Samazināto atlikumu summa modulo n. Izņemšanas sistēmas. Vingrinājumi patstāvīgam darbam
![Samazināto atlikumu summa modulo n. Izņemšanas sistēmas. Vingrinājumi patstāvīgam darbam](https://i2.wp.com/konspekta.net/lektsianew/baza13/30078065046.files/image063.gif)
vai jebkuru secīgu lpp cipariem.
Šo sistēmu sauc pilnīga skaitļu sistēma, kas nav salīdzināmi pēc moduļa lpp vai pilnīga atlieku sistēma modulo lpp. Ir skaidrs, ka jebkura lpp secīgi skaitļi veido šādu sistēmu.
Visiem skaitļiem, kas pieder vienai klasei, ir daudz kopīgu īpašību, tāpēc attiecībā pret moduli tos var uzskatīt par vienu skaitli. Katrs skaitlis, kas iekļauts salīdzinājumā kā summa vai koeficients, var tikt aizstāts, nepārkāpjot salīdzinājumu, ar tam pielīdzināmu skaitli, t.i. ar numuru, kas pieder tai pašai klasei.
Otrs elements, kas ir kopīgs visiem dotās klases skaitļiem, ir katra šīs klases un moduļa elementa lielākais kopīgais dalītājs lpp.
Ļaujiet a un b salīdzināms modulo lpp, tad
Teorēma 1. Ja iekšā cirvis+b tā vietā x saliksim visu kārtībā lpp pilnas skaitļu sistēmas dalībnieki
Tāpēc visi skaitļi cirvis+b, kur x=1,2,...lpp-1 nav salīdzināmi modulo lpp(pretējā gadījumā skaitļi 1,2,... lpp-1 būtu salīdzināms modulo lpp.
Piezīmes
1) Šajā rakstā vārds skaitlis nozīmēs veselu skaitli.
Literatūra
- 1. K. Īrija, M. Rozens. Klasisks ievads mūsdienu skaitļu teorijā. - M: Mir, 1987.
- 2. G. Devenports. Augstākā aritmētika.- M: Nauka, 1965.g.
- 3. P.G. Lejeune Dirichlet. Lekcijas par skaitļu teoriju. - Maskava, 1936.
Modulo atlikumu gredzens n apzīmē vai . Tiek apzīmēta tā multiplikatīvā grupa, tāpat kā vispārējā gredzenu apgriežamo elementu grupu gadījumā ∗ × × .
Vienkāršākais gadījums
Lai saprastu grupas struktūru, mēs varam apsvērt īpašu gadījumu, kur ir pirmskaitlis, un to vispārināt. Apsveriet vienkāršāko gadījumu, kad tas ir .
Teorēma: - cikliskā grupa.
Piemērs : Apsveriet grupu
= (1,2,4,5,7,8) Grupas ģenerators ir skaitlis 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Kā redzat, jebkuru grupas elementu var attēlot kā , kur ≤ℓφ . Tas ir, grupa ir cikliska.Vispārējs gadījums
Lai aplūkotu vispārējo gadījumu, ir jādefinē primitīva sakne. Primitīva saknes modulo a pirmskaitlis ir skaitlis, kas kopā ar tā atlikuma klasi rada grupu.
Piemēri: 2 11 ; 8 - primitīva saknes modulo 11 ; 3 nav primitīva modulo sakne 11 .Visa moduļa gadījumā definīcija ir tāda pati.
Grupas struktūru nosaka šāda teorēma: Ja p ir nepāra pirmskaitlis un l ir pozitīvs vesels skaitlis, tad ir primitīvas saknes modulo , tas ir, cikliska grupa.
Piemērs
Samazinātā atlieku sistēma modulo sastāv no atlieku klasēm: . Turklāt attiecībā uz atlikumu klasēm noteikto reizinājumu tās veido grupu un ir savstarpēji apgrieztas (tas ir, ⋅ ) un ir apgriezti paši pret sevi.
Grupas struktūra
Ieraksts nozīmē "n-kārtības cikliskā grupa".
× | φ | λ | Grupu ģenerators | × | φ | λ | Grupu ģenerators | × | φ | λ | Grupu ģenerators | × | φ | λ | Grupu ģenerators | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | C1 | 1 | 1 | 0 | 33 | C2 × C10 | 20 | 10 | 2, 10 | 65 | C4 × C12 | 48 | 12 | 2, 12 | 97 | C96 | 96 | 96 | 5 | |||
2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 66 | C2 × C10 | 20 | 10 | 5, 7 | 98 | C42 | 42 | 42 | 3 | |||
3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 35 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 6 | 67 | C66 | 66 | 66 | 2 | 99 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 5 | |||
4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 36 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 19 | 68 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 67 | 100 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 99 | |||
5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | 69 | C2 × C22 | 44 | 22 | 2, 68 | 101 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | 70 | C2 × C12 | 24 | 12 | 3, 69 | 102 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 101 | |||
7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 39 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 38 | 71 | C70 | 70 | 70 | 7 | 103 | C 102 | 102 | 102 | 5 | |||
8 | C2 × C2 | 4 | 2 | 3, 5 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 3, 11, 39 | 72 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 17, 19 | 104 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 103 | |||
9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | 73 | C72 | 72 | 72 | 5 | 105 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 2, 29, 41 | |||
10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 42 | C2 × C6 | 12 | 6 | 5, 13 | 74 | C 36 | 36 | 36 | 5 | 106 | C 52 | 52 | 52 | 3 | |||
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | 75 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 74 | 107 | C 106 | 106 | 106 | 2 | |||
12 | C2 × C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 44 | C2 × C10 | 20 | 10 | 3, 43 | 76 | C2 × C18 | 36 | 18 | 3, 37 | 108 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 107 | |||
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 45 | C2 × C12 | 24 | 12 | 2, 44 | 77 | C2 × C30 | 60 | 30 | 2, 76 | 109 | C 108 | 108 | 108 | 6 | |||
14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 78 | C2 × C12 | 24 | 12 | 5, 7 | 110 | C2 × C20 | 40 | 20 | 3, 109 | |||
15 | C2 × C4 | 8 | 4 | 2, 14 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | 79 | C78 | 78 | 78 | 3 | 111 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 110 | |||
16 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 15 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 5, 7, 47 | 80 | C2×C4×C4 | 32 | 4 | 3, 7, 79 | 112 | C2×C2×C12 | 48 | 12 | 3, 5, 111 | |||
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | 81 | C 54 | 54 | 54 | 2 | 113 | C 112 | 112 | 112 | 3 | |||
18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | 82 | C40 | 40 | 40 | 7 | 114 | C2 × C18 | 36 | 18 | 5, 37 | |||
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 51 | C2 × C16 | 32 | 16 | 5, 50 | 83 | C82 | 82 | 82 | 2 | 115 | C 2 × C 44 | 88 | 44 | 2, 114 | |||
20 | C2 × C4 | 8 | 4 | 3, 19 | 52 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 51 | 84 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 5, 11, 13 | 116 | C2 × C28 | 56 | 28 | 3, 115 | |||
21 | C2 × C6 | 12 | 6 | 2, 20 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | 85 | C4 × C16 | 64 | 16 | 2, 3 | 117 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 17 | |||
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | 86 | C42 | 42 | 42 | 3 | 118 | C 58 | 58 | 58 | 11 | |||
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 55 | C2 × C20 | 40 | 20 | 2, 21 | 87 | C2 × C28 | 56 | 28 | 2, 86 | 119 | C 2 × C 48 | 96 | 48 | 3, 118 | |||
24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 3, 13, 29 | 88 | C2×C2×C10 | 40 | 10 | 3, 5, 7 | 120 | C2×C2×C2×C4 | 32 | 4 | 7, 11, 19, 29 | |||
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 57 | C2 × C18 | 36 | 18 | 2, 20 | 89 | C 88 | 88 | 88 | 3 | 121 | C 110 | 110 | 110 | 2 | |||
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | 90 | C2 × C12 | 24 | 12 | 7, 11 | 122 | C60 | 60 | 60 | 7 | |||
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | 91 | C6 × C12 | 72 | 12 | 2, 3 | 123 | C2 × C40 | 80 | 40 | 7, 83 | |||
28 | C2 × C6 | 12 | 6 | 3, 13 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 7, 11, 19 | 92 | C2 × C22 | 44 | 22 | 3, 91 | 124 | C2 × C30 | 60 | 30 | 3, 61 | |||
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | 93 | C2 × C30 | 60 | 30 | 11, 61 | 125 | C 100 | 100 | 100 | 2 | |||
30 | C2 × C4 | 8 | 4 | 7, 11 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 94 | C46 | 46 | 46 | 5 | 126 | C6 × C6 | 36 | 6 | 5, 13 | |||
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 63 | C6 × C6 | 36 | 6 | 2, 5 | 95 | C 2 × C 36 | 72 | 36 | 2, 94 | 127 | C 126 | 126 | 126 | 3 | |||
32 | C2 × C8 | 16 | 8 | 3, 31 | 64 | C2 × C16 | 32 | 16 | 3, 63 | 96 | C2×C2×C8 | 32 | 8 | 5, 17, 31 | 128 | C 2 × C 32 | 64 | 32 | 3, 127 |
Pieteikums
Par grūtībām, Farm, Hooley, . Vorings formulēja Vilsona teorēmu, un Lagranžs to pierādīja. Eilers ierosināja, ka pastāv primitīvas saknes, kas ir moduļa pirmskaitlis. Gauss to pierādīja. Artins izvirzīja savu hipotēzi par primāro skaitļu esamību un kvantitatīvo noteikšanu modulo, kuriem dots vesels skaitlis ir primitīva sakne. Brouwer veicināja secīgu veselu skaitļu kopu pastāvēšanas problēmas izpēti, no kurām katra ir kth jauda modulo p. Bīlharcs pierādīja Artina minējuma analogu. Hūlijs pierādīja Artina minējumu ar pieņēmumu, ka paplašinātā Rīmaņa hipotēze ir derīga algebrisko skaitļu laukos.
Piezīmes
Literatūra
- Īrija K., Rozena M. Klasisks ievads mūsdienu skaitļu teorijā. - M.: Mir, 1987.
- Alferovs A.P., Zubovs A.Ju., Kuzmins A.S. Čeremuškins A.V. Kriptogrāfijas pamati. - Maskava: "Helios ARV", 2002.
- Rostovcevs A.G., Makhovenko E.B. Teorētiskā kriptogrāfija. - Sanktpēterburga: NPO "Profesionāls", 2004. gads.
PAMATINFORMĀCIJA NO TEORIJAS
6. 1. 1. definīcija.
Skaitļu klase modulo m ir visu to un tikai to veselo skaitļu kopa, kuriem, dalot ar m, ir vienāds atlikums r, tas ir, salīdzināms modulis m (t Î N, t> 1).
Apzīmējums skaitļu klasei ar atlikumu r: .
Katrs numurs no klases sauc par atlikumu modulo m un pašu klasi sauc par atlikumu klasi modulo m.
6. 2. Moduļu atlieku klašu kopas īpašības t:
1) kopējais modulis t būs t Atlieku klases: Z t = { , , , … , };
2) katra klase satur bezgalīgu veselu skaitļu kopu (atlikumu) šādā formā: = ( a= mq+ r/qÎ Z, 0£ r< m}
3) "aÎ : aº r(mod m);
4) "a, bÎ : aº b(mod m), tas ir, jebkuri divi ņemtie atlikumi no viena klase, salīdzināmi modulo t;
5) "aÎ , " bÎ : a b(mod m), tas ir, nav divu atlieku; paņemts no dažādiem klases nesalīdzināms modulo t.
6. 3. 3. definīcija.
Pilna atlieku sistēma modulo m ir jebkura m skaitļu kopa, kas ņemta viens un tikai viens no katras atlieku klases moduļa m.
Piemērs: ja m= 5, tad (10, 6, - 3, 28, 44) ir pilnīga atlieku sistēma modulo 5 (un ne vienīgā!)
It īpaši,
komplekts (0, 1, 2, 3, … , m–1) ir sistēma mazākais nenegatīvais atskaitījumi;
komplekts (1, 2, 3, … , m –1, t) ir sistēma vismazāk pozitīvs atskaitījumi.
6. 4. Pieraksti to:
ja ( X 1 , X 2 , … , x t) ir pilnīga atlieku sistēma modulo t, tad
.
6. 5. 1. teorēma.
Ja {X 1 , X 2 , … , x t} – pilnīga atlieku sistēma modulo m, "a, bÎ Z un(a, t) = 1, – tad skaitļu sistēma {Ak 1 +b, Ak 2 + b, … , ak t+b} veido arī pilnīgu atlieku sistēmu modulo m .
6. 6. 2. teorēma.
Visiem vienas un tās pašas klases atlikumiem modulo m ir viens un tas pats lielākais kopīgais dalītājs ar m: "a, bÎ Þ ( a; t) = (b; t).
6. 7. 4. definīcija.
Atlieku klase modulo m sauc par koprime ar modulo m,ja vismaz viens šīs klases atlikums ir kopsavilkums ar t.i.
Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā saskaņā ar 2. teorēmu visišīs klases skaitļi būs vienādi ar moduli t.
6. 8. 5. definīcija.
Samazināta atlieku sistēma modulo m ir atlieku sistēma, kas ņemta tikai viens no katras klases koprime uz m.
6. 9. Pieraksti to:
1) reducēta atlieku sistēma modulo t satur j( t) cipari ( X 1 , X 2 ,…, };
2) :
.
3) "x i : (x i, m) = 1;
Piemērs : Ļaujiet modulo t= 10 ir 10 atlieku klases:
Z 10 = ( , , , , , , , , , ) ir atlieku klašu kopa modulo 10. Pilnīga atskaitījumu sistēma mod 10 būtu, piemēram, šis: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Daudzas atlieku klases, koprime ar moduli m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).
Samazināta atskaitījumu sistēma modulo 10 būtu, piemēram,
(1, 3, 7, 9) vai (11, 43, – 5, 17), vai ( – 9, 13, – 5, 77) utt. (visur j(10) = 4 cipari).
6.10. Praktiski: veidot vienu no iespējamām reducēto atlieku sistēmām mod m, no pilnīgas atlieku sistēmas mod m ir jāizvēlas tie atlikumi, kas ir vienādi ar m. Šādi skaitļi būs j( t).
6.11. 3. teorēma.
Ja{X 1 , X 2 ,…, } – samazināta atlieku sistēma modulo m un
(a, m) = 1, – tad skaitļu sistēma {Ak 1 , Ak 2 , … , cirvis j (t)} arī formas
samazināta atlieku sistēma modulo m .
6.12. 6. definīcija.
summa( Å ) atskaitīšanas klases un +b vienāda ar jebkuru divu atskaitījumu summu, kas ņemta no katras dotās klases un : Å = , kur"aÎ , "bÎ .
6.13. 7. definīcija.
strādāt( Ä ) atskaitīšanas klases un modulo m sauc par atlikuma klasi , tas ir, atlikumu klase, kas sastāv no skaitļiem a ´ b vienāds ar jebkuru divu atlieku reizinājumu, kas ņemts pa vienam no katras dotās klases un : Ä = , kur"aÎ , "bÎ .
Tādējādi atlieku klašu komplektā modulo t: Z t= ( , , ,…, ) ir definētas divas algebriskas darbības – "saskaitīšana" un "reizināšana".
6.14. 4. teorēma.
Atlikumu klašu kopa Z t modulo t ir asociatīvi komutatīvais gredzens ar vienību:
< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – gredzens.
TIPISKI UZDEVUMI
1. Modulo t= 9:
1) pilnīga vismazāk pozitīvo atliekvielu sistēma;
2) pilnīga vismaz nenegatīvo atliekvielu sistēma;
3) patvaļīga pilna atskaitījumu sistēma;
4) pilnīga vismazāko absolūto atskaitījumu sistēma.
Atbilde:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
2. Sastādīt reducēto atlieku sistēmu modulo t= 12.
Risinājums.
1) Izveidojiet pilnīgu vismazāk pozitīvo atlieku sistēmu modulo t= 12:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (kopā t= 12 cipari).
2) Mēs izdzēšam no šīs sistēmas skaitļus, kas nav pirmskaitļi ar skaitli 12:
{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.
3) Atlikušie skaitļi, kopā ar skaitli 12, veido vēlamo samazināto atlikumu sistēmu modulo t= 12 (kopā j( t) = j(12) = 4 skaitļi).
Atbilde:(1, 5, 7, 11) - reducēta atlieku sistēma modulo t= 12.
130. Izveidojiet 1) pilnīgu vismazāk pozitīvo atliekvielu sistēmu; 2) pilnīga vismaz nenegatīvo atliekvielu sistēma; 3) patvaļīga atskaitījumu sistēma; 4) pilnīga mazāko absolūto atskaitījumu sistēma; 5) reducētā atlieku sistēma: a) modulo m= 6; b) modulo m = 8.
131. Vai komplekts (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) ir pilnīga atlieku sistēma modulo 8?
132 Pēc kāda moduļa kopa (20, - 4, 22, 18, - 1) ir pilnīga atlieku sistēma?
133. Padarīt reducēto atlieku sistēmu par moduli m ja) m= 9; b) m= 24; iekšā) m= 7. Cik skaitļu jāsatur šādā sistēmā?
134. Formulē atlieku pilnās sistēmas un reducētās atlieku sistēmas galvenās īpašības modulo m .
135. Kādi elementi atšķir reducētās un pilnīgās vismazāk nenegatīvo atlikumu sistēmas modulo prime?
136. Kādā stāvoklī ir skaitļi a un - a pieder tai pašai modulo atlieku klasei m?
137. Kurām atlieku klasēm modulo 8 pieder visi pirmskaitļi? R³ 3?
138. Vai skaitļu kopa (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) veido pilnīgu atlieku sistēmu modulo 11?
139. Cik atlieku klases 21. modulis pieder pie visiem atliekām no vienas atlieku klases moduļa 7?
140. Veselu skaitļu kopa Z sadalīt pa atlieku klasēm modulo 5. Izveidotajā atlieku klašu komplektā izveido saskaitīšanas un reizināšanas tabulas Z 5 . Vai komplekts Z 5: a) grupa ar klases pievienošanas operāciju? b) grupa ar klases reizināšanas operāciju?
§ 7. Eilera teorēma. FERMATA MAZĀ TEORĒMA
PAMATINFORMĀCIJA NO TEORIJAS
7. 1. 1. teorēma.
JaÎ Z,tÎ N, t>1 un(a;t) = 1, – tad bezgalīgā pakāpju secībā a 1 , a 2 , a 3 , ... , a s , … , a t,… ir vismaz divas pakāpes ar eksponentiem s un t(s<t) tāds, ka . (*)
7. 2. komentēt. Apzīmējot t– s = k> 0, no (*) mēs iegūstam: . Paaugstinot abas šī salīdzinājuma puses par spēku nÎ N, mēs iegūstam:
(**). Tas nozīmē, ka spēku ir bezgalīgi daudz a, kas apmierina salīdzinājumu (**). Bet kā atrast šos rādītājus? Kas vismazāk rādītājs, kas apmierina salīdzinājumu (**) ? Atbild uz pirmo jautājumu Eilera teorēma(1707 – 1783).
7. 3. Eilera teorēma.
JaÎ Z,tÎ N, t>1 un(a;t) = 1, - tad . (13)
Piemērs.
Ļaujiet a = 2,t = 21, (a; t) = (2; 21) = 1. Tad . Tā kā j (21) = 12, tad 2 12 º 1 (mod. 21). Patiešām: 2 12 = 4096 un (4096 - 1) 21. Tad ir skaidrs, ka 2 24 º 1 (mod 21), 2 36 º 1 (mod 21) un tā tālāk. Bet vai 12 eksponents - vismazāk apmierinošs salīdzinājums 2 nº 1 (mod. 21) ? Izrādās, ka nē. Zemākais rādītājs būs P= 6: 2 6 º 1 (mod. 21), jo 2 6 – 1 = 63 un 63 21. Ņemiet vērā, ka vismazāk indekss, kas jāmeklē tikai starp skaitļa dalītājiem j( t) (šajā piemērā starp skaitļa j(21) = 12 dalītājiem).
7. 4. Fermā mazā teorēma (1601 - 1665).
Jebkuram pirmskaitļam p un jebkuram skaitlim aÎ Z, nedalās ar p, ir salīdzinājums . (14)
Piemērs.
Ļaujiet a = 3,R= 5, kur 3 nav 5. Tad vai
.
7. 5. Fermā teorēmas vispārinājums.
Jebkuram pirmskaitlim p un patvaļīgam skaitlim aÎ Z tiek salīdzināts (15)
TIPISKI UZDEVUMI
1. Pierādiet, ka 38 73 º 3 (mod. 35).
Risinājums.
1) Tā kā (38; 35) = 1, tad pēc Eilera teorēmas ; j(35) = 24, tātad
(1).
2) No salīdzinājuma (1) pēc 2. secinājuma, skaitlisko salīdzinājumu īpašības 5 0, mēs iegūstam:
2 35), kas bija jāpierāda.
2. Ņemot vērā: a = 4, t= 15. Atrodiet mazāko eksponentu k, kas apmierina salīdzinājumu (*)
Risinājums.
1) kopš ( a; m) = (4; 25) = 1, tad pēc Eilera teorēmas , j(25) = 20, tātad
.
2) Vai atrastais eksponents - skaitlis 20 - vismazāk naturāls skaitlis, kas apmierina salīdzinājumu (*)? Ja eksponents ir mazāks par 20, tad tam jābūt dalītājam ar 20. Tātad nepieciešamais minimālais eksponents k jums ir jāmeklē starp daudziem skaitļiem n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) — 20 dalītāji.
3) Kad P = 1: ;
plkst P = 2: ;
plkst P= 3: (nav nepieciešams apsvērt);
plkst P = 4: ;
plkst P = 5: ;
plkst P= 6, 7, 8, 9: (nav nepieciešams apsvērt);
plkst P = 10: .
Tātad, vismazāk eksponents k, apmierinošs salīdzinājums(*), ir k= 10.
Atbilde: .
VINGRINĀJUMI PATSTĀVĪGAM DARBAM
141. Pēc Eilera teorēmas . Plkst a = 3, t= 6 mums ir:
.
Tā kā j(6) = 2, tad 3 2 º1 (mod 6) vai 9º1 (mod 6), tad pēc lemmas (9 – 1) 6 vai 8 6 (pilnīgi!?). Kur ir kļūda?
142. Pierādīt, ka: a) 23 100 º1 (mod 101); b) 81 40 º 1 (mod100); c) 2 73 º2 (73. mod.).
143. Pierādiet, ka a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod. 10);
b) 5 4 P + 1 + 7 4P+ 1 dalās ar 12 bez atlikuma.
144. Pierādīt Eilera teorēmai apgrieztu teorēmu: ja a j ( m) º 1 (mod m), tad ( a, m) =1.
145. Atrast mazāko eksponentu kÎ N, apmierina šo salīdzinājumu: a) ; b)
; iekšā)
; G)
;
e) ; e)
; un)
; h)
.
un) ; uz)
; l)
; m)
.
146. Atrodiet dalījuma atlikumu:
a) 7100 par 11; b) 9900 par 5; c) 5176 reizes 7; d) 2 1999 ar 5; e) 8 377 par 5;
f) 26 57 x 35; g) 35 359 par 22; h) 5718 par 103; i) no 27 260 līdz 40; j) 1998. gada 25., 62. lpp.
147*. Pierādiet to a 561 º a(mod. 11).
148*. Ja naturāla skaitļa kanoniskā dekompozīcija P nesatur faktorus 2 un 5, tad šī skaitļa 12. pakāpe beidzas ar 1. Pierādīt.
149*. Pierādiet, ka 2 64 º 16 (mod. 360).
150*. Pierādīt: ja ( a, 65) =1 , (b, 65) =1, tad a 12 –b 12 vienmērīgi dalās ar 65.
3. nodaļa. ARITMĒTIKAS PIELIETOJUMS
SKAITĻU SALĪDZINĀJUMU TEORIJAS
§ 8. SISTĒMĀTISKIE NUMURI
PAMATINFORMĀCIJA NO TEORIJAS
1. VESELS SKAITS SISTĒMĀTISKIE SKAITĻI
8. 1. 1. definīcija.
Ciparu sistēma ir jebkurš skaitļu rakstīšanas veids. Zīmes, ar kurām rakstīti šie skaitļi, sauc par cipariem.
8. 2. 2. definīcija.
Vesels skaitlis, kas nav negatīvs sistemātisks skaitlis, kas ierakstīts t-ārajā pozicionālo skaitļu sistēmā, ir skaitlis n formā
,kur a i(i = 0,1, 2,…, k) – veseli skaitļi nenegatīvi skaitļi - cipari, un 0 £ a i £ t– 1, t ir skaitļu sistēmas bāze, tÎ N, t > 1.
Piemēram, skaitļa apzīmējums 7-kārtu sistēmā ir šāds: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. Šeit a i- tie ir 5, 6, 0, 3 - skaitļi; tie visi atbilst nosacījumam: 0 £ a i£ 6. Kad t=10 saka: skaitlis n ierakstīts decimālo skaitļu sistēma, un indekss t= 10 neraksti.
8. 3. 1. teorēma.
Jebkuru nenegatīvu veselu skaitli unikālā veidā var attēlot kā sistemātisku skaitli jebkurā bāzē t, kur tÎ N, t > 1.
Piemērs:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …
8. 4. Pieraksti to:
1) piešķiršana sistemātiskajam nulles skaitam kreisajā pusē nemaināsšis numurs:
(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .
2) attiecināšana uz sistemātisku numuru s nulles labajā pusē ir līdzvērtīgas reizināšanašis numurs paredzēts t s: (3 4) 5 = 3 × 5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3 × 5 3 + 4 × 5 2 + 0 × 5 1 + 0 = 5 2 × (3 × 5 1 + 4).
8. 5. Algoritms ierakstīta skaitļa konvertēšanait -āra sistēma, līdz decimālzīmei:
Piemērs: (287) 12 = 2 × 12 2 + 8 × 12 1 + 7 × 12 0 = 2 × 144 + 8 × 12 + 7 = 288 + 96 + 7 = (391) 10 .
8. 6. Algoritms decimālskaitļa skaitļa konvertēšanai sistēma, iekšāt - personīgi:
Piemērs: (3 9 1) 10 = (X) 12 . Atrast X.
8. 7. Darbības ar sistemātiskiem skaitļiem
2. SISTĒMĀTISKĀS DAĻAS
8. 8. 3. definīcija.
Galīga t veida sistemātiska daļa skaitļu sistēmā ar bāzi t ir formas skaitlis
kur c 0 Î Z, ar i - cipariem– veseli skaitļi, kas nav negatīvi, un 0 £ ar i£ t– 1, tÎ N, t > 1, kÎ N .
Apzīmējums: a = ( c 0 , Ar 1 Ar 2 …ar k)t. Plkst t= 10 tiek izsaukta daļa decimālzīme.
8. 9. Sekas 1.
Katra ierobežota sistemātiska daļa ir racionāls skaitlis, ko var attēlot kā , kurÎ Z,bÎ N.
Piemērs.
a = (3 1, 2 4) 6 = 3 × 6 + 1 + =19 + ir racionāls skaitlis. Pretējais apgalvojums kopumā nav patiess. Piemēram, daļskaitli nevar pārvērst par galīgu sistemātisku (decimālu) daļu.
8.10. 4. definīcija.
Bezgalīga t veida pozitīva sistemātiska daļa skaitļu sistēmā ar bāzi t ir formas skaitlis
, kur no 0Î N, ar i(i =1, 2, …, uz, …) - cipari– veseli skaitļi, kas nav negatīvi, un 0 £ ar i£ t–1, tÎ N, t > 1, kÎ N.
Apzīmējums: a = ( Ar 0 , Ar 1 Ar 2 … ar k…) t. Plkst t=10 tiek izsaukta daļa decimālzīme.
8.11. 5. definīcija.
Ir trīs veidu bezgalīgas sistemātiskas frakcijas:
I a = ( Ar 0 , )t= =
t, kur =
= = … Šajā gadījumā numurs a sauc par bezgalīgu tīri periodisku daļu,(Ar 1 Ar 2 … ar k) – periodā, k - ciparu skaits periodā - perioda garums.
II a = .
Šajā gadījumā skaitlis a sauc par bezgalīgu jauktu periodisko daļu, – pirmsperiods, () – periodā, k - ciparu skaits periodā - perioda garums, l - ciparu skaits starp veselo skaitļa daļu un pirmo periodu - pirmsperioda garums.
III a = ( Ar 0 , Ar 1 Ar 2 … ar k …)t . Šajā gadījumā numurs a sauc par bezgalīgu neperiodisku daļu.
TIPISKI UZDEVUMI
1. Skaitlis ( a) 5 = (2 1 4 3) 5 , kas dots 5-āru sistēmā, pārvērš 7-kārtu sistēmā, tas ir, atrodiet X, ja (2 1 4 3) 5 = ( X) 7 .
Risinājums.
1) Pārvērtiet doto skaitli (2 1 4 3) 5 par skaitli ( plkst) 10 rakstīts decimālajā sistēmā:
2. Izpildiet tālāk norādītās darbības.
1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .
Risinājums.
1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1 × 8 + 4 = (1 4) 8 ;
2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4 × 8 + 3 = (4 3) 8 ;
3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6 | Piezīme: | 4+5 = 9 = 1×6+3, rakstīts 3, 1 pāriet uz nākamo ciparu, 6+3+1=10 =1×6+4, rakstīts 4, 1 pāriet uz nākamo ciparu, 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2, tiek uzrakstīts 2, 1 pāriet uz nākamo ciparu. |
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7 | Piezīme: | "ieņem" augstākā līmeņa vienību, t.i., "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5, (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5, |
5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5 | Piezīme: | Reizinot ar 2: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1, mēs rakstām 1, 1 pāriet uz nākamo ciparu, 2 × 2 +1 = 5 = 1 × 5 +0, mēs rakstām 0, 1 iet uz nākamais cipars, 2 × 4 +1=9 = 1×5 +4, raksta 4, 1 pāriet uz nākamo ciparu, reizinot ar 3: 3 × 3 = 9 = 1×5 + 4, raksta 4, 1 pāriet uz nākamo ciparu, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, rakstīts 2, 1 pāriet uz nākamo ciparu, 3×4 +1=13=2×5 +3, rakstīts 3, 2 pāriet uz nākamo ciparu. |
6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5
2 3 2 4 (3 2) 5
1 4 0 1 Atbilde: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;
(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .
VINGRINĀJUMI PATSTĀVĪGAM DARBAM
151. Skaitļi, kas doti t-āra sistēma, konvertēt uz decimālo sistēmu:
a) (2 3 5) 7; b) (2 4 3 1) 5 ; c) (1 0 0 1 0 1) 2 ; d) (1 3 ) 15 ;
e) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; h) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;
i) (7 6 2) 8 ; j) (1 1 1 1) 20 .
152. Skaitļi. dots decimālajā sistēmā, konvertēt uz t-ic sistēma. Veikt pārbaudi.
a) (1 3 2) 10 = ( X) 7 ; b) (2 9 8) 10 = ( X) 5 ; c) (3 7) 10 = ( X) 2 ; d) (3 2 4 5) 10 = ( X) 6 ;
e) (4 4 4 4) 10 = ( X) 3 ; f) (5 6 3) 10 = ( X) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( X) astoņi ; h) (6 0 0) 10 = ( X) 2 ;
i)(1 0 0 1 5) 10 =( X) divdesmit; j) (9 2 5) 10 = ( X) astoņi ; k) (6 3 3) 10 = ( X) piecpadsmit ; m) (1 4 3) 10 = ( X) 2 .
153. Skaitļi, kas doti t-ary sistēma, tulkot šādā valodā q-ic sistēma (izlaižot decimāldaļu sistēmu).
a) (3 7) 8 = ( X) 3 ; b) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( X) 5 ; c) ( 6 2) 11 = ( X) 4 ;
d) (4 ) 12 = ( X) 9 . e) (3 3 1 3 1) 5 = ( X) 12 .
154. a) Kā mainīsies skaitlis (1 2 3) 5, ja tam labajā pusē pievieno nulli?
b) Kā mainīsies skaitlis (5 7 6) 8, ja tam labajā pusē pievieno divas nulles?
155. Veiciet šīs darbības:
a) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; b) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; c) (1 0 1 1 0 1) 2 + (1 1 0 1 10) 2 ;
d) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; e) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;
g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; h) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;
j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;
m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;
p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; c) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2
y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .
v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Tad:
I Ja saucējs b = b"(satur tikai "2" un/vai "5") - tad daļa tiek pārvērsta par galīgais decimāldaļdaļa. Cipari aiz komata ir vienāds ar mazāko naturālo skaitli l lº 0( mod b").
II Ja saucējs b = b 1(nesatur "2" un "5"), tad daļa tiek pārvērsta par bezgalīga tīri periodiska ir vienāds ar mazāko naturālo skaitli k, apmierinošs salīdzinājums 10 kº 1( mod b 1).
III Ja saucējs b = b"× b 1 (satur "2" un/vai "5", kā arī citus galvenos faktorus), tad daļa tiek pārveidota par bezgalīga jaukta periodiska desmit-
atzīmējošā daļa.
Perioda garums ir vienāds ar mazāko naturālo skaitli k, apmierinošs salīdzinājums 10 kº 1( mod b 1).
Priekšperioda garums ir vienāds ar mazāko naturālo skaitli l, apmierinošs salīdzinājums 10 lº 0( mod b").
9. 2. Secinājumi.
9. 3. Pieraksti to:
racionālais skaitlis ir jebkura galīga decimāldaļdaļa vai bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa;
Iracionāls skaitlis ir jebkura bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa.
TIPISKI UZDEVUMI
1. Šīs parastās daļskaitļi, kas rakstīti decimāldaļās, tiek konvertēti uz
decimālzīme, iepriekš nosakot vēlamās daļas veidu (galīgs vai bezgalīgs; periodisks vai neperiodisks; ja - periodisks, tad tīri periodisks vai jaukts periodisks); pēdējos gadījumos iepriekš atrast numuru k– perioda garums un numurs l ir pirmsperioda ilgums. viens); 2) ; 3).
Risinājums.
1) Daļa = saucējs - skaitlis b= 80 = 2 4 × 5 satur tikai "2" un "5". Tāpēc šī daļa tiek pārvērsta par galīgais decimāldaļdaļa. Ciparu skaits aiz komata l vārds nosaka no nosacījuma: 10 lº0 (mod80):
2) Daļa = saucējs - skaitlis b= 27 = 3 3 nesatur "2" un "5". Tāpēc šī daļa tiek pārvērsta bezgalīgā tīri periodiski decimāldaļdaļa. Perioda garums k nosaukums nosaka no nosacījuma: 10 kº1 (mod27):
3) Daļa = saucējs - skaitlis b= 24 = 2 3 × 3, tas ir, tas izskatās šādi: b = b"× b 1 (izņemot "2" vai "5" satur citus faktorus, šajā gadījumā skaitli 3). Tāpēc šī daļa tiek pārvērsta bezgalīgā jaukta periodiska decimāldaļdaļa. Perioda garums k nosaukums nosaka no nosacījuma: 10 kº1(mod3), no kurienes k nosaukums= 1, tas ir, perioda ilgums k= 1. Pirmsperioda garums l vārds nosaka no nosacījuma: 10 lº0 (mod8), no kurienes l vārds= 3, tas ir, pirmsperioda garums l = 3.
Pārbaudiet: sadaliet "stūri" 5 ar 24 un iegūstiet: = 0, 208 (3).
Atbilde: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).
VINGRINĀJUMI PATSTĀVĪGAM DARBAM
156. Šīs parastās daļskaitļi, kas rakstīti decimālajā sistēmā, pārvēršas decimāldaļdaļās. Ja decimāldaļa ir periodiska, tad iepriekš atrast numuru k- perioda garums un numurs l- pirmsperioda ilgums.
157. Šīs parastās daļskaitļi, kas rakstīti decimālajā sistēmā, pārvēršas par t-āras sistemātiskas frakcijas. Atrodiet skaitļus k- perioda ilgums un l- pirmsperioda ilgums.
158*. Kādā skaitļu sistēmā skaitlis (4 6) 10 ir ierakstīts tajos pašos skaitļos, bet iekšā
apgrieztā secībā?
159*. Kura ir lielāka: 8. cipara vienība binārajā sistēmā vai 4. cipara vienība oktālajā sistēmā?
§ 10. PASKĀLA TEORĒMA. DALĀMĪBAS ZĪMES
PAMATINFORMĀCIJA NO TEORIJAS
10. 1. Paskāla teorēma (1623 – 1662).
Ir doti naturālie skaitļi: t > 1un n, rakstīts t-ārajā sistēmā:
,kur a i ir skaitļi: a iÎ N, 0 £ a i £ t–1 (i = 0,1, 2,…, k), tÎ N, t > 1.
Ļaujiet n= (a k a k - 1 … a 1 a 0) 10 = a k×10 k +a k - 1×10 k- 1 +…+a 1×10+ a 0 , m=3 un m = 9.
1) Atrast b i: modulom = 3 moduļim = 9
10 0 º1(mod3), t.i. b 0 =1, 10 0 º1 (mod9), t.i. b 0 =1,
10 1 º1(mod3), t.i. b 1 = 1, 10 1 º1 (mod9), t.i. b 1 =1,
10 2 º1(mod3), t.i. b 2 =1, 10 2 º1 (mod9), t.i. b
Pilnīga norēķinu sistēma. Dotā atskaitījumu sistēma. Visizplatītākās atskaitīšanas sistēmas ir: vismazāk pozitīvas, vismazāk nenegatīvas, absolūti vismazākās utt.
1. teorēma. Pilnīgas un reducētas atlieku sistēmas īpašības.
1° Pilnīgas atskaitījumu sistēmas kritēriji. Jebkura kombinācija no m veseli skaitļi, kas ir pa pāriem nesalīdzināmi modulo m, veido pilnīgu atlieku sistēmu modulo m.
2°. Ja cipari x 1 , x 2 , ..., x m– pilnīga atlieku sistēma modulo m, (a, m) = 1, b ir patvaļīgs vesels skaitlis, tad skaitļi cirvis 1 +b, cirvis 2 +b, ..., cirvis m+b veido arī pilnīgu atlieku sistēmu modulo m.
3°. Samazinātas samazināšanas sistēmas kritērijs. Jebkura kolekcija, kas sastāv no j( m) veseli skaitļi, kas ir pa pāriem nesalīdzināmi moduļi m un kopā ar moduli veido reducētu atlikumu sistēmu modulo m.
4°. Ja cipari x 1 , x 2 , ..., x j ( m) ir reducētā atlieku sistēma modulo m, (a, m) = 1, tad skaitļi cirvis 1 , cirvis 2 , ..., a x j ( m) veido arī samazināto atlieku sistēmu modulo m.
2. teorēma. Eilera teorēma.
Ja cipari a un m koprime, tad a j ( m) º 1 (mod m).
Sekas.
1°. Fermā teorēma. Ja lpp ir pirmskaitlis un a nav dalāms ar lpp, tad a p–1 º 1 (mod lpp).
2°. Vispārinātā Fermā teorēma. Ja lpp tad ir pirmskaitlis a p º a(mod lpp) jebkuram aÎ Z .
§ ceturtais. Salīdzinājumu risināšana ar mainīgo
Salīdzināšanas lēmums. Ekvivalence. Salīdzināšanas pakāpe.
Teorēma. Kongruenci atrisinājumu īpašības.
1° Kongruenču risinājumi ir veselas atlieku klases.
2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= salīdzinājuma z º 0 (mod m) un º 0 (mod m) ir līdzvērtīgi.
3°. Ja abas salīdzinājuma daļas reizina ar skaitļa koprēķinu ar moduli, tad tiek iegūts salīdzinājums, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.
4°. Jebkurš salīdzinājums modulo a prime lpp ir līdzvērtīgs salīdzinājumam, kura pakāpe nepārsniedz lpp–1.
5°. Salīdzinājums º 0 (mod lpp), kur lpp ir pirmskaitlis, ir ne vairāk kā n dažādi risinājumi.
6°. Vilsona teorēma. ( n- viens)! º –1 (mod n) Û n Pirmskaitlis.
5. §. Pirmās pakāpes salīdzinājumu risināšana
cirvis º b(mod m).
Teorēma. 1°. Ja ( a, m) = 1, tad salīdzinājumam ir risinājums, un tas ir unikāls.
2°. Ja ( a, m) = d un b nav dalāms ar d, tad salīdzinājumam nav risinājumu.
3°. Ja ( a, m) = d un b dalīts ar d, tad salīdzinājums ir d dažādi risinājumi, kas veido vienu modulo atlikumu klasi.
Salīdzinājumu risināšanas veidi cirvis º b(mod m) kad ( a, m) = 1:
1) atlase (pilnas atskaitījumu sistēmas elementu uzskaitījums);
2) Eilera teorēmas izmantošana;
3) Eiklida algoritma izmantošana;
4) koeficientu variācija (izmantojot 2.2. teorēmas pilnās atlieku sistēmas īpašību 2°);
§6. Pirmās pakāpes nenoteiktie vienādojumi
cirvis+autors = c.
Teorēma. Vienādojums cirvis+autors = c atrisināms tad un tikai tad c (a, b).
Kad ( a, b) = 1 visi vienādojuma atrisinājumi ir doti ar formulām
tÎ Z , kur x 0 ir kāds salīdzināšanas risinājums
cirvis º c(mod b), y 0 = .
Diofantīna vienādojumi.
10. NODAĻA. Kompleksie skaitļi
Komplekso skaitļu sistēmas definīcija. Komplekso skaitļu sistēmas esamība
Komplekso skaitļu sistēmas definīcija.
Teorēma. Pastāv komplekso skaitļu sistēma.
Modelis: R 2 ar operācijām
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, bc+reklāma),
i= (0, 1) un identifikācija a = (a, 0).
Kompleksa skaitļa algebriskā forma
Kompleksa skaitļa attēlojums formā z = a+bi, kur a, bÎ R , i 2 = -1. Šādas reprezentācijas unikalitāte. Re z, ES esmu z.
Noteikumi aritmētisko darbību veikšanai ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā.
Aritmētika n-dimensiju vektoru telpa C n. Lineāro vienādojumu sistēmas, matricas un determinanti C .
Kvadrātsakņu iegūšana no kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā.
daļa no pilnīgas atlieku sistēmas (sk. Pilna atlieku sistēma), kas sastāv no skaitļiem kopsākumā ar moduli m. P. s. iekšā. satur φ( m) skaitļi [φ( m) ir skaitļu skaits, kas sakrīt ar m un mazāks m]. Jebkurš φ( m) skaitļi, kas nav salīdzināmi modulo m un koprēķins ar to, forma P. s. iekšā. šim modulim.
- - skatīt Samazinātā masa...
Fiziskā enciklopēdija
- - nosacīts raksturlielums masu sadalījumam kustīgā mehānikā. vai jaukta sistēma atkarībā no fiziskās. sistēmas parametri un no tās kustības likuma...
Fiziskā enciklopēdija
- - modulo m - jebkura veselu skaitļu kopa, kas ir nesalīdzināma modulo one. Parasti kā P. ar. iekšā. modulo mazākie nenegatīvie atlikumi 0, 1, . . ...
Matemātiskā enciklopēdija
- - daudzdzīvokļu ēkas izmantojamās platības summa, kā arī lodžiju, verandu, balkonu platības ar atbilstošiem samazinājuma koeficientiem - ir norādīta kopējā platība - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - hörvüulsen ...
Būvniecības vārdnīca
- - Skatiet iežu porainības koeficientu ...
- - iežu poru tilpuma attiecība pret iežu skeleta tilpumu, ko parasti izsaka vienības daļās ...
Hidroģeoloģijas un inženierģeoloģijas vārdnīca
- - skatīt porainības koeficientu...
Augsnes zinātnes skaidrojošā vārdnīca
- - tāda pati kā pamata daļa...
- - masu sadalījuma nosacīts raksturs kustīgu ķermeņu sistēmā, kas ieviests mehānikā, lai vienkāršotu sistēmas kustības vienādojumus ...
Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca
- - Nodoklis, ko iekasē avota vietā par dividendēm vai citiem ienākumiem, ko saņem valsts nerezidents...
Finanšu leksika
- - Nodoklis, ko iekasē avota vietā par dividendēm vai citiem ienākumiem, ko saņem valsts nerezidents...
Uzņēmējdarbības terminu vārdnīca
- - modulo m, jebkura veselu skaitļu kolekcija, kas satur vienu skaitli no katras skaitļu klases modulo m. Kā P. ar. iekšā. visbiežāk izmantotā vismazāk pozitīvo atlieku sistēma 0, 1, 2,......
- - nosacīts masu sadalījuma raksturlielums kustīgā mehāniskā vai jauktā sistēmā atkarībā no sistēmas fizikālajiem parametriem un tās kustības likuma ...
Lielā padomju enciklopēdija
- - SAMAZINĀTA masa - nosacīts raksturlielums masu sadalījumam kustīgā mehāniskā vai jauktā sistēmā atkarībā no sistēmas fizikālajiem parametriem un tās kustības likuma ...
Lielā enciklopēdiskā vārdnīca
- - vispārīgi, visi, kumulatīvi, ...
Sinonīmu vārdnīca
- - adj., sinonīmu skaits: 1 tīrs ...
Sinonīmu vārdnīca
"Samazināta atskaitījumu sistēma" grāmatās
Kāda ir pamatkompetenču pašreizējā vērtība?
No grāmatas Bezsvara bagātība. Nosakiet sava uzņēmuma vērtību nemateriālo aktīvu ekonomikā autors Thyssen ReneKāda ir pamatkompetenču pašreizējā vērtība? Pamatojoties uz iepriekš minēto, varam teikt, ka pamatkompetences pašreizējo vērtību aprēķina, reizinot visus rādītājus uz noteiktu laiku, ņemot vērā piesaistes izmaksas.
Pašreizējā neto vērtība (NPV)
No MBA grāmatas 10 dienās. Nozīmīgākā pasaules vadošo biznesa skolu programma autors Silbigers StīvensNeto pašreizējā vērtība (NPV) Pašreizējās vērtības (NPV) analīze palīdz aprēķināt, cik daudz darbiniekam jāiegulda, lai pēc 30 gadiem saņemtu pienācīgu pensiju, taču šī analīze nav noderīga pašreizējo investīciju un projektu novērtēšanā. Investīcijas ir jānovērtē
ZIŅU GRĀMATVEDĪBA UN ATSKAITĪJUMI NO ALGAS
No grāmatas Grāmatvedība autors Meļņikovs IļjaDETAĻU ATZĪŠANA UN ATLĪDZINĀJUMI NO ALGAS Saskaņā ar likumdošanu no darbinieku darba samaksas tiek veikti šādi atskaitījumi: - ienākuma nodoklis (valsts nodoklis, nodokļa objekts - darba alga);
10.6. Ieturējumu un ieturējumu no darba algas uzskaite
No grāmatas Grāmatvedība lauksaimniecībā autors Bičkova Svetlana Mihailovna10.6. Ieturējumu un ieturējumu no darba algas uzskaite No uzņēmuma darbinieku darba samaksas tiek veikti atsevišķi atskaitījumi, kurus iedala šādi: obligātie atskaitījumi (iedzīvotāju ienākuma nodoklis, izpildu rīkojumu atskaitījumi);
No grāmatas Nemateriālie aktīvi: grāmatvedība un nodokļu uzskaite autors Zaharjins V R<...>
4.1. Sociālā nodokļa atlaižu piešķiršanas vispārīgie jautājumi
autors Makurova Tatjana4.1. Sociālā nodokļa atskaitījumu nodrošināšanas vispārīgie jautājumi Sociālā nodokļa atlaides (NOD 219. pants), kā arī īpašuma atskaitījums par mājokļa iegādi nozīmē ar nodokli apliekamās bāzes samazinājumu par veikto sociālo izdevumu summu, ņemot vērā 2008. gada 1. jūlija nodokļus. tiesību aktiem
4.3. Izglītības atskaitījumu nodrošināšanas iezīmes
No grāmatas Pašapmācība par iedzīvotāju ienākuma nodokļiem autors Makurova Tatjana4.3. Izglītības ieturējumu piešķiršanas īpatnības 142) Kādus izdevumus var pieņemt kā atskaitījumu par izglītību? Kādi ir izglītības atskaitījumu limiti?Sociālā nodokļa atskaitei par izglītību tiek pieņemti: izdevumi nodokļu maksātāja apmaksātajā apmērā g.
3.4. Nodokļu atskaitījumu kvantitatīvā noteikšana un biežums un piemērošana
No grāmatas Uzņēmuma nodokļu slogs: analīze, aprēķins, vadība autors Čipurenko Jeļena Viktorovna3.4. Nodokļu atskaitījumu kvantitatīva noteikšana un biežums un piemērošana 3.4.1. PVN kā potenciālā nodokļa atlaide Aprēķinot PVN, nodokļa atskaitījumu summas tiek noteiktas tikai saskaņā ar nodokļu uzskaites reģistru - pirkumu grāmatiņu - datiem. Plkst
Pilnīga atskaitījumu sistēma
No autora grāmatas Lielā padomju enciklopēdija (PO). TSBSamazināta masa
TSBSamazināta atskaitījumu sistēma
No autora grāmatas Lielā padomju enciklopēdija (PR). TSB88. Vienlaicīgu vienādojumu sistēmas strukturālās un reducētās formas. Modeļa identifikācija
No grāmatas Atbildes uz eksāmenu biļetēm ekonometrikā autors Jakovļeva Angelina Vitāljevna88. Vienlaicīgu vienādojumu sistēmas strukturālās un reducētās formas. Modeļa identifikācija Strukturālie vienādojumi ir vienādojumi, kas veido sākotnējo vienlaicīgo vienādojumu sistēmu. Šajā gadījumā sistēmai ir strukturāla forma.Strukturālā forma
No grāmatas Jaunums nodokļu kodeksā: komentārs par izmaiņām, kas stājās spēkā 2008. gadā autors Zrelovs Aleksandrs Pavlovičs172. pants. Nodokļu atskaitījumu piemērošanas kārtība
autors autors nezināms172. pants
No grāmatas Krievijas Federācijas nodokļu kodekss. Pirmā un otrā daļa. Teksts ar grozījumiem un papildinājumiem uz 2009.gada 1.oktobri autors autors nezināms201.pants. Nodokļa atskaitījumu piemērošanas kārtība