Otevřená akce v matematice. Matematické hádanky Řešení úloh pro samostatnou práci
![Otevřená akce v matematice. Matematické hádanky Řešení úloh pro samostatnou práci](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
matematická cesta
Zde jsou nápady a úkoly,
Hry, vtipy, vše pro vás!
Přejeme hodně štěstí
Do práce, mějte se fajn!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_1.jpg)
Volavce šedé na lekci Přišlo 7 čtyřicet, A to mají připravené lekce jen 3 straky. Kolik povalečů-čtyřicet Dorazili jste na lekci?
Ve škole dali dětem lekci: Skákání v poli 40 čtyřicet, Deset vzlétlo Seděl na jedle. Kolik jich zbylo v poli čtyřiceti?
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_2.jpg)
Jsme velká rodina
Většina junior jsem já.
Hned nás nepočítejte:
Manya je a Vanya je,
Yura, Shura, Klasha, Sasha
A Natasha je také naše.
Jdeme po ulici
Říkají, že je to sirotčinec.
Počítejte rychle
Kolik z nás je dětí v rodině.
Máma dnes dovolí
Po škole jdu na procházku.
Nejsem moc ani moc málo
Byl označen...
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_3.jpg)
Existuje dlouhý segment, je zde kratší,
Mimochodem, kreslíme to pravítkem.
Pět centimetrů - velikost,
Jmenuje se to...
Skládá se z bodu a přímky.
No, hádejte, kdo to je?
Stává se, že v dešti prorazí mraky.
Teď hádejte co? To...
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_4.jpg)
Pokud jsou dva objekty daleko od sebe,
Kilometry mezi nimi snadno spočítáme.
Rychlost, čas - známe hodnoty,
Nyní znásobíme jejich hodnoty.
Výsledek všech našich znalostí -
Počítáno...
Je dvounohý, ale chromý
Kreslí pouze jednou nohou.
Postavte se doprostřed druhou nohou,
Aby kružnice křivky nevycházela.
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_5.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_6.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_7.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_8.jpg)
Metagramy
Určité slovo je zašifrováno v metagramu. Je potřeba to uhodnout. Poté by mělo být v dešifrovaném slově jedno z uvedených písmen nahrazeno jiným písmenem a význam slova se změní.
Není to úplně malý hlodavec,
Pro trochu více veverek.
A nahraďte "U" za "O" -
Bude to kulaté číslo.
Odpovědět: S v rock - s o Skála.
S "Sh" - musím počítat,
S "M" - pachatelé jsou hrozní!
Odpovědět: sh tady je - m tady je
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_9.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_10.jpg)
info-know-it-all
Teď dejte vědět všem kdo je nejchytřejší? Kdo je čitelnější, moudřejší - Vyhrajte tuto soutěž!
![](https://i1.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_11.jpg)
Stanice
"Hudební"
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_12.jpg)
Stanice
"matematické závody"
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_13.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.intolimp.org/html/2017/03/21/i_58d1818ab8380/img_phpN5txNZ_prezent-mat-putesh_14.jpg)
OCENĚNÍ
DĚKUJI VÁM VŠEM! JSI SKVĚLÝ!
Řekněme tedy, že se naše těla pohybují stejným směrem. Kolik případů si myslíte, že může být pro takový stav? Přesně tak, dva.
Proč je to tak? Jsem si jistý, že po všech příkladech snadno přijdete na to, jak tyto vzorce odvodit.
Mám to? Výborně! Je čas problém vyřešit.
Čtvrtý úkol
Kolja jede do práce autem rychlostí km/h. Kolega Kolja Vova jede rychlostí km/h. Kolja žije ve vzdálenosti km od Vova.
Jak dlouho bude trvat Vově, než předběhne Kolju, pokud odejdou z domu ve stejnou dobu?
Počítal jsi? Porovnejme odpovědi - ukázalo se, že Vova dohoní Kolju za hodiny nebo minuty.
Porovnejme naše řešení...
Výkres vypadá takto:
Podobné jako vy? Výborně!
Vzhledem k tomu, že problém se ptá, jak dlouho se kluci setkali a odešli ve stejnou dobu, bude čas, kdy cestovali, stejný, stejně jako místo setkání (na obrázku je označeno tečkou). Dělejte rovnice, dejte si čas.
Vova se tedy vydal na místo setkání. Kolja se vydal na místo setkání. To je jasné. Nyní se zabýváme osou pohybu.
Začněme cestou, kterou udělal Kolja. Jeho cesta () je na obrázku znázorněna jako segment. A z čeho se skládá Vova cesta ()? Správně, ze součtu segmentů a, kde je počáteční vzdálenost mezi kluky, se rovná cestě, kterou udělal Kolja.
Na základě těchto závěrů dostáváme rovnici:
Mám to? Pokud ne, přečtěte si tuto rovnici znovu a podívejte se na body označené na ose. Kreslení pomáhá, ne?
hodiny nebo minuty minuty.
Doufám, že v tomto příkladu pochopíte, jak důležitou roli hraje dobře zpracovaná kresba!
A plynule pokračujeme dále, nebo lépe řečeno, již jsme přešli k dalšímu kroku v našem algoritmu – přivedení všech veličin do stejné dimenze.
Pravidlo tří "P" - rozměr, přiměřenost, vypočítavost.
Dimenze.
Ne vždy je v úkolech uveden stejný rozměr pro každého účastníka pohybu (jako tomu bylo v našich snadných úkolech).
Můžete se například setkat s úkoly, kde se říká, že se tělesa pohybovala o určitý počet minut a rychlost jejich pohybu je udávána v km/h.
Nemůžeme jen vzít a nahradit hodnoty ve vzorci - odpověď bude špatná. I pokud jde o jednotky měření, naše odpověď „neprojde“ testem rozumnosti. Porovnat:
Vidět? Při správném násobení také snížíme měrné jednotky a podle toho dostaneme rozumný a správný výsledek.
A co se stane, když nepřevedeme do jednoho systému měření? Odpověď má podivný rozměr a % je nesprávný výsledek.
Dovolte mi tedy pro jistotu připomenout významy základních jednotek měření délky a času.
Jednotky délky:
centimetr = milimetry
decimetr = centimetry = milimetry
metr = decimetry = centimetry = milimetry
kilometr = metry
Časové jednotky:
minuta = sekundy
hodina = minuty = sekundy
dny = hodiny = minuty = sekundy
Rada: Při převodu jednotek měření vztahujících se k času (minuty na hodiny, hodiny na sekundy atd.) si představte ciferník ve vaší hlavě. Pouhým okem je vidět, že minuty jsou čtvrtinou ciferníku, tzn. hodiny, minuty je třetina číselníku, tzn. hodiny a minuta je hodina.
A nyní velmi jednoduchý úkol:
Máša jezdila na kole z domova do vesnice rychlostí km/h celé minuty. Jaká je vzdálenost mezi domem auta a vesnicí?
Počítal jsi? Správná odpověď je km.
minuta je hodina a další minuta od hodiny (mentálně si představoval ciferník a řekl, že minuty jsou čtvrt hodiny), respektive - min \u003d h.
Inteligence.
Chápete, že rychlost auta nemůže být km/h, pokud se samozřejmě nebavíme o sporťáku? A co víc, nemůže být negativní, že? Takže rozumnost, to je asi tak všechno)
Výpočet.
Podívejte se, zda vaše řešení „projde“ rozměrem a rozumností, a teprve poté zkontrolujte výpočty. Je to logické – pokud dojde k nesouladu s rozměrem a rozumností, pak je jednodušší vše škrtnout a začít hledat logické a matematické chyby.
„Láska ke stolům“ nebo „když kreslení nestačí“
Zdaleka ne vždy jsou úkoly pro pohyb tak jednoduché, jak jsme řešili dříve. Velmi často, abyste správně vyřešili problém, musíte nejen nakreslit kompetentní výkres, ale také vytvořit tabulku se všemi podmínkami, které nám byly dány.
První úkol
Z bodu do bodu, mezi kterým je vzdálenost km, odjel cyklista i motorkář zároveň. Je známo, že motocyklista jede více kilometrů za hodinu než cyklista.
Určete rychlost cyklisty, je-li známo, že přijel do bodu o minutu později než motocyklista.
Tady je takový úkol. Dejte se dohromady a přečtěte si to několikrát. Číst? Začněte kreslit - přímka, bod, bod, dvě šipky ...
Obecně nakreslete a nyní porovnejme, co máte.
Nějaký prázdný, že? Nakreslíme tabulku.
Jak si pamatujete, všechny pohybové úkoly se skládají z komponent: rychlost, čas a cestu. Z těchto grafů se bude skládat jakákoli tabulka v takových úlohách.
Pravda, přidáme ještě jeden sloupec - název o kterých píšeme informace - motorkář a cyklista.
Uveďte také v záhlaví dimenze, ve kterém tam zadáte hodnoty. Pamatujete si, jak je to důležité, že?
Máte takový stůl?
Nyní pojďme analyzovat vše, co máme, a paralelně zadat data do tabulky a do obrázku.
První věc, kterou máme, je cesta, kterou cyklista a motocyklista projeli. Je to stejné a rovná se km. Přinášíme!
Vezměme rychlost cyklisty jako, pak rychlost motocyklisty bude ...
Pokud řešení úlohy s takovou proměnnou nefunguje, nevadí, vezmeme další, dokud nedojdeme k vítězné. To se stává, hlavní věcí je nebýt nervózní!
Tabulka se změnila. Zůstal nevyplněný pouze jeden sloupec - čas. Jak zjistit čas, kdy existuje cesta a rychlost?
Přesně tak, rozdělte cestu rychlostí. Zadejte to do tabulky.
Naše tabulka je tedy naplněna, nyní můžete zadat údaje do obrázku.
Co na něm můžeme reflektovat?
Výborně. Rychlost pohybu motocyklisty a cyklisty.
Přečteme si problém znovu, podívejme se na obrázek a vyplněnou tabulku.
Jaké údaje nejsou uvedeny v tabulce nebo na obrázku?
Že jo. Čas, o který motocyklista přijel dříve než cyklista. Víme, že časový rozdíl je minut.
co bychom měli dělat dál? Správně, přeložte nám daný čas z minut na hodiny, protože rychlost je nám dána v km/h.
Kouzlo vzorců: psaní a řešení rovnic - manipulace, které vedou k jediné správné odpovědi.
Takže, jak jste již uhodli, nyní budeme makeup rovnice.
Sestavení rovnice:
Podívejte se na svou tabulku, na poslední podmínku, která v ní nebyla zahrnuta, a zamyslete se nad vztahem mezi tím, co a co můžeme dát do rovnice?
Správně. Můžeme vytvořit rovnici na základě časového rozdílu!
Je to logické? Cyklista jel víc, když od jeho času odečteme čas motorkáře, dostaneme jen rozdíl, který nám bude dán.
Tato rovnice je racionální. Pokud nevíte, co to je, přečtěte si téma "".
Přivádíme pojmy ke společnému jmenovateli:
Otevřeme závorky a dáme podobné výrazy: Fuj! Mám to? Vyzkoušejte si další úkol.
Řešení rovnice:
Z této rovnice dostaneme následující:
Otevřeme závorky a přesuneme vše na levou stranu rovnice:
Voila! Máme jednoduchou kvadratickou rovnici. My rozhodujeme!
Obdrželi jsme dvě odpovědi. Podívej, za co máme? Přesně tak, rychlost cyklisty.
Připomínáme pravidlo „3P“, konkrétněji „rozumnost“. Rozumíš co myslím? Přesně tak! Rychlost nemůže být záporná, takže naše odpověď je km/h.
Druhý úkol
Dva cyklisté se vydali na 1 kilometrový běh současně. První jel rychlostí o 1 km/h vyšší než druhý a do cíle dorazil o hodiny dříve než druhý. Najděte rychlost cyklisty, který dojel do cíle jako druhý. Uveďte svou odpověď v km/h.
Vzpomínám si na algoritmus řešení:
- Přečtěte si problém několikrát - zjistěte všechny podrobnosti. Mám to?
- Začněte kreslit kresbu - kterým směrem se pohybují? jak daleko cestovali? Kreslil jsi?
- Zkontrolujte, zda všechna množství, která máte, mají stejný rozměr a začněte stručně vypisovat stav problému a vytvořte tabulku (pamatujete si, jaké tam jsou sloupce?).
- Při psaní toho všeho přemýšlejte, za co si vzít? Vybrala? Záznam do tabulky! No, teď je to jednoduché: uděláme rovnici a vyřešíme ji. Ano, a nakonec – pamatujte na „3P“!
- Udělal jsem všechno? Výborně! Ukázalo se, že rychlost cyklisty je km/h.
-"Jakou barvu má tvoje auto?" - "Ona je krásná!" Správné odpovědi na otázky
Pokračujme v našem rozhovoru. Jaká je tedy rychlost prvního cyklisty? km/h? Opravdu doufám, že právě teď nekývnete kladně!
Přečtěte si pozorně otázku: „Jaká je rychlost První cyklista?
Chápu, co tím myslím?
Přesně tak! Přijato je ne vždy odpověď na otázku!
Pečlivě si přečtěte otázky - možná, že po nalezení budete muset provést nějaké další manipulace, například přidat km / h, jako v našem úkolu.
Další bod - často je v úkolech vše uvedeno v hodinách a odpověď je požadována v minutách nebo jsou všechny údaje uvedeny v km a odpověď je požadována v metrech.
Dívejte se na rozměr nejen při samotném řešení, ale i při zapisování odpovědí.
Úkoly pro pohyb v kruhu
Tělesa v úkolech se nemusí nutně pohybovat po přímce, ale třeba i v kruhu, cyklisté mohou jezdit po kruhové dráze. Pojďme se na tento problém podívat.
Úkol 1
Cyklista opustil bod okružní trati. Za několik minut se ještě nevrátil na kontrolní stanoviště a z kontrolního stanoviště ho následoval motocyklista. Minuty po odjezdu dostihl cyklistu poprvé a minuty na to ho dostihl podruhé.
Najděte rychlost cyklisty, je-li délka trati km. Svou odpověď uveďte v km/h.
Řešení problému č.1
Zkuste k tomuto problému nakreslit obrázek a doplňte k němu tabulku. Stalo se mi toto:
Mezi setkáními cyklista ujel vzdálenost a motocyklista -.
Motocyklista ale zároveň ujel přesně o kolo víc, to je vidět z obrázku:
Doufám, že chápete, že ve skutečnosti nešli ve spirále - spirála jen schematicky ukazuje, že jdou v kruhu a několikrát míjejí stejné body trati.
Mám to? Pokuste se sami vyřešit následující problémy:
Úkoly pro samostatnou práci:
- Dvě mo-to-tsik-li-stovky start-to-tu-yut one-but-time-men-ale in one-right-le-ni ze dvou dia-met-ral-ale pro-ty-in-po - falešné body okružní trasy, délka roje se rovná km. Po kolika minutách jsou seznamy mo-the-cycle poprvé stejné, pokud je rychlost jednoho z nich o km/h vyšší než rychlost druhého th?
- Z jednoho bodu kružnice-vytí dálnice se délka nějakého roje rovná km, zároveň v jedné pravici-le-ni jsou dva motorkáři. Rychlost prvního motocyklu je km/h a minuty po startu byl před druhým motocyklem o jedno kolo. Najděte rychlost druhého motocyklu. Uveďte svou odpověď v km/h.
Řešení problémů pro samostatnou práci:
- Nechť km/h je rychlost prvního cyklu-li-sto, pak rychlost druhého cyklu-li-sto je km/h. Nechť jsou první seznamy cyklů stejné v hodinách. Aby se mo-the-cycle-li-stas vyrovnaly, musí je ten rychlejší překonat z počáteční vzdálenosti rovnající se v lo-vi-ne délce trasy.
Dostaneme, že čas se rovná hodinám = minutám.
- Rychlost druhého motocyklu nechť je km/h. Za hodinu ujel první motocykl o kilometr více než druhý roj, dostáváme rovnici:
Rychlost druhého motorkáře je km/h.
Úkoly ke kurzu
Nyní, když jste dobří v řešení problémů „na souši“, přejděme k vodě a podíváme se na děsivé problémy spojené s proudem.
Představte si, že máte vor a spustíte ho do jezera. co se s ním děje? Správně. Stojí, protože jezero, rybník, louže je koneckonců stojatá voda.
Aktuální rychlost v jezeře je .
Vor se bude pohybovat pouze tehdy, když začnete sami veslovat. Rychlost, kterou získá, bude vlastní rychlost raftu. Bez ohledu na to, kde plavete - vlevo, vpravo, raft se bude pohybovat stejnou rychlostí, jakou veslováte. Je to jasné? Je to logické.
Nyní si představte, že spouštíte vor na řeku, otočíte se, abyste vzali lano ..., otočte se a on ... odplul ...
To se děje, protože řeka má průtok, která nese váš raft ve směru proudu.
Jeho rychlost je přitom rovna nule (stojíte v šoku na břehu a neveslujete) – pohybuje se rychlostí proudu.
Mám to?
Pak odpovězte na tuto otázku - "Jak rychle bude raft plout po řece, když budete sedět a veslovat?" Myslící?
Zde jsou možné dvě možnosti.
Možnost 1 – jdete s proudem.
A pak plavete svou vlastní rychlostí + rychlostí proudu. Zdá se, že vám proud pomáhá posunout se vpřed.
2. možnost - t Plaveš proti proudu.
Tvrdý? Je to tak, protože proud se vás snaží „hodit“ zpět. Stále více se snažíte alespoň plavat metrů, respektive rychlost, kterou se pohybujete, se rovná vaší vlastní rychlosti – rychlosti proudu.
Řekněme, že potřebujete uplavat míli. Kdy urazíte tuto vzdálenost rychleji? Kdy se pohnete s proudem nebo proti?
Pojďme problém vyřešit a zkontrolovat.
Přidejme k naší cestě údaje o rychlosti proudu - km/h a o vlastní rychlosti voru - km/h. Kolik času strávíte pohybem s proudem a proti proudu?
Samozřejmě jste se s tímto úkolem snadno vyrovnali! Po proudu - hodinu a proti proudu až hodinu!
To je celá podstata úkolů na proudit s proudem.
Pojďme si úkol trochu zkomplikovat.
Úkol 1
Loď s motorem proplula z bodu do bodu za hodinu a zpět za hodinu.
Najděte rychlost proudu, je-li rychlost člunu na klidné vodě km/h
Řešení problému č.1
Označme vzdálenost mezi body as a rychlost proudu jako.
Cesta S | rychlost v, km/h |
čas t, hodin |
|
A -> B (proti proudu) | 3 | ||
B -> A (po proudu) | 2 |
Vidíme, že loď dělá stejnou cestu, respektive:
Za co jsme účtovali?
Rychlost toku. Tak tohle bude odpověď :)
Rychlost proudu je km/h.
Úkol č. 2
Kajak jel z bodu do bodu, který se nachází km daleko. Po hodinovém setrvání v bodě se kajak rozjel a vrátil se do bodu c.
Určete (v km/h) vlastní rychlost kajaku, pokud je známo, že rychlost řeky je km/h.
Řešení úlohy č. 2
Pojďme tedy začít. Přečtěte si problém několikrát a nakreslete obrázek. Myslím, že to můžete snadno vyřešit sami.
Jsou všechny veličiny vyjádřeny ve stejném tvaru? Ne. Doba odpočinku je uvedena v hodinách i minutách.
Převod na hodiny:
hodina minut = h.
Nyní jsou všechny veličiny vyjádřeny v jednom tvaru. Začněme vyplňovat tabulku a hledat, za co si vezmeme.
Nechť je vlastní rychlost kajaku. Potom je rychlost kajaku po proudu stejná a proti proudu stejná.
Zapišme tato data, stejně jako cestu (jak jste pochopili, je stejná) a čas vyjádřený cestou a rychlostí, do tabulky:
Cesta S | rychlost v, km/h |
čas t, hodin |
|
Proti proudu | 26 | ||
S proudem | 26 |
Pojďme si spočítat, kolik času kajak strávil na své cestě:
Plavala celé hodiny? Přečtení úkolu.
Ne, ne všechny. Odpočinek měla hodinu v minutách, od hodin odečteme dobu odpočinku, kterou jsme již převedli na hodiny:
h kajak opravdu plaval.
Přiveďme všechny termíny ke společnému jmenovateli:
Otevíráme závorky a dáváme podobné podmínky. Dále řešíme výslednou kvadratickou rovnici.
S tímhle si myslím, že to zvládneš i sám. jakou jsi dostal odpověď? Mám km/h.
Shrnutí
![](https://i1.wp.com/youclever.org/book/website/youclever/var/custom/file/2014/06/241z-2.png)
POKROČILÁ ÚROVEŇ
Pohybové úkoly. Příklady
Zvážit příklady s řešenímpro každý typ úkolu.
pohybující se s proudem
Jeden z nejjednodušších úkolů úkoly pro pohyb na řece. Celá jejich podstata je následující:
- pohybujeme-li se s prouděním, rychlost proudu se přičítá k naší rychlosti;
- pokud se pohybujeme proti proudu, rychlost proudu se odečte od naší rychlosti.
Příklad č. 1:
Loď plula z bodu A do bodu B za hodiny a zpět za hodiny. Najděte rychlost proudu, je-li rychlost člunu na klidné vodě km/h.
Řešení #1:
Označme vzdálenost mezi body jako AB a rychlost proudu jako.
Všechny údaje z podmínky zapíšeme do tabulky:
Cesta S | rychlost v, km/h |
Čas t, hodiny | |
A -> B (proti proudu) | AB | 50. léta | 5 |
B -> A (po proudu) | AB | 50+x | 3 |
Pro každý řádek této tabulky musíte napsat vzorec:
Ve skutečnosti nemusíte psát rovnice pro každý z řádků tabulky. Vidíme, že vzdálenost ujetá lodí tam a zpět je stejná.
Můžeme tedy srovnat vzdálenost. K tomu okamžitě použijeme vzorec vzdálenosti:
Často je nutné použít vzorec pro čas:
Příklad č. 2:
Loď urazí vzdálenost v km proti proudu o hodinu déle než s proudem. Najděte rychlost člunu na stojaté vodě, pokud je rychlost proudu km/h.
Řešení č. 2:
Zkusme napsat rovnici. Čas proti proudu je o hodinu delší než čas po proudu.
Píše se to takto:
Nyní místo každého času dosadíme vzorec:
Dostali jsme obvyklou racionální rovnici, vyřešíme ji:
Rychlost samozřejmě nemůže být záporné číslo, takže odpověď je km/h.
Relativní pohyb
Pokud se některá tělesa vůči sobě pohybují, je často užitečné vypočítat jejich relativní rychlost. Rovná se:
- součet rychlostí pohybujících se těles k sobě;
- rozdíl rychlosti, pokud se tělesa pohybují stejným směrem.
Příklad #1
Z bodů A a B odjela dvě auta současně proti sobě rychlostí km/h a km/h. Za kolik minut se potkají? Je-li vzdálenost mezi body km?
I způsob řešení:
Relativní rychlost aut km/h. To znamená, že pokud sedíme v prvním voze, zdá se, že stojí, ale druhé auto se k nám blíží rychlostí km/h. Protože vzdálenost mezi vozy je zpočátku km, doba, po které druhé auto projede prvním:
Řešení 2:
Doba od začátku pohybu do srazu u aut je evidentně stejná. Pojďme to označit. Pak první auto jelo cestu, a druhé -.
Celkem ujeli všechny km. Prostředek,
Další pohybové úkoly
Příklad č. 1:
Auto odjelo z bodu A do bodu B. Současně s ním odjelo další auto, které jelo přesně polovinu cesty rychlostí o km/h menší než to první a druhou polovinu cesty jelo rychlostí km/h.
V důsledku toho auta dorazila do bodu B ve stejnou dobu.
Najděte rychlost prvního auta, pokud je známo, že je větší než km/h.
Řešení #1:
Vlevo od rovnítka zapíšeme čas prvního vozu a vpravo druhého:
Zjednodušte výraz na pravé straně:
Každý termín dělíme AB:
Ukázalo se obvyklá racionální rovnice. Když to vyřešíme, dostaneme dva kořeny:
Z nich je jen jeden větší.
Odpověď: km/h.
Příklad č. 2
Cyklista opustil bod A okružní trati. Po pár minutách se ještě nevrátil do bodu A a z bodu A za ním jel motocyklista. Minuty po odjezdu dostihl cyklistu poprvé a minuty na to ho dostihl podruhé. Najděte rychlost cyklisty, je-li délka trati km. Svou odpověď uveďte v km/h.
Řešení:
Zde srovnáme vzdálenost.
Nechť je rychlost cyklisty a rychlost motocyklisty -. Do okamžiku prvního setkání byl cyklista na silnici několik minut a motocyklista -.
Přitom urazili stejnou vzdálenost:
Mezi setkáními cyklista ujel vzdálenost a motocyklista -. Motocyklista ale zároveň ujel přesně o kolo víc, to je vidět z obrázku:
Doufám, že chápete, že ve skutečnosti nešli ve spirále - spirála jen schematicky ukazuje, že jdou v kruhu a několikrát míjejí stejné body trati.
Výsledné rovnice řešíme v soustavě:
SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE
1. Základní vzorec
2. Relativní pohyb
- Jedná se o součet rychlostí, pokud se tělesa pohybují k sobě;
- rozdíl rychlosti, pokud se tělesa pohybují stejným směrem.
3. Pohybujte se s proudem:
- Pohybujeme-li se s proudem, rychlost proudu se přičítá k naší rychlosti;
- pohybujeme-li se proti proudu, rychlost proudu se od rychlosti odečítá.
Pomohli jsme vám vypořádat se s úkoly pohybu...
Teď jsi na řadě...
Pokud jste si pozorně přečetli text a vyřešili všechny příklady sami, jsme připraveni namítnout, že jste všemu rozuměli.
A tohle už je napůl cesty.
Napište dole do komentářů, jestli jste vymysleli úkoly pro pohyb?
Které způsobují největší potíže?
Chápete, že úkoly pro „práci“ jsou téměř to samé?
Napište nám a hodně štěstí u zkoušek!
Nechť je pohyb prvního tělesa charakterizován hodnotami s 1 , v 1 , t 1 a pohyb druhého tělesa - s 2 , v 2 , t 2 . Takový pohyb lze znázornit schematickým nákresem: v 1, t 1 t vestavěný. v2, t2
Pokud se dva objekty začnou pohybovat současně k sobě, pak každý z nich stráví stejnou dobu od okamžiku pohybu až do setkání - čas setkání, tj. t 1 = t 2 = t int.
Vzdálenost, na kterou se pohybující se objekty přiblíží za jednotku času, se nazývá přibližovací rychlost, těch. v bl. \u003d v 1 + v 2.
Vzdálenost mezi tělesy lze vyjádřit takto: s=s 1 + s 2.
Celou vzdálenost, kterou urazí pohybující se tělesa v protijedoucím provozu, lze vypočítat podle vzorce: s=v sbl. t int. .
Příklad. Vyřešme problém: „Dva chodci současně vyšli proti sobě ze dvou bodů, jejichž vzdálenost je 18 km. Rychlost jednoho z nich je 5 km / h, druhý - 4 km / h. Za kolik hodin se potkají?
Řešení: Problém uvažuje pohyb směrem k setkání dvou chodců. Jeden jede rychlostí 5 km/h, druhý rychlostí 4 km/h. Cesta, kterou musí projít, je 18 km. Je třeba najít čas, po kterém se setkají a zároveň se začnou pohybovat.
Členové hnutí | Rychlost | Čas | Vzdálenost |
První chodec | 5 km/h | ?h - totéž | 18 km |
Druhý chodec | 4 km/h |
Protože jsou známé rychlosti chodců, můžeme zjistit jejich nájezdovou rychlost: 5+4=9(km/h). Poté, když znáte rychlost přiblížení a vzdálenost, kterou potřebují urazit, můžete najít čas, po kterém se chodci setkají: 189=2(h).
Problémy pro pohyb dvou těles ve stejném směru.
Rozlišují se dva typy takových úkolů: 1) pohyb začíná současně z různých bodů; 2) pohyb začíná v čase z jednoho bodu.
Nechť je pohyb prvního tělesa charakterizován hodnotami s 1 , v 1 , t 1 a pohyb druhého tělesa - s 2 , v 2 , t 2 . Takový pohyb lze znázornit na schematickém výkresu:
v 1, t 1 v 2, t 2 t
Pokud při pohybu jedním směrem první těleso dožene druhé, pak v 1 v 2, navíc za jednotku času se první objekt přiblíží k druhému na vzdálenost v 1 -v 2 . Tato vzdálenost se nazývá přibližovací rychlost: v sbl. =v1-v2.
Vzdálenost mezi tělesy lze vyjádřit pomocí vzorců: s= s 1 - s 2 a s= v sbl. t int.
Příklad. Vyřešme problém: „Ze dvou bodů, vzdálených od sebe ve vzdálenosti 30 km. Rychlost jednoho je 40 km/h, druhého 50 km/h. Za kolik hodin předjede druhý jezdec prvního?
Řešení: Problém uvažuje pohyb dvou motocyklistů. Odjížděli ve stejnou dobu z různých míst nacházejících se ve vzdálenosti 30 km. Rychlost jednoho je 40 km/h, druhého 50 km/h. Je třeba zjistit, za kolik hodin druhý motocyklista dožene prvního.
Pomocné modely mohou být různé - schematický nákres (viz výše) a tabulka:
Když znáte rychlost obou motocyklistů, můžete zjistit jejich nájezdovou rychlost: 50-40=10(km/h). Pak, když známe rychlost přibližování a vzdálenost mezi motocyklisty, najdeme čas, za který druhý motocyklista předjede prvního: 3010=3(h).
Uveďme příklad problému, který popisuje druhou situaci pohybu dvou těles ve stejném směru.
Příklad. Vyřešme problém: „Vlak odjížděl z Moskvy v 7 hodin rychlostí 60 km/h. Následujícího dne ve 13:00 vzlétlo stejným směrem letadlo rychlostí 780 km/h. Jak dlouho bude trvat, než letadlo předjede vlak?
Řešení: Úloha uvažuje pohyb vlaku a letadla ve stejném směru ze stejného bodu, ale v různých časech. Je známo, že rychlost vlaku je 60 km/h, rychlost letadla 780 km/h; vlak startuje v 7:00 a letadlo odstartuje ve 13:00 následujícího dne. Je třeba zjistit, jak dlouho bude trvat, než letadlo předjede vlak.
Z podmínek problému vyplývá, že v době, kdy letadlo vzlétne, vlak ujel určitou vzdálenost. Pokud je nalezen, pak se tento úkol stane podobným předchozímu.
Chcete-li zjistit tuto vzdálenost, musíte vypočítat, jak dlouho byl vlak na cestě: 24-7 + 13 = 30 (h). Když znáte rychlost vlaku a čas, který byl na cestě před odjezdem letadla, můžete zjistit vzdálenost mezi vlakem a letadlem: 6030=1800(km). Potom zjistíme rychlost přibližování vlaku a letadla: 780-60=720(km/h). A dále doba, po které letadlo vlak dožene: 1800720=2,5(h).
Úkoly pro pohyb proti sobě (protijedoucí provoz) jsou jedním ze tří hlavních typů úkolů pro pohyb.
Pokud se dva objekty pohybují k sobě, pak se k sobě přibližují:
Chcete-li zjistit rychlost přiblížení dvou objektů pohybujících se k sobě, musíte sečíst jejich rychlosti:
Rychlost konvergence je větší než rychlost každého z nich.
Rychlost, čas a vzdálenost spolu souvisí:
Podívejme se na některé úkoly pro protijedoucí provoz.
Úkol 1
Dva cyklisté jeli proti sobě. Rychlost jednoho dna je 12 km/h a druhého 10 km/h. Po 3 hodinách se setkali. Jaká byla vzdálenost mezi nimi na začátku cesty?
Stav úkolů pro pohyb je pohodlně prezentován ve formě tabulky:
1) 12+10=22 (km/h) nájezdová rychlost cyklisty
2) Na začátku cesty bylo mezi cyklisty 22∙3=66 (km).
Odpověď: 66 km.
Úkol 2
Dva vlaky jedou proti sobě. Rychlost jednoho z nich je 50 km/h, rychlost druhého 60 km/h. Nyní mezi nimi 440 km. Za kolik hodin se potkají?
1) 60+50=110 (km/h) přibližovací rychlost vlaku
2) 440:110=4 (h) čas, po kterém se vlaky setkají.
Odpověď: po 4 hodinách.
Úkol 3.
Dva chodci byli ve vzdálenosti 20 km od sebe. Vyšli ve stejnou dobu k sobě a setkali se po 2 hodinách. Rychlost jednoho chodce je 6 km/h. Najděte rychlost jiného chodce.
já chodec |
|||
II chodec |
1) 20:2=10 (km/h) rychlost přiblížení chodce
2) 10-6=4 (km/h) rychlost jiného chodce.
Odpověď: 4 km/h.