiği izlenimi edinilebilir. Uygulamada, bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın - birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:
Örnek 6
Verilen bir işlev . Fonksiyonu noktalarda süreklilik için araştırınız. Bir grafik oluşturun.
Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:
Bu grafiğin özelliği, parçalı fonksiyon için apsis ekseninin denklemiyle verilmiş olmasıdır. Burada bu bölüm yeşil renkle çizilmiştir ve bir defterde genellikle basit bir kalemle kalın bir şekilde vurgulanmıştır. Ve tabii ki koyunlarımızı da unutmayın: değer teğet dala (kırmızı nokta) atıfta bulunur ve değer düz çizgiye aittir.
Çizimden her şey açıktır - fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir, 3-4 benzer örnekten sonra kelimenin tam anlamıyla tam otomatizme getirilen bir çözüm oluşturmaya devam eder:
BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) - işlev belirli bir noktada tanımlanır.
2) Tek taraflı limitleri hesaplayın:
, dolayısıyla ortak bir sınır vardır.
Her itfaiyeci için önemsiz bir gerçeği hatırlatmama izin verin: Bir sabitin limiti, sabitin kendisine eşittir. Bu durumda, sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (soldaki limit).
3) – bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Böylece, bir fonksiyon bir noktada sürekli olan bir fonksiyonun tanımına göre bir noktada süreklidir.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) - işlev belirli bir noktada tanımlanır.
2) Tek taraflı limitleri bulun:
Ve burada - birimin sınırı birimin kendisine eşittir.
– ortak bir sınır vardır.
3) – bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Böylece, bir fonksiyon bir noktada sürekli olan bir fonksiyonun tanımına göre bir noktada süreklidir.
Her zamanki gibi çalışmadan sonra çizimimizi temiz bir kopyaya aktarıyoruz.
Cevap: fonksiyon noktalarda süreklidir.
Lütfen, süreklilik için tüm fonksiyonun incelenmesi hakkında bize hiçbir şey sorulmadığına ve formüle etmenin iyi bir matematiksel form olarak kabul edildiğine dikkat edin. kesin ve net sorulan sorunun cevabı. Bu arada, koşula göre bir grafik oluşturmak gerekmiyorsa, o zaman onu oluşturmama hakkınız vardır (gerçi daha sonra öğretmen sizi bunu yapmaya zorlayabilir).
Bağımsız bir çözüm için küçük bir matematiksel "bildiri":
Örnek 7
Verilen bir işlev . Fonksiyonu noktalarda süreklilik için araştırınız. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.
Tüm "kelimeleri" doğru bir şekilde "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin bir şekilde çizin, doğruluk, her yerde gereksiz olmayacak ;-)
Hatırladığınız gibi, hemen bir taslak çizmenizi tavsiye ettim, ancak zaman zaman öyle örnekler oluyor ki grafiğin neye benzediğini hemen anlayamıyorsunuz. Bu nedenle, bazı durumlarda, önce tek taraflı limitler bulmak ve ancak bundan sonra, çalışma temelinde dalları tasvir etmek avantajlıdır. Son iki örnekte, bazı tek taraflı limitleri hesaplama tekniğini de öğreneceğiz:
Örnek 8
Fonksiyonu süreklilik açısından araştırın ve şematik grafiğini oluşturun.
Çözüm: Kötü noktalar bariz: (üssel paydayı sıfıra çevirir) ve (tüm kesrin paydasını sıfıra çevirir). Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediği net değil, bu da önce araştırma yapmanın daha iyi olduğu anlamına geliyor.
Eğer bir küme hiç eleman içermiyorsa o kümeye denir. boş küme ve kaydedildi Ø .
varlık niceleyici
∃- varoluşsal niceleyici, "var" kelimelerinin yerine kullanılır,
"mevcut". Sadece bir tane olduğu için okunan ∃! sembol kombinasyonu da kullanılır.
Mutlak değer
Tanım. Gerçek bir sayının mutlak değeri (modülü), aşağıdaki formülle belirlenen, negatif olmayan bir sayıdır:
Örneğin,
Modül özellikleri
Eğer ve gerçek sayılar ise, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
İşlev
bir fonksiyonun argümanları olarak adlandırılan bir miktarın her bir değerinin, fonksiyonun değerleri olarak adlandırılan diğer niceliklerin değerleriyle ilişkilendirildiği iki veya daha fazla nicelik arasındaki ilişki.
işlev kapsamı
Bir fonksiyonun alanı, fonksiyona dahil olan tüm işlemlerin yürütülebilir olacağı x bağımsız değişkeninin değerleridir.
sürekli fonksiyon
Bir a noktasının bazı komşuluklarında tanımlanan f(x) fonksiyonuna bu noktada sürekli denir, eğer
![]() |
Sayı Dizileri
işlevi görüntüle y= f(x), xÖ N,nerede N gösterilen doğal sayılar kümesidir (veya doğal bir argümanın bir işlevidir) y=f(n)veya y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Değerler y 1 ,y 2 ,y 3 , ... sırasıyla dizinin birinci, ikinci, üçüncü, ... üyeleri olarak adlandırılır.
Sürekli bağımsız değişkenin işlevinin sınırı
A sayısı, x->x0 için y=f(x) fonksiyonunun limiti olarak adlandırılır, x0 sayısından yeterince az farklı olan tüm x değerleri için, f(x) fonksiyonunun karşılık gelen değerleri ) A sayısından keyfi olarak çok az farklılık gösterir
sonsuz küçük fonksiyon
İşlev y=f(x) aranan sonsuz küçük de x → bir ya da ne zaman x→∞ eğer veya , yani Sonsuz küçük bir fonksiyon, belirli bir noktadaki limiti sıfır olan bir fonksiyondur.
![]() |
Sayısal bir dizinin limiti kavramı
Önce sayısal dizinin tanımını hatırlayalım.
tanım 1
Doğal sayılar kümesinin gerçek sayılar kümesine eşlenmesine ne ad verilir? sayısal dizi.
Bir sayısal dizinin limiti kavramının birkaç temel tanımı vardır:
- Herhangi bir $\varepsilon >0$ için, $\varepsilon$'a bağlı bir $N$ dizini varsa, herhangi bir $n> N dizini için böyle bir $a$ gerçek sayısına $(x_n)$ sayısal dizinin sınırı denir. $ eşitsizliği $\left|x_n-a\right|
- $a$ noktasının herhangi bir komşuluğu $(x_n)$ dizisinin tüm üyelerini içeriyorsa, olası bir sonlu sayı dışında $(x_n)$ gerçek sayısı $a$ sayısal dizisinin limiti olarak adlandırılır. üyeler.
Sayısal bir dizinin limit değerini hesaplamaya ilişkin bir örneği ele alalım:
örnek 1
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )$ sınırını bulun
Çözüm:
Bu görevi çözmek için öncelikle ifadede yer alan en yüksek dereceden parantezleri çıkarmamız gerekiyor:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(n^2-3n+2)(2n^2-n-1)\ )=(\mathop(lim)_(x\to \ infty ) \frac(n^2\left(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2)\right))(n^2\left(2-\frac(1) (n)-\frac(1)(n^2)\right))\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\ frac(2)(n^2)(2-\frac(1)(n)-\frac(1)(n^2))\ )$
Payda sonsuz büyük bir değerse, limitin tamamı sıfır olma eğilimindedir, $\mathop(lim)_(n\to \infty )\frac(1)(n)=0$, bunu kullanarak şunu elde ederiz:
$(\mathop(lim)_(n\to \infty ) \frac(1-\frac(3)(n)+\frac(2)(n^2))(2-\frac(1)(n )-\frac(1)(n^2))\ )=\frac(1-0+0)(2-0-0)=\frac(1)(2)$
Cevap:$\frac(1)(2)$.
Bir noktada bir fonksiyonun limiti kavramı
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti kavramının iki klasik tanımı vardır:
Cauchy'ye göre "limit" teriminin tanımı
Herhangi bir $\varepsilon > 0$ için, $'a bağlı olarak $\delta >0$ varsa, gerçek bir $A$ sayısına $f\left(x\right)$ işlevinin $x\to a$ olarak limiti denir. \varepsilon $, öyle ki herhangi bir $x\in X^(\ters eğik çizgi a)$ için $\left|x-a\right|
heine tanımı
Herhangi bir X$ dizisi için $(x_n)\in X$ dizisi $a$'a yakınsa, $x\to a$ için $f\left(x\right)$ fonksiyonunun $f\left(x\right)$ limiti $A$ gerçek sayısına denir. $f (x_n)$ değerleri $A$'a yakınsar.
Bu iki tanım ilişkilidir.
1. açıklama
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.
Bir fonksiyonun sınırlarını hesaplamaya yönelik klasik yaklaşımlara ek olarak, bu konuda yardımcı olabilecek formülleri de hatırlayalım.
$x$ sonsuz küçük olduğunda (sıfıra gider) eşdeğer fonksiyonlar tablosu
Limitleri çözmeye yönelik bir yaklaşım, eşdeğer bir fonksiyonla yer değiştirme ilkesi. Eşdeğer fonksiyonlar tablosu aşağıda sunulmuştur, onu kullanmak için sağdaki fonksiyonlar yerine soldaki karşılık gelen temel fonksiyonu ifadeye yazın.
Şekil 1. Fonksiyon denklik tablosu. Author24 - öğrenci ödevlerinin çevrimiçi değişimi
Ayrıca değerleri belirsizliğe indirgenmiş limitleri çözmek için L'Hospital kuralını uygulamak mümkündür. Genel durumda, $\frac(0)(0)$ formunun belirsizliği, pay ve paydayı çarpanlara ayırarak ve ardından azaltarak ortaya çıkarılabilir. $\frac(\infty )(\infty)$ biçimindeki bir belirsizlik, pay ve paydadaki ifadeler en yüksek kuvvetin bulunduğu değişkene bölündükten sonra çözülebilir.
Önemli Limitler
- İlk dikkate değer sınır:
$(\mathop(lim)_(x\to 0) \frac(sinx)(x)\ )=1$
- İkinci dikkate değer sınır:
$\mathop(lim)_(x\to 0)((1+x))^(\frac(1)(x))=e$
Özel Limitler
- Birinci özel limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((log)_a (1+x-)\ ))(x)=((log)_a e\ )=\frac(1)(lna )$
- İkinci özel limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x)=lna$
- Üçüncü özel limit:
$\mathop(lim)_(x\to 0)\frac(((1+x))^(\mu )-1)(x)=\mu $
fonksiyon devamlılığı
Tanım 2
$\forall \varepsilon >(\rm 0)$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_(0))>(\rm) ise, $f(x)$ işlevi $x=x_0$ noktasında sürekli olarak adlandırılır. 0) $ öyle ki $\left|f(x)-f(x_(0))\right|
$\mathop((\rm lim\; ))\limits_((\rm x)\to (\rm x)_((\) ise, $f(x)$ işlevi $x=x_0$ noktasında süreklidir rm 0 )) f(x)=f(x_(0))$.
$x_0\in X$ noktasına, eğer sonlu limitleri varsa, birinci türden bir süreksizlik noktası denir $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$, $(\mathop (lim) _(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$, ancak $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim) _ (x\to x_0+0) f(x_0)\ )=f(x_0)$
Ayrıca, eğer $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )=(\mathop(lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )\ne f ise (x_0)$, o zaman bu bir kırılma noktasıdır ve eğer $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )\ne (\mathop(lim)_(x\to x_0+) 0) f(x_0)\ )$, ardından işlevin atlama noktası.
X$ içindeki bir $x_0\noktası, $(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) f(x_0)\ )$ limitlerinden en az birini içeriyorsa, ikinci türden bir süreksizlik noktası olarak adlandırılır, $(\mathop( lim)_(x\to x_0+0) f(x_0)\ )$ sonsuzluğu temsil eder veya yoktur.
Örnek 2
Sürekliliği araştırın $y=\frac(2)(x)$
Çözüm:
$(\mathop(lim)_(x\to 0-0) f(x)\ )=(\mathop(lim)_(x\to 0-0) \frac(2)(x)\ )=- \infty $ - işlevin ikinci türden bir kırılma noktası vardır.
topoloji fonksiyonların limitlerini ve sürekliliğini inceleyen bir matematik dalıdır. Cebir ile birlikte topoloji, matematiğin genel temelini oluşturur.
Topolojik uzay veya şekil - noktaları arasında bir yakınlık ilişkisinin verildiği homojen Öklid uzayımızın bir alt kümesi. Burada figürler katı cisimler olarak değil, niteliksel özelliklerini koruyarak sürekli deformasyona izin veren çok elastik kauçuktan yapılmış nesneler olarak kabul edilir.
Şekillerin bire bir sürekli haritalanmasına denir homeomorfizm. Başka bir deyişle, rakamlar homeomorfik, eğer biri sürekli deformasyonla diğerine dönüştürülebiliyorsa.
Örnekler. Aşağıdaki şekiller homeomorfiktir (farklı gruplardan gelen şekiller homeomorfik değildir), Şekil 1'de gösterilmiştir. 2.
1. Kesişme noktası olmayan doğru parçası ve eğri.
2. Daire, içi kare, bant.
3. Küre, küp ve tetrahedron yüzeyi.
4. Daire, elips ve düğümlü daire.
5. Düzlemde bir halka (delikli bir daire), uzayda bir halka, iki kez bükülmüş bir halka, bir silindirin yan yüzeyi.
6. Mobius şeridi, yani bir kez bükülmüş halka ve üç kez bükülmüş halka.
7. Bir simidin (çörek), saplı bir kürenin ve düğümlü bir simidin yüzeyi.
8. İki kulplu küre ve iki delikli çubuk kraker.
Matematiksel analizde, fonksiyonlar limitler yöntemiyle incelenir. Değişken ve limit temel kavramlardır.
Çeşitli olaylarda, bazı nicelikler sayısal değerlerini korur, diğerleri değişir. Bir değişkenin tüm sayısal değerlerinin kümesine denir. bu değişkenin kapsamı.
Bir değişkenin davrandığı çeşitli yollardan en önemlisi, değişkenin belirli bir sınıra yöneldiğidir.
sabit sayı a aranan x değişkeni arasındaki farkın mutlak değeri ise x ve a() değişkeni değiştirme sürecinde olur x keyfi olarak küçük:
"Keyfi derecede küçük" ne anlama geliyor? değişken X sınıra eğilimlidir a, keyfi olarak küçük (keyfi olarak küçük) bir sayı için değişkenin değişmesinde böyle bir an varsa X, eşitsizliğin başladığı yerden .
Limit tanımının basit bir geometrik anlamı vardır: eşitsizlik anlamına gelir X noktanın yakınındadır a,
şunlar. aralıkta
.
Böylece, sınırın tanımı geometrik biçimde verilebilir:
Sayı a değişkenin sınırıdır X, sayının keyfi olarak küçük (keyfi olarak küçük) -komşuluğu için ise a değişkeni değiştirirken böyle bir anı belirtebilirsiniz X, tüm değerlerinin noktanın belirtilen mahallesine düştüğü yerden başlayarak a.
Yorum. değişken X limitine farklı şekillerde yaklaşabilir: bu limitin altında kalmak (solda), daha fazla (sağda), limitin değeri etrafında dalgalanmak.
Sıra sınırı
İşlev her bir unsurun bağlı olduğu yasa (kural) olarak adlandırılır x bazı set X tek bir öğeyle eşleşir y setleri Y.
Fonksiyon, tüm doğal sayılar kümesinde tanımlanabilir: . Böyle bir işlev denir doğal bağımsız değişken işlevi veya sayısal dizi.
Sıra, herhangi bir sonsuz küme gibi, numaralandırma ile belirlenemediğinden, ortak bir üye tarafından belirtilir: , dizinin ortak terimi nerede.
Ayrık bir değişken, bir dizinin ortak bir üyesidir.
Bir dizi için, "bir noktadan başlayarak" sözcükleri, "bir sayıdan başlayarak" sözcükleri anlamına gelir.
Sayı a dizinin limiti denir , keyfi olarak küçük (keyfi olarak küçük) herhangi bir sayı için böyle bir sayı varsa N numaralı dizinin tüm üyeleri için n>N eşitsizlik
.
veya
de
.
Geometrik olarak, bir dizinin limitinin tanımı şu anlama gelir: bir sayının keyfi olarak küçük (keyfi olarak küçük) -komşuluğu için a dizinin tüm terimlerinin büyük olduğu bir sayı vardır. N, sayılar, bu mahalleye düşüyor. Komşuluğun dışında, dizinin yalnızca sonlu sayıdaki başlangıç terimleri vardır. Doğal sayı N bağlıdır: .