Axiomatické metody v matematice. Axiomatická konstrukce soustavy přirozených čísel Definice přirozeného čísla
![Axiomatické metody v matematice. Axiomatická konstrukce soustavy přirozených čísel Definice přirozeného čísla](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Smlouva o použití materiálů stránek
Díla zveřejněná na webu používejte pouze pro osobní účely. Publikování materiálů na jiných stránkách je zakázáno.
Toto dílo (a všechny ostatní) je k dispozici ke stažení zdarma. Mentálně můžete poděkovat jejímu autorovi a pracovníkům webu.
Odeslat svou dobrou práci do znalostní báze je jednoduché. Použijte níže uvedený formulář
Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu ve svém studiu a práci, vám budou velmi vděční.
Podobné dokumenty
Sčítání a násobení p-adických celých čísel, definované jako termwise sčítání a násobení sekvencí. Okruh celých p-adických čísel, studium vlastností jejich dělení. Vysvětlení těchto čísel zavedením nových matematických objektů.
semestrální práce, přidáno 22.06.2015
Jak se lidé naučili počítat, vznik čísel, čísel a číselných soustav. Násobilka na "prstech": technika násobení pro čísla 9 a 8. Příklady rychlého počítání. Způsoby, jak vynásobit dvouciferné číslo 11, 111, 1111 atd. a třímístné číslo 999.
semestrální práce, přidáno 22.10.2011
Nový způsob násobení čísel. Podobnost matice čísel vzniklé při výpočtu s trojúhelníkem je relativní, ale stále existuje, zejména při násobení trojciferných čísel a vyšších. trojúhelníková matice.
článek, přidáno 02.06.2005
abstrakt, přidáno 13.01.2011
Charakterizace historie studia významu prvočísel v matematice popisem toho, jak se nacházejí. Příspěvek Pietra Cataldiho k rozvoji teorie prvočísel. Eratosthenova metoda sestavování tabulek prvočísel. Přívětivost přirozených čísel.
test, přidáno 24.12.2010
Množina nezáporných reálných čísel jako interpretovaná podmnožina R. Dělitelnost v multiplikativních pologrupách. Struktura numerických GCD a LCM pologrup. Studium multiplikativních pologrup nezáporných reálných čísel s 0 a 1.
práce, přidáno 27.05.2008
Vlastnosti reálných čísel, jejich role ve vývoji matematiky. Analýza konstrukce množiny reálných čísel z historického hlediska. Přístupy ke konstrukci teorie reálných čísel podle Kantora, Weierstrasse, Dedekinda. Jejich studium ve školním kurzu.
prezentace, přidáno 10.9.2011
Primární prvky matematiky. Vlastnosti přirozených čísel. Pojem teorie čísel. Obecné vlastnosti porovnávání a algebraických rovnic. Aritmetické operace s porovnáváním. Základní aritmetické zákony. Kontrola výsledků aritmetických operací.
semestrální práce, přidáno 15.05.2015
Polysémie
Polysémie neboli mnohoznačnost slov vyplývá ze skutečnosti, že jazyk je systém, který je ve srovnání s nekonečnou rozmanitostí reality omezený, takže slovy akademika Vinogradova „jazyk je nucen šířit nesčetnou množinu významy pod jedním či druhým ze základních pojmů." (Vinogradov "Ruský jazyk" 1947). Je třeba rozlišovat rozdílné použití slov v jedné lexikálně-sémantické variantě a skutečnou odlišnost slova. Takže například slovo (das)Ol může označovat řadu různých olejů, kromě kravského (pro který existuje slovo Butter). Z toho však nevyplývá, že označujíce různé oleje, bude mít slovo Ol pokaždé jiný význam: ve všech případech bude jeho význam stejný, totiž olej (cokoli kromě krávy). Stejně jako například význam slova Tisch table, bez ohledu na to, jaký druh stolu slovo v tomto konkrétním případě označuje. Jiná situace je, když slovo Ol znamená olej. Zde již nevystupuje do popředí podobnost oleje po linii mazivosti s různými druhy oleje, ale zvláštní kvalita oleje - hořlavost. A přitom slova označující různé druhy paliva už budou korelovat se slovem Ol: Kohl, Holz atd. To nám dává možnost rozlišit dva významy od slova Ol (nebo jinými slovy dvou lexikálně-sémantických variant): 1) olej (nikoli zvíře) 2) olej.
Nové významy obvykle vznikají přenesením jednoho z existujících slov na nový předmět nebo fenomén. Takto se tvoří přenosové hodnoty. Jsou založeny buď na podobnosti objektů, nebo na spojení jednoho objektu s druhým. Je známo několik typů převodů jmen. Nejdůležitější z nich je metafora nebo metonymie.
V metafoře je přenos založen na podobnosti věcí v barvě, tvaru, pohybu a tak dále. Se všemi metaforickými změnami zůstává nějaký znak původního konceptu
homonymie
Polysémie slova je tak velký a mnohostranný problém, že s ním nějak souvisí nejrozmanitější problémy lexikologie. Zejména problém homonymie přichází v některých svých aspektech do kontaktu s tímto problémem.
Homonyma jsou slova, která znějí stejně, ale mají různé významy. Homonyma v některých případech vznikají z jejich polysémie, která prošla procesem destrukce. Homonyma ale mohou vzniknout i jako výsledek náhodných zvukových shod. Klíč, který otevírá dveře, a klíč - pružina nebo kosa - účes a kosa - zemědělský nástroj - tato slova mají různý význam a různý původ, ale náhodně se shodují ve svém zvuku.
Homonyma rozlišují lexikální (odkazují na jeden slovní druh, např. klíč - otevřít zámek a klíč - pramen. zdroj) morfologická (odkazují na různé slovní druhy, např. tři - číslovka, tři - sloveso v rozkazovacím způsobu), lexikogramatické, které vznikají konverzí, kdy dané slovo přechází do jiného slovního druhu. například v eng. koukej-dívej a podívej-dívej. V angličtině je zvláště mnoho lexikálních a gramatických homonym.
Homofony a homografy je třeba odlišit od homonym. Různá slova se nazývají homofony, které se liší svým pravopisem a shodují se ve výslovnosti, například: luk - louka, Seite - stránka a Saite - struna.
Homografy jsou tak odlišná slova, která se pravopisně shodují, i když se jinak vyslovují (jak z hlediska zvukového složení, tak i místa přízvuku ve slově), například Hrad - hrad.
Synonymie
Synonyma jsou významově podobná, ale jinak znějící slova, která vyjadřují odstíny stejného pojmu.
Existují tři typy synonym:
1. Koncepční nebo ideografické. Liší se od sebe lexikálním významem. Tento rozdíl se projevuje v různé míře označeného znaku (mráz - chladný, silný, mocný, mohutný), v charakteru jeho označení (prošívaná bunda - prošívaná bunda - prošívaná bunda), v objemu vyjádřeného pojmu (prapor - vlajka, drzý - tučný), ve stupni propojenosti lexikálních hodnot (hnědá - hnědá, černá - černá).
2. Synonyma jsou stylistická nebo funkční. Liší se od sebe ve sféře použití, například oči - oči, obličej - obličej, čelo - čelo. Synonyma emocionální - hodnotící. Tato synonyma otevřeně vyjadřují postoj mluvčího k určené osobě, předmětu nebo jevu. Dítě může být například slavnostně nazýváno dítětem, láskyplně chlapec a malý chlapec, opovržlivě chlapec a přísavník a také důrazně - opovržlivě štěně, přísavník, hulvát.
3. Antonyma – spojení slov, která jsou svým lexikálním významem protikladná, např.: nahoře – dole, bílá – černá, mluvit – mlčet, hlasitě – tiše.
Antonymie
Existují tři typy antonym:
1. Antonyma postupných a koordinovaných protikladů, například bílý - černý, tichý - hlasitý, blízký - vzdálený, laskavý - zlý a tak dále. Tato antonyma mají společný význam, který umožňuje jejich opozici. Pojmy černé a bílé tedy označují opačné barevné pojmy.
2. Antonyma komplementárních a konvertujících protikladů: válka - mír, manžel - manželka, ženatý - svobodný, může - nemůže, zavřít - otevřít.
3. Antonyma dichotomického dělení pojmů. Jsou to často stejná kořenová slova: lidový - protilidový, legální - nezákonný, humánní - nelidský.
Zájem je také tkz. vnitroslovní antonymie, kdy jsou proti sobě postaveny významy slov, která mají stejný materiální obal. Například v ruštině sloveso půjčit peníze někomu znamená „půjčit“ a půjčit si peníze od někoho už znamená půjčit si od někoho peníze. Vnitroslovní protiklad významů se nazývá enantiosemie.
6. Axiomatická konstrukce soustavy přirozených čísel. Axiomatická metoda pro konstrukci matematické teorie. Požadavky na systém axiomů: konzistentnost, nezávislost, úplnost. Peanova axiomatika. Pojem přirozeného čísla z axiomatických pozic. Modely systému Peanových axiomů. Sčítání a násobení přirozených čísel z axiomatických pozic. Uspořádání množiny přirozených čísel. Vlastnosti množiny přirozených čísel. Odečítání a dělení množiny přirozených čísel od axiomatických pozic. Metoda matematické indukce. Zavedení nuly a konstrukce množiny nezáporných celých čísel. Věta o dělení se zbytkem.
Základní pojmy a definice
číslo - je vyjádřením určité veličiny.
Přirozené číslo prvek nekonečně pokračující sekvence.
Přirozená čísla (přirozená čísla) -čísla, která přirozeně vznikají při počítání (jak ve smyslu výčtu, tak ve smyslu počtu).
Existují dva přístupy k definici přirozených čísel - čísla používaná v:
výčet (číslování) položek (první, druhý, třetí, ...);
označení počtu položek (žádné položky, jedna položka, dvě položky, ...).
axiom - to jsou základní východiska (samozřejmé principy) konkrétní teorie, z nichž je dedukcí, tedy čistě logickými prostředky, vytěžen veškerý zbytek obsahu této teorie.
Číslo, které má pouze dva dělitele (samotné číslo a jeden), se nazývá - jednoduché číslo.
Složené číslo je číslo, které má více než dva dělitele.
§2. Axiomatika přirozeného čísla
Přirozená čísla se získávají počítáním objektů a měřením veličin. Pokud se ale při měření objeví jiná než přirozená čísla, pak výpočet vede pouze k přirozeným číslům. Abyste mohli počítat, potřebujete posloupnost čísel, která začíná jedním a která vám umožní přecházet z jednoho čísla na druhé a tolikrát, kolikrát je potřeba. Jinými slovy, potřebujeme segment přirozené řady. Při řešení problému zdůvodnění soustavy přirozených čísel bylo proto nejprve nutné odpovědět na otázku, co je to číslo jako prvek přirozené řady. Odpověď na to byla dána v dílech dvou matematiků - Německý Grassmann a italský Peano. Navrhli axiomatiku, ve které přirozené číslo bylo ospravedlněno jako prvek neurčitě pokračující posloupnosti.
Axiomatická konstrukce soustavy přirozených čísel se provádí podle formulovaných pravidel.
Pět axiomů lze považovat za axiomatickou definici základních pojmů:
1 je přirozené číslo;
Další přirozené číslo je přirozené číslo;
1 nenásleduje žádné přirozené číslo;
Pokud je to přirozené číslo A následuje přirozené číslo b a pro přirozené číslo S, pak b a S identický;
Je-li některý výrok dokázán pro 1 a jestliže z předpokladu, že platí pro přirozené číslo n, z toho vyplývá, že platí pro následující n přirozené číslo, pak tento výrok platí pro všechna přirozená čísla.
Jednotka je první číslo přirozené řady , stejně jako jednu z číslic v desítkové číselné soustavě.
Předpokládá se, že označení jednotky jakékoli kategorie se stejným znakem (zcela blízkým modernímu) se poprvé objevilo ve starověkém Babylonu přibližně 2 tisíce let před naším letopočtem. E.
Staří Řekové, kteří považovali za čísla pouze přirozená čísla, považovali každé z nich za soubor jednotek. Samotné jednotce je věnováno zvláštní místo: nebyla považována za číslo.
I. Newton napsal: „... číslem nemyslíme ani tak sbírku jednotek, ale abstraktní poměr jedné veličiny k jiné veličině, u nás konvenčně akceptovaný jako jednotka.“ Jednotka tak již zaujala své právoplatné místo mezi ostatními čísly.
Aritmetické operace s čísly mají různé vlastnosti. Lze je popsat slovy, například: "Součet se nemění změnou míst pojmů." Lze psát písmeny: a+b = b+a. Lze vyjádřit konkrétními termíny.
Základní aritmetické zákony používáme často ze zvyku, aniž bychom si to uvědomovali:
1) komutativní zákon (komutativnost), - vlastnost sčítání a násobení čísel, vyjádřená identitami:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) asociativní zákon (asociativnost), - vlastnost sčítání a násobení čísel, vyjádřená identitami:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) distributivní zákon (distributivity), - vlastnost, která spojuje sčítání a násobení čísel a je vyjádřena identitami:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Po prokázání komutativních, asociativních a distributivních (s ohledem na sčítání) zákonů akce násobení nepředstavuje další konstrukce teorie aritmetických operací na přirozených číslech žádné zásadní potíže.
V současné době v mysli nebo na papíře děláme jen ty nejjednodušší výpočty, složitější výpočetní práce svěřujeme stále častěji kalkulačkám, počítačům. Obsluha všech počítačů – jednoduchých i složitých – je však založena na nejjednodušší operaci – sčítání přirozených čísel. Ukazuje se, že nejsložitější výpočty lze zredukovat na sčítání, pouze tato operace musí být provedena mnohomilionkrát.
Axiomatické metody v matematice
Jedním z hlavních důvodů rozvoje matematické logiky je rozšířenost axiomatická metoda při konstrukci různých matematických teorií, nejprve geometrie a poté aritmetiky, teorie grup atd. Axiomatická metoda lze definovat jako teorii, která je postavena na předem vybraném systému nedefinovaných pojmů a vztahů mezi nimi.
V axiomatické konstrukci matematické teorie je předběžně zvolen určitý systém nedefinovaných pojmů a vztahů mezi nimi. Tyto pojmy a vztahy se nazývají základní. Dále jsou představeny axiomy těch. hlavní ustanovení uvažované teorie, přijatá bez důkazu. Veškerý další obsah teorie je odvozen logicky z axiomů. Poprvé se axiomatické konstrukce matematické teorie ujal Euclid při konstrukci geometrie.
V axiomatické konstrukci jakékoli matematické teorie, jisté předpisy:
některé pojmy teorie jsou vybrány jako hlavní a jsou přijímány bez definice;
každý pojem teorie, který není obsažen ve výčtu základních, je definován;
jsou formulovány axiomy - věty, které jsou v této teorii přijímány bez důkazu; odhalují vlastnosti základních pojmů;
· každá věta teorie, která není obsažena v seznamu axiomů, musí být dokázána; takové výroky se nazývají teorémy a dokazují se na základě axiomů a pojmů.
V axiomatické konstrukci teorie jsou všechna tvrzení odvozena z axiomů pomocí důkazu.
Proto je systém axiomů podřízen speciálům požadavky:
Konzistence (systém axiomů se nazývá konzistentní, pokud z něj nelze logicky odvodit dvě vzájemně se vylučující věty);
nezávislost (systém axiomů se nazývá nezávislý, pokud žádný z axiomů tohoto systému není důsledkem jiných axiomů).
Množina s relací v ní danou se nazývá model daného systému axiomů, jsou-li v něm splněny všechny axiomy tohoto systému.
Existuje mnoho způsobů, jak sestavit systém axiomů pro množinu přirozených čísel. Za základní pojem lze vzít například součet čísel nebo relaci pořadí. V každém případě je nutné specifikovat systém axiomů, které popisují vlastnosti základních pojmů.
Uveďme systém axiomů, přejímajících základní koncept operace sčítání.
Neprázdná sada N se nazývá množina přirozených čísel, pokud operace (A; b) → a + b, nazývané sčítání a mající vlastnosti:
1. sčítání je komutativní, tzn. a + b = b + a.
2. sčítání je asociativní, tzn. (a + b) + c = a + (b + c).
4. v libovolné sadě ALE, což je podmnožina množiny N, kde ALE existuje číslo takové, že všechny Ha, jsou si rovni a+b, kde bN.
K sestrojení celé aritmetiky přirozených čísel stačí axiomy 1 - 4. Ale s takovou konstrukcí už není možné spoléhat na vlastnosti konečných množin, které se v těchto axiomech nepromítají.
Vezměme jako základní koncept vztah „přímo následovat…“ definovaný na neprázdné množině N. Pak přirozenou řadou čísel bude množina N, ve které je definován vztah „přímo následovat“ a všechny prvky N budeme nazývat přirozená čísla a platí následující: Peanovy axiomy:
AXIOM 1.
v množstvíNexistuje prvek, který bezprostředně nenavazuje na žádný prvek této sady. Nazveme ji jednotkou a označíme ji symbolem 1.
AXIOM 2.
Pro každý prvek aNbezprostředně za a následuje jeden prvek a.
AXIOM 3.
Pro každý prvek aNexistuje nejvýše jeden prvek bezprostředně následovaný a.
AXOIM 4.
Libovolná podmnožina M množinyNshoduje se sN, pokud má vlastnosti: 1) 1 je obsažen v M; 2) ze skutečnosti, že a je obsaženo v M, vyplývá, že a je také obsaženo v M.
Hodně N, pro prvky, pro něž je stanoven vztah "okamžitě následovat...", splňující axiomy 1 - 4, se nazývá množina přirozených čísel a jeho prvky jsou přirozená čísla.
Pokud jako komplet N vyberte nějakou konkrétní množinu, na které je dán konkrétní vztah "přímo následovat...", splňující axiomy 1 - 4, pak dostaneme různé interpretace (modely) daný axiomové systémy.
Standardní model systému Peanových axiomů je řada čísel, která vznikla v procesu historického vývoje společnosti: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Modelem Peanových axiomů může být jakákoliv spočetná množina.
Například I, II, III, III, ...
oh oh oh oh oh...
jedna dva tři čtyři, …
Uvažujme posloupnost množin, ve které je množina (oo) počátečním prvkem a každá následující množina se získá z předchozího přiřazením dalšího kruhu (obr. 15).
Pak N je množina skládající se z množin popsaného tvaru a je modelem systému Peanových axiomů.
Opravdu, v mnoha N existuje prvek (oo), který bezprostředně nenavazuje na žádný prvek dané množiny, tzn. platí axiom 1. Pro každou množinu ALE z uvažovaného souboru existuje jedinečný soubor, který je získán z ALE přidáním jednoho kruhu, tzn. Platí axiom 2. Pro každou sadu ALE existuje nejvýše jedna množina, ze které je množina tvořena ALE přidáním jednoho kruhu, tzn. Platí axiom 3. Pokud MN a je známo, že soubor ALE obsaženo v M, z toho vyplývá, že množina, ve které je o jeden kruh více než v množině ALE, je také obsažen v M, pak M =N, což znamená, že Axiom 4 je splněn.
V definici přirozeného čísla nelze žádný z axiomů vynechat.
Ukažme, která z množin znázorněných na obr. 16 jsou modelem Peanových axiomů.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Řešení. Obrázek 16 a) ukazuje množinu, ve které jsou splněny axiomy 2 a 3. Ve skutečnosti pro každý prvek existuje jedinečný prvek, který za ním bezprostředně následuje, a existuje jedinečný prvek, který následuje. Ale axiom 1 v této množině neplatí (axiom 4 nedává smysl, protože v množině není žádný prvek, který by bezprostředně nenavazoval na žádný jiný). Proto tato množina není vzorem Peanových axiomů.
Obrázek 16 b) ukazuje množinu, ve které jsou splněny axiomy 1, 3 a 4, ale za prvkem A dva prvky bezprostředně následují, a ne jeden, jak to vyžaduje axiom 2. Tato množina proto není modelem Peanových axiomů.
Na Obr. 16 c) ukazuje množinu, ve které jsou splněny axiomy 1, 2, 4, ale prvek S bezprostředně následují dva prvky. Proto tato množina není vzorem Peanových axiomů.
Na Obr. 16 d) ukazuje množinu, která splňuje axiomy 2, 3, a pokud vezmeme jako počáteční prvek číslo 5, pak tato množina bude splňovat axiomy 1 a 4. To znamená, že v této množině je pro každý prvek hned jeden následuje a je zde jeden prvek, který následuje. Existuje také prvek, který bezprostředně nenavazuje na žádný prvek této sady, je to 5 , těch. Platí axiom 1. Obdobně platí i axiom 4. Proto je tato množina vzorem Peanových axiomů.
Pomocí Peanových axiomů můžeme dokázat řadu tvrzení. Například dokážeme, že pro všechna přirozená čísla platí nerovnost x x.
Důkaz. Označit podle ALE množina přirozených čísel, pro která a a.Číslo 1 patří ALE, protože nevyplývá z žádného čísla N, a proto sám o sobě nenásleduje: 1 1. Nechat aa, pak a a. Označit A přes b. Na základě axiomu 3 Ab, těch. bb a bA.
Při axiomatické konstrukci jakékoli teorie jsou dodržována určitá pravidla:
některé pojmy teorie jsou vybrány jako základní, a jsou přijímány bez definice a nazývají se nedefinované.
jsou formulovány axiomy - věty, které jsou v této teorii přijímány bez důkazu; odhalují vlastnosti základních pojmů;
je uveden každý pojem teorie, který není obsažen ve výčtu základních definice, vysvětluje jeho význam pomocí základních a předcházejících pojmů;
každá věta teorie, která není obsažena v seznamu axiomů, musí být prokázána; takové výroky se nazývají teorémy a dokazují je na základě axiomů a teorémů předcházejících uvažovanému.
V axiomatické konstrukci teorie jsou v podstatě všechna tvrzení vyvozena důkazem z axiomů. Proto jsou na systém axiomů kladeny zvláštní požadavky. V první řadě musí být důsledný a nezávislý.
Systém axiomů se nazývá konzistentní nelze-li z něj logicky odvodit dvě vzájemně se vylučující věty.
Nazývá se konzistentní systém axiomů nezávislý pokud žádný z axiomů tohoto systému není důsledkem jiných axiomů tohoto systému.
Axiomy jsou zpravidla odrazem staletých praktických činností lidí, a to určuje jejich platnost.
Jako základní pojem v axiomatické konstrukci aritmetiky přirozených čísel se bere vztah „přímo následovat“, daný na neprázdné množině N. Známé jsou také pojmy množina, prvek množiny a další množinové pojmy a také pravidla logiky.
Prvek bezprostředně následující za prvkem A, určit A". Podstatu vztahu „přímo následovat“ odhalují následující axiomy navržené italským matematikem J. Peano v roce 1891.
Axiom 1. v množství N existuje prvek, který bezprostředně nenavazuje na žádný prvek této sady. Nazývá se jednotka a označuje se symbolem 1.
Axiom 2. Pro každý prvek A z N existuje pouze jeden prvek A", bezprostředně následující A.
Axiom 3. Pro každý prvek a N bezprostředně následuje nejvýše jeden prvek A.
Axiom 4. (Axiom indukce). Jakákoli podmnožina M sady N se shoduje s N, pokud má následující vlastnosti: 1) 1 je obsažen v M; 2) ze skutečnosti, že jakýkoli prvek A obsaženo v M, z toho vyplývá a A" obsaženo v M.
Formulované axiomy se často nazývají Peanovy axiomy a čtvrtý axiom se nazývá axiom indukce.
Zapišme tyto axiomy v symbolické formě.
ALE 1 )( 1 N)( A N)A" 1;
ALE 2 )( A N)( !b N)A"=b
ALE 3 ) ( A,b,S N)с = a" с = b" A= b;
A4) M N 1 M (A M A" M) M=N
Pomocí vztahu „okamžitě následuj“ a Peanových axiomů 1-4 lze uvést následující definici přirozeného čísla.
Definice 1. Množina N., pro jejíž prvky je stanoven vztah "bezprostředně následovat", který splňuje axiomy 1-4, se nazývá množina přirozených čísel a její prvky přirozená čísla.
___________________________________________________________________
Definice 2 . Pokud je to přirozené číslobbezprostředně za číslem a, pak se volá číslo a bezprostředně předcházející (před ním) číslob.
______________________________________________________________________________________________
Věta 1. Jednotka nemá žádné předchozí přirozené číslo (pravdivost věty vyplývá bezprostředně z axiomu ALE 1 ).
Věta 2. Každé přirozené číslo A, jiná než jedna má předchozí číslo b , takový, že b " = A.
Definice přirozeného čísla neříká nic o povaze prvků množiny N. Takže může být čímkoli. Standardní model systému Peanových axiomů je řada čísel, která vznikla v procesu historického vývoje společnosti:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Každé číslo této řady má své označení a název, který budeme považovat za známý.
Je důležité si uvědomit, že v definici přirozeného čísla nelze žádný z axiomů vynechat.
1 A b C d
…
b
Rýže. 16 Rýže. 17
Úkol 1.
Na obrázcích je každý prvek spojen šipkou s prvkem, který za ním následuje.
Určete, které z množin zobrazených na obrázcích 15 a 16 jsou modely systému Peanových axiomů.
1. Na Obr. 16 ukazuje množinu, ve které platí axiom 2 a 3, ale axiom 1 neplatí.
Axiom 4 nebude dávat smysl, protože v sadě není žádný prvek, který by bezprostředně nenavazoval na žádný jiný.
2. Na Obr. 17 ukazuje množinu, ve které jsou splněny axiomy 1, 2, 3, ale není splněn axiom 4 - množina bodů ležících na paprsku obsahuje 1 a spolu s každým číslem obsahuje číslo, které za ním bezprostředně následuje, ale nesplňuje se shodují s celými nastavenými hodnotami zobrazenými na obrázku. Závěr: žádná ze sestav znázorněných na obr. 16 a 17 nelze považovat za modely systému Peanových axiomů.
Úkol 2.
Dokažme, že jakékoli přirozené číslo je jiné než bezprostředně následující přirozené číslo, tzn. ( X )X X"
Důkaz
Používáme axiom indukce - ALE 4 .
Nechat M=(x/x , X X"}, protože . X M N.
Důkaz se skládá ze dvou částí.
Pojďme to dokázat 1 M, těch. 1 1" . To vyplývá z ALE 1 .
Pojďme to dokázat X M=> X" M. Nechat X M těch. X X". Pojďme to dokázat X" M, tj. X" (X")". A axiomy ALE 3 by měl X" (X")". Opravdu, tím ALE 3 , jestliže x" = (x")" pak x = x" a od indukčním návrhem x M, pak x X", tím se dostáváme k rozporu. Prostředek, X" (X")" , X" M.
Zde se uplatňuje pravidlo kontrapozice (PC), které je hojně využíváno v důkazech „protikladem“.
Takže jsme dostali:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, tj. tvrzení x x" platí pro jakékoli přirozené číslo.
Testovací otázky
Co je podstatou axiomatické konstrukce teorie?
Jaké jsou základní pojmy školního kurzu planimetrie. Pamatujte na systém axiomů tohoto kurzu. Jaké vlastnosti pojmů jsou v nich popsány?
Formulujte a zapište v symbolické formě Peanovy axiomy. "
Formulujte axiomatickou definici přirozeného čísla.
Pokračujte v definici přirozeného čísla: „Přirozené číslo je prvkem množiny N,... » .
Uveďte příklady z učebnic matematiky pro základní školy, ve kterých:
a) nové (u studentů) číslo funguje jako pokračování přijatého segmentu přirozené řady;
b) je stanoveno, že za každým přirozeným číslem bezprostředně následuje pouze jedno další přirozené číslo.
Cvičení
285. Prvky množiny jsou skupiny čárek (I, II, III, IIII,...). Splňuje tato sada Peanovy axiomy? Jak je zde definováno, vztah „okamžitě následovat“. Zvažte stejné otázky pro množinu (0, 00, 000, 0000,...).
Rýže. 17
286. Na obrázku 17 a) je každý prvek spojen šipkou s prvkem, který za ním následuje. Lze množinu považovat za model systému Peanových axiomů? Stejné otázky pro soubory na obrázcích 17 b), c), d).
287. Má množinu čísel (1, 2, 3 P,...), pokud je v něm následující vztah definován takto:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Uveďte příklady úloh z učebnic matematiky pro prvouky, ve kterých je správnost zadání vysvětlena Peanovými axiomy.
Axiomatická metoda v matematice.
Základní pojmy a vztahy axiomatické teorie přirozených řad. Definice přirozeného čísla.
Sčítání přirozených čísel.
Násobení přirozených čísel.
Vlastnosti množiny přirozených čísel
Odčítání a dělení přirozených čísel.
Axiomatická metoda v matematice
V axiomatické konstrukci jakékoli matematické teorie, určitá pravidla:
1. Některé pojmy teorie jsou vybrány jako hlavní, důležitý a přijat bez definice.
2. Formulováno axiomy, které jsou v této teorii přijímány bez důkazu, odhalují vlastnosti základních pojmů.
3. Je uveden každý pojem teorie, který není obsažen ve výčtu základních definice, vysvětluje jeho význam pomocí hlavního a předcházejícího pojmu.
4. Každá věta teorie, která není obsažena v seznamu axiomů, musí být prokázána. Takové návrhy se nazývají teorémy a dokázat je na základě axiomů a teorémů předcházejících uvažovanému.
Systém axiomů by měl být:
a) konzistentní: musíme si být jisti, že vyvozováním nejrůznějších závěrů z daného systému axiomů nikdy nedojdeme k rozporu;
b) nezávislý: žádný axiom by neměl být důsledkem jiných axiomů tohoto systému.
v) kompletní, pokud v jeho rámci lze vždy prokázat buď dané tvrzení, nebo jeho negaci.
Prezentaci geometrie Euklidem v jeho „Prvcích“ (3. století př. n. l.) lze považovat za první zkušenost s axiomatickou konstrukcí teorie. Významně přispěl k rozvoji axiomatické metody pro konstrukci geometrie a algebry N.I. Lobačevskij a E. Galois. Na konci 19. stol Italský matematik Peano vyvinul systém axiomů pro aritmetiku.
Základní pojmy a vztahy axiomatické teorie přirozených čísel. Definice přirozeného čísla.
Jako základní (nedefinovaný) pojem v určité množině N je vybráno přístup , stejně jako množinové koncepty, stejně jako pravidla logiky.
Prvek bezprostředně následující za prvkem A, určit A".
Vztah „okamžitě následovat“ splňuje následující axiomy:
Peanovy axiomy:
Axiom 1. v množství N existuje prvek, přímo ne další pro jakýkoli prvek této sady. Zavolejme mu jednotka a symbolizovat 1 .
Axiom 2. Pro každý prvek A z N existuje pouze jeden prvek A" bezprostředně následující A .
Axiom 3. Pro každý prvek A z N bezprostředně následuje nejvýše jeden prvek A .
Axiom 4. Jakákoli podmnožina M sady N shoduje se s N , pokud má vlastnosti: 1) 1 obsaženo v M ; 2) z čeho A obsaženo v M , z toho vyplývá a A" obsaženo v M.
Definice 1. Hodně N , pro jejichž prvky je vztah založen "přímo následovat» který splňuje axiomy 1-4 se nazývá množina přirozených čísel a jeho prvky jsou přirozená čísla.
Tato definice nevypovídá nic o povaze prvků souboru N . Takže může být čímkoli. Výběr jako set N nějakou konkrétní množinu, na které je dán konkrétní vztah "přímo následovat", který splňuje axiomy 1-4, dostaneme model tohoto systému axiomy.
Standardní model systému Peanových axiomů je řada čísel, která vznikla v procesu historického vývoje společnosti: 1,2,3,4, ... Přirozená řada začíná číslem 1 (axiom 1); za každým přirozeným číslem bezprostředně následuje jediné přirozené číslo (axiom 2); za každým přirozeným číslem bezprostředně následuje nejvýše jedno přirozené číslo (axiom 3); počínaje číslem 1 a přesouváme se k přirozeným číslům bezprostředně za sebou, získáme celou množinu těchto čísel (axiom 4).
Začali jsme tedy axiomatickou konstrukci soustavy přirozených čísel s výběrem hlavního „přímo následovat“ vztah a axiomy, které popisují jeho vlastnosti. Další konstrukce teorie zahrnuje úvahy o známých vlastnostech přirozených čísel a operacích s nimi. Měly by být uvedeny v definicích a teorémech, tzn. odvozeno čistě logickým způsobem ze vztahu "okamžitě následovat", a axiomů 1-4.
První pojem, který zavedeme po definici přirozeného čísla, je přístup "bezprostředně předchází" , což se často používá při zvažování vlastností přírodní řady.
Definice 2. Pokud je to přirozené číslo b přímo následuje přirozené číslo A, to číslo A volala bezprostředně předcházející(nebo předchozí) číslo b .
Vztah „před“ má v blízkosti nemovitostí.
Věta 1. Člověk nemá žádné předchozí přirozené číslo.
Věta 2. Každé přirozené číslo A, jiné než 1, má jedno předchozí číslo b, takové, že b"= A.
S axiomatickou konstrukcí teorie přirozených čísel se na základní ani střední škole neuvažuje. Avšak ty vlastnosti vztahu „přímo následovat“, které se odrážejí v Peanových axiomech, jsou předmětem studia v počátečním kurzu matematiky. Již v první třídě se při zvažování čísel první desítky ukazuje, jak lze každé číslo získat. Používají se výrazy „následovat“ a „před“. Každé nové číslo funguje jako pokračování studovaného segmentu přirozené řady čísel. Studenti jsou přesvědčeni, že za každým číslem následuje další a navíc pouze jedno, že přirozená řada čísel je nekonečná.
Sčítání přirozených čísel
Podle pravidel pro konstrukci axiomatické teorie musí být definice sčítání přirozených čísel zavedena pouze pomocí vztahu "přímo sledovat" a koncepty "přirozené číslo" a "předchozí číslo".
Definici sčítání uveďme na úvod následujícími úvahami. Pokud pro jakékoli přirozené číslo A přidejte 1, dostaneme číslo A", bezprostředně následující A, tj. A+ 1= a" a proto dostaneme pravidlo přičítání 1 k libovolnému přirozenému číslu. Ale jak přidat do počtu A přirozené číslo b, odlišná od 1? Použijme následující skutečnost: pokud je známo, že 2 + 3 = 5, pak součet 2 + 4 = 6, který bezprostředně následuje za číslem 5. To se děje proto, že v součtu 2 + 4 je druhý člen číslo bezprostředně po čísle 3. Tedy 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Obecně platí, že máme , .
Tyto skutečnosti jsou základem definice sčítání přirozených čísel v axiomatické teorii.
Definice 3. Sčítání přirozených čísel je algebraická operace, která má následující vlastnosti:
Číslo a + b volala součet čísel A a b , a samotná čísla A a b - podmínky.