Aksiomātiskās metodes matemātikā. Naturālu skaitļu sistēmas aksiomātiskā konstrukcija Naturāla skaitļa definīcija
![Aksiomātiskās metodes matemātikā. Naturālu skaitļu sistēmas aksiomātiskā konstrukcija Naturāla skaitļa definīcija](https://i1.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_7.gif)
Līgums par vietnes materiālu izmantošanu
Lūdzu, izmantojiet vietnē publicētos darbus tikai personīgiem nolūkiem. Materiālu publicēšana citās vietnēs ir aizliegta.
Šo darbu (un visus pārējos) var lejupielādēt bez maksas. Garīgi varat pateikties tās autoram un vietnes darbiniekiem.
Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu
Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.
Līdzīgi dokumenti
P-adic veselu skaitļu saskaitīšana un reizināšana, kas definēta kā secību saskaitīšana un reizināšana. Veselu p-adisko skaitļu gredzens, to dalījuma īpašību izpēte. Šo skaitļu skaidrojums, ieviešot jaunus matemātiskos objektus.
kursa darbs, pievienots 22.06.2015
Kā cilvēki iemācījās skaitīt, skaitļu, skaitļu un skaitļu sistēmu rašanās. Reizināšanas tabula uz "pirkstiem": reizināšanas tehnika skaitļiem 9 un 8. Ātrās skaitīšanas piemēri. Veidi, kā reizināt divciparu skaitli ar 11, 111, 1111 utt. un trīsciparu skaitli ar 999.
kursa darbs, pievienots 22.10.2011
Jauns veids, kā reizināt skaitļus. Aprēķina laikā izveidotās skaitļu matricas līdzība ar trijstūri ir relatīva, taču joprojām pastāv, it īpaši, reizinot trīsciparu skaitļus un lielākus. trīsstūrveida matrica.
raksts, pievienots 02.06.2005
abstrakts, pievienots 13.01.2011
Pirmskaitļu nozīmes izpētes vēstures raksturojums matemātikā, aprakstot to atrašanas veidu. Pjetro Kataldi ieguldījums pirmskaitļu teorijas attīstībā. Eratostena pirmskaitļu tabulu sastādīšanas metode. Naturālo skaitļu draudzīgums.
tests, pievienots 24.12.2010
Nenegatīvo reālo skaitļu kopa kā R interpretēta apakškopa. Dalāmība reizināšanas pusgrupās. Pusgrupu skaitliskā GCD un LCM struktūra. Nenegatīvu reālo skaitļu ar 0 un 1 reizināto pusgrupu izpēte.
diplomdarbs, pievienots 27.05.2008
Reālo skaitļu īpašības, to nozīme matemātikas attīstībā. Reālo skaitļu kopas konstruēšanas analīze vēsturiskā aspektā. Pieejas reālo skaitļu teorijas konstruēšanai pēc Kantora, Veierštrāsa, Dedekinda. Viņu mācības skolas kursā.
prezentācija, pievienota 09.10.2011
Matemātikas pamatelementi. Naturālo skaitļu īpašības. Skaitļu teorijas jēdziens. Salīdzinājumu un algebrisko vienādojumu vispārīgās īpašības. Aritmētiskās darbības ar salīdzinājumiem. Aritmētikas pamatlikumi. Aritmētisko darbību rezultātu pārbaude.
kursa darbs, pievienots 15.05.2015
Polisēmija
Polisēmija jeb vārdu neskaidrība rodas no tā, ka valoda ir sistēma, kas ir ierobežota salīdzinājumā ar realitātes bezgalīgo daudzveidību, tā ka, pēc akadēmiķa Vinogradova vārdiem, “valoda ir spiesta izplatīt neskaitāmu kopumu nozīmes zem viena vai otra pamatjēdzienu virsraksta." (Vinogradovs "Krievu valoda" 1947). Nepieciešams nošķirt atšķirīgo vārdu lietojumu vienā leksikas-semantiskā variantā un vārda faktisko atšķirību. Tā, piemēram, vārds (das)Ol var apzīmēt vairākas dažādas eļļas, izņemot govs (kurai ir vārds Sviests). Taču no tā neizriet, ka, apzīmējot dažādas eļļas, vārdam Ol katru reizi būs cita nozīme: visos gadījumos tā nozīme būs viena, proti, eļļa (jebkas, izņemot govs). Kā arī, piemēram, vārda Tisch tabula nozīme, neatkarīgi no tā, kādu tabulu šis vārds apzīmē konkrētajā gadījumā. Situācija ir citāda, ja vārds Ol nozīmē eļļu. Šeit priekšplānā vairs nav eļļas līdzība pa eļļošanas līniju ar dažādām eļļām, bet gan īpašā eļļas kvalitāte - degtspēja. Un tajā pašā laikā vārdi, kas apzīmē dažādus degvielas veidus, jau korelē ar vārdu Ol: Kohl, Holz utt. Tas dod mums iespēju atšķirt divas nozīmes no vārda Ol (jeb, citiem vārdiem sakot, divus leksikas-semantiskos variantus): 1) eļļa (nevis dzīvnieks) 2) eļļa.
Parasti jaunas nozīmes rodas, pārnesot kādu no esošajiem vārdiem uz jaunu objektu vai parādību. Tādā veidā tiek veidotas pārsūtīšanas vērtības. To pamatā ir objektu līdzība vai viena objekta savienojums ar citu. Ir zināmi vairāki vārdu nodošanas veidi. Vissvarīgākais no tiem ir metafora vai metonīmija.
Metaforā pārnese balstās uz lietu līdzību krāsā, formā, kustībā utt. Ar visām metaforiskajām izmaiņām saglabājas kāda sākotnējā jēdziena pazīme
homonīmija
Vārda polisēmija ir tik liela un daudzšķautņaina problēma, ka ar to kaut kādā veidā ir saistītas visdažādākās leksikoloģijas problēmas. Jo īpaši homonīmijas problēma dažos tās aspektos saskaras arī ar šo problēmu.
Homonīmi ir vārdi, kas izklausās vienādi, bet kuriem ir atšķirīga nozīme. Homonīmi dažos gadījumos rodas no to polisēmijas, kas ir piedzīvojusi iznīcināšanas procesu. Taču homonīmi var rasties arī nejaušu skaņu sakritību rezultātā. Atslēga, kas atver durvis, un atslēga - atspere vai izkapts - frizūra un izkapts - lauksaimniecības rīks - šiem vārdiem ir dažādas nozīmes un dažāda izcelsme, taču nejauši sakrīt savā skanējumā.
Homonīmi izšķir leksikas (attiecas uz vienu runas daļu, piemēram, atslēga - atvērt slēdzeni un atslēga - atspere. avots) morfoloģisko (attiecas uz dažādām runas daļām, piemēram, trīs - cipars, trīs - darbības vārds imperatīvā noskaņojumā), leksikogrammatiskās, kas rodas pārvēršanas rezultātā, dotajam vārdam pārejot citā runas daļā. piemēram angļu valodā. skaties-skaties un skaties-skaties. Angļu valodā ir īpaši daudz leksisko un gramatisko homonīmu.
Homofoni un homogrāfi ir jānošķir no homonīmiem. Par homofoniem sauc dažādus vārdus, kuri, atšķiroties pēc rakstības, izrunā sakrīt, piemēram: loks - pļava, Seite - lapa un Saite - virkne.
Homogrāfi ir tik dažādi vārdi, kas pareizrakstībā sakrīt, lai gan tiek izrunāti dažādi (gan pēc skaņas sastāva, gan uzsvara vietas vārdā), piemēram Pils - pils.
Sinonīms
Sinonīmi pēc nozīmes ir līdzīgi, taču dažādi skanīgi vārdi, kas izsaka viena un tā paša jēdziena nokrāsas.
Ir trīs veidu sinonīmi:
1. Konceptuāls vai ideogrāfisks. Tie atšķiras viens no otra leksiskā nozīmē. Šī atšķirība izpaužas dažādās apzīmētās zīmes pakāpēs (sals - auksts, stiprs, spēcīgs, varens), tās apzīmējuma būtībā (vatēta jaka - stepēta jaka - stepēta jaka), izteiktās koncepcijas apjomā (reklāmkarogs - karogs, nekaunīgs - treknrakstā), leksisko vērtību savienojuma pakāpē (brūns - brūns, melns - melns).
2. Sinonīmi ir stilistiski vai funkcionāli. Tās atšķiras viena no otras lietošanas sfērā, piemēram, acis - acis, seja - seja, piere - piere. Sinonīmi emocionāls – vērtējošs. Šie sinonīmi atklāti pauž runātāja attieksmi pret norādīto personu, objektu vai parādību. Piemēram, bērnu var svinīgi saukt par bērnu, sirsnīgi par puiku un mazu zēnu, nicinoši par puiku un zīdītāju un arī uzsvērti - nicinoši par kucēnu, piesūcekni, stulbi.
3. Antonīmi - vārdu savienojumi, kas ir pretēji savā leksiskajā nozīmē, piemēram: augšā - apakšā, balts - melns, runāt - klusēt, skaļi - klusi.
Antonīmija
Ir trīs veidu antonīmi:
1. Pakāpenisku un saskaņotu pretstatu Antonīmus, piemēram, balts - melns, kluss - skaļš, tuvs - tāls, laipns - ļauns utt. Šiem antonīmiem ir kopīga nozīme, kas ļauj tiem pretoties. Tātad melnā un baltā jēdzieni apzīmē pretējus krāsu jēdzienus.
2. Komplementāro un konvertējošo pretstatu Antonīmus: karš – miers, vīrs – sieva, precējies – neprecējies, var – nevar, aizvērt – atvērts.
3. Dihotomā jēdzienu dalījuma Antonīmi. Tie bieži vien ir vienas un tās pašas saknes vārdi: tautas — pret tautu, legāli — nelegāli, humāni — necilvēcīgi.
Interese ir arī t.s. iekšējā vārda antonīmija, kad tiek pretstatītas to vārdu nozīmes, kuriem ir viens un tas pats materiālais apvalks. Piemēram, krievu valodā darbības vārds aizdot naudu nozīmē "aizdot", un aizņemties naudu no kāda jau nozīmē aizņemties naudu no kāda. Vārda iekšējo nozīmju opozīciju sauc par enantiosēmiju.
6. Naturālu skaitļu sistēmas aksiomātiskā konstruēšana. Aksiomātiska metode matemātiskās teorijas konstruēšanai. Prasības aksiomu sistēmai: konsekvence, neatkarība, pilnība. Peano aksiomatika. Naturāla skaitļa jēdziens no aksiomātiskām pozīcijām. Pīno aksiomu sistēmas modeļi. Naturālu skaitļu saskaitīšana un reizināšana no aksiomātiskām pozīcijām. Naturālo skaitļu kopas sakārtošana. Naturālo skaitļu kopas īpašības. Naturālo skaitļu kopas atņemšana un dalīšana no aksiomātiskām pozīcijām. Matemātiskās indukcijas metode. Nulles ieviešana un nenegatīvo veselo skaitļu kopas konstruēšana. Dalīšanas teorēma ar atlikumu.
Pamatjēdzieni un definīcijas
Numurs - tā ir noteikta daudzuma izpausme.
Dabiskais skaitlis bezgalīgi nepārtrauktas secības elements.
Dabiskie skaitļi (dabiskie skaitļi) - skaitļi, kas dabiski rodas skaitīšanas laikā (gan uzskaitīšanas, gan aprēķinu nozīmē).
Ir divas pieejas naturālo skaitļu definīcijai - skaitļi, ko izmanto:
vienību uzskaitīšana (numerācija) (pirmā, otrā, trešā, ...);
vienību skaita apzīmējums (nav preču, viena prece, divas preces, ...).
Aksioma - tie ir konkrētas teorijas pamata sākuma punkti (pašsaprotamie principi), no kuriem ar dedukcijas palīdzību, tas ir, tīri loģiskiem līdzekļiem, tiek izvilkts viss pārējais šīs teorijas saturs.
Skaitli, kuram ir tikai divi dalītāji (pats skaitlis un viens), sauc - vienkāršs skaitlis.
Salikts skaitlis ir skaitlis, kuram ir vairāk nekā divi dalītāji.
§2. Naturāla skaitļa aksiomatika
Dabiskos skaitļus iegūst, skaitot objektus un mērot lielumus. Bet, ja mērījuma laikā parādās skaitļi, kas nav dabiskie, tad aprēķins ved tikai uz naturāliem skaitļiem. Lai turpinātu skaitīt, ir nepieciešama skaitļu virkne, kas sākas ar vienu un ļauj pāriet no viena skaitļa uz citu un tik reižu, cik nepieciešams. Citiem vārdiem sakot, mums ir nepieciešams dabiskās sērijas segments. Tāpēc, risinot naturālo skaitļu sistēmas pamatošanas problēmu, vispirms bija jāatbild uz jautājumu, kas ir skaitlis kā naturālās rindas elements. Atbilde uz to tika sniegta divu matemātiķu darbos - Vācietis Grasmans un itālis Peano. Viņi ierosināja aksiomātisku, kurā naturālais skaitlis tika attaisnots kā bezgalīgi nepārtrauktas secības elements.
Naturālo skaitļu sistēmas aksiomātiskā konstruēšana tiek veikta saskaņā ar formulētajiem noteikumiem.
Piecas aksiomas var uzskatīt par pamatjēdzienu aksiomātisku definīciju:
1 ir naturāls skaitlis;
Nākamais naturālais skaitlis ir naturāls skaitlis;
1 neseko nevienam naturālam skaitlim;
Ja naturāls skaitlis a seko dabiskajam skaitlim b un naturālam skaitlim Ar, tad b un Ar identisks;
Ja kāds priekšlikums ir pierādīts 1 un ja no pieņēmuma, ka tas ir patiess naturālam skaitlim n, no tā izriet, ka tas attiecas uz tālāk norādīto n naturāls skaitlis, tad šis priekšlikums attiecas uz visiem naturālajiem skaitļiem.
Vienība ir dabiskās sērijas pirmais numurs , kā arī viens no cipariem decimālo skaitļu sistēmā.
Tiek uzskatīts, ka jebkuras kategorijas vienības apzīmējums ar tādu pašu zīmi (diezgan tuvu mūsdienu) pirmo reizi parādījās Senajā Babilonā aptuveni 2 tūkstošus gadu pirms mūsu ēras. e.
Senie grieķi, kas par skaitļiem uzskatīja tikai naturālus skaitļus, katru no tiem uzskatīja par vienību kopumu. Pašai vienībai ir atvēlēta īpaša vieta: tā netika uzskatīta par numuru.
I. Ņūtons rakstīja: “...ar skaitļiem mēs domājam ne tik daudz vienību kopumu, bet gan abstraktu viena daudzuma attiecību pret citu lielumu, ko mēs nosacīti pieņemam kā vienību.” Tādējādi vienība jau ir ieņēmusi savu īsto vietu starp citiem numuriem.
Aritmētiskām darbībām ar skaitļiem ir dažādas īpašības. Tos var aprakstīt vārdos, piemēram: "Summa nemainās no terminu vietu maiņas." Var rakstīt ar burtiem: a+b = b+a. Var izteikt konkrētos terminos.
Mēs bieži piemērojam aritmētikas pamatlikumus aiz ieraduma, to neapzinoties:
1) komutatīvais likums (komutativitāte), - skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašība, kas izteikta ar identitātēm:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) asociatīvās tiesības (asociatīvās attiecības), - skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašība, kas izteikta ar identitātēm:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) sadales likums (distributivitāte), - īpašība, kas savieno skaitļu saskaitīšanu un reizināšanu un ir izteikta ar identitātēm:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Pēc reizināšanas darbības komutatīvo, asociatīvo un sadalošo (attiecībā uz saskaitīšanu) likumu pierādīšanas, turpmāka aritmētisko darbību teorijas konstruēšana ar naturāliem skaitļiem nesagādā nekādas būtiskas grūtības.
Šobrīd prātā vai uz papīra veicam tikai pašus vienkāršākos aprēķinus, arvien biežāk sarežģītākus skaitļošanas darbus uzticot kalkulatoriem, datoriem. Taču visu datoru darbība – vienkārša un sarežģīta – balstās uz visvienkāršāko darbību – naturālu skaitļu saskaitīšanu. Izrādās, ka vissarežģītākos aprēķinus var reducēt līdz saskaitīšanai, tikai šī darbība ir jāveic daudzus miljonus reižu.
Aksiomātiskās metodes matemātikā
Viens no galvenajiem matemātiskās loģikas attīstības iemesliem ir plašā izplatība aksiomātiskā metode dažādu matemātisko teoriju konstruēšanā, pirmkārt, ģeometrijas, bet pēc tam aritmētikas, grupu teorijas u.c. Aksiomātiskā metode var definēt kā teoriju, kas balstās uz iepriekš izvēlētu nedefinētu jēdzienu sistēmu un attiecībām starp tiem.
Matemātiskās teorijas aksiomātiskajā konstruēšanā sākotnēji tiek izvēlēta noteikta nedefinētu jēdzienu un attiecību sistēma starp tiem. Šos jēdzienus un attiecības sauc par pamata. Tālāk tiek iepazīstināti aksiomas tie. apskatītās teorijas galvenie nosacījumi, pieņemti bez pierādījumiem. Viss turpmākais teorijas saturs ir loģiski atvasināts no aksiomām. Pirmo reizi matemātiskās teorijas aksiomātisku konstruēšanu veica Eiklīds ģeometrijas konstruēšanā.
Jebkuras matemātiskās teorijas aksiomātiskajā konstrukcijā noteikti noteikumi:
daži teorijas jēdzieni tiek izvēlēti kā galvenie un tiek pieņemti bez definīcijas;
katram teorijas jēdzienam, kas nav ietverts pamata sarakstā, tiek dota definīcija;
tiek formulētas aksiomas - teikumi, kas pieņemti šajā teorijā bez pierādījumiem; tie atklāj pamatjēdzienu īpašības;
· jāpierāda katrs teorijas teikums, kas nav ietverts aksiomu sarakstā; šādus apgalvojumus sauc par teorēmām un pierāda, pamatojoties uz aksiomām un teremēm.
Teorijas aksiomātiskajā konstrukcijā visi apgalvojumi tiek iegūti no aksiomām pierādījumu veidā.
Tāpēc aksiomu sistēma ir pakļauta īpašiem prasības:
Konsekvence (aksiomu sistēmu sauc par konsekventu, ja no tās nav iespējams loģiski atvasināt divus savstarpēji izslēdzošus teikumus);
neatkarība (aksiomu sistēmu sauc par neatkarīgu, ja neviena no šīs sistēmas aksiomām nav citu aksiomu sekas).
Kopu ar tajā doto attiecību sauc par dotās aksiomu sistēmas modeli, ja tajā ir apmierinātas visas šīs sistēmas aksiomas.
Ir daudz veidu, kā izveidot aksiomu sistēmu naturālo skaitļu kopai. Pamatjēdzienam var ņemt, piemēram, skaitļu summu vai secības attiecību. Jebkurā gadījumā ir jāprecizē aksiomu sistēma, kas apraksta pamatjēdzienu īpašības.
Dosim aksiomu sistēmu, pieņemot saskaitīšanas darbības pamatjēdzienu.
Netukšs komplekts N sauc par naturālo skaitļu kopu, ja operācija (a; b) → a + b, ko sauc par pievienošanu un kam ir šādas īpašības:
1. saskaitīšana ir komutatīva, t.i. a + b = b + a.
2. pievienošana ir asociatīva, t.i. (a + b) + c = a + (b + c).
4. jebkurā komplektā BET, kas ir kopas apakškopa N, kur BET ir tāds numurs, ka visi Ha, ir vienādi a+b, kur bN.
Ar aksiomām 1 - 4 pietiek, lai izveidotu visu naturālo skaitļu aritmētiku. Bet ar šādu konstrukciju vairs nav iespējams paļauties uz galīgo kopu īpašībām, kuras nav atspoguļotas šajās aksiomās.
Ņemsim par pamatjēdzienu relāciju “tieši sekot...”, kas definēta uz netukšas kopas N. Tad naturālā skaitļu sērija būs kopa N, kurā ir definēta sakarība "tieši sekot", un visi N elementi tiks saukti par naturāliem skaitļiem, un tiek ievērota šāda: Peano aksiomas:
AXIOM 1.
daudzumāNir elements, kas uzreiz neseko nevienam šīs kopas elementam. Mēs to sauksim par vienību un apzīmēsim ar simbolu 1.
AXIOM 2.
Katram elementam a noNuzreiz aiz a ir viens elements a.
AXIOM 3.
Katram elementam a noNir ne vairāk kā viens elements, kam tūlīt seko a.
AXOIM 4.
Jebkura kopas M apakškopaNsakrīt arN, ja tam piemīt īpašības: 1) 1 ir ietverts M; 2) no tā, ka a ir ietverts M, izriet, ka a ir ietverts arī M.
Daudz N, elementiem, kuriem ir izveidota sakarība "tūlīt sekot ...", kas atbilst aksiomām 1 - 4, tiek saukta naturālo skaitļu kopa , un tā elementi ir naturālie skaitļi.
Ja kā komplekts N izvēlieties kādu konkrētu kopu, uz kuras ir dota konkrēta sakarība "tieši sekot ...", apmierinot aksiomas 1 - 4, tad iegūstam citu interpretācijas (modeļi) dota aksiomu sistēmas.
Peano aksiomu sistēmas standarta modelis ir skaitļu virkne, kas radusies sabiedrības vēsturiskās attīstības procesā: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Jebkura saskaitāma kopa var būt Peano aksiomu modelis.
Piemēram, I, II, III, III, ...
ak ak ak ak...
viens divi trīs četri, …
Aplūkosim kopu secību, kurā kopa (oo) ir sākuma elements, un katru nākamo kopu iegūst no iepriekšējās, piešķirot vēl vienu apli (15. att.).
Tad N ir kopa, kas sastāv no aprakstītās formas kopām, un tā ir Pīno aksiomu sistēmas modelis.
Patiešām, daudzās N ir elements (oo), kas uzreiz neseko nevienam dotās kopas elementam, t.i. aksioma atbilst 1. Katrai kopai BET no apskatāmā komplekta ir unikāls komplekts, kas iegūts no BET pievienojot vienu apli, t.i. Aksioma 2 ir spēkā. Katram komplektam BET ir ne vairāk kā viena kopa, no kuras tiek veidota kopa BET pievienojot vienu apli, t.i. Aksioma atbilst 3. Ja MN un ir zināms, ka komplekts BET ietverts M, no tā izriet, ka kopa, kurā ir par vienu apli vairāk nekā komplektā BET, ir ietverts arī M, tad M =N, kas nozīmē, ka 4. aksioma ir apmierināta.
Naturāla skaitļa definīcijā nevar izlaist nevienu no aksiomām.
Noskaidrosim, kura no komplektiem, kas parādīti attēlā. 16 ir Peano aksiomu modelis.
|
![](https://i0.wp.com/kto.guru/uploads/images/ob-aksiomaticheskom-sposobe-postroeniya-teorii_9.gif)
Risinājums. 16. a) attēlā ir parādīta kopa, kurā ir izpildītas aksiomas 2 un 3. Patiešām, katram elementam ir unikāls elements, kas tūlīt seko tam, un ir unikāls elements, kam tas seko. Bet 1. aksioma šajā kopā neder (4. aksiomai nav jēgas, jo kopā nav neviena elementa, kas uzreiz nesekotu nevienam citam). Tāpēc šī kopa nav Peano aksiomu modelis.
16. attēlā b) parādīta kopa, kurā ir izpildītas aksiomas 1, 3 un 4, bet aiz elementa a uzreiz seko divi elementi, nevis viens, kā prasīts 2. aksiomā. Tāpēc šī kopa nav Pīno aksiomu modelis.
Uz att. 16 c) parāda kopu, kurā ir izpildītas aksiomas 1, 2, 4, bet elements Ar uzreiz seko divi elementi. Tāpēc šī kopa nav Peano aksiomu modelis.
Uz att. 16 d) parāda kopu, kas apmierina aksiomas 2, 3, un, ja par sākotnējo elementu pieņemsim skaitli 5, tad šī kopa apmierinās aksiomas 1 un 4. Tas ir, šajā kopā katram elementam uzreiz ir viens viens. seko tam, un tam seko viens elements. Ir arī elements, kas uzreiz neseko nevienam šīs kopas elementam, tas ir 5 , tie. Pastāv aksioma 1. Attiecīgi arī aksioma 4. Tāpēc šī kopa ir Pīno aksiomu modelis.
Izmantojot Peano aksiomas, mēs varam pierādīt vairākus apgalvojumus, piemēram, mēs pierādam, ka visiem naturālajiem skaitļiem ir nevienlīdzība x x.
Pierādījums. Apzīmē ar BET naturālu skaitļu kopa, kurai a a. Numurs 1 pieder BET, jo tas neseko neviena numura no N, un tāpēc pats par sevi neseko: 1 1. Ļaujiet aa, tad a a. Apzīmē a cauri b. Pamatojoties uz 3. aksiomu, ab, tie. bb un ba.
Jebkuras teorijas aksiomātiskajā konstruēšanā tiek ievēroti daži noteikumi:
daži teorijas jēdzieni ir izvēlēti kā pamata, un tiek pieņemti bez definīcijas un tiek saukti par nedefinētiem.
tiek formulētas aksiomas - teikumi, kas pieņemti šajā teorijā bez pierādījumiem; tie atklāj pamatjēdzienu īpašības;
dots katrs teorijas jēdziens, kas nav ietverts pamata sarakstā definīcija, tas izskaidro tā nozīmi ar pamatjēdzienu un iepriekšējo jēdzienu palīdzību;
ir jāpierāda katrs teorijas teikums, kas nav ietverts aksiomu sarakstā; šādus apgalvojumus sauc par teorēmām un pierāda tos, pamatojoties uz aksiomām un teorēmām, kas ir pirms aplūkojamās.
Teorijas aksiomātiskajā konstrukcijā būtībā visi apgalvojumi tiek izsecināti ar pierādījumiem no aksiomām. Tāpēc aksiomu sistēmai tiek izvirzītas īpašas prasības. Pirmkārt, tai jābūt konsekventai un neatkarīgai.
Aksiomu sistēmu sauc konsekventi ja no tā loģiski nevar izsecināt divus viens otru izslēdzošus teikumus.
Tiek saukta konsekventa aksiomu sistēma neatkarīgs ja neviena no šīs sistēmas aksiomām nav citu šīs sistēmas aksiomu sekas.
Aksiomas, kā likums, atspoguļo gadsimtiem seno cilvēku praktisko darbību, un tas nosaka to pamatotību.
Kā pamatjēdziens naturālu skaitļu aritmētikas aksiomātiskajā konstruēšanā tiek ņemta sakarība "tieši sekot", kas dota uz netukšas kopas. N. Zināmi arī kopas jēdzieni, kopas elements un citi kopas teorētiskie jēdzieni, kā arī loģikas noteikumi.
Elements tūlīt aiz elementa a, iecelt a".“Tieši sekot” attiecību būtība atklājas šādās aksiomās, ko 1891. gadā ierosināja itāļu matemātiķis Dž. Pīno.
1. aksioma. daudzumā N ir elements, kas uzreiz neseko nevienam šīs kopas elementam. To sauc par vienību un apzīmē ar simbolu 1.
2. aksioma. Katram elementam a no N ir tikai viens elements a", tūlīt pēc tam a.
3. aksioma. Katram elementam a no N ir ne vairāk kā viens elements, kam tūlīt seko a.
Aksioma 4. (Indukcijas aksioma). Jebkura apakškopa M komplekti N sakrīt ar N, ja tam ir šādas īpašības: 1) 1 ir ietverts M; 2) no tā, ka jebkurš elements a ietverts M, no tā izriet, ka un a" ietverts M.
Formulētās aksiomas bieži sauc par Peano aksiomām, bet ceturto aksiomu sauc par indukcijas aksiomu.
Rakstīsim šīs aksiomas simboliskā formā.
BET 1 )( 1 N)( a N)a" 1;
BET 2 )( a N)( !b N)a"=b
BET 3 ) ( a,b,Ar N)с = a" с = b" a= b;
A4) M N 1 M (a M a" M) M=N
Izmantojot sakarību "tūlīt sekot" un Pīno aksiomas 1-4, var sniegt šādu naturāla skaitļa definīciju.
1. definīcija. Kopu N., kuras elementiem tiek noteikta sakarība "tūlīt seko", kas apmierina aksiomas 1-4, sauc par naturālo skaitļu kopu, un tās elementi. naturālie skaitļi.
___________________________________________________________________
2. definīcija . Ja naturāls skaitlisbtūlīt aiz skaitļa a, tad numurs a tiek izsaukts tieši pirms (pirms) numurab.
______________________________________________________________________________________________
1. teorēma. Vienībai nav iepriekšējā naturālā skaitļa (teorēmas patiesums izriet tieši no aksiomas BET 1 ).
2. teorēma. Katrs naturālais skaitlis a, citam, izņemot vienu, kam ir iepriekšējais numurs b , tāda, ka b " = a.
Dabiskā skaitļa definīcija neko nesaka par kopas elementu raksturu N. Tātad viņa var būt jebkas. Peano aksiomu sistēmas standarta modelis ir skaitļu virkne, kas radās sabiedrības vēsturiskās attīstības procesā:
1, 2, 3, 4, 5 ,..,
Katram šīs sērijas numuram ir savs apzīmējums un nosaukums, ko mēs uzskatīsim par zināmu.
Ir svarīgi atzīmēt, ka naturāla skaitļa definīcijā nevar izlaist nevienu no aksiomām.
1 a b c d
…
b
Rīsi. 16 Rīsi. 17
1. uzdevums.
Attēlos katrs elements ir savienots ar bultiņu ar tam sekojošo elementu.
Nosakiet, kuras no 15. un 16. attēlā redzamajām kopām ir Pīno aksiomu sistēmas modeļi.
1. Attēlā. 16. attēlā parādīta kopa, kurā 2. un 3. aksioma ir spēkā, bet 1. aksioma nepastāv.
Aksiomai 4 nebūs jēgas, jo komplektā nav neviena elementa, kas uzreiz nesekotu nevienam citam.
2. Uz att. 17 parāda kopu, kurā aksiomas 1, 2, 3 ir izpildītas, bet 4. aksioma nav apmierināta - punktu kopa, kas atrodas uz stara, satur 1, un kopā ar katru skaitli tajā ir skaitlis, kas atrodas tūlīt aiz tā, bet tas nav sakrīt ar visiem iestatītajiem punktiem, kas parādīti attēlā. Secinājums: neviens no komplektiem, kas attēloti attēlā. 16 un 17 nevar uzskatīt par Peano aksiomu sistēmas modeļiem.
2. uzdevums.
Pierādīsim, ka jebkurš naturālais skaitlis atšķiras no uzreiz sekojošā naturālā skaitļa, t.i. ( X )X X"
Pierādījums
Mēs izmantojam indukcijas aksiomu - BET 4 .
Ļaujiet M=(x/x , X X"}, jo . X M N.
Pierādījums sastāv no divām daļām.
Pierādīsim to 1 M, tie. 1 1" . Tas izriet no BET 1 .
Pierādīsim to X M=> X" M.Ļaujiet X M tie. X X". Pierādīsim to X" M, t.i. X" (X")". Un aksiomas BET 3 vajadzētu X" (X")". Patiešām, ar BET 3 , ja x" = (x")" tad x = x", un kopš ar indukcijas priekšlikuma x M, tad x X", tāpēc mēs nonākam pie pretrunas. nozīmē, X" (X")" , X" M.
Šeit tiek piemērots kontrapozīcijas noteikums (PC), kas tiek plaši izmantots pierādījumos "pretrunīgi".
Tātad mēs saņēmām:
M N (1 M (x M => x " M)) M = N, t.i. apgalvojums x x" ir patiess jebkuram naturālam skaitlim.
Testa jautājumi
Kāda ir teorijas aksiomātiskās konstrukcijas būtība?
Kādi ir skolas planimetrijas kursa pamatjēdzieni. Atcerieties šī kursa aksiomu sistēmu. Kādas jēdzienu īpašības tajos aprakstītas?
Formulējiet un simboliskā formā pierakstiet Peano aksiomas. "
Formulējiet naturāla skaitļa aksiomātisku definīciju.
Turpiniet naturālā skaitļa definīciju: “Naturāls skaitlis ir kopas elements N,... » .
Sniedziet piemērus no pamatskolas matemātikas mācību grāmatām, kurās:
a) jauns (studentiem) skaitlis darbojas kā saņemtā naturālās rindas segmenta turpinājums;
b) tiek noteikts, ka katram naturālajam skaitlim uzreiz seko tikai viens cits naturāls skaitlis.
Vingrinājumi
285. Kopas elementi ir domuzīmju grupas (I, II, III, IIII,...). Vai šis komplekts atbilst Peano aksiomām? Kā šeit definēts, attiecība "tūlīt sekot". Apsveriet tos pašus jautājumus kopai (0, 00, 000, 0000,...).
Rīsi. 17
286. 17. a) attēlā katrs elements ir savienots ar bultiņu ar tam sekojošo elementu. Vai kopu var uzskatīt par Pīno aksiomu sistēmas modeli? Tie paši jautājumi kopām 17. attēlā b), c), d).
287. Vai skaitļu kopa (1, 2, 3 P,...), ja šāda attiecība tajā ir definēta šādi:
1 3 5 7….
2 4 6 8….
288. Sniedziet uzdevumu piemērus no matemātikas mācību grāmatām pamatklasēm, kuros uzdevumu pareizību skaidro ar Pīno aksiomām.
Aksiomātiskā metode matemātikā.
Dabisko virkņu aksiomātiskās teorijas pamatjēdzieni un sakarības. Naturāla skaitļa definīcija.
Naturālo skaitļu saskaitīšana.
Naturālo skaitļu reizināšana.
Naturālo skaitļu kopas īpašības
Naturālo skaitļu atņemšana un dalīšana.
Aksiomātiskā metode matemātikā
Jebkuras matemātiskās teorijas aksiomātiskajā konstrukcijā noteikti noteikumi:
1. Daži teorijas jēdzieni ir izvēlēti kā vairākums un pieņemts bez definīcijas.
2. Formulēts aksiomas, kas šajā teorijā tiek pieņemti bez pierādījumiem, tie atklāj pamatjēdzienu īpašības.
3. Ir dota katra teorijas koncepcija, kas nav ietverta pamata sarakstā definīcija, tas izskaidro tā nozīmi, izmantojot galveno un iepriekšējo jēdzienu.
4. Katrs teorijas teikums, kas nav ietverts aksiomu sarakstā, ir jāpierāda. Tādi priekšlikumi tiek saukti teorēmas un pierādīt tos, pamatojoties uz aksiomām un teorēmām, kas ir pirms aplūkojamās.
Aksiomu sistēmai jābūt šādai:
a) konsekventi: mums jābūt pārliecinātiem, ka, izdarot visdažādākos secinājumus no dotās aksiomu sistēmas, mēs nekad nenonāksim pie pretrunas;
b) neatkarīgs: neviena aksioma nedrīkst būt citu šīs sistēmas aksiomu sekas.
iekšā) pabeigt, ja tās ietvaros vienmēr ir iespējams pierādīt vai nu doto apgalvojumu, vai tā noliegumu.
Ģeometrijas izklāstu, ko Eiklīds savā "Elementos" (3. gadsimtā pirms mūsu ēras) sniedza, var uzskatīt par pirmo teorijas aksiomātiskās konstruēšanas pieredzi. Būtisku ieguldījumu ģeometrijas un algebras konstruēšanas aksiomātiskās metodes izstrādē sniedza N.I. Lobačevskis un E. Galuā. 19. gadsimta beigās Itāļu matemātiķis Peano izstrādāja aritmētikas aksiomu sistēmu.
Naturālo skaitļu aksiomātiskās teorijas pamatjēdzieni un sakarības. Naturāla skaitļa definīcija.
Kā pamatjēdziens (nenodefinēts) noteiktā komplektā N ir izvēlēts attieksme , kā arī kopu teorētiskās koncepcijas, kā arī loģikas likumi.
Elements tūlīt aiz elementa a, iecelt a".
Attiecības "tūlīt seko" atbilst šādām aksiomām:
Peano aksiomas:
1. aksioma. daudzumā N ir elements, tieši ne nākamais jebkuram šī komplekta elementam. Sauksim viņu vienība un simbolizē 1 .
2. aksioma. Katram elementam a no N ir tikai viens elements a" tūlīt pēc tam a .
3. aksioma. Katram elementam a no N ir ne vairāk kā viens elements, kam tūlīt seko a .
4. aksioma. Jebkura apakškopa M komplekti N sakrīt ar N , ja tam ir šādas īpašības: 1) 1 ietverts M ; 2) no kā a ietverts M , no tā izriet, ka un a" ietverts M.
1. definīcija. Daudz N , kuras elementiem attiecības tiek nodibinātas "tieši sekot», kas atbilst 1.-4. aksiomām, sauc naturālo skaitļu kopa, un tā elementi ir naturālie skaitļi.
Šī definīcija neko nesaka par kopas elementu būtību N . Tātad viņa var būt jebkas. Izvēloties kā komplektu N kādu noteiktu kopu, kurai ir dota noteikta "tieši seko" sakarība, kas apmierina aksiomas 1-4, mēs iegūstam šīs sistēmas modelis aksiomas.
Pīno aksiomu sistēmas standarta modelis ir skaitļu virkne, kas radusies sabiedrības vēsturiskās attīstības procesā: 1,2,3,4, ... Dabiskā rinda sākas ar skaitli 1 (aksioma 1); katram naturālajam skaitlim uzreiz seko viens naturāls skaitlis (2. aksioma); katrs naturālais skaitlis uzreiz seko ne vairāk kā vienam naturālajam skaitlim (3. aksioma); sākot no skaitļa 1 un virzoties secībā uz naturālajiem skaitļiem, kas atrodas uzreiz pēc cita, iegūstam visu šo skaitļu kopu (4. aksioma).
Tātad, mēs sākām naturālu skaitļu sistēmas aksiomātisku konstruēšanu, izvēloties galveno "tieši sekot" attiecības un aksiomas, kas apraksta tā īpašības. Teorijas turpmākā veidošana ietver zināmo naturālo skaitļu īpašību un operāciju ar tiem apsvēršanu. Tie būtu jāatklāj definīcijās un teorēmās, t.i. tīri loģiskā veidā atvasināts no attiecības "nekavējoties sekot" un aksiomām 1-4.
Pirmais jēdziens, ko mēs ieviešam pēc naturālā skaitļa definīcijas, ir attieksme "tūlīt pirms" , ko bieži izmanto, apsverot dabiskās sērijas īpašības.
2. definīcija. Ja naturāls skaitlis b tieši seko dabiskais skaitlis a, tas numurs a sauca tieši pirms tam(vai iepriekšējais) numurs b .
Attiecības "pirms" ir tuvumā esošie īpašumi.
Teorēma 1. Vienam nav naturālā skaitļa pirmsākuma.
Teorēma 2. Katrs naturāls skaitlis a, kas nav 1, pirms tam ir viens skaitlis b, tāds, ka b"= a.
Naturālo skaitļu teorijas aksiomātiskā konstrukcija netiek aplūkota ne pamatskolā, ne vidusskolā. Tomēr tās "tieši seko" attiecības īpašības, kas atspoguļotas Peano aksiomās, ir matemātikas sākotnējā kursa izpētes priekšmets. Jau pirmajā klasē, apsverot pirmā desmitnieka skaitļus, atklājas, kā katru skaitli var iegūt. Tiek lietoti termini “sekot” un “pirms”. Katrs jauns skaitlis darbojas kā dabiskās skaitļu sērijas pētītā segmenta turpinājums. Studenti ir pārliecināti, ka katram skaitlim seko nākamais, turklāt tikai viens, ka naturālā skaitļu rinda ir bezgalīga.
Naturālo skaitļu saskaitīšana
Saskaņā ar aksiomātiskās teorijas konstruēšanas noteikumiem naturālu skaitļu saskaitīšanas definīcija jāievieš, izmantojot tikai sakarību "tieši sekot", un jēdzieni "dabiskais numurs" un "iepriekšējais numurs".
Ievadīsim pievienošanas definīciju ar šādiem apsvērumiem. Ja kādam naturālam skaitlim a pievieno 1, mēs iegūstam numuru a", tūlīt pēc tam a, t.i. a+ 1= a" un līdz ar to mēs iegūstam noteikumu par 1 pievienošanu jebkuram naturālam skaitlim. Bet kā pievienot skaitlim a dabiskais skaitlis b, atšķiras no 1? Izmantosim šādu faktu: ja zināms, ka 2 + 3 = 5, tad summa 2 + 4 = 6, kas uzreiz seko skaitļam 5. Tas notiek tāpēc, ka summā 2 + 4 otrais loceklis ir skaitlis uzreiz. pēc skaitļa 3. Tātad 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Kopumā mums ir , .
Šie fakti ir pamatā naturālu skaitļu saskaitīšanas definīcijai aksiomātiskajā teorijā.
3. definīcija. Naturālo skaitļu saskaitīšana ir algebriska darbība, kurai ir šādas īpašības:
Numurs a + b sauca skaitļu summa a un b , un paši skaitļi a un b - noteikumiem.