Piiride ja pidevuse teooria. Lõpmatult suured kogused
![Piiride ja pidevuse teooria. Lõpmatult suured kogused](https://i1.wp.com/matica.org.ua/images/stories/KLPVMK/image533.gif)
VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM RIIKLIK KUTSEHARIDUSASUTUS "RAHVUSLIKU UURINGU TOMSKI POLÜTEHNIKU ÜLIKOOLI" L.I. Samochernova KÕRGEMATEMAATIKA II osa Soovitatav õpikuna Tomski Polütehnilise Ülikooli toimetuse ja kirjastusnõukogu poolt 2. väljaanne, läbivaadatud Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus 2005 UDK 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Kõrgem matemaatika. II osa: õpik / L.I. Samo-tšernova; Tomski Polütehniline Ülikool. – 2. väljaanne, rev. – Tomsk: Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus, 2005. – 164 lk. Õpik sisaldab kolme kõrgema matemaatika osa: 1) sissejuhatus matemaatilisesse analüüsi (jada ja funktsiooni piir, lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused, lõpmatute väiksemate võrdlus, funktsiooni pidevus, katkestuspunktid); 2) ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus (funktsiooni tuletis ja diferentsiaal, diferentsiaalarvutuse rakendused funktsioonide uurimisel); 3) integraalarvutus (määramatu integraal, kindel integraal, kindla integraali geomeetrilised rakendused). Käsiraamat on koostatud rakendusmatemaatika osakonnas ja on mõeldud välisõppe üliõpilastele, kes õpivad valdkondades 080400 “Personalressursside juhtimine”, 080200 “Juhtimine”, 080100 “Majandus”, 100700 “Kaubandus”. UDC 514.12 retsensendid, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat, TSU algebra osakonna dotsent S.Ya. Grinshpon tehnikateaduste kandidaat, TUSUR A.I juhtimissüsteemide teaduskonna dotsent. Kochegurov © Tomski Polütehniline Ülikool, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Disain. Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus, 2005 2 1. SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE ANALÜÜSI 1.1. Arvjada ja selle piir Definitsioon 1. Kui mingi seaduse järgi on iga naturaalarv n seotud täpselt määratletud arvuga xn, siis ütleme, et antud on arvjada (xn): x1,x2, x3,. ..,xn,. .. (1.1) Teisisõnu on arvujada loomuliku argumendi funktsioon: xn = f(n). Jada moodustavaid arve nimetatakse selle liikmeteks ja xn on jada ühine ehk n-s liige. Numbrijada näide: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Selle jada jaoks on x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n paarisarvude jada. n Näide 1. Teades jada xn = üldliikmet, kirjuta n+2 selle esimesed viis liiget. Lahendus. Andes n-le väärtused 1, 2, 3, 4, 5, saame 1 2 3 4 5 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n Üldjuhul kirjutatakse jada ühise liikmega xn = järgmiselt: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 Pange tähele, et kuna xn =f(n) on funktsioon, see tähendab üldiselt muutuv suurus, siis mugavuse huvides nimetame funktsiooni xn sageli muutuvaks suuruseks või lihtsalt muutujaks xn. Piiratud ja piiramata jadad Definitsioon 2. Jada (xn) nimetatakse ülalt (altpoolt) piiratuks, kui on olemas reaalarv M (arv m), nii et jada (xn) iga element xn rahuldab ebavõrdsust xn ≤ M ( xn ≥ m). Sel juhul nimetatakse arvu M (arv m) jada (xn) ülemiseks piiriks (alumine piir) ja ebavõrdsust xn ≤ M (xn ≥ m) nimetatakse tingimuseks, et jada oleks ülalt piiratud. (altpoolt). 3 Definitsioon 3. Jada nimetatakse mõlemalt poolt piiratuks või lihtsalt piiratuks, kui see on piiratud nii ülalt kui ka altpoolt, st kui on arvud m ja M nii, et selle jada mis tahes element xn rahuldab võrratusi: m ≤ xn ≤ M. Kui jada (xn) on piiratud ning M ja m on selle ülemine ja alumine piir, siis vastavad selle jada kõik elemendid ebavõrdsusele xn ≤ A, (1.2), kus A on kahe arvu maksimum |M| ja |m|. Vastupidiselt, kui jada (xn) kõik elemendid rahuldavad ebavõrdsust (1.2), kehtivad ka võrratused − A ≤ xn ≤ A ja seetõttu on jada (xn) piiratud. Seega on ebavõrdsus (1.2) jada piiritlemise tingimuse teine vorm. Teeme selgeks piiramatu jada mõiste. Jada (xn) nimetatakse piiramatuks, kui mis tahes positiivse arvu A korral on selle jada element xn, mis rahuldab ebavõrdsust xn > A. 2n Näited: 1. Jada ühise liikmega xn = (− 1)n sin 3n n +1 on piiratud, kuna kõigi n puhul on võrratus 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), siis jada (xn) nimetatakse kasvavaks (kahanevaks). Suurenevaid ja kahanevaid jadasid nimetatakse ka rangelt monotoonilisteks. Näide 2. Paaritute arvude 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... jada, kus xn = 2n − 1, on monotoonselt kasvav. 4 Tõepoolest, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, seega xn +1 − xn > 0, st xn +1 > xn kõigi n puhul. Jada piirmäär Määratleme matemaatilise analüüsi ühe olulisema mõiste - jada piir, või, mis on sama, jada x1,x2,...,xn läbiva muutuja xn piir, ... Definitsioon 5. Konstantset arvu a nimetatakse piirjadaks x1,x2 ,...,xn,... ehk muutuja xn piiriks, kui suvaliselt väikese positiivse arvu ε korral saab määrata naturaalarvu N nii, et kõigi arvudega n>N jada liikmete puhul on täidetud ebavõrdsus xn − a< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >Täidetakse N ebavõrdsus (1.3), milles peame võtma a =1; n xn = , see tähendab, et võrratus n +1 n 1−< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. Järelikult võib N pidada suurimaks täisarvuks, mis sisaldub (1/ε – 1), st E(1/ε – 1). Siis on ebavõrdsus (1.4) täidetud kõigi n >N puhul. Kui selgub, et E(1/ε – 1) ≤ 0, siis võib N võtta võrdseks 1-ga. Kuna ε võeti suvaliselt, siis tõestab see, et 1 on ühise liikmega jada piir xn = n /( n + 1) . Täpsemalt, kui ε = 0,01, siis N = E (1 / 0,01 - 1) = E (100 - 1) = 99; kui ε=1/2, siis N=E (1 / 0,5 − 1)=1 jne. Sel viisil valitud N erinevatele ε väärtustele on väikseim võimalik. Arvjada piiri geomeetriline tõlgendamine Arvjada (1.1) võib käsitleda kui punktide jada sirgel. Samamoodi saame rääkida piirist kui punktist sirgel. Kuna võrratus xn − a< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N jääb antud naabrusse. Esitame arvud a, a – ε, a + ε ja muutuja xn väärtused punktidena arvuteljel (joonis 1). Võrratuse (1.3) täitumine tingimusel n > N tähendab geomeetriliselt seda, et kõik punktid xn, mis algavad punktist x N +1, st punktist, mille indeks ületab mõne naturaalarvu N, asuvad kindlasti ε-s. naabruskonna punktid a. Väljaspool seda naabruskonda, isegi kui punkte xn on, on neid ainult piiratud arv. Riis. 1 Monotoonse jada konvergentsi test Teoreem 1. Igal alt (ülevalt) piiratud mittekasvaval (mittekahaneval) jadal (xn) või muutujal xn on piir. 6 1.2. Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured suurused Definitsioon 1. Muutujat xn nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui selle piirväärtus on võrdne nulliga. Järgides piirmäära definitsiooni, võime öelda, et xn on lõpmatult väike, kui suvaliselt väikese ε > 0 korral on N nii, et kõigi n > N korral on võrratus xn< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Lõpmatu väikese arvu näiteks on muutujad 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n q jaoks< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. Võrratusest xn = =< ε полу- n n чаем n >1/ε. Kui võtta N = E(1/ε), siis n > N korral on meil xn< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 saame määrata naturaalarvu N nii, et kõigi arvude n > N korral kehtib võrratus xn > M. Teisisõnu nimetatakse muutujat xn lõpmata suureks, kui see teatud arvust alates muutub ja jääb kõigi järgnevate arvude jaoks. on absoluutväärtuselt suuremad kui mis tahes ettemääratud positiivne arv M. Väidetavalt kaldub lõpmatu suur muutuja xn lõpmatusse või sellel on lõpmatu piir ja nad kirjutavad: xn → ∞ või lim xn = ∞. n →∞ n →∞ 7 Seoses uue mõiste – “lõpmatu piir” – kasutuselevõtuga nõustume nimetama piiri eelnevalt määratletud tähenduses lõplikuks piiriks. Näide 2. Suurus xn = (− 1)n ⋅ n, võttes järjestikku väärtused -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K on lõpmatult suur. Tõepoolest, xn = (− 1)n n = n . Siit on selge, et olenemata sellest, milline on arv M, on kõigi n puhul, alates mõnest, xn = n > M, st lim xn = ∞. n →∞ Definitsioon 3. Muutuvat suurust xn nimetatakse positiivseks lõpmata suureks suuruseks, kui suvalise arvu M jaoks saab määrata naturaalarvu N nii, et kõigi arvude n > N korral kehtib võrratus xn > M. Sel juhul muutub muutuja suurus, mida öeldakse olevat xn, kipub plussis lõpmatuse ja kirjutage see sümboolselt järgmiselt: xn → +∞ või lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Definitsioon 4. Muutujat xn nimetatakse negatiivseks lõpmatult suureks suuruseks, kui suvalise arvu M jaoks saab määrata naturaalarvu N nii, et kõigi n > N korral kehtib võrratus xn<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) kui keskpunkt on koordinaatide algpunktis, jääb punkt xn, mis tähistab lõpmata suure koguse väärtusi, piisavalt suure arvuga n väljaspool näidatud lõiku ja n edasise suurenemisega jääb sellest väljapoole ( joonis 2). Veelgi enam, kui xn on positiivne (negatiivne) lõpmatult suur suurus, siis on selle väärtusi esindav punkt piisavalt suurte arvude n jaoks väljaspool määratud segmenti lähtepunkti paremal (vasakul) küljel. Riis. 2 8 Märkus 2. 1. Sümbolid ∞, + ∞, − ∞ ei ole arvud, vaid need on kasutusele võetud ainult märgistamise lihtsustamiseks ja lühidalt väljendamaks tõsiasja, et muutuja on lõpmata suur, positiivne lõpmatult suur ja negatiivne lõpmatult suur. Tuleb kindlalt meeles pidada, et nende sümbolitega ei saa teha aritmeetilisi tehteid! 2. Konstantset väga suurt arvu ei saa segada lõpmatult suure väärtusega. Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste suuruste vaheline seos Teoreem 1. Olgu xn ≠0 (mis tahes n korral). Kui xn on lõpmatult suur, siis yn = 1 / xn on lõpmatult väike; kui xn on lõpmatult väike, siis yn = 1 / xn on lõpmatult suur. 1.3. Aritmeetilised tehted muutuvate suurustega. Põhiteoreemid muutujate (jadade) piiride kohta Tutvustame mõistet muutujatega tehtavad aritmeetilised tehted. Olgu meil kaks muutuvat suurust xn ja yn, võttes vastavalt järgmised väärtused: x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... Kahe antud muutuja xn ja yn summat mõistetakse kui muutujat, mille iga väärtus on võrdne muutujate xn ja yn vastavate (samade arvudega) väärtuste summaga, st muutujaga, mis võtab väärtuste jada x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K Tähistame seda muutujat xn + yn . Sarnaselt määratakse suvalise arvu muutujate summa, nende korrutis, samuti kahe muutuja erinevus ja nende jagatis. Seega tekivad uued muutujad: xn + y n, xn − y n, xn ⋅ y n ja x n / y n. (Viimasel juhul eeldatakse, et vähemalt mõnest arvust lähtudes on yn ≠0 ja jagatist xn / yn arvestatakse ainult selliste arvude puhul). Sarnaselt on need määratlused sõnastatud järjestustena. 9 Teoreemid muutujate piiride kohta Teoreem 1. Muutujal xn võib olla ainult üks piir. Piirmääraga muutujate ja lõpmata väikeste suuruste vahel on seos. Teoreem 2. Muutuvat suurust, millel on piir, saab esitada selle piirväärtuse ja mõne lõpmata väikese suuruse summana. Teoreem 3 (vastupidine teoreemile 2). Kui muutujat xn saab esitada kahe liikme summana xn = a + α n, (1.5), kus a on teatud arv ja α n on lõpmata väike, siis a on muutuja xn piir. Teoreem 4. Kui muutujal xn on lõplik piir, siis on see piiratud. Tagajärg. Lõpmatult väike muutuja on piiratud. Lemma 1. Mis tahes (kuid piiratud) arvu lõpmatute suuruste algebraline summa on samuti lõpmata väike suurus. Lemma 2. Piiratud muutuja xn ja lõpmatult väikese α n korrutis on lõpmata väike suurus. Järeldus 1. Lõpmatu arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis tähistab lõpmata väikest suurust. Järeldus 2. Konstantse suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Järeldus 3. Piirini kalduva muutuva suuruse ja lõpmata väikse suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Kasutades lemmasid 1 ja 2, saame tõestada järgmised teoreemid piiride kohta. Teoreem 5. Kui muutujatel xn ja yn on lõplikud piirid, siis on ka nende summal, vahel, korrutisel lõplikud piirid ja: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Märkus 1. See teoreem kehtib mis tahes fikseeritud arvu terminite ja tegurite kohta. Tagajärg. Konstantse teguri võib viia piirimärgist kaugemale, st lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ kus c on mingi konstant. Teoreem 6. Kui muutujatel xn ja yn on lõplikud piirid ja yn ≠0, lim yn ≠ 0, siis on ka nende muutujate jagatil piir ja n →∞ 10
Piir on üks kõrgema matemaatika põhimõisteid. Selles peatükis vaatleme kahte peamist tüüpi piiranguid: 1) muutuja piir; 2) funktsiooni piir.
Lase X – Muutuv väärtus. See tähendab, et väärtus X muudab selle tähendust. See eristab selle põhimõtteliselt kõigist Püsiv väärtus A, mis ei muuda selle muutumatut väärtust. Näiteks varda kõrgus on konstantne väärtus, kuid elava kasvava puu kõrgus on muutuv väärtus.
Muutuv väärtus X loetakse antatuks, kui jada on antud
Selle tähendused. See tähendab, need väärtused X 1; X 2; X 3;..., mida ta järjekindlalt, üksteise järel, oma muutumise käigus omaks võtab. Eeldame, et see protsess muutub suurusjärgus X selle väärtused ei peatu ühelgi etapil (muutuja X ei külmu kunagi, see on "alati elus"). See tähendab, et jadal (1.1) on lõpmatu arv väärtusi, mis on (1.1)-s tähistatud ellipsiga.
Loomulikult tekib huvi suurusjärgu muutuse olemuse vastu X nende tähendusi. See tähendab, et tekib küsimus: kas need väärtused muutuvad ebasüstemaatiliselt, kaootiliselt või kuidagi sihipäraselt?
Peamine huvi on muidugi teine variant. Nimelt las väärtused Xn Muutuv X kui nende arv suureneb N lähenevad lõputult ( püüdma) mõnele kindlale numbrile A. See tähendab, et väärtuste vahe (kaugus). Xn Muutuv X ja number A lepinguid, kipub see suurenema N(at ) nullini. Asendades sõna “otsib” noolega, saab ülaltoodu kirjutada järgmiselt:
Kell<=>juures (1.2)
Kui (1.2) kehtib, siis me ütleme seda Muutuja x kaldub arvule a. See number A Helistas Muutuja limiitX. Ja see on kirjutatud järgmiselt:
<=> (1.3)
Loeb: PiirangXvõrdubA (Xpoole püüdlebA).
Aspiratsiooni muutuja X teie piirini A
Saab selgelt illustreerida arvteljel. Selle soovi täpne matemaatiline tähendus X To A on see, et olenemata sellest, kui väikeseks võtab positiivne arv üks, ja seega ükskõik kui väikese intervalli
ega ümbritse numbrit numbrireal A, selles intervallis (nn -numbri naabruses A) tabab alates teatud arvust N, kõik väärtused Xn
Muutuv X. Eelkõige joonisel fig. 3.1 numbri kujutatud naabruses A saanud kõik väärtused Xn
Muutuv X, alustades numbrist .
Muutuv X mille piiriks on null (see tähendab nulli poole kaldumist). Lõpmatult väike. Muutuja X, nimetatakse absoluutväärtuses piiranguteta kasvamist Lõpmatult suur(selle moodul kipub lõpmatuseni).
Seega, kui, siis X on lõpmata väike muutuv suurus ja kui , siis X– lõpmatult suur muutuv kogus. Eelkõige, kui või , siis X– lõpmatult suur muutuv kogus.
Kui siis . Ja vastupidi, kui
, See. Siit saame muutuja vahel järgmise olulise seose X ja selle piir A:
Pange tähele, et mitte iga muutuja X on piir. Paljudel muutujatel pole piiranguid. Kas see on olemas või mitte, sõltub sellest, milline on selle muutuja väärtuste jada (1.1).
Näide 1 . Lase
Siin on see ilmselgelt nii.
Näide 2 . Lase
X- lõpmata väike.
Näide 3 . Lase
Siin on see ilmselgelt nii. Nii et muutuja X- lõputult suur.
Näide 4 . Lase
Siin on ilmselgelt muutuja X ei püüdle millegi poole. See tähendab, et sellel pole piire (ei ole olemas).
Näide 5 . Lase
Siin on olukord muutuja piiriga X ei ole nii ilmne kui eelmises neljas näites. Selle olukorra selgitamiseks muutkem väärtusi Xn muutuv X:
Ilmselgelt kell . Tähendab,
aadressil .
Ja see tähendab, et see on.
Näide 6 . Lase
Siin on järjestus ( Xn) muutuvate väärtustega X tähistab nimetajaga lõpmatut geomeetrilist progressiooni K. Seega muutuja piir X on lõpmatu geomeetrilise progressiooni piir.
A) Kui , siis ilmselt kell . Ja see tähendab, et ().
Lase x – muutuv kogus. See tähendab, et väärtus x muudab selle tähendust. See eristab selle põhimõtteliselt kõigist konstantne väärtus a, mis ei muuda selle muutumatut väärtust. Näiteks varda kõrgus on konstantne väärtus, kuid elava kasvava puu kõrgus on muutuv väärtus.
Muutuv väärtus x peetakse etteantuks, antakse numbriline jada
selle tähendusi. See tähendab, need väärtused x 1 ; x 2 ;x 3 ;..., mida ta järjekindlalt, üksteise järel, oma muutumise käigus omaks võtab. Eeldame, et see protsess muutub suurusjärgus x selle väärtused ei peatu ühelgi etapil (muutuja X ei külmu kunagi, see on "alati elus"). See tähendab, et jadal (1) on lõpmatu arv väärtusi, mis on (1)-s märgitud ellipsiga.
Muutuja väärtusi võib pidada loomuliku argumendi funktsiooni väärtuste kogumiks x n =f(n). liige x n nimetatakse jada ühisliikmeks. Jada loetakse etteantuks, kui on antud meetod selle mis tahes liikme arvutamiseks teadaoleva arvu järgi.
Näide 1: Kirjutage jada esimesed kümme liiget, kui selle ühine termin on .
Lahendus: Väärtustega antud murdosa väärtuse arvutamine n võrdub 1,2,3,…10, saame:
Üldiselt kirjutatakse ühise terminiga jada järgmiselt:
Loomulikult tekib huvi suurusjärgu muutuse olemuse vastu x nende tähendusi. See tähendab, et tekib küsimus: kas need väärtused muutuvad ebasüstemaatiliselt, kaootiliselt või kuidagi sihipäraselt?
Peamine huvi on muidugi teine variant. Nimelt las väärtused x n muutuv x kui nende arv suureneb n lähenevad lõputult ( püüdma) mõnele kindlale numbrile a. See tähendab, et väärtuste vahe (kaugus). x n muutuv x ja number a lepinguid, kipub see suurenema n(at ) nullini. Asendades sõna “otsib” noolega, saab ülaltoodu kirjutada järgmiselt:
Kell<=>kell (2)
Kui (2) kehtib, siis me ütleme seda muutuja x kipub numbriga a. See number A helistas muutuja x piir. Ja see on kirjutatud järgmiselt:
Loeb: piir x on a(x kipub a).
Aspiratsiooni muutuja x teie piirini a saab selgelt illustreerida arvteljel. Selle soovi täpne matemaatiline tähendus x To a on see, et olenemata sellest, kui väikeseks võtab positiivne arv üks, ja seega ükskõik kui väikese intervalli
ega ümbritse numbrit numbrireal a, selles intervallis (nn -numbri naabruses a) tabab alates teatud arvust N, kõik väärtused x n muutuv x. Eelkõige joonisel fig. 1 numbri kujutatud naabrusse a saanud kõik väärtused x n muutuv x, alustades numbrist .
Definitsioon: Number A nimetatakse jada piiriks (muutuja piiriks X või funktsiooni piir f(n)), kui mis tahes ettemääratud positiivne arv on, on alati võimalik selline naturaalarv leida N, mis kõigile numbritega jada liikmetele n>N ebavõrdsus rahuldatakse.
See ebavõrdsus on samaväärne kahe järgmise ebavõrdsusega: . Number N oleneb valitust. Kui arvu vähendada, siis vastav number N suureneb.
Jada jaoks (või muutuja jaoks X) limiiti ei pea olema, aga kui see piir on olemas, siis on see ainuke. Nimetatakse jada, millel on piir koonduv. Nimetatakse jada, millel pole piirangut lahknev.
Muutuv väärtus x, võib püüda oma piiri mitmel viisil:
1. jäädes alla oma limiidi,
2. jäädes üle oma piiri,
3. kõikumine teie limiidi ümber,
4. selle piiriga võrdsete väärtuste võtmine.
Numbri valik on meelevaldne, kuid kui see on valitud, ei tohiks seda enam muuta.
Muutuv x mille piiriks on null (see tähendab nulli poole kaldumist). lõpmatult väike. Muutuja x, nimetatakse absoluutväärtuses piiranguteta kasvamist lõpmatult suur(selle moodul kipub lõpmatuseni).
Seega, kui, siis x on lõpmata väike muutuv suurus ja kui , siis x– lõpmatult suur muutuv kogus. Eelkõige, kui või , siis x– lõpmatult suur muutuv kogus.
Kui siis . Ja vastupidi, kui
, See. Siit saame muutuja vahel järgmise olulise seose x ja selle piir a:
On juba öeldud, et mitte iga muutuja x on piir. Paljudel muutujatel pole piiranguid. Kas see on olemas või mitte, sõltub selle muutuja väärtuste järjestusest (1).
Näide 2 . Lase
Siin on see ilmselgelt nii.
Näide 3 . Lase
x- lõpmata väike.
Näide 4 . Lase
Siin on see ilmselgelt nii. Nii et muutuja x- lõputult suur.
Näide 5 . Lase
Siin on ilmselgelt muutuja x ei püüdle millegi poole. See tähendab, et sellel pole piire (ei ole olemas).
Näide 6 . Lase
Siin on olukord muutuja piiriga x ei ole nii ilmne kui eelmises neljas näites. Selle olukorra selgitamiseks muutkem väärtusi x n muutuv x:
Ilmselgelt kell . Tähendab,
aadressil .
Ja see tähendab, et see on.
Näide 7 . Lase
Siin on järjestus ( x n) muutuvate väärtustega x tähistab nimetajaga lõpmatut geomeetrilist progressiooni q. Seega muutuja piir x on lõpmatu geomeetrilise progressiooni piir.
a) Kui , siis ilmselt kell . Ja see tähendab, et ().
b) Kui , siis . See tähendab, et antud juhul muutujate väärtused x ei muuda - need on alati võrdsed 1-ga. Siis on selle piirväärtus samuti võrdne 1-ga ().
c) Kui , siis . Sel juhul seda ilmselgelt ei eksisteeri.
d) Kui , siis on lõpmatult kasvav positiivne arvujada. Mis tähendab ().
e) Kui , siis tähistusega , kus , saame: – vahelduva arvujada absoluutväärtuses lõpmatult kasvavate terminitega:
Mis tähendab muutujat x lõpmatult suur. Kuid oma liikmete märkide vaheldumise tõttu ei kaldu see ei +∞ ega –∞ poole (sellel pole piirangut).
Näide 8. Tõesta, et ühise liikmega jada piirväärtus on 2.
Tõestus: Valime meelevaldselt positiivse arvu ja näitame, et sellist arvu on võimalik valida N, mis kõigi arvu väärtuste jaoks n, suurem kui see arv N, ebavõrdsus rahuldatakse, mille peame võtma a = 2, , s.t. ebavõrdsus rahuldatakse .
Sellest ebavõrdsusest saame pärast sulgudes ühise nimetaja vähendamist . Seega: . Taga N Võtame väikseima intervalli kuuluva täisarvu. Seega saime meelevaldselt antud positiivsest määrata sellise loomuliku N see ebavõrdsus sooritatakse kõikidele numbritele n>N. See tõestab, et 2 on ühise liikmega jada piir.
Eriti huvitavad on monotoonsed ja piiratud järjestused.
Definitsioon: monotoonselt kasvav, kui kõigi ees n iga selle liige on suurem kui eelmine, s.t. kui , ja monotoonselt kahanev, kui iga selle liige on väiksem kui eelmine, s.t. .
Näide 9. Naturaalarvude jada 1,2,3,…., n,… - monotoonselt kasvav.
Näide 10. Arvude jada, naturaalarvude pöördarvud, - monotoonselt vähenev.
Definitsioon: jada nimetatakse piiratud, kui kõik selle liikmed on lõplikus intervallis (-M,+M) Ja M>0, st. kui , suvalise numbri puhul n.
Näide 11. Järjekord (xn), Kus x n Seal on n arvu kümnendkoht on piiratud, sest .
Näide 12. Järjestus on piiratud, kuna .
Muutujate põhiomadused ja nende piirid
1) Kui (muutuja x muutumatu ja võrdne konstantsega a), siis on loomulik eeldada, et ja . See tähendab, et konstandi piir on võrdne iseendaga:
2) Kui , ja a Ja b on siis lõplikud . See on
Olgu x järjestatud muutuja (näiteks arvujada).
Definitsioon.
Püsiv numberanimetatakse muutuja x piiriks, kui suvaliselt väike positiivne arv me ei võtnud seda, saate määrata muutujale x väärtuse nii, et muutuja kõik järgnevad väärtused rahuldavad ebavõrdsust x-A .
Sümboolselt on see kirjutatud xa või limx=a (ladina limes - piir).
Geomeetriliselt see definitsioon tähendab, et olenemata sellest, millise väikese - punkti a naabruskonna me võtame, asuvad kõik järgnevad x väärtused pärast teatud punkti selles naabruses.
Jooniselt on selge, et ebavõrdsus tähendab, et kaugus punktist x kuni a on väiksem kui . Ja see on naabruskonna sisemus. Punkt x rahuldab ilmselgelt ka topeltvõrratust a-
ja need on samaväärsed.
KOHTA määratlus: Numbrijada (x n) korral on a piirväärtus, kui
saate määrata sellise arvuN, et kõigi jaoks
Jada liikmete jaoks asuvad kõik väärtused x N , x N +1 ja edasised - naabruskond on kohustuslik.
Muutuja x, mille väärtused moodustavad arvjada x 1,x 2,…,x n, kirjutatakse sageli jada x=x n või (x n) liikmena. Näiteks (1/n). See on muutuv suurus või jada ühise terminiga x n =1/n: 1,1/2,1/3…
Näide: Olgu muutuja x järjestikused väärtused: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… st. moodustavad numbrijada. Tõestame seda .
Võtame .
. Niipea kui number saab
, võtame seda kui N. Siis jääb ebavõrdsus püsima
. Aga siis on kõik tõestatud.
1. teoreem: konstantse väärtuse piir on võrdne selle konstandiga. Tõestus: Konstantne väärtus on muutuja erijuhtum - kõik selle väärtused =c: x=c/ Aga siis limc=c.
2. teoreem: Muutujal x ei saa olla kahte piirangut.
Tõestus: Oletame, et limx=a ja limx=b. Siis
Ja pärast mingit väärtust. Kuid siis
Sest suvaliselt väike, siis on ebavõrdsus võimalik ainult siis, kui a=b
Märge: Muutujal ei pruugi olla piirmäära: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. Kaugus punkti a –1,+1 väärtustest ei tohi olla väiksem kui 1/2 (-1) n-l pole piirangut.
Eeldasime, et a on arv. Kuid muutuja x võib kalduda ka lõpmatusse.
Definitsioon: Muutuja x kaldub lõpmatusse, kui jaoks alates teatud väärtusest x kaal, ülejäänud väärtused rahuldavad ebavõrdsust
. Variablex kipub
, kui samadel tingimustel ebavõrdsus x>M ja k -
, kui samadel tingimustel ebavõrdsus x<-M.
Если переменная X
стремится к бесконечности, то её называют
lõpmatult suur ja kirjutada
Näide: x=x n =n2. Võtame >0. n 2 >M peab olema täidetud. n>
. Niipea, kui n seda võrratust rahuldab, on kõigi x n =n 2 korral ebavõrdsus täidetud. Seega n 2
või õigemini n 2
.
§3. Funktsiooni piirang.
Eeldame, et funktsiooni y=f(x) argument x kaldub väärtusele x 0 või .
Vaatleme funktsiooni y käitumist nendel juhtudel.
Definitsioon.
Olgu funktsioon y=f(x) defineeritud mingis punkti x 0 läheduses. Arvu A nimetatakse funktsiooni piiriks xx 0 korral, kui ükskõik millise korral, olgu see nii väike, saab määrata sellise arvu , et kõigi xx 0 korral ja mis rahuldab võrratuse x-x 0 ebavõrdsus f on täidetud (x)-A.
Kui A on funktsiooni f(x) piir, siis nad kirjutavad orf(x)A xx 0 juures.
KOHTA Määratlust saab illustreerida nii geomeetriliselt.
Kui A on f(x) piir xx 0 korral, siis võttes punkti A mis tahes -naabruse, saame alati näidata sellise -punkti x 0 naabruskonna, et selle -väärtuse naabruskonna kõigi x-de jaoks. funktsiooni f(x) kaugused A-st ei ole kaugemal kui , st. langeb punkti A valitud -naabrusesse või niikuinii asub -naabruses olevatele punktidele x vastav graafiku osa tervenisti 2 laiusel ribal.
On näha, et mida väiksem , seda väiksem peaks olema.
Definitsioon.
Argument x kaldub punkti x 0, võttes kogu aeg väärtused xx 0 xx 0 . Siis arv A 1 (A 2), millele funktsioon f(x) kaldub, nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x 0 paremale (vasakule) või paremakäelisele (vasakukäeline).
Kirjutatakse: lim x x0+0 f(x)=A 1, (lim x x0-0 f(x)=A 2).
Saab tõestada, et kui on olemas piirmäär lim x x0 f(x) = A, siis on selles punktis olemas mõlemad ühepoolsed piirid ja need on võrdsed, A 1 = A 2 = A. Vastupidi: kui on ühepoolsed piirid ja need on võrdsed, siis on olemas üldine piir. Kui vähemalt ühte pole olemas või need ei ole võrdsed, siis funktsiooni limiiti ei eksisteeri.
Näide.
Tõesta, et f(x)=3x-2 piirväärtus punktis x1 on võrdne 1-ga.
Kõik ? , х 3.
Nagu võid võtta mis tahes positiivsed arvud /3; 0</3.
Nad tõestasid, et iga jaoks piisab, kui võtta /3, nii et alates 0х f(x)-1, kuid see tähendab, et lim X (3x-2)=1.
Definitsioon.
H Arvu A nimetatakse funktsiooni y=f(x) piiriks x korral, kui mis tahes (ükskõik kui väikese) korral saab määrata positiivse arvu P nii, et kõigi x väärtuste korral, mis rahuldavad ebavõrdsus xP võrratus f(x)-A.
Kirjutage üles lim x f(x)=A.
Geomeetriliselt tähendab see, et mis tahes korral asub funktsiooni xp ja x-p graafik 2 laiusel ribal.
Näide.
f(x)=1/x x jaoks, f(x)0.
Ükskõik, milline 0 võetakse, paikneb funktsioonide xP ja x-P graafik 2 laiusel ribal.
1/х, 1/х, x1/, Р=1/.
Sarnaselt määratletud f(x)=A 1 ja
f(x)=A 2. Esimesel juhul peab olema täidetud võrratus f(x)-A 1 xP korral, teisel juhul f(x)-A 2 x-P korral (P0 .
Niisiis, 1/x=0 ja
1/x=0. Nende võrdsus võimaldab kaaluda üldist piiri
1/x=0.