Figūras punkta ātruma noteikšana plaknes kustībā. Jebkura plaknes figūras punkta ātruma noteikšana. Sarežģīta punktu kustība
![Figūras punkta ātruma noteikšana plaknes kustībā. Jebkura plaknes figūras punkta ātruma noteikšana. Sarežģīta punktu kustība](https://i2.wp.com/konspekta.net/studopedianet/baza3/248953001541.files/image295.gif)
Patvaļīgs punktu ātrums M skaitļi ir definēti kā ātrumu summa, ko punkts saņem translācijas kustības laikā kopā ar polu un rotācijas kustību ap polu.
Iedomājieties punkta pozīciju M patīk (1.6. att.).
Atšķirot šo izteiksmi attiecībā uz laiku, mēs iegūstam:
, jo
.
Tajā pašā laikā ātrums pret MA. kurš punkts M ko iegūst, pagriežot figūru ap stabu BET, tiks noteikts pēc izteiksmes
pret MA=ω · MA,
kur ω ir plakanas figūras leņķiskais ātrums.
Jebkurš punktu ātrums M plakana figūra ģeometriski sastāv no punkta ātruma BET, ņemts par stabu, un ātrums, punkti M kad figūra griežas ap stabu. Šī ātruma ātruma modulis un virziens tiek atrasts, konstruējot ātrumu paralelogramu.
1. uzdevums
Nosakiet punkta ātrumu BET, ja veltņa centra ātrums ir 5m/s, veltņa leņķiskais ātrums . Veltņa rādiuss r = 0,2 m, stūris. Slidotava ripo neslīdot.
Tā kā ķermenis veic plakni paralēlu kustību, punkta ātrums BET sastāvēs no staba ātruma (punkts NO) un ar punktu iegūto ātrumu BET kad griežas ap stabu NO.
,
Atbilde:
Teorēma par plakni paralēli kustīga ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijām
Apsveriet dažus divus punktus BET un AT plakana figūra. Pieņemot punktu BET uz stabu (1.7. att.), iegūstam
Tādējādi abas vienādības daļas projicējot uz asi, kas vērsta gar AB, un ņemot vērā, ka vektors ir perpendikulārs AB, mēs atradām
pret B· cosβ=pret A· cosα+ v A· cos90°.
jo v In A· cos90°=0 iegūstam: stingra ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijas uz asi, kas iet caur šiem punktiem, ir vienādas.
1. uzdevums
Kodols AB slīd lejup pa gludu sienu un gludu grīdu, punktu ātrums A V A \u003d 5m/s, leņķis starp grīdu un stieni AB vienāds 30 0 . Nosakiet punkta ātrumu AT.
Plaknes figūras punktu ātrumu noteikšana, izmantojot momentāno ātrumu centru
Nosakot plakanas figūras punktu ātrumus caur staba ātrumu, staba ātrums un rotācijas kustības ātrums ap polu var būt vienāds pēc lieluma un pretējs virzienā, un ir tāds punkts P, kura ātrums noteiktā laika momentā ir vienāds ar nulli , sauc to par momentāno ātrumu centru.
Tūlītējs ātruma centrs Tiek saukts punkts, kas saistīts ar plakanu figūru, kura ātrums noteiktā laika momentā ir nulle.
Plakanas figūras punktu ātrumus noteiktā laika momentā nosaka tā, it kā figūras kustība momentāni grieztos ap asi, kas iet caur momentāno ātrumu centru (1.8. att.).
pret A=ω · PA; ().
Jo pret B=ω · PB; (), tad w= v B/PB=pret A/PA
Plakanas figūras punktu ātrumi ir proporcionāli mazākajiem attālumiem no šiem punktiem līdz momentānajam ātruma centram.
Iegūtie rezultāti ļauj izdarīt šādus secinājumus:
1) lai noteiktu momentānā ātruma centra atrašanās vietu, ir jāzina ātruma lielums un virziens, kā arī jebkuru divu punktu ātruma virziens BET un AT plakana figūra; momentānais ātruma centrs P atrodas no punktiem konstruēto perpendikulu krustpunktā BET un ATšo punktu ātrumiem;
2) leņķiskais ātrums ω plaknes skaitlis noteiktā laikā ir vienāds ar ātruma attiecību pret attālumu no tā līdz momentānajam centram Rātrumi: ω =pret A/PA;
3) Punkta ātrums attiecībā pret momentāno ātrumu centru P norādīs leņķiskā ātruma w virzienu.
4) Punkta ātrums ir tieši proporcionāls mazākajam attālumam no punkta AT līdz momentānajam ātruma centram R v A \u003d ω BP
1. uzdevums
Kloķis OA garums 0,2 m vienmērīgi griežas ar leņķisko ātrumu ω=8 rad/s. Uz savienojošo stieni AB punktā NOšarnīrsavienojums CD. Noteiktā mehānisma pozīcijā nosakiet punkta ātrumu D slīdni, ja leņķis .
Punktu kustība AT ierobežo horizontālās vadotnes, slīdni var virzīties uz priekšu tikai pa horizontālajām vadotnēm. Punkta ātrums AT vērsta tajā pašā virzienā kā . Tā kā diviem savienojošā stieņa punktiem ir vienāds ātruma virziens, ķermenis veic momentānu translācijas kustību, un visu savienojošā stieņa punktu ātrumiem ir vienāds virziens un vērtība.
STINGĀ ĶERMEŅA LĪDNĒJĀ KUSTĪBA
Studiju jautājumi:
1. Stingra ķermeņa plaknes kustības vienādojumi.
2. Plakanas figūras punktu ātrums
3. Momentānais ātrumu centrs
4. Plaknes figūras punktu paātrinājumi
1. Stingra ķermeņa plaknes kustības vienādojumi
Stingra ķermeņa plakanā kustībasauc tokustība, kurā visi ķermeņa sekcijas punkti pārvietojas savā plaknē.
Ļaujiet cietai 1 veic plakanu kustību.
Sekants lidmašīna
ķermenī 1
veido posmu П, kas pārvietojas griešanas plaknē
.
Ja paralēli plaknei veikt citas ķermeņa daļas, piemēram, caur punktiem
utt., guļot uz tā paša perpendikulāra sekcijām, tad visi šie punkti un visas ķermeņa daļas pārvietosies vienādi.
Līdz ar to ķermeņa kustību šajā gadījumā pilnībā nosaka viena tā posma kustība jebkurā no paralēlajām plaknēm, un griezuma stāvokli nosaka divu šī posma punktu novietojums, piemēram, BET un AT.
Sekcijas pozīcija P plaknē Oho noteikt segmenta pozīciju AB, veikts šajā sadaļā. Divu punktu novietojums plaknē BET()
un AT(
)
ko raksturo četri parametri (koordinātas), kuriem tiek uzlikts viens ierobežojums - komunikācijas vienādojums segmenta garuma formā AB:
Tāpēc var iestatīt sekcijas P pozīciju plaknē trīs neatkarīgi parametri - koordinātas
punktusBET
un leņķis
,
kas veido segmentu AB ar asi Ak. Punkts BET, izvēlēts posma P novietojuma noteikšanai, saukts POLE.
Kad ķermeņa daļa pārvietojas, tās kinemātiskie parametri ir laika funkcijas
Vienādojumi ir stingra ķermeņa plaknes (plaknes paralēlas) kustības kinemātiski vienādojumi. Tagad mēs parādīsim, ka saskaņā ar iegūtajiem vienādojumiem ķermenis plaknes kustībā veic translācijas un rotācijas kustības. Ielieciet att. ķermeņa daļa, ko nosaka segments
koordinātu sistēmā Oho pārvietots no sākuma stāvokļa 1
uz beigu pozīciju 2.
Parādīsim divus veidus, kā iespējams ķermeņa pārvietošana no stāvokļa 1 uz 2. pozīciju.
Pirmais veids.Ņemsim punktu par stabu .Pārvietojot segmentu
paralēli sev, t.i. pakāpeniski pa trajektoriju
,
pirms sakritības punktiem
un
. Segmenta pozīcijas iegūšana
.
uz stūra
un mēs iegūstam plakanās figūras galīgo pozīciju, ko nosaka segments
.
Otrais veids.Ņemsim punktu par stabu . Segmenta pārvietošana
paralēli sev, t.i. pakāpeniski pa trajektoriju
pirms sakritības punktiem
un
.Iegūstam segmenta pozīciju
.
Pēc tam pagrieziet šo segmentu ap stabu
uz
stūrī
un mēs iegūstam plakanās figūras galīgo pozīciju, ko nosaka segments
.
Izdarīsim šādus secinājumus.
1. Plaknes kustība, pilnībā saskaņā ar vienādojumiem, ir translācijas un rotācijas kustību kombinācija, un ķermeņa plaknes kustības modeli var uzskatīt par visu ķermeņa punktu translācijas kustību kopā ar polu un rotācijas kustību. ķermenis attiecībā pret polu.
2. Ķermeņa translācijas kustības trajektorijas ir atkarīgas no staba izvēles
.
Uz att. 13.3 aplūkotajā gadījumā redzam, ka pirmajā kustības metodē, kad punkts tika ņemts par stabu , translācijas trajektorija
būtiski atšķiras no trajektorijas
otram polam AT.
3. Korpusa rotācija nav atkarīga no staba izvēles. Stūris
korpusa rotācija paliek nemainīga pēc moduļa un griešanās virziena
. Abos gadījumos, kas aplūkoti attēlā. 13.3, rotācija bija pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Galvenās ķermeņa īpašības plaknes kustībā ir: staba trajektorija, ķermeņa griešanās leņķis ap polu, pola ātrums un paātrinājums, ķermeņa leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums. Papildu asis
translācijas kustībā tie pārvietojas kopā ar polu BET paralēli galvenajām asīm Oho pa staba ceļu.
Plakanas figūras staba ātrumu var noteikt, izmantojot vienādojumu laika atvasinājumus:
Līdzīgi tiek noteikti ķermeņa leņķiskie raksturlielumi: leņķiskais ātrums ;
leņķiskais paātrinājums
.
Uz att. pie staba BET parādītas ātruma vektora projekcijas uz ass Oi, oi Korpusa griešanās leņķis
, leņķiskais ātrums
un leņķiskais paātrinājums
parādītas ar loka bultiņām ap punktu BET. Sakarā ar kustības rotācijas raksturlielumu neatkarību no staba izvēles, leņķiskās īpašības
,
,
var parādīt jebkurā plakanas figūras punktā ar loka bultiņām, piemēram, punktā B.
Lekcija 3. Stingra ķermeņa plaknes paralēla kustība. Ātrumu un paātrinājumu noteikšana.
Šī lekcija aptver šādus jautājumus:
1. Stingra ķermeņa plakanparalēla kustība.
2. Plaknes paralēlās kustības vienādojumi.
3. Kustības sadalīšana translācijas un rotācijas.
4. Plaknes figūras punktu ātrumu noteikšana.
5. Teorēma par divu ķermeņa punktu ātrumu projekcijām.
6. Plaknes figūras punktu ātrumu noteikšana, izmantojot momentāno ātrumu centru.
7. Problēmu risināšana ātruma noteikšanai.
8. Ātruma plāns.
9. Plaknes figūras punktu paātrinājumu noteikšana.
10. Paātrinājuma uzdevumu risināšana.
11. Momentānais paātrinājuma centrs.
Šo jautājumu izpēte nākotnē nepieciešama stingra ķermeņa plaknes kustības dinamikai, materiāla punkta relatīvās kustības dinamikai, problēmu risināšanai disciplīnās "Mašīnu un mehānismu teorija" un "Mašīnu daļas" ".
Stingra ķermeņa plakanparalēla kustība. Plaknes paralēlās kustības vienādojumi.
Kustības sadalīšana translācijas un rotācijas formās
Plakne-paralēla (vai plakana) ir tāda stingra ķermeņa kustība, kurā visi tā punkti pārvietojas paralēli kādai fiksētai plaknei P(28. att.). Plaknes kustību veic daudzas mehānismu un mašīnu daļas, piemēram, ripojošs ritenis taisnā sliežu ceļa posmā, savienojošais stienis kloķa-slīdņa mehānismā utt. Īpašs plaknes paralēlās kustības gadījums ir rotācijas kustība. stingra ķermeņa ap fiksētu asi.
28. att. 29. att
Apsveriet sadaļu S kādas plaknes ķermeņi Oxy, paralēli plaknei P(29. att.). Ar plakni paralēlu kustību, visi ķermeņa punkti atrodas uz taisnas līnijas MM' perpendikulāri plūsmai S, t.i., lidmašīnas P, pārvietoties identiski.
Tādējādi mēs secinām, ka, lai izpētītu visa ķermeņa kustību, ir pietiekami izpētīt, kā tas pārvietojas plaknē Oho sadaļā Sšis ķermenis vai kāda plaknes figūra S. Tāpēc turpmāk ķermeņa plaknes kustības vietā mēs apsvērsim plaknes figūras kustību S savā plaknē, t.i. plaknē Oho.
Figūras pozīcija S plaknē Oho nosaka kāda segmenta pozīcija, kas uzzīmēta uz šī attēla AB(28. att.). Savukārt segmenta pozīcija AB var noteikt, zinot koordinātas x A un y A punkti BET un leņķi, kas ir segments AB formas ar asi X. Punkts BET atlasīts, lai noteiktu figūras pozīciju S, turpmāk sauksies par polu.
Pārvietojot lieluma skaitli x A un y A un mainīsies. Zināt kustības likumu, tas ir, figūras stāvokli plaknē Oho jebkurā laikā jums jāzina atkarības
Vienādojumus, kas nosaka notiekošās kustības likumu, sauc par plakanas figūras kustības vienādojumiem tās plaknē. Tie ir arī stingra ķermeņa plaknes paralēlas kustības vienādojumi.
Pirmie divi no kustības vienādojumiem definē kustību, ko figūra veiktu, ja =const; šī acīmredzot būs translācijas kustība, kurā visi figūras punkti pārvietojas tāpat kā pols BET. Trešais vienādojums nosaka kustību, ko figūra veiktu pie un , t.i. kad stabs BET nekustīgs; tā būs figūras rotācija ap polu BET. No tā varam secināt, ka vispārīgā gadījumā plakanas figūras kustību tās plaknē var uzskatīt par translācijas kustību summu, kurā visi figūras punkti pārvietojas tāpat kā pols. BET, un no rotācijas kustības ap šo polu.
Galvenās apskatāmās kustības kinemātiskās īpašības ir translācijas kustības ātrums un paātrinājums, kas vienāds ar pola ātrumu un paātrinājumu, kā arī rotācijas kustības ap polu leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums.
Plaknes figūras punktu ātrumu noteikšana
Tika atzīmēts, ka plakanas figūras kustību var uzskatīt par translācijas kustību summu, kurā visi figūras punkti pārvietojas ar pola ātrumu BET, un no rotācijas kustības ap šo polu. Parādīsim, ka jebkura punkta ātrums M figūras tiek veidotas ģeometriski no ātrumiem, ko punkts saņem katrā no šīm kustībām.
Patiešām, jebkura punkta pozīcija M skaitļi ir definēti attiecībā pret asīm Oho rādiusa vektors (30. att.), kur ir pola rādiusa vektors BET, - vektors, kas nosaka punkta pozīciju M par asīm, kas pārvietojas kopā ar stabu BET translatīvi (figūras kustība attiecībā pret šīm asīm ir rotācija ap polu BET). Tad
Atgādiniet, ka plakanas figūras kustību var uzskatīt par translācijas kustību kopā ar polu un rotācijas kustību ap polu.
Saskaņā ar šo plaknes figūras patvaļīga punkta M ātrums ģeometriski ir kāda punkta A ātruma summa, kas ņemta par polu, un ātruma summa, ko iegūst punkts M, kad figūra griežas ap šo polu, t.i.
Tajā pašā laikā ātrums VMA definēts kā punkta ātrums M kad ķermenis griežas ap fiksētu asi, kas iet caur punktu BET perpendikulāri kustības plaknei (sk. § 7.2), t.i.
Tādējādi, ja ir zināms staba ātrums VA un ķermeņa leņķiskais ātrums w, tad
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/356.png)
jebkura punkta ātrums Mķermeņa nosaka saskaņā ar vienādību (8.2), uz vektoriem uzbūvētās paralelgramas diagonāle VA un VMA, kā uz sāniem (8.3. att.), un ātruma moduli V M aprēķina pēc formulas
kur y ir leņķis starp vektoriem VA un VMA
Problēma 8.1. Ritenis ripo uz fiksētas virsmas, neslīdot (8.4. att., a). Atrodiet ātruma punktus Uz un D riteņi, ja ātrums ir zināms Vc centrs C ritenis, rādiuss R riteņi, attālums COP = b un leņķis a.
Risinājums. 1. Aplūkojamā riteņa kustība ir plakana-paralēla. Ņemot punktu C par polu (jo tā ātrums ir zināms), saskaņā ar vispārējo vienādību (8.2) punktam Uz mēs varam rakstīt
Tomēr vērtību nevar noteikt nekādi V KC , jo leņķiskais ātrums nav zināms.
Lai noteiktu w, ņemiet vērā cita punkta, proti, punkta, ātrumu R pieskaroties ritenim uz fiksētas virsmas (8.4. att., b). Šim punktam mēs varam uzrakstīt vienlīdzību
punkta iezīme R ir fakts, ka šajā brīdī Vp - 0, jo ritenis ripo bez slīdēšanas. Tad vienlīdzība (b) iegūst formu
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/360.png)
no kurienes mēs iegūstam
No šejienes izriet: 1) ātruma vektori V dators un Vc jābūt vērstam pretējos virzienos; 2) no moduļu vienlīdzības V PC — V c mēs saņemam uPC = V c , no šejienes mēs atrodam w = Vc /PC = Vc /R. Pēc vektora virziena V dators noteikt loka bultiņas w virzienu un parādīt to zīmējumā (8.4. att., b).
Tagad atgriezieties pie definīcijas V K pēc vienlīdzības (a). Mēs atradām
Vks \u003d par KS - V ^ b / R. Zinot leņķiskā ātruma ω virzienu, mēs attēlojam vektoru V KC perpendikulāri segmentam KS un veikt paralelograma konstruēšanu uz vektoriem Vc un V KC(8.4. att. in). Tā kā šajā gadījumā Vc un V KC savstarpēji perpendikulāri, mēs beidzot atrodam
2. Punkta ātrums D uz riteņa loka, mēs nosakām no vienādības V D = V C + V DC . Tā kā skaitliski VDC — co R-V c , tad uz vektoriem uzbūvētais paralelograms Vc un VDC, būs rombs. Leņķis starp Vc un V DC vienāds ar 2a. Nosakot V D kā romba atbilstošās diagonāles garumu iegūstam
Teorēma par stingra ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijām
Saskaņā ar vienādību (8.2) diviem_ patvaļīgiem punktiem BET un AT stingrs ķermenis vienlīdzība V B \u003d V A + V B A, saskaņā ar kuru mēs veicam konstrukciju, kas parādīta attēlā. 8.5. Projicējot šo vienādību uz asi Az, vērsta uz A B mēs saņemam Prāts + VBAz.Ņemot vērā, ka vektors VBA perpendikulāri līnijai
A B atrast
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/366.png)
Šis rezultāts izsaka teorēmu: stingra ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijas uz asi, kas iet caur šiem punktiem, ir vienādas viena ar otru.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/367.png)
Mēs atzīmējam, ka vienādība (8.5) matemātiski atspoguļo faktu, ka ķermenis tiek uzskatīts par absolūti stingru, un attālumu starp punktiem BET un AT nemainās. Tāpēc vienādība (8.5) ir izpildīta ne tikai plaknei-paralēlai, bet arī jebkurai stingra ķermeņa kustībai.
Problēma 8.2. Vīteņaugi BET un AT, savienotas ar stieni ar eņģēm galos, tās tiek pārvietotas pa savstarpēji perpendikulārām vadotnēm zīmējuma plaknē (8.6. att., a). Nosakiet punkta ātrumu noteiktā leņķī AT, ja ir zināms ātrums V A .
Risinājums. Zīmēsim x asi caur punktiem BET un AT. Zinot virzienu VA ,
atrodiet šī vektora projekciju taisnē AB: V Ax — VA cos a (8.6. attēlā, b tas būs griezums Ah). Tālāk par zīmējumu no punkta AT atlikt Bb - Aa(jo segments Ak atrodas uz x ass pa labi no punkta BET, tad segments Bb nolikt malā no punkta AT uz x ass pa labi). Augšāmcelšanās punktā b perpendikulāri līnijai AB, atrast vektora beigu punktu V B .
Saskaņā ar projekcijas teorēmu VA cos a = K^cosp. No šejienes (ņemot vērā, ka Р = 90 ° - a) mēs beidzot iegūstam V B = VA cos a/cos(90° - a) vai V B = = VA ctg a.
Punktu ātrumu noteikšana, izmantojot momentāno ātrumu centru
Lai noteiktu plaknes figūras punktu ātrumus, par polu izvēlamies jebkuru punktu R. Tad pēc formulas
(8.2), patvaļīga punkta ātrums M ir definēts kā divu vektoru summa:
Ja staba ātrums R dotajā brīdī bija vienāds ar nulli, tad šīs vienlīdzības labā puse tiktu attēlota ar vienu vārdu Pie MR un jebkura punkta ātrums būtu definēts kā punkta ātrums Mķermenim, kad tas griežas ap fiksētu stabu R.
Tāpēc, ja izvēlamies punktu kā polu R, kura ātrums noteiktā laikā ir nulle, tad visu figūras punktu ātrumu moduļi būs proporcionāli to attālumiem līdz polam P, un visu punktu ātruma vektoru virzieni būs perpendikulāri taisnēm, kas savieno aplūkojamo punktu un polu P. Protams, aprēķins pēc formulām (8.6) ir daudz vienkāršāks nekā aprēķins pēc vispārīgās formulas (8.2).
Plakanas figūras punktu, kura ātrums noteiktā laika momentā ir nulle, sauc par momentāno ātrumu centru (MCS). Ir viegli pārliecināties, ka, ja figūra pārvietojas netranslācijas veidā, tad šāds punkts pastāv katrā laika momentā un turklāt ir unikāls. Ņemiet vērā, ka momentānais ātrumu centrs var atrasties gan uz pašas figūras, gan uz tās garīgā turpinājuma.
Apsveriet veidus, kā noteikt momentānā ātruma centra pozīciju.
1. Ļaut laika momentā tplaknes figūras jum, tās leņķiskais ātrums ω un ātrums VA kāds no tā punktiem BET(8.7. att., a). Pēc tam izvēloties punktu BET kā stabs,_ātrums_punktam, kuru mēs meklējam R var noteikt pēc formulas Vp = VA + VpA —
Problēma ir atrast šādu punktu R, kurā V P=0, tātad viņai V A + U RL=0 un līdz ar to Y RA \u003d -Y A. Tāpēc par punktu Rātrumu Plkst RA kurš punkts R ko iegūst, pagriežot figūru ap stabu BET, un ātrumu A stabi BET vienāds ar moduli (Y RA = Y A) vai par ZAR = U A un pretējā virzienā. Turklāt punkts R jāatrodas perpendikulāri vektoram Plkst A. Punkta pozīcijas noteikšana R tiek veikta šādi: no punkta BET(8.7. att., b) izveidojiet perpendikulu vektoram A un novietojiet tai attālumu AR = Y A/co punkta otrā pusē BET, kur vektors "rādīs" Plkst Un, ja tas ir pagriezts par 90 ° loka bultiņas virzienā co.
Momentānais ātrumu centrs ir vienīgais punkts plaknē, kura ātrums noteiktā laikā ir nulle.
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/370.png)
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/371.png)
Citā laika momentā momentānais ātrumu centrs jau var būt cits plaknes figūras punkts.
2. Lai ir zināmi ātrumu virzieni VA un iekšā(8.8. att., a) divi punkti BET un AT plaknes figūra (turklāt šo punktu ātruma vektori nav paralēli), vai ir zināmas šo punktu elementārās nobīdes. Momentānais ātrumu centrs atradīsies to perpendikulu krustpunktā, kas ir uzcelti no punktiem A un B ar šo punktu ātrumiem (vai punktu elementārajām nobīdēm).Šāda konstrukcija ir parādīta attēlā. 8,8, b. Tas ir balstīts uz to, ka par jebkuriem punktiem A un B skaitļi piemērojamie noteikumi (8.6.):
No šīm vienādībām izriet, ka
Zinot MCC stāvokli un ķermeņa leņķisko ātrumu, izmantojot formulas (8.6), ir viegli noteikt jebkura šī ķermeņa punkta ātrumu. Piemēram, par punktu Uz(skat. 8.8. att., b) moduļa ātrums V K = coKP, vektors U uz vērsta perpendikulāri taisnai līnijai KR saskaņā ar
loka bultiņas virziens y.
Sekojoši, plakanas figūras punktu ātrumus nosaka noteiktā laika momentā tā, it kā šī figūra rotētu ap momentāno ātrumu centru.
3. Ja ātrums norāda BET un AT plaknes figūras ir paralēlas viena otrai, tad ir iespējami trīs varianti, kas parādīti att. 8.9. Gadījumiem, kad tiešā AB perpendikulāri vektoriem VA un V B(8.9. att. a, b) konstrukcijas balstās uz proporciju (8.7).
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/374.png)
Ja punktu ātrums Lī V paralēli un taisni AB_nt perpendikulāri VBET(8.9. att. iekšā), tad perpendikulu uz U A un V B ir paralēli, un momentānais ātrumu centrs atrodas bezgalībā (AP = oo); figūras griešanās leņķiskais ātrums w = VJAP=VA/cc= 0. Šajā gadījumā visu figūras punktu ātrumi dotajā laika momentā ir vienādi viens ar otru, t.i., figūrai ir ātrumu sadalījums kā translācijas kustībā. Šo kustības stāvokli sauc uzreiz progresējošs.Ņemiet vērā, ka šajā stāvoklī visu ķermeņa punktu paātrinājumi nebūs vienādi.
4. Ja korpusa plaknes kustība tiek veikta ripojot, neslīdot pa fiksētu virsmu (8.10. att.), tad saskares punkts. R būs momentānais ātrumu centrs (sk. 8.1. uzdevumu).
Problēma 8.3. Plakanais mehānisms sastāv no 7 stieņiem, 2, 3, 4 un kāpurķēžu AT(8.11. att.), savienoti viens ar otru un ar fiksētiem balstiem 0 { un 0 2 eņģes; punkts D atrodas stieņa vidū AB. Stieņu garumi: / 2 = 0,4 m, / 2 = 1,2 m, / 3 = 0,7 m, / 4 = 0,3 m un vērsti pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Definējiet V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , līdz 4 un punkta ātrums Uz stieņa vidū DE (DK = KE).
Risinājums. Apskatāmajā mehānismā stieņi 7, 4 veikt rotācijas kustību AT- progresīvā, un stieņi 2, 3 -
plakne-paralēla kustība.
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/375.png)
Punkta ātrums BET mēs definējam kā piederīgu pie stieņa 7, kas veic rotācijas kustību:
Apsveriet stieņa kustību 2. Punkta ātrums BET ir definēts un punkta ātruma virziens AT sakarā ar to, ka tas vienlaikus pieder pie stieņa 2 un dzimums-
![](https://i1.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/377.png)
Zuns pārvietojas pa vadotnēm. Tagad, atjaunojot no punktiem BET un AT perpendikulāri A un slīdņa kustības virzienu AT, atrodiet punkta C 2 pozīciju - stieņa MCS 2.
Vektora virzienā U Aņemot vērā, ka aplūkotajā mehānisma stāvoklī stienis 2 griežas ap punktu C 2, no 2 stieņiem nosakām leņķiskā ātruma virzienu 2 un atrodiet tā skaitlisko vērtību (o 2 = V a / AC 2 \u003d 0,8 / 1,04 \u003d 0,77 s -1, kur AC 2 - AB sin 60 ° \u003d 1,04 m (mēs iegūsim, apsverot A AC ~, B).
Tagad mēs nosakām skaitliskās vērtības un punktu ātrumu virzienus AT un D stienis 2 (jo ABDC 2 tad vienādmalu BC 2 - DC 2 - - 0,6 m):
![](https://i0.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/378.png)
Apsveriet stieņa kustību 3. Punkta ātrums D zināms. Kopš punkta E pieder pie stieņa tajā pašā laikā 4, rotē ap asi 0 4 , tad Y e 10 4 E. Tad, ejot cauri punktiem D un E taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras ātrumam V D w V E , atrodiet punkta C 3 pozīciju - stieņa MCS
3. Vektora virzienā V D , skatoties no fiksēta punkta С 3 , nosakām leņķiskā ātruma с 3 virzienu un atrodam tā skaitlisko vērtību (iepriekš noteikts no AZ) C 3 ? segments Z)C 3 = DEsin 30 ° \u003d 0,35 m): co 3 \u003d V d / C 3 D \u003d 1,32 s -1.
Lai noteiktu punkta ātrumu Uz zīmēsim taisnu līniju COP 3 un ņemot vērā to AR K No 3 vienādmalu ( COP 3 = 0,35 m), aprēķiniet Y k \u003d \u003d 0,462 m/s, U līdz AKS 3.
Apsveriet stieņa_4 kustību, kas rotē ap asi 0 4 . Virziena un skaitliskās vērtības zināšana V E , mēs atrodam leņķiskā ātruma virzienu un vērtību no 4: no 4 \u003d V e / 0 4 E - 2,67 s
Atbilde: VA= 0,8 m/s, V B = V D= 0,462 m/s, V E = 0,8 m / s, co 2 \u003d 0,77 s "1, co 3 \u003d 1,32 s -1, (o 4 \u003d 2,67 s -1, šo daudzumu virzieni parādīti 8.11. attēlā.
Piezīme.Mehānismā, kas sastāv no vairākiem ķermeņiem, katram ķermenim, kas noteiktā laika momentā nepārvietojas, ir savs momentānais ātrumu centrs un savs leņķiskais ātrums.
Problēma 8.4. Plakanais mehānisms sastāv no stieņiem 1, 2, 3 un veltnis, kas ripo neslīdot uz fiksētas plaknes (8.12. att., a). Stieņu savienojumi starp tiem un stieni 3 uz slidotavu punktā D- eņģes. Stieņu garumi: 1 { - 0,4 m, / 2 = 0,6 m, / 3 = 0,8 m. Dotajiem leņķiem a = 60°, B = 30° leņķa vērtības un virzieni O slidotava V0= 0,346 m/s, ZABD= 90°. Nosakiet punkta ātrumu AT un leņķiskais ātrums no 2 .
Risinājums. Mehānismam ir divas brīvības pakāpes (tā pozīciju nosaka divi viens no otra neatkarīgi leņķi a un p) un punkta ātrums AT(stieņu kopīgs punkts 2 un 3) atkarīgs no punktu ātrumiem BET un D.
Ņemot vērā stieņa kustību /, n atrodam punkta virzienu un ātruma vērtību A: V A= coj/j = 0,8 m/s, V a AjO ( A.
Apsveriet veltņa kustību. Tā momentānais ātrumu centrs atrodas punktā R; tad V D atrast no proporcijas
Kopš A DOP vienādsānu un asi leņķi tajā ir vienādi ar 30 °, tad DP- 2OP cos 30° = ORl/ 3. No vienlīdzības (a) mēs atrodam VD- 0,6 m/s. Vektors V D vērsta perpendikulāri D.P.
Kopš punkta AT vienlaikus pieder pie stieņiem AB un BD, tad saskaņā ar ātruma projekcijas teorēmu tai jābūt: 1) vektora projekcijai iekšā tieši A B A(līnijas segments Ak att. 8.12, a) t.i. A cos a = 0,4 m/s; 2) vektoru projekcija iekšā tieši D.B. ir vienāds ar vektora projekciju uz šīs līnijas 0(līnijas segments Dd att. 8.12, a) t.i. 0 cos y = 0,3 m/s (y = 60°).
Atrisināsim grafiski. Novietojiet malā no punkta AT griezumi atbilstošos virzienos Bb (= Aa un Bb 2 = Dd. Punkta ātrums AT ir vienāds ar vektoru summu V B = Bb + Bbj. Atjaunošana no punkta b ( perpendikulāri Bb x, un no
![](https://i2.wp.com/studref.com/htm/img/33/8039/380.png)
punktus b 2 - perpendikulāri Bb 2. Šo perpendikulu krustpunkts nosaka vēlamā vektora beigas V B .
Tā kā segmentu virzieni Bb un Bb 2 savstarpēji perpendikulāri, tad
Mēs nosakām no 2 . Uz att. 8.12, b parādīts tā sauktais ātruma plāns, kas grafiski attēlo vektoru vienādību
kur vektori VA un V B definēts (sk. 8.12. att., a) un virzienu VBA perpendikulāri stienim AB. No zīmējuma (8.12. att., b) atrast
Tagad mēs definējam ar 2 = V ba / AB- 1,66 s -1 (virziens no 2 - pretēji pulksteņrādītāja virzienam).
Atbilde: VB- 0,5 m/s, co 2 \u003d 1,66 s -1.
Plakanas figūras kustība sastāv no translācijas kustības, kad visi figūras punkti pārvietojas ar pola ātrumu BET, un no rotācijas kustības ap šo polu (3.4. att.). Jebkurš punktu ātrums M figūras tiek veidotas ģeometriski no ātrumiem, ko punkts saņem katrā no šīm kustībām.
3.4.attēls
Patiešām, punkta pozīcija M attiecībā pret asīm Aky nosaka rādiuss - vektors , kur
- pola rādiusa vektors BET,
=
- rādiusa vektors, kas nosaka punkta pozīciju M relatīvi
pārvietojas ar stabu BET pakāpeniski. Tad
.
ir staba ātrums BET,
vienāds ar ātrumu
, kurš punkts M saņem plkst
, t.i. par asīm
, vai, citiem vārdiem sakot, kad figūra griežas ap stabu BET. Tādējādi no tā izriet
kur ω ir figūras leņķiskais ātrums.
3.5.attēls
Pa šo ceļu, jebkura plaknes figūras punkta M ātrums ģeometriski ir kāda cita punkta A ātruma summa, kas ņemta par polu, un ātrumu, ko iegūst punkts M, kad figūra griežas ap šo polu. Modulis un ātruma virziens tiek atrasti, konstruējot atbilstošo paralelogramu (3.5. att.).
10.3. Teorēma par divu ķermeņa punktu ātrumu projekcijām
Viens no vienkāršajiem veidiem, kā noteikt plaknes figūras (vai plaknei paralēli kustīga ķermeņa) punktu ātrumus, ir teorēma: stingra ķermeņa divu punktu ātrumu projekcijas uz asi, kas iet caur šiem punktiem, ir vienādas viena ar otru.
3.6.attēls
Apsveriet dažus divus punktus BET un AT plakana figūra (vai ķermenis) (3.6. att.). Pieņemot punktu BET uz vienu polu mēs to saņemam . Tādējādi abas vienādības daļas projicējot uz asi, kas vērsta gar AB, un ņemot vērā, ka vektors
perpendikulāri AB, mēs atradām
|
un teorēma ir pierādīta. Ņemiet vērā, ka šis rezultāts ir skaidrs arī no tīri fiziskiem apsvērumiem: ja vienlīdzība netiks veikta, tad pārvietojot attālumu starp punktiem BET un AT jāmainās, kas nav iespējams - ķermenis ir absolūti ciets. Tāpēc šī vienlīdzība ir izpildīta ne tikai plaknei paralēli, bet arī jebkurai cieta ķermeņa kustībai.
10.4. Plaknes figūras punktu ātrumu noteikšana, izmantojot momentāno ātrumu centru
Vēl viena vienkārša un ilustratīva metode plaknes figūras (vai plaknes kustībā esoša ķermeņa) punktu ātruma noteikšanai ir balstīta uz momentānā ātrumu centra jēdzienu.
Momentānais ātrumu centrs (ICV) ir plakanas figūras punkts, kura ātrums noteiktā laika momentā ir vienāds ar nulli.
Ja figūra kustas netulkojoši, tad tāds punkts katrā laika momentā t pastāv un ir unikāls. Ļaujiet šobrīd t punktus BET un AT figūras plaknēm ir ātrumi un
, kas nav paralēli viens otram (3.7. att.). Tad punkts R kas atrodas perpendikulu krustpunktā Ak uz vektoru
un ATb uz vektoru
, un būs momentānais ātrumu centrs, kopš
.
3.7. attēls
Patiešām, ja , tad ar ātruma projekcijas teorēmu vektoru
jābūt gan perpendikulāram, gan AR(jo
), un BP(jo
), kas nav iespējams. No tās pašas teorēmas ir skaidrs, ka nevienam citam figūras punktam šajā laika brīdī nevar būt ātrums, kas vienāds ar nulli.
Ja tagad tajā laikā tņemt punktu R uz stabu. Tāds ir punkta ātrums BET būs
,
jo =0. Tāds pats rezultāts tiek iegūts jebkuram citam attēla punktam. Tad plakanas figūras punktu ātrumus nosaka noteiktā laika momentā tā, it kā figūras kustība būtu rotācija ap momentāno ātrumu centru. Kurā
|
un tā tālāk jebkuram attēla punktam.
No tā arī izriet, ka un
, tad
|
tie. kas plaknes figūras punktu ātrumi ir proporcionāli to attālumam no momentānā ātruma centra.
Iegūtie rezultāti ļauj izdarīt šādus secinājumus:
1. Lai noteiktu momentāno ātrumu centru, ir jāzina tikai ātruma virzieni, piemēram,un
jebkuri divi plaknes figūras punkti A un B.
2. Lai noteiktu jebkura plaknes figūras punkta ātrumu, jums jāzina jebkura figūras punkta A ātruma modulis un virziens un otra tā punkta B ātruma virziens.
3. Leņķiskais ātrumsplakanas figūras vērtība katrā laika momentā ir vienāda ar kāda figūras punkta ātruma attiecību pret tā attālumu no momentānā ātrumu centra P:
|
Atradīsim citu izteicienu ω
no vienlīdzības un
tam seko
un
, kur
|
Apskatīsim dažus īpašus KC definīcijas gadījumus, kas palīdzēs atrisināt teorētisko mehāniku.
1. Ja plakni paralēlu kustību veic, ripojot, neslīdot vienam cilindriskam korpusam uz cita nekustīga ķermeņa virsmas, tad punkts R ripojoša ķermeņa, kas pieskaras nekustīgai virsmai (3.8. att.), noteiktā laika momentā, jo nav slīdēšanas, ātrums ir vienāds ar nulli ( ), un līdz ar to ir momentānais ātrumu centrs.
3.8.attēls
2. Ja ātrums norāda BET un AT plakana figūra ir paralēla viena otrai, un līnija AB nav perpendikulāri (3.9. att., a), tad momentānais ātrumu centrs atrodas bezgalībā un visu punktu ātrums //
. Šajā gadījumā no ātruma projekcijas teorēmas izriet, ka
, t.i.
, šajā gadījumā figūrai ir momentāna translācijas kustība.
3. Ja ātrums norāda BET un AT plakana figūra // viens otram un tajā pašā laikā līnija AB perpendikulāri , tad momentānais ātrumu centrs R nosaka konstrukcija (3.9. att., b).
3.9.attēls
Konstrukciju derīgums izriet no . Šajā gadījumā, atšķirībā no iepriekšējiem, lai atrastu centru R papildus norādēm jāzina arī ātruma moduļi
un
.
4. Ja ir zināms ātruma vektors kādu punktu AT figūra un tās leņķiskais ātrums ω
, tad momentānā ātruma centra pozīcija R guļus perpendikulāri
(skat. att. ?), var atrast no vienlīdzības
, kas dod
.