Комплексные числа и ряды с комплексными членами. Сходящиеся ряды комплексных чисел Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел
Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.
В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.
Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.
Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.
Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)
В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.
А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:
Пример 1
Исследовать сходимость ряда
Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».
«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?
Примерные образцы оформления задач в конце урока.
Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:
Пример 6
Исследовать сходимость ряда
Решение
: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:
Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:
Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Знаменатель дроби меньше
знаменателя дроби , поэтому сама дробь
– больше
дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:
А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.
Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).
Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:
Пример 7
Исследовать сходимость ряда
Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.
Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения
сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел
, где в качестве бесконечно малой величины
выступает :
сходится вместе с рядом .
Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:
Пример 8
Исследовать сходимость ряда
Образец в конце урока.
Пример 9
Исследовать сходимость ряда
Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.
Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….
Оформляем решение:
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:
Пример 11
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:
Пример 12
Исследовать сходимость ряда
Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:
И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:
Таким образом, исследуемый ряд сходится .
Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.
Пример 13
Исследовать сходимость ряда
Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.
Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:
Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:
Проанализируйте, в чём состоит отличие от и
Пример 14
Исследовать сходимость ряда
А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .
Образцы решений и ответы в конце урока.
Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:
Пример 15
Исследовать сходимость ряда
Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?
Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:
1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак
:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .
И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!
Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:
Пример 16
Исследовать сходимость ряда
Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:
Пример 17
Исследовать сходимость ряда
Решение
: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение
:
Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .
Записываем чистовое решение:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда
Примерный образец решения в конце урока
И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда
Решение
: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел
:
Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.
Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:
Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.
Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:
Признак Раабе
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.
1. Комплексные числа. Комплексными числами называются числа вида х+iy, где х и у - действительные числа, i -мнимая единица, определяемая равенством i 2 =-1. Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z. Для них вводятся обозначения: x=Rеz; y=Imz .
Геометрически каждое комплексное число z=x+iy изображается точкой М (х; у) координатной плоскости xOу (рис. 26). В этом случае плоскость хОу называют комплексной числовой плоскостью, или плoскостью комплексного переменного z.
Полярные координаты r и φ точки М, являющейся изображением комплексного числа z, называются модулем и аргументом комплексного числа z; для них вводятся обозначения: r=|z|, φ=Arg z.
Так как каждой точке плоскости соответствует бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2kπ (k-целое положительное или отрицательное число), то Агg z-бесконечнозначная функция z.
То из значений полярного угла φ , которое удовлетворяет неравенству –π < φ ≤ π, называют главным значением аргумента z и обозначают аrg z.
В дальнейшем обозначение φ сохраним только для главного значения аргумента z, т.е. положим φ =аrg z, в силу чего для всех остальных значений аргумента z получим равенство
Аrg z = аrg z + 2kπ =φ + 2kπ.
Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями устанавливаются формулами
x = r cos φ; y = r sin φ.
Аргумент z можно определить также по формуле
arg z = аrctg (у/х)+С,
где С = 0 при х > 0, С = +π при х<0, у > 0; С = - π при x < 0, у < 0.
Заменяя x и у в записи комплексного числа z = х+iу их выражениями через r и φ , получаем так называемую тригонометрическую форму комплексного числа:
Комплексные числа z 1 = х 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 считаются равными тогда и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые части:
z 1 = z 2 , если x 1 = x 2 , у 1 = у 2 .
Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2π:
z 1 = z 2, если |z 1 | = |z 2 | и Аrg z 1 = Аrg z 2 +2kπ.
Два комплексных числа z = х+iу и z = х -iу с равными действительными и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Для сопряженных комплексных чисел выполняются соотношения
|z 1 | = |z 2 |; аrg z 1 = -аrg z 2 ,
(последнему равенству можно придать вид Аrg z 1 +Аrg z 2 = 2kπ ).
Действия над комплексными числами определяются следующими правилами.
Сложение. Если z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 =x 2 +iy 2 , то
Сложение комплексных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:
Вычитание. Если , то
Для геометрического пояснения сложения и вычитания комплексных чисел полезно изображать их не точками на плоскости z, а векторами: число z = х + iу изображается вектором имеющим начало в точке О («нулевой» точке плоскости - начале координат) и конец в точке М (х; у). Тогда сложение и вычитание комплексных чисел выполняется по правилу сложения и вычитания векторов (рис. 27).
Такое геометрическое истолкование операций сложения и вычитания векторов позволяет легко установить теоремы о модуле суммы и разности двух и сумме нескольких комплексных чисел, выражаемые неравенствами:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
Кроме того, полезно помнить, что модуль разности двух комплексных чисел z 1 и z 2 равен, расстоянию между точками, являющимися их изображениями на плоскости z: | |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
Умножение. Если z 1 = x 1 +iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 . то
z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1).
Таким образом, комплексные числа перемножаются как двучлены, причем i 2 заменяется на -1.
ЕСЛИ , , то
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомноэки* телей, а аргумент произведения -сумме аргументов сомножителей. Умножение комплексных чисел подчиняется переместительнЬму, сочетательному и распределительному (по отношению к сложению) законам:
Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопряженное с делителем:
" Если заданы в тригонометрической форме, то
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение в степень. Если z= , то по формуле бинома Ньютона имеем
(п -целое положительное число); в полученном выражении надо заменить степени i их значениями:
i 2 = -1; i 3 =i; i 4 =1; i 5 =1,…
и, в общем случае,
i 4k = 1; i 4k+1 =i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i.
Если , то
(здесь п может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом).
В частности,
(формула Муавра).
Извлечение корня. Если п -целое положительное число, , то корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле
где k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
Найти (z 1 z 2)/z 3 , если z 1 = 3 + 5i,
z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
число z
= 2 + 5i.
∆ Находим модуль комплексного числа: . Находим главное значение аргумента: . Следовательно, ▲
439.
Представить в тригонометрической форме комплексное
число
∆ Находим , ; , ,т.е.
440.
Представить в тригонометрической форме комплексные
числа 1, i, -1, -i.
441.
Представить числа ,
,
в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число
z 1 /(z 2 z 3).
∆ Находим
Следовательно,
442. Найти все значения .
∆ Запишем комплексное число в тригонометрической форме. Имеем , , . Следовательно,
Следовательно, , ,
443. Решить двучленное уравнение ω 5 + 32i = 0 .
∆ Перепишем, уравнение в виде ω 5 + 32i = 0 . Число -32i представим в тригонометрической форме:
Если k = 0, то (A).
k =1, (B).
k =2, (C).
k =3, (D).
k =4, (E).
Корням двучленного уравнения соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 28).
Вообще корням двучленного уравнения ω n =а, где а -комплексное число, соответствуют вершины правильного n -угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом, равным ▲
444. Пользуясь формулой Муавра, выразить соs5φ и sin5 φ через соsφ и sinφ .
∆ Левую часть равенства преобразуем по формуле бинома Ньютона:
Остается приравнять действительные и мнимые части равенства:
445. Дано комплексное число z = 2-2i . Найти Re z, Im z, |z|, arg z.
446. z = -12 + 5i.
447 . Вычислить по формуле Муавра выражение (соs 2° + isin 2°) 45 .
448. Вычислить по формуле Муавра .
449. Представить в тригонометрической форме комплексное число
z = 1 + соs 20° +isin 20°.
450. Вычислить выражение (2 + 3i) 3 .
451. Вычислить выражение
452. Вычислить выражение
453. Представить в тригонометрической форме комплексное число 5-3i.
454. Представить в тригонометрической форме комплексное число -1 + i .
455. Вычислить выражение
456. Вычислить выражение предварительно представив в тригонометрической форме множители в числителе и знаменателе.
457. Найти все значения
458. Решить двучленное уравнение
459. Выразить соs4φ и sin4φ через соsφ и sinφ .
460. Показать, что расстояние между точками z 1 и z 2 равно | z 2 - z 1 |.
∆ Имеем z 1 = х 1 + iу 1 , z 2 = х 2 + iу 2 , z 2 -z 1 = (x 2 -x 1) + i(y 2 -y 1), откуда
т.е. | z 2 - z 1 | равно расстоянию между данными точками. ▲
461. Какая линия описывается точкой z , удовлетворяющей уравнению где с -постоянное комплексное число, а R>0?
462.
Каков геометрический смысл неравенств: 1) |z-с|
463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Re z > 0 ; 2) Im z < 0 ?
2. Ряды с комплексными членами . Рассмотрим последовательность комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 , ..., где z п = х п +iу п (п = 1, 2, 3, ...). Постоянное число с = а + bi называется пределом последовательности z 1 , z 2 , z 3 , ..., если для всякого сколь угодно малого числа δ>0 найдется такой номер N, что рее значения z п с номерами п > N удовлетворяют неравенству \z п -с\ < δ . В этом случае пишут .
Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности комплексных чисел состоит в следующем: число с=а+bi является пределом последовательности комплексных чисел х 1 +iу 1 , х 2 +iу 2 , х 3 +iу 3 , … тогда и только тогда, когда , .
(1)
членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если n-я частичная сумма ряда S n при п → ∞ стремится к определенному конечному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действительными членами
(2) Исследовать сходимость рядаЭтот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно. ^
474. Найти область сходимости ряда
Существование понятия предела последовательности (1.5) позволяет рассматривать ряды в комплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяются частичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимость ряда предполагает сходимость двух рядов , один из которых состоит из действительных, а другой из мнимых частей членов ряда: Например, ряд сходится абсолютно, а ряд − расходится (за счет мнимой части).
Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам
ряд, т.к. . Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного ряда
следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части:
Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексные
функциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без изменения
формулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Сохраняются
все свойства равномерно сходящихся рядов.
При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенные
ряды : , или после замены : . Как и в случае действительной
переменной, верна теорема Абеля : если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ 0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству
Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круг радиуса R с центром в начале координат , где R − радиус сходимости − точная верхняя грань значений (Откуда и появился этот термин). Исходный степенной ряд будет, в свою очередь, сходиться в круге радиуса R с центром в т. z 0 . При этом, в любом замкнутом круге степенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует из признака Вейерштрасса (см. курс “Ряды”)).
Пример. Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z 1 и z 2 степенного ряда Решение. область сходимости − круг радиуса R = 2 с центром в т. z 0 = 1 − 2i . z 1 лежит вне круга сходимости и ряд расходится. При , т.е. точка лежит на границе круга сходимости. Подставив ее в исходный ряд, заключаем:
− ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Если во всех граничных точках ряд сходится абсолютно или расходится по необходимому признаку, то это можно установить сразу для всей границы. Для этого следует подставить в ряд
из модулей слагаемых значение R вместо выражения и исследовать полученный ряд.
Пример . Рассмотрим ряд из последнего примера, изменив один сомножитель:
Область сходимости ряда осталась прежней: Подставим в ряд из модулей
полученный радиус сходимости:
Если обозначить сумму ряда через f (z ), т.е. f (z ) = (естественно, в
области сходимости), то этот ряд называют рядом Тейлора функции f (z ) или разложением функции f (z ) в ряд Тейлора. В частном случае, при z 0 = 0, ряд называется рядом Маклорена функции f (z ) .
1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера .
Рассмотрим степенной ряд Если z − действительная переменная, то он представляет
собой разложение функции в ряд Маклорена и, следовательно, удовлетворяет
характеристическому свойству показательной функции: , т.е. . Это и является основанием для определения экспоненциальной функции в комплексной области:
Определение 1. .
Аналогично определяются функции
Определение 2.
Все три ряда сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной замкнутой области комплексной плоскости.
Из трех полученных формул простой подстановкой выводится формула Эйлера :
Отсюда сразу получается показательная форма записи комплексных чисел:
Формула Эйлера устанавливает связь между обычной и гиперболической тригонометрией.
Рассмотрим, например, функцию : Аналогично получаются остальные соотношения. Итак:
Примеры . Представить указанные выражения в виде
2. (выражение в скобках представляет собой число i , записанное в показательной форме)
4. Найти линейно независимые решения линейного ДУ 2 – го порядка:
Корни характеристического уравнения равны:
Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системы решений можно взять функции
Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной. Как и в действительной области, будем считать ее обратной к показательной. Для простоты рассмотрим только экспоненциальную функцию, т.е. решим уравнение относительно w , которую и назовем логарифмической функцией. Для этого прологарифмируем уравнение, представив z в показательной форме:
Если вместо arg z написать Arg z (1.2), то получим бесконечнозначную функцию
1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана .
Пусть w = f (z ) – однозначная функция, определенная в области .
Определение 1. Производной от функции f (z ) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Функция, имеющая производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.
Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.
Пример.
С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что
Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:
Замечание . Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в п. 1.5).
Определение 2. Функция f (z ) , непрерывно дифференцируемая во всех точках области G , называется аналитической или регулярной в этой области.
Теорема 1. Если функция f (z ) дифференцируема во всех точках области G , то она является аналитической в этой области . (б/д)
Замечание . Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.
Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области . (б/д. Ниже (в п.2.4) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях)
Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Теорема 3. (Условия Коши − Римана ). Пусть функция f (z ) дифференцируема в некоторой точке . Тогда функции u (x ,y ) и v (x ,y ) имеют в этой точке частные производные, причем
И , называемые условиями Коши – Римана .
Доказательство. Так как значение производной не зависит от способа стремления величины
К нулю, выберем следующий путь: Получаем:
Аналогично, при имеем: , что и доказывает теорему.
Верно и обратное утверждение:
Теорема4. Если функции u (x ,y ) и v (x ,y ) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функция f (z ) – дифференцируема в этой точке. (б/д)
Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.
Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:
При этом можно считать х и у произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам:
Примеры . Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.
Определение: Числовым рядом комплексных чисел z 1, z 2, …, z n , … называется выражение вида
z 1 + z 2 + …, z n + … = , (3.1)
где z n называют общим членом ряда.
Определение: Число S n = z 1 + z 2 + …, z n называется частичной суммой ряда.
Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.
Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).
z n = x n + iy n ,
то ряд (1) записывается в виде
= + .
Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).
Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).
Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.
Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .
Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда
Решение.
Рассмотрим ряды
Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды
Сходятся.
Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .
Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.
Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.
4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.
Областью сходимости ряда (4.I) является круг .
Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:
Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.
Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:
Решение:
а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой
В нашем случае
Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством
б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.
Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.
По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .
5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.
6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.
Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:
Эти функции связаны формулами Эйлера:
называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами
Функции , , , определяются как и в действительном анализе.
Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:
Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:
– его аргумент.
Пример 5.1. Найти
Решение.
Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.
Решение.
Найдем модуль и аргумент этого числа:
Тогда получим
8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.
Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.
Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z) . E – область определения функции.
Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).
Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Число А называется пределом функции f(z) в точке z 0 , если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z 0 и удовлетворяющих неравенству |z – z 0 | < δ , будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.
Записывают
Из определения следует, что z → z 0 произвольным образом.
Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).
Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если
Теорема. Для непрерывности функции в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).
Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.
Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .
Решение.
В формулу, задающую функцию, подставим
К нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .
Пусть z 0 = x 0 +iy 0 , одна из таких точек.
Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.
9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.
Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.
Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.
Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:
Называется функциональным рядом .
Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.
Определение. Функциональный ряд(1) называется сходящимся в области D , если для любогоz принадлежащего D , соответствующий ему числовой ряд сходится.
Если ряд (1) сходится в областиD , то в этой области можно определить однозначную функцию f(z) , значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D .
Определение. Если
для любогоz принадлежащего D, выполняется неравенство:
то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D .
Ряды с комплексными членами.
19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.3.1.1. Основные определения . Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа будем обозначать , мнимую - (т.е. .
Числовой ряд - запись вида .
Частичные суммы ряда :
Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.
Пример.
19.3.1.2. Абсолютная сходимость.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки (от теорем сравнения до интегрального признака Коши).
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:
Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .
Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с , то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с .
Сходящиеся ряды (А ) и (В ) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .
Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Если ряды (А ) и (В ) сходятся абсолютно к своим сумма и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .
19.3.2. Степенные комплексные ряды.
Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида
где - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z , то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.
Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то
1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;
2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z , удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).
Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.
Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R , что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости , круг - кругом сходимости . В точках границы этого круга - окружности радиуса R с центром в точке - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:
1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.
2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.
3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.