Raportul de aur - ce este? Ce sunt numerele Fibonacci? Ce au în comun o spirală ADN, o coajă, o galaxie și piramidele egiptene? Găsirea celui de-al N-lea număr Fibonacci în trei moduri într-un timp acceptabil: elementele de bază ale programării dinamice Fibonacci numerice
![Raportul de aur - ce este? Ce sunt numerele Fibonacci? Ce au în comun o spirală ADN, o coajă, o galaxie și piramidele egiptene? Găsirea celui de-al N-lea număr Fibonacci în trei moduri într-un timp acceptabil: elementele de bază ale programării dinamice Fibonacci numerice](https://i2.wp.com/syl.ru/misc/i/ai/143607/420887.jpg)
Secvența Fibonacci, făcută celebră de cei mai mulți datorită filmului și cărții Codul lui Da Vinci, este o serie de numere derivate de matematicianul italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub pseudonimul său Fibonacci, în secolul al XIII-lea. Adepții omului de știință au observat că formula căreia îi este subordonată această serie de numere se reflectă în lumea din jurul nostru și face ecoul altor descoperiri matematice, deschizându-ne astfel ușa către secretele universului. În acest articol vă vom spune ce este șirul Fibonacci, vom analiza exemple despre modul în care acest model este afișat în natură și, de asemenea, îl vom compara cu alte teorii matematice.
Formularea și definirea conceptului
Seria Fibonacci este o succesiune matematică în care fiecare element este egal cu suma celor doi anteriori. Să notăm un anumit membru al șirului ca x n. Astfel, obținem o formulă valabilă pentru întreaga serie: x n+2 = x n + x n+1. În acest caz, ordinea șirului va arăta astfel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Următorul număr va fi 55, deoarece suma lui 21 și 34 este 55. Și asa mai departe dupa acelasi principiu.
Exemple în mediu
Dacă ne uităm la plantă, în special la coroana frunzelor, vom observa că acestea înfloresc în spirală. Se formează unghiuri între frunzele adiacente, care, la rândul lor, formează succesiunea matematică corectă a lui Fibonacci. Datorită acestei caracteristici, fiecare frunză individuală care crește pe un copac primește cantitatea maximă de lumină solară și căldură.
Enigma matematică a lui Fibonacci
Celebrul matematician și-a prezentat teoria sub forma unei ghicitori. Sună așa. Puteți plasa o pereche de iepuri într-un spațiu închis pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște într-un an. Având în vedere natura acestor animale, faptul că în fiecare lună un cuplu este capabil să producă o nouă pereche și devin gata să se reproducă după ce împlinesc două luni, el a primit în cele din urmă celebra sa serie de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - care arată numărul de perechi noi de iepuri în fiecare lună.
Secvența Fibonacci și relația proporțională
Această serie are mai multe nuanțe matematice care trebuie luate în considerare. Apropiindu-se din ce în ce mai lent (asimptotic), tinde spre o anumită relație proporțională. Dar este irațional. Cu alte cuvinte, este un număr cu o succesiune imprevizibilă și infinită de numere zecimale în partea fracționară. De exemplu, raportul oricărui element al seriei variază în jurul cifrei 1.618, uneori depășindu-l, alteori atingându-l. Următorul prin analogie se apropie de 0,618. Care este invers proporțional cu numărul 1,618. Dacă împărțim elementele la unul, obținem 2,618 și 0,382. După cum ați înțeles deja, ele sunt, de asemenea, invers proporționale. Numerele rezultate se numesc rapoarte Fibonacci. Acum să explicăm de ce am efectuat aceste calcule.
ratia de aur
Deosebim toate obiectele din jurul nostru după anumite criterii. Una dintre ele este forma. Unii oameni ne atrag mai mult, alții mai puțin și alții nu ne plac deloc. S-a observat că un obiect simetric și proporțional este mult mai ușor de perceput de către o persoană și evocă un sentiment de armonie și frumusețe. O imagine completă include întotdeauna părți de dimensiuni diferite care sunt într-o anumită relație între ele. De aici urmează răspunsul la întrebarea a ceea ce se numește Raportul de Aur. Acest concept înseamnă perfecțiunea relațiilor dintre întreg și părți în natură, știință, artă etc. Din punct de vedere matematic, luați în considerare următorul exemplu. Să luăm un segment de orice lungime și să îl împărțim în două părți, astfel încât partea mai mică să fie legată de cea mai mare, întrucât suma (lungimea întregului segment) este cu cea mai mare. Deci, să luăm segmentul Cu pe valoarea unu. Partea lui A va fi egal cu 0,618, partea a doua b, se pare, este egal cu 0,382. Astfel, respectăm condiția Raportul de Aur. Raportul segmentului de linie c La A este egal cu 1,618. Și relația părților cȘi b- 2.618. Obținem rapoartele Fibonacci pe care le cunoaștem deja. Triunghiul de aur, dreptunghiul de aur și cuboidul de aur sunt construite folosind același principiu. De asemenea, merită remarcat faptul că raportul proporțional al părților corpului uman este aproape de raportul de aur.
Este succesiunea Fibonacci la baza tuturor lucrurilor?
Să încercăm să combinăm teoria Secțiunii de Aur și celebra serie a matematicianului italian. Să începem cu două pătrate de prima dimensiune. Apoi adăugați un alt pătrat de a doua dimensiune deasupra. Să desenăm lângă ea aceeași figură cu o lungime a laturii egală cu suma celor două laturi anterioare. În mod similar, desenați un pătrat de dimensiunea cinci. Și poți continua acest lucru la infinit până te sături de el. Principalul lucru este că dimensiunea laturii fiecărui pătrat următor este egală cu suma dimensiunilor laturilor celor două anterioare. Obținem o serie de poligoane ale căror laturi sunt numere Fibonacci. Aceste cifre se numesc dreptunghiuri Fibonacci. Să tragem o linie netedă prin colțurile poligoanelor noastre și să obținem... o spirală lui Arhimede! Creșterea treptei unei cifre date, după cum se știe, este întotdeauna uniformă. Dacă vă folosiți imaginația, desenul rezultat poate fi asociat cu o coajă de moluște. De aici putem concluziona că șirul Fibonacci stă la baza relațiilor proporționale, armonioase ale elementelor din lumea înconjurătoare.
Secvența matematică și universul
Dacă te uiți cu atenție, spirala lui Arhimede (uneori explicit, alteori voalat) și, în consecință, principiul Fibonacci pot fi urmărite în multe elemente naturale familiare care înconjoară oamenii. De exemplu, aceeași coajă a unei moluște, inflorescențe de broccoli obișnuit, o floare de floarea soarelui, un con al unei plante de conifere și altele asemenea. Dacă ne uităm mai departe, vom vedea șirul Fibonacci în galaxii infinite. Chiar și omul, inspirat din natură și adoptând formele acesteia, creează obiecte în care pot fi urmărite seria sus-menționată. Acum este momentul să ne amintim de Raportul de Aur. Alături de modelul Fibonacci, pot fi urmărite principiile acestei teorii. Există o versiune conform căreia secvența Fibonacci este un fel de test al naturii pentru a se adapta la o secvență logaritmică mai perfectă și mai fundamentală a raportului de aur, care este aproape identică, dar nu are început și este infinită. Tiparul naturii este de așa natură încât trebuie să aibă propriul punct de referință, de la care să începi să creezi ceva nou. Raportul dintre primele elemente ale seriei Fibonacci este departe de principiile raportului de aur. Cu toate acestea, cu cât o continuăm mai departe, cu atât această discrepanță este netezită. Pentru a determina o secvență, trebuie să cunoașteți cele trei elemente ale acesteia care vin unul după celălalt. Pentru Secvența de Aur, două sunt suficiente. Deoarece este atât o progresie aritmetică, cât și geometrică.
Concluzie
Totuși, pe baza celor de mai sus, se pot pune întrebări destul de logice: „De unde au venit aceste numere? Cine este autorul structurii întregii lumi, care a încercat să o facă ideală? Totul a fost întotdeauna așa cum și-a dorit el? Dacă Deci, de ce a avut loc eșecul? Ce se va întâmpla în continuare?" Când găsești răspunsul la o întrebare, primești următoarea. Am rezolvat - mai apar două. După ce le-ai rezolvat, primești încă trei. După ce te-ai ocupat de ele, vei obține cinci nerezolvate. Apoi opt, apoi treisprezece, douăzeci și unu, treizeci și patru, cincizeci și cinci...
Ați auzit vreodată că matematica este numită „regina tuturor științelor”? Sunteți de acord cu această afirmație? Atâta timp cât matematica rămâne pentru tine un set de probleme plictisitoare într-un manual, cu greu poți experimenta frumusețea, versatilitatea și chiar umorul acestei științe.
Dar există subiecte în matematică care ajută la realizarea de observații interesante despre lucruri și fenomene care ne sunt comune. Și chiar încercați să pătrundeți în vălul misterului creației Universului nostru. Există modele interesante în lume care pot fi descrise folosind matematică.
Prezentarea numerelor Fibonacci
numerele Fibonacci numiți elementele unei secvențe de numere. În ea, fiecare număr următor dintr-o serie se obține prin însumarea celor două numere anterioare.
Exemplu de secvență: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...
O poti scrie asa:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Puteți începe o serie de numere Fibonacci cu valori negative n. Mai mult, secvența în acest caz este bidirecțională (adică acoperă numere negative și pozitive) și tinde spre infinit în ambele direcții.
Un exemplu de astfel de secvență: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Formula în acest caz arată astfel:
F n = F n+1 - F n+2 sau altfel poți face asta: F -n = (-1) n+1 Fn.
Ceea ce cunoaștem acum sub numele de „numerele Fibonacci” era cunoscut de matematicienii indieni antici cu mult înainte să înceapă să fie folosite în Europa. Și acest nume este în general o anecdotă istorică continuă. Să începem cu faptul că Fibonacci însuși nu s-a numit niciodată Fibonacci în timpul vieții - acest nume a început să fie aplicat lui Leonardo din Pisa la doar câteva secole după moartea sa. Dar să vorbim despre totul în ordine.
Leonardo din Pisa, alias Fibonacci
Fiul unui comerciant care a devenit matematician și, ulterior, a primit recunoașterea posterității ca primul matematician important al Europei în Evul Mediu. Nu în ultimul rând datorită numerelor Fibonacci (care, să ne amintim, nu se numeau încă așa). Pe care l-a descris la începutul secolului al XIII-lea în lucrarea sa „Liber abaci” („Cartea lui Abacus”, 1202).
Am călătorit cu tatăl meu în Orient, Leonardo a studiat matematica cu profesori arabi (și pe vremea aceea erau printre cei mai buni specialiști în această chestiune și în multe alte științe). A citit lucrările matematicienilor din Antichitate și din India antică în traduceri arabe.
După ce a înțeles temeinic tot ce citise și folosind propria sa minte curios, Fibonacci a scris mai multe tratate științifice despre matematică, inclusiv „Cartea Abacusului” menționată mai sus. Pe langa asta am creat:
- „Practica geometriae” („Practica de geometrie”, 1220);
- „Flos” („Floare”, 1225 - un studiu asupra ecuațiilor cubice);
- „Liber quadratorum” („Cartea pătratelor”, 1225 - probleme privind ecuațiile pătratice nedefinite).
Era un mare fan al turneelor de matematică, așa că în tratatele sale a acordat multă atenție analizei diverselor probleme matematice.
Au rămas foarte puține informații biografice despre viața lui Leonardo. În ceea ce privește numele Fibonacci, sub care a intrat în istoria matematicii, acesta i-a fost atribuit abia în secolul al XIX-lea.
Fibonacci și problemele lui
După Fibonacci au rămas un număr mare de probleme care au fost foarte populare în rândul matematicienilor în secolele următoare. Ne vom uita la problema iepurelui, care este rezolvată folosind numerele Fibonacci.
Iepurii nu sunt doar blană valoroasă
Fibonacci a pus următoarele condiții: există o pereche de iepuri nou-născuți (masculi și femele) dintr-o rasă atât de interesantă încât aceștia produc în mod regulat (începând cu luna a doua) descendenți - întotdeauna o nouă pereche de iepuri. De asemenea, după cum ați putea ghici, un bărbat și o femeie.
Acești iepuri condiționati sunt plasați într-un spațiu restrâns și se reproduc cu entuziasm. De asemenea, se stipulează că niciun iepure nu moare din cauza unei boli misterioase a iepurelui.
Trebuie să calculăm câți iepuri vom obține într-un an.
- La începutul unei luni avem 1 pereche de iepuri. La sfârșitul lunii se împerechează.
- A doua luna - avem deja 2 perechi de iepuri (o pereche are parinti + 1 pereche este urmasii lor).
- A treia lună: prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche se împerechează. Total - 3 perechi de iepuri.
- Luna a patra: Prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche nu pierde timpul și, de asemenea, dă naștere unei noi perechi, a treia pereche este încă doar împerechere. Total - 5 perechi de iepuri.
Numărul de iepuri în n a-a luna = numărul de perechi de iepuri din luna precedentă + numărul de perechi de nou-născuți (există același număr de perechi de iepuri ca și perechi de iepuri cu 2 luni înainte). Și toate acestea sunt descrise de formula pe care am dat-o deja mai sus: F n = F n-1 + F n-2.
Astfel, obținem o recurentă (explicație despre recursiunea– mai jos) succesiunea de numere. În care fiecare număr următor este egal cu suma celor două precedente:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Puteți continua secvența mult timp: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Dar, deoarece am stabilit o anumită perioadă - un an, ne interesează rezultatul obținut în a 12-a „mișcare”. Acestea. Al 13-lea membru al secvenței: 377.
Răspunsul la problemă: se vor obține 377 de iepuri dacă sunt îndeplinite toate condițiile menționate.
Una dintre proprietățile șirului de numere Fibonacci este foarte interesantă. Dacă luați două perechi consecutive dintr-o serie și împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic, rezultatul se va apropia treptat. ratia de aur(puteți citi mai multe despre asta mai târziu în articol).
În termeni matematici, „limita relațiilor un n+1 La un n egal cu raportul de aur".
Mai multe probleme de teoria numerelor
- Găsiți un număr care poate fi împărțit la 7. De asemenea, dacă îl împărțiți la 2, 3, 4, 5, 6, restul va fi unul.
- Găsiți numărul pătrat. Se știe despre asta că dacă adaugi 5 sau scazi 5, obții din nou un număr pătrat.
Vă sugerăm să căutați singuri răspunsuri la aceste probleme. Ne puteți lăsa opțiunile dvs. în comentariile acestui articol. Și apoi vă vom spune dacă calculele dvs. au fost corecte.
Explicația recursiunii
Recursiune– definiția, descrierea, imaginea unui obiect sau proces care conține acest obiect sau proces în sine. Adică, în esență, un obiect sau un proces este o parte din sine.
Recursiunea este utilizată pe scară largă în matematică și informatică, și chiar în artă și cultura populară.
Numerele Fibonacci sunt determinate folosind o relație de recurență. Pentru număr n>2 n- numărul este egal (n – 1) + (n – 2).
Explicația raportului de aur
ratia de aur- împărțirea unui întreg (de exemplu, un segment) în părți care sunt legate după următorul principiu: partea mai mare este legată de cea mai mică în același mod în care este întreaga valoare (de exemplu, suma a două segmente) spre cea mai mare parte.
Prima mențiune despre raportul de aur poate fi găsită la Euclid în tratatul său „Elemente” (aproximativ 300 î.Hr.). În contextul construirii unui dreptunghi regulat.
Termenul care ne este familiar a fost introdus în circulație în 1835 de către matematicianul german Martin Ohm.
Dacă descriem proporția de aur aproximativ, aceasta reprezintă o împărțire proporțională în două părți inegale: aproximativ 62% și 38%. În termeni numerici, raportul de aur este numărul 1,6180339887 .
Raportul de aur își găsește aplicare practică în arte plastice (picturi ale lui Leonardo da Vinci și alți pictori renascentiste), arhitectură, cinema („Cuirasatul Potemkin” de S. Esenstein) și alte domenii. Multă vreme s-a crezut că proporția de aur este cea mai estetică proporție. Această opinie este populară și astăzi. Deși, conform rezultatelor cercetării, vizual majoritatea oamenilor nu percep această proporție ca fiind cea mai de succes opțiune și o consideră prea alungită (disproporționată).
- Lungimea secțiunii Cu = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Atitudine Cu La A = 1, 618.
- Atitudine Cu La b = 2,618
Acum să revenim la numerele Fibonacci. Să luăm doi termeni consecutivi din succesiunea sa. Împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic și obțineți aproximativ 1,618. Și acum folosim același număr mai mare și următorul membru al seriei (adică un număr și mai mare) - raportul lor este devreme 0,618.
Iată un exemplu: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 și 233/377 = 0,618
Apropo, dacă încercați să faceți același experiment cu numerele de la începutul secvenței (de exemplu, 2, 3, 5), nimic nu va funcționa. Aproape. Regula proporției de aur este cu greu respectată la începutul secvenței. Dar pe măsură ce vă deplasați de-a lungul seriei și numerele cresc, funcționează grozav.
Și pentru a calcula întreaga serie de numere Fibonacci, este suficient să cunoaștem trei termeni ai șirului, care vin unul după altul. Puteți vedea asta pentru dvs.!
Dreptunghiul de aur și spirala Fibonacci
O altă paralelă interesantă între numerele Fibonacci și raportul de aur este așa-numitul „dreptunghi de aur”: laturile sale sunt în proporție de 1,618 la 1. Dar știm deja ce este numărul 1,618, nu?
De exemplu, să luăm doi termeni consecutivi din seria Fibonacci - 8 și 13 - și să construim un dreptunghi cu următorii parametri: lățime = 8, lungime = 13.
Și apoi vom împărți dreptunghiul mare în altele mai mici. Condiție obligatorie: lungimile laturilor dreptunghiurilor trebuie să corespundă numerelor Fibonacci. Acestea. Lungimea laturii dreptunghiului mai mare trebuie să fie egală cu suma laturilor celor două dreptunghiuri mai mici.
Modul în care se face în această figură (pentru comoditate, cifrele sunt semnate cu litere latine).
Apropo, puteți construi dreptunghiuri în ordine inversă. Acestea. începeți să construiți cu pătrate cu latura de 1. La care, ghidându-se după principiul enunțat mai sus, se completează figuri cu laturile egale cu numerele Fibonacci. Teoretic, acest lucru poate fi continuat la infinit - la urma urmei, seria Fibonacci este formal infinită.
Dacă conectăm colțurile dreptunghiurilor obținute în figură cu o linie netedă, obținem o spirală logaritmică. Sau mai degrabă, cazul său special este spirala Fibonacci. Se caracterizează, în special, prin faptul că nu are granițe și nu își schimbă forma.
O spirală similară se găsește adesea în natură. Cojile de scoici sunt unul dintre cele mai izbitoare exemple. Mai mult, unele galaxii care pot fi văzute de pe Pământ au formă de spirală. Dacă acordați atenție prognozelor meteo de la televizor, este posibil să fi observat că ciclonii au o formă similară în spirală atunci când sunt fotografiați de pe sateliți.
Este curios că helixul ADN respectă și regula secțiunii de aur - modelul corespunzător poate fi văzut în intervalele curbelor sale.
Asemenea „coincidențe” uimitoare nu pot decât să excite mințile și să dea naștere la discuții despre un singur algoritm căruia se supun toate fenomenele din viața Universului. Acum înțelegi de ce acest articol se numește astfel? Și ce fel de lumi uimitoare vă poate deschide matematica?
Numerele Fibonacci în natură
Legătura dintre numerele Fibonacci și raportul de aur sugerează modele interesante. Atât de curios încât este tentant să încerci să găsești secvențe similare numerelor Fibonacci în natură și chiar în timpul evenimentelor istorice. Și natura chiar dă naștere unor astfel de presupuneri. Dar orice lucru din viața noastră poate fi explicat și descris folosind matematica?
Exemple de viețuitoare care pot fi descrise folosind șirul Fibonacci:
- dispunerea frunzelor (și a ramurilor) în plante - distanțele dintre ele sunt corelate cu numerele Fibonacci (filotaxie);
- aranjarea semințelor de floarea soarelui (semințele sunt dispuse în două rânduri de spirale răsucite în direcții diferite: un rând în sensul acelor de ceasornic, celălalt în sens invers acelor de ceasornic);
- aranjarea solzilor de conuri de pin;
- petale de flori;
- celule de ananas;
- raportul dintre lungimile falangelor degetelor de pe mâna omului (aproximativ), etc.
Probleme de combinatorie
Numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de combinatorie.
Combinatorică este o ramură a matematicii care studiază selecția unui anumit număr de elemente dintr-o mulțime desemnată, enumerare etc.
Să ne uităm la exemple de probleme de combinatorie concepute pentru nivel de liceu (sursa - http://www.problems.ru/).
Sarcina 1:
Lesha urcă o scară de 10 trepte. La un moment dat sare în sus fie o treaptă, fie două trepte. În câte moduri poate Lesha să urce scările?
Numărul de moduri prin care Lesha poate urca scările n pași, să notăm si n. Rezultă că a 1 = 1, a 2= 2 (la urma urmei, Lesha sare unul sau doi pași).
De asemenea, este de acord că Lesha sare pe scări de la n> 2 trepte. Să presupunem că a sărit doi pași prima dată. Aceasta înseamnă că, în funcție de condițiile problemei, trebuie să sară altul n – 2 trepte. Apoi numărul de moduri de a finaliza urcarea este descris ca a n–2. Și dacă presupunem că prima dată când Lesha a sărit doar un pas, atunci vom descrie numărul de moduri de a termina urcarea ca un n–1.
De aici obținem următoarea egalitate: a n = a n–1 + a n–2(pare cunoscut, nu-i așa?).
Din moment ce știm a 1Și a 2și amintiți-vă că, în funcție de condițiile problemei, există 10 pași, calculați toți în ordine si n: a 3 = 3, a 4 = 5, un 5 = 8, a 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.
Răspuns: 89 de moduri.
Sarcina #2:
Trebuie să găsiți numărul de cuvinte de 10 litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu trebuie să conțină două litere „b” la rând.
Să notăm prin un n numărul de lungime a cuvintelor n litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu conțin două litere „b” la rând. Mijloace, a 1= 2, a 2= 3.
In secvență a 1, a 2, <…>, un n ne vom exprima pe fiecare dintre membrii săi următori prin cei anteriori. Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este n literele care, de asemenea, nu conțin o literă dublă „b” și încep cu litera „a” sunt un n–1. Și dacă cuvântul este lung n literele încep cu litera „b”, este logic ca următoarea literă dintr-un astfel de cuvânt să fie „a” (la urma urmei, nu pot exista doi „b” în funcție de condițiile problemei). Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este nîn acest caz notăm literele ca a n–2. Atât în primul cât și în al doilea caz, orice cuvânt (lungimea de n – 1Și n – 2 respectiv litere) fără „b” dublu.
Am putut justifica de ce a n = a n–1 + a n–2.
Să calculăm acum a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Și obținem succesiunea familiară Fibonacci.
Raspuns: 144.
Sarcina #3:
Imaginează-ți că există o bandă împărțită în celule. Merge spre dreapta și durează la infinit. Puneți o lăcustă pe primul pătrat al benzii. Indiferent de celula pe care se află, el se poate deplasa doar la dreapta: fie o celulă, fie două. Câte moduri există în care o lăcustă poate sări de la începutul benzii la n-a celulele?
Să notăm numărul de moduri de a muta o lăcustă de-a lungul centurii către n-lea celule ca un n. În acest caz a 1 = a 2= 1. Tot în n+1 Lăcusta poate intra în celula -a fie din n-a celula, sau sărind peste ea. De aici a n + 1 = a n – 1 + un n. Unde un n = Fn – 1.
Răspuns: Fn – 1.
Poți să creezi singur probleme similare și să încerci să le rezolvi la lecțiile de matematică cu colegii tăi.
Numerele Fibonacci în cultura populară
Desigur, un fenomen atât de neobișnuit precum numerele Fibonacci nu poate decât să atragă atenția. Există încă ceva atractiv și chiar misterios în acest model strict verificat. Nu este surprinzător că secvența Fibonacci s-a „aprins” cumva în multe lucrări ale culturii populare moderne de diferite genuri.
Vă vom spune despre unele dintre ele. Și încerci să te cauți din nou. Dacă îl găsiți, împărtășiți-l cu noi în comentarii – și noi suntem curioși!
- Numerele Fibonacci sunt menționate în bestsellerul lui Dan Brown Codul Da Vinci: secvența Fibonacci servește drept cod folosit de personajele principale ale cărții pentru a deschide un seif.
- În filmul american din 2009, Mr. Nobody, într-un episod adresa unei case face parte din secvența Fibonacci - 12358. În plus, într-un alt episod personajul principal trebuie să sune un număr de telefon, care este în esență același, dar ușor distorsionat. (cifra suplimentară după numărul 5) secvență: 123-581-1321.
- În seria din 2012 „Connection”, personajul principal, un băiat care suferă de autism, este capabil să discearnă tipare în evenimentele care au loc în lume. Inclusiv prin numerele Fibonacci. Și gestionați aceste evenimente și prin numere.
- Dezvoltatorii jocului java pentru telefoane mobile Doom RPG au plasat o ușă secretă pe unul dintre niveluri. Codul care îl deschide este șirul Fibonacci.
- În 2012, trupa rusă de rock Splin a lansat albumul concept „Optical Deception”. A opta piesă se numește „Fibonacci”. Versurile liderului grupului Alexander Vasiliev joacă pe succesiunea numerelor Fibonacci. Pentru fiecare dintre cei nouă termeni consecutivi există un număr corespunzător de linii (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Trenul a pornit
1 O articulație s-a rupt
1 O mânecă tremura
2 Asta e, ia lucrurile
Asta e, ia lucrurile
3 Cerere de apă clocotită
Trenul merge la râu
Trenul trece prin taiga<…>.
- Un limerick (o poezie scurtă de o formă specifică - de obicei cinci rânduri, cu o schemă specifică de rimă, umoristică în conținut, în care primul și ultimul rând sunt repetate sau se dublează parțial unul pe celălalt) de James Lyndon, de asemenea, folosește o referire la Fibonacci secvență ca motiv umoristic:
Mâncarea densă a soțiilor lui Fibonacci
Era doar în folosul lor, nimic altceva.
Soțiile cântăreau, potrivit zvonurilor,
Fiecare este ca și precedentele două.
Să rezumam
Sperăm că am putut să vă spunem o mulțime de lucruri interesante și utile astăzi. De exemplu, acum poți căuta spirala Fibonacci în natura din jurul tău. Poate că tu vei fi cel care va putea dezvălui „secretul vieții, al Universului și în general”.
Utilizați formula numerelor Fibonacci atunci când rezolvați probleme de combinatorie. Vă puteți baza pe exemplele descrise în acest articol.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Secvența de numere Fibonacci. Este prima dată când auziți despre asta și nici măcar nu știți din ce domeniu de cunoaștere este? Se pare că regularitatea fenomenelor naturale, structura și diversitatea organismelor vii de pe planeta noastră, tot ceea ce ne înconjoară, lovind imaginația cu armonia și ordinea ei, legile universului, mișcarea gândirii umane și realizările știință - toate acestea se explică prin însumare Secvența Fibonacci.
Dorința veșnică a omului de a se înțelege pe sine și lumea din jurul lui a dus știința înainte.
Una dintre cele mai semnificative realizări în matematică este introducerea cifrelor arabe în locul cifrelor romane. Aparține unuia dintre cei mai remarcabili oameni de știință ai secolului al XII-lea, Fibonacci (1175). O altă descoperire pe care a făcut-o a fost numită după el - secvența de însumare: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Acestea sunt așa-numitele numerele Fibonacci.
Acest model în matematică a fost de interes pentru un alt om de știință medieval, Toma d’Aquino. Condus de dorința de a „măsura armonia cu algebra”, omul de știință a concluzionat că există o legătură directă între matematică și frumusețe. Toma d'Aquino a explicat sentimentele estetice care apar la contemplarea obiectelor armonioase create în proporţie de natură prin acelaşi principiu al secvenţei sumative.
Acest principiu explică faptul că pornind de la 1.1, următorul număr va fi suma celor două numere anterioare. Acest tipar este de mare importanță.Această secvență este din ce în ce mai lentă – asimptotic – apropiindu-se de un anumit raport constant. Totuși, această relație este irațională, adică are o succesiune infinită și imprevizibilă de numere în partea fracțională. Exprimarea lui exactă este imposibilă. Împărțind orice termen al șirului Fibonacci la termenul care îl precede, obținem o valoare care fluctuează în jurul valorii 1,61803398875... (irațional), care fie nu o va atinge, fie nu o va depăși de fiecare dată. Nici măcar Eternitatea nu este suficientă pentru a determina cu exactitate acest raport. Pentru concizie, îl vom folosi ca 1.618.
Matematicianul medieval Luca Pacioli a numit acest raport Proporția Divină. Kepler a numit secvența de însumare „una dintre comorile geometriei”. În știința modernă, însumarea Secvența Fibonacci are mai multe denumiri, nu mai puțin poetice: Raportul pătratelor rotative, Media de aur, Raportul de aur. În matematică este notat cu litera greacă phi (Ф=1,618).
Natura asimptotică a secvenței, oscilațiile sale în jurul numărului irațional Fibonacci, care tind să se estompeze, vor deveni mai clare dacă luăm în considerare relațiile primilor termeni ai acestei secvențe. În exemplul de mai jos, ne vom uita la numerele Fibonacci și vom da raportul dintre al doilea și primul termen, al treilea și al doilea și așa mai departe:
1:1 = 1,0000, aceasta este mai mică decât phi cu 0,6180
2:1 = 2,0000, aceasta este cu 0,3820 mai mult decât phi
3:2 = 1,5000, aceasta este mai mică decât phi cu 0,1180
5:3 = 1,6667, aceasta este cu 0,0486 mai mult decât phi
8:5 = 1,6000, aceasta este mai mică decât phi cu 0,0180
Mergând mai departe de-a lungul șirului Fibonacci, fiecare termen nou îl va împărți pe următorul, apropiindu-se din ce în ce mai mult de numărul de neatins F.
Ulterior vom vedea că unii numerele Fibonacci, alcătuind secvența sa de însumare, sunt vizibile în dinamica prețurilor la diferite mărfuri; printre metodele de analiză tehnică Forex sunt utilizate Nivelurile Fibonacci. Pot fi detectate fluctuații ale rapoartelor în apropiere de 1,615 cu una sau alta, în care apar în regula alternanței. În subconștient, fiecare persoană caută notoria proporție Divină, care este necesară pentru a satisface dorința de confort.
Dacă împărțim orice termen al șirului Fibonacci la termenul care îl urmează, obținem inversul lui 1,618, adică 1:1,618. Acesta este, de asemenea, un fenomen destul de neobișnuit, poate chiar remarcabil. Raportul inițial este o fracție infinită, prin urmare, acest raport trebuie să fie și infinit.
Un alt fapt important este următorul. Pătratul oricărui termen din șirul lui Fibonacci este egal cu numărul care vine înaintea acestuia în succesiune înmulțit cu numărul care vine după el, plus sau minus.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Plusul și minusul alternează întotdeauna, iar aceasta face parte din teoria undelor Elliott numită Regula alternanței. Această regulă spune: undele complexe de natură corectivă alternează cu cele simple, undele puternice de natură impulsivă alternează cu valuri slabe de natură corectivă și așa mai departe.
Manifestări ale proporției divine în natură
Secvența matematică descoperită permite calcularea unui număr infinit de constante. Membrii acestei secvențe vor apărea întotdeauna într-un număr infinit de combinații.
Folosind un model stabilit, se oferă o interpretare matematică a fenomenelor naturale. În acest sens, descoperirea unei secvențe matematice ocupă unul dintre cele mai semnificative locuri în cunoașterea istorică.
Ne putem referi la o serie de teorii interesante derivate din succesiunea matematică.
Piramida din Giza
Proiectarea piramidei se bazează pe proporția Ф=1,618. Această descoperire a fost făcută după numeroase încercări de a dezvălui secretele acestei piramide. Piramida de la Giza însăși pare a fi un fel de mesaj către descendenți pentru a transmite anumite cunoștințe despre legile succesiunii matematice. La momentul construirii piramidei, constructorii acesteia nu aveau suficiente ocazii de a exprima legile cunoscute de ei. La acea vreme, scrisul nu exista, iar hieroglifele nu erau folosite. Cu toate acestea, creatorii piramidei au reușit, cu ajutorul proporției geometrice a creației lor, să-și transfere cunoștințele despre modele matematice generațiilor viitoare.
Preoții templului i-au dat lui Herodot secretul piramidei de la Giza. Este construit în așa fel încât aria fiecărei fețe să fie egală cu pătratul înălțimii acestei fețe.
Aria triunghiului: 356 x 440 / 2 = 78320
Suprafața pătrată: 280 x 280 = 78400
Fața piramidei din Giza are o lungime de 783,3 picioare (238,7 m), iar înălțimea sa este de 484,4 picioare (147,6 m). Împărțind lungimea feței la înălțime, se ajunge la raportul Ф=1,618. Înălțimea de 484,4 picioare corespunde cu 5813 inci (5-8-13), care nu este nimic mai mult decât numerele de succesiune Fibonacci. Toate aceste observații ne conduc la concluzia că întregul design al piramidei se bazează pe proporția Ф = 1,618.
Acestea sunt numere din șirul lui Fibonacci. Aceste observații interesante sugerează că proiectarea piramidei se bazează pe proporția Ф=1,618.
Aceste informații dau motive să credem că cunoștințele în domeniile matematicii și astrologiei erau foarte dezvoltate la acea vreme. Această cea mai mare creație nu numai a mâinilor umane, ci și a minții sale a fost construită în strictă conformitate cu numărul 1.618. Proporțiile foarte interne și externe ale piramidei, respectate în strictă conformitate cu legea Secțiunii de Aur, sunt un mesaj pentru noi, descendenții, din adâncul secolelor de cea mai mare cunoaștere.
Piramidele mexicane
Este uimitor că piramidele din Mexic au fost construite pe același principiu. Nu se poate să nu presupună că piramidele mexicane au fost construite în același timp cu cele egiptene; în plus, constructorii aveau cunoștințe despre legea matematică a raportului de aur.
O secțiune transversală a piramidei dezvăluie forma unei scări. Primul său nivel are 16 pași, al doilea conține 42 de pași, al treilea – 68 de pași. Numerele se bazează pe secvența Fibnacci, după cum urmează:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Numărul Ф = 1,618 stă la baza proporțiilor piramidei mexicane. (
Matematicianul italian Leonardo Fibonacci a trăit în secolul al XIII-lea și a fost unul dintre primii din Europa care a folosit cifre arabe (indiene). El a venit cu o problemă oarecum artificială despre iepurii crescuți la o fermă, toți fiind considerați femele, iar masculii sunt ignorați. Iepurii încep să se înmulțească după vârsta de două luni și apoi dau naștere unui iepure în fiecare lună. Iepurii nu mor niciodată.
Trebuie să stabilim câți iepuri vor fi în fermă n luni, dacă la momentul inițial exista un singur iepure nou-născut.
Evident, fermierul are un iepure în prima lună și un iepure în luna a doua. Până în luna a treia vor fi doi iepuri, până în luna a patra vor fi trei etc. Să notăm numărul de iepuri în n luna ca . Prin urmare, ,
,
,
,
,
…
Este posibil să construiți un algoritm pentru a găsi la orice n.
Conform enunțului problemei, numărul total de iepuri V n+1 lună este împărțită în trei componente:
iepuri de o luna incapabili de reproducere, in cantitate de
;
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/314/html_Rq5KElOtrW.ucDZ/img-6YJ2Di.png)
Astfel, primim
. (8.1)
Formula (8.1) vă permite să calculați o serie de numere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Numerele din această secvență sunt numite numerele Fibonacci .
Dacă acceptăm Și
, apoi folosind formula (8.1) puteți determina toate celelalte numere Fibonacci. Formula (8.1) se numește recurent
formulă ( recidiva
– „întoarcere” în latină).
Exemplul 8.1. Să presupunem că există o scară înăuntru n trepte. Îl putem urca în trepte de o treaptă, sau în trepte de două trepte. Câte combinații de metode diferite de ridicare există?
Dacă n= 1, există o singură soluție la problemă. Pentru n= 2 există 2 opțiuni: doi pași simpli sau unul dublu. Pentru n= 3 există 3 opțiuni: trei trepte simple, sau una simplă și una dublă, sau una dublă și una simplă.
În cazul următor n= 4, avem 5 posibilități (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Pentru a răspunde la întrebarea pusă la întâmplare n, să notăm numărul de opțiuni ca , și să încercăm să determinăm
conform cunoscute
Și
. Dacă începem cu un singur pas, atunci avem
combinatii pentru restul n trepte. Dacă începem cu un pas dublu, atunci avem
combinatii pentru restul n-1 pași. Numărul total de opțiuni pentru n+1 pași este egal
. (8.2)
Formula rezultată seamănă cu formula (8.1) ca geamăn. Totuși, acest lucru nu ne permite să identificăm numărul de combinații cu numerele Fibonacci
. Vedem, de exemplu, că
, Dar
. Cu toate acestea, are loc următoarea dependență:
.
Acest lucru este adevărat pentru n= 1, 2 și, de asemenea, adevărat pentru toată lumea n. Numerele Fibonacci și numărul de combinații sunt calculate folosind aceeași formulă, dar valorile inițiale
,
Și
,
ele diferă.
Exemplul 8.2. Acest exemplu este de importanță practică pentru problemele de codare de corectare a erorilor. Aflați numărul tuturor cuvintelor binare de lungime n, care nu conține mai multe zerouri la rând. Să notăm acest număr prin . Evident,
, iar cuvintele de lungime 2 care ne satisfac constrângerea sunt: 10, 01, 11, i.e.
. Lăsa
- un astfel de cuvânt de la n personaje. Dacă simbolul
, Acea
poate fi arbitrar (
)-cuvânt literal care nu conține mai multe zerouri la rând. Aceasta înseamnă că numărul de cuvinte care se termină în unu este
.
Dacă simbolul , atunci cu siguranță
, iar primul
simbol
poate fi arbitrară, sub rezerva constrângerilor luate în considerare. Prin urmare, există
lungimea cuvintelor
n cu zero la sfârșit. Astfel, numărul total de cuvinte care ne interesează este egal cu
.
Având în vedere că Și
, succesiunea de numere rezultată este numerele Fibonacci.
Exemplul 8.3.În Exemplul 7.6 am constatat că numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t(și lungimea k) egal . Acum să găsim numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t, care nu conține mai multe zerouri la rând.
Puteți gândi așa. Lăsa numărul de zerouri din cuvintele în cauză. Orice cuvânt are
spații între cele mai apropiate zerouri, fiecare dintre acestea conținând unul sau mai multe. Se presupune că
. În caz contrar, nu există un singur cuvânt fără zerouri adiacente.
Dacă eliminăm exact o unitate din fiecare interval, obținem un cuvânt de lungime conținând
zerouri. Orice astfel de cuvânt poate fi obținut în modul indicat de la unii (și doar unul) k-cuvânt literal care conține
zerouri, dintre care două nu sunt adiacente. Aceasta înseamnă că numărul necesar coincide cu numărul tuturor cuvintelor de lungime
, conţinând exact
zerouri, adică egală
.
Exemplul 8.4. Să demonstrăm că suma egal cu numerele Fibonacci pentru orice număr întreg
. Simbol
reprezintă cel mai mic număr întreg mai mare sau egal cu
. De exemplu, dacă
, Acea
; si daca
, Acea
plafon("tavan"). Există și un simbol
, care denotă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu
. În engleză această operațiune se numește podea
("podea").
Dacă , Acea
. Dacă
, Acea
. Dacă
, Acea
.
Astfel, pentru cazurile luate în considerare, suma este într-adevăr egală cu numerele Fibonacci. Acum prezentăm dovada pentru cazul general. Deoarece numerele Fibonacci pot fi obținute folosind ecuația de recurență (8.1), egalitatea trebuie îndeplinită:
.
Și chiar funcționează:
Aici am folosit formula obținută anterior (4.4): .
Suma numerelor Fibonacci
Să stabilim suma primului n numerele Fibonacci.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Este ușor de observat că prin adăugarea uneia în partea dreaptă a fiecărei ecuații obținem din nou numărul Fibonacci. Formula generală pentru determinarea sumei primelor n Numerele Fibonacci au forma:
Să demonstrăm acest lucru folosind metoda inducției matematice. Pentru a face acest lucru, să scriem:
Această sumă ar trebui să fie egală .
Reducand laturile stanga si dreapta ale ecuatiei cu –1, obtinem ecuatia (6.1).
Formula pentru numerele Fibonacci
Teorema 8.1. Numerele Fibonacci pot fi calculate folosind formula
.
Dovada. Să verificăm validitatea acestei formule pentru n= 0, 1 și apoi vom demonstra validitatea acestei formule pentru un arbitrar n prin inducție. Să calculăm raportul dintre cele mai apropiate două numere Fibonacci:
Vedem că raportul acestor numere fluctuează în jurul valorii de 1,618 (dacă ignorăm primele câteva valori). Această proprietate a numerelor Fibonacci seamănă cu termenii unei progresii geometrice. Să acceptăm ,
(
). Apoi expresia
convertit la
care după simplificări arată așa
.
Am obținut o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt egale:
Acum putem scrie:
(Unde c este o constantă). Ambii membri Și
nu da numere Fibonacci, de exemplu
, in timp ce
. Cu toate acestea, diferența
satisface ecuația recurenței:
Pentru n=0 această diferență dă , acesta este:
. Cu toate acestea, când n=1 avem
. A obtine
, trebuie să acceptați:
.
Acum avem două secvențe: Și
, care încep cu aceleași două numere și satisfac aceeași formulă de recurență. Ele trebuie să fie egale:
. Teorema a fost demonstrată.
La crestere n membru devine foarte mare în timp ce
, și rolul membrului
diferenta este redusa. Prin urmare, în mare n putem scrie aproximativ
.
Ignorăm 1/2 (deoarece numerele Fibonacci cresc la infinit pe măsură ce n catre infinit).
Atitudine numit ratia de aur, este folosit în afara matematicii (de exemplu, în sculptură și arhitectură). Raportul de aur este raportul dintre diagonală și laterală pentagon obișnuit(Fig. 8.1).
Orez. 8.1. Pentagonul obișnuit și diagonalele sale
Pentru a desemna raportul de aur, se obișnuiește să se folosească litera în cinstea faimosului sculptor atenian Fidias.
numere prime
Toate numerele naturale, cele mari, se împart în două clase. Primul include numere care au exact doi divizori naturali, unul și el însuși, al doilea îi include pe restul. Se numesc numere de clasa I simplu, iar al doilea - compozit. Numerele prime din primele trei zeci: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Proprietățile numerelor prime și relația lor cu toate numerele naturale au fost studiate de Euclid (secolul al III-lea î.Hr.). Dacă notezi numere prime pe rând, vei observa că densitatea lor relativă scade. Pentru primii zece sunt 4, adică 40%, pentru o sută – 25, adică. 25%, la mie – 168, i.e. mai putin de 17%, la milion – 78498, i.e. mai puțin de 8% etc. Cu toate acestea, numărul lor total este infinit.
Printre numerele prime există perechi de astfel de numere, a căror diferență este egală cu două (așa-numitele gemeni simpli), cu toate acestea, caracterul finit sau infinit al unor astfel de perechi nu a fost dovedit.
Euclid a considerat evident că prin înmulțirea numai a numerelor prime se pot obține toate numerele naturale, iar fiecare număr natural poate fi reprezentat ca produs de numere prime într-un mod unic (până la ordinea factorilor). Astfel, numerele prime formează o bază multiplicativă a seriei naturale.
Studiul distribuției numerelor prime a condus la crearea unui algoritm care permite obținerea de tabele de numere prime. Un astfel de algoritm este sita lui Eratosthenes(secolul al III-lea î.Hr.). Această metodă constă în eliminarea (de exemplu, prin eliminarea) acelor numere întregi dintr-o anumită secvență , care sunt divizibile cu cel puțin unul dintre numerele prime mai mici
.
Teorema 8 . 2 . (teorema euclidiană). Numărul numerelor prime este infinit.
Dovada. Vom demonstra teorema lui Euclid asupra infinitului numărului de numere prime folosind metoda propusă de Leonhard Euler (1707–1783). Euler a considerat produsul peste toate numerele prime p:
la . Acest produs converge, iar dacă este extins, atunci, datorită unicității descompunerii numerelor naturale în factori primi, se dovedește că este egal cu suma seriei
, din care rezultă identitatea lui Euler:
.
De cand seria din dreapta diverge (seria armonică), apoi teorema lui Euclid decurge din identitatea lui Euler.
Matematicianul rus P.L. Cebyshev (1821–1894) a derivat o formulă care determină limitele în care se află numărul de numere prime , fara sa depaseasca X:
,
Unde ,
.
Numerele Fibonacci - în Forex - sunt o relație matematică și fundamentul pentru diferite metode și strategii de analiză tehnică în Forex. Aceste numere sunt baza pentru multe alte strategii de piață Forex.
În onoarea lui, puțin mai târziu, secvențele de astfel de numere au fost numite după fondatorul însuși - „ Seria Fibonacci».
Cu ajutorul acestei cărți, europenii au învățat șirul de numere indo-arabe, după care numerele romane au fost forțate să nu mai fie folosite în matematică și geometrie. Toate lucrările lui Leonardo Fibonacci, a adus beneficii enorme dezvoltării fizicii, matematicii, astronomiei și. Formula unică Fibonacci în sine este surprinzător de simplă: 1, 2, 3, 5, 8 (și așa mai departe la infinit).
Seria de numere Fibonacci are caracteristici foarte neobișnuite, și anume, fiecare număr este legat de cel precedent. Suma a două numere Fibonacci adiacente adunate rezultă în numărul care urmează primelor două. Ca exemplu, putem da următoarele: 2 + 2 = 4. Raportul oricărui număr față de numărul anterior are o valoare apropiată de media de aur de 1.618. De exemplu: 13: 8 = 1.625; sau 21: 13 = 1,615; și așa mai departe.
Să luăm în considerare și un alt exemplu de succesiune a lui Leonardo Fibonacci:
Observați cum raportul numerelor fluctuează în jurul valorii de 0,618!
De fapt, Leonardo Fibonacci însuși nu este considerat primul descoperitor al acestei serii de numere. Pentru că urme ale acestei conexiuni matematice au fost găsite în muzică, biologie și arhitectură. Chiar și aranjarea planetelor și a întregului sistem solar se bazează pe aceste reguli.
Numerele Fibonacci au fost folosite în construcție de către greci în timpul construcției Partenonului și de către egipteni la construirea faimoasei piramide de la Giza. Proprietățile unice ale „mediei numerice” au fost cunoscute și de cei mai mari oameni de știință ai antichității, precum Platon, Pitagora, Arhimede și Leonardo da Vinci.
Uimitor model de numere Fibonacci
Raportul numeric Leonardo Fibonacci și raportul procentual al nivelului de corecție.
De regulă, o corecție constă întotdeauna din 3 sărituri...
Corecția convențională este împărțită în 2 tipuri:
- acesta este un zigzag 5, 3, 5,
- precum și valul plan 3, 3, 5.
Pe al patrulea, se formează de obicei triunghiuri, care preced în mod constant ultimul val format. Această formațiune poate fi, de asemenea, un val B corectiv.
Fiecare val este subdivizat în unele mai mici și este o componentă a unuia mai lung.
Se întâmplă ca o undă de impuls să fie întinsă, iar celelalte două, de regulă, ar trebui să aibă aceeași dimensiune și timp de formare.
Pentru a găsi sunt folosite rapoartele Fibonacci și rapoartele dimensiunilor de corecție care sunt derivate folosind aceste numere.
Relația dintre dimensiunea corecției și mișcarea anterioară a tendinței este de obicei egală cu: 62, 50, 38 la sută.
Metoda de alternanță spune: nu ar trebui să așteptați aceeași manifestare a dinamicii prețurilor de 2 ori la rând.
O piață bull activă nu poate scădea mai jos decât începutul valului 4 anterior.
În plus, valul 4 nu ar trebui să se intersecteze cu primul.
Principalele criterii ale teoriei lui Eliot sunt:
1) formă de undă;
2) raportul dintre lungimile lor;
3) perioada de dezvoltare a acestora.
În plus, așa cum am menționat deja, multe altele se bazează pe secvența derivată de Leonardo Fibonacci, despre care cu siguranță va fi atinsă în materialele de pe acest site.